Nội lực trong kết cấu cũng được xác định bằng phép tổ hợp các tác động của các chuyển vị vừa tính được và của các chuyển vị do ngoại lực trên kết cấu đã bị hạn chế dịch chuyển.. Số chu[r]
(1)1
Nguyễn Đình Đức Đào Như Mai
SỨC BỀN VẬT LIỆU
VÀ KẾT CẤU
(2)Nguyễn Đình Đức Đào Như Mai
SỨC BỀN VẬT LIỆU
VÀ KẾT CẤU
(3)i
Lời nói đầu
Sức bền vật liệu môn học sở quan trọng, cung cấp cho người học kiến thức để giải toán độ bền, độ cứng, độ ổn định hệ kết cấu Chính Sức bền vật liệu Cơ học kết cấu giảng dạy cho sinh viên tất trường đại học kỹ thuật Việt Nam giới Tuy nhiên, có nhiều giáo trình sức bền vật liệu khác nhau, biên soạn phục vụ phù hợp cho đối tượng người học trường đại học khác
Giáo trình biên soạn cho sinh viên ngành Cơ học Kỹ thuật ngành Công nghệ Cơ điện tử trường Đại học Công nghệ - Đại học Quốc gia Hà Nội, với thời lượng giảng dạy từ đến tín Giáo trình đề cập đến nội dung môn học Sức bền vật liệu Cơ học kết cấu, biên soạn sở giảng Sức bền vật liệu Cơ học kết cấu khung chương trình đào tạo cho sinh viên Khoa Cơ học Kỹ thuật Tự động hóa năm năm qua, đồng thời có tham khảo kinh nghiệm nội dung giảng dạy môn học áp dụng số trường đại học kỹ thuật nước Giáo trình tài liệu học tập cho sinh viên có kiến thức sở tốn cao cấp học môi trường liên tục học vật rắn biến dạng
Các tác giả chân thành cảm ơn GS TS Hoàng Xuân Lượng, GS TS Trần Ích Thịnh, PGS TS Vũ Đỗ Long, PGS TS Khúc Văn Phú, PGS TS Trần Minh Tú, TS Lương Xuân Bính, TS Nguyễn Thị Việt Liên đóng góp quý báu nội dung hình thức cho sách Các tác giả bày tỏ cám ơn Trường Đại học Công nghệ, Khoa Cơ học kỹ thuật Tự động hóa tạo điều kiện mặt để tác giả hoàn thành sách Quyển sách viết có cơng khơng nhỏ em sinh viên góp ý cho tác giả trình giảng dạy
(4)Mục lục
Lời nói đầu i
Mục lục ii
Danh mục kí hiệu vii
Đơn vị đo theo SI ix
NHẬP MÔN
Giới thiệu
CHƯƠNG Các khái niệm
1.1 Lực tác dụng
1.2 Nội lực
1.3 Biến dạng chuyển vị 18
Kết luận chương 21
CHƯƠNG Quan hệ ứng suất biến dạng 22
2.1 Trạng thái ứng suất 22
2.2 Trạng thái biến dạng 31
2.3 Định luật Hooke 32
Kết luận chương 36
CHƯƠNG Các lí thuyết bền 37
3.1 Thế biến dạng đàn hồi 37
3.2 Đặc trưng học vật liệu 41
3.3 Điều kiện bền vật liệu 45
Kết luận chương 50
PHẦN CÁC BÀI TOÁN THANH 51
(5)4.1 Mô men tĩnh trọng tâm 53
4.2 Các mơ men qn tính 55
4.3 Cơng thức chuyển trục song song 57
4.4 Công thức xoay trục 58
Kết luận chương 60
CHƯƠNG Thanh thẳng chịu kéo, nén tâm 61
5.1 Định nghĩa 61
5.2 Biểu đồ lực dọc trục 62
5.3 Ứng suất mặt cắt ngang 63
5.4 Biến dạng 64
5.5 Độ bền độ cứng 68
5.6 Bài toán siêu tĩnh 70
Kết luận chương 74
CHƯƠNG Thanh thẳng tiết diện tròn chịu xoắn 75
6.1 Định nghĩa 75
6.2 Biểu đồ mô men xoắn 75
6.3 Ứng suất tiếp 77
6.4 Biến dạng dịch chuyển 80
6.5 Độ bền độ cứng 84
6.6 Thanh chịu cắt 86
6.7 Xoắn tiết diện chữ nhật 88
6.8 Bài toán siêu tĩnh 90
Kết luận chương 92
CHƯƠNG Thanh thẳng chịu uốn phẳng 93
7.1 Định nghĩa 93
(6)7.3 Ứng suất toán uốn 96 7.4 Biến dạng dịch chuyển chịu uốn 110
7.5 Độ bền độ cứng 117
Kết luận chương 120
CHƯƠNG Thanh chịu lực phức tạp 121
8.1 Giới thiệu chung 121
8.2 Trường hợp tổng quát 122
8.3 Các trường hợp chịu lực phức tạp 127
Kết luận chương 133
CHƯƠNG Ổn định thẳng 134
9.1 Giới thiệu chung 134
9.2 Lực tới hạn ứng suất tới hạn 135
9.3 Tính ổn định cho chịu nén 138
9.4 Uốn ngang uốn dọc đồng thời 141
Kết luận chương 145
PHẦN CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÍNH TỐN HỆ THANH 146
CHƯƠNG 10 Hệ siêu tĩnh 147
10.1 Siêu tĩnh 147
10.2 Bậc tự 152
10.3 Đường ảnh hưởng 153
Kết luận chương 10 161
Bài tập chương 10 163
CHƯƠNG 11 Phương pháp lực 164
11.1 Mô tả phương pháp 164
11.2 Ma trận độ mềm 166
(7)11.4 Năm bước giải phương pháp lực 170
11.5 Phương trình ba mơ men 177
Kết luận chương 11 181
Bài tập chương 11 182
CHƯƠNG 12 Phương pháp chuyển vị 184
12.1 Mô tả phương pháp 184
12.2 Ma trận độ cứng 188
12.3 Giải toán với trường hợp đặt tải khác 200 12.4 Năm bước giải phương pháp chuyển vị 200 12.5 Ảnh hưởng chuyển vị tọa độ 205 12.6 Sử dụng phương pháp lực phương pháp chuyển vị 206
Kết luận chương 12 219
Bài tập chương 12 221
CHƯƠNG 13 Phương pháp công ảo 224
13.1 Thế biến dạng 224
13.2 Nguyên lý công ảo 230
13.3 Tính chuyển vị cơng ảo 232
13.4 Áp dụng phương pháp công ảo cho hệ dàn 239 13.5 Áp dụng phương pháp công ảo cho hệ khung 244 13.6 Ma trận độ mềm tổng thể kết cấu 259 13.7 Ma trận độ cứng kết cấu tổng thể 260
Kết luận chương 13 267
Bài tập chương 13 269
CHƯƠNG 14 Phương pháp phần tử hữu hạn – Sơ lược 271
14.1 Giới thiệu 271
(8)14.3 Áp dụng năm bước tính tốn phương pháp chuyển vị 274
14.4 Phương trình đàn hồi sở 275
14.5 Nội suy chuyển vị 276
14.6 Ma trận độ cứng ma trận ứng suất phần tử 277
14.7 Vec tơ tải phần tử 279
14.8 Phần tử dầm không gian 280
Kết luận chương 14 304
PHỤ LỤC 306
PHỤ LỤC Đặc điểm phản lực liên kết thường gặp 306 PHỤ LỤC Đặc trưng hình học hình phẳng 309 PHỤ LỤC Các số xoắn số mặt cắt thường gặp 312 PHỤ LỤC Thơng số thép cán nóng theo TCVN 314
PHỤ LỤC Bảng hệ số uốn dọc () 321
PHỤ LỤC Dịch chuyển phần tử thẳng 322 PHỤ LỤC Lực đầu phần tử phần tử thẳng 325 PHỤ LỤC Lực đầu phần tử chuyển vị đầu nút
thẳng 328
PHỤ LỤC Phản lực mô men uốn gối đỡ dầm liên tục chuyển vị đơn vị gối đỡ gây 330
PHỤ LỤC 10 Các giá trị tích phân 337
(9)Danh mục kí hiệu
A diện tích tiết diện
D đường kính hình trịn đường kính ngồi tiết diện hình vành khăn
d đường kính tiết diện hình vành khăn
b bề rộng tiết diện hình chữ nhật bề rộng cánh tiết diện chữ I, U
h chiều cao tiết diện hình chữ nhật tiết diện chữ I, U
E mô đun đàn hồi Young
F ma trận độ mềm
ij
f hệ số ma trận độ mềm
z
I , Iy mơ men qn tính trục z trục y tương ứng
I mơ men qn tính cực trục
xy
I , Iyz, I mơ men qn tính tích zx
z
i , iy bán kính quán tính
S ma trận độ cứng (trong chương 14 K )
ij
S hệ số ma trận độ cứng (trong chương 14 Kij)
x
M mô men xoắn
z
M , My mô men uốn mặt phẳng yx mặt phẳng xz tương ứng N lực dọc trục
p vec tơ ứng suất điểm
th
(10)q lực ngang phân bố
Q lực cắt
R phản lực
u
W , W , z Wy mô men chống uốn
x
W mô men chống xoắn
W cơng lực ngồi
U biến dạng biến phân
biến dạng dài tỷ đối biến dạng trượt
hệ số uốn dọc (hệ số giảm ứng suất) độ mảnh
hệ số Poisson mật độ khối lượng ứng suất pháp ch ứng suất chảy tl ứng suất tỉ lệ b ứng suất bền
[] ứng suất pháp cho phép ứng suất tiếp
[] ứng suất tiếp cho phép
{ } ngoặc nhọn vec tơ (ma trận có cột)
(11)Đơn vị đo theo SI
Độ dài mét m
mili mét mm
Diện tích mét vuông m2
mili mét vuông = 10-6 m2 mm2
Thể tích mét khối m3
mili mét khối = 10-9 m3 mm3 Tần số hertz = vòng/giây Hz
Khối lượng kilogram kg
Khối lượng riêng kilogram mét khối kg/m3
Lực newton N
= lực tác động tới vật có khối lượng kg gây gia tốc m/s2, 1N=1kg m/s2
Ứng suất newton mét vuông N/m2 newton mili mét vuông N/mm2
Nhiệt độ độ Celsius oC
Thuật ngữ cho thừa số
109 giga G
106 mega M
103 kilo k
10-3 mili m
10-6 micro
(12)(13)1
NHẬP MÔN
Giới thiệu
Khi tính tốn thiết kế cấu kiện cơng trình hay chi tiết máy phải đảm bảo cho kết cấu có khả thực chức năng, nhiệm vụ không bị phá hủy suốt thời gian tồn Đây lí mơn học Sức bền vật liệu Cơ học kết cấu môn sở chương trình đạo tạo kỹ sư ngành kỹ thuật
Quyển sách trình bày nội dung môn học Sức bền vật liệu Cơ học kết cấu, thực chất gồm hai phần bản:
Phần Sức bền vật liệu nghiên cứu phương pháp, nguyên tắc chung để đánh giá khả chịu tải (tác động học) cấu kiện cơng trình, chi tiết máy Sức bền vật liệu môn khoa học thực nghiệm xây dựng số kết thực nghiệm, giả thiết cho phép đơn giản hóa giữ mơ tả chất Trên sở thực nghiệm, đưa tiêu để đánh giá độ bền, độ cứng độ ổn định chi tiết nói riêng kết cấu nói chung
Phần Cơ học kết cấu trình bày phương pháp phân tích kết cấu dạng khung dàn cách tổng thể
Mục đích mơn học
Tính tốn thiết kế cấu kiện cơng trình, chi tiết máy cho đủ độ bền, đủ độ cứng đủ độ ổn định Thế đủ độ bền, đủ độ cứng ổn định?
(14) Đủ độ cứng: tác động lực, thay đổi kích thước hình học kết cấu khơng vượt giới hạn cho phép Ví dụ quy phạm, tiêu chuẩn thiết kế có quy định độ võng dầm không vượt giá trị quy định, hay chuyển vị ngang cơng trình tháp nước, cột điện không vượt giá trị cho trước
Đủ ổn định: khả đảm bảo trạng thái cân ban đầu, không hình dáng ban đầu
Từ có ba toán bản:
Bài toán kiểm tra độ bền, độ cứng độ ổn định chi tiết cấu kiện
Bài toán thiết kế có nhiệm vụ lựa chọn hình dạng kích thước tiết diện phù hợp cho chi tiết cấu kiện kết cấu
Bài toán xác định tải trọng cho phép đặt lên kết cấu
Đối tượng môn học
Đối tượng nghiên cứu Sức bền vật liệu chi tiết cơng trình Theo kích thước hình học chi tiết phân làm ba loại:
Thanh chi tiết có kích thước theo hai phương (mặt cắt ngang) nhỏ nhiều so với kích thước cịn lại (chiều dài) - Bài tốn chiều Tấm vỏ chi tiết có kích thước theo phương (độ dày) nhỏ
rất nhiều so với hai kích thước cịn lại sàn, tường, vỏ bình chứa xăng, bể chứa dầu, mái vịm - Bài tốn hai chiều
Khối chi tiết có kích thước theo ba phương tương đương nhau, ví dụ móng máy, đất, viên bi – Bài toán ba chiều
Thanh thường gặp phổ biến cơng trình, đối tượng nghiên cứu Sức bền vật liệu
(15)Đối tượng nghiên cứu Cơ học kết cấu hệ Hệ kết cấu hợp thành từ phần tử có kích thước đủ dài so sánh với mặt cắt ngang, dầm, dàn phẳng, dàn không gian, khung phẳng, mạng dầm khung không gian hình
Mạng dầm
Hình Các dạng kết cấu
Dàn hệ liên kết khớp với chịu ngoại lực tác dụng nút Nội lực có lực dọc trục Nếu hệ gồm nằm mặt phẳng gọi dàn phẳng
Khung hệ liên kết cứng với Nội lực mặt cắt gồm có lực dọc trục, hai lực cắt, hai mơ men uốn mô men xoắn Nếu hệ khung gồm nằm mặt phẳng gọi khung phẳng Khi nội lực mặt cắt cịn lực dọc trục, lực cắt mơ men uốn
Dầm liên tục
Dàn phẳng
Dàn không gian Khung không
(16)Mạng dầm hệ nằm mặt phẳng, chịu lực tác dụng vng góc với mặt phẳng Do nội lực lực cắt, mô men uốn mô men xoắn
Các giả thiết quan trọng
Chuyển vị góc xoay kết cấu thay đổi tuyến tính lực tác dụng có nghĩa chúng tỉ lệ với lực tác dụng
Biến dạng nhỏ, biến dạng tỉ đối 1, có nghĩa chuyển vị nhỏ so với kích thước kết cấu suy điểm đặt lực khơng thay đổi q trình biến dạng
Từ hai giả thiết áp dụng ngun lí cộng tác dụng, tác dụng học hệ lực tổng tác dụng học lực hệ, không phụ thuộc vào thứ tự đặt lực Các đáp ứng kết cấu ứng suất, biến dạng chuyển vị tổ hợp lực gây tổng đại lượng tương ứng gây lực riêng biệt
Vật liệu giả thiết liên tục, đồng đẳng hướng
+ Tính liên tục đảm bảo hai điểm vật chất lân cận sau biến dạng lân cận
+ Tính đồng nói lên tính điểm
+ Đẳng hướng có nghĩa tính chất vật liệu không phụ thuộc vào hướng
Vật liệu có tính đàn hồi, tn thủ định luật Hooke Có nghĩa khn khổ tài liệu xét toán vật liệu làm việc miền đàn hồi
Khái niệm siêu tĩnh
Hệ siêu tĩnh lực cần tìm hệ khơng thể tính từ phương trình cân mà cịn cần đến điều kiện hình học
(17)Các ngun lí
Nguyên lí Saint-Venant phát biểu sau “ miền đủ xa
điểm đặt lực khác biệt hiệu ứng hai lực khác tương đương mặt tĩnh học nhỏ ”
Nguyên lí Saint-Venant cho phép thay phân bố ứng suất phức tạp biên phân bố đơn giản hơn, mặt hình học biên đủ ngắn Nói cách khác phân bố ứng suất biến dạng vật thể miền xa nơi đặt lực không thay đổi thay hệ lực cho hệ lực khác tương đương
Có thể hiểu rằng, phần vật có tác động hệ lực cân ứng suất phát sinh tắt dần nhanh điểm xa miền đặt lực Tại điểm vật thể xa điểm đặt lực ứng suất phụ thuộc vào cách tác dụng lực
Nguyên lí cộng tác dụng phát biểu: Một đại lượng nhiều nguyên
nhân gây tổng đại lượng nguyên nhân gây riêng rẽ Nói cụ thể, tác dụng học hệ lực tổng tác dụng học lực hệ
Do đại lượng nội lực, biến dạng, chuyển vị vật thể hệ ngoại lực gây tổng kết tương ứng thành phần ngoại lực gây riêng rẽ
Hệ tiên đề tĩnh học
Tiên đề cân vật rắn Điều kiện cần đủ để vật rắn cân
bằng tác dụng hai lực hai lực có đường tác dụng, cường độ ngược chiều – tiêu chuẩn cân vật tự tác dụng hệ lực đơn giản
Tiên đề thêm bớt cặp lực cân Tác dụng hệ lực
không thay đổi thêm (bớt) hai lực cân Tiên đề cho quy định phép biến đổi tương đương lực
(18) Tiên đề hình bình hành lực Hai lực tác dụng điểm tương đương với
một lực tác dụng điểm có vec tơ lực vec tơ chéo hình bình hành có hai cạnh hai vec tơ lực lực cho
Tiên đề tác dụng phản tác dụng Lực tác dụng lực phản tác dụng
giữa hai vật có cường độ, đường tác dụng hướng ngược chiều
Tiên đề hoá rắn Một vật rắn biến dạng cân tác dụng
hệ lực hố rắn trạng thái cân
Tiên đề thay liên kết Vật khơng tự cân xem vật
tự cân bằng cách giải phóng tất liên kết thay tác dụng liên kết giải phóng phản lực liên kết thích hợp
Nội dung
Nội dung giáo trình gồm ba phần: nhập mơn, tốn thanh, phương pháp tính tốn hệ phụ lục Cụ thể gồm chương sau:
Nhập môn
+ Chương Các khái niệm
+ Chương Quan hệ ứng suất biến dạng + Chương Các lí thuyết bền
Phần Các toán
+ Chương Các đặc trưng hình học hình phẳng + Chương Thanh thẳng chịu kéo nén tâm + Chương Thanh thẳng chịu xoắn
+ Chương Thanh thẳng chịu uốn + Chương Thanh chịu lực phức tạp + Chương Ổn định thẳng
Phần Các phương pháp tính tốn hệ + Chương 10 Hệ siêu tĩnh
+ Chương 11 Phương pháp lực
(19)+ Chương 13 Phương pháp công ảo
+ Chương 14 Phương pháp phần tử hữu hạn – sơ lược Các phụ lục
(20)8
CHƯƠNG
Các khái niệm
1.1 Lực tác dụng
Ngoại lực
Định nghĩa Ngoại lực lực tác động môi trường bên ngồi (sóng, gió ) hay vật thể khác tác dụng lên vật thể xét (lực bánh xe tác động lên đường ray, búa đập )
Ngoại lực gồm:
tải trọng tác động lực chủ động
phản lực liên kết lực thụ động phát sinh liên kết có tác dụng tải trọng
Tải trọng phân làm hai loại theo cách thức tác dụng: lực tập trung lực hay mô men tác động vào điểm
lực phân bố lực trải thể tích, diện tích hay đường Tải trọng phân loại thành:
tải trọng tĩnh (được coi tĩnh tăng chậm từ khơng đến giá trị giữ nguyên giá trị đó), bỏ qua lực qn tính trình tăng lực
tải trọng động thay đổi theo thời gian, khơng thể bỏ qua thành phần quán tính
Liên kết phản lực liên kết
Vật thể chịu tác động tải trọng truyền tác động sang chi tiết tiếp xúc với chúng Ngược lại, chi tiết tác động lên vật thể xét phản lực Vật thể chịu liên kết làm cho chuyển động bị ngăn cản Khi xuất phản lực, có phương ứng với phương chuyển động bị ngăn cản
(21) Gối tựa di động (liên kết đơn) - ngăn cản chuyển động thẳng dọc theo liên kết Phản lực lực R Trên hình 1.1a hai cách biểu diễn liên kết gối tựa di động
Gối tựa cố định (liên kết khớp) – ngăn cản chuyển động thẳng Phản lực phân hai thành phần Rx Ry theo phương ngang phương đứng
tương ứng (hình 1.1b)
Liên kết ngàm: ngăn cản chuyển động (cả quay thẳng) Phản lực gồm lực R chia làm hai thành phần Rx Ry mơ men chống
xoay (hình 1.1c)
a Gối tựa di động hay liên kết đơn
b Gối tựa cố định hay liên kết khớp
c Liên kết ngàm
Hình 1.1 Biểu diễn liên kết thường gặp trường hợp phẳng Trong phụ lục cho bảng đặc điểm phản lực liên kết thường gặp
1.2 Nội lực
Giữa phần tử vật chất ln có tương tác Tại thời điểm ban đầu, lực tương tác đảm bảo khơng thay đổi hình dạng vật thể Dưới tác động
Ry Rx
Rx M
Ry
(22)của ngoại lực, vật biến dạng kéo theo thay đổi lực tương tác bên vật thể
Công nhận giả thiết vật thể trạng thái tự nhiên có nghĩa trạng thái cân ban đầu chưa có tác động bên ngồi, nội lực hệ khơng có định nghĩa nội lực lực tương hỗ phần tử vật chất vật thể xuất vật rắn bị biến dạng tác động ngoại lực, phần lực thêm vào trường lực có sẵn
Phương pháp mặt cắt
Để xem xét, biểu diễn xác định nội lực dùng phương pháp mặt cắt Xét vật thể cân tác động hệ lực, tưởng tượng mặt S chia vật thể làm hai phần A B (hình 1.2a) Xét cân phần, ví dụ phần A Ngồi ngoại lực đặt vào A phải đặt hệ lực tương tác phần B đặt mặt cắt S, hệ lực tương tác nội lực mặt cắt xét (hình 1.2b)
Hình 1.2 Phương pháp mặt cắt
Nội lực mặt cắt ngang
Hệ lực tương tác mặt cắt ngang S thu gọn trọng tâm O nó, nhận vec tơ R vec tơ mơ men M Vec tơ lực R vec tơ mơ men M nói chung có phương chiều khơng gian Chọn hệ tọa độ Đề với trục x vng góc với mặt cặt ngang S, trục y z nằm
mặt phẳng chứa S Chiếu vec tơ lực R vec tơ mô men M lên hệ tọa độ chọn thành phần nội lực mặt cắt ngang (hình 1.3):
N thành phần trục x, gọi lực dọc trục, x
Qy, Q thành phần trục y z gọi lực cắt, z
M thành phần mô men quay quanh trục x, gọi mô men xoắn, x
P1
Pi
Pi+1
Pn
O
P1
Pi
b a
S B
S
A
R A
(23) My, M hai thành phần mô men quay quanh trục y trục z (tác dụng z
trong mặt phẳng Oxz Oxy), gọi mô men uốn
Hình 1.3 Nội lực mặt cắt ngang
x
N , Qy, Q , z M , x My M sáu thành phần nội lực mặt cắt ngang, z
được xác định từ điều kiện cân phần xét dạng sáu phương trình cân sau
0
i ix
x P
N ; 0
i iy
y P
Q ; 0
i iz
z P
Q
0
i
i x
x m P
M ; 0
i
i y
y m P
M ; 0
i
i z
z m P
M
trong Pi lực tác dụng vào phần xét (ví dụ phần A),
ix
P , Piy, P hình chiếu vec tơ lực iz Pi
lên trục x, trục y trục z tương ứng,
i x P
m , my Pi , mz Pi mô men lực Pi lấy trục x, trục y, trục z tương ứng
Nếu xét phần B thu sáu thành phần nội lực có trị số ngược chiều với nội lực tương ứng phần A
Nội lực mặt cắt ngang toán phẳng
Thanh đặc trưng tiết diện (mặt cắt ngang) trục Xét cân mặt phẳng chứa trục ngoại lực nằm mặt phẳng xz
Áp dụng phương pháp mặt cắt, nội lực tiết diện có thành phần với quy ước dấu biểu diễn hình 1.4
Nx
Qy
A S
My
O
Qz
P1
Pi
Mz
(24) Lực dọc trục N vuông góc với tiết diện, dương đoạn xét chịu
kéo,
Lực cắt Q vuông góc với tiếp tuyến trục thanh, dương đoạn
xét có xu hướng quay theo chiều kim đồng hồ tác động lực cắt, Mô men uốn M gây uốn mặt phẳng xz dương đoạn xét bị
cong võng xuống tác động mô men
Hình 1.4 Quy ước dấu nội lực
Quan hệ vi phân nội lực tải trọng phân bố
Xét chịu uốn tác dụng tải phân bố q x hình 1.5a
, Hình 1.5 Phân tố chịu tải phân bố
Xét đoạn phân tố dx, kí hiệu lực cắt mơ men uốn mặt cắt bên
bên trái Qtr Q, Mtr M, cịn lực cắt mơ men uốn mặt cắt bên phải Qph QdQ Mph MdM (hình 1.5b) Với quy ước trục y phương với lực cắt trục z trục vuông góc hai trục x, y tạo thành hệ trục vng góc thuận, viết phương trình cân cho đoạn phân tố
Tổng lực cắt (hình chiếu lực lên trục y) Q
Q M M
N N
q(x)
dx Q
M q(x)
dx
a b
dQ Q
(25)0
Qy Qqdx(QdQ)0 q
dx dQ
(1.1)
Tổng mô men lực trục z
0
Mz 2
2
M Qdx qdx (M dM)
Q dx dM
, q
dx dQ dx
M d
2
(1.2)
Ta có nhận xét:
Đạo hàm bậc theo trục x mô men uốn lực cắt
Đạo hàm bậc hai theo trục x mô men uốn đạo hàm bậc theo
trục x lực cắt cường độ lực phân bố
Bằng cách làm tương tự có quan hệ nội lực tải trọng phân bố trường hợp chịu kéo tác dụng tải trọng phân bố dọc p x trường hợp chịu xoắn tác dụng mô men xoắn phân bố mx x
Đạo hàm lực dọc N cường độ tải trọng phân bố dọc:
) (x
p dx dN
(1.3)
Đạo hàm mô men xoắn Mx cường độ mô men xoắn phân bố:
) (x
m dx dM
x x
(1.4)
Quan hệ bước nhảy biểu đồ nội lực tải trọng tập trung
Cho chịu lực ngang tập trung F0, mô men tập trung M0 Xét phân tố dx chứa điểm có đặt tải tập trung (hình 1.6), viết phương trình cân cho đoạn phân tố đó:
0
Qy QQph Qtr F0,
0
(26)ở Q ,ph Qtr,M ,ph Mtr lực cắt mô men uốn bên phải bên trái đoạn phân tố mà có điểm đặt lực cắt mô men uốn tập trung
Hình 1.6 Phân tố có đặt tải tập trung Nhận xét:
Tại tiết diện đặt lực tập trung có bước nhảy
Trị số bước nhảy trị số lực tập trung Bước nhảy lực cắt dương lực hướng lên
Bước nhảy mô men dương mô men quay theo chiều kim đồng hồ Quan hệ bước nhảy biểu đồ với tải trọng dọc trục tập trung P0 mô men xoắn tập trung Mx0 :
0
P N N
N ph tr
, (1.6)
0 x tr x ph x
x M M M
M
, , , (1.7)
ở Nph,Ntr(Mx,ph,Mx,tr) lực dọc trục (mô men xoắn) bên phải bên trái đoạn phân tố mà có điểm đặt lực dọc trục (mơ men xoắn) tập trung
Biểu đồ nội lực
Biểu đồ nội lực đồ thị biểu diễn biến thiên nội lực tiết diện dọc theo trục Từ đó, tìm tiết diện có nội lực lớn để bố trí vật liệu thích hợp Để vẽ biểu đồ nội lực, cho mặt cắt biến thiên dọc trục x, viết biểu
thức giải tích nội lực, vẽ đồ thị hàm số theo biến x Cụ thể theo
các bước sau:
Xác định phản lực liên kết từ điều kiện tĩnh học Thay liên kết phản lực liên kết
Mtr Mph
dx F0
M0 Qtr
(27) Phân thành đoạn cho khơng có bước nhảy nội lực đó, có nghĩa mặt cắt phân chia đoạn đặt điểm có đặt lực tập trung Thiết lập biểu thức giải tích nội lực đoạn
hàm biến x vẽ đồ thị hàm đoạn
Ví dụ 1.1 Biểu đồ lực dọc N, lực cắt Q mô men uốn M cho ví dụ
hình 1.7a vẽ hình 1.7b, 1.7c 1.7d
