Giáo trình Sức bền vật liệu 1 và 2

Sức bền vật liệu nghiên cứu vật thể thực (công trình, chi tiết máy...). Vật thể thực có biến dạng dưới tác dụng của nguyên nhân ngoài (tải trọng, nhiệt độ, lắp ráp các chi tiết chế tạo không

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU, CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 7

1.1 NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ ĐẶC ĐIỂM CỦA SBVL 7

1.1.1 Nhiệm vụ môn học: 7

1.1.2 Đối tượng nghiên cứu của môn học: 7

1.1.3 Đặc điểm môn học: 8

1.1.4 Các tài liệu tham khảo 8

1.1.5 Hình Dạng Vật Liệu 8

1.2 NGOẠI LỰC 9

1.2.1 Theo tính chất chủ động và bị động: 9

1.2.2 Theo hình thức phân bố 9

1.2.3 Theo tính chất tác dụng 9

1.2.4 Theo khả năng nhận biết 10

1.3 LIÊN KẾT VÀ PHẢN LỰC LIÊN KẾT 10

1.4 CÁC DẠNG CHỊU LỰC VÀ BIẾN DẠNG CƠ BẢN 12

1.5 CÁC GIẢ THIẾT TRONG BÀI TOÁN SBVL: 13

1.5.1 Giả thiết về sơ đồ tính 13

1.5.2 Giả thiết về vật liệu 13

1.5.3 Giả thiết về biến dạng và chuyển vị 14

CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 1 15

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT NỘI LỰC – ỨNG SUẤT 16

2.1 KHÁI NIỆM VỀ NỘI LỰC – PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT – ỨNG SUẤT 16

2.2 CÁC THÀNH PHẦN VÀ CÁCH XÁC ĐỊNH NỘI LỰC 17

2.3 BIỂU ĐỒ NỘI LỰC 19

2.4 LIÊN HỆ VI PHÂN GIỮA NỘI LỰC VÀ TẢI TRỌNG PHÂN BỐ 23

2.4.1 Thanh thẳng: 23

2.4.2 Thanh cong: 24

2.5 CÁCH VẼ BIỂU ĐỒ THEO NHẬN XÉT 24

2.5.1 Cách áp dụng nguyên lý cộng tác dụng 24

2.5.2 Cách vẽ theo từng điểm 24

2.6 TÓM TẮT NHẬN XÉT 25

CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 2 26

CHƯƠNG 3 : KÉO – NÉN ĐÚNG TÂM 27

3.1 KHÁI NIỆM 27

3.1.1 Giả thuyết mặt cắt ngang phẳng 27

3.1.2 Giả thuyết về các thớ dọc 28

3.2 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG 28

3.3 BIẾN DẠNG CỦA THANH CHỊU KÉO HAY NÉN ĐÚNG TÂM 29

3.3.1 Biến dạng dọc 29

3.3.2 Biến dạng ngang 30

3.4 ĐẶC TRƯNG CƠ HỌC CỦA VẬT LIỆU 30

3.4.1 Khái niệm 30

3.4.2 Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo (thép) 31

3.4.2.1 Mẫu thí nghiệm: 31

3.4.2.2 Thí nghiệm 31

3.4.2.3 Phân tích kết quả 31

3.4.2.4 Biểu đồ σ ε − (biểu đồ quy ước) 32

3.4.3 Thí nghiệm kéo vật liệu dòn 33

3.4.4 Thí nghiệm nén vật liệu dẻo 33

3.4.5 Thí nghiệm nén vật liệu dòn 33

3.5 ỨNG SUẤT CHO PHÉP – HỆ SỐ AN TOÀN – BA BÀI TOÁN CƠ BẢN 34

3.5.1 Ưùng suất cho phép: 34

3.5.2 Hệ số an toàn: 34

3.5.3 Ba bài toán cơ bản: 34

3.6 MỘT SỐ HIỆN TƯỢNG PHÁT SINH KHI VẬT LIỆU CHỊU LỰC 35

3.6.1 Hiện tượng biến cứng 35

3.6.2 Hiện tượng sau tác dụng 35

3.7 KHÁI NIỆM VỀ SỰ TẬP TRUNG ỨNG SUẤT 37

3.8 BÀI TOÁN SIÊU TĨNH 37

CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 3 38

CHƯƠNG 4 : TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 39

4.1 KHÁI NIỆM TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI 1 ĐIỂM 39

4.1.1 Trạng thái ứng suất 39

4.1.2 Biểu diễn trạng thái ứng suất 39

4.1.2.a Phương pháp nghiên cứu 39

4.1.2.b Quy ước dấu 40

4.1.3 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp 41

4.1.4 Mặt chính, phương chính và ứng suất chính Phân loại trạng thái ứng suất 42

4.2 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG 43

4.2.1 Cách biểu diễn 43

4.2.2 Ưùng suất trên mặt cắt nghiêng Phương pháp giải tích 43

4.2.3 Ưùng suất chính và ứng suất tiếp cực trị 45

4.2.3.a Ứùng suất chính và phương chính 45

4.2.3.b Ưùng suất tiếp cực trị 46

4.2.4 Các trường hợp đặc biệt: 47

4.2.4.a Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt: 47

4.2.4.b Trạng thái trượt thuần túy 47

4.2.5 Biểu diễn hình học trạng thái ứng suất Vòng tròn Morh 47

4.2.5.a Vòng tròn Morh ứng suất 47

4.2.5.b Ứng suất trên mặt cắt nghiêng 48

4.3 LIÊN HỆ ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG: ĐỊNH LUẬT HOOKE 48

4.3.1 Liên hệ ứng suất pháp và biến dạng dài 48

4.3.2 Liên hệ giữa ứng suất tiếp và biến dạng góc 50

CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 4 52

CHƯƠNG 5 : ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG 53

5.1 KHÁI NIỆM 53

5.2 MÔMEN TĨNH TRỌNG TÂM 53

5.3 MÔMEN QUÁN TÍNH, BÁN KÍNH QUÁN TÍNH 58

5.3.1 Mômen quán tính 58

5.3.2 Hệ trục quán tính chính trung tâm (QTCTT) 59

5.3.3 Bán kính quán tính 60

5.4 MÔMEN QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM CỦA 1 SỐ HÌNH ĐƠN GIẢN 60

5.4.1 Hình chữ nhật 60

5.4.2 Hình tam giác 61

5.4.3 Hình tròn – Hình vành khăn 61

5.5 CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG 62

5.6 CÔNG THỨC XOAY TRỤC 63

CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 5 66

CHƯƠNG 6: UỐN NGANG PHẲNG THANH THẲNG 67

6.1 KHÁI NIỆM CHUNG 67

6.2 UỐN THUẦN TÚY 69

6.3 UỐN NGANG PHẲNG 80

6.4 KIỂM TRA BỀN 86

CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 6 94

CHƯƠNG 7 : CHUYỂN VỊ DẦM CHỊU UỐN 95

7.1 KHÁI NIỆM CHUNG 95

7.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐƯỜNG ĐÀN HỒI 97

7.3 LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN 98

7.4 PHƯƠNG PHÁP THÔNG SỐ BAN ĐẦU 99

7.5 PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO (ĐỒ TOÁN) 102

7.6 PHƯƠNG PHÁP NHÂN BIỂU ĐỒ 103

7.7 BÀI TOÁN SIÊU TĨNH 103

CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 7 104

CHƯƠNG 8 : XOẮN THUẦN TÚY 105

8.1 KHÁI NIỆM 105

8.1.1 Định nghĩa 105

8.1.2 Biểu đồ Nội Lực 105

8.2 XOẮN THANH THẲNG TIẾT DIỆN TRÒN 106

8.2.1 Thí nghiệm và nhận xét 106

8.2.2 Các giả thiết 107

8.2.3 Công thức ứng suất tiếp 107

8.2.4 Công thức tính biến dạng khi xoắn 109

8.2.5 Điều kiện bền – điều kiện cứng 110

8.3 XOẮN THANH THẲNG TIẾT DIỆN CHỮ NHẬT 110

8.4 TÍNH LÒ XO XOẮN HÌNH TRỤ CÓ BƯỚC NGẮN 111

8.5 BÀI TÓAN XOẮN SIÊU TĨNH 111

CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 8 113

CHƯƠNG 9 : THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 114

9.1 KHÁI NIỆM 114

9.1.1 Định nghĩa 114

9.1.2 Phạm vi nghiên cứu 114

9.2 UỐN XIÊN 115

9.2.1 Định nghĩa: 115

9.2.2 Ưùng suất pháp 116

9.2.3 Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất 117

9.2.4 Ưùng suất pháp cực trị và điều kiền bền 118

9.2.5 Độ võng của dầm khi uốn xiên 119

9.3 UỐN CỘNG KÉO HAY NÉN 120

9.3.1 Định nghĩa 120

9.3.2 Công thức ứng suất pháp 120

9.3.3 Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất pháp 121

9.3.4 Ưùng suất pháp cực trị và điều kiền bền 122

9.3.5 Thanh chịu kéo hay nén lệch tâm 123

9.3.6 Lõi tiết diện 124

9.4 UỐN CỘNG XOẮN 128

9.4.1 Định nghĩa: 128

9.4.2 Thanh tiết diện chữ nhật: 128

9.4.3 Tiết diện tròn: 129

9.5 THANH CHỊU LỰC TỔNG QUÁT: 130

9.5.1 Định nghĩa: 130

9.5.2 Thanh tiết diện chữ nhật 131

9.5.3 Thanh thanh tiết diện tròn: 132

CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 9 133

CHƯƠNG 10: ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN 134

10.1 KHÁI NIỆM VỀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA TRẠNG THÁI CÂN BẰNG 134

10.2 LỰC TỚI HẠN CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM 136

10.2.1 Thanh liên kết khớp 2 đầu: 136

10.2.2 Thanh có các liên kết khác 137

10.2.3 Ứùng suất tới hạn 138

10.2.4 Giới hạn dùng của công thức Euler 138

10.3 ỔN ĐỊNH NGOÀI MIỀN ĐÀN HỒI 142

10.3.1 ÝÕ nghĩa 142

10.3.2 Công thức thực nghiệm Iasinski 142

10.3.3 Công thức lí thuyết môđun tiếp tuyến 143

10.4 PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN 144

10.4.1 Phương pháp tính 144

10.4.2 Chọn mặt cắt ngang và vật liệu hợp lí 146

10.5 XÁC ĐỊNH LỰC TỚI HẠN BẰNG PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG 148

10.5.1 Khái niệm 148

10.5.2 Phương pháp năng lượng xác định lực tới hạn 148

CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 10 149

CHƯƠNG 11: UỐN NGANG VÀ UỐN DỌC ĐỒNG THỜI 150

11.1 ĐẶC ĐIỂM BÀI TOÁN 150

11.2 PHƯƠNG PHÁP CHÍNH XÁC 150

11.3 PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG 151

11.4 ỨNG SUẤT VÀ KIỂM TRA BỀN 152

11.5 THANH CÓ ĐỘ CONG BAN ĐẦU 153

11.5.1 Ảnh hưởng của độ cong ban đầu 153

11.5.2 Xác định lực tới hạn bằng thực nghiệm thanh liên kết khớp 2 đầu 154

11.6 CỘT CHỊU NÉN LỆCH TÂM 155

CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 11 158

CHƯƠNG 12 : TẢI TRỌNG ĐỘNG 159

12.1 KHÁI NIỆM 159

12.1.1 Tải trọng động 159

12.1.2 Phương pháp nghiên cứu 159

12.2 THANH CHUYỂN ĐỘNG VỚI GIA TỐC LÀ HẰNG SỐ 159

12.3 CHUYỂN ĐỘNG QUAY VỚI VẬN TỐC KHÔNG ĐỔI 161

12.4 KHÁI NIỆM CHUNG VỀ BẬC TỰ DO 161

12.5 DAO ĐỘNG CỦA HỆ ĐÀN HỒI MỘT BẬC TỰ DO 161

12.5.1 Khái niệm 161

12.5.2 Phương trình vi phân dao động cưỡng bức của hệ 1 bậc tự do 163

12.5.3 Dao động tự do 164

12.5.4 Dao động tự do có cản 164

12.5.5 Dao động cưỡng bức có cản 165

12.5.6 HIện tượng cộng hưởng 167

12.6 PHƯƠNG PHÁP THU GỌN KHỐI LƯỢNG 169

12.7 VA CHẠM CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO 171

12.7.1 Va chạm đứng 171

12.7.2 Va chạm ngang: 175

CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 12 176

CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU, CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ ĐẶC ĐIỂM CỦA SBVL

