CAC DE THI HSG TINH

Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 - THPT Thanh Hoá Năm học 2003 - 2004 Môn thi : Toán - Bảng B Đề chính thức ( Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề) B i 1 : ( 6 điểm) 1) Cho đờng cong ( C) có phơng trình: xy sin1 += với 2 3 ; 2 x . Tìm giá trị nhỏ nhất của hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với ( C) và trục hoành. 2) Cho hàm số m x x m x x my 4 1 3 1 )1( 2 2 2 2 2 + + + += với m là tham số. Xác định m để hàm số chỉ có một điểm cực trị duy nhất. Bài 2: (5 điểm) Giải các phơng trình sau: 1) 1cossinsinsin 2 =+++ xxxx 2) ( ) 2loglog 37 += xx Bài 3: 1) Xác định số nghiệm 2 ;0 x của phơng trình: =+ xx cossin 22 . 2) Không dùng máy tính, hãy so sánh 2003log 2002 và 2004log 2003 Bài 4: Cho góc tam diện Oxyz. 1) A là một điểm trên Oz sao cho OA = a ( a > 0). Khoảng cách từ A đến Ox và Oy tơng ứng là a và 20a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng Oxy biết góc xOy bằng 60 0 . 2) Cho góc xOy = góc yOz = góc zOx = 60 0 . Điểm A ( khác 0) cố định trên Oz với OA = d không đổi. M và N là hai điểm chuyển động trên Ox và Oy sao cho d 1 ON 1 OM 1 =+ . Chứng minh đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. ----- Họ và tên thí sinh: Số báo danh Chữ ký của ngời coi thi: . Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 - THPT GV Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1 Thanh Hoá Năm học 2003 - 2004 Môn thi : Toán - Bảng a Đề chính thức ( Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề) B i 1: ( 6 điểm) 1) Cho đờng cong ( C) có phơng trình: xy sin1 += với 2 3 ; 2 x . Tìm giá trị nhỏ nhất của hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với ( C) và trục hoành 2) Cho hàm số m x x m x x my 4 1 3 1 )1( 2 2 2 2 2 + + + += với m là tham số. Xác định m để hàm số chỉ có một điểm cực trị duy nhất. Bài 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hệ phơng trình sau có 2 nghiệm : ( ) ( ) =+ =+++ 0422 0126567 2 22 aaxax xxxxx Bài 3: 1) Xác định số nghiệm 2 ;0 x của phơng trình: =+ xx cossin 22 2) Cho cba <+<+< 111 . Chứng minh: acac cc <+ log)(log Bài 4: Cho góc tam diện Oxyz. 1) A là một điểm trên Oz sao cho OA = a ( a > 0). Khoảng cách từ A đến Ox và Oy tơng ứng là a và 20a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng Oxy biết góc xOy bằng 60 0 . 2) Cho góc xOy = góc yOz = góc zOx = 60 0 . Điểm A ( khác 0) cố định trên Oz với OA = d không đổi. M và N là hai điểm chuyển động trên Ox và Oy sao cho d 1 ON 1 OM 1 =+ . Chứng minh đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. . Họ và tên thí sinh: Số báo danh Chữ ký của ngời coi thi: . Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 - THPT Thanh Hoá Năm học 2002 - 2003 Môn thi : Toán - Bảng A Đề chính thức ( Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề) GV Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1 Bài 1: Cho hệ phơng trình: ( ) ( ) 23log3log =+=+ axyayx yx 1) Giải hệ phơng trình khi a = 2. 2) Tìm tất cả các giá trị của a để hệ đã cho có 3 nghiệm phân biệt. Bài 2: Cho hàm số: ax x y + + = 2 1 1) Với a = 1 chứng minh rằng luôn tìm đợc hai điểm và chỉ có hai điểm trên đờng cong sao cho tiếp tuyến tại đó song song với đờng thẳng 2x 2y + 1 = 0. 