Trước tiên xác định phản lực từ điều kiện cân cho hệ lực phẳng phương trình:
,
, ,
3
3
4
3
0
3 1 3
3 3
1
2 2
2
P P R P P R R
P P R bP
bP bR
P R R
P
mà P1 3P, P3 P2 P nên phản lực:
3
1 P
R , R 2 P, R 3 10P
Thay liên kết phản lực, sau sang bước phân đoạn mặt cắt có đặt lực tập trung Như mục nhận xét điểm đặt lực tập trung có bước nhảy nội lực, cho đoạn viết phương trình biến thiên thành phần nội lực
Xét mặt cắt 1-1 đoạn từ bên trái đến điểm đặt lực P 1 P Đặt 2
nội lực N, Q, M vào mặt cắt cách đầu trái đoạn x 0x2b xét cân đoạn nhận hệ phương trình:
0
0 1 1
2
R Q R M Rx
N ; ;
Giải hệ phương trình nhận nội lực:
P
N , Q 2P 3, M 2Px
Tương tự xét mặt cắt 2-2 đoạn từ bên phải đến điểm có gối di động Đặt nội lực N, Q, M vào mặt cắt cách đầu phải đoạn x 1 0x 1 b xét cân đoạn nhận hệ phương trình:
0
0 3 3 1
Q P M P x
(28)Giải hệ phương trình nhận nội lực:
N , Q P, M Px1
Đoạn áp dụng trình tự tương tự nhận biểu đồ lực dọc trục, lực cắt mơ men, biểu diễn hình 1.7b, 1.7c 1.7d tương ứng
Hình 1.7 Biểu đồ nội lực dầm: a Dầm chịu lực; b Biểu đồ lực dọc N; c Biểu đồ lực cắt Q; d Biểu đồ mô men M
Nhận xét
Biểu đồ lực dọc trục số đoạn thứ có bước nhảy P
điểm đặt lực P 2 P, hai đoạn lại lực dọc trục không
Biểu đồ lực cắt số theo đoạn, có bước nhảy 3P điểm
đặt lực P1 3P 10P gối đỡ bên phải
Biểu đồ mô men đường bậc nhất, điểm có đặt lực cắt mơ men đổi hướng độ dốc
Ví dụ 1.2 Vẽ biểu đồ nội lực hệ khung hình 1.8a
Tương tự ví dụ 1.1 phản lực gối đỡ tìm từ ba phương trình cân phương trình mơ men khơng khớp nối:
3 2P/
3
1
P R
P R 2
3 4Pb
3 7P
3 10
3
P R
b
2 b b
Pb
P P
P
P13 P P
3
P P 2
1
Q M
N
Q M N
2
2
a
b
c
(29)3
4
qb R
R ,
2
3
qb R
R
Lực cắt đoạn AB phản lực R Lực cắt đoạn ED phản 1
lực R Trên đoạn BC, lực cắt mặt cắt bên phải điểm B bên trái điểm C 4
tính theo cơng thức:
R2cos R1sin , Q R2 2qb cos R1sin
QBph Ctr
Trên đoạn CD, lực cắt lại mặt cắt bên trái điểm D phản lực R ,còn mặt 3
cắt bên phải C tính theo cơng thức
qb R QCph 3
Hình 1.8 Biểu đồ nội lực cho hệ khung: a Hệ khung phẳng; b Biểu đồ mô men M; c Biểu đồ lực cắt Q
Từ quan hệ vi phân mô men uốn lực cắt (1.2), có nhận xét:
Biểu đồ mô men đoạn AB đoạn DE đường bậc theo công thức:
A E
B
C
D
R4 R3 R1
R2
b
2b b
q
b/2
qb
67
qb
67
qb
29
qb
5
qb
65
qb
5
b b
2
b
2
b
8
qb
8 2b2 q
2 67 qb
2 qb
2 1.qb
2 67 qb
a
b c
C B
B’
H
(30)b x x
R
MAB 1 , 0 MDE R4x, 0x1,5b
Còn hai đoạn BC CD chịu lực phân bố, lực cắt đường bậc biểu đồ mô men đường bậc hai Mô men điểm B điểm D tính từ cơng thức trên:
67 0, b MB
x x 1,5bMD 1,
mô men điểm C Dựng đường vng góc BB’ với BC có cao độ 0,67 nối B’ với C đường thẳng, đoạn B’C hạ xuống tới H đoạn bằng:
2
2
2
qb b
q ql
Nối ba điểm B’, H C đường cong, nhận biểu đồ mô men đoạn BC Bằng cách tương tự, có biểu đồ mô men CD
1.3 Biến dạng chuyển vị
Các khái niệm chung
Chuyển vị thay đổi vị trí điểm, hay góc quay đoạn thẳng nối hai điểm tác động ngoại lực Dưới tác dụng lực bên ngồi diểm M vật thể chuyển đến vị trí M1 véc tơ MM1 biểu diễn
chuyển vị điểm M (hình 1.9)
Trong khuôn khổ môn học, xét chuyển vị làm thay đổi vị trí tương đối điểm vật chất vật thể, mà không xét đến chuyển vị làm vật chuyển động vật rắn tuyệt đối
Hình 1.9 Chuyển vị điểm
M
1 M
v
u ds
1 ds
dV
(31)Chuyển vị điểm vật chất vật thể không nhau, dẫn đến thay đổi yếu tố hình học đoạn thẳng, góc hai đoạn thẳng Chính thay đổi làm hình dáng kích thước vật thể thay đổi Từ có định nghĩa: biến dạng thay đổi hình dạng, kích thước vật thể tác dụng tải trọng
Biến dạng lân cận điểm tập hợp hàm tọa độ xác định độ dãn đoạn vật chất vô nhỏ qua điểm cho trước xác định thay đổi góc hai đoạn vật chất vơ bé Dưới số khái niệm:
Biến dạng dài tuyệt đối ds đoạn chiều dài vô bé ds qua điểm xét theo phương lượng thay đổi chiều dài đoạn
ds ds ds
1
Biến dạng dài tỷ đối theo phương đoạn ds tỷ số ds /ds
ds ds ds ds
ds
Biến dạng góc uv mặt phẳng Muv lượng thay đổi góc vng tạo hai tia Mu Mv qua điểm xét
2
uv
Biến dạng thể tích tỷ đối lượng thay đổi đơn vị thể tích qua điểm xét
dV dV dV
Các đại lượng ,, đại lượng không thứ nguyên
Biến dạng vật thể phụ thuộc vào vật liệu độ lớn tải trọng tác dụng Biến dạng có tích chất sau:
(32) Biến dạng dẻo (hay gọi biến dạng dư) biến dạng lại sau trình cất tải Khi tải trọng tác động lên vật thể chưa vượt qua giá trị cho phép xảy biến dạng đàn hồi Nhưng tải trọng tác động vượt qua giá trị cho phép xuất biến dạng dẻo vật thể, chí vật thể bị phá hủy
Biến dạng nhớt biến dạng thay đổi theo thời gian sau đặt tải hay sau cất tải
Trong khuôn khổ môn học này, xét đến ứng xử vật liệu biến dạng giai đoạn đàn hồi
Chuyển vị biến dạng
Xét chuyển vị xét thay đổi vị trí tiết diện trước sau bị biến dạng Chuyển vị gồm chuyển động tịnh tiến trọng tâm tiết diện chuyển động quay hình phẳng tiết diện quanh trọng tâm
Biến dạng thay đổi kích thước hình dáng tiết diện, thay đổi chiều dài, độ cong, độ xoắn trục
Thông thường sức bền vật liệu quan tâm chủ yếu đến biến dạng trục Theo biến dạng trục phân thành trường hợp sau: Thanh chịu kéo nén: trục không bị cong, tiết diện
chuyển động tịnh tiến dọc trục thanh, trục bị co lại giãn
Thanh chịu cắt: trục không thay đổi độ cong bị gián đoạn, tiết diện trượt so với không biến dạng
Thanh chịu xoắn: trục không bị cong không thay đổi độ dài, tiết diện khơng có chuyển vị tịnh tiến có chuyển vị quay quanh trọng tâm mặt phẳng tiết diện
Thanh chịu uốn: trục bị cong, độ dài trục khơng đổi Khi tồn chuyển vị tịnh tiến chuyển vị quay tiết diện
(33)Kết luận chương
Chương trình bày khái niệm chung như:
Lực tác dụng: Đưa khái niệm ngoại lực, phân biệt lực tác động phản lực liên kết, phân loại lực tập trung lực phân bố, định nghĩa tải trọng tĩnh tải trọng động
Nội lực: Đưa định nghĩa nội lực, khái niệm nội lực mặt cắt ngang, trình bày phương pháp mặt cắt xác định nội lực, quy ước dấu nội lực mặt cắt cách biểu diễn nội lực biểu đồ
(34)22
CHƯƠNG
Quan hệ ứng suất biến dạng
2.1 Trạng thái ứng suất
Vec tơ ứng suất
Dùng phương pháp tiết diện để nghiên cứu trạng thái ứng suất vật thể biến dạng (hình 2.1a) Xét phân tố diện tích S chứa điểm P có pháp tuyến bên vật thể Giả thiết nội lực tác dụng lên diện tích S đưa lực tương đương P ngẫu lực mô men p M Khi S tiến tới (vẫn chứa P)
p
tiến tới dp /dS M / S tiến tới không Đại lượng
dS dp S p p
S
0
lim (2.1)
là vec tơ ứng suất phần tử tiết diện qua điểm P có pháp tuyến Vec tơ ứng suất biểu thị nội lực tác dụng lên đơn vị diện tích tiết diện qua điểm vật thể biến dạng
Vec tơ ứng suất chiếu lên phương pháp tuyến tiếp tuyến với mặt cắt (hình 2.1b), có biểu diễn
u v
p (2.2)
a b
Hình 2.1 Vec tơ ứng suất
Thứ nguyên ứng suất lực/chiều dài2, đơn vị thường dùng N/m2 (Pa – Pascal), MN/m2 (MPa – Mega Pascal)
A
B S
u
v
p A
(35)Thành phần theo phương pháp tuyến, kí hiệu , gọi ứng suất pháp Thành phần theo phương tiếp tuyến, kí hiệu , gọi ứng suất tiếp Khi đó, độ lớn vec tơ ứng suất :
2
p
Quy ước dấu ứng suất sau (hình 2.2):
Ứng suất pháp gọi dương chiều chiều dương pháp tuyến mặt cắt Ứng suất pháp kí hiệu với (hoặc hai) số, ví dụ (hoặc x xx) chiều pháp tuyến
Ứng suất tiếp gọi dương pháp tuyến mặt cắt quay 90o theo chiều kim đồng hồ trùng với chiều ứng suất tiếp Ứng suất tiếp kí hiệu với hai số, ví dụ xy, , số thứ chiều xz
của pháp tuyến, số thứ hai chiều song song với ứng suất tiếp
Hình 2.2 Quy ước dấu số thành phần ứng suất
Tenxơ ứng suất
Để xét trạng thái ứng suất điểm, xét phân tố đủ nhỏ điểm chiếu vec tơ ứng suất p lên hệ tọa độ Đề Khi hình chiếu p
lên trục tọa độ, kí hiệu X, Y, Z, biểu diễn qua vec tơ pháp tuyến
l,m,n
sáu thành phần , x y, , z xy yx, yz zy xz zx (hình 2.3):
, ,
n m
l Z
n m
l Y
n m l
X
zz zy
zx
yz yy
yx
xz xy
xx
(2.3)
x
z
y
x
xy
xz
x>0
xy>0
x
(36)Sáu thành phần ứng suất khái quát hóa tình trạng chịu lực điểm Bằng cơng thức (2.3) sáu thành phần ứng suất biểu diễn vec tơ ứng suất mặt cắt qua điểm đó, chúng biểu diễn trạng thái ứng suất điểm (hình 2.3)
Hình 2.3 Thành phần ứng suất phân tố
Như sáu thành phần ứng suất (ba ứng suất pháp ba ứng suất tiếp) xác định hệ tọa độ lựa chọn Theo định nghĩa chúng thành phần ten xơ bậc hai đối xứng gọi ten xơ ứng suất Có thể nói, trạng thái ứng suất biểu diễn ten xơ ứng suất bậc hai đối xứng, kí hiệu theo cách sau đây:
z zy zx yz y yx xz xy x ij 33 23 31 23 22 21 13 12 11
, ij ji (2.4)
Theo định nghĩa ten xơ, lựa chọn hệ tọa độ cho thành phần ứng suất tiếp không Hệ tọa độ xác định hướng ứng suất, tìm từ hệ phương trình:
ij ij i 0 (2.5)
Viết dạng ma trận:
n m l z zy zx yz y yx xz xy x
,
n m l
(2.5a)
(37)Nói cách khác, điểm tìm ba mặt vng góc mặt chính, có pháp tuyến hướng
Ứng suất pháp mặt ứng suất chính, kí hiệu 1, 2, 3 quy ước 1 2 3 theo giá trị đại số Ứng suất xác định từ phương trình:
2
ij ij J J J
Det , (2.6)
trong J , 1 J , 2 J bất biến ten xơ ứng suất bậc hai có dạng: 3
tb ii
z y x
J1 12 33 ,
1 2 2 3 3 1,
2 ij ij jj ii y xy xy x x zx zx z z yz yz y J
3
ij z yz xz yz y xy xz xy x Det
J (2.7)
Ở mặt phẳng tạo với hướng góc 45 có trạng thái ứng suất mà ứng suất tiếp đạt cực trị Chúng có giá trị tính qua ứng suất sau :
, , 2 2 3 (2.8)
Phân loại trạng thái ứng suất
Phân loại trạng thái ứng suất dựa trường hợp khác ứng suất chính:
Trạng thái ứng suất khối ba ứng suất khác khơng: ba mặt có ứng suất pháp 1 0, 2 0, 3 0 (hình 2.4a)
(38) Trạng thái ứng suất đơn ba ứng suất khác khơng: hai mặt có ứng suất pháp khơng, mặt cịn lại ứng suất pháp khác khơng 1 0, 2 0, 3 0 (hình 2.4c)
Trạng thái ứng suất trượt túy trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt tìm hai mặt vng góc, hai mặt có ứng suất tiếp, khơng có ứng suất pháp (hình 2.4d)
Hình 2.4 Các trạng thái ứng suất (TTƯS)
Trong toán gặp chủ yếu trạng thái ứng suất phẳng, nên xem xét kỹ trạng thái ứng suất
Trạng thái ứng suất phẳng
Trạng thái ứng suất phẳng định nghĩa trạng thái đảm bảo điều kiện ứng suất pháp mặt vng góc với trục z không,
0
z zx zy (2.9)
Chú ý: Trong thực tế trạng thái ứng suất phẳng (2.9) khó thực Thay vào đó, thường xét trạng thái ứng suất phẳng suy rộng Đó trạng thái ứng suất mỏng độ dày h chịu lực song song với mặt phẳng bản, đó:
0
xz ; yz 0; z h 2, zz 0 nơi (một cách gần đúng)
1
2
3
1
a TTƯS khối b TTƯS phẳng
d TTƯS trượt túy
c TTƯS đơn
1
(39)Ứng suất mặt vng góc với trục x trục y gồm có x,y,xy
yx
Ten xơ ứng suất ten xơ đối xứng nên xy yx (hình 2.5)
Hình 2.5 Trạng thái ứng suất phẳng
Xét cân phần phân tố bị cắt mặt cắt nghiêng góc Kí hiệu u, v pháp tuyến tiếp tuyến với mặt nghiêng (hình 2.6) Sử dụng quy ước dấu ứng suất hình chiếu diện tích dA lên trục x trục y:
dAcos
dAx , dAy dAsin,
ta viết điều kiện cân phần phân tố chiếu lên trục u v:
0
U udA xysin xcos dAx yx cos ysin dAy
0
V uvdA xycos xsin dAx yxsin ycos dAy (2.10)
Vì xy yx từ điều kiện cân (2.10) tìm
2
2
2
2
sin cos
cos sin sin
cos
xy y
x y x
xy y
x u
2
2 sin xycos
y x
uv (2.11)
Theo định nghĩa mặt - nơi có ứng suất pháp cịn ứng suất tiếp khơng, tìm mặt cắt nghiêng mà uv 0, từ (2.11) tìm góc :
y x
xy
tg
2 (2.12)
x
y
xy
x
y
xy
yx
yx
x
y
xy
x
y
xy
yx
(40)Hình 2.6 Ứng suất mặt nghiêng
Thay góc vừa tìm vào (2.11) có ứng suất chính:
2 2 2 xy y x y x
max(min) ( ) (2.13)
Tìm mặt cắt nghiêng mà ứng suất tiếp đạt cực trị từ điều kiện:
0 2
2
2 sin cos xy y x uv d d max(min) 2 0 tg tg xy y x
Điều có nghĩa góc 20 vng góc với góc 2max(min), mặt cắt nghiêng mà ứng suất tiếp đạt cực trị tạo góc 45 với hướng
2 2 max max(min)
x y xy (2.14)
Các thành phần ứng suất mặt nghiêng biểu diễn qua ứng suất chính: 2
1cos sin
u
2 cos uv
Từ cơng thức (2.11) có:
2 2 2 xy y x uv y x
u
(41)Đây phương trình đường trịn hệ tọa độ , u có tâm C tọa độ uv
0,5x y ,0 bán kính R 0,25x y2 2xy Các điểm đường tròn biểu diễn ứng suất pháp ứng suất tiếp mặt nghiêng gọi đường tròn Mohr
Dựng đường trịn Mohr cho điểm có trạng thái ứng suất , x y, xy
sau:
Dựng hệ trục tọa độ ( , u ), trục uv lấy hai điểm C1 C2 có tọa độ u y, tương ứng, trung điểm C đoạn C1C2 tâm đường x
tròn Mohr Từ tâm C vẽ đường trịn có bán kính R 0,25x y2 xy2 Điểm A, B hai điểm đường tròn cắt trục biểu diễn trạng thái ứng suất u
tại mặt với giá trị ứng suất pháp cực trị max,min uv 0 (hình 2.7)
Hình 2.7 Đường trịn Morh trạng thái ứng suất phẳng
Điểm M, N hai điểm đường tròn cắt đường thẳng qua tâm C song song với trục biểu diễn trạng thái ứng suất mặt có giá trị ứng suất tiếp uv cực trị
2
min max max(min)
ứng suất pháp
2 ) ( x y u
(hình 2.7)
y
x
u
B
A
max
xy
min
u
uv
uv
2
y x
max
min
D M
N C
(42) Điểm D điểm biểu diễn trạng thái ứng suất mặt nghiêng góc so với tọa độ ban đầu
Đối với trạng thái ứng suất khối, với quy ước 1> 2 >3 dựng đường tròn Mohr (hình 2.8)
Đường trịn nhỏ qua hai điểm 3 2 có tâm điểm A10,52 3,0, bán kính 0,52 3 biểu diễn ứng suất pháp ứng suất tiếp mặt phẳng song song với phương thứ
Hình 2.8 Ba đường tròn Morh trạng thái ứng suất khối
Đường tròn qua hai điểm 2 1 có tâm điểm A20,51 2,0, bán kính 0,512 biểu diễn ứng suất pháp ứng suất tiếp mặt phẳng song song với phương thứ ba
Đường tròn lớn qua hai điểm 3 1 có tâm điểm A3
0,513 ,0, bán kính 0,513 biểu diễn ứng suất pháp ứng suất tiếp mặt phẳng song song với phương thứ hai Đường trịn lớn đường trịn giới hạn hay đường trịn
Ba điểm B1, B2 B3 biểu diễn trạng thái ứng suất mặt nghiêng song song với mặt thứ nhất, thứ hai thứ ba nghiêng 45 với hai mặt lại Tại ứng suất tiếp đạt cực trị:
1
B2
2
O
3
u
3
1
3
2
1
2
uv
2
3 1
2
2
3
B3 B1
A2
(43)2 1 B A , 2 B A , 2 3 B A ,
còn ứng suất pháp mặt bằng:
2 OA , OA , 2 OA
Quan hệ ứng suất nội lực
Ứng suất điểm mặt cắt ngang chiếu lên thành thành phần , x xy, Khi có quan hệ ứng suất nội lực xz mặt cắt sau:
A xdA
N ;
A xy
y dA
Q ;
A xz z dA Q , A xy xz
xo y z dA
M ;
A x y z dA
M ;
A x z y dA
M
2.2 Trạng thái biến dạng
Ten xơ biến dạng
Với giả thiết biến dạng nhỏ, quan hệ biến dạng chuyển vị (u,v,w)
chính hệ thức Cauchy
x u xx , y v yy , z w zz , y u x v xy , z v y w yz , x w z u zx
(2.15)
Ý nghĩa vật lí biến dạng:
xx, yy, zz độ dãn dài tương đối sợi vật chất biến dạng theo trục,
2xy, 2yz, 2zx cosin góc hai phần tử đường sau biến dạng, độ biến dạng trượt
(44) z zy zx yz y yx xz xy x ij 33 23 31 23 22 21 13 12 11
, ij ji (2.16)
Cũng tìm hướng hướng có thành phần tenxơ đường chéo khác khơng từ phương trình
ijij i 0 (2.17)
Biến dạng xác định từ phương trình:
2
ij ij Ε Ε
Det , (2.18)
trong
e ii
z y
x
1 1 2 3 ,
2 3 1
2
ii jj ij ij
y xy xy x x zx zx z z yz yz y , 3
ij z yz xz yz y xy xz xy x Det (2.19)
là bất biến ten xơ biến dạng Biến dạng trượt biểu diễn bằng:
2 3
1
(2.20)
Biến dạng góc định nghĩa:
xy xy
, yz 2yz, zx 2zx (2.21)
2.3 Định luật Hooke
Khi vật liệu đồng nhất, đẳng hướng biến dạng vật thể đàn hồi tuyến tính có trị số nhỏ định luật Hooke biểu diễn quan hệ ứng suất biến dạng:
x y z
x
E
(45)
y x z
y
E
,
z y x
z
E
,
xy xy E
, yz yz
E
, zx zx
E
,
G xy xy , G yz yz , G zx zx
, (2.22)
trong đó E mơ đun đàn hồi, hệ số Poisson mô đun trượt G tính qua E
và cơng thức
E
G (2.23)
Ngược lại, biểu diễn ứng suất qua biến dạng:
e x x E E 1 ,
e y y E E 1 ,
e z z E E 1 , xy xy
xy G G
, yz 2Gyz Gyz, zx 2Gzx Gzx (2.24) Quan hệ (2.22) (2.24) định luật Hooke viết dạng ma trận:
e , (2.25)
trong {} véc tơ sáu thành phần biến dạng:
T
zx yz xy z y
x
, , , , , (2.26)
và {} véc tơ sáu thành phần ứng suất:
T
zx yz xy z y
x
(46)cịn [e] ma trận vng đối xứng có dạng 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 E
e (2.28)
Từ phương trình (2.25) biểu diễn ứng suất qua biến dạng tức dạng ma trận phương trình (2.24):
d , (2.29)
trong ma trận [d] nghịch đảo ma trận [e] ma trận vuông đối xứng 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 E
d (2.30)
Các ma trận [d] [e] gọi ma trận hệ số đàn hồi độ cứng độ mềm tương ứng
Hệ thức số đàn hồi
Ngoài môđun đàn hồi Young E, hệ số Poisson người dùng số đàn hồi khác hệ số Lame , mơđun nén thể tích K mơ đun trượt G
Ở xem xét mô đun nén thể tích tính qua mơ đun đàn hồi Young E hệ số Poisson
Mơ đun nén thể tích K
Xét trường hợp nén phía:
(47)Đặt vào phương trình (2.24) lấy tổng ba phương trình
p
E
e
2
1 e K e
E
p
Vậy E
K (2.31)
Trong bảng 2.1 liên hệ số đàn hồi khác Bảng 2.1 Liên hệ số đàn hồi
Hằng
số Đơi
đàn
hồi , G K, G G, E, E,G
K G
3 2G
E
E G G E G
G= G G G
1
2
E
G
K G
3
K
2G
1 2
3
E
G E
EG
3
E
G G G G K KG
1
2G E E
G
2 K G
G K 2
2G E
Định luật Hooke với hai số G K
Với hai số mơ đun nén thể tích K mơ đun trượt G có biểu diễn
của định luật Hooke:
K G G x x 2 , K G G y y 2 , K G G z z 2
, xy xy
G
2
, yz yz
G
2
, zx zx
G
2
(2.32)
x e
x K G G
(48)z e
z K G G
, xy 2Gxy Gxy,
yz yz
yz Ge G
, zx 2Gezx Gzx (2.33)
Ma trận độ mềm [e] biểu diễn qua số K G sau:
K K K G K G K G K G G K G K G K G G KG e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 2 0 3 2 (2.34)
và tương tự ma trận độ cứng [d] có dạng:
G G G G K G K G K G K G K G K G K G K G K d 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 3 0 3 3
(2.35)
Kết luận chương
Trong chương trình bày trạng thái ứng suất trạng thái biến dạng Trạng thái ứng suất phẳng trình bày kỹ tốn chủ yếu gặp trạng thái ứng suất Giới thiệu cách biểu diễn trạng thái ứng suất phẳng đường tròn Morh Mở rộng cách biểu diễn đường tròn Morh cho trạng thái ứng suất khối
Quan hệ ứng suất biến dạng cho vật liệu đồng nhất, đẳng hướng ứng xử đàn hồi tuyến tính trình bày mục 2.3 Định luật Hooke cho vật liệu ứng xử tuyến tính biểu diễn dạng ma trận Giới thiệu ma trận độ mềm độ cứng vật liệu Định luật Hooke không biểu diễn qua hai số mô đun đàn hồi Young E hệ số Poisson ,bmà cịn biểu
diễn qua số khác hệ số Lame , mô đun nén thể tích K mơ
(49)37
CHƯƠNG
Các lí thuyết bền
3.1 Thế biến dạng đàn hồi
Công thực hệ lực tác động lên kết cấu lưu giữ kết cấu đàn hồi dạng lượng biến dạng đảm bảo khơng có cơng bị thất dạng động gây dao động hay nhiệt làm tăng nhiệt độ Nói cách khác, lực tác động từ từ để ứng suất không vượt qua ứng suất giới hạn vật liệu Khi từ từ cất tải nội phục hồi làm cho kết cấu trở hình dạng ban đầu Như vậy, công ngoại lực W nội U
nhau:
U
W (3.1)
Liên hệ dùng để tính chuyển vị hay lực, phải xem xét cách tính nội biến dạng (hay gọi biến dạng đàn hồi)
Từ kết cấu đàn hồi xét phân tử nhỏ dạng với diện tích mặt cắt ngang da độ dài dl Có thể có ứng suất pháp (hình 3.1a) hay ứng suất
tiếp (hình 3.1b) tác dụng bề mặt diện tích da Giả thiết đầu trái B
phần tử bị ngàm chặt đầu phải C tự Chuyển vị C hai loại ứng suất :
dl E
1 dl
G
2 ,
ở E hệ số đàn hồi kéo nén, G hệ số đàn hồi trượt
Hình 3.1 Phần tử b
da
dl E dl 1
da N
a
dl
dl G dl 2
dl Vda G
(50)Nếu tác động từ từ lực da da để gây nên chuyển vị trên,
lượng lưu trữ phần tử là:
dlda
E da
dU
2
1
2
1
,
dlda
G da
dU
2 2
2
1
Dùng ký hiệu chung cho biến dạng hai phương trình có dạng:
dv
dU
2
, (3.2)
ở dvdlda thể tích phần tử xét, ứng suất tổng quát, ứng suất pháp hay ứng suất tiếp
Biến dạng phương trình (3.2) ứng suất pháp có giá trị
E
, ứng suất tiếp G. G E có liên hệ với bằng:
E
G ,
ở hệ số Poisson, biến dạng ứng suất tiếp viết:
E
Gia số lượng biến dạng phần tử đàn hồi với thể tích
dv biến dạng thay đổi từ 0 đến f là:
f
d dv dU
0
, (3.3)
ở tích phân bên vế phải gọi mật độ lượng biến dạng phần diện tích bên đường cong ứng suất biến dạng vật liệu (Hình 3.2a) Nếu vật liệu tuân thủ định luật Hooke (hình 3.2b) mật độ lượng biến dạng bằng:
f f
dU
2
(51)Hình 3.2 Đường cong ứng suất biến dạng (a) mật độ lượng (b) Tổng lượng biến dạng kết cấu tuyến tính :
6
2
m v m m dv
U , (3.4)
với m biểu diễn dạng ứng suất dạng biến dạng tương ứng Có nghĩa tích
phân lấy tồn thể tích kết cấu cho loại ứng suất riêng biệt
Trong số trường hợp dùng liên hệ ứng suất biến dạng Quan hệ E cho vật liệu tuyến tính áp dụng cho ứng suất pháp mặt phẳng
Dùng ký hiệu {} véc tơ sáu thành phần biến dạng:
T
zx yz xy z y
x
, , , , ,
và {} véc tơ sáu thành phần ứng suất:
T
zx yz xy z y
x
, , , , , ,
ta có biểu thức
v T
dv U
2
(3.5)
hay
v T
dv U
2
(3.5a)
a
d
f
f
f
b
d A
(52)Sử dụng quan hệ ứng suất biến dạng (2.25) (2.29) vào (3.5) hay (3.5a) có:
v T
dv e U
2
, (3.6)
v T
dv d U
2
(3.6a)
Dạng ma trận [e] [d] cho (2.28) (2.30)
Thế biến dạng đàn hồi riêng
Đối với trạng thái ứng suất đơn, biến dạng đàn hồi riêng có dạng:
2
U (3.7)
Còn trạng thái ứng suất khối có ứng suất 1,2,3, biến dạng đàn hồi riêng biểu diễn bằng:
1 1 2 2 3 3
2
U