1.1.1 Nhiệm vụ môn học:

Sức bền vật liệu là môn học kỹ thuật cơ sở, nghiên cứu tính chất chịu lực của vật liệu

để đề ra phương pháp tính về độ bền, độ cứng và độ ổn định của các bộ phận công

trình, gọi chung là vật thể - chịu các tác động khác nhau như tải trọng, sự thay đổi nhiệt

độ và chế tạo không chính xác, nhằm thỏa mãn yêu cầu an toàn và tiết kiệm vật liệu

Mục đích của môn học này là xây dựng các khái niệm và phương pháp tính, có khả

năng dự báo trước về tình trạng chịu lực của vật thể cần thiết kế Đề ra các phương

pháp tính toán sao cho các bộ phận của công trình đảm bảo 3 điều kiện:

+ Bền

+ Cứng

+ Oån định

Dưới tác dụng của ngoại lực

+ Bền: Cấu kiện không bị đứt vỡ và nếu xuất hiện vết nứt thì vẫn nằm trong phạm vi

cho phép dưới tac dụng của ngoại lực

+ Cứng: Cấu kiện không bị biến dạng quá lớn làm ảnh hưởng đến sự làm việc bình

thường của công trình dưới tác dụng của ngoại lực

+ Oån định: Dưới tác dụng của ngoại lực, bộ phận của công trình không bị thay đổi

hình dáng ban đầu của chúng

1.1.2 Đối tượng nghiên cứu của môn học:

- Cơ lý thuyết: đối tượng nghiên cứu là vật thề rắn tuyệt đối (chỉ xét đến sự cân bằng

lực mà không kể đến biến dạng)

- SBVL: đối tượng nghiên cứu là vật rắn thực (BT, gạch đá, gỗ, thép ) dưới tác dụng

của ngoại lực, chúng bị biến dạng

1.1.3 Đặc điểm môn học:

Để đảm bảo sự tin cậy của các phương pháp tính, môn học kết hợp chặt chẽ nghiên cứu thực nghiệm và suy luận lý thuyết nghiên cứu thực nghiệm nhằm phát hiện ra tính chất ứng xử của các vật liệu và các dạng chịu lực khác nhau, làm cơ sở đề xuất các giả thuyết đơn giản hơn để xây dựng lý thuyết

Vì vậy, lý thuyết sức bền vật liệu mang tính gần đúng và nếu quá trình suy diễn càng nhiều thì sự báo càng có khả năng sai lệch nhiều hơn Trong nhiều trường hợp,

hoặc thử tải công trình trước khi đưa vào sử dụng

Thông thường, khi kích thuớc của vật thể lớn hơn thì khả năng chịu lực cũng tăng và

do đó độ an toàn cũng được nâng cao; tuy nhiên vật liệu phải dùng nhiều hơn nên nặng nề và tốn kém hơn Kiến thực của môn sức bền vật liệu giúp giải quyết hợp lý mâu thuẫn giữa yêu cầu an toàn và tiết kiệm vật liệu

1.1.4 Các tài liệu tham khảo

1 Sức Bền Vật Liệu – Đỗ Kiến Quốc (chủ biên)

2 Sức Bền Vật Liệu – Nguyễn Y Tô (chủ biên) Trang web tham khao: http://emweb.unl.edu/NEGAHBAN/Em325/intro.html

1.1.5 Hình Dạng Vật Liệu

Các vật thể được sử dụng trong kỹ thuật được chia ra làm 3 loại cơ bản:

+ Khối: là những vật thể có kích thước theo 3 phương tương đương Ví dụ: đe đập, móng máy…

+ Tấm và vỏ: là những vật thể mỏng có kích thước theo 1 phương rất nhỏ so với 2 phương còn lại; tấm có dạng phẳng, vỏ có dạng cong Ví dụ: sàn nhà…

+ Thanh: là những vật thể hình dạng dài có kích thước theo 1 phương rất lớn so với 2 phương còn lại Đây là loại vật thể được sử dụng rộng rãi trong thực tế: thanh dàn cầu, cột điện, trục máy…

Tùy theo trục thanh thẳng, cong, gãy khúc (phẳng hay không gian mà gọi là thanh thẳng, thanh cong hay khung ( phẳng, khung không gian)

1.2 NGOẠI LỰC

Ngoại lực là lực tác động từ môi trường hoặc vật thể bên ngoài lên vật thể đang xét

Đây là loại tác động quan trọng và thường gặp trong thực tế Ngoại lực được phân loại

theo nhiều cách khác nhau

1.2.1 Theo tính chất chủ động và bị động:

Ngoại lực được phân ra tải trọng và phản lực Tải trọng là những lực chủ động, nghĩa

là có thể biết trước về vị trí, phương và độ lớn Tải trọng là “ đầu vào” của bài toán,

thường được qui định bởi các qui phạm thiết kế hoặc được tính toán theo kích thước của

vật thể Phản lực là những lực thụ động (phụ thuộc vào tải trọng) phát sinh tại vị trí liên

kết vật thể đang xét với các vật thể xung quanh nó

1.2.2 Theo hình thức phân bố

Ngoại lực được phân ra lực tập trung và lực phân bố

+ Lực tập trung: là lực tác dụng tại 1 điểm của vật thể Trong thực tế khi điện tích

truyền lực bé thì người ta coi như truyền lực qua 1 điểm để đơn giản hóa sự phân tích

Ví dụ: Trọng lượng một chiếc xe ô tô truyền xuống mặt cầu được thay bằng các lực

tập trung đặt tại trọng tâm của diện tích tiếp xúc giữa các bánh xe và mặt cầu, hoặc

phản lực tại mặt tiếp xúc của gối tựa cũng được thay bằng lực tập trung

+ Lực phân bố là lực tác dụng trên 1 diện tích, một thể tích hay 1 đường của vật thể

