Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! CHỦ ĐỀ: CÁC GĨC VỚI ĐƯỜNG TRÒN – TỨ GIÁC NỘI TIẾP A Kiến Thức Cơ Bản: Tứ Giác Nội Tiếp Định nghĩa: Tứ giác có đỉnh nằm đtrịn đgl tứ giác nội tiếp Tính chất: Trong tứ giác nội tiếp tổng số đo góc đối diện 1800 Dấu hiệu: Để chứng minh tứ giác nội tiếp đtrịn ta chứng minh: - Tứ giác có đỉnh nằm đtrịn - Tứ giác có tổng góc đối diện 1800 - Tứ giác có góc nhìn xuống cạnh B Bài Tập Áp Dụng: Bài 1: Cho tam giác ABC vng A, điểm M nằm AC, đtrịn đường kính CM cắt BC E, BM cắt đrịn D a) CMR: tứ giác BADC nội tiếp b) DB phân giác góc EDA c) CMR đường thẳng BA, EM, CD đồng quy B E A M O C D K a) ta có: BAC = 900 (gt) BDC = 900 (góc nt chắn nửa đtròn) Suy tứ giác BADC nt đtròn đường kính BC b) ta có: C1 = D1 (cùng chắn cung ME) tứ giác BADC nt ⇒ C1 = D2 (cùng chắn cung AB) Mua STK Toán(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! ⇒ D1 = D2 ⇒ DB phân giác góc EDA c) giả sử AB cắt CD K CK ⊥ BK xét tam giác KBC, ta có: BD ⊥ CK ⇒ M trực tâm tam giác KBC ⇒ KM ⊥ BC CA × BD = M mặt khác ⇒ ME ⊥ BC (góc nt chắn nửa đtrịn), suy đthẳng KM ME trùng đthẳng AB, EM, CD đồng quy K Bài 2: Cho tam giác ABC có góc nhọn Đường trịn tâm O đường kính BC cắt AB E, cắt AC F Các tia BE cà CE cắt H CMR: a) AH vng góc với BC b) Gọi K giao điểm AH BC CMR: FB phân giác góc EFK c) Gọi M trung điểm BH CMR: tứ giác EMKF nt A F E H M1 2 B K O C a) ta có: BEC = 900 (góc nt chắn nửa đtrịn) ⇒ CE ⊥ AB BFC = 900 (góc nt chắn nửa đtrịn) ⇒ BF ⊥ AC CE ⊥ AB xét tam giác ABC, ta có: BF ⊥ AC ⇒ H trực tâm tam giác ABC ⇒ AH ⊥ BC BF × CE = H b) xét tứ giác CKHF, có: K + F = 1800 ⇒ tứ giác CKHF nt ⇒ C1 = F2 (cùng chắn cung HK) mặt khác: C1 = F1 (cùng chắn cung BE) suy F1 = F2 , FB phân giác góc EFK Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! c) xét tứ giác BKHE có K + E = 1800 ⇒ tứ giác BKHE nt ⇒ B1 = K1 (cùng chắn cung HE) mà: B1 = C2 (cùng chắn cung EF) mặt khác, tứ giác CKHF nt ⇒ K1 = C2 (cùng chắn cung HF) suy B1 = K1 = C2 = K xét tam giác BEH, có: (1) ⇒ BM = HM = ME ⇒ ∆BME cân M BM = HM E = 900 EMF = B1 (tính chất góc ngồi tam giác) (2) từ (1) (2) EMF = K1 = K = EKF ⇒ tứ giác EMKF nt Bài 3: Cho đtròn (O), điểm A nằm bên ngồi đtrịn Qua A kẻ tiếp tuyến AB, AC với đtròn (B, C tiếp điểm) M điểm dây BC, đthẳng qua M vuông góc với OM cắt tia AB AC D E CMR: a) Các tứ giác: BDOM; ECOM nt b) M trung điểm DE D B 1 M A O 1 E C a) xét tứ giác BDOM, ta có: DMO = 900 (gt) DBO = 900 (tính chất tiếp tuyến) Suy điểm B, D, O, M nằm đtròn đường kính DO, tứ giác BDOM nt xét tứ giác ECOM, ta có: OME = 900 (gt) OCE = 900 (tính chất tiếp tuyến) Suy OME + OCE = 1800 tứ giác ECOM nt Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! b) tứ giác BDOM nt nên B1 = D1 (cùng chắn cung MO) tứ giác ECOM nt nên C1 = E1 (cùng chắn cung MO) (1) (2) mà B1 = C1 (vì tam giác OBC cân O) từ (1), (2) (3) suy D1 = E1 , tam giác ODE cân O, lại có OM ⊥ DE (gt), OM đường cao đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh DE => MD = ME đpcm Bài 4: Cho đtròn (O) (O’) cắt A B (O O’ thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua B kẻ cát tuyến vng góc với AB cắt đtrịn (O) C, căt đtròn (O’) D, tia CA cắt (O’) I, tia DA cắt (O) K a) CMR: tứ giác CKID nt b) Gọi M giao điểm CK DI Chứng minh điểm M, A, B thẳng hàng M K I A O' O C D B a) ABC = 900 ⇒ AC đường kính (O) ABD = 900 ⇒ AD đường kính (O’) Ta có: CKA = 900 (góc nt chắn nửa đtrịn (O)) DIA = 900 (góc nt chắn nửa đtrịn (O’)) Do đó: CKA = DIA ⇒ tứ giác CKID nt đường trịn đường kính CD CI ⊥ MD b) xét tam giác MCD, ta có: DK ⊥ MC ⇒ A trực tâm t.giác MCD ⇒ MA ⊥ CD (1) CI × DK = A mà AB ⊥ CD (2) từ (1) (2) suy điểm M, A, B thẳng hàng đpcm Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Bài 5: Cho đtrịn (O) đường kính AB, M điểm đtròn; C điểm nằm A B qua M kẻ đthẳng vng góc với CM, đthẳng cắt tiếp tuyến (O) kẻ từ A B E F CMR: a) Các tứ giác: AEMC, BCMF nt b) Tam giác ECF vuông C E M F 2 1 A C O B a) xét tứ giác AEMC có: A + M = 900 + 900 = 1800 , mà góc A góc M góc vị trí đối diện, tứ giác AEMC nt chứng minh tương tự ta có tứ giác BCMF nt b) tứ giác ACME nt ⇒ A1 = E1 (cùng chắn cung MC) (1) tứ giác BCMF nt ⇒ B1 = F1 (cùng chắn cung MC) (2) ta có: AMB = 900 (góc nt chắn nửa đtròn) A1 + B1 = 900 (3) từ (1); (2) (3) ⇒ E1 + F1 = 900 xét tam giác ECF, có: E1 + F1 = 900 ⇒ ECF = 900 ⇒ ∆ ECF vuông C Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn nt đtròn (O), có đường cao BB’ CC a) CMR: tứ giác BCB’C’ nt b) Tia AO cắt đtròn (O) D cắt B’C’ I CMR: tứ giác BDIC’ nt c) Chứng minh OA vng góc với B’C’ Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! A B' I O C' C D B a) xét tứ giác BCB’C’ có BB 'C = BC 'C = 90 ⇒ tứ giác BCB’C’ nt b) ta có: ACB = ADB (cùng chắn cung AB) (1) mặt khác tứ giác BCB’C’ nt ⇒ BC ' B ' + ACB = 180 (2) từ (1) (2) ⇒ BC ' B ' + ADB = 180 hay BC ' I + IDB = 180 , suy tứ giác BDIC’ nt c) ta có: ABD = 900 (góc nt chắn nửa đtrịn) ⇒ C ' BD = 90 tứ giác BDIC’ nt ⇒ C ' BD + C ' ID = 180 ⇒ C ' ID = 90 ⇒ AO ⊥ B 'C ' Bài 7: Cho hình vng ABCD Gọi M, N điểm cạnh BC CD cho MAN = 450 AM AN cắt đường chéo BD P Q Gọi H giao điểm MQ NP CMR: a) Tứ giác ABMQ nt b) Tam giác AQM vuông cân c) AH vng góc với MN A B 450 P M H Q D N C a) ABCD hình vng có BD đường chéo, nên BD phân giác góc ABC ⇒ B1 = B2 = 900 = 450 ⇒ B2 = QAM = 450 ⇒ tứ giác ABMQ nt b) tứ giác ABMQ nt ⇒ ABM + AQM = 1800 ⇒ 900 + AQM = 1800 ⇒ AQM = 900 ⇒ MQ ⊥ AN Mua STK Toán(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! xét tam giác AQM, có: ⇒ ∆ AQM vng cân Q AQM = 900 A = 450 c) ta có: DB đường chéo hình vng ABCD nên DB phân giác góc ADC ⇒ D1 = D2 = 900 = 450 tứ giác ADNP có ⇒ DAN = D2 = 450 ⇒ tứ giác ADNP nt ADN + APN = 1800 ⇒ 900 + APN = 1800 ⇒ APN = 900 ⇒ NP ⊥ AM MQ ⊥ AN Xét tam giác AMN, ta có: NP ⊥ AM ⇒ H trực tâm tam giác AMN ⇒ AH ⊥ MN MQ × NP = H **************************************************************** TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TỐN MỚI NHẤTNH: 2019-2020 Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Bộ phận bán hàng: 0918.972.605 Đặt muatại: https://xuctu.com/ FB: facebook.com/xuctu.book/ Email: sach.toan.online@gmail.com Đặt trực tiếp tại: https://forms.gle/ooudANrTUQE1Yeyk6 Quý thầy cô nhận bạn file WORD Zalo 0918.972.605 Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo ... nằm ? ?tròn đường kính DO, tứ giác BDOM nt xét tứ giác ECOM, ta có: OME = 90 0 (gt) OCE = 90 0 (tính chất tiếp tuyến) Suy OME + OCE = 1800 tứ giác ECOM nt Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 091 8 .97 2.605-... ABC = 90 0 ⇒ AC đường kính (O) ABD = 90 0 ⇒ AD đường kính (O’) Ta có: CKA = 90 0 (góc nt chắn nửa đtrịn (O)) DIA = 90 0 (góc nt chắn nửa đtrịn (O’)) Do đó: CKA = DIA ⇒ tứ giác CKID nt đường trịn đường. .. B E F CMR: a) Các tứ giác: AEMC, BCMF nt b) Tam giác ECF vuông C E M F 2 1 A C O B a) xét tứ giác AEMC có: A + M = 90 0 + 90 0 = 1800 , mà góc A góc M góc vị trí đối diện, tứ giác AEMC nt chứng