Dùng định luật Hooke biểu diễn biến dạng qua ứng suất có wcj biểu diễn biến dạng đàn hồi riêng qua ứng suất chính:
2 3
2 2
1
2
E
U (3.8)
Thế biến dạng đàn hồi thể tích hình dáng
Xét trạng thái ứng suất khối 1,2,3 tổng hai trạng thái ứng suất:
Một trạng thái kéo nén theo phương với ứng suất là:
3
3 1
tb , (3.9)
trạng thái có biến dạng thể tích, khơng có biến dạng hình dáng Hai trạng thái với ứng suất là:
tb
(53)Do 1230, nên trạng thái có biến dạng hình dáng Như vậy:
hd tt U U
U , (3.11)
1 2 32,
2 2 2 2 E E E U tb tb tb tb tb tb tb tb tb tb tt (3.12)
2
2 2 2 1 3 2 2 6 2 E E E U U
Uhd tt
(3.13)
3.2 Đặc trưng học vật liệu
Vật liệu phân thành hai loại theo biến dạng:
Vật liệu dẻo vật liệu bị phá hủy biến dạng lớn, thép, đồng, nhôm chất dẻo
Vật liệu giòn bị phá hủy biến dạng nhỏ, gang, bê tông, đá
Sự phân loại quy ước mang tính tương đối Để xác định đặc trưng học vật liệu, người tiến hành thí nghiệm kéo, nén mẫu vật liệu máy chuyên dụng kéo nén
Trình tự thí nghiệm
Tiến hành đo liên tục đại lượng: lực kéo (nén) F độ dãn dài L
mẫu thí nghiệm
Với giả thiết ứng suất phấn bố tồn diện tích tiết diện A, tính
ứng suất F /A, A diện tích ban đầu tiết diện
Tính biến dạng dọc tỷ đối (độ giãn dài tương đối) tương ứng L /L, với
L chiều dài ban đầu mẫu vật liệu
Độ thắt tỷ đối xác định cơng thức F 0 F F0, F 0
(54) Sau vẽ đồ thị biểu diễn quan hệ ứng suất biến dạng hệ trục
Mô đun đàn hồi E vật liệu xác định theo công thức:
L A
L F E
(3.14)
Mẫu thí nghiệm
Mẫu thí nghiệm phải chế tạo tuân thủ tiêu chuẩn quy phạm đo lường tiêu chuẩn Thơng thường mẫu thí nghiệm có dạng sau đây:
Mẫu chịu kéo có hình dáng lăng trụ với hai kiểu tiết diện:
+ tiết diện tròn với chiều dài L 10 lần đường kính L 10d (mẫu dài) chiều dài L lần đường kính L5d (mẫu ngắn)
+ tiết diện chữ nhật với tỉ lệ cạnh ngắn cạnh dài khoảng 0,2;1, chiều dài L 11,3 A cho mẫu dài L5,65 A cho mẫu ngắn
Mẫu chịu nén hình trụ tròn với chiều cao h nhỏ ba lần đường kính để đảm bảo trục ln thẳng làm thí nghiệm Mẫu nén bê tơng thường có hình dạng khối lập phương cạnh 15cm, 20cm trụ trịn ngắn, đường kính 10cm
Đồ thị thí nghiệm
Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo
Đồ thị thí nghiệm kéo vật liệu dẻo (hình 3.3) gồm ba giai đoạn chính:
Giai đoạn tỉ lệ đoạn OA đồ thị Khi vật liệu làm việc đàn hồi tuân thủ định luật Hooke với biến dạng nhỏ ứng suất giới hạn tỉ lệ ứng với tl điểm A Đoạn AB ngắn điểm A vật liệu đàn hồi, thép CT3 tl 210MPa
(55) Giai đoạn tái bền đoạn CD Trong giai đoạn ứng suất tăng làm biến dạng tăng Đoạn gọi tái bền cất tải, đường cong không quay gốc O mà giảm theo tỉ lệ đến điểm có biến dạng dư Sau lại chất tải tiếp đường cong ứng suất biến dạng có giới hạn tỉ lệ cao Chính tính chất đoạn CD gọi đoạn tái bền Đến điểm D mẫu thử hình thành chỗ thắt, ứng suất ứng với điểm D gọi ứng suất giới hạn bền thép CT3 b b 380MPa
Hình 3.3 Quan hệ ứng suất – biến dạng thí nghiệm kéo vật liệu dẻo Như vậy, ba giới hạn tl, ch b đặc trưng học vật liệu mô đun đàn hồi E hệ số góc đoạn OA: Etg
Thí nghiệm nén vật liệu dẻo
Đồ thị quan hệ ứng suất – biến dạng thí nghiệm nén vật liệu dẻo thể hình 3.4
Hình 3.4 Quan hệ ứng suất – biến dạng thí nghiệm nén vật liệu dẻo
tt
A B
O
ch
O
b
ch
D
A
B C
tl
(56)Có nhận xét
Ứng suất giới hạn tỉ lệ giới hạn chảy tl vật liệu dẻo ch trường hợp kéo nén
Tuy nhiên sau giới hạn chảy, ứng suất nén tăng không làm cho mẫu vỡ, ứng suất phá hủy xác định
Thí nghiệm kéo nén vật liệu giòn
Đồ thị quan hệ ứng suất – biến dạng thí nghiệm kéo nén vật liệu giịn thể hình 3.5
Hình 3.5 Quan hệ ứng suất – biến dạng thí nghiệm kéo nén vật liệu giịn
Trên đồ thị đoạn OAk giai đoạn tỉ lệ thí nghiệm kéo, cịn đoạn OAn giai đoạn tỉ lệ thí nghiệm nén vật liệu giịn Khi vật liệu làm việc đàn hồi tuân thủ định luật Hooke với biến dạng nhỏ Ứng với điểm Ak điểm An ứng suất giới hạn tỉ lệ chịu kéo tl ,k
chịu nén tl ,n
Đoạn AkDk đoạn AnDn đồ thị giai đoạn vật liệu có ứng xử đàn hồi khơng cịn tỉ lệ Điểm Dk điểm Dn thời điểm
O b,k
tl,k
b,n tl,n
Ak
An
Dn
Dk
(Kéo)
(Nén)
(57)mẫu bị phá hủy chịu kéo hay chịu nén Ứng với điểm ứng suất giới hạn bền chịu kéo b,k chịu nén b,n
Nhận xét: Khác với vật liệu dẻo, đồ thị có giai đoạn gần thẳng kết thúc mẫu bị phá hủy (bị kéo đứt hay nén vỡ)
Kết luận
Từ đặc trưng học vật liệu có giá trị ứng suất cho phép để kiểm tra điều kiện bền kết cấu
n
0
(3.15)
ở lấy ứng suất chảy 0 vật liệu dẻo, vật liệu giòn ch 0 lấy ứng suất bền kéo b,k b,n
Còn n1 hệ số an toàn theo ứng suất cho phép, xét đến yếu tố thực tế ảnh hưởng tới độ bền kết cấu Cả hai giá trị ứng suất cho phép [] hệ số an toàn n quy định tiêu chuẩn quy phạm tính tốn thiết kế
3.3 Điều kiện bền vật liệu
Đối với trạng thái ứng suất đơn 1 ,2 3 0, điều kiện bền viết dạng :
(3.16)
Điều kiện bền cho trạng thái ứng suất khối viết dạng
1 2 3
; ; (3.17)
Tuy nhiên suy diễn hình thức, khó áp dụng thực tế khó làm thí nghiệm để có giá trị [1], [2], [3]
Giả thiết tổng quát điều kiện bền viết dạng
C
( 1, 2, 3) (3.18)
(58)Điều kiện bền tổng quát (3.18), tùy theo cách đánh giá giả thiết viết dạng cụ thể đơn giản hóa Từng thuyết bền cụ thể xây dựng từ giả thuyết nguyên nhân gây phá hủy từ lập luận nguyên nhân phá hủy không phụ thuộc vào dạng trạng thái ứng suất, nhờ viết điều kiện bền trạng thái ứng suất phức tạp có kết thí nghiệm cho trạng thái ứng suất đơn
Cho thuyết bền cố gắng đưa điều kiện bền (3.18) dạng chung sau đây:
td , (3.19)
vế phải ứng suất cho phép [] có từ kết thí nghiệm kéo nén, vế trái ứng suất tương đương hàm ứng suất 1, 2 3 Trong phần toàn sách chấp nhận qui ước 1 2 3
Thuyết bền ứng suất pháp cực đại – Thuyết bền thứ
Với giả thiết: Nguyên nhân gây phá hỏng vật liệu trạng thái ứng suất khối trị số lớn ứng suất pháp đạt tới giới hạn xác định:
k n
1 ; 3 (3.20)
Biểu thức ứng suất tương đương thuyết bền thứ là:
1
tdI 1 0 (3.21)
Nhận xét: thuyết bền sơ sài không phù hợp với thực nghiệm, thường áp dụng cho trường hợp trạng thái ứng suất đơn
Thuyết bền biến dạng dài cực đại – Thuyết bền thứ hai
Với giả thiết: Nguyên nhân gây phá hỏng vật liệu trạng thái ứng suất khối trị số biến dạng dài lớn đạt tới giới hạn xác định
Nếu gọi biến dạng dài giới hạn , trạng thái ứng suất khối, theo định luật Hooke
1 1 ( 2 3)
E
(59)E
,
suy có giới hạn:
E
Giới hạn không phụ thuộc vào trạng thái ứng suất nên có biểu diễn giới hạn biến dạng dài qua ứng suất cho phép []:
E
Từ có điều kiện bền theo biến dạng dài biểu diễn dạng:
1 ( 2 3) (3.22)
Như vậy, biểu thức ứng suất tương đương thuyết bền thứ hai: )
( 2 3
1
tdII (3.23)
Các thực nghiệm thuyết bền thứ hai tương đối phù hợp với vật liệu giòn
Thuyết bền ứng suất tiếp cực đại - Thuyết bền thứ ba
Với giả thiết: Nguyên nhân gây phá hỏng vật liệu trạng thái ứng suất khối trị số lớn ứng suất tiếp đạt tới giới hạn xác định
Nếu gọi ứng suất tiếp giới hạn , trạng thái ứng suất khối, ứng suất tiếp lớn là:
2
3
max
Ở trạng thái ứng suất đơn, có ứng suất tiếp lớn max /2,
và ứng suất tiếp lớn có giới hạn /2
Giới hạn không phụ thuộc vào dạng ứng suất nên biểu diễn ứng suất tiếp giới hạn qua ứng suất cho phép []:
2
(60)Từ đây, có điều kiện bền theo ứng suất tiếp cực đại
1 3 (3.24)
Biểu thức ứng suất tương đương thuyết bền thứ ba là:
3
tdIII (3.25)
Thuyết bền thứ ba phù hợp với vật liệu dẻo, ứng với điều kiện dẻo Tresca-Saint-Venant
Thuyết bền biến dạng hình dáng cực đại – Thuyết bền thứ tư
Với giả thiết: Nguyên nhân gây phá hỏng vật liệu trạng thái ứng suất khối trị số lớn biến dạng đàn hồi hình dáng đạt tới giới hạn xác định
Nếu gọi biến dạng đàn hồi hình dáng giới hạn U hd trạng thái ứng suất khối:
hd
hd U
E
U 2 12 23 31
3 2
Ở trạng thái ứng suất đơn, biến dạng đàn hồi hình dáng có dạng:
2 E
Uhd
và biến dạng đàn hồi hình dáng có giới hạn 2 E
Giới hạn không phụ thuộc vào trạng thái ứng suất nên có:
2
3 E
Uhd
Từ có điều kiện bền theo biến dạng hình dáng cực đại
12 22 23 1 2 2 3 3 1 (3.26)
Biểu thức ứng suất tương đương thuyết bền thứ tư :
2
(61)Cũng thuyết bền thứ ba, thuyết bền thứ tư tương đối phù hợp với vật liệu dẻo Điều kiện bền thứ tư ứng với điều kiện dẻo Mises
Thuyết bền Mohr – Thuyết bền thứ năm
Thuyết bền Morh xây dựng dựa sở thực nghiệm Một loạt thí nghiệm phá hủy tiến hành Ứng với thí nghiệm kéo nén thu cặp giá trị giới hạn kéo nén k, n Như nhận họ đường tròn Morh giới hạn (đường tròn to ba đường trịn Morh trạng thái ứng suất khối có bán kính 0,51 3) mặt phẳng , (hình 3.6) Dựng đường bao đường tròn Morh giới hạn chia mặt phẳng làm hai miền: đường bao
Hình 3.6 Đường bao họ đường tròn Morh thực nghiệm
Với giả thiết đường bao tìm nhất, thuyết bền Morh phát biểu trạng thái ứng suất có đường trịn Morh giới hạn nằm đường bao trạng thái đủ bền, vật liệu không bị phá hủy Nếu ngược lại, đường trịn Morh giới hạn nằm ngồi đường bao trạng thái ứng suất khơng đủ bền vật liệu bị phá hủy
Một khó khăn để áp dụng thuyết bền Morh phải làm nhiều thí nghiệm Để tránh khó khăn này, Morh đề xuất vẽ đường bao dựa đường tròn kéo nén k , đường bao đường thằng (AC n
hình 3.6)
3
1
n k
n
O O Ok
A
C B
1
C
1
(62)Giả sử xét trạng thái ứng suất dựng đường trịn giới hạn, đường tròn tiếp xúc với đường AC điểm B (hình 3.6) Khi từ điều kiện hình học có:
1 1
1
AB BB AC
CC
Biểu diễn độ dài đoạn thẳng qua ứng suất nhận được:
3
3
5
5
0
k
k k
n k n
, , ,
,
Rút gọn biểu thức :
k k
n k
1 3 1 3
Như ứng suất tương đương thuyết bền Mohr có dạng :
3 1
tdV , (3.26)
trong k/n Kết luận chương
Chương trình bày cách tính biến dạng đàn hồi Đưa biểu thức biến dạng đàn hồi thể tích hình dáng Trình bày thí nghiệm kéo nén để xác định đặc trưng học vật liệu Mục 3.3 mục quan trọng chương trình bày năm thuyết bền thường dùng
Từ giả thuyết nguyên nhân gây phá hủy từ lập luận nguyên nhân phá hủy không phụ thuộc vào dạng trạng thái ứng suất, đơn giản hóa điều kiện bền (3.18) dạng chung (3.19) cho tất thuyết bền dạng
td
(63)51
PHẦN CÁC BÀI TOÁN THANH
Nội dung phần xem xét trường hợp chịu lực Đó trường hợp sau:
Thanh chịu kéo nén,
Thanh chịu xoắn, xem xét chịu cắt, Thanh chịu uốn,
Thanh chịu lực phức tạp
Như nói phần nhập mơn, cần xem xét ba tốn bản: Bài toán kiểm tra độ bền, độ cứng độ ổn định cấu kiện
Bài toán thiết kế - lựa chọn hình dạng kích thước tiết diện phù hợp cho phận kết cấu
Bài toán xác định tải trọng cho phép đặt lên kết cấu
Trình tự giải tốn tóm gọn bước sau đây: Bước Vẽ biểu đồ nội lực theo trình tự:
Tìm phản lực liên kết từ phương trình tĩnh học
Dùng phương pháp mặt cắt từ điều kiện cân có biểu thức nội lực
Vẽ biểu đồ nội lực
Bước Dựa biểu đồ nội lực tính ứng suất lớn max Bước Kiểm tra bền Ở phụ thuộc vào loại toán:
Bài toán kiểm tra: kiểm tra điều kiện max để kết luận có đủ bền hay khơng
(64) Bài tốn xác định tải trọng cho phép Pb: từ điều kiện max tìm tải trọng cho phép tác động lên đảm bảo bền
Chú ý Trong bước max hiểu theo nghĩa ứng suất tương đương cực đại Phụ thuộc vào thuyết bền lựa chọn có biểu thức tương ứng ứng suất tương đương
Bước Có kích thước nội lực, tính dịch chuyển kết cấu để tìm chuyển dịch lớn max
Bước Kiểm tra độ cứng Cũng độ bền tùy thuộc vào dạng toán: Bài toán kiểm tra: kiểm tra điều kiện max để kết luận có đủ cứng
khơng
Bài tốn thiết kế: kiểm tra điều kiệnmax , điều kiện cứng không thỏa mãn lựa chọn lại kích thước cho đảm bảo điều kiện cứng
Bài toán xác định tải trọng cho phép Pc: từ điều kiện max tìm tải trọng cho phép tác động lên đảm bảo cứng, tải trọng cho phép kết luận
) , min(Pb Pc
P
(65)53
CHƯƠNG
Các đặc trưng hình học
Khả chịu lực không phụ thuộc vào diện tích tiết diện mà cịn phụ thuộc vào đặc trưng hình học khác tiết diện Trong chương đưa cơng thức tính đặc trưng hình học mơ men tĩnh, mơ men qn tính tiết diện phẳng
4.1 Mô men tĩnh trọng tâm
Diện tích hình phẳng tính tích phân:
A dA
A (4.1)
Cơng thức tính mô men tĩnh trục y trục z có dạng:
A z A
y zdA S ydA
S , , (4.2)
thứ nguyên mô men tĩnh (chiều dài)3, ví dụ (m3)
Giá trị mô men tĩnh phụ thuộc vào hệ trục tọa độ Trục có mơ men tĩnh khơng gọi trục trung tâm Trọng tâm tiết diện giao điểm hai trục trung tâm
Kẻ hai trục u v vng góc qua trọng tâm C song song với trục y z
(hình 4.1), tọa độ y z phân tố dA biểu diễn qua tọa độ u v
tọa độ trọng tâm C hệ tọa độ Oyz sau: u
y
y C , zzC v
Thế vào (4.2) cơng thức tính mơ men tĩnh qua tọa độ trọng tâm C diện tích hình phẳng:
z vdA z dA vdA z A
S C
A A C A
C
y ,
y udA y dA udA y A
S C
A A C A
C
(66)Từ có cơng thức xác định tọa độ trọng tâm từ mô men tĩnh:
A S
y z
c ,
A S zc y
Hình 4.1 Tọa độ phân tố Từ biểu thức (4.3) có nhận xét:
Các trục trung tâm hình phẳng cắt điểm hay trục qua trọng tâm trục trung tâm
Nếu hình phẳng có trục đối xứng trọng tâm nằm trục đối xứng, có hai trục đối xứng vng góc trọng tâm giao điểm hai trục
Trọng tâm hình ghép xác định cơng thức (phần rỗng có diện tich âm):
, ,
A A z z
A A y
y i
i c c
i i c c
i
i
(4.4)
trong
i
C
y ,
i
C
z tọa độ trọng tâm hình thứ i,
i
A diện tích hình thứ i
Ví dụ xác định trọng tâm hình ghép từ hai hình: chữ I thép góc với kích thước hình 4.2
Chọn hệ tọa độ y0z0 hình vẽ, coi thép góc hình ghép từ hình vng cạnh 48cm trừ hình vng cạnh 40cm, tọa độ trọng tâm diện tích hình thành phần cho dịng đến
u
dA
v
yC
y y
z z
u v
zC C
O
48
8
40
8
6
0 z
y CI
CL C
(67)bảng 4.1
Dùng cơng thức (4.4) tính trọng tâm hình ghép viết dòng bảng 4.1
Bảng 4.1
Kích thước (cm)
i
C
z (cm)
i
C
y (cm) Ai(cm2)
Chữ I 72x40x8x6 28 36 960
Hình vng 48x48 48x48 24 -24 2304
Hình vng 40x40 40x40 28 -28 -1600
Hình ghép 22,4615 14,4615 1664
4.2 Các mơ men qn tính
Cơng thức tính mơ men qn tính trục hình phẳng với trục Oy Oz:
A z A
y z dA I y dA
I , (4.5)
Mơ men qn tính li tâm hệ trục vng góc Oyz:
A yz yzdA
I (4.6)
Mô men quán tính cực gốc tọa độ
z y A
I I dA
I 2 (4.7)
trong khoảng cách từ phân tốc dA đến gốc tọa độ O (hình 4.1) Từ cơng thức có nhận xét sau:
Mơ men qn tính có thứ ngun (chiều dài)4, ví dụ m4 Mơ men qn tính cực số
Mơ men qn tính trục ln dương
Mơ men qn tính li tâm Iyz dương, âm không
(68) Hệ trục chứa trục đối xứng hình phẳng hệ trục quán tính Hệ trục quán tính trung tâm hệ trục quán tính có gốc trọng
tâm,
y
S , Sz 0, Iyz 0 (4.8)
Mơ men qn tính trục qn tính trung tâm gọi mơ men qn tính trung tâm (ngắn gọn mơ men qn tính chính)
Mơ men qn tính hình ghép tính qua mơ men qn tính hình thành phần
i yi
y I
I ,
i zi
z I
I ,
i yzi yz I
I (4.9)
Chú ý Phần rỗng tính có mơ men qn tính âm Bán kính qn tính trục Oy hay Oz
A I i
ry y y ,
A I i
r z
z
z (4.10)
Ví dụ Tính mơ men qn tính hình trịn
đường kính D (hình 4.3)
Do tính chất đối xứng nên Iz Iy I Chọn phân tố dA hình giới hạn hai tia +d hai đường trịn bán kính +d (hình 4.3) Khi dAdd
Lắp vào cơng thức tính mơ men quán tính cực:
32
4
4
4
0
0
0
0
2 D D
d d dA
I
D D
A
Từ có
64
4 D I
Iy z
Có cơng thức tính mơ men qn tính cho hình trịn, áp dụng cơng thức tính mơ men qn tính cho hình ghép có cơng thức tính mơ men qn tính hình vành khăn với đường kính ngồi D đường kính d:
d
d
O z
y
(69) 4
4
1 32
D
I , 4
4
1 64
I D
Iy z ,
D d
4.3 Công thức chuyển trục song song
Xét hệ trục Ouv song song với hệ trục ban đầu Oyz (hình 4.4)
Khoảng cách giữa v z a, u y b, theo định nghĩa:
A A
A A
A
u v dA z b dA z dA b zdA b dA
I 2 2
2 )
( ,
A A
A A
A
v u dA y a dA y dA a ydA a dA
I 2 2
2 )
( ,
A A
A A
A A
uv uvdA y a z b dA yzdA a zdA b ydA ab dA
I ( )( )
Hình 4.4 Chuyển trục tọa độ song song
Từ rút liên hệ mơ men qn tính hệ trục Ouv mơ
men qn tính hệ trục cũ Oyz A
b bS I
Iu y y
2
2
,
A a aS I
Iv z 2 z ,
abA bS
aS I
Iuv yz y z (4.11)
Nếu trục Oxy trục trung tâm cơng thức (4.11) có dạng đơn giản hơn:
A b I Iu y
2
, Iv Iz a2A
, Iuv Iyz abA (4.11a)
z y
dF
y z
v u
b a v
(70)Ví dụ: Tính mơ men qn tính trung tâm tiết diện thép góc hình 4.5
Thép góc tạo thành từ hình vng to có cạnh 14x14cm cắt bỏ hình vng nhỏ góc bên phải có cạnh 12x12cm
Chọn hệ trục ban đầu Oy0z0 hình 4.5, tìm trọng tâm hình ghép theo cơng thức (4.4) (bảng 4.2) Chú ý phần cắt bỏ có diện tích âm (cột 5, dịng 3) Trọng tâm hình ghép cột dịng
Tính mơ men quán tính trục trung tâm riêng hình, sau chuyển trục sang hệ trục trung tâm hình ghép Cyz
Bảng 4.2 a (cm)
zC
(cm) yC
(cm) A (cm2)
Iz=Iy tính
hệ trục riêng (cm4)
Khoảng cách từ hệ trục riêng đến hệ Cyz (m)
Iz=Iy
hình ghép (cm4)
Hình to 14 0 196 3201,33 2,77 4704,39
Hình bé 12 1 -144 -1728 3,77 -3773,82
Hình ghép -2,77 -2,77 52 930,56
Sau áp dụng cơng thức (4.11a) để tính mơ men qn tinh hình cộng với
4
2
2
56 930 144
77 1728 196
77 33
3201 cm
A z z
I A z z
I I
IZ y yto Cghép Cto to ybé Cghép Cbé bé
, ) ( , ) (
,
,
Ở coi phần cắt bỏ có mơ men qn tính âm (cột 6, dịng bảng 4.2)
4.4 Công thức xoay trục
Xét hệ trục Ouv tạo cách quay Oyz góc (hình 4.6) Khi đó, tọa độ hệ trục Ouv tính qua tọa độ hệ trục Oyz theo công thức
ysin zcos
u ,
ycos zsin
v
2
14
0 y
C
Hình 4.5
z y
12
12 z0
O 14
(71)Hình 4.6 Xoay trục tọa độ góc Theo định nghĩa mơ men qn tính
, cos cos sin sin ) sin cos ( A A A A A u dA y yzdA dA z dA z y dA v I 2 2 2 , cos cos sin sin ) cos sin ( A A A A A v dA z yzdA dA y dA z y dA u I 2 2 2
cos sin sin cos
sin cos cos sin A A A A A uv dA z dA y yzdA dA z y z y uvdA I 2 2
Từ công thức tính mơ men qn tính xoay trục là:
2
2
2 cos yzsin
y z y z u I I I I I I ,
2
2
2 cos yzsin
y z y z v I I I I I I ,
2
2 sin yzcos
y z
uv I
I I
I (4.12)
Trục quán tính trục có mơ men qn tính li tâm khơng Từ điều kiện tìm góc trục qn tính với trục z:
z y yz yz y z uv I I I tg I I I I
2 2
2 sin cos (4.13)
z y dA y z u v
(72)Biết góc , thay vào hai biểu thức (4.12), tính mơ men quán tính trục quán tính (gọi mơ men qn tính chính) Các mơ men qn tính nhận giá trị cực trị:
2
4
2 z y yz
y z
I I
I I
I
Imax(min) ( ) (4.14)
Đồng thời tìm bán kính qn tính chính:
A I i
A I
i
min max
max ; (4.15)
Kết luận chương
Chương trình bày cơng thức tính đặc trưng hình học hình phẳng mơ men tĩnh, mơ men qn tính
Đưa định nghĩa hệ trục trung tâm, hệ trục chính, hệ trục quán tính trung tâm
(73)61
CHƯƠNG
Thanh thẳng chịu kéo, nén tâm
5.1 Định nghĩa
Thanh chịu kéo nén tâm mặt cắt tồn thành phần nội lực lực dọc theo trục Quy ước dấu lực dọc trục sau: dương chịu kéo âm chịu nén
Ví dụ Xét hệ dàn ABC chịu lực F điểm B (hình 5.1)
Hình 5.1 Nội lực dọc trục hệ dàn
Liên kết nút gối đỡ hệ dàn liên kết khớp Nội lực lực dọc trục Để tính nội lực dùng phương pháp mặt cắt: cắt AB BC thay liên kết nội lực dọc AB (N1) BC (N2) Xét cân lực điểm B cho hai phương trình hình chiếu lực lên trục X Y:
cos
, sin
0
0
2
N N X
F N
Y
Giải hệ phương trình tìm nội lực:
F N N Fctg
N , cos
sin
2
Như AB chịu kéo, BC chịu nén
A B
C
F RA
RC
A B
C
F RA
RC
N1 N1
(74)5.2 Biểu đồ lực dọc trục
Biểu đồ lực dọc trục biểu diễn biến thiên lực dọc theo trục Để vẽ biểu đồ lực dọc trục dùng phương pháp mặt cắt để xác định lực dọc trục mặt cắt Giá trị lực dọc trục N mặt cắt
tổng đại số ngoại lực hướng dọc theo trục (lực tập trung P hay lực
phân bố qx) tác dụng vào phần bên mặt cắt Công thức
tổng quát để xác định lực dọc trục mặt cắt ngang sau:
P q dx
Nx x x (5.1)
Giả định véc tơ N hướng phía ngồi mặt cắt, xét điều kiện cân
tại mặt cắt phần xét, cơng thức (5.1) cho giá trị dấu nội lực dọc trục
Ví dụ Xét thẳng chịu lực hình 5.2a
Hình 5.2 Ví dụ vẽ biểu đồ nội lực dọc trục N
Xét từ bên phải sang, đầu bên phải tự không cần xác định phản lực Đoạn từ đầu bên phải đến điểm đặt lực P2 (hình 5.2b), xét cân mặt cắt 1-1 với lực bên phải, tính N1:
kN P
N P
N
X 0 0 40
1
1
2
3
40kN
20kN 60kN
P1 P2
N2
P1 N1
P1 P2
P3 N3
P1 =40kN
P3=80kN P2=60kN
a
b
c
d
e
(75)Đoạn từ điểm đặt lực P2 đến điểm đặt lực P3 (hình 5.2c), xét cân mặt cắt 2-2 với lực bên phải, tính N2:
kN P
P N P
P
N2 1 2 0 2 1 2 406020
Tương tự xét đoạn từ điểm đặt lực P3 đến điểm ngàm (hình 5.2d), xét cân mặt cắt 3-3 với lực bên phải, tính N3 :
kN P
P P N P
P P
N3 3 2 1 0 3 1 2 3 40608060
Biểu đồ lực dọc N vẽ hình 5.2e
5.3 Ứng suất mặt cắt ngang
Giả thiết biến dạng
Xét thẳng tiết diện không đổi Kẻ đường song song đường vng góc với trục, đường vng góc đặc trưng cho tiết diện, đường song song đặc trưng cho lớp vật liệu Cho chịu kéo hai hệ lực phân bố hai đầu có cường độ p ngược chiều Hợp lực F pA
nằm trục (hình 5.3)
Hình 5.3 Giả thiết biến dạng dọc Bằng thực nghiệm, có nhận xét chịu kéo, nén: Các tiết diện phẳng vuông góc với trục