Lực trọng trường là 1 ví dụ của lực phân bố thể tích vì nó tác động lên mọi điểm của

trong vật thể

Cường độ của lực phân bố thể tích có thứ nguyên là lực/ thể tích

Cường độ của lực phân bố diện tích có thứ nguyên là lực/ diện tích

Cường độ của lực phân bố trên 1 chiều dài có thứ nguyên là lực/ chiều dài

1.2.3 Theo tính chất tác dụng

Ngoại lực được phân ra lực tĩnh và lực động

+ Lực tĩnh là lực biến đổi chậm hoặc không thay đổi theo thời gian, vì vậy gây ra gia tốc chuyển động rất bé có thể bỏ qua khi xét cân bằng Aùp lực đất lên tường chắn, trọng lượng của các công trình là lực tĩnh…

+ Lực động là lực thay đổi nhanh theo thời gian, gây ra chuyển động có gia tốc lớn

với lực động cần xét đến sự tham gia của lực quán tính

Trong SBVL, cảû hai loại lực này đều được xét tới

1.2.4 Theo khả năng nhận biết

Ngoại lực được phân ra tải trọng tiền định hoặc ngẫu nhiên

+ Tải trọng tiền định là tải trọng biết trước được giá trị hoặc qui luật thay đổi theo thời gian Trọng lượng của 1 công trình hoặc áp lực đất lên tường chắn là các tải trọng tiền định

+ Tải trọng ngẫu nhiên là tải trọng chỉ biết được các đặc trưng xác suất thống kê như giá trị trung bình, độ lệch chuẩn

1.3 LIÊN KẾT VÀ PHẢN LỰC LIÊN KẾT

Một thanh muốn duy trì hình dạng, vị trí ban đầu khi chịu tác động của ngoại lực thì nó phải được liên kết với vật thể khác hoặc với đất Tùy theo tính chất ngăn cản chuyển động mà người ta đưa ra các sơ đồ liên kết Thường là gối tựa di động, gối cố định hay ngàm

Dưới đây ta nói đến 3 loại liên kết phẳng thường gặp :

a Gối di động (khớp di động):

Gối di động là loại liên kết cho phép thanh quay chung quanh một khớp và có thể di

động theo một phương nào đó Liên kết hạn chế sự di chuyển của thanh theo phương

vuông góc với phương di động, vì vậy theo phương này liên kết sẽ phát sinh một phản

lực làm cản trở sự di động của thanh Sơ đồ gối di động được biểu diễn như trên hình

vẽ

b Gối cố định (khớp cố định)

Gối cố định là loại liên kết chỉ cho phép thanh quay chung quanh một khớp, còn hạn

chế mọi di chuyển thẳng khác của thanh Vì vậy tại liên kết đó sẽ xuất hiện một phản

lực có phương bất kỳ, phản lực này được chia ra 2 thành phần: thành phần nằm ngang

và thành phần thẳng đứng

c Ngàm:

Ngàm là loại liên kết không cho phép thanh quay hoặc di chuyển bất cứ theo phương

nào Tại ngàm sẽ phát sinh một momen phản lực M chống lại sự quay của thanh và một

phản lực theo phương bất kỳ chống lại sự di chuyển của thanh theo phương đó Phản

lực này cũng được tách làm hai thành phần : thành phần nằm ngang và thành phần

thẳng đứng

Tĩm lại:

+ Gối di động chỉ ngăn cản 1 chuyển động thẳng và phát sinh 1 phản lực V theo

phương của liên kết

+ Gối cố định ngăn cản chuyển vị thẳng theo phương bất kì và phát sinh phản lực

cũng theo phương đó Phản lực thường được phân tích ra thành 2 thành phần V và H

+ Ngàm ngăn cản bất kì chuyển vị thẳng nào và chuyển vị xoay Phản lực thường

được phân tích ra 3 thành phần V, H và M

Các thành phần phản lực được xác định từ điều kiện cân bằng tình học bài toán

phẳng có ba phương trình cân bằng độc lập, được thiết lập ở các dạng khác nhau như

sau:

1 ∑ X = 0;∑ Y = 0; ∑ M =O 0 (x,y không thẳng hàng)

2 ∑ M =A 0;∑ M =B 0; ∑ M =C 0 (A,B,C không thẳng hàng)

3 ∑ X = 0;∑ M =A 0; ∑ M =B 0 (AB không vuông góc với x)

Bài toán không gian có 6 phương trình cân bằng độc lập

0

X =

∑ ; ∑ Y = 0; ∑ Z = 0; ∑ M =X 0; ∑ M =Y 0; ∑ M =Z 0

1.4 CÁC DẠNG CHỊU LỰC VÀ BIẾN DẠNG CƠ BẢN

Trong thực tế, sự chịu lực của 1 thanh có thể phân tích ra các dạng chịu lực cơ bản gồm: kéo, nén, xoắn, cắt và uốn như hình 1.8 minh họa Trục thanh khi chịu kéo hoặc nén sẽ giãn dài hay co ngắn; khi chịu uốn sẽ bị cong đi, còn thanh chịu xoắn thì trục thanh vẫn thẳng nhưng đường sinh trên bề mặt trở thành đường xoắn trụ Khi chịu cắt 2 phần của thanh có xu hướng trượt đồi với nhau Ơû các chương sau, các dạng chịu lực cơ bản này sẽ được lần lượt được nghiên cứu

Nếu tưởng tượng tách 1 phân tố hình hộp từ 1 thanh chịu lực thì sự biến dạng của nó trong trường hợp tổng quát có thể phân tích ra 2 thành phần cơ bản, gồm biến dạng dài và biến dạng góc

Phân tố trên chỉ thay đổi chiều dài, không thay đổi góc Chiều dài dx ban đầu của phân tố bị giãn dài hay co ngắn 1 lượng Δdx Biến dạng dài tương đối theo phương x, kí

hiệu là εX , được định nghĩa bởi tỉ so Δdx và dx : x=Δdx

dx

ε

Phân tố trên chỉ có thể thay đổi góc, không thay đổi chiều dài Độ thay đổi của góc vuông ban đầu gọi là biến dạng góc hay biến dạng trượt, kí hiệu là γ

