-1- TĨM TẮT CƠNG THỨC TỐN LỚP 1) Phương trình: ax + bx + c = ( a¹ ) - Phương trình có nghiệm phân biệt 0 - Phương trình có nghiệm trái dấu P - Phương trình có nghiệm dấu P - Phương trình có nghiệm dương P S - Phương trình có nghiệm âm P S - Phương trình có nghiệm đối P S Ví dụ: Cho phương trình: 2x – 5x – m + = a Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm trái dấu: b2 4ac (5)2 4.2(m 3) 25 8m 24 8m - Giả sử phương trình có nghieäm x1, x2 b S x1 x2 a 2, - Theo định lí Viet, ta có: P x x c m a 8m 0 8m 1 m - Phương trình có nghiệm trái dấu m m3 P0 m 0 m - Vậy m>3 phương trình có nghiệm trái dấu b Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm âm: 8m - Phương trình có nghiệm âm P m S 2, 0( sai ) - Vậy giá trị m để phương trình có nghiệm âm ax + by = c 2) Hệ phương trình: a'x + b'x = c' a b c - Hệ phương trình vô nghiệm a' b' c' - Hệ phương trình có nghiệm - Hệ phương trình có vôâ số nghiệm a b c a' b' c' 3) Hằng đẳng thức (a b)2 a 2ab b2 (a b)2 a 2ab b2 a b a' b' (a b)3 a3 b3 3a 2b 3ab2 (a b)3 a3 b3 3a 2b 3ab2 -2 a b (a b)(a b) a2 b2 (a b)2 2ab (a b)2 2ab a3 b3 (a b)(a ab b2 ) đối 4) Tỉ số lượng giác: sin huyeàn a3 b3 (a b)(a ab b2 ) (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc (a b c)2 a b2 c2 2ab 2ac 2bc đối kề kề tag = cotag = cos kề đối huyền Cung 0o 15o 6 6 Sin Cos Tag 2 Cotag 1 30o 3 3 45o 2 2 60o 2 75o 6 6 2 3 2 90o 105o 6 6 120o 135o 2 2 -1 2 3 -1 5) Giải phương trình: ax2 + bx + c = ( a ) 150o 3 a Dùng công thức nghiệm: [Phương trình ax2 + bx + c = với a c trái dấu có nghiệm phân biệt] = b2 - 4ac b b ; x2 2a 2a b * = Phương trình cónghiệm kép : x1 x 2a * < Phương trình vônghiệm b Dùng công thức nghiệm thu gọn b b 2b ' b ' ; ' = b'2 - ac b ' b ' * ' > Phương trình có2 nghiệm phân biệt : x1 ; x2 a a b * ' = Phương trình cónghiệm kép : x1 x a * ' < Phương trình vônghiệm c Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc b S x1 x2 a * Biết : x1 vaø x2 c P x1 x2 a c * Biết : a b c x1 = vaø x2 a c * Biết : a b c x1 = -1vaø x2 a * > Phương trình có2 nghiệm phân biệt : x1 Các tam giác đặc biệt -36) Tam giác vuông cân - ABC vuông cân A ; AB = AC = a - ABC đồng dạng với ABH đồng dạng với ACH - BAC AHC AHB 90o 45o - BAH ABH ACH CAH - BC AB AC ; a HB HC AH - AH đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến, tia phân giác ABC BC ( BH CH ) ( BH AH ) (CH AH ) - a BH CH AH 2 2 2 AH BC AH AH - S ABC 2 ABC vuông A BC AB BC AC BC AB Chứng minh tam giác vuông cân: BC ABC vuông cân A AC AB AC ABC ABC o ABC 45 ACB 45o 7) Tam giác - ABC ; AB = AC = BC = a - AH đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực tia phân giác a a a2 - CH HB ; AH ; S ABC 2 ABC caân ABC 60o ABC Chứng minh tam giác đều: ACB 60o 60o CAB 8) Nửa tam giác - ACH ABH nửa tam giác AB AC BH CH - AH 2 AB AC AH - CH BH 2 A a C B H - AB AC 2CH BH AH 3 -4AHC vuoâng ( ) 60o AHC ACH , CAH AHC lànửa tam giác Chứng minh nửa tam giác đều: AH HC AC HC 9) Góc đường tròn AOB : góc tâm chắn AB ACB : góc nội tiếp chắn AB EAB : góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn AB 1 = sñHG -sñJI - - sñHDG ACB EAB AOB 2 = sñAG -sñJA = sñAmF -sñAnF - sñADG - sñEDF 2 A BKG sñ JC + sñ BG - JKC - E H B 10) Một vài công thức cần nhớ (Hình học): - Độ dài đường tròn: C = 2R Rn o - Độ dài cung tròn: l = 180 o - Diện tích hình tròn: S = R2 I D m O n R2 n o 360 o Ghi chú: + : số pi + C: độ dài đường tròn + R: bán kính + l: độ dài cung + no: số đo độ cung - Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = R.h C - Diện tích xung quanh hình nón : Sxq = Rl - Diện tích toàn phần hình trụ: Stp = R.h + R2 - Diện tích toàn phần hình nón: Stp = Rl + R2 - Thể tích hình trụ: V = Sh + R2 h - Thể tích hình nón: V = - Diện tích hình quạt tròn: S = Ghi chú: + h: chiều cao - J F G K R2 h + l: đường sinh 11) Một vài công thức cần nhớ (Đại số): Với a 0; b a + b a + b (dấu “=” xảy a = b = 0) Với a b a - b a - b (dấu “=” xảy a = b = 0) A + A2 - B A - A2 - B ± A > ; B > ; A2 > B 2 a+b ab (dấu “=” xảy a = b) Bất đẳng thức Cô-si: với a , b thì: Vài dạng khác bất đẳng thức Cô-si: Công thức phức tạp: A± B = -5- Dạng có chứa dấu căn: a + b ab với a 0; b với a > ; b > a+b a+b - Dạng dấu caên (a + b)2 ab A 0(hay B 0) A B A = B X2 A2 X A hay X A ; (a + b)2 4ab a2 + b2 2ab B B | A | = B A B A = B hay A = -B A = B X2 A2 A X A f ( x) g ( x) h( x) - Đặt điều kiện: f ( x) 0, g ( x) 0, h( x) - Chuyển vế (2 vế phải không âm) - Bình phương vế 10 Min X m m ; Max m X m 11 Điều kiện để biểu thức có nghóa: A - A - Biều thức có dạng có nghóa B B - Biểu thức có dạng A có nghóa A - Biểu thức có dạng có nghóa B B 12) Đường thẳng song song đường thẳng cắt Hệ số góc đường thẳng Cho đường thaúng: (d1) : y = ax + b (a 0) vaø (d2) : y = a’x + b’ (a’ 0) (d1) // (d2) a a ' ; b b ' (d1) caét (d2) a a ' (d1) (d2) a a ' ; b b ' (d1) (d2) a a ' 1 Khi a > goác tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox góc nhọn Khi a < goác tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox góc tù Nếu (d1) cắt (d2) hoành độ giao điểm nghiệm phương trình ax + b = a’x + b’ Gọi góc tạo đường thẳng y = ax + b với trục Ox Nếu a > tg = a 13) Các dạng phương trình đặc biệt: Phương trình baäc 3: ax3 + bx2 + cx + d = (a 0) [] Nếu biết nghiệm x = x0 [] đưa phương trình tích: (x – x0)(ax2 + mx + n) = Phương trình hệ đối xứng bậc 4: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = (a 0) [] a) Phương pháp giải: - Nhận xét x = nghiệm [] - Chia vế [] cho x2 nhóm số hạng cách số hạng đầu cuối thành nhóm phương trình [] 1 - Đặt aån phuï t x [] t x vào phương trình [] x x - Giải phương trình trung gian để tìm t, giá trị t vào [] để tìm x b) Về nghiệm số phương trình: - Nếu x0 nghiệm phương trình [] nghiệm x0 c) Phương trình hệ đối xứng bậc 5: ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = (a 0) [] có nghiệm x = -1 (vì tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ) Vì [] biến đổi thành: x 1 ax4 b a x3 c a b x2 b a x a -63 Phương trình hồi quy: ax4 + bx3 + cx2 + mx + n = (a 0) n m [] a b a) Phương pháp giải: - Nhận xét x = nghiệm [] - Chia vế [] cho x2 nhóm số hạng cách số hạng đầu cuối thành nhóm phương trình [] 2m m2 m 2 - Đặt ẩn phụ t x [] t x 2 vào phương trình [] b b x bx - Giải phương trình trung gian để tìm t, giá trị t vào [] để tìm x Phương trình a + d = b + c: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m [] Phương pháp giải: - Viết lại [] dười dạng: [(x + a)(x + d)][(x + b)(x + c)] – m = [] - Khai triển tích đặt ẩn phụ t biểu thức vừa khai triển - Thế ẩn phụ vào phương trình [], giải phương trình, tìm giá trị t - Thế giá trị t vào biểu thức chứa ẩn phụ để tìm x Phương trình đó: (x + a)4 + (x + b)4 = c Phương pháp giải: - Đối với phương trình dạng này, ta đặt ẩn phụ trung bình cộng (x + a) (x + b): ab A - Đặt t x 14) Một số kiền thức hình học cấp 2: Trung tuyến tam giác: Trung tuyến tam giác đoạn thẳng, đầu nối đỉnh tam giác, đầu nối trung tuyến cạnh đối diện với đỉnh Ta có tam giác ABC có AM trung tuyến MC = MB B C M - Áp dụng vào tam giác vuông: + Định lí thuận: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền + Định lí đảo: Trong tam giác, đường trung tuyến nửa cạnh đối diện tam giác vuông Tia phân giác: - Tia phân giác góc tia nằm góc chia góc làm hai góc A - Phân giác tam giác đoàn thẳng có môt đầu đỉnh tam giác, đầu giao điểm tia fân giác xuất phát từ đỉnh đến cạnh đối diện - Trong tam giác, đường phân giác chia cạnh đối diện thành đoạn tỉ lệvới hai cạnh kề Ta có tam giác ABC có AM đường phân giác BM CM Đường trung trực: A B H C AB AC B M C - Định nghóa: Đường thẳng trung trực đoạn thẳng đường thẳng vuông góc với đoạn trung điểm - Định lí 1: Nếu điểm M nằ đường trung trực đoạn thẳng AB đường trung trực đoạn AB - Định lí 2:Tập hợp điểm cách đầu đoạn thẳng AB đường thẳng trung trực đoạn AB Ta có tam giác ABC có AH vừa đường cao, vừa trung tuyến, vừa phân giác, vừa trung trực (tam giác ABC cân) Đường trung bình tam giác: A -7- Định lí 1: Trong tam giác, đường thẳng qua trung điểm cạnh song song với canh thứ hai M N qua trung điểm cạnh thứ ba - Định lí 2: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh thứ ba B - Định lí 3: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác gọi đường trung bình tam giác Tính chất ba đường trung tuyến: - Trong tam giác, ba đường trung tuyến cắt điểm Điểm gọi trọng tâm tam giác - Khoảng cách từ đỉnh đến trọng tâm trung tuyến Tính chất đường phân giác: a) Tính chất đường phân giác: Định lí phân giác góc: + Định lí thuận: Bất điểm nằm đường fân giác góc cách cạnh góc + Định lí đảo: Điểm cách cạnh góc nằm fân giác góc b) Tính chất phân giác tam giác: tam giác, đường fân giác cắt điểm Điểm cách cạnh tam giác Điểm gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác c) Tính chất đường phân giác tam giác: tam giác, đường fân giác chia cạnh đối diên thành đoạn tỉ lệ với cạnh kề Tính chất đường trung trực tam giác: Trong tam giác, ba đường trung trực cắt điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác Điểm gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Tính chất đường cao tam giác: Trong tam giác, ba đường cao cắt một điểm Điểm gọi lảtrực tâm tam giác Tiên đề ƠCLIT: Từ điểm nằm đường thẳng ta vẽ đường thẳng song song với đường thẳng cho trước C -8+ Hệ 1: cho hai đường thẳng song song, đường thẳng cắt đường thẳng thứ cắt đường thẳng thứ hai + Hệ 2: hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với 10 Định lí Thales tam giác: + Định lí 1: đường thẳng song song với cạnh tam giác chắn hai cạnh thành đoạn tương ứng tỉ lệ + Định lí 2: đường thẳng chắn hai cạnh tam giác thành đoạn tương ứng tỉ lệ song song với cạnh thứ ba +Hệ quả: đường thẳng song song với cạnh tam giác, hợp với hai cạnh tạo thành tam giác có cạnh tỉ lệ với cạnh tam giác cho The End ... đối huyền Cung 0o 15o 6 6 Sin Cos Tag 2 Cotag 1 30o 3 3 45o 2 2 60o 2 75o 6 6 2 3 2 90 o 105o 6 6 120o 135o 2 2 -1 2 3 -1 5) Giải phương trình: ax2 + bx + c =... vuông cân A ; AB = AC = a - ABC đồng dạng với ABH đồng dạng với ACH - BAC AHC AHB 90 o 45o - BAH ABH ACH CAH - BC AB AC ; a HB HC AH - AH đường cao, đường... ACH , CAH AHC lànửa tam giác Chứng minh nửa tam giác đều: AH HC AC HC 9) Góc đường tròn AOB : góc tâm chắn AB ACB : góc nội tiếp chắn AB EAB : góc tạo tia tiếp