Các lớp vật liệu dọc trục không tương tác với - bỏ qua ứng suất pháp mặt cắt song song với trục
Các thớ vật liệu dọc trục có biến dạng dài
Biểu thức ứng suất
Từ giả thiết tiết diện phẳng vng góc với trục, có ứng suất tiếp khơng, cịn ứng suất pháp Từ giả thiết thứ hai ứng suất pháp theo phương trục Theo định luật Hooke, ứng suất tỉ lệ với biến
p
(76)dạng dài x Ex Từ giải thiết thứ ba biến dạng dài thớ dọc, nên ứng suất tiết diện (hình 5.4), có quan hệ ứng suất nội lực:
A dA
dA
N x
A x A
x
x , (5.2)
A Nx x
(5.3)
Hình 5.4 Ứng suất dọc trục trường hợp khối phẳng
Trong tốn kéo, nén tâm có ứng suất pháp theo phương dọc trục, có trạng thái ứng suất đơn 1 x 2 3 0
Ví dụ chịu lực dọc trục hình 5.2a, giả thiết có tiết diện khơng đổi với diện tich 20x30(cm), có biểu đồ ứng suất hình 5.5
Hình 5.5 Biểu đồ ứng suất chịu lực dọc trục hình 5.2a
5.4 Biến dạng
Biến dạng dài dọc trục
Theo định luật Hooke, biến dạng dài dọc trục đơn vị chiều dài là:
EA N E
x x
x
(5.4)
Biến dạng dài dọc trục đoạn dx là:
A
A Nx
A Nx
N
1MN/m2 0,67MN/m2
0,33MN/m2
(77)dx dx
dx dx
x x
Biến dạng dài dọc trục độ dài L, ký hiệu L là:
L x L
x dx
EA N dx
L (5.5)
Khi biểu thức Nx /EA số tồn độ dài thì:
EA L N
L x
(5.6)
Còn biểu thức Nx /EA số đoạn chiều dài Li thì:
i i
x EA
L N
L (5.7)
Khi EA số toàn độ dài thì:
EA EA
dx N
L L N
x
, (5.8)
trong
L x
N N dx diện tích biểu đồ lực dọc
Biến dạng ngang (theo phương ngang)
Trạng thái ứng suất toán kéo, nén thẳng trạng thái ứng suất đơn có thành phần x, theo định luật Hooke:
x x
z y
E
(5.9)
Độ biến đổi diện tích mặt cắt ngang:
2
F F
(5.10)
Độ biến đổi thể tích tính theo cơng thức:
N dx
E
V x
) (1
(78)Độ biến đổi thể tích chịu kéo (nén) lực P hai đầu thanh:
PL E V ( )
(5.12)
Thế biến dạng đàn hồi
Từ cơng thức (3.8) chương biến dạng đàn hồi riêng trạng thái ứng suất khối tổng quát:
)] (
[ 1 2 2 3 1 3
3 2
1
2
E
U
Như nói trạng thái ứng suất tốn kéo, nén tâm trạng thái ứng suất đơn:
x
1 ; 3 2 0 (5.13)
Thay (5.13) vào biểu thức biến dạng đàn hồi (3.8), nhận được:
2
2
x
E
U (5.14)
Thay biểu thức ứng suất pháp (5.3) vào (5.14) lấy tích phân, nhận cơng thức tổng qt tính đàn hồi tích lũy có dạng:
dx
EA N
U x
2
2
(5.15)
Dịch chuyển tiết diện
Khi chịu kéo, nén có dịch chuyển dọc trục Từ quan hệ ứng suất biến dạng hệ thức Cauchy có phương trình vi phân để tìm dịch chuyển
EA N dx
du x
Khi Nx /EA số tồn độ dài dịch chuyển dọc trục u
hàm bậc
Dịch chuyển điểm hệ liên kết khớp
(79) Xét điều kiện cân tĩnh học để tìm lực dọc trục Tính độ dãn tuyệt đối định luật Hooke (5.5)
Do không rời biến dạng, phương pháp đường giao lập điều kiện chập dịch chuyển - quan hệ hình học nối vào điểm xét
Xác định dịch chuyển cần tìm từ quan hệ hình học lập bước Chú ý: Các hệ không biến dạng dọc trục mà cịn quay quanh khớp Như điểm dịch chuyển dọc trục dịch chuyển cung trịn có bán kính tương ứng Có thể thay cung trịn đường vng góc với bán kính quay biến dạng nhỏ so với chiều dài Ví dụ: Tìm dịch chuyển điểm K hệ liên kết khớp cho hình 5.6a Hai có mơ đun đàn hồi E=2x108 kN/m2 diện tích mặt cắt
A=5cm2
Hình 5.6 Ví dụ tìm dịch chuyển điểm hệ liên kết khớp Từ điều kiện cân tĩnh học điểm K (hình 5.6b) tìm lực dọc trục N1 N2:
kN N
kN N
F N
N
N N
o o
o o
897 26 961
21
45 60
0 45 60
2
2
2
, ;
, cos
cos
sin sin
N1
N2
60o 45o
F=30kN L1=1m
L2=2m
K A
B
L2
K
K1
L1
x y 45o 30o
K
a b
(80)Tính độ dãn tuyệt đối AK (L1) BK (L2): m EA L N L m EA L N
L 2
2
1
1 22 10 538 10
, , ,
Kéo dài AK đoạn L1 BK đoạn L2 Kẻ đường vuông góc với AK BK điểm kéo dài Giao điểm hai đường vng góc vị trí điểm K sau biến dạng Thiết lập điều kiện chập dịch chuyển (hình 5.6c) nhận hệ phương trình với ẩn dịch chuyển điểm K theo phương x y:
sin cos , sin cos 0 0 45 45 30 30 y x y x L L
Thay giá trị L1 L2 vào, nhận hệ hai phương trình hai ẩn
, , , , , , , y x y x 707 707 10 38 5 866 10 2 4
Giải hệ phương trình trên, xác định chuyển dịch điểm K
mm
mm y
x 0,118 ; 0,643
Như vị trí điểm K xác định
5.5 Độ bền độ cứng
Điều kiện bền chịu kéo, nén tâm có dạng
( ) max
max A kn N
(5.16)
Từ điều kiện bền có tốn
Bài tốn kiểm tra bền – có biểu đồ lực dọc trục kiểm tra điều kiện (5.16) xem có đủ bền khơng
Bài tốn thiết kế tìm kích thước tiết diện chịu kéo hay chịu nén tính từ cơng thức:
N max
(81)trong
max
N giá trị tuyệt đối lực dọc thanh, [] ứng suất cho phép vật liệu kéo nén
Bài tốn xác định trị số an tồn của N tức xác định tải trọng dọc trục N
cho phép tác động lên cho đảm bảo điều kiện bền:
A
Nb (5.18)
Ngồi kiểm tra bền cịn phải kiểm tra độ cứng xem dịch chuyển điểm không vượt giới hạn cho phép:
max (5.19)
Trong toán thiết kế, điều kiện cứng không thỏa mãn, phải lựa chọn lại kích thước tiết diện cho điều kiện (5.19) thỏa mãn
Ví dụ Cho kết cấu chịu lực hình vẽ 5.7 Thanh OAC cứng tuyệt đối
Cho 1600kG /cm2 C 1,5mm Tìm diện tích tiết diện AB đảm bảo đủ bền đủ cứng
Cắt AB, thay nội lực N Xét cân OAC
tìm nội lực AB:
cos
T q a P N
a a q a P Na
12
0 30
2
0
Tính diện tích tiết diện AB đảm bảo đủ bền, theo (5.16):
2
5 1600 12000
cm N
A ,
Tính độ dãn dài AB:
mm cm
EA NL
L 008 08
10
100 12000
6 , ,
,
Tính dịch chuyển điểm C kiểm tra điều kiện cứng (5.19): a
a a
P=2T
q=1,73T/m
O
C
A B
30o
(82) C
C mm
L
1847
3 30
0 ,
,
cos
Như dịch chuyển điểm C lớn dịch chuyển cho phép tính lại diện tích tiết diện cho thỏa mãn điều kiện cứng Đặt:
C C
,
tính độ dãn dài AB cho thỏa mãn điều kiện trên:
mm cm
L C 065 0065
4
,
,
Từ tính diện tích tiết diện tương ứng:
2
6 025 923
2 65
6 065 10
100 12000
cm
A ,
, ,
,
5.6 Bài toán siêu tĩnh
Như định nghĩa, hệ siêu tĩnh hệ mà dùng điệu kiện cân tĩnh học khơng thể xác định nội lực Ngồi điều kiện cân tĩnh học cịn phải sử dụng điều kiện chập dịch chuyển Quy trình giải toán sau:
Bước Lập phương trình cân tĩnh học, xác định bậc siêu tĩnh hệ
Bước Lập điều kiện chập dịch chuyển, tức xác định quan hệ hình học biến dạng thành phần hệ Số phương trình hình học cần thiết lập phải với số bậc siêu tĩnh hệ
Bước Dùng định luật Hooke viết biến dạng qua nội lực, vào quan hệ hình học lập bước đưa đến hệ phương trình gồm phương trình cân quan hệ hình học với ẩn nội lực
Bước Giải hệ phương trình để tìm nội lực
Trường hợp có kể đến tải nhiệt độ, tuân thủ quy trình trên, bước bước độ dãn dài tính khơng tác động nội lực nà giãn nở nhiệt:
T l lT
(83)trong l chiều dài thanh, hệ số dãn nở nhiệt trung bình vật liệu T chênh lệch nhiệt độ
Hệ siêu tĩnh chịu lực dọc trục, ngồi xác định nội lực cịn có tốn: Tính ứng suất lắp ghép: thực tế chiều dài chế tạo
có sai khác so với thiết kế, nên điều kiện chập dịch chuyển có tính đến sai lệch tính ứng suất lắp ghép sinh sai lệch
Xác định tải trọng tối đa theo ứng suất cho phép: chọn ứng suất lớn với ứng suất cho phép, từ tính tải trọng cho phép lớn Tính tốn theo lực chịu tải: cho tất ứng suất ứng suất cho
phép Từ phương trình cân tĩnh học tính tải trọng cực đại cho phép theo lực chịu tải Đây điều kiện chảy dẻo lí tưởng
Ví dụ Xét với sơ đồ chịu lực dọc trục hình 5.8 Lấy
E=2.106kG/cm2 hệ số dãn nở nhiệt
10 12
,
Ở xét ba trường hợp:
Thanh chịu lực dọc trục chịu ngàm hai đầu, số phản lực cần tìm hai Thanh chịu lực dọc trục, có sai lệch đầu dưới, cần tìm
phản lực đầu ứng suất lắp ghép đầu
Thanh chịu tải nhiệt chịu ngàm hai đầu, cần tìm phản lực hai đầu trường hợp thứ
Nhận thấy tốn siêu tĩnh có phương trình cân lực dọc trục:
0
Fx
Sẽ xét thêm điều kiện chập dịch chuyển, cụ thể cho trường hợp:
Trường hợp hình 5.8a Giải phóng liên kết ngàm hai đầu thay hai phản lực R 1 R có phương trình cân bằng: 2
0 40 2
1 R
R
(84)Hình 5.8
Điều kiện chập dịch chuyển tổng độ dãn dài không:
L
Thanh gồm ba đoạn có tiết diện khác nhau, tính tổng độ dãn dài dựa biểu độ lực dọc trục 5.8b:
0 70
5 80
50 2 2 2
A E
R A
E R P A
E R P L
, ,
từ
T R2 21,124
Từ phương trình cân tìm được:
T R
R1 40 2 18,876
Trường hợp hình 5.8c., giải phóng liên kết ngàm thay phản lực
1
R đặt đầu lực lắp ghép R có phương trình cân 2
0 40 2
1 R
R
Biểu đồ nội lực dọc trục với chiều phản lực quy ước có dạng hình 5.8d
50cm
80cm
70cm
A=
20cm
2
1,5A 2A
P=40 T
50cm
80cm
70cm 40T
0,2
cm
T=400 R1
R2
R2
P
R2
R2 R1
R2
P+
R2
N1 N2 N3
a b c d
f
e
(85)Điều kiện chập dịch chuyển tổng độ dãn dài độ sai lệch:
L
Thanh gồm ba đoạn có tiết diện khác nhau, tính tổng độ dãn dài dựa biểu độ lực dọc trục 5.8d:
2 70
5 80
50 2 2 2
, ,
A E
R A
E P R A
E P R
L ,
từ
T R2 32,81
Từ phương trình cân tìm được:
T R
R1 40 2 72,81
Trường hợp hình 5.8e, tác động nhiệt độ dãn nở, xuất nội lực gây nén dọc trục, có phương trình cân (hình 5.8f):
N N N
N1 2 3
Điều kiện chập dịch chuyển tổng độ dãn dài không:
L
Thanh gồm ba đoạn có tiết diện khác nhau, tính tổng độ dãn dài gồm dãn nở nhiệt:
0
1
3
2
1
1
EA Nl T l A E
Nl T l A E
Nl T l L
, ,
từ
(86)Kết luận chương
Chương trình bày tốn chịu kéo, nén tâm Với giả thiết biến dạng, tốn kéo, nén có trạng thái ứng suất đơn
Trong hệ dàn không gian chịu kéo, nén, dịch chuyển nút liên kết khớp tìm phương pháp đường giao lập quan hệ hình học
Với điều kiện bền điệu kiện cứng toán kéo, nén tâm cho phép giải ba toán bản: kiểm tra bền chịu kéo, nén; thiết kế kích thước tiết diện ngang chịu kéo, nén tốn tìm tải trọng cho phép
(87)75
Thanh thẳng tiết diện tròn chịu xoắn
6.1 Định nghĩa
Thanh chịu xoắn túy nội lực mặt cắt có thành phần mô men nằm mặt phẳng vuông góc với trục thanh, gọi mơ men xoắn (hình 6.1a)
Ngoại lực gây xoắn thường mô men, ngẫu lực nằm mặt phẳng vuông góc với trục
Quy ước dấu mơ men xoắn sau: nhìn vào mặt cắt xét mô men quay ngược chiều kim đồng hồ mơ men dương ngược lại (hình 6.1b) Lưu ý quy ước nên có tài liệu quy ước khác với tài liệu
Ở xét xoắn tiết diện hình trịn Xoắn tiết diện hình chữ nhật trình bày mục 6.7 với lời giải Saint-Venant
Hình 6.1 a Mô men xoắn, b Quy ước dấu
6.2 Biểu đồ mô men xoắn
Mô men xoắn Mx xác định phương pháp mặt cắt Cắt mặt cắt, sau xét cân mô men trục phần xét có độ lớn mơ men xoắn nội lực mặt cắt tổng đại số tất mô men ngoại lực (mô men tập trung M mô men phân bố dọc theo trục có
cường độ m) tác dụng phía mặt cắt Công thức tổng quát:
a b
x M
x
0
x M
0
(88)
l x
x M m dx
M (6.1)
Quan hệ bước nhảy mô men xoắn mô men ngoại lực tập trung:
M M
Mx,ph x,tr (6.2)
Quan hệ vi phân mô men xoắn mô men xoắn ngoại lực phân bố dọc trục:
x x m
dx dM
(6.3)
Ví dụ Thanh chịu lực hình 6.2a Vẽ biểu đồ mơ men xoắn
Hình 6.2 Ví dụ vẽ biểu đồ mơ men xoắn Xét mặt cắt với đoạn bên trái khoảng 0x a:
a
a M m
2
1
a 2a
2
a
m2=2m1
m=0 M
Mx1
m1
x
Mx2
m1
Mx3
m1 M
Mx4
m1 M
a
b
M/2
-M/2
(89)x a M M
x m
Mx x
2
0 1
1
1 ,
suy x 0, Mx1 0 x a,
2
1
M M
a xx
Xét mặt cắt khoảng ax2a:
2
0 2
1
M M
a m
Mx x
Xét mặt cắt khoảng 2ax 2,5a:
2
0 3
1
M M
M a m
Mx x
Xét mặt cắt khoảng 2,5ax4,5a:
a
a M M M
d a m M
a m
Mx x 02
4
2
2
0 1
4 ,
suy 0:
2
4
M
Mx ; 2a:
2
4
M M
a xx
Mx4 0khi a 1,42a
Biểu đồ mơ men xoắn có dạng hình 6.2b
6.3 Ứng suất tiếp
Giả thiết biến dạng
Xét tiết diện tròn chịu xoắn Kẻ đường sinh đường tròn chu tuyến (hình 6.3)
Hình 6.3 Giả thiết biến dạng chịu xoắn
Cho chịu mô men xoắn M hai đầu, với biến dạng nhỏ đàn hồi có
nhận xét:
x
(90) Chiều dài khoảng cách đường trịn khơng đổi Các góc vng thay đổi
Các đường trịn phẳng, bán kính khơng thay đổi Mặt phẳng chứa đường trịn xoay quanh trục, góc xoay vòng tròn khác
Chấp nhận giả thiết sau:
Thanh khơng có biến dạng dọc trục
Tiết diện phẳng, xoay góc , gọi góc xoắn hàm tọa độ x (lưu ý tiết diện không hình trịn giả thiết khơng phù
hợp)
Bán kính tiết diện thẳng có chiều dài khơng thay đổi
Các lớp vật liệu dọc trục không tác dụng tương hỗ (bỏ qua ứng suất pháp mặt song song với trục)
Theo giả thiết trên, tiết diện tồn ứng suất tiếp, ứng suất pháp không
Công thức ứng suất tiếp tiết diện
Khảo sát biến dạng phân tố có chiều dài dx
Tiết diện bên trái tọa độ x có góc xoay Tiết diện bên phải tọa độ
dx
x có góc xoay +d Bán kính tiết diện bên phải xoay
góc d (hình 6.4)
Hình 6.4 Biến dạng phân tố chịu xoắn
dx d R
(91)Xét phân tố trụ trịn bán kính , góc xoay bán kính d (hình
6.5a)
Biến dạng góc vng mặt bên phân tố (hình 6.5b):
dx d dx AB
(6.4)
Trị số góc xoắn tương đối hai tiết diện cách đơn vị chiều dài:
dx d
(6.5)
Theo định luật Hooke, ứng suất tiếp quan hệ với góc xoắn tương đối
G G , (6.6)
trong G mơ đun đàn hồi trượt
Hình 6.5 Phân tố trụ trịn biểu đồ ứng suất tiếp Theo định nghĩa:
A A
x dA G dA
M
(6.7)
Tích G=const, vậy:
I
M dA M
G x
A x
2 , (6.8)
dx d
B
A
d
dx
A
a b c
(92)trong
A dA
I là mơ men qn tính cực mặt cắt Như ứng suất
tiếp biểu diễn qua mô men xoắn công thức:
I Mx
(6.9)
Từ biểu đồ ứng suất tiếp (hình 6.5c) có:
W M R I
Mx x
max (6.10)
trong
R I Wx
mơ men chống xoắn tiết diện hình trịn
Đối với tiết diện trịn bán kính R :
32
4
D R
I ,
16
3
D R
Wx
, (6.11)
trong D2R đường kính
Đối với tiết diện hình vành khăn bán kính ngồi R bán kính r:
4
4
4
1 32
2
D R
I ,
4
3
3
1 16
2
R D
Wx , (6.12)
trong r Rd D, d 2r
6.4 Biến dạng dịch chuyển
Biến dạng xoắn
Từ công thức (6.6) (6.9), góc xoay tương đối hai tiết diện cách đơn vị chiều dài bằng:
GI Mx
(6.13)
(93)dx GI
M dx
d x
, (6.14)
Tích phân (6.14) nhận góc xoay tương đối hai tiết diện hai đầu độ dài L gọi góc xoắn:
L x L
dx GI
M
dx (6.15)
Khi const
GI Mx
chiều dài có:
GI L Mx
(6.16)
Khi const
GI Mx
đoạn chiều dài L : i
i
i x GI
L M
(6.17)
Người gọi GI độ cứng chống xoắn tiết diện hình trịn
Dịch chuyển
Góc xoắn xác định từ quan hệ vi phân (6.14) ;
dx GI
M dx
d x
,
C dx GI
M
L x
, (6.18)
trong C số tích phân xác định từ điều kiện liên kết
Ví dụ Vẽ biểu đồ ứng suất tiếp mép tiết diện max góc xoắn
cho trịn đường kính d chịu lực hình 6.6a Xét mặt cắt từ bên trái khoảng 0x l:
ml M
Mx1 ;
3
1
16
d ml W
M
x x
(94)Hình 6.6 Ví dụ tính góc xoắn ứng suất tiếp Xét mặt cắt khoảng lx 2,5l:
ml M
M
Mx2 2 3 ; 3
2
48
d ml W
M
x x
max
Xét mặt cắt khoảng 2,5lx4,5l:
ml
3ml
2ml Mx
1,5l
m
5M M=ml
l 2l
2M
Mx1
Mx2
Mx3
a
b
4
176
d G
ml
2
144
d G
ml
4
64
d G
ml
d
max
c
3
16
d ml
3
48
d ml
3
32
d ml
(95) l l m m M M M
Mx3 2 5 (2 ) 0,2 ,
3 16
d l m W M x x
max 0,2l,
tại 0: Mx3 2ml; 3 32 d ml W M x x
max ; 2l: Mx3 0,
3
x x W M max
Biểu đồ maxthể hình 6.6c Hai đoạn đầu có const GI
Mx
từng đoạn Góc xoắn tiết diện đầu cuối đoạn thứ là:
4 2 1 32 d G ml GI ml GI L Mx I
Góc xoắn hai tiết diện đầu cuối đoạn hai là:
4 2
2
2 45 144
d G ml GI ml GI L Mx II ,
Góc xoắn hai tiết diện đầu cuối đoạn ba là:
l l III l GI m d l GI m 2 2 2 ) ( ,
tại 0: III 0; 2l: 4
2
1
1 64
d G ml GI ml GI L Mx III
Như biểu đồ góc xoắn hình 6.6d
Thế biến dạng đàn hồi
Từ công thức (3.8) chương 3, biến dạng đàn hồi riêng trạng thái ứng suất khối tổng quát có dạng:
)] (
[ 1 2 2 3 1 3
3 2 2 E U
(96)
1 ; 3 ; 2 0 (6.19)
Thay (6.19) vào biểu thức biến dạng đàn hồi (3.8) nhận được:
2
1
E
U (6.20)
Thay biểu thức ứng suất tiếp (6.9) vào (6.20) lưu ý đến mô đun trượt
E
G nhận được:
2
2
2
I M G
U x (6.21)
Công thức tổng quát tính đàn hồi tích lũy có dạng:
dx
GI M
U x
2
2
(6.22)
6.5 Độ bền độ cứng
Điều kiện bền
x x W M
max (6.23)
Theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại:
2
(6.24)
Theo thuyết bền biến dạng đàn hồi hình dáng cực đại:
3
(6.25)
Như nói phần nhập mơn, có ba tốn bản:
Bài tốn kiểm tra: kiểm tra điều kiện bền (6.23) xem có thỏa mãn khơng Bài tốn thiết kế: lựa chọn kích thước tiết diện từ điều kiện bền:
x
x
M
(97) Bài toán xác định tải trọng cho phép Mb: từ điều kiện (6.23) tính tải trọng
cho phép tác động lên cho đủ bền
Điều kiện cứng
GI
l Mx
max
max (6.27)
Tương tự toán:
Bài toán kiểm tra: kiểm tra điều kiện cứng (6.27) xem có thỏa mãn khơng Bài tốn thiết kế: tính góc xoắn dựa kích thước tiết diện chọn từ
điều kiện bền (6.23) Kiểm tra điều kiện cứng (6.27), thỏa mãn khơng cần chọn lại kích thước Nếu điều kiện (6.27) khơng thỏa mãn lựa chọn lại kích thước theo tiêu chuẩn:
G l M
I max x , (6.28)
trong l độ dài đoạn biết góc xoắn cho phép
Bài toán xác định tải trọng cho phép Mc : từ điều kiện (6.27) tính tải trọng
cho phép tác động lên cho đủ cứng Tải trọng cho phép M
) , min(Mb Mc
Ví dụ Thanh tiết diện hình vành khăn chịu xoắn hình 6.7 Ứng suất
tiếp cho phép
500kG /cm
Góc xoắn cho phép o m
1 /
Tìm D d
Bước Vẽ biểu đồ mơ men xoắn (hình 6.7) Bước Tìm max :
) , (
max 3 3
3
3 1 05
16 300
1 16
3
D D
d D
M
Bước Từ điều kiện bền (6.26) xác định đường kính ngồi D Theo thông số ban đầu, tỉ lệ đường kính đường kính ngồi 0,5:
cm
M D
M
88 500
480000
W
4
4 ,
) , ( )
(
max
max
(98)Hình 6.7 Bước Kiểm tra điều kiện độ cứng (6.27)
Từ kích thước tìm tính mơ men qn tính:
4
4
4 206
32 cm
D
I ( ) ,
Mặt khác tính biểu thức bên phải bất đẳng thức (6.28) với l 1m100cm,
180
:
4
43 107
800000 180 100 30000
cm G
l M
,
max
Điều kiện cứng thỏa mãn
G l M
I max , suy chọn kính thước tính
được bước 3:
cm d
cm
D 6,88 ; 3,44
6.6 Thanh chịu cắt
Biến dạng cắt hay biến dạng trượt trường hợp chịu lực mà tiết diện có ứng suất tiếp Ứng suất tiếp có phương, chiều lực cắt F phân bố diện tích A mặt cắt (hình 6.8) Cơng thức
tính ứng suất tiếp chịu cắt: M=100kGm
M
D
l l
2l
3M 4M
d=0,5D
(99)A F
(6.29)
Hình 6.8 Thanh chịu cắt Điều kiện bền cắt:
A F
Điều kiện bền dùng để kiểm tra liên kết: đinh tán, bu lơng, mối hàn Ví dụ: Xét đinh tán có đường kính d liên kết ba phẳng (hình 6.9)
Liên kết đinh tán hai mặt cắt a-a b-b, đinh tán chịu lực cắt F
trên diện tích: d2/
A
Khi đinh tán có n mặt cắt thì:
4
2/ d n
A (6.30)
Hình 6.9 Đinh tán bu lông – kiểm tra biến dạng trượt
Một dạng phá hủy khác đinh tán ép bề mặt tiếp xúc (hình 6.10) Sự phân bố ứng suất bề mặt tiếp xúc phức tạp Đánh giá gần thông qua trị số trung bình:
em em
em A
F
, (6.31)
F F
a a
b b
2F
F
(100)trong đó:
F - tổng lực kéo phía,
Aem- diện tích ép mặt quy ước,
em- ứng suất ép mặt quy ước
Hình 6.10 Kiểm tra ứng suất ép mặt tiếp xúc Diện tích ép mặt quy ước tính sau:
Giữa đinh tán vách lỗ thứ hai, diện tích ép mặt quy ước bằng:
2
d
Aem
Giữa đinh tán vách lỗ thứ thứ ba có diện tích ép mặt quy ước bằng:
) (13 d
Aem
Tổng quát hóa, diện tích ép mặt quy ước tính bằng:
i i
em d d
A , (6.33)
trong đó:
d: đường kính lỗ đinh,
i: bề dày i, số i tính theo số chịu lực phía Cần lấy trị số
em
A hai phía chọn trị số nhỏ thay vào (6.31) để kiểm tra ứng suất bền
6.7 Xoắn tiết diện chữ nhật
Khi tiết diện hình chữ nhật chịu xoắn, mặt phẳng vng góc với trục bị biến dạng vênh khỏi mặt phẳng ban đầu (hình 6.11)
1
3
(101)Hình 6.11 Thanh chịu xoắn hình chữ
Lúc giả thiết tiết diện phẳng không thỏa mãn, tốn xoắn tiết diện hình chữ nhật Saint-Venant giải dùng phương pháp nửa ngược Theo Saint-Venant, biểu đồ phân bố ứng suất tiếp tiết diện hình chữ nhật chịu xoắn có dạng hình 6.12 Từ biểu đồ có nhận xét sau:
trung tâm, ứng suất tiếp khơng =0,
Hình 6.12 Biểu đồ phân bố ứng suất tiết diện chữ nhật chịu xoắn trung điểm cạnh dài, ứng suất tiếp có giá trị lớn nhất:
x x W M
max , (6.33)
trung điểm cạnh ngắn, ứng suất tiếp tính qua ứng suất tiếp lớn nhất:
max
1 , (6.34)
góc xoắn đơn vị dài:
GJ Mx
(6.35)
Ở W mô men chống xoắn tiết diện chữ nhật tính cơng x
thức:
1
(102)2
hb
Wx (6.36)
và J số xoắn hay cịn gọi ‘’mơ men qn tính’’ xoắn tiết diện chữ
nhật tính cơng thức:
3 hb
J (6.37)
Các giá trị , phụ thuộc vào tỉ lệ hai cạnh h b hình chữ
nhật cho bảng 6.1
Bảng 6.1 Các hệ số , , theo tỉ số cạnh h / b
h/b 1,0 1,5 1,75 2,5 10
0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,299 0,313 0,339 1,0 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 0,743 0,742 0,742 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,299 ,0313 0,333
Khi tỉ số 10
b h
lấy 0333
1 ,
Các số liệu số xoắn cho số tiết diện khác với hình trịn xem phụ lục
6.8 Bài toán siêu tĩnh
Cũng toán chịu kéo hay nén tâm, hệ siêu tĩnh chịu xoắn phải tìm điều kiện chập dịch chuyển (quan hệ hình học dịch chuyển) để bổ sung vào phương trình cân tĩnh học Trong toán xoắn, để lập điều kiện chập xem xét điều kiện liên kết, có dạng sau:
Thanh có hai đầu ngàm chặt: điều kiện chập dịch chuyển tổng đại số góc xoắn tất đoạn phải khơng
Thanh có đầu liên kết đàn hồi góc xoay đầu đàn hồi khơng không mà tỉ lệ với độ lớn mô men phản lực
(103) Khi hệ có số chịu xoắn, số chịu kéo (hay nén) dịch chuyển góc xoắn chịu xoắn dịch chuyển dọc chịu kéo (hay nén)
Ví dụ Cho kết cấu hình 6.13, biết l, M, d, G Tìm max A
Thanh chịu mơ men xoắn, nên thay ngàm mô men phản lực M’ M’’ Từ điều kiện cân có:
0
4
M M M
M
Điều kiện chập dịch chuyển tổng đại số góc xoắn không:
0
I II III
Hình 6.13 Tính góc xoắn tương đối cho đoạn:
G I
l M I
,
G I
l M M II
,
G I
l M M M III
Thế vào điều kiện tổng đại số góc xoắn khơng:
M M M M M M M M
G I
l
3
4
Từ điều kiện cân tìm M’’:
3
4M M M
M M
M
M 4M
d M’
M’’
l l l
A
M
3
M
3
M
3
2
(104)Như hai phản lực có chiều hình vẽ Ứng suất tiếp lớn đoạn thứ 3:
3
3 112
7
d M W
M
max
Góc xoắn tương đối điểm A:
G Ml GI
Ml A
2
2
Kết luận chương
Chương trình bày chủ yếu tốn xoắn tiết diện trịn Với giả thiết biến dạng tiết diện tròn chịu xoắn có cơng thức tính ứng suất tiếp Ứng suất tiếp đạt cực đại mép tiết diện
Giới thiệu lời giải toán Saint-Venant cho tiết diện chữ nhật chịu xoắn Ứng suất tiếp lớn điểm cạnh dài Đưa bảng hệ số phụ thuộc vào tỉ lệ hai cạnh để tính tốn cho tiết diện chữ nhật chịu xoắn
Bài toán chịu cắt ứng dụng kiểm tra bền cho mối nối xem xét chương
(105)93
Thanh thẳng chịu uốn phẳng
7.1 Định nghĩa
Thanh chịu uốn trục thay đổi độ cong Mặt phẳng uốn mặt phẳng chứa trục mô men uốn Mặt phẳng quán tính trung tâm mặt chứa trục Ox trục quán tính trung tâm y z
Nếu mặt phẳng uốn trùng với mặt phẳng qn tính trung tâm có trường hợp chịu uốn phẳng (hình 7.1)
Hình 7.1 Uốn phẳng
Nếu mặt phẳng uốn không trùng với mặt phẳng qn tính trung tâm có trường hợp chịu uốn khơng gian (hình 7.2)
Hình 7.2 Uốn khơng gian
Ln ln phân tích mô men uốn Mu My Mz thành hai mô men uốn hai mặt phẳng quán tính trung tâm Như uốn không gian tổ hợp uốn phẳng, nên trước hết cần nghiên cứu uốn phẳng Trường hợp
x y z
x y z
x y z
My
Mz
(106)thanh chịu uốn chịu tác dụng lực cắt gọi uốn ngang Trường hợp chịu uốn không chịu tác dụng lực cắt gọi uốn túy
7.2 Biểu đồ lực cắt mô men uốn
Tương tự lực dọc trục chịu kéo, nén, mô men xoắn chịu xoắn, lực cắt mô men uốn toán uốn xác định phương pháp mặt cắt Lực cắt Qy mặt cắt tổng
hình chiếu lên trục y tất ngoại lực (lực tập trung lực phân bố) tác
dụng vào phần bên mặt cắt Cịn mơ men uốn Mz mặt cắt tổng đại số mơ men tất ngoại lực tác dụng vào phần bên mặt cắt
Quy tắc dấu lực cắt mô men uốn cho hình 7.3, nêu chương
Lực cắt Q vng góc với tiếp tuyến trục thanh, dương đoạn
xét có xu hướng quay theo chiều kim đồng hồ tác động lực cắt Mô men uốn M gây uốn mặt phẳng dương đoạn xét bị
cong võng xuống (hứng nước) tác động mô men
a b
Hình 7.3 Quy ước dấu a Lực cắt b mô men uốn
Khi vẽ biểu đồ nội lực nên vẽ biểu đồ lực cắt Q trước, biểu đồ mô men uốn M sau Khi khơng chịu ngẫu lực uốn phân bố sử dụng quan hệ vi
phân nội lực tải trọng (1.2):
2 dx
M d dx dQ q dx dM
Q ; ,
trong đó q mật độ tải trọng phân bố Từ quan hệ vi phân có nhận
xét sau biểu đồ nội lực Q M:
Q Q Q
Q
M M
(107) Đối với dầm có tải trọng đối xứng liên kết đối xứng (hình 7.4a), biểu đồ lực cắt Q phản đối xứng, biểu đồ mô men M đối xứng Ngược lại
(hình 7.4b) dầm chịu tải phản đối xứng biểu đồ Q đối xứng, biểu
đồ M phản đối xứng
Hình 7.4 Các ví dụ vẽ biểu đồ lực cắt mô men uốn
Tại vị trí có đặt lực tập trung, biểu đồ Q có bước nhảy mà độ lớn
giá trị lực tập trung Tương tự, ví trí đặt ngẫu lực uốn, biểu đồ mơ men uốn M có bước nhảy với độ lớn giá trị ngẫu lực
c c
l
P P
+
+ P
P
Pc Q
M
c
c l
P P
+
+
P/3 P/3
Pc/3 Q
M
2P/3
+
a a a qa
qa2
+
2,7qa
1,3qa2
Q
M
Pc/3
2a
q 2q
1,3qa
1,3qa
0,3qa
+
+
a b
c
(108) Tang góc tiếp tuyến biểu đồ mô men uốn M với trục
bằng lực cắt Q cường độ tải phân bố tang góc tiếp
tuyến biểu đồ lực cắt Q với trục
Nếu đoạn dầm tải trọng phân bố biến đổi theo hàm đại số, đoạn biểu đồ lực cắt biến đổi theo hàm cao bậc mô men uốn biến đổi theo hàm cao bậc so với hàm lực cắt Biều đồ mô men ví dụ hình 7.4c cho thấy đoạn có lực phân bố đều, biểu đồ lực cắt hàm bậc nhất, cịn biểu đồ mơ men hàm bậc hai
Tại vị trí mà lực cắt có giá trị khơng mơ men uốn có giá trị cực trị Trong đoạn bên phải ví dụ 7.4c, biểu đồ lực cắt không điểm cách gối 1,35a Tại điểm biểu đồ mô men đạt cực
trị
Tại vị trí lực cắt có bước nhảy đổi dấu biểu đồ mơ men uốn thay đổi độ dốc, biểu đồ mô men trường hợp b hình 7.4 Nếu lực cắt có
bước nhảy khơng đổi dấu biểu đồ mơ men uốn bị gãy Ví dụ hình 7.4c, điểm đặt lực tập trung qa biểu đồ lực cắt có bước nhảy không đổi dấu, biểu đồ mô men bị gãy khúc
Nếu xét mặt cắt từ phải sang trái
dx dM
Q
7.3 Ứng suất toán uốn phẳng
Uốn túy
Các giả thiết
Xét thẳng chịu uốn túy mặt phẳng qn tính trung tâm (hình 7.5)
Hình 7.5 Các giả thiết uốn túy
Mz
Mz
Mặt trung hòa
Đường trung hòa
(109)Quan sát biến dạng có nhận xét sau:
Những đường kẻ vng góc với trục thẳng
Các đường kẻ song song với trục bị cong, đường phía co lại, đường phía dãn cách
Các góc vng bảo tồn Trên sở đó, giả thiết:
Trước sau biến dạng, tiết diện phẳng vng góc với trục Các lớp vật liệu dọc trục không tác dụng tương hỗ lên nhau,
bỏ qua ứng suất pháp mặt cắt song song với trục z y Tồn lớp vật liệu song song với trục có chiều dài khơng đổi gọi lớp trung hòa Giao tuyến lớp trung hòa với tiết diện đường thẳng gọi đường trung hịa
Hai giả thiết đầu giống tốn chịu kéo chịu xoắn Giả thiết thứ ba giả thiết chấp nhận biến dạng nhỏ
Cơng thức tính ứng suất
Xét phân tố có chiều dài dx (hình 7.6): d góc hai tiết diện,
bán kính cong lớp trung hịa, z đường trung hòa tiết diện
Biến dạng tỉ đối theo phương x:
y
d d d y bb
bb a a aa
aa a a x
) (
1 1
1
Các góc vng không đổi nên ứng suất tiếp tiết diện xét khơng, z y 0 nên ứng suất pháp : x
(110)Khi chịu uốn mặt phẳng xy tồn mô men uốn M , cịn lực dọc N z
và mơ men uốn My không:
A x z
A x y
A
xdA M z dA M y dA
N 0; 0;
Hình 7.6 Phân tố chịu uốn
Thay biểu thức ý x E/const tiết diện, có:
0
A A
zydA
ydA ;
Mơ men tĩnh trục trung hịa mơ men quán tính ly tâm hệ trục yz tiết diện khơng Suy trục trung hịa z trục qua trọng tâm
vuông góc với mặt phẳng uốn, hệ trục yz hệ trục quán tính
Khi xác định vị trí trục trung hịa, tìm biểu thức bán kính cong:
z
A A
z
EI dA y E dA y
M ,
z z
EI M
(7.2)
Biểu thức để tính ứng suất pháp là:
y
y
Đường trung hòa
b
b
a a
a1
dx
a1
d
=
(111)y I M Ey
z z
(7.3)
Dấu mô men: mô men dương làm căng phía thanh, mơ men âm làm căng phía
Biểu đồ, trị số lớn ứng suất pháp
Ứng suất pháp tỉ lệ với khoảng cách đến trục trung hịa Biểu đồ đường bậc khơng trục trung hịa có trị số lớn hai mép tiết diện
Ký hiệu y k y - tọa độ mép tiết diện chịu kéo chịu nén (hình 7.7) n
Khi đó:
n zk z
z n
k z
z
W M y
I M
, ,
max
, (7.4)
trong đó:
n z n z k z k z
y I W y I
W , ; , mô men chống uốn (7.5)
Hình 7.7 Biểu đồ ứng suất pháp Nếu tiết diện đối xứng qua trục z có chiều cao h thì:
2 /
, ,
h I W W
W z
z n z k
z (7.6)
và
z
y
h yn
yk
max
+
(112)z z
W M
min
max (7.7)
Đối với tiết diện hình chữ nhật bxh:
12
3 bh Iz ,
6
12
3
bh h
bh
Wz
/ /
(7.8)
Đối với tiết diện hình trịn đặc bán kính R, đường kính D 2R:
64
4
D R
Iz ,
32
4
3
4
D R
R R
Wz (7.9)
Đối với tiết diện hình vành khăn đường kính ngồi D, đường kính d:
D d D
Iz (1 ), 64
4
, (1 )
32
4
D
Wz (7.10)
Ví dụ Cho chịu uốn hình 7.8 Tính kích thước mặt cắt hình trịn, hình vành khăn, hình vng, hình chữ nhật thép hình chữ I Tính ứng suất điểm A mặt cắt chữ I vị trí đặt mơ men tập trung Cho
1600kG /cm
Tính phản lực hai đầu R1 R2 0,4T có giá trị ngược hướng
Vẽ biểu đồ mơ men uốn hình 7.8 Tìm
kGcm
M
10 10 ,
max
Tìm kích thước từ điều kiện bền với
3
150 1600
240000
cm M
W
Đối với hình trịn có cơng thức tính mô men chống uốn:
150 32
3
D
W D3 32150/ 11,518cm, A104,188cm2
Đối với hình vng có cơng thức tính mơ men chống uốn:
150
3
a
(113) Đối với hình chữ nhật h2bcó cơng thức tính mơ men chống uốn: 150 bh b
W 986 , 73 , 164 , 12 , 082 , / 150
3 cm h cm A cm
b
Hình 7.8
Đối với hình vành khăn với d/D0,6 có cơng thức tính mơ men chống uốn:
1 150
32 D W , , , , , ,
4 12063 7238 73145
6 150 32 cm A cm d cm
D
Đối với tiết diện chữ I, chọn thép hình số hiệu 18a từ bảng PL4.3 phụ lục theo TCVN 1655-75:
, , 25 , , , , , 100 , 180 ,
159cm3 h mm b mm d mm t mm A cm2
W
2 / 43 , 1509 159 240000 cm kG W M
Nếu lấy diện tích hình trịn tỉ lệ diện tích sau :
Atrịn : Avng : Achữ nhật : Avành khăn : AI =1 :0,89 :0,71 :0,70 :0,24
4m 6m
M=4Tm
0,4T 0,4T
a
D b
h =2 b h h /4 A
D d=0,6
D 1,6Tm 2,4Tm + M
Q 0,4T
(114)Với mơ men chống uốn, tiết diện chữ I có diện tích khoảng 1/4 so với tiết diện hình trịn Có thể kết luận thép hình chữ I có khả chống uốn tốt
Uốn ngang phẳng
Các giả thiết
Xét thẳng chịu uốn ngang phẳng, có lực cắt Qy, mơ men uốn M z
(hình 7.9) Quan sát biến dạng thấy đường kẻ vng góc với trục khơng thẳng góc vng bị thay đổi
Hình 7.9 Giả thiết toán uốn phẳng
Giả thiết tiết diện phẳng khơng cịn đúng, tồn ứng suất tiếp ứng suất pháp Biến dạng trượt ứng suất tiếp gây không thay đổi chiều dài theo phương ngang trục phương dọc trục nên ứng suất pháp tính theo cơng thức:
y I M
z z
,
trong đó y khoảng cách đến trục trung hịa z
Để tính ứng suất tiếp lực cắt gây ra, xét phân tố chiều dài dx
Giả thiết chiều rộng nhỏ chiều cao (tiết diện hẹp), chấp nhận: Ứng suất tiếp phân bố tiết diện theo bề rộng
Ứng suất tiếp có thành phần thẳng đứng theo phương lực cắt
Hai giả thiết xét tiết diện hình chữ nhật hẹp Xét cân phân tố hình 7.10b Lực tác động lên phân tố gồm có:
+ F
F
Fl
(Q)
(115) Ứng suất pháp mặt bên trái y I M
z z
tr ,
y khoảng cách đến trục
trung hòa
Ứng suất pháp mặt bên phải y I
dM M
z z z
ph
Ứng suất tiếp phân bố bề mặt có diện tích bdx
Hình 7.10 Ứng suất tiếp lực cắt
Chiếu theo phương x tất lực phân tố, nhận phương
trình cân bằng:
0
dA dA bdx dA bdx
c c
c A
tr ph A
tr A
ph
Thay biểu thức ứng suất hai mặt cắt trái phải nhận được:
y
I dM y
I M y I
dM M
z z z
z z
z z
tr
ph
Như cơng thức tính ứng suất tiếp là:
z C Z z A
z z A z
z
bI S dx dM dA y bI dx dM dA y I dM bdx
C C
Từ quan hệ vi phân mơ men lực cắt có cơng thức tính ứng suất tiếp lực cắt gây khoảng cách y so với trục trung hòa:
x y
z
y
y* T
ph
tr
y
z
b c
AC
a
(116)z C Z y
I b
S Q
- công thức D J Juravski, (7.11)
trong đó:
y
Q lực cắt tác dụng lên thanh,
b bề rộng thực tiết diện đểm tính phân bố ứng suất tiếp,
C C A
C
Z y dA A y
S
C
mô men tĩnh phần tiết diện giới hạn bề rộng
thực b qua điểm tính ứng suất tiếp Có thể tính mơ men tĩnh C Z
S theo công
thức (4.3), có nghĩa nhân diện tích phần tiết diện xét với trọng tâm
Chú ý, sử dụng cơng thức (7.11) cho tiết diện khơng hẹp
Đối với tiết diện hình chữ nhật có kích thước hxb
Mơ men qn tính trục z có dạng:
12
3 bh Iz
Mô men quán tính tĩnh phần tiết diện giới hạn bề rộng điểm cách trục trung hòa đoạn y:
2
4
2 y
h b
SzC
Công thức ứng suất tiếp cho điểm nằm cách trục trung hịa đoạn y
(hình 7.11a):
2
2
3 4
6
2 12
y h bh
Q y
h b b bh
Qy y
y (7.12)
Tại trục trung hòa khiy0 ứng suất tiếp đạt giá trị lớn (hình 7.11a):
bh Qy y
2
max ; (7.13)
(117)
Hình 7.11 Phân bố ứng suất tiếp tiết diện hình chữ nhật, hình trịn hình chữ I
Đối với tiết diện hình trịn bán kính R
Mơ men qn tính trục z có dạng:
4
4 R Iz
Bề rộng thực tiết diện điểm tính phân bố ứng suất tiếp:
2
2 R y
b
Mơ men qn tính tĩnh phần tiết diện giới hạn bề rộng điểm cách trục trung hòa đoạn y:
2 23
3
2 /
y R SC
z
h
b y
z
t d y
c
z y y
I d
S Q
max 1/2 R
y
z
b
2
3
R Qy y
max
h
b y
z
a
bh Qy y
(118)Công thức ứng suất tiếp cho điểm nằm cách trục trung hòa đoạn y
(hình 7.11b):
2
4 2 2 3 2 y R R Q y R y R R
Qy y
y
/ (7.14)
Tại trục trung hòa khiy0 ứng suất tiếp đạt giá trị lớn (hình 7.11b):
2 R Qy y
max (7.15)
Tại mép tiết diện y R (hình 7.11b) y 0
Đối với tiết diện hình chữ I
Coi tiết diện hình ghép hai hình chữ nhật hẹp ngang gọi cánh hình chữ nhật hẹp thẳng gọi bụng Kí hiệu S12 mơ men tĩnh nửa diện tích (thường cho bảng đặc trưng hình học thép hình)
Đối với điểm bụng cách trục z đoạn y có mơ men tĩnh
bằng S12 trừ mô men tĩnh diện tích d y
2 2 y d S SC z / , 2 y d S I d Q z y y /
Ứng suất tiếp cực đại đạt y0:
z y y I d S Q
max 1/2
Tại điểm bụng giáp với cánh yh/2t, bề rộng thực tiết diện d
2
1
2
2
S d h t
SC
z / , nên
2 2 t h d S I d Q z y
y /
(119) 2 2 t h d S I b Q z y
y /
Biểu đồ ứng suất tiếp tiết diện hình chữ I xem hình 7.11c Ở điểm
t h
y /2 có bước nhảy biểu đồ ứng suất
Đối với tiết diện dạng thành mỏng
Ứng suất tiếp hướng theo tiếp tuyến với đường trung bình phân bố bề dày Cơng thức tính ứng suất tiếp là:
z y y I l S Q
, (7.16)
trong l bề dày mặt cắt, S mô men tĩnh đường trung hòa
phần mặt cắt phía đường vẽ vng góc với đường trung bình điểm xét
Ví dụ Có thể tính ứng suất tiếp cực trị mặt cắt bên phải điểm đặt mô
men tập trung ví dụ hình 7.8 cho loại tiết diện khác Trong trường hợp lực cắt khơng đổi tồn độ dài Q0,4T
Đối với tiết diện hình trịn:
2
2 128
518 11 400 4 cm kG R Qy
y , /
, max
Đối với tiết diện hình vuông:
2
2 2 9655 6436
400 3 cm kG a Qy
y , /
, max
Đối với tiết diện hình chữ nhật;
2
2 811
082 400 3 cm kG b Q bh
Qy y
y , /
, max
Đối với tiết diện chữ I số hiệu 18a xem phụ lục có tham số: ,
3
159cm
Wz Iz 1430cm4,
2
1 898cm
S / , ,
2 , 25 , 83 , , 51 , , 10 ,
18cm b cm d cm t cm A cm
(120)Ứng suất tiếp cực đại có giá trị:
2
1
25 49 1430 51
8 89 400
cm kG dI
S Q
z y
y , /
, ,
/
max
Tính ứng suất cho tiết diện chữ I số hiệu 18a với thông số điểm 1-9 hình 7.12 Kết tính biểu diễn bảng 7.1
Hình 7.12 Bảng 7.1
y
cm
kG/cm2
(7.3)
kG/cm2
(7.11)
1
kG/cm2 (2.13)
3 kG/cm2
(2.13)
min max
kG/cm2 (2.14)
1 1510,49 1510,49 755,5
2 8,17 1371,19 2,04 1371,19 -0,003 685,6
3 8,17 1371,19 39,92 1372,35 -1,16 686,76
4 4,5 755,24 46,42 758,09 -2,84 380,46
5 0 49,25 49,25 -49,25 49,25
6 -4,5 -755,24 46,42 2,84 -758,09 380,46
7 -8,17 -1371,19 39,92 1,16 -1372,35 686,76
8 -8,17 -1371,19 2,04 0,003 -1371,19 685,6
9 -9 -1510,49 0 -1510,49 755,5
h
b y
z
t d
1
2
4
5
6
1510
8
9
(121)Thế biến dạng đàn hồi dầm chịu uốn
Biểu thức tổng quát biến dạng đàn hồi riêng (3.8) có dạng:
2 3
2 2 2 E u
Trạng thái ứng suất phẳng dầm chịu uốn ngang phẳng gồm hai thành phần: y I M z z , z C Z y bI S Q
Tính ứng suất theo cơng thức (2.13):
2
2
, 2 2
(7.17)
Thay vào biểu thức (3.8), nhận được:
G E E U 2 2
1 2 2
( ) (7.18)
Thế biến dạng đàn hồi tổng quát nhận tích phân biến dạng đàn hồi riêng u tồn thể tích:
, l A C z z y l A z
z l A V V dA b S GI Q dx dA y EI M dx dA G E dx dV G E udV U 2 2 2 2 2 2 2 2 l y l z z dx GA kQ dx EI M U 2 2
, (7.19)
trong
(122)7.4 Biến dạng dịch chuyển chịu uốn
Biến dạng chịu uốn (gọi dầm) thay đổi độ cong trục
thanh Đường cong trục chịu uốn đường đàn hồi Khi bỏ ảnh hưởng lực cắt, độ cong đường đàn hồi xác định công thức:
z z
EI M
Dịch chuyển, độ võng góc xoay
Dịch chuyển gồm dịch chuyển thẳng trọng tâm quay tiết diện
Dịch chuyển thẳng vng góc với trục gọi độ võng y y(x), chiều độ võng dương trùng với chiều dương trục y (hình 7.13)
Dịch chuyển xoay hay góc xoay y dx dy
tg
, chiều góc xoay dương quay quanh trục trung hòa z ngược chiều kim đồng hồ (hình
7.13)
Lưu ý: Chỉ xét biến dạng nhỏ chuyển vị nhỏ nên độ võng y nhỏ độ dài l
của dầm nhiều lần góc xoay nhỏ nên ytg
Hình 7.13
Phương trình vi phân độ võng
Phương trình vi phân độ cong đường cong phẳng viết dạng:
23
1
/ y
y
Dấu lấy tùy thuộc hệ tọa độ cho bán kính độ võng ln dương Kết hợp với (7.3) có phương trình vi phân độ võng:
x
y
(123) z z
EI M
y y
2
1 /
Theo quy ước dấu mô men uốn, mô men uốn dương làm trục dầm võng xuống mô men uốn âm làm trục dầm lồi lên Như dấu mô men uốn độ võng trái nên xét biến dạng nhỏ, bỏ qua thành phần bậc cao có phương trình vi phân độ võng:
z z EI
M
y , (7.20)
trong EI độ cứng chống uốn tiết diện (uốn mặt phẳng xy) z Phương pháp tích phân khơng xác định
Từ phương trình vi phân độ võng (7.20), tích phân lần góc xoay:
1 C dx EI
M y
z z
, (7.21)
tích phân lần thứ hai độ võng:
2 1x C C dx dx EI
M y
z
z
, (7.22)
trong số tích phân C1 C2 xác định từ điều kiện liên kết hai đầu
dầm Sau số điều kiện liên kết thường gặp:
Dầm gối tựa đơn giản có điều kiện độ võng hai đầu không:
0 x
y yxl 0
Dầm công xôn đầu ngàm đầu tự do, có điều kiện độ võng góc xoay đầu ngàm 0:
0
0 x
y
0
x x
dx dy
Phương pháp tải trọng giả tạo
(124)
, 2
2
2
EI M dx
d dx
y d q dx dQ dx
M d
(7.23)
Như vây tìm độ võng góc xoay từ biểu đồ mô men lực cắt vẽ phương pháp mặt cắt cho dầm giả tạo chịu tải trọng phân bố có cường độ qgt M/EI Khi có mối quan hệ:
gt gt
gt q
EI M Q
M
y ; ; (7.24)
Lập sơ đồ dầm giả tạo ứng với dầm thực hình (7.14)
Hình 7.14 Sơ đồ dầm giả tạo (b) ứng với dầm thực (a)
Điều kiện liên kết dầm giả tạo lập cho nội lực dầm giả tạo ứng với chuyển vị dầm thực Ví dụ trường hợp dầm cơng xơn đầu ngàm độ võng góc xoay khơng ứng với mơ men lực cắt dầm giả tạo không, có điều kiện liên kết tự Ngược lại đầu dầm tự mô men lực cắt khơng ứng với chuyển vị góc xoay dầm giả tạo khơng, có điều kiện liên kết ngàm Trường hợp liên kết gối tựa độ võng không ứng với mô men không dầm giả tạo có nghĩa có điều kiện gối tựa Khi điều kiện liên kết khớp nối có điều kiện mơ men khơng Như độ võng dầm giả tạo khơng, có nghĩa ứng với gối tựa di động ngượi lại gối tựa di động dầm thực ứng với khớp nối dầm giả tạo
Sau xác định nội lực Mgt Qgt dầm giả tạo chịu tải phân bố
EI M
qgt / để tìm độ võng góc xoay dầm thực
Phương pháp thông số ban đầu
Bằng khai triển theo Taylor hàm độ võng y(x) ý đến mối liên hệ vi phân (7.20) (1.2) thiết lập phương trình xác định độ võng y góc x
xoay mặt cắt cách gốc tọa độ khoảng x x
a
(125)Trường hợp độ cứng EI dầm khơng đổi tồn độ dài, chọn gốc
tọa độ trọng tâm mặt cắt đầu bên trái dầm trục x hướng từ trái
sang phải , phương trình độ võng y góc xoay x có dạng: x
! ! ! ! ! ! ! 5 4 5 4 0 q b q a q b q a Q M x b x q a x q b x q a x q a x Q a x M x EI EIy EIy q q q q (7.25) ! ! ! ! ! ! 4 3 3 q b q a q b q a Q M x b x q a x q b x q a x q a x Q a x M EI EI q q q q (7.26)
trong E mơ đun đàn hồi Young,
I mơ men qn tính tiết diện trục trung hịa z,
M mơ men ngẫu lực ngoại lực,
M
a khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt cắt đặt ngẫu lực M (hình 7.15a),
Q lực cắt tập trung (gồm phản lực),
Q
a khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt cắt đặt lực Q (hình 7.15b),
aq
q , qaq giá trị lực phân bố qy đạo hàm theo x x aq, (là mặt cắt bắt đầu có lực phân bố tác dụng) (hình 7.15c),
bq
q , qbq giá trị lực phân bố qy đạo hàm theo x x bq
(là mặt cắt kết thúc đoạn lực phân bố) (hình 7.15c),
Hình 7.15 Quy ước chiều dương M, P q
trong công thức (7.25) (7.26)
M P
x x x
am ap
x
x x
aq
bq
qap
qbp
(126)độ võng y góc xoay 0 thông số ban đầu mắt cắt ngang gốc 0 tọa độ
Lưu ý Nếu chọn gốc tọa độ trọng tâm mặt cắt đầu bên phải dầm
và trục x hướng từ phải sang trái, ứng với chiều M, P q cho hình
7.15 số hạng phản ánh ảnh hưởng mô men ngoại lực (7.25) (7.26) lấy dấu âm chiều quay mặt cắt dầm tính theo (7.26)
Ví dụ Cho q=4kN/m, P=4kN, E=2.108kN/m2, []=160.103kN/m2
Chọn kích thước mặt cắt ngang thỏa mãn điều kiện độ bền ứng suất pháp tính dịch chuyển điểm dầm
Giải
Xác định phản lực hai gối R A R từ phương trình cân (hình B
7.16):
kN q
P R
q P R
MA B B
2
2
4
2
,
kN R
P q R q
P R R
F A B 2 0 A 2 B 8457
Hình 7.16
q
2m 1m
A
B
P
1m RA
Mx
q
x
Qx P RB
Mx’
x’ 1m Qx’
RB
Mx’
x’ Qx’
M
6,1
25 6,0 5,0
7.0
0.0
-1.0
-5.0
(127) Vẽ biểu đồ Q M
+ Xét đoạn bên trái 2x 0: Cân nội lực đoạn xét có :
x qx R Q R qx
Qx A 0 x A 74 ,
2 2
2 x x
x q x R M x q x R
Mx A x A ,
;
;
7
0 0
Qx kN Mx
x x 2Qx 1kN; Mx2 6kNm,
kNm M
m x
khi
Qx 0 7/41,75 , x1,75 6,125
+ Xét đoạn bên phải 2 x0 chia làm đoạn: Đoạn 1x0: Cân nội lực đoạn xét :
kN R
Q R
Qx B 0 x B 5 ,
x x R M x R
Mx B 0 x B 5 ,
kNm M
x M
x0 x0 0; 1 x1 5 Đoạn 2x1 :
kN R P Q P R
Qx B 0 x B 451 ,
4
1
R x P x M R P x P x
Mx B ( ) x ( B ) ,
kNm M
x kNm M
x1 x 5 ; 2 x 6
Biểu đồ M Q Mô men cực đại điểm lực cắt không x1,75;
kNm Mmax 6,125
Tìm kích thước mặt cắt ngang từ điều kiện bền theo ứng suất pháp:
m
M D
M D M
W 0073057
10 160 125 32 32 32 3 3 , , max max max
Tính độ võng y x điểm dầm
Chọn A điểm gốc tọa độ với điều kiện gối tựa A có:
0 yA
(128)khi biểu thức độ võng mặt cắt cách gốc tọa độ đoạn x theo công
thức (7.25) cho sơ đồ lực hình 7.16 có dạng:
3 4 24 24 x x x A A x P x q x q x R x EI x
EIy( ) ( ) ( )
Khi tính độ võng cho mặt cắt nằm khoảng [0,2], ngoại lực gồm : + Phản lực R tác dụng điểm A, gốc tọa độ có nghĩa A 0
A
R
a ,
chiều R quy ước 7.15b, có số hạng A
6
3 x RA
+ Lực phân bố q, bắt đầu điểm A có nghĩa aq 0 kết thúc mặt cắt cách gốc tọa độ đoạn 2m có nghĩa bq 2, chiều của q ngược
lại với quy ước hình 7.15c, có số hạng 24
4 x q
mặt
cắt nằm đoạn x>2m nên có thêm số hạng 24
2
x
q