Khi vật thể bị biến dạng, các điểm trong vật thể nói chung bị thay đổi vị trí Độ

chuyển dời từ vị trí cũ sang vị trí mới của 1 điểm gọi là chuyển vị dài Góc hợp bởi vị trí

của 1 đoạn thẳng trước và trong khi biến dạng của vật thể được gọi là chuyển vị góc

1.5 CÁC GIẢ THIẾT TRONG BÀI TOÁN SBVL:

Khi giải bài toán SVBL, người ta chấp nhận 1 số giả thiết nhằm đơn giản hóa vấn đề

nhưng cố gắng đảm bảo sự chính xác cần thiết phù hợp với yêu cảàu thực tế Các giả

thiết này liên quan đến sơ đồ hình học của vật thể, tính chất của vật liệu và tính chất

biến dạng, chuyển vị của vật thể

1.5.1 Giả thiết về sơ đồ tính

Khi tính toán, người ta thay vật thể bằng sơ đồ tính Ví dụ: thanh chịu tải trọng bản

thân được thay bằng sơ đồ trên

1.5.2 Giả thiết về vật liệu

Vật liệu được coi là liên tục, đồng nhất, đẳng hướng và đàn hồi tuyến tính

Ta tưởng tượng lấy 1 phân tố bao quanh 1 điểm trong vật thể Nếu cho phân tố bé

tùy ý mà vẫn chứa vật liệu thì ta nói vật liệu liên tục tại điểm đó Giả thiết về sự liên tục

của vật liệu làm cơ sở để xây dựng khái niệm ứng suất và biến dạng tại 1 điểm, cho

phép sử dụng các phép tính của toán giải tích như giới hạn, vi phân, tích phân…

Vật liệu liên tục là mô hình toán học của vật liệu thật, có các đặc trưng cơ học

giống như các đặc trưng vĩ mô (xác định trên 1 thể tích vật liệu đủ lớn) tương ứng với vật

liệu thật Trong thực tế, ngay cảû với vật liệu được coi là hoàn hảo nhất như kim loại thì

cũng có cấu trúc vi mô (chẳng hạn, từ mức độ mạng tinh thể trở đi) không liên tục theo

nghĩa toán học Giả thiết này giúp cho SBVL tránh được việc khảo sát cấu trúc vi mô

của vật liệu thật, là việc rất phức tạp, thậm chí không làm được

Vật liệu đồng nhất nghĩa là tính chất cơ học tại mọi điểm trong vật thể là như nhau, vật liệu đẳng hướng nghĩa là tính chất cơ học tại một điểm theo các phương đều giống nhau Tính chất cơ học được đặc trưng bởi các hằng số vật liệu như mô đun đàn hồi, hệ số biến dạng hông, giới hạn đàn hồi thực ra cấu trúc vi mô của vật liệu thật không hoàn toàn đồng nhất và đẳng hướng, nhưng sự sắp xếp của chúng thường là ngẫu nhiên theo mọi hướng, nên nếu vật thể có kích thước đủ lớn thì giả thiết trên nói chung chấp nhận được các đặc trưng cơ học của vật liệu dùng trong thực tiễn đều mang ý nghĩa trung bình cho 1 thể tích vật liệu đủ lớn, không xét tới cấu trúc vi mô của vật liệu thật tại từng điểm Vì vậy ứng suất và biến dạng tìm được tại 1 điểm cũng có ý nghĩa trung bình Tuy nhiên có những vật liệu có cấu trúc dị hướng rõ rệt như gỗ, vật liệu composite nền nhựa sợi thủy tinh có định hướng… thì cần thiết xét tỉ mĩ đến cấu trúc vật liệu khi phân tích bài toán cơ học

Mọi vật thể thật sẽ có thay đổi hình dáng dưới tác dụng của ngoại lực tính chất đàn hồi của vật thể là khả năng khôi phục lại hình dạng ban đầu của nó khi ngoại lực thôi tác dụng nếu quan hệ giữa ngoại lực và biến dạng là bậc nhất, thì vật liệu được gọi la

đàn hồi tuyến tính Đối với các vật liệu, quan hệ ứng suất và biến dạng cho đến khi bị phá hoại nói chung là những đường cong Nếu giới hạn biến dạng trong 1 phạm vi đủ bé thì quan

hệ này là 1 đường thẳng (chẳng hạn đối với thép ) hoặc có thể sấp xỉ bằng 1 đường thẳng Giả thiết vật liệu đàn hồi tuyến tính làm giảm bớt sự phức tạp của bài toán SBVL

1.5.3 Giả thiết về biến dạng và chuyển vị

Khi chịu tác động ngoài, vật thể có biến dạng và chuyển vị bé Vì vậy, có thể khảo sát sự cân bằng của vật thể hoặc các bộ phận của nó trên hình dạng ban đầu

Giả thiết này xuất phát từ điều kiện cứng của các vật thể được sử dụng trong thực tế

kĩ thuật điều kiện cứng đòi hỏi biến dạng và chuyển vị lớn nhất trong vật thể phải nằm trong 1 giới hạn tương đối nhỏ Giả thiết biến dạng bé và đàn hồi tuyến tính thường đi với nhau Khi biến dạng lớn thì vật liệu thường thể hiện tính chất đàn hồi phi tuyến hoặc đàn dẻo và bài toán trở nên phức tạp hơn rất nhiều

• Khi vật thể có chuyển vị bé và vật liệu đàn hồi tuyến tính thì có thể áp nguyên lý cộng tác dụng như sau:

Một đại lượng do nhiều nguyên nhân đồng thời gây ra sẽ bằng tổng đại lượng do tác động của các nguyên nhân riêng lẽ