2) Tìm giá trị lớn nhất của a để tập giá trị của hàm số đã cho chứa đoạn [ ] 1;0 Bài 3: 1) Giải phơng trình: ( ) ( ) 042sin32sin45cos45cos2 00 =+ xxxx 2) Cho tam giác ABC. O là một điểm trong tam giác sao cho === OBCOABOCA . Chứng minh rằng : gCgBgAg cotcotcotcot ++= Bài 4: Với x là góc cho trớc khác k . Tìm giới hạn: lim n +++ nn xxx 2 tan 2 1 . 2 tan 2 1 2 tan 2 1 22 Bài 5: Cho hình tứ diện ABCD có CD vuông góc với mặt phẳng ( ABC). CD = CB, tam giác ABC vuông tại A, mặt phẳng qua C vuông góc với DB và cắt DB, DA lần lợt tại M, I. Gọi T là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A và C của đờng tròn đờng kính BC trong mặt phẳng ( ABC). 1) Chứng minh 4 điểm C, T, M, I đồng phẳng. 2) Chứng minh IT là tiếp tuyến của mặt cầu đờng kính CD và mặt cầu đờng kính CB. 3) Gọi N là trung điểm của AB, K là điểm trên CD sao cho CDCB 3 1 = . Chứng minh khoảng cách giữa hai đờng thẳng BK và CN bằng khoảng cách giữa hai đờng thẳng AM và CN. Họ và tên thí sinh: Số báo danh Chữ ký của ngời coi thi: . Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 - THPT Thanh Hoá Năm học 2001 - 2002 Môn thi : Toán học Bảng A - B Đề chính thức ( Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề) Bài 1: Cho bất phơng trình: 01cos102cos)1(3cos2 +++ mxxmx 1) Giải bất phơng trình khi m = -5 2) Tìm m để bất phơng trình thoả mãn với mọi 3 ;0 x Bài 2: Giải phơng trình: ( ) ( ) 02coscoslogsincoslog 1 =++ xxxx x x Bài 3: GV Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1 Giải phơng trình sau với ( ) 2;0 x : 4 3 4 1 4 44 2 12 12 1 2 = + + x x xx x x Bài 4: Biết đa thức 20012000 2000 1 2001 )( axaxaxxf ++++= có 2001 nghiệm thực phân biệt và 1998,1996 19981996 == aa . Chứng minh 1997 1997 > a Bài 5: a) Cho tứ diện OABC có góc tam diện đỉnh O vuông, đờng cao OH = h, OA = a, OB = b, OC = c. Chứng minh rằng: hgCcgBbgAa 3cotcotcot ++ b) Có thể chia một đa giác lồi đã cho thành một số rứ giác không lồi đợc không?. Hãy chứng minh điều khẳng định của mình? . Họ và tên thí sinh: Số báo danh Chữ ký của ngời coi thi: . Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 - THPT Thanh Hoá Năm học 2000 - 2001 Môn thi : Toán - Bảng A-B Đề chính thức ( Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề) Câu 1: Cho phơng trình: ( ) mxx =+ 4 4 sin1sin 1) Giải phơng trình khi 8 1 = m 2) Với những giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có nghiệm? Bài 2: 1) Cho a, b, c là 3 cạnh tam giác còn x, y, z là 3 số thoả mãn: 0 =++ czbyax . Chứng minh: 0 ++ zxyzxy 2) Cho 0 x . Chứng minh ( ) ( ) ++ x xx 23log21log 32 Bài 3: Cho a 1 , a 2 , .a n ( n > 3) là các số thực thoả mãn: == n i i n i nana 1 22 1 1 , . Chứng minh rằng: { } 2, ,max 21 n aaa . Với 3 n kết luận trên còn đúng không ? Bài 4: GV Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1 Cho ABCD. ABCD là hình hộp chữ nhật với AA = 2AB = 8a, E là trung điểm của các cạnh AB và M là một điểm trên cạnh DD sao cho += AC AD aDM 1 . F là một điểm di động trên cạnh AA. a) Tìm vị trí điểm F trên cạnh AA sao cho FMCE có giá trị nhỏ nhất b) Với điểm F thoả mãn điều kiện câu a, tính góc tạo bởi mặt phẳng ( D EF) và mặt phẳng ( DBC). c) Với giả thiết điểm F thoả mãn điều kiện câu a và các đờng thẳng AC và FD vuông góc với nhau, tính thể tích của hình hộp ABCD. ABCD Bài 5: ( Học sinh bảng B không phải làm bài này) Tìm các số nguyên dơng a, b, c thoả mãn: =+++++ >> kabccbacabcab abc 1 . Họ và tên thí sinh: Số báo danh Chữ ký của ngời coi thi: . Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 - THPT Thanh Hoá Năm học 1999 - 2000 Môn thi : Toán Đề chính thức ( Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề) Bài 1: Hãy tìm tất cả bộ 4 số thực dơng ( a, b, c, d) thoả mãn ++++++= =+++ cdbdbcadacababcd dcba 27 12 Bài 2: Giả sử x 1 , x 2 , x n , là dãy số thực thoả mãn: ++= = + 2 1 2 2 1 1 n x x n x x n n n a) Hãy tính [ ] 2000 x ( [ ] a là phần nguyên của số a) b) Chứng minh rằng: nn xx + 1 với mọi 4 n Bài 3: Cho đa thức f( x) bậc n có n nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng tập hợp nghiệm của bất phơng trình: ( ) ( ) 2000 ' > xf xf là một số khoảng có tổng độ dài bằng 2000 n Bài 4: Cho đờng tròn tâm O bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC. Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC bán kính r tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA tơng ứng với C 1 , A 1 , B 1 . Giả sử các đờng thẳng đợc xác định bởi các trung GV Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1 điểm của các cặp đoạn thẳng AB 1 và AC 1 ; BA 1 và BC 1 ; CA 1 và CB 1 cắt nhau tại các điểm C 2 , A 2 và B 2 . Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác A 2 B 2 C 2 có tâm O và bán kính bẳng 2 r R + Họ và tên thí sinh: Số báo danh Chữ ký của ngời coi thi: . Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 - THPT Thanh Hoá Năm học 1999 - 2000 Môn thi : Toán học - Bảng A - B Đề chính thức ( Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề) Bài 1: a) Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên và có nghiệm là cos72 0 và cos 144 0 . b) Tìm những giá trị của m sao cho với mọi số dơng a thì phơng trình sau đây có nghiệm nhỏ hơn 0,5: ( ) ( ) 2 8 1 1log32log 2 xxma xx =+ Bài 2: Cho <<< 21 0 xx . Chứng minh rằng: 2 3 2 2 1 3 1 1 sin 6 sin 6 x x x x x x > . Bài 3: Tìm hàm số y = f( x) biết rằng: ( ) ( ) ( ) Ryxxxyyxfyxfxyf ++=++++ ,121 Bài 4: Cho hình chóp đều (P), đáy là đa giác đều n cạnh có diện tích bằng diện tích mỗi mặt bên. đối với mỗi điểm M ở bên trong hình chóp (P), ngời ta dựng ( n + 1) hình chóp đồng dạng với (P) mà mỗi đáy của chúng tơng ứng thuộc một mặt của (P) còn đỉnh là điểm M. Hãy tìm vị trí điểm M để tổng diện tích các mặt của ( n + 1) hình chóp đó nhỏ nhất. Bài 5: ( Học sinh bảng B không phải làm bài này) Xét tập hợp { } nE += 2000; .2003;2002;2001 . Tìm số nguyên dơng n nhỏ nhất để tập E có tính chất sau: Với mỗi tập hợp con tuỳ ý A của tập hợp E thì trong hai tập hợp A và E \ A bao giờ cũng có ít một tập hợp chứa 3 phần tử a, b, c sao cho a b + c = 1999 Họ và tên thí sinh: Số báo danh Chữ ký của ngời coi thi: . GV Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1 Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 - THPT Thanh Hoá Năm học 1998 - 1999 Môn thi : Toán học Đề chính thức ( Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề) Bài 1: Tìm hàm số f( x) xác định trên tập hợp số thực R sao cho với mọi giá trị Ryx , ta có: ++ )()()( )( yfxfyxf