+ Lực P tác dụng điểm cách gốc tọa độ đoạn 3m có nghĩa aP 3, chiều P ngược lại với quy ước 7.15b, mặt cắt nằm
trong đoạn x>3m có thêm số hạng
33 P x
Tìm giá trị từ điều kiện độ võng B không A y 4 0:
0 24 24 4 4
EI R q q P
EIy( ) A A
85
6 51 16 15 4 24 4 ,
EI A
Thay giá trị R , P, q A nhận phương trình xác định độ A
(129) 3 4 6 6 51 x x x x x x x x x
EIy( ) ( ) ( )
Tính độ võng dầm x2:
4 1033
3 31 51 2 51 kNm
EIy( ) , ,
m
EI
y 0036948
6715 279 31 31 , ,
7.5 Độ bền độ cứng
Điều kiện bền uốn túy
Khi uốn túy, trạng thái ứng suất trạng thái đơn, nên từ (7.4) mặt cắt khơng đối xứng có:
k k z z y I M
max ; n n
z z y I M
min , (7.27)
trong y k yn khoảng cách từ đường trung hòa đến thớ bị kéo thớ bị
nén xa
Kiểm tra cho mặt cắt có trị số mô men dương mô men âm lớn Khi tiết diện đối xứng qua trục z thì:
nk z z W M
max (7.28)
Đối với vật liệu dẻo k n kiểm tra:
z z W M
max (7.29)
(130) M max
W , (7.30)
ở W I/ ymax mô men chống uốn tiết diện ngang đường
trung hòa
Dạng tiết diện hợp lý
Dạng tiết diện hợp lý dạng tận dụng hết khả làm việc vật liệu Xét dạng hợp lý từ hai khía cạnh:
Khi hai mép đồng thời phá hỏng:
k k z
z y
I M
max ; n n
z z y
I M
min , (7.31)
1
zn zk n
k n
k
W W y
y
(7.32)
Khi nhận điều kiện hợp lý:
Vật liệu giòn 1 y k yn: tiết diện không đối xứng qua trục z, Vật liệu dẻo 1 y k yn: tiết diện đối xứng qua trục z
Xem xét điều kiện tiết kiệm Như thấy, độ bền chống uốn phụ thuộc vào mô men chống uốn W (tăng mô men chống uốn z W để giảm ứng suất z
pháp) Trong đó, trọng lượng lại tỉ lệ với diện tích nên đánh giá mức độ tiết kiệm tỉ số W /A32 gọi mô men chống uốn
riêng Ví dụ hình hộp chữ nhật, hình ống, chữ U chữ I dạng hợp lý Cùng diện tích thép chữ I có mô men chống uốn lớn tám lần tiết diện hình vng
Ứng suất kiểm tra độ bền tổng thể dầm
Trong toán uốn ngang phẳng, kiểm tra độ bền cho trạng thái sau: Trạng thái ứng suất đơn toán uốn túy:
nk n
k z
z
y I M
max
max , nk
z z
M
W
min
(131) Trạng thái ứng suất trượt túy: b I S Q z x y /
(7.33)
Theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại
Theo thuyết bền biến dạng hình dáng cực đại
Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt với:
y I M z z , b I S Q z C x y
Từ cơng thức (2.13) tính ứng suất cho dạng công thức (7.17):
2
2
,
2
2
,
2
2 max
Điều kiện bền theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại:
2
Điều kiện bền theo biến dạng hình dáng cực đại:
2
Ví dụ Với trường hợp ví dụ hình 7.15, kiểm tra điều kiện độ cứng
400 l yl /
Tính mơ men quán tính:
4 3 10 398 10 32 073057 125 10 160 125 32 10 160 64 125 32 64 m D I , , , , , 6715 279 kNm
EI ,
(132)0025 400
1 009237
4 036948
2
, ,
,
/
l yl
Điều kiện độ cứng khơng thỏa mãn
Sẽ tính lại kích thước từ điều kiện độ cứng: + Từ điều kiện độ cứng, tính độ võng:
01 400
4 400
2 ,
/
l
yl
+ Bên cạnh từ sơ đồ đặt lực có:
2
3 31
31
/ l y E I y
EI
x ,
suy
y m cm
E D
l
13 10 1013 01 10
64 31
64 31
4
8
2
, ,
,
/
Kết luận chương
Chương xem xét toán uốn túy uốn ngang
(133)121
Thanh chịu lực phức tạp
8.1 Giới thiệu chung
Chương đến chương xem xét toán chịu lực đơn giản: chịu kéo (hoặc nén), chịu xoắn, chịu cắt, chịu uốn Trong toán này, tiết diện tồn thành phần nội lực độc lập: lực dọc trục, mô men xoắn, mô men uốn với lực cắt Ngoại lực có loại riêng biệt: lực tác dụng dọc trục F , ngẫu ngoại lực x Mx
nằm mặt phẳng vng góc với trục thanh, lực ngang Fy ngẫu lực mô
men M (uốn mặt phẳng xy) hay lực ngang z F ngẫu lực mô men z My
(uốn mặt phẳng xz)
Chương xem xét trường hợp chịu lực phức tạp Tổng quát tiết diện có đầy đủ sáu thành phần nội lực (hình 8.1)
Hình 8.1 Thanh chịu lực tổng quát
Đó lực dọc N (N), mơ men xoắn x M , lực cắt x Qy mô men uốn M z
(uốn mặt phẳng xy), lực cắt Q mô men uốn z My (uốn mặt
phẳng xz)
Qy
Qz
Nx
My
Mz
x z
(134)8.2 Trường hợp tổng quát
Sẽ tính ứng suất biến dạng tiết diện chịu lực tổng quát theo nguyên lý cộng tác dụng từ lời giải tốn chịu lực đơn giản
Cơng thức tính ứng suất pháp
Từ tốn chịu lực đơn giản cho thấy ứng suất pháp lực dọc mô men uốn gây ra:
N MzMy
,
z I M y I M A N
y y z
z
(8.1)
Đường trung hòa
Định nghĩa Đường trung hòa tiết diện quỹ tích điểm có ứng
suất pháp không
Từ định nghĩa công thức tính ứng suất pháp (8.1) có phương trình đường trung hòa:
0
z
I M y I M A N
y y z
z (8.2)
Phương trình 8.2 phương trình đường thẳng tiết diện xét Ở N,Mz,My nội lực gồm lực dọc trục, mô men uốn quanh
trục z, y tương ứng tiết diện Các đặc trưng hình học tiết diện
gồm diện tích A mơ men qn tính trục z, y tương
ứng tiết diện I ,z Iy
Tính chất đường trung hòa
Khi lực dọc trục khơng, đường trung hịa qua gốc tọa độ
Ứng suất pháp điểm P tiết diện tỉ lệ bậc với khoảng cách từ điểm đến đường trung hịa:
Kd P
, (8.3)
(135)2
1
y y z
z
I M I
M
K (8.4)
Những điểm có ứng suất pháp điểm nằm đường song song với trục trung hòa Tại điểm cách xa đường trung hòa nhất, ứng suất pháp đạt cực đại
Biểu đồ ứng suất pháp
Từ tính chất đường trung hịa có biểu đồ ứng suất pháp tiết diện hình 8.2 bước sau:
Kẻ đường vng góc với trục trung hòa gọi đường chuẩn điểm C Từ điểm P thuộc tiết diện kẻ đường song song với đường trung hòa cắt
đường chuẩn K
Tính ứng suất pháp P theo công thức (8.1) P
Từ K đặt tung độ nối với điểm C Biểu đồ ứng suất pháp giới P hạn hai đường song song với đường trung hòa tiếp xúc với chu vi tiết diện hai điểm cách xa đường trung hịa (hình 8.2)
Hình 8.2 Biểu đồ ứng suất pháp Biểu thức ứng suất pháp cực trị:
D y
y D z
z z
I M y I M A N
min
max (8.5)
Đường trung hòa
P
y
z
K
d P
C
2 D
(136)Đặt y D z điểm DD D2 – điểm nằm hai mép tiết diện cách xa đường trung hòa
Đối với tiết diện hình chữ nhật chữ I:
y y z
z W M
W M A N
min
max (8.6)
Đối với tiết diện hình trịn:
z y z u
u
W M M
A N W M A
N
min
max , (8.7)
trong Mu Mz2 My2 - mô men uốn tổng hợp, hình trịn mơ men
chống uốn trục qua tâm có giá trị 32
3
d
Wu
Điều kiện bền theo ứng suất pháp
Nếu kể đến ứng suất pháp, có điều kiện bền:
k n
min
max (8.8)
Trường hợp tổng quát:
k n D y
y D z
z
z I M y I M A N
(8.9)
Đối với tiết diện hình chữ nhật chữ I:
k n y
y z
z
W M
W M A N
(8.10)
Đối với tiết diện hình trịn:
k n z
y z
W M M
A N
2
(137)Ứng suất tiếp
Ứng suất tiếp mô men xoắn lực cắt gây ra:
Mx Qy Qz
(8.12)
Các thành phần ứng suất tiếp lực cắt có phương, chiều trùng với lực cắt gồm:
b I
S Q Q
z C z y y
, (8.13)
C z y z
y Q S Q
I h
(8.14)
Cịn ứng suất tiếp mơ men xoắn có phương, chiều phụ thuộc vào dạng tiết diện Đối với tiết diện trịn, ứng suất tiếp có phương vng góc với bán kính tiết diện, chiều theo chiều mơ men xoắn:
p x I M
(8.15)
Độ võng
Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt, tìm độ võng f mô men uốn gây ra:
y z f f
f
, hay 2
y z f f
f , (8.16)
trong f , z fylà độ võng mô men uốn M , z My gây
Các dịch chuyển thành phần tìm từ phương trình vi phân độ võng:
z z z
EI M f
y y y
EI M
f
Ví dụ Cho D0,1m, Q2 2kN; N 6,28kN ; qy 1kN/m, Mx 3,14kNm;
2
10
2 kN m
E / ,
10
160 kN /m
Kiểm tra độ bền mặt cắt ngàm (hình 8.3) theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại (bỏ qua ứng suất tiếp lực cắt)
(138)Hình 8.3
Ứng suất pháp gồm thành phần lực dọc trục, lực cắt lực phân bố gây
+ Từ lực dọc trục N đặt lệch tâm với điểm đặt (yN 0,zN D/2) có cơng thức tính ứng suất cho tiết diện hình trịn:
2 2 2 4000
1 kN m
D D D N F W z y F
N N N
N /
) / ( /
max
+ Từ lực cắt lực phân bố tính mô men uốn My M z
đầu A:
kN q
Q
Mz 1 cos450 32,512 2 2/2132,59,5 ,
kNm Q
My 45 2 2
0
sin /
Ứng suất pháp mô men uốn My M cho tiết diện hình trịn bằng: z
2 2 2 2 98887 14 32 32 m kN D M M W M
My z y z
M , /
, , , max
Vậy ứng suất pháp lớn tiết diện đầu A :
2
6 102887
98887
4000 kN m
M
N max , , /
max
max
Bỏ qua ứng suất tiếp lực cắt, ứng suất tiếp mo men xoắn M gây x
là:
2
3 314 01 16000
14 16 16 m kN D M W M x x x / , , , max
Tính ứng suất tương đương theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại:
1m 3m 2m
q
N y
z
x
Q Mx
D 450
450 Q
z
(139)2
2
2
8 107748 16000
4 102887
4 kN m
td , , /
Kết cấu đủ bền 1077488kN m2 160 103kN m2
td , / /
8.3 Các trường hợp chịu lực phức tạp
Uốn xiên
Như trình bày chương chịu uốn khơng mặt phẳng qn tính trung tâm có trường hợp uốn xiên Mơ men uốn ln tách làm hai thành phần mơ men hai mặt phẳng qn tính trung tâm
y
M M (hình 8.4) z
Nếu bỏ qua lực cắt nội lực tiết diện gồm mô men uốn M z y
M Biểu thức ứng suất pháp có dạng:
z I M y I M
y y z
z
(8.17)
Hình 8.4 Thanh chịu uốn xiên Nếu tiết diện tròn:
z y z W
M
M2
(8.18)
Phương trình đường trung hịa:
z ztg
M M I I y
z y y
z ,
My
Mz
x z
(140)trong
z y y z
M M I I
tg
Hình 8.5 Biểu đồ ứng suất pháp uốn xiên Kiểm tra bền theo công thức (8.10):
k y
y z
z W M
W M
, n
y y z
z W M
W M
(8.19)
Thiết kế kích thước theo phương pháp thử cho thỏa mãn điều kiện:
z y
z
cM M
W ,
trong
y z W W c
Độ võng tính theo cơng thức (8.16):
2
y z f f
f
và 2z 2y ,
trong f ,z fy, ,z ylà độ võng góc xoay mơ men uốn M , z My gây
Kéo (nén) uốn đồng thời
Biểu thức ứng suất pháp có dạng:
Đường trung hịa
min
D1
z
y
D2
(141)
z
Ni M y Ni M A
N z I M y I M A N
y y z
z y
y z
z
2
1 , (8.20)
trong i , z iy bán kính qn tính
Phương trình đường trung hịa:
0
1 2 2 z
Ni M y Ni M
y y z
z (8.21)
Ứng suất pháp cực đại tính theo (8.5-8.7) Kiểm tra bền theo ứng suất pháp theo cơng thức (8.9-8.11) Kích thước mặt cắt ngang tính theo ứng suất pháp phương pháp thử dần Các bước tính sau:
Bước Chọn kích thước ứng với mơ men uốn lớn Ví dụ Mz lớn chọn Wz Mz/ , sau lựa chọn mặt cắt với thơng số hình học cụ thể
Bước Tính ứng suất với thơng số hình học theo cơng thức (8.5-8.7) Bước Kiểm tra ứng suất tính theo cơng thức (8.9-8.11) Nếu thỏa
mãn dừng, khơng quay lại bước lựa chọn lại điều kiện bền theo ứng suất pháp thỏa mãn
Kéo (nén) lệch tâm
Khi chịu kéo (nén) lệch tâm điểm G (y , G z ) (hình 8.6), G
chuyển lực tâm tiết diện nhận được: Lực dọc N P,
Các mô men uốn M y PzG M z PyG
Vậy kéo (nén) lệch tâm tương đương với trường hợp kéo (nén) tâm uốn đồng thời Khi ứng suất pháp có dạng:
2
1
y G z G y
y z
z
i z z i
y y A P z I M y I M A N
(8.22)
(142)0
1 2 2
y G z G
i z z i
y y
,
hay
1
2
2
z G iy zG z y
i y
/
/ (8.23)
Hình 8.6 Thanh kéo lệch tâm
Khi kéo (nén) lệch tâm, đường trung hịa có tính chất sau:
Đường trung hịa phụ thuộc vào vị trí đặt tải không phụ thuộc vào tải trọng
Khi điểm đặt lực trục x đường trung hòa song song với trục y
ngược lại
Khi điểm đặt lực di chuyển đường thẳng n khơng qua trọng tâm
đường trung hịa quay quanh điểm có tọa độ:
0
n z y
i y ,
0
n y
z i
z , (8.24)
trong y , n0 z tọa độ giao điểm n0 n với trục y trục z Lõi tiết diện
Từ (8.24) nhận thấy đường trung hịa phụ thuộc vào vị trí đặt lực, nên xẩy hai trường hợp:
P
z
y x
P
G
z
y x
yG
zG
G y Pz
M
G z Py
(143) Đường trung hòa cắt qua tiết diện, ứng suất pháp tiết diện có giá trị dương âm
Đường trung hịa nằm ngồi tiếp xúc với chu vi tiết diện, ứng suất pháp điểm tiết diện dấu
Định nghĩa: Lõi tiết diện miền chứa trọng tâm tiết diện giới hạn chu tuyến kín để đặt lực vào bên lõi đường trung hịa nằm ngồi tiết diện, vị trí đặt lực chu tuyến đường trung hịa tiếp tuyến với chu vi tiết diện – điều có nghĩa ứng suất pháp điểm tiết diện có dấu
Các vật liệu bê tông, gạch đá chịu kéo kém, nên thiết kế cấu kiện chịu nén lệch tâm cần chọn điểm đặt lực cho tiết diện có ứng suất nén Có nghĩa chọn điểm đặt lực cho đường trung hịa khơng cắt qua tiết diện Do điểm đặt lực phải nằm miền lõi tiết diện
Kéo (nén) xoắn đồng thời
Khi chịu mô men xoắn M lực kéo (nén) dọc trục N đồng thời x
có ứng suất pháp:
A N
và ứng suất tiếp:
X x W
M
,
trong W mô men chống xoắn mặt cắt x Đối với tiết diện tròn
p x I M
p x W M
max
Ứng suất theo cơng thức (2.13):
2
2
2
2
(144)Kiểm tra bền theo thuyết bền,
Đối với vật liệu dẻo dùng thuyết bền thứ ba thứ tư:
tdIII 1 3 , (8.25)
tdIV 12 23 3 1 (8.26)
Đối với vật liệu kéo, nén khác dùng thuyết bền Mohr:
k
tdV
1 3
2
1
(8.27)
Uốn xoắn đồng thời
Cộng thêm vào trạng thái uốn xiên ứng suất tiếp chịu xoắn
Tiết diện hình trịn
Ứng suất uốn xiên có dạng:
z u I M z u W M max ,
trong Mu Mz2 My2
Ứng suất xoắn biểu diễn bằng:
p x I M z x p x W M W M max
tại điểm chu vi tiết diện
Ứng suất trạng thái ứng suất theo cơng thức (2.13) có dạng:
2
2
2
2
Kiểm tra bền theo thuyết bền,
Đối với vật liệu dẻo dùng thuyết bền thứ ba thứ tư:
z y z x tdIII W M M
M2 2
2
(145)
z
y z x tdIV
W
M M
M2 2
2
3
75
3 (8.29)
Đối với vật liệu kéo, nén khác dùng thuyết bền Mohr:
k z
y x z
y
tdV M M M M M
1 3 2 2
2
1
(8.30)
Tiết diện hình chữ nhật
Ứng suất tiếp đạt cực đại trung điểm cạnh dài (giả thiết cạnh dài cạnh song song với trục z):
xo x W M
2
max
Khi ứng suất pháp có giá trị:
z z W M
Tại trung điểm cạnh ngắn:
max
y y
W M
Điều kiện bền theo ứng suất pháp uốn xiên cần kiểm tra:
k y
y z
z W M
W M
, n
y y z
z W M
W M
Kết luận chương
Chương trình bày tốn chịu lực phức tạp Xem xét trường hợp tổng qt đưa cơng thức tính ứng suất dịch chuyển
(146)134
Ổn định thẳng
9.1 Giới thiệu chung
Như nói phần nhập mơn, mục đích môn học đánh giá độ bền, độ cứng độ ổn định cơng trình Các chương đến chương đề cập đến việc đánh giá trạng thái ứng suất, biến dạng dịch chuyển thanh, sau đánh giá độ cứng, độ bền trường hợp chịu lực khác Chương quan tâm đến vấn đề ổn định kết cấu Cụ thể ổn định thẳng chịu nén – bị uốn dọc nén uốn đồng thời
Như định nghĩa: Độ ổn định khả trì, bảo tồn dạng cân ban đầu trước tác dụng nhiễu động
Xét thẳng chịu nén tâm lực P (hình 9.1a)
Hình 9.1 Thanh chịu nén dọc trục
Nhiễu động mơ hình hóa lực ngang R Cho giá trị lực nén
tăng dần không Tác động vào lực ngang đủ nhỏ để dời khỏi vị trí thẳng (vị trí cân ban đầu), cong Dạng cong dạng cân nhiễu động Khi bỏ lực ngang xảy trường hợp sau:
a b c d
P P Pth P Pth P Pth
(147) Khi lực nén dọc trục nhỏ, nhỏ giá trị tới hạn P Pth, trở lại vị trí thẳng ban đầu Trạng thái cân ổn định (hình 9.1b)
Khi lực nén dọc trục lớn, lớn giá trị tới hạn P Pth, khơng trở lại vị trí thẳng ban đầu mà tiếp tục cong thêm Trạng thái cân khơng ổn định hay cịn gọi ổn định Do cong xuất hiện tượng uốn thanh, dẫn đến ứng suất biến dạng tăng bị phá hủy (hình 9.1d)
Khi lực nén dọc trục đạt giá trị tới hạn P Pth, không thẳng trở lại không cong thêm Trạng thái gọi trạng thái cân tới hạn (hình 9.1c)
Tương tự chịu uốn ổn định lực ngang Q vượt giá trị tới hạn Q Qth Khi khơng chịu uốn mà chịu xoắn
9.2 Lực tới hạn ứng suất tới hạn
Thanh liên kết khớp
Xét liên kết khớp hai đầu, chịu lực nén P tâm (hình 9.2)
Hình 9.2 Bài toán Euler
Giả thiết P Pth làm cong Tiết diện có tọa độ x bị uốn có độ
võng y Kí hiệu độ cứng chống uốn EI, mô men uốn mặt cắt là M Khi
đó có phương trình vi phân độ võng:
EI M
y (9.1)
y
P P
y
l x
(148)Mơ men uốn tính qua lực nén dọc trục độ võng:
Py
M (9.2)
Thế (9.2) vào (9.1) nhận phương trình vi phân:
2
y
y , (9.3)
trong đó:
EI P
2 (9.4)
Nghiệm (9.3) có dạng :
x C
x C
y 1cos 2sin ,
1
C C tìm từ điều kiện biên: 2
x 0, y0 suy C1 0, x l, y0 suy C sin2 l 0 Vì độ võng khác khơng nên C2 0,
l l k
sin
l k
, với k1, 32, (9.5)
Thay (9.5) vào (9.4), tính được:
2 2
l EI k
P , với k1, 32,
Đây điều kiện để độ võng khác không, tức điều kiện ổn định Giá trị P với k nhỏ k=1 giá trị tải trọng tới hạn:
2
l EI Pth
min
(9.6)
(149)Các dạng liên kết khác xem xét mục sau
Thanh thẳng có liên kết khác
Tương tự cách làm cho có liên kết khớp trên, xét điều kiện liên kết khác để tìm tải trọng tới hạn Cơng thức Euler (9.6) viết tổng quát sau:
2
td th
l EI
P , (9.7)
trong ltd l chiều dài tương đương thanh, l chiều dài thực Giá trị ứng với loại liên kết cách đặt tải cho hình 9.3
Hình 9.3 Giá trị ứng với loại liên kết
Ứng suất tới hạn độ mảnh
Tính ứng suất tới hạn theo công thức:
2 2
2
E
A l
EI A
Pth
th , (9.8)
trong
i l
A I l td
(9.9)
là độ mảnh thanh,
A I
i
bán kính quán tính nhỏ tiết diện
a b c d
th
P Pth th
P
th P
P
2
l
2
l
2
l
l
4
l
4
l
5 0,
0,
(150)Tải trọng tới hạn Euler tìm từ phương trình vi phân đường đàn hồi, vật liệu làm việc giới hạn đàn hồi tuyến tính, ứng suất tới hạn phải nhỏ ứng suất giới hạn tỉ lệ:
tl th
E
2
2
Từ rút quan hệ
tl E
2
Đặt:
tl E
2
0 , (9.10)
sẽ có điều kiện để áp dụng công thức Euler:
0
(9.11)
Với thép CT3: E=2,1.105 MN/m2(MPa), tl 210MPa:
100 100 10 210
10
2
2
0
,
Với gỗ 0 75; với gang 0 80 Giá trị lớn, dễ ổn định, gọi độ mảnh Những có lớn gọi có độ mảnh lớn, cịn có <0 gọi có độ mảnh vừa bé
9.3 Tính ổn định cho chịu nén
Như tính tốn chịu nén, ngồi kiểm tra điều kiện bền cần kiểm tra điều kiện ổn định cho lực dọc trục:
od od
th P n
P
N , (9.12)
hoặc kiểm tra cho ứng suất pháp:
od th od
n A
N
, (9.13)
(151)A diện tích nguyên tiết diện, tức diện tích tiết diện nơi không
bị giản yếu,
od
n hệ số an toàn ổn định,
P od tải trọng giới hạn ổn định,
od ứng suất giới hạn ổn định
Để tiện cho việc kiểm tra ổn định người đưa thêm đại lượng :
n
od
, (9.14)
ở
n
ch n
ứng suất giới hạn nén, ứng suất giới hạn chảy ch
n hệ số an tồn nén Khi (9.12) viết lại thành:
n A N
(9.15)
Trong công thức (9.14) đại lượng gọi hệ số giảm ứng suất cho phép nén hay hệ số uốn dọc Đại lượng thực chất hàm phụ thuộc vào độ mảnh :
od ch
th ch
od th
n od
n n
n n
(9.16)
và giá trị lập thành bảng cho vật liệu cho trước phụ lục Để kiểm tra ổn định sử dụng hai phương pháp:
Phương pháp thứ nhất: cho trước nod Phương pháp dùng
thiếu xác, phải định trước nod chưa biết độ mảnh Người
sử dụng thực tế vật liệu chưa có bảng () hay có độ mảnh vượt ngồi bảng ()
Phương pháp thứ hai: Sử dụng bảng hệ số uốn dọc ()
(152) Xác định tải trọng cho phép Kiểm tra ổn định
Thiết kế chọn lựa mặt cắt ngang có xét đến điều kiện ổn định
Xác định tải trọng cho phép
Phương pháp thứ nhất: Khi cho trước n xác định tải trọng cho phép theo ba od
bước sau:
Xác định độ mảnh theo (9.9):
i l
Xác định tải trọng tới hạn Euler theo (9.7):
2
td th
l EI
P
Tính tải trọng ổn định cho phép theo (9.12):
od th od
n P
P
Phương pháp thứ hai: Sử dụng bảng hệ số uốn dọc ()
Xác định độ mảnh theo (9.9):
i l
Xác định hệ số uốn dọc dựa độ mảnh theo bảng () Tính tải trọng cho phép: P A
Kiểm tra ổn định
Tiến hành theo hai phương pháp trên, tương tự xác định tải trọng cho phép
Bài toán thiết kế
Phương pháp thứ dùng thiếu xác
Phương pháp thứ hai: Sử dụng bảng hệ số uốn dọc ()
(153) Tính diện tích tiết diện theo
n od
P P
A , chọn kích thước mặt cắt hay
số hiệu thép hình từ bảng đặc trưng thép hình phụ lục Tìm I, i
Tìm giá trị từ bảng () Nếu 1 khác nhiều so với 1 lặp lại quy trình với hệ số uốn dọc 2 0,5(1) sai khác không 5%
Phương pháp hỗn hợp: Sử dụng bảng hệ số uốn dọc ()
Chọn hệ số nod tương ứng với vật liệu (thép nod 2, gang nod 5 gỗ
3
od
n )
Tìm Imin từ cơng thức (9.6)
Chọn kích thước mặt cắt hay số hiệu mặt cắt (thép hình), tính A, i,
Xác định từ bảng () tính od n
Kiểm tra điều kiện ổn định (9.14) Nếu không thỏa mãn, thay đổi (theo phương pháp thứ hai) hay thay đổi kích thước mặt cắt
9.4 Uốn ngang uốn dọc đồng thời
Phương trình vi phân đường đàn hồi
Xét chịu đồng thời tải trọng ngang tải trọng dọc mặt phẳng xy (hình 9.4a)
Hình 9.4 Thanh chịu uốn ngang uốn dọc đồng thời
P
y
1 F
a x
R
1 F
2 F
y R
P
a
b
(154)Bằng phương pháp mặt cắt (hình 9.4b) xác định mơ men uốn mặt cắt có tọa độ x:
Rx F x a
Py
Mz 1
Số hạng Py uốn dọc tải trọng dọc P gây ra, phụ thuộc vào độ võng
Các số hạng dấu ngoặc vuông xác định tốn uốn ngang bình thường, kí hiệu M Khi viết lại: z
z z Py M
M (9.17)
Thay vào phương trình vi phân độ võng:
z z EI M y
nhận được:
z z EI
M y
k
y , (9.18)
trong
z EI
P
k 2 (9.19)
Nghiệm (9.18) có dạng:
y y
y
y nghiệm tổng qt phương trình có dạng:
kx C
kx C
y 1cos 2sin
y nghiệm riêng phụ thuộc vào biểu thức cụ thể mô men uốn ngang M ,
tức phụ thuộc vào dạng tải trọng tác dụng
Biểu thức gần độ võng
Thanh có liên kết khớp hai đầu
Giả thiết tải trọng ngang hướng phía đối xứng qua mặt cắt dầm Khi độ võng cực trị f vị trí dầm Chọn hàm độ võng thỏa
(155)l x f
y sin (9.20)
Độ võng y viết dạng tương tự:
l x f
y sin (9.21)
Độ võng f tải trọng ngang dầm hồn tồn tìm phương pháp quen thuộc giải toán chịu uốn y thỏa
mãn phương trình vi phân đường đàn hồi:
z z EI M y
Thế vào phương trình (9.17) nhận được:
y y k
y (9.22)
Thay (9.20), (9.21) vào (9.22), nhận biểu thức:
th P
P f f
1
, 2
2 l
EI
P z
th
(9.23)
Thay (9.23) vào (9.20):
th
P P y y
1
(9.24)
Có thể dùng (9.24) cho dạng liên kết khác ý biểu thức lực tới hạn lúc tính sau:
2