• Nguyên lý cộng tác dụng biến bài toán phức tạp thành các bài toán đơn giản nên

dễ giải quyết hơn Vì vậy nó thường được sử dụng trong SBVL

CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 1

1 Nhiệm vụ và đối tượng môn học

2 Khái niệm ngoại lực và tải trọng tác động

3 Phân loại ngoai lực thường gặp trong thực tế

4 Phân biệt được liên kết và phản lực liên kết

5 Phân biệt được các gối di động, gối cố định, ngàm Số lượng phản lực sinh ra

tương ứng

6 Các dạng chịu lực cơ bản trong bài toán SBVL

7 Các dạng biến dạng thường gặp

8 Các giả thiết quan trọng trong bài toán SBVL

9 Phân biệt khái niệm biến dạng và chuyển vị

10 Giải thíc về vật liệu: liên tục, đồng nhất, đẳng hướng và đàn hồi tuyến tính

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT NỘI LỰC – ỨNG SUẤT

2.1 KHÁI NIỆM VỀ NỘI LỰC – PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT – ỨNG SUẤT

Xét 1 vật thể chịu tác dụng của 1 hệ lực và ở trạng thái cân bằng Trước khi tác dụng lực, giữa các phân tử của vật thể luôn tồn tại các lực tương tác giữ cho vật thể có hình dáng nhất định Dưới tác dụng của ngoại lực, các phân tử của vật thể có khuynh hướng nhích lại gần nhau hơn hoặc tách xa Khi đó lực tương tác giữa các phân tử của vật thể phải thay đổi để chống lại với khuynh hướng dịch chuyển này Sự thay đổi của lực tương tác giữa các phân tử trong vật thể được gọi là nội lực Một vật thể không chịu tác động nào từ bên ngoài như ngoại lực, sự thay đổi nhiệt độ,… thì được gọi là vật thể ở trạng thái tự nhiên và nội lực của nó được coi là bằng không

Người ta dùng phương pháp mặt cắt để khảo sát nội lực trong 1 vật thể Xét lại vật

thể cân bằng dưới tác dụng của ngoại lực Tưởng tượng 1 mặt phẳng cảét qua và chia vật thể thành 2 phần A và B Hai phần này sẽ tác động lẫn nhau bằng hệ lực phân bố trên diện tích mặt tiếp xúc theo định luật lực và phản lực Nếu ta tách riêng phần A thì hệ lực tc động từ phần B vào nó phải cân bằng với ngoại lực ban đầu như trên H.2.2

Bây giờ ta lại xét 1 phân tố diện tích bao quanh điểm khảo sát C trên mặt cắt có phương pháp tuyến gọi Δp là vecto nội lực tác dụng trên dA Ta định nghĩa ứng suất toàn phần tại điểm khảo sát là: =Δ → Δ =

Δ

JG JGJJG

0

lim

v A p d p p

A dA

Thứ nguyên của ứng suất : lực/ [chiều dài]2 Chú ý rằng: định nghĩa ứng suất như trên đòi hỏi sự liên tục của vật thể, như được giả thiết trong phần trước

Ta có thể phân ứng suất toàn phầnp ra 2 thành phần gồm thành phần ứng suất v

pháp σv hướng theo phương pháp tuyến và thành phần ứng suất tiếp τvnằm trong mặt phẳng thể hiện như hình vẽ

Các đại lượng này được liên hệ thông qua biểu thức: 2 =σ2 +τ2

p

Ưùng suất là 1 đại lượng cơ học đặc trưng cho mức độ chịu đựng của vật liệu tại

1 thời điểm; ứng suất vượt quá 1 giới hạn nào đó thì vật liệu sẽ bị phá hoại. Vì vậy,

việc xác định ứng suất là cơ sở để đánh giá mức độ an toàn của vật liệu Do đó đây là 1

nội dung quan trọng của môn SBVL

2.2 CÁC THÀNH PHẦN VÀ CÁCH XÁC ĐỊNH NỘI LỰC

Như đã xác định trong chương 1, đối tượng khảo sát của SBVL là những chi tiết dạng

thanh, đặc trưng bởi mặt cắt ngang của thanh về trọng tâm mặt cắt, sao cho trục z trùng

với phương pháp tuyến của mặt cắt ngang, còn 2 trục kia nằm trong mặt cắt ngang Khi

đó ta có thể phân tích vecto ra 3 thành phần theo 3 trục: thành phần theo phương trục z,

gọi là lực dọc N , 2 thành phần nằm trong mặt cắt và hướng theo trục x và y, kí hiệu là z

x

Q và Q , được gọi là lực cắt Vecto momen cũng được phân tích ra 3 thành phần quay y

quanh 3 trục được kí hiệu là M , x M và y M Các momen z M , x M được gọi là momen uốn, y

còn momen M được gọi là momen xoắn Sáu thành phần này được gọi là các thành z

phần nội lực trên mặt cắt ngang như được minh họa trên H.2.4

Sáu thành phần nội lực trên 1 mặt cắt ngang được xác định từ 6 phương trình cân

bằng độc lập của phần vật thể được tách ra, trên đó có tác dụng của ngoại lực ban đầu

và các thành phần nội lực sử dụng các phương trình cân bằng hình chiếu các lực trên

các trục tọa độ, ta được:

=

+∑n1 =0

z iz i

N P ;

=

+∑n1 =0

y iy i

Q P ;

=

+∑n1 =0

x ix i

Q P

Trong đó:P , ix P , iy P hình chiếu của lực P xuống các trục x, y, z iz

Dùng các phương trình cân bằng momen đối với các trục tọa độ ta có:

( )

x i

m P , m P , ( ) y( )i m P : các momen của các lực Pi đối với các trục x, y, z z i

Bản chất của cách xác định Nội lực tại 1 vị trí bất kì chình là cân bằng lực của phần còn lại sau khi cắt ra

Các thành phần nội lực có liên hệ với các thành phần ứng suất như sau:

+ Lực dọc là tổng các ứng suất pháp

+ Lực cắt là tổng các ứng suất tiếp cùng phương với nó

+ Momen uốn là tổng các momen gây ra bởi các ứng suất đối với trục x hoặc y

+ Momen xoắn là tổng các momen của các ứng suất tiếp đối với trục z

Nếu σz, τzx, τzygọi là các thành phần ứng suất tại điểm Momen(x,y) trên mặt cắt ngang, ta có biểu thức sau:

Trong trường hợp bài toán phẳng (được xét chủ yếu trong các chương sau) ta chỉ có

3 thành phần nội lực nằm trong mặt phẳng yz, bao gồm N , z Q , y M x

Quy ước dấu của các thành phần nội lực này như sau:

+ Lực dọc được xem là dương khi có chiều hướng ra ngoài mặt cắt (nghĩa là gây kéo cho đoạn thanh đang xét )