xxf Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức trong tam giác: 3 4 ++ S bcacab . Với a, b, c là các cạnh; S là diện tích tam giác . Bài 3: Dãy { } n x đợc xác định nh sau: ( ) 11 1 2 1 1 >+= >= + nxxx ax nnn . Hãy tìm tổng vô hạn: = 1 1 n n x Bài 4: Giả sử a, b, c, d là các số thực và tập hợp { } 0; 2 =++= bxaxRxA và [ ] [ ] { } 0; 2 =++= dxcxRxB . Chứng minh rằng nếu tập BA có đúng 3 phần tử thì a không thể là số nguyên. Bài 5: Gọi Q 1 , Q 2 , Q 3 là diện tích 3 hình bình hành mà mỗi hình có các đờng chéo song song và bằng các cạnh đối diện của một tứ diện ( Các đờng chéo của 3 hình bình hành song song và bằng 3 cặp cạnh đối diện khác nhau của tứ diện). Gọi S 1 , S 2 , S 3 , S 4 là diện tích 4 mặt của tứ diện đó. Chứng minh: 2 4 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 SSSSQQQ +++=++ Họ và tên thí sinh: Số báo danh Chữ ký của ngời coi thi: . GV Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1 Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 - THPT Thanh Hoá Năm học 1998 - 1999 Môn thi : Toán Đề chính thức ( Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề) Bài 1: Cho elip ( E) có phơng trình: 1 49 22 =+ yx . Xét các điểm A( -3; 0), B( 3; 0), M( -3; a) , N( 3; b) trong đó a, b la hai số thay đổi. 1) Xác định các toạ độ của giao điểm I của các đờng thẳng AN và BM. 2) Chứng tỏ rằng điều kiện cần và đủ để đờng thẳng MN tiếp xúc elip (E) là ab = 4. 3) Khi a, b thay đổi nhng sao cho đờng thẳng MN tiếp xúc với elip (E) thì giao điểm I của hai đờng thẳng AN và BM nằm trên đờng nào? Bài 2: Tìm miền giá trị của hàm số: RRf : : xx x xf cos1cos1 sin23 )( ++ + = Bài 3: Giả sử k là số nguyên và P( x) là đa thức: 133)( 219971999 +++= kkxxxxxP a) Chứng minh rằng đa thức P( x) không có nghiệm nguyên b) Chứng minh các số ( ) n P và ( ) 3 + n P là nguyên tử cùng nhau đối với mọi số n nguyên. Bài 4: Giả sử S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng hình bình hành ABCD sao cho các tam giác SAB, SBC, SCD và SAD tơng đơng a) Chứng minh ABCD là hình thoi b) Nếu khoảng cách từ S tới mặt phẳng ( ABCD) là 12, BD = 30, AC = 40. Tính khoảng cách từ hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng ( ABCD) tới mặt phẳng ( SBC). Bài 5: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC và một điểm M thay đổi ở trong tam giác. Gọi A, B, C lần lợt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các đờng thẳng BC, CA, AB. Hãy xác định vị trí của điêm M khi MA = MB. MB = MC. MC. Họ và tên thí sinh: Số báo danh Chữ ký của ngời coi thi: . GV Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1 Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 - THPT Thanh Hoá Năm học 1998 - 1999 Đề dự bị Môn thi : Toán Đề chính thức ( Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề) Bài 1: Chứng minh đẳng thức: 11 11 2 sin4 11 3 tan =+ Bài 2: Tìm điều kiện cần và đủ để xaxxf 2sin)( += là một hàm số đồng biến trên R. Bài 3: Tìm những giá trị của m sao cho với mọi số dơng a thì phơng trình sau đây có nghiệm dơng nhỏ hơn 0,5: ( ) ( ) 2 8 1 1log32log 2 xxma xx =+ . Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại C với cạnh huyền AB = c. Vòng tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh cạnh AC, CB, AB theo thứ tự tại M, N , P. 1) Chứng minh rằng: cMN 9 32 < 2) Tìm giá trị bé nhất của k để có bất đẳng thức: kcMN < Bài 5: Cho tứ diện ABCD. P là một điểm nằm trong tam giác BCD. Tìm P kẻ các đờng thẳng song song với AB, AC, AD cắt các mặt ACD, ADB, ABC lần lợt tại L, M, N. Xác định vị trí của P để tứ diện PLMN có thể tích lớn nhất. Họ và tên thí sinh: Số báo danh Chữ ký của ngời coi thi: . GV Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1 Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 - THPT Thanh Hoá Năm học 2000 - 2001 Môn thi : Toán Đề chính thức ( Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề) Bài 1: Giả sử Z + là tập hợp các số nguyên không âm. Hãy tìm tất cả các hàm: ++ ZZf : thoả mãn: a) ( ) ( )( ) ( )( ) + +=+ Znmnfmfnmf ,2 22 22 b) ( ) ( ) nmZnmnfmf + ,, 22 Bài 2: Một khối lập phơng đợc đặt trong hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz, sao cho toạ độ 4 đỉnh không đồng phẳng nào đó là các số nguyên. Chứng minh rằng tất cả các đỉnh của khối lập phơng đều có toạ độ nguyên. Bài 3: Cho [ ] 2;1,, cba tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ( ) abc cba cbafA 333 ,, ++ == Bài 4: Dây DE của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tại các điểm M và N ( M nằm giữa D và N). Chứng minh rằng: ENDMMN + Họ và tên thí sinh: Số báo danh Chữ ký của ngời coi thi: . GV Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1 [...]... Họ và tên thí sinh: Số báo danh Chữ ký của ngời coi thi: GV Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1 Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hoá Đề chính thức Đề kiểm tra chất lợng lớp 12 - THPT Năm học 2008 - 2009 Môn thi : Toán - Bảng B - d ( Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2 điểm) Cho hàm số: y = x3 11 x 2 3x + 3 3 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị ( C) của hàm số 2) Viết phơng ttiếp...Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hoá Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 - THPT Năm học 2001 - 2002 Môn thi : Toán ( Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề) Đề chính thức Bài 1: a) Cho dãy số {u n } đợc xác định bởi công thức: Un 2 sin sin tan tan n 2 2... điểm) Giải các phơng trình và bất phơng trình sau: 2 2 1) 2 9 + 8 x x 9 + 8 x x 3x + 2 2x 3 2) 2 cos x cos x sin 2 x 3 sin 2 x + 4 = 0 4 4 Bài 3: ( 1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đ cac vuông góc Oxy, cho hình phẳng ( S) đợc giới hạn bởi các đờng: y = 0; y = x ; x + y 6 = 0 Tính thể tích khối trong xoay đợc tạo thành khi quay ( S) xung quanh trục Ox Bài 4: ( 1 điểm) Tính thể tích... bi màu vàng, ta chọn ngẫu nhiên 3 viên bi ( không tính đến thứ tự các viên bi) Tìm xác suất để trong 3 viên bi chọn đợc có ít nhất 2viên bi khác màu Họ và tên thí sinh: Số báo danh Chữ ký của ngời coi thi: GV Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1 . ngời coi thi: . Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 - THPT GV Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1 Thanh Hoá Năm học 2003 - 2004 Môn thi : Toán. báo danh Chữ ký của ngời coi thi: . Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 - THPT Thanh Hoá Năm học 2002 - 2003 Môn thi : Toán - Bảng A Đề chính