l EI
P z
th
Biểu thức gần mô men uốn
(156)th z
z z
P P y P M M Py M
1
(9.25)
Sử dụng phép gần sau đây:
Từ phương trình vi phân đường đàn hồi có:
y y M M
z z
Thay biểu thức độ võng y (9.20) y (9.21) vào quan hệ trên:
th z
z
P P f
f M M
1
Nhận biểu thức gần mô men uốn:
th z z
P P M M
1
(9.26)
Ứng suất điều kiện bền
Thanh chịu tải trọng dọc trục tải trọng ngang có biểu thức ứng suất pháp :
y I M A P
z z
Sử dụng công thức gần mơ men uốn có ứng suất pháp cực đại:
th z
z z
z
P P W
M
A P W
M A P
1
max (9.27)
(157)y th
z z
P nP W
M n A
nP
1
(9.28)
Chú ý cần kiểm tra ổn định thanh:
n A P
, (9.14)
trong hệ số uốn dọc tra từ bảng cho loại vật liệu hàm độ mảnh
Kết luận chương
Chương trình bày ổn định thẳng Đưa định nghĩa trạng thái ổn định, lực tới hạn theo Euler ứng suất tới hạn
Xem xét ổn định chịu nén tâm sử dụng tham số hệ số uốn dọc hàm độ mảnh Hệ số uốn dọc tỉ lệ ứng suất cho phép ổn định ứng suất cho phép nén, gọi
hệ số suy giảm ứng suất cho phép nén
(158)146
TÍNH TỐN HỆ THANH
Mục đích phần hai nghiên cứu phương pháp phân tích kết cấu dạng khung, dàn Như nói phần nhập mơn, đối tượng phần kết cấu hợp thành từ phần tử có kích thước đủ dài so sánh với mặt cắt ngang, dầm, dàn phẳng, dàn không gian, khung phẳng, khung ngang khung khơng gian hình
Lưu ý phân tích hệ thanh, chấp nhận giả thiết:
Chuyển vị góc xoay kết cấu thay đổi tuyến tính lực tác dụng, có nghĩa chúng tỷ lệ với lực tác dụng;
Biến dạng nhỏ, biến dạng tỉ đối 1, có nghĩa chuyển vị nhỏ so với kích thước kết cấu, suy điểm đặt lực không thay đổi trình biến dạng
Từ hai giả thiết trên, có nguyên lý cộng tác dụng: Dưới tác động tổ hợp lực cộng dồn ứng suất, biến dạng chuyển vị gây lực riêng biệt;
Ứng xử vật liệu đàn hồi, tuân thủ định luật Hooke
Các hệ khảo sát chủ yếu hệ siêu tĩnh Phân tích hệ siêu tĩnh dẫn đến giải hệ phương trình tuyến tính với số ẩn phụ thuộc vào phương pháp lựa chọn Khi tính tốn máy tính bấm tay sử dụng thuật tốn lặp hay chỉnh dần để làm giảm số phép tính Trong khn khổ giáo trình này, phương pháp lực, phương pháp chuyển vị phương pháp cơng ảo trình bày chương 11, 12 13
(159)147
Hệ siêu tĩnh
10.1 Siêu tĩnh
Xét vật thể tự chịu lực không gian Khái niệm lực bao gồm lực tập trung cặp ngẫu lực (hay mô men)
Vật thể trạng thái cân tổng lực tác dụng thỏa mãn phương trình cân tĩnh học:
,
, ,
,
,
Fx 0 Fy 0 Fz 0 Mx 0 My 0 Mz 0 (10.1) Trong không gian trực giao ba chiều có sáu phương trình cân Khi xét mặt phẳng cịn lại ba phương trình:
,
,
Fx 0 Fy 0 Mz 0 (10.2)
Khi kết cấu trạng thái cân thành phần tạo thành trạng thái cân Có nghĩa phần tử, nút hay phần kết cấu trạng thái cân
Phân tích kết cấu xác định phản lực gối đỡ ứng suất nội lực gây Khi số phương trình cân đủ để xác định lực cần tìm kết cấu (hệ) gọi tĩnh định Khi số lực cần tìm lớn số phương trình cân tĩnh học kết cấu (hệ) gọi siêu tĩnh Phần lớn kết cấu thực tế hệ siêu tĩnh
Như vậy, bậc siêu tĩnh hệ số phản lực liên kết số nội lực trừ số phương trình cân
Phân loại hệ siêu tĩnh
Hệ siêu tĩnh ngoại, siêu tĩnh nội hai
(160)Hình 10.1 Các ví dụ bậc siêu tĩnh ngoại
Siêu tĩnh nội số phương trình cân đủ để xác định phản lực, nội lực khơng thể tìm sử dụng phương trình cân (hình 10.2) Giải phóng nội lực cách cắt hay đặt khớp nối đưa hệ hệ tĩnh định Bậc siêu tĩnh nội số nội lực cần giải phóng
Hình 10.2 Các ví dụ bậc siêu tĩnh nội
Siêu tĩnh ngoại nội Xét ví dụ hệ khung phẳng hình 10.3 Hệ có bốn phản lực, có bậc siêu tĩnh ngoại Nhưng để xác định nội lực cần giải phóng nội lực hai mặt cắt, suy có sáu bậc siêu tĩnh nội Tổng cộng có bảy bậc siêu tĩnh
Tương tự, xét hệ khung không gian hình 10.4 Tại ngàm có sáu thành phần phản lực, tổng cộng có 24 phản lực Có sáu phương trình cân bằng, bậc siêu tĩnh ngoại 18 Để xác định nội lực cần giải phóng mặt cắt, có sáu bậc siêu tĩnh nội Tổng cộng 24 bậc siêu tĩnh
1 R
2
R R3
1 R
2
R R3
1 R
2
R R3
1 R
2
R R3
Một bậc siêu tĩnh
Một bậc siêu tĩnh
Một bậc siêu tĩnh Hệ tĩnh định
1
R R2 R3
4
R R1
2 R
3 R
4 R
1
R R2 R3
4 R
1 R
2 R R
4 R
(161)Hình 10.3 Kết cấu siêu tĩnh nội ngoại
Xét hệ mạng dầm hình 10.5 Do chịu lực vng góc với mặt phẳng
xz nên thành phần phản lực X, Z, My gối đỡ nội lực X, Z, My phần tử triệt tiêu Như vậy, tổng cộng có 24 phản lực ba phương trình cân bằng, suy hệ có 21 bậc siêu tĩnh ngoại Để tìm nội lực, cần phải giải phóng nội lực bốn thanh, có ba bậc siêu tĩnh nội Hệ có tổng cộng 24 bậc siêu tĩnh Trường hợp hệ lưới không chịu xoắn, có nghĩa liên kết liên kết khớp, mô men xoắn bị triệt tiêu nên hệ 12 bậc siêu tĩnh
Hình 10.4 Hệ khung khơng gian Hình 10.5 Hệ lưới ngang
Xác định bậc siêu tĩnh
Xét dàn phẳng có r phản lực, m phần tử j nút khớp:
+ Lực cần tìm gồm m nội lực thanh, r phản lực, tổng cộng m+r
+ Tại nút có hai phương trình cân bằng: ;
,
Fx 0 Fy 0
x M
y M
z M
x M
z M X
Y Z
x
Y z
y R
2
R R3 R4
1 R
2
(162)vậy tổng 2j phương trình
+ Vậy số bậc siêu tĩnh là:
j r m
i( )2 (10.3)
Với dàn khơng gian có r phản lực, m phần tử j nút khớp:
+ Tại nút có ba phương trình cân bằng: ,
,
,
Fx 0 Fy 0 Fz 0
+ Vậy số bậc siêu tĩnh là:
j r m
i( )3 (10.4)
Ví dụ, tìm bậc siêu tĩnh cho kết cấu hình 10.6 + Dàn phẳng a: r=4, m=18, j=10, i=2,
+ Dàn không gian b: m=3, r=9, j=4, i=0 - dàn tĩnh định,
+ Dàn c: m=13, r=12, j=8, i=1
Hình 10.6 Tính bậc siêu tĩnh cho hệ dàn
Xét khung phẳng có m phần tử, r phản lực j nút liên kết cứng:
+ Có thể tìm nội lực (hình 10.7a) biết ba sáu lực đầu phần tử, có ba nội lực cần tìm
a r=4, m=18, j=10 i=2 b m=3, r=9, j=4 i=0
c m=13, r=12, j=8 i=1
R R2
3 R
R
1 R
(163)+ Tổng số lực cần tìm 3m+r
+ Tại nút có ba phương trình cân bằng, gồm hai phương trình lực phương trình mơ men:
Fx 0, Fy 0, Mz 0 + Như số bậc siêu tĩnh là:
j r m
i(3 )3 (10.5)
Hình 10.7 Tính bậc siêu tĩnh cho khung phẳng khung không gian Khung không gian với m phần tử, j nút, r phản lực:
+ Có thể tìm nội lực (hình 10.7c) biết sáu 12 lực đầu phần tử, có sáu nội lực cần tìm
+ Tổng số lực cần tìm 6m+r
+ Tại nút có sáu phương trình cân bằng, gồm ba phương trình lực ba phương trình mơ men (10.1)
b m=7, r=4, j=6 i=7
c Lực đầu phần tử a Lực đầu phần tử
d m=8, r=24, j=8i=24
R
2
R R3
4 R
x M
y M
z M
X
Y Z
x
z y
x
2 F
1 F F
4 F
5 F F F F
3 F
4 F F
6 F
12
F F10
8 F
7 F
11 F
(164)+ Số bậc siêu tĩnh là:
j r m
i(6 )6 (10.6)
Ví dụ:
+ Khung phẳng (hình 10.7b) có bảy m=7, bốn phản lực r=4, sáu
nút j=6, có bậc siêu tĩnh là: i (374)367
+ Khung khơng gian (hình 10.7d) có tám m=8; có bốn nút bị ngàm
chặt nên số phản lực r=24, có tổng cộng tám nút j=8; bậc siêu
tĩnh i(6824)6824
10.2 Bậc tự
Các phương pháp chung giải tốn siêu tĩnh
Mục đích phân tích kết cấu tìm ngoại lực (các thành phần phản lực) nội lực thỏa mãn điều kiện cân bằng, điều kiện liên kết Biến dạng lực gây đảm bảo tính tương thích, tính liên tục điều kiện gối đỡ
Như biết, để phân tích hệ siêu tĩnh, ngồi phương trình cân cần phải đưa thêm liên hệ hình học biến dạng - gọi điều kiện hình học (hay điều kiện tương thích) Các liên hệ đảm bảo tính tương thích chuyển vị với hình học kết cấu
Có hai cách tiếp cận để phân tích kết cấu:
Phương pháp lực (phương pháp độ mềm): giải phóng số liên kết để kết cấu thành tĩnh định Sẽ xuất khơng tương thích chuyển vị Sự khơng tương thích điều chỉnh cách đặt thêm lực
Phương pháp chuyển vị (phương pháp độ cứng): thêm ràng buộc hạn chế chuyển vị, xác định phản lực ràng buộc đó, sau cho phản lực không để xác định chuyển vị điểm bị hạn chế
(165)Phương pháp chuyển vị: Chọn ẩn chuyển vị nút, số lực ràng buộc thêm vào số chuyển vị nút Như chuyển vị cần tìm không xác định động học, gọi bậc tự
Xác định bậc tự hệ
Như vậy, chuyển vị nút ẩn phương pháp chuyển vị Ví dụ hình 10.8, ngàm C khơng có chuyển vị, gối đỡ A, B khơng có chuyển vị thẳng có góc xoay Vậy số chuyển vị chưa biết 2, gồm D 1
và D 2
Hình 10.8 Ví dụ bậc tự
Chuyển vị nút độc lập chuyển vị thay đổi độc lập, không phụ thuộc vào thay đổi chuyển vị khác Số chuyển vị nút độc lập số bậc tự (bậc không xác định động học) hệ
Chú ý phân biệt bậc siêu tĩnh bậc tự Hệ hình 10.6b, bậc siêu tĩnh bậc tự Cịn hệ hình 10.6c, bậc siêu tĩnh 1, bậc tự 12
Trên hình 10.9 ví dụ xác định bậc tự hệ Hệ dàn phẳng (hình 10.9a) có bậc tự chuyển vị ngang chuyển vị dọc nút A Hệ khung khơng gian (hình 10.9b), nút tự khung thực chuyển vị thẳng chuyển vị xoay, tổng số bậc tự do; hệ có bốn nút A, B, C D, có 24 bậc tự Trong hệ lưới ngang (hình 10.9c), nút tự lưới thực chuyển vị thẳng đứng chuyển vị xoay, tổng số bậc tự do; hệ có bốn nút A, B, C D nên hệ có 12 bậc tự
10.3 Đường ảnh hưởng
Người thiết kế quan tâm đến nội lực tác động tải cố định hoạt tải Ví dụ, tải cố định tải trọng thân, hoạt tải máy móc đặt sàn, tải bánh xe tác động lên cầu Khi phân tích hoạt tải thường biểu diễn tải phân bố hay tổ hợp tải tập trung
A B C
2 D
(166)Hình 10.9 Ví dụ bậc tự số kết cấu
Khi thiết kế, cần quan tâm đến giá trị cực đại nội lực mặt cắt khác Do vậy, hoạt tải đặt vị trí làm cho nội lực đạt cực đại Để xác định vị trí tải di động gây nội lực cực đại, người ta dùng đường ảnh hưởng
Trước tiên, xét ảnh hưởng tải di động lên dầm đơn giản
Ảnh hưởng lực tập trung
Xét ảnh hưởng lực tập trung chuyển động dọc dầm đơn giản hình 10.10a Biểu đồ lực cắt mơ men dầm có lực tập trung tác dụng mặt cắt n dầm biểu diễn hình 10.10b
10.10c Cơng thức tính lực cắt mơ men cực đại lực tập trung đặt mặt cắt n có dạng:
l l-x x P M
l x P Q
l l-x P
Qnmax ; nmax ; nmax (10.7)
Đường bao lực cắt cực đại biểu diễn hình 10.10d đường thẳng Đường bao mơ men cực đại biểu diễn hình 10.10e đường parabol bậc hai Chúng gọi biểu đồ lực cắt cực đại biểu đồ mô men cực đại Khi thiết kế, chúng cho biết nội lực cực đại mà mặt cắt phải chịu
A
B C
D a
b
c
2 D D
A
2 D
1 DD4 D
6 D
5 D
2 D D P
3 D
P
P
B
D A
(167)Hình 10.10
Ảnh hưởng lực phân bố
Dầm chịu lực phân bố đặt toàn phần độ dài Mô men cực đại xuất lực phân bố tồn độ dài dầm Cịn lực cắt dương (âm) đạt cực đại lực phân bố nằm toàn phần bên phải (bên trái) mặt cắt Cơng thức tính lực cắt mơ men cực đại mặt cắt có dạng:
2
2
2
l-x x q M
l x q Q
l l-x q
Qnmax ; nmax ; nmax (10.8)
Biểu đồ lực cắt cực đại mô men cực đại biểu diễn hình 10.11 parabol bậc hai
Hình 10.11
x
a
b
c
d
e
P P
P
l P(l-x)
l Px
l P(l-x)x
4
Pl
8
2 ql
+
ql
2
(168)Ảnh hưởng hai lực tập trung
Hai lực tập trung P 1 P2, cách đoạn s, chuyển động dọc theo dầm gối tựa đơn giản (hình 10.12a), có độ dài l
Hình 10.12
Tại mặt cắt n bất kì, P 1 P tác2 dụng trực tiếp vào mặt cắt hình 10.12b 10.12c, mơ men đạt cực đại lực cắt đạt giá trị cực đại dương âm biểu diễn công thức:
s l x x l s x l P P l l-x x
Mn
max , (10.9)
s x l
x l s x l P P l l-x x
Mn
max , (10.10)
s l x l s x l P l x l P
Qnmax 1 2 0 , (10.11)
l x s l x P l x s P
Qnmax 1 2 (10.12)
+
s
s
(10.11) (10.14)
(10.15) (10.12) AC l AC l
(10.9) (10.10)
MC
A C
8 AC ql BC ql B B A s
P P2
B A
s
P P2
B A
s
P P2
(169)trong s khoảng cách hai lực l độ dài dầm
Khi dầm có lực P hình 10.12d có 1 P mơ men 2
cực đại lực cắt đạt giá trị dương giá trị âm cực đại biểu diễn qua biểu thức:
l x s l khi l
l-x x P
Mnmax 1 , (10.13)
l s x l khi
l l-x P
Qnmax 1 ; , (10.14)
s x khi l
x P
Qnmax 2 ; 0 (10.15)
Biểu đồ mô men cực đại biểu diễn công thức (10.13) )
/( 1 2
2 P P lP
s Trên hình 10.12e biểu diễn biểu đồ mô men cực đại cho trường hợp slP2/(P1 P2)
Hình 10.12f biểu diễn biểu đồ lực cắt cực đại
Ảnh hưởng nhiều lực tập trung
Xét mặt cắt n (hình 10.13a), mơ men đạt cực đại
lực tập trung di động đặt vào mặt cắt
Hình 10.13
Thử tính cho lực tìm lực gây mơ men cực đại Mnmax+ Cịn lực cắt dương đạt cực đại tất lực nằm bên phải n (hình
P1 P2 P3 Pm s1 s2 sm-1
Hợp lực =P n
x
c
P1 P2 P3 Pm
n
P1 P2 P3 Pm
n P1 P2 P3 Pm
c/2 c/2
a b
(170)10.13c) Tương tự, lực cắt âm đạt cực đại tất lực nằm bên trái n (hình 10.13d)
Xét vị trí mà mơ men đạt cực đại tuyệt đối biểu đồ mô men cực đại Vị trí thường gần vị trí hợp lực Giả thiết mô men cực đại tuyệt đối đạt lực P3, cần xác định vị trí x cho mô men uốn Mn đạt cực đại:
2 2 s s Ps P
x R
Mn A , (10.16)
P
l c x l
RA (10.17)
Giá tri cực đại đạt 0
x Mn
nên:
2
2x c x l c
l l
P dx
dMn
(10.18)
Đường ảnh hưởng dầm đơn giản dàn
Các mục xét tới ảnh hưởng tải di động dầm đơn giản Đường ảnh hưởng xây dựng để biểu diễn giá trị phản ứng mặt cắt định lực đơn vị di động dầm Phần xem xét đường ảnh hưởng lực cắt, mô men uốn dầm lực dọc trục hệ dàn gối tựa đơn giản Hình 10.14a biểu diễn đường ảnh hưởng lực cắt Q , mô men n M , phản lực gối tựa n R A R mặt cắt n B
Tung độ mặt cắt x giá trị Q n M lực đơn vị đặt n
đúng tọa độ x Tung độ dương vẽ xuống xây dựng đường
ảnh hưởng cho dầm đơn giản từ toán tĩnh học đơn giản sau: lực đơn vị đặt tọa độ x phản lực:
l x l
RA ,
vậy tung độ đường ảnh hưởng R A R là: B
l x l A
R
,
l x B
R
(171)Hình 10.14
Lực cắt n, Qn RA lực đơn vị nằm vị trí đoạn bên phải từ n đến B Tương tự, Qn RB lực đơn vị nằm đoạn bên trái từ A
đến n Đối với mô men, lực đơn vị nằm đoạn bên phải từ B đến n b
R
Mn A Tương tự, lực đơn vị nằm đoạn bên trái từ A đến n c
R
Mn B (hình 10.14a)
Đối với dàn, xây dựng đường ảnh hưởng cho nội lực Dựng đường ảnh hưởng lực dọc trục từ đường ảnh hưởng phản lực gối đỡ Khi lực nằm đoạn B D:
l b
l bc
B Tải đơn vị di động
Đường ảnh hưởng Qn
A
l c
b l c
n x
n 1,,0
A
n B
A
B A
Đường ảnh hưởng Mn
B A
Đường ảnh hưởng RB
Đường ảnh hưởng RA
R1
A
R4
C D B
Tải đơn vị di động
R1
A
R4
C D
B N1
N2
N3
h b 4
3 /
B A
C
sin /
B A
C
D D
sin /
h b /
B
A C D
Đường ảnh hưởng N1
Đường ảnh hưởng N2
Đường ảnh hưởng N3
a b
0 1,
0 1,
0 1,
(172)h b R N1 A ,
sin
A
R
N2 ,
h b R N3 A2
Còn lực nằm khoảng C A:
h b R N1 A3 ,
sin A R
N2 ,
h b R N3 A2
Đường ảnh hưởng ba lực dọc trục biểu diễn hình 10.14 b Ví dụ
Tìm mơ men lớn lực cắt lớn mặt cắt x0,4l cho trường hợp ba tải di động hình 10.15a
Hình 10.15
Đường ảnh hưởng cho mơ men M biểu diễn hình 10.15b Mơ men n n
M tải trọng đặt vào vị trí tính bằng:
i i i n P M B
A b c
l
n
l
4 0,
s s0,2l
W P , W P , W P , s c a d b n B A
Đường ảnh hưởng Mn
3 P
2 P P1
1
P P2 P3 l b
0 1,
Đường ảnh hưởng Qn l c 1, n B A e l 24 0, l 16 0, l 08 0, l 12 0,
(173)trong đó, tung độ đường ảnh hưởng điểm đặt lực i P Giá trị cực i
đại M tìm phép thử Ba phép thử đầu, cho lực di chuyển theo n
đúng trình tự, lực P1, P2 P3 đặt vào n được: Wl Wl
Mn1 (0,240,20,160,80,080,8)0,24 ,
Wl Wl
Mn2 (0,120,20,240,80,160,8)0,344 ,
Wl Wl
Mn3 (00,20,120,80,240,8)0,288
Phép thử thứ tư, tiến hành cho lực di chuyển theo trình tự ngược lại, với P3 đặt mặt cắt n, hai lực lại phía bên phải hình 10.15d, nhận được:
Wl Wl
Mn4 (0,240,80,160,80,080,2)0,336
Phép thử thứ năm, cho lực P đặt mặt cắt n, hai lực lại 3 P 1 P đặt 2
ở phía bên trái hình 10.15e, nhận được:
Wl Wl
Mn5 (0,160,80,240,8)0,32
Như vậy, với phép thử thứ hai, lực P đặt vào điểm n hình 2
10.15b mơ men đạt cực đại
Đường ảnh hưởng lực cắt biểu diễn hình 10.15c, lực cắt đạt cực đại dương trường hợp đặt tải hình 10.15d đạt cực đại âm trường hợp tải hình 10.15e:
W W
Qmax (0,60,80,40,80,20,2)0,84 ,
W W
Qmax (00,20,20,80,40,2)0,48
Kết luận chương 10
(174)hệ dàn phẳng, dàn không gian (khớp nối nút), khung phẳng khung không gian (nối cứng nút)
Có hai phương pháp phân tích kết cấu Phương pháp thứ phương pháp lực hay gọi phương pháp độ mềm Phương pháp giải phóng liên kết để kết cấu trở thành tĩnh định, sau tính tổng chuyển vị sai lệch chuyển vị hiệu chỉnh cách đặt lực dư vào hướng liên kết giải phóng Từ thu phương trình tương thích, lời giải chúng lực cần tìm
Trong phương pháp chuyển vị (phương pháp độ cứng), cần đưa vào ràng buộc nút Sau tính lực ràng buộc hạn chế chuyển vị Tiếp theo, cho phép chuyển vị hướng có lực ràng buộc cho lực ràng buộc triệt tiêu Cuối thu hệ phương trình cân bằng, lời giải hệ chuyển vị cần tìm Nội lực kết cấu xác định phép tổ hợp tác động chuyển vị vừa tính chuyển vị ngoại lực kết cấu bị hạn chế dịch chuyển
(175)Bài tập chương 10
10.1 Với kết cấu đây:
– Xác định bậc siêu tĩnh đưa giải phóng liên kết thích hợp để kết cấu trở thành tĩnh định
– Xác định bậc tự chuyển vị
Hình 10.16
10.2 Vẽ biểu đồ lực cắt biểu đồ mô men cho dầm khung đây:
Hình 10.17
10.3 Xác định mô men uốn cực đại vị trí dầm đơn giản có độ l chịu trường hợp tải trọng di động sau:
a) Hai lực P1 P2 W, khoảng cách hai lực s0,2l; b) Hai lực P1 P2 W, khoảng cách hai lực s0,55l;
c) Ba lực P1 P2 W, P3 0,5W, khoảng cách lực s0,2l;
d) Ba lực P1 0,2W, P2 P3 0,8W, khoảng cách lực s0,2l
l
6
l
4
0 0.2l
ql 0.5ql
l
l l
o
90
P
(176)164
Phương pháp lực
11.1 Mô tả phương pháp
1 Đầu tiên, xác định bậc siêu tĩnh Đưa hệ siêu tĩnh hệ tĩnh định cách giải phóng số liên kết, có nghĩa thay phản lực hay nội lực lực dư (phải đảm bảo kết cấu khơng biến hình) Số liên kết cần giải phóng số bậc siêu tĩnh Nói chung, lực cần giải phóng (được gọi lực dư) cần lựa chọn cho hệ kết cấu giải phóng thành hệ tĩnh định dễ phân tích Chú ý việc lựa chọn khơng Khi giải phóng liên kết dẫn đến khơng tương thích chuyển vị
Do vậy, bước thứ hai phải xác định sai lệch chuyển vị hệ tĩnh định (đã giải phóng liên kết) Tính sai lệch chuyển vị tọa độ ứng với lực dư chọn Những sai lệch ngoại lực, lún gối đỡ hay biến dạng nhiệt
3 Bước thứ ba, cho hệ tĩnh định (đã giải phóng liên kết) chịu lực dư đơn vị, sau xác định chuyển vị Những chuyển vị có vị trí hướng chuyển vị xác định bước thứ hai
4 Các lực dư tọa độ chọn phải có giá trị cho sai lệch chuyển vị bị triệt tiêu Như vậy, thu phương trình tổng hợp chuyển vị lực dư riêng biệt (xác định bước thứ ba) cộng với chuyển vị tương ứng hệ tĩnh định (xác định bước thứ hai)
5 Từ tìm lực kết cấu siêu tĩnh ban đầu, chúng tổng lực dư lực hệ tĩnh định (đã giải phóng liên kết)
Quy trình trình bày qua ví dụ
Ví dụ 11.1 Xét ví dụ hình 11.1a Dầm ABC ngàm cứng đầu C, tựa hai gối di động A B, chịu tải phân bố q toàn dầm Độ cứng
(177)Hệ có hai bậc siêu tĩnh, cần giải phóng hai lực dư Có số lựa chọn: bỏ phản lực thẳng đứng A B bỏ mô men C thêm khớp nối B (được xem xét sau, hình 11.2) Dưới chọn phương án giải phóng phản lực thẳng đứng B mô men uốn C, đưa hệ dầm đơn giản hình 11.1.b Vị trí hướng lực dư, chuyển vị, gọi tọa độ
Hướng lực dư F , 1 F tùy chọn Sau hướng chuyển vị 2
phải tương ứng với lực dư Để thuận tiện dùng ký hiệu số 1, 2, n
Hình 11.1 Ví dụ mơ tả phương pháp lực
Trong ví dụ này, lực dư chuyển vị tương ứng F , 1 M 2 D , 1 D (hình 2
11.1b)
Trên sơ đồ hệ tĩnh định này, xác định chuyển vị D 1 D2 tác động lực phân bố (hình 11.1c) Chúng sai lệch chuyển vị, thực tế (hình 11.1a), chuyển vị phải không Sử dụng phụ lục 6, tính giá trị chuyển vị D 1 D : 2
EI ql D
EI ql D
24 24
5
2
1 ; … (11.1)
l l
1
1
14
2
ql
7 8ql
a b
c d
e
f B
A C
,
1 F
1 D
,
2 M D2
1
D D2
q
ql q
ql R
2 R
3 R
4 R
5 R
11
f f12
12
f f22
2
1 12
l
2
(178)Sau tìm chuyển vị gây tác động lực dư đơn vị (như hình 11.1d 11.1e) Cũng sử dụng phụ lục 6, nhận được:
3 11
6
l f
EI
,
2 12
4
l f
EI
,
2 21
4
l f
EI
, 22
3
l f
EI
(11.2)
Tổng quát, fij chuyển vị tọa độ thứ i lực đơn vị tọa độ thứ j gây
ra
Điều kiện hình học tốn điều kiện chuyển vị thẳng đứng điểm B (D ) chuyển vị xoay điểm C (1 D ) bị triệt tiêu 2
Chuyển vị tổng cộng tọa độ chọn tổ hợp tác động ngoại lực lực dư hệ tĩnh định giải phóng Như vậy, điều kiện hình học viết:
0
2 22 21
2 12 11
F f F f D
F f F f D
(11.3)
Thế biểu thức (11.1) D , 1 D (11.2) 2 f11,f12, f ,21 f22 vào (11.3) tìm lực dư F 1 F2
11.2 Ma trận độ mềm
Phương trình (11.3) viết dạng ma trận:
f F D (11.4)
trong đó:
; ;
2 22
21 12 11
1
F F F f
f f f f D
D D
Véc tơ D phụ thuộc vào ngoại lực Ma trận f chuyển vị lực dư
đơn vị gây ra, ma trận f phụ thuộc vào đặc trưng kết cấu
gọi ma trận độ mềm, phần tử ma trận gọi hệ số ảnh hưởng mềm
Các thành phần véc tơ lực dư F xác định từ phương trình sau:
(179)Trong ví dụ hình 11.1:
2
3 2 3 3 12 4
24 l l
l l EI f EI l EI l EI l EI l f l EI ql
D ; ;
Giải phương trình (11.5) thu lực dư:
l ql l l l l EI ql l EI D f F F F 16 14 3 24 12 3
Kết nhận hệ lực tác động lên hệ tĩnh định hình 11.1f Sau đó, phương pháp thơng thường tìm nội lực phản lực
Chú ý, ma trận độ mềm phụ thuộc vào hệ lực dư chọn Cũng với ví dụ 11.1 này, chọn hệ lực dư khác (hình 11.2)
Hình 11.2 Hệ lực dư khác cho kết cấu siêu tĩnh
Áp dụng trình tự tính tốn trình bày cho hai hệ lực dư này, véc tơ chuyển vị, ma trận độ mềm lực dư ứng với trường hợp sau:
(a) ; ; ; .