+ Lực cắt được xem là dương khi có khuynh hướng làm quay đoạn thanh đang xét theo chiều kim đồng hồ

+ Momen uốn được xem là dương khi nó làm căng thớ dưới

Trên hình minh họa các nội lực của bài toán phẳng đặt theo chiều dương

2.3 BIỂU ĐỒ NỘI LỰC

Thông thường, các nội lực trên mọi mặt cắt ngang của 1 thanh là không giống

nhau Đường cong biểu diễn sự biến thiên của các nội lực theo vị trí của các mặt cắt

gọi là biểu đồ nội lực

Nhờ vào biểu đồ nội lực ta có thể xác định vị trí mặt cắt có trị số nội lực lớn nhất

cũng như trị số đó là bao nhiêu

Để vẽ biểu đồ nội lực ta sử dụng phương pháp mặt cắt cảét ngang qua thanh ở 1 vị trí

bất kì của tọa độ z Xét sự cân bằng của 1 phần, ta viết được biểu thức giải tích của nội

lực theo z Sau đó, vẽ đường biểu diễn trên hệ trục tọa độ có trục hoành song song với

trục thanh mà ta gọi là đường chuẩn, chọn tung độ của biểu đồ nội lực sẽ được diễn tả

bởi các đoạn thẳng vuông góc các đường chuẩn

Ðể thấy được phần nào sự biến dạng của thanh ta quy ước rằng đối với các biểu đồ lực

cắt, tung độ dương được biểu diễn về phía trên của trục hồnh, cịn đối với biểu đồ momen

uốn thì tung độ dương được biểu diễn về phía dưới của trục hồnh Với cách vẽ đĩ ta thấy

rằng tung độ biểu đồ momen uốn luơn luơn được lấy về phía thớ bị căng và cĩ thể khơng cần xét đến dấu

Ví dụ 1 : Vẽ biểu đồ nội lực của dầm chịu lực như hình vẽ (Hình 1-8)

Ví dụ 2 : vẽ biểu đồ nội lực của thanh đặt trên 2 gối tựa và chịu tác dụng của một lực tập trung P đặt cách gối tựa bên trái một khoảng cách a như hình vẽ (1-10)

Biểu đồ nội lực như hình 1-11

Ví dụ 3: vẽ biểu đồ nội lực của thanh đặt trên hai gối tựa, chịu tác dụng của momen tập trung M0 như hình vẽ 1-12

Bài giải:

Xét điều kiện cân bằng của thanh, ta tính được trị số các phản lực là

Chiều của VA hướng xuống dưới và chiều của VB hướng lên

Vì các đoạn AC và CB cĩ nội lực khác nhau nên ta phải tính riêng cho từng đoạn :

b Ðoạn CB:

Lập phương trình cân bằng của phần bên phải:

Thật vậy, giả sử có một thanh chịu lực bất kỳ tại một mặt cắt ngang C nào đó, thanh chịu tác dụng của lực tập trung P và một momen M0

Tưởng tượng tách một đoạn thanh có chiều dài vô cùng bé bằng các mặt cắt

ngang 1-1 và 2-2 cách nhau một đoạn dz ở về 2 phía của mặt cắt C và xét sự cân bằng

của phân tố

Viết phương trình hình chiếu theo phương thẳng đứng và phương trình momen đối

với trọng tâm mặt cắt 2-2 ta cĩ :

Qy + P - (Qy+DQy) = 0

Bỏ qua lượng bé Qy.dz vàĠ (bé so với Mx , M0 ), ta sẽ rút ra được :

Từ đó nhận thấy

• Nơi nào có lực tập trung thì nơi đó có bước nhảy của biểu đồ lực cắt Bước

nhảy có trị số bằng trị số của lực tập trung

• Nơi nào có momen tập trung thì biểu đồ momen ở nơi đó có bước nhảy Trị số

bước nhảy bằng trị số momen tập trung

2.4 LIÊN HỆ VI PHÂN GIỮA NỘI LỰC VÀ TẢI TRỌNG PHÂN BỐ

2.4.1 Thanh thẳng:

Xét 1 dầm chịu tải trọng bất kì Giữa cường độ của tải trọng phân bố q(z), lực cắt Q y

và momen uốn M tại một mặt cắt bất kì z, sẽ tồn tại các liên hệ vi phân nhất định mà x

thông qua các biểu thức ta nhận thấy là đạo hàm của momen uốn là lực cắt, đạo hàm

của lực cắt là lực phân bố

Thật vậy, xét đoạn thanh vi phân có chiều dài dz, được giới hạn bởi 2 mặt cắt 1-1,

2-2 như trên Nội lực tác dụng trên mặt cắt 1-1 là Lực cắt và M nội lực tác dụng trên mặt

cắt 2-2 so với mặt cắt 1-1 đã tăng thêm 1 đọan vi phân dQ và dM và trở thành Lực cắt

y

Q + dQ và Momen M + d x M Tải trọng tác dụng trên thanh này là lực phân bố theo x

chiều dài có cường độ q(z) hướng theo chiều dương Vì dz là rất bé nên có thể xem tải trọng là phân bố đều trên đoạn dz Viết phương trình cân bằng hình chiếu các lực trên phương thẳng đứng ta có: Q y+q z dz( ) −(Q y+dQ y) 0=

Từ đó, ta có: ( )=dQ y

q z dz

Vậy: Đạo hàm của lực cắt bằng cường độ của lực phân bố vuông góc với trục thanh + Lực phân bố được xem là dương nếu có chiều hướng lên trên

+ Lực phân bố được xem là âm nếu có chiều hướng xuống

Viết phương trình cân bằng đối với trọng tâm mặt cắt 2-2 ta được:

Vậy đạo hàm của momen uốn tại 1 mặt cắt bằng lực cắt tại mặt cắt đó

Tham khảo thêm trong các tài liệu tham khảo

2.5 CÁCH VẼ BIỂU ĐỒ THEO NHẬN XÉT 2.5.1 Cách áp dụng nguyên lý cộng tác dụng

Trong phần nói trên, các biểu đồ nội lực được vẽ thông qua các biểu thức giải tích còn được gọi là phương pháp giải tích Ngoài ra khi thanh chịu tác dụng của nhiều loại tải trọng, ta có thể vẽ biểu đồ nội lực trong thanh do từng trường hợp tải trọng riêng lẽ gây ra rồi cộng đại số để được kết quả cuối cùng