32 11 28 16 5 5 16 17 48 24 3 ql F l EI f EI l f EI ql D
(b) ; ; ; .
28 1 1 24 ql F l EI f EI l f EI ql D
Đáp ứng kết cấu (phản lực nội lực) xác định tổ hợp ảnh hưởng ngoại lực lực dư:
ui ui uin n
si
i A A F A F A F
A 1 1 2 2 , (11.6)
trong đó:
a
2
b
B C A
1
A
B C
(180)i
A đáp ứng (có thể phản lực gối đỡ, lực cắt, lực dọc trục, mô
men xoắn mô men uốn) mặt cắt kết cấu thực
si
A đáp ứng tính cho kết cấu giải phóng liên kết
tác động ngoại lực
1 ui
A , Aui2, , Auin đáp ứng tương ứng lực đơn vị tác động tọa độ 1,2, ,n với kết cấu giải phóng liên kết
1
F , F , , 2 F lực dư tác động vào kết cấu giải phóng n
Biểu thức (11.6) dạng ma trận :
A m1 As m1 Au mn F n1, (11.7)
trong đó: n umn um um n u u u n u u u u sn s s s n F F F F A A A A A A A A A A A A A A A A A A 2 22 21 12 11 2 , , ,
Chú ý, đơn vị thành phần ma trận độ mềm không thiết đồng chúng đại diện cho chuyển vị thẳng hay góc xoay
Trong ví dụ 11.1, đáp ứng cần tìm phản lực gối A C Từ hình 11.1c,d e có véc tơ A , A ma trận s A cho phản lực gối đỡ u
như sau: , C A R R R A ql ql A ql R R R R R
A As Cs s
Cs As s
s , ,
2 Cu Cu Au Au u u R R R R R A , 1 Cu Au R
R ;
l R
RAu Cu
2
2
2
(181)Sử dụng (11.7) tính được: 13 11 28 16 1 1 28 ql l l l ql ql ql F R R R R
R s u
C A / / 28 13 28 11 ql R ql
RA ; C
11.3 Giải toán với trường hợp đặt tải khác
Khi có p trường hợp tải khác tác động lên kết cấu sử dụng
phương trình (11.3) để tìm lực dư mà khơng cần tính lại ma trận độ mềm, tổ hợp thành phương trình ma trận:
F n p f n n1 Dn p
(11.8)
Mỗi cột [F] [D] ứng với trường hợp tải Đáp ứng hệ (phản lực nội lực) tìm từ phương trình ma trận tương đương với phương trình (11.7):
A mp As mp Au mn F np (11.9)
Ảnh hưởng chuyển vị nút: tác động môi trường
Phương pháp lực dùng để giải kết cấu chịu ảnh hưởng khác ngồi lực tác động Ví dụ di chuyển gối đỡ (do gối đỡ bị lún, hay thay đổi nhiệt không gối đỡ) gây nội lực
Nếu kết cấu bị hạn chế chuyển vị gây nội lực Ví dụ nhiệt độ thay đổi dầm khơng đồng
Co ngót bê tơng gây nội lực kết cấu hiệu ứng thay đổi nhiệt Hiệu ứng bê tông dư ứng lực gây nội lực
Ảnh hưởng chuyển vị tọa độ
Khi gối đỡ dịch chuyển theo tọa độ lực dư chọn hệ phương trình (11.3) thay đổi Khi điều kiện hình học có dạng:
2 22 21 2 12 11 F f F f D F f F f D
(182)trong dịch chuyển gối đỡ theo chiều tọa độ thứ i i
Để tìm lực dư, có phương trình dạng ma trận:
F f 1D, (11.11)
với:
n
2
Khi phương trình (11.8) thành:
F n p f n n Dnp
1
(11.12)
11.4 Năm bước giải phương pháp lực
Bước Chọn liên kết cần giải phóng xác định tọa độ Đồng thời xác định A mn đáp ứng cần tìm quy ước dấu cần
Bước Xác định D np, np As mp ngoại lực tác động lên hệ tĩnh định (hệ kết cấu giải phóng liên kết)
Bước Thiết lập ma trận f nm Au mp lực dư đơn vị tác động lên hệ tĩnh định
Bước Tìm lực dư F np từ phương trình hình học:
f n n F n p Dn p
Bước Tìm đáp ứng từ tổ hợp:
Amp As mp Au mn F np
trong đó:
n, p, m tương ứng số lực dư, số trường hợp tải, số đáp ứng (phản lực
hay nội lực);
(183) A đáp ứng ngoại lực tác động lên kết cấu giải phóng liên kết; s
A đáp ứng lực dư đơn vị tác động riêng biệt tọa độ lên kết u
cấu giải phóng liên kết;
D chuyển vị lực tác động gây tọa độ Chuyển vị cần
được triệt tiêu lực dư;
chuyển vị cho trước gối đỡ;
f ma trận độ mềm
Sau bước 3, ma trận cần thiết để giải tốn xác định Hai bước cịn lại đơn phép tính đại số
Ví dụ 11.2 Xét ví dụ hình 11.1 cho trường hợp gối đỡ di chuyển: (a) Điểm A lún xuống đoạn l/100 (hình 11.3b); (b) Điểm B lún xuống đoạn l/100 điểm C xoay theo chiều kim đồng hồ góc 0,004 rad (hình 11.3c)
Hình 11.3 Ví dụ tính toán với chuyển vị cho trước D2=-0,005
a 0,01l
D1=-0,005l
0,01l
b
2
175
l EI
2
70
l EI
2
350
l EI
l EI
700
0,004
0,01l
c
2
1750 81
l EI
2
875 138
l
EI
2
1750 195
l EI
l EI
(184)Lời giải: Trường hợp (a) với hệ tọa độ hình 11.1b, lún gối A không
ứng với tọa độ lực dư nên =0, sai lệch chuyển vị (hình 11.3a) xác định:
0,005
0,005
l D
,
0
Trường hợp (b), chuyển vị cho trước không gây sai lệch D=0 trùng với tọa độ lực dư nên:
0, 01
0, 004 l
, 0, 005 0,01
0, 005 0,004
0
l l
D D
Thế vào phương trình (11.12) có:
3 2 3 2 2
038 005 092 025 12 004 005 01 005 3 12 l l l l l EI l l l l l l EI F , , , , , , , ,
Để tính phản lực gối đỡ, sử dụng ma trận R tính ví dụ 11.1 u
vẫn giữ nguyên hệ tọa độ chọn Còn ma trận Rs 0, nên:
2
1
0,025 0, 092
1 12
1 0,005 0,038
2
0, 01 0, 027 12
0, 015 0,065
Aa Ab
u Ca Cb
R R EI l
R R F
R R l l l
l EI l 2 2 1750 195 350 1750 81 175 l EI R l EI R l EI R l EI
RA(a) ; A(b) ; C(a) ; C(b)
Ví dụ 11.3 Phân tích dầm liên tục, độ cứng khơng đổi EI (hình 11.4) với
trường hợp tải:
(a) Tải phân bố q (hình 11.4a);
(185)Hình 11.4 Giải phóng liên kết cho hệ dầm liên tục khớp Để đưa kết cấu thành tĩnh định giải phóng liên kết cách đưa vào khớp gối đỡ Bằng cách giải phóng hai mô men
l
l l l
A B C D E
1
D1 D2 D3
a
b
c
1 D1
d
1
D1
D2 e
1
f
f33
h
1
g
q
q
ql ql
q
ql ql
2
ql
l
1
l
1
l
1
l
1
l
1
l
1
l
2
l
2
l
2
11
f f21
0
31 f
32 f 22
f 12
f
23
f f33
0
(186)nhau độ lớn ngược hướng tác động hai phía gối đỡ, đưa kết cấu loạt dầm đơn giản Những mô men uốn gọi mơ men liên kết
Sự sai lệch chuyển vị góc xoay điểm nối dầm liền kề - góc đường tiếp tuyến hai dầm liền kề (hình 11.4b)
Bước Thực hình 11.4b Phản lực gối đỡ có: R , A R , B R , C R , D R E
Bước Sử dụng phương trình 11.12 để tìm sai lệch chuyển vị cho trường hợp:
– Trường hợp (a): tải phân bố (hình 11.4c), sử dụng phụ lục tính được:
0 1 12 THa THa EI ql
D ,
2 ql ql ql ql ql
RS THa
– Trường hợp gối A lún xuống đơn vị (hình 11.4d) trường hợp gối B lún xuống đơn vị (hình 11.4e) khơng ứng với tọa độ lực dư chọn nên véc tơ khơng, tính chuyển vị sai lệch sau:
0 0 0 0 0 1 THc s THb s THc THb THc
THb R R
l D
l
D ; ; ;
Vậy ma trận D ma trận A có dạng: s
0 12 12 12 3 EI ql l EI ql l l EI ql
D ,
0 0 0 0 0 ql ql ql ql ql
(187)Bước Thiết lập ma trận f ma trận A Đặt cặp lực dư cặp mô u
men có độ lớn ngược hướng vào điểm B, C, D tương ứng; sử dụng phụ lục để tính thành phần ma trận độ mềm (hình 11.4f, 11.4g 11.4h): 1 1 6EI l
f
15 4 16 4 15 28 l EI f
Cũng hình 11.4f, 11.4g 11.4h, thiết lập ma trận A : u
l l l l l l l l l Au / / / / / / / / / 0 1 1 0
Bước Từ phương trình (11.12), tính mơ men uốn gối B, C, D Mỗi cột ma trận F ứng với trường hợp tải nêu ví dụ:
2 2 2 2 3 14 28 28 18 14 14 51 28 45 28 0 12 12 12 15 4 16 4 15 28 l EI l EI ql l EI l EI ql l EI l EI ql EI ql l EI ql l l EI ql l EI F
Bước Tính phản lực gối R , A R , B R , C R , D R sử dụng phương trình E
(11.9) :
A As Au F
l l l l l l l l l ql ql ql ql ql / / / / / / / / / 0 1 1 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 14 28 28 18 14 14 51 28 45 28 l EI l EI ql l EI l EI ql l EI l EI ql
(188)Hình 11.5 Biểu đồ nội lực cho dầm liên tục ví dụ 11.2
q
11
l l
A B C D E
15 13 17
57
1
D1
D2
a
b
c
d
g 11
17 13 15 11
32 26 32 11
3 e
45
15 45
3 f
12
3 2
2,16 1,02 1,02 2,16
45
9 h
51
87
51
9 36
i 45
102 72 18
EI ql
28
28
ql
28
2 ql
3
28l EI
2
28l EI
3
28l EI
3
14l EI
2
14l EI
(189)Giá trị cụ thể phản lực nôi lực: 3 3 3 3 3 14 28 28 11 14 54 28 18 28 32 14 132 28 72 28 26 14 138 28 102 28 32 14 51 28 45 28 11 l EI l EI ql l EI l EI ql l EI l EI ql l EI l EI ql l EI l EI ql R R R R R R R R R R R R R R R Ec Eb Ea Dc Db Da Сc Cb Ca Bc Bb Ba Ac Ab Aa
11.5 Phương trình ba mơ men
Trong thực tế thiết kế thường gặp tốn phân tích dầm liên tục chịu lực cắt với gối đỡ bị lún Đơn giản hóa phương pháp lực áp dụng cho trường hợp cụ thể dẫn đến phương trình ba mơ men
Trên hình 11.6, xét nhịp dầm liền kề dầm liên tục Xét nhịp dầm bên trái bên phải gối đỡ thứ i với độ dài l tr lph, độ cứng EI tr EIph Các gối đỡ i1, i, i1có độ lún tương ứng ký hiệu i1, , i i1
Hình 11.6 Thiết lập phương trình cho gối i
Đưa hệ tĩnh định cách đưa khớp gối đỡ cho nhịp dầm làm việc dầm đơn giản (ví dụ 11.3) Qui ước dấu hình 11.6d
Sự sai lệch chuyển vị góc xoay tương đối nhịp dầm liền kề, hình 11.6b 11.6c:
i i i
D (11.13)
i
a b
c d
tr
l lph
1
i i1
1
i
i
i1
i i 1 i
i M
(190)Các lực dư F mô men liên kết i M , giá trị chúng phải i
đảm bảo cho góc xoay bị triệt tiêu Phương trình thỏa mãn điều kiện liên tục điểm i:
0
1 1
1
ii i i i ii i
i f F f F f F
D , , (11.14)
Các hệ số fi hệ số độ mềm kết cấu giải phóng Trên hình 11.7a
trình bày dầm đơn giản chịu mô men đơn vị đầu, 11.7b biểu đồ mô men 11.7c đường cong chuyển vị góc xoay A B (phụ lục 6)
Áp dụng kết nhận hệ số độ mềm:
ph ph i
i ph ph tr
tr i i tr tr i
i
EI l f
EI l
EI l f
EI l f
6
3
6
1
, ,
, , ,
Hình 11.7 Các hệ số độ mềm Như vậy, phương trình (11.14) có dạng:
i ph
ph i ph
ph tr tr i tr
tr
i D
EI l M EI
l EI
l M EI
l
M 1 1 6
(11.15)
Khi độ cứng tồn dầm khơng đổi, phương trình ba mơ men có dạng:
tr ph i ph i
i tr
i l M l l M l EID
M 1 2 1 6 (11.16)
Viết phương trình cho gối đỡ thu hệ phương trình, lời giải mơ men cần tìm Góc xoay D tính từ phương i
trình (11.13) với góc xác định từ hình 11.6c: i
r i i l
i i i
l l
1
1
, (11.17)
EI l
3 EI
l
6
1
1
a
b c
l
(191)và góc xác định phụ lục i
Ví dụ 11.4 Tìm biểu đồ mơ men cho dầm hình 11.8a với hai trường hợp tải sau:
(a) Lực thẳng đứng hình 11.8a
(b) Gối đỡ B C lún xuống đoạn có giá trị b100 b 200 Độ cứng dầm không đổi EI
Lời giải: Phương trình ba mơ men áp dụng cho nút A B để tìm mơ men
đó Tại điểm C, dễ dàng tìm được; trường hợp (a)
2
2 qb
MC , trường
hợp (b) MC 0
Trước tiên, tìm sai lệch chuyển vị theo cơng thức (11.13), ý; trường hợp (a) 0 trường hợp (b) 0 Dùng phụ lục công thức (11.17) tìm được:
EI qb
EI qb
D a
3
208
208
, ,
;
00325
002
, ,
b
D
Dùng phương trình (11.15), trường hợp (a):
EI qb M
M EI
b
2
1 5208
10 ) ,
(
EI qb qb
M M
EI
b
2
1 5208
2 18
5 ,
và trường hợp (b):
002
10 1 2) ,
( M M
EI b
5M1 18M260,00325
EI b
(192) 0195 25 29 0120 25 31 18 5 10 3 , , , , EI qb EI qb M EI b b EI qb b EI qb M 1000 65 879 1000 02 686 2 , , , ,
Biểu đồ mô men biểu diễn hình 11.8 b c
Hình 11.8 Biểu đồ nội lực cho dầm ví dụ 11.4
Chú ý trường hợp (a), vẽ biểu đồ mô men để tìm phương trình đường parabol cho đoạn dầm chịu lực phân bố phải tìm phản lực điểm A Phản lực tìm biết mô men A B, cụ thể:
qb b M b M R bR b q M
M A B
A A A B 5 5 ( )
Phương trình parabol biểu diễn biểu đồ mơ men đoạn AB có dạng:
5b 4b
a b c b qb qb 686 2, 879 0, 0,
A B C
(193)x R qx M
M A A
2
2
Có thể vẽ theo cách đơn giản hơn: đặt giá trị mô men A B, tạm thời nối lại đường thẳng, đoạn AB có lực phân bố nên điểm đoạn thẳng vừa nối hạ xuống đoạn ql2 8 Nối ba điểm đường parabol, nhận biểu đồ mô men cho đoạn AB
Đoạn BC CD dễ dàng vẽ biểu đồ mơ men Vì khơng có lực tập trung lực phân bố nên biểu đồ mô men đường thẳng nối điểm có giá trị mô men
Tương tự vậy, trường hợp (b) có nội lực sinh lún gối đỡ tính mơ men A B, cịn C mơ men khơng Biểu đồ mô men đường thẳng nối điểm với giá trị mô men biết
Kết luận chương 11
Phương pháp lực áp dụng cho kết cấu chịu tải trọng mơi trường
Lời giải phương trình tương thích xây dựng cách trực tiếp cho lực cần tìm
Số phương trình với số lực dư với bậc siêu tĩnh
(194)Bài tập chương 11
11.1 Dùng phương pháp lực, tìm phản lực liên kết vẽ biểu đồ M Q
cho trường hợp dầm siêu tĩnh hình hình 11.9 Độ cứng dầm khơng thay đổi EI
Hình 11.9
11.2 Dùng phương trình ba mơ men, vẽ biểu đồ mô men biểu đồ lực cắt dầm liên tục hình 11.10 với hai trường hợp tải trọng:
- Chịu tải trọng bên hình vẽ - Gối đỡ B lún xuống đoạn l/2000
B
A q
l l
B
A q
l l l
B
A q
l l
B
A q
l l
B
A P
l l l
P A M B
l l l
M
B A
2l l
P
B A
2l l
M
B A
2l l
(195)Độ cứng dầm không thay đổi EI
Hình 11.10
B C D
A
ql
ql q
3
l l 2l
3
2l l
B C D
A
l
8 0,
l
8 0,
q
l
B C
D A
B C
D A
E 2ql
B C
D A E
2
ql
2
ql
F
q
q l
8 0,
q
l
4 1,
l l
2 0,
l
2
l
3
l
3
l l l l
(196)184
Phương pháp chuyển vị
12.1 Mô tả phương pháp
1 Vì phương pháp chuyển vị chọn chuyển vị làm ẩn nên cần xác định bậc tự hệ Thiết lập hệ tọa độ để xác định vị trí hướng chuyển vị nút Số lực hạn chế với số bậc tự đặt vào tọa độ để ngăn cản chuyển vị nút Chú ý lực hạn chế lựa chọn, không lực dư phương pháp lực dẫn đến cách lựa chọn không Đây ưu điểm lập chương trình tính tốn phân tích kết cấu
2 Sau lực hạn chế xác định tổng lực đầu phần tử tất phần tử nối vào nút Phụ lục phụ lục bảng lực đầu phần tử cho trường hợp chịu lực thường gặp
Chú ý lực hạn chế cần ngăn cản chuyển vị tác động, ví dụ ngoại lực, thay đổi nhiệt độ hay dư ứng lực Các hiệu ứng xem xét riêng biệt hay đồng thời Trường hợp kể đến tác động di chuyển nút kết cấu, ví dụ lún gối đỡ, lực gây nên di chuyển phải kể đến lực hạn chế
Nội lực vị trí cần tìm phần tử xác định cho cấu hình bị hạn chế
3 Kết cấu giả thiết biến dạng theo cách sau: tọa độ giả thiết có chuyển vị đơn vị, cịn tọa độ khác cho chuyển vị không Sau xác định lực cần thiết để giữ kết cấu cấu hình giả định Các lực đặt vào tọa độ đại diện cho bậc tự Đồng thời ứng với cấu hình giả định xác định nội lực vị trí cần tìm Bước tính lặp lại cho tọa độ
(197)5 Cuối xác định lực kết cấu siêu tĩnh ban đầu cách cộng lực kết cấu bị hạn chế với lực chuyển vị gây xác định bước
Ví dụ 12.1 Xét giàn phẳng hình 12.1a gồm m phần tử nối khớp điểm A Tìm nội lực tác động tổ hợp tải trọng sau:
(1) Ngoại lực P đặt điểm A
(2) Thanh thứ k giãn dài đoạn k nhiệt độ tăng Bậc tự hệ xét hai: chuyển dịch thẳng nút A mặt phẳng theo hai trục x y, ký hiệu D1 D2 Hướng chuyển vị tùy chọn, chọn hình 12.1b
Trường hợp (1) hạn chế chuyển dịch điểm A cách đặt lực có độ lớn lực P có hướng ngược lại Các thành phần F11, F21 theo hướng 1, 2:
Pcos
F11 ,
Psin
F21
Ký hiệu Ei, li ai mơ đun đàn hồi, độ dài diện tích mặt cắt
thứ i đặt i góc với trục x thứ i
Xét trường hợp (2) độ giãn dài k thứ k hạn chế
lực đặt vào điểm A gây nén giá trị giãn Do lực nén cần có giá trị akEk/lkk Các thành phần lực nén
hai hướng là:
sin
, cos
k k k
k k
k k k
k k
l E a F
l E a F
22 12
Như tổng lực hạn chế là:
12 11 F F
F ,
22 21 F F
(198)Hình 12.1 Mơ tả phương pháp chuyển vị
Có thể thấy, chuyển vị bị ngăn cản, khơng có nội lực trường hợp (1), cịn trường hợp (2) có thứ k có lực nén,
thanh cịn lại khơng có nội lực Ký hiệu A véc tơ lực dọc trục r
thanh điều kiện kết cấu bị hạn chế chuyển vị:
2
i k
m
A P
i
x
y
a
1
x
y b
A A’ x
y d
i i cosi
D1=1
S11 S21 x
y c A A’
D1=1
S12 S22
x
y e
D2=1 A
A’
A
A’
x
y f i i
(199)
, ,
,
0 0
2
rm
k k
k k rk
r r
A
l E a A
A A
Trên hình 12.1c biểu diễn lực cần để kết cấu biến dạng cấu hình mà
1
D D2 0 Hình 12.1d cho thấy chuyển vị sang ngang đơn vị làm thanh i ngắn đoạn cosi gây lực nén aiEi/licosi dọc thứ i Do để giữ điểm A cấu hình cần đặt lực có thành
phần aiEi/licos2i aiEi/licosisini theo hướng Vậy tổng lực cần để tất cấu hình là:
m i
i i
i i l
E a S
1
2 11 cos
và
m i
i i i
i i l
E a S
1
21 cos sin
Tương tự, để điểm A cấu hình mà D1 0 D2 1 (hình 12.1e f) cần đặt lực sau:
m i
i i i
i i l
E a S
1
12 cos sin
và
m i
i i
i i l
E a S
1
2 22 sin
Các phần tử Sij có số: số thứ số tọa độ lực hạn chế, số thứ hai số thành phần chuyển vị có giá trị đơn vị
(200)
0
2 22 21
2 12 11
D S D S F
D S D S F
(12.1)
12.2 Ma trận độ cứng
Phương trình (12.1) viết dạng ma trận
F S D 0,
S D F, (12.2)
trong ; ;
2 22
21 12 11
1
F F F S
S S S S D
D D
(có thể so sánh với phương trình quan hệ hình học (11.4) phương pháp lực) Véc tơ F phụ thuộc vào tải trọng kết cấu Thành phần ma trận
S lực ứng với chuyển vị đơn vị Do ma trận S phụ thuộc vào
đặc trưng kết cấu, thể độ cứng kết cấu Vì S gọi ma trận
độ cứng thành phần gọi hệ số độ cứng Các thành phần véc tơ chuyển vị D xác định từ:
D S 1F (12.3)
Trường hợp chung, hệ có n bậc tự có kích cỡ D n1, S nn ,
F n1 Ma trận S ma trận vuông đối xứng
Nội lực thanh i xác định tổ hợp điều kiện
hạn chế tác động chuyển vị nút:
ui ui uin n
ri
i A A D A D A D
A 1 1 2 2 (12.4)
Dưới dạng ma trận:
A Ar Au mn D , (12.5) thành phần A tổng nội lực thanh, thành phần A nội lực điều kiện hạn chế thành phần r A u