2.5.2 Cách vẽ theo từng điểm

Dựa trên các liên hệ vi phân ta có thể định dạng các biểu đồ nội lực tùy theo dạng tải trọng đã cho và từ đó ta xác định số điểm cần thiết để vẽ biểu đồ

Nếu biểu đồ có dạng hằng số ta chỉ cần xác định 1 điểm bất kì, còn biểu đồ có dạng

bậc nhất ta cần tính nội lực tại 2 điểm đầu thanh, nếu biểu đồ có dạng bậc hai trở lên thì

can ba giá trị tại điểm đầu, điểm cuối và nơi có cực trị, nếu không có cực trị thì cần biết

chiều lồi lõm của biểu đồ theo dấu của đạo hàm bậc hai Đoạn thanh có lực phân bố q

hướng xuống sẽ âm, nên bề lõm của biểu đồ momen hướng lên Ngược lại, nếu q

hướng lên sẽ dương nên bề lõm của biểu đồ momen sẽ hướng xuống

Tóm lại, đường cong momen có bề lõm sao cho hứng lấy lực phân bố q

2.6 TÓM TẮT NHẬN XÉT

Qui ước đi từ trái sang phải:

1 Momen uốn tại gối cố định, gối di động ở vị trí biên thì bằng 0

2 Đoạn có lực phân bố đều hướng xuống thì lực cắt là dấu huyền, momen là đường

cong bậc 2 lõm xuống hứng lực (áp dụng tính chất q.a^2/8)

3 Vị trí có lực tập trung thì lực cắt có bước nhảy theo chiều của lực tập trung, momen

gãy khúc theo hình dạng của lực tập trung ( độ chênh lệch momen chính là diện tích của

biểu đồ lực cắt; chú ý momen dương: phía dưới -> chênh lệch dương đi xuống)

4 Vị trí có momen tập trung quay thuận kim thì biểu đồ momen trượt xuống chính

bằng giá trị tập trung

5 Độ chênh lệch lực cắt trong đoạn có lực phân bố q là q.a

6 Đoạn không có lực phân bố đều thì lực cắt là đường nằm ngang, momen là đường

ngang hoặc đường xiên

7 Chú ý các vị trí tiếp tuyến tại các vị trí có lực phân bố và không có lực phân bố

8 Momen được vẽ theo thớ căng (không cần để dấu nhưng phải hiểu ngầm: momen

âm vẽ ở trên)

9 Kiểm tra lại tại 1 số vị trí nút khung hoặc tại 1 số vị trí phức tạp

CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 2

1 Phân biệt khái niệm nội lực và ứng suất

2 Qui ước dấu của các giá trị nôi lực khi xét mặt cắt

3 Thành thạo xác định nội lực theo phương pháp mặt cắt của các dầm đơn giản

4 Vận dụng tốt các nhận xét trong việc vẽ biểu đồ Nội lực

5 Học thuộc lòng giá trị phản lực và biểu đồ nội lực của các sơ đồ đơn giản sau (12

so đồ)

CHƯƠNG 3 : KÉO – NÉN ĐÚNG TÂM

3.1 KHÁI NIỆM

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu trường hợp chịu lực đơn giản nhất của

thanh thẳng - thanh chịu kéo hoặc nén đúng tâm Ðó là một trong những bài toán cơ

bản của sức bền vật liệu

Ta gọi một thanh chịu kéo hay nén đúng tâm là thanh chịu lực sao cho trên

mọi mặt cắt ngang chỉ có thành phần lực dọc Nz

Để tính ứng suất trên mặt cắt ngang ta làm thí nghiệm với thanh mặt cắt ngang

chữ nhật chịu kéo đúng tâm

Trước khi cho thanh chịu lực, vạch lên mặt thanh những đường thẳng song song

với trục tượng trưng cho các thớ dọc và những đường vuông góc với trục thanh tượng

trưng cho các mặt cắt ngang, chúng tạo thành mạng lưới ô vuông Sau khi thanh bị

biến dạng ta thấy các đường thẳng song song và vuông góc với trục thanh vẫn còn

song song và vuông góc với trục nhưng mạng lưới ô vuông đã trở thành mạng lưới ô

chữ nhật (hình 2-1)

Dựa vào nhận xét trên, ta đưa ra 2 giả thuyết cơ bản sau đây để làm cơ sở cho

việc tính ứng suất và biến dạng của thanh chịu kéo, nén đúng tâm:

3.1.1 Giả thuyết mặt cắt ngang phẳng

Trong quá trình biến dạng mặt cắt ngang của thanh luôn luôn giữ phẳng và vuông

góc với trục của thanh

Ý nghĩa của giả thuyết này là trên mặt cắt ngang chỉ có thành phần ứng suất

pháp σz mà không thể có thành phần ứng suất tiếp τ Thật vậy, nếu có thành phần

ứng suất tiếp thì mặt cắt ngang của thanh sau biến dạng sẽ không còn phẳng và

vuông góc với trục thanh nữa, như vậy lưới ô vuông sẽ không trở thành lưới ô chữ

nhật (Hình 2-1)

3.1.2 Giả thuyết về các thớ dọc

Trong quá trình biến dạng, các thớ dọc không ép lên nhau cũng không đẩy nhau

εz: biến dạng dài tương đối theo phương z

Ta gặp trường hợp này khi thanh chịu tác dụng của lực ở 2 đầu thanh, dọc trục thanh có 2 trị số bằng nhau và trái chiều Thanh chịu kéo đúng tâm hay chịu nén đúng tâm Thực tế có thể gặp các cấu kiện chịu kéo hay nén đúng tâm như: dây cáp trong cần cẩu, ống khói, các thanh trong dàn

3.2 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG

Xét thanh thẳng chịu kéo hay nén đúng tâm (H.3.3a) các mặt cắt ngang CC và DD trước khi thanh chịu lực cách nhau dz và vuông góc trục thanh Các thớ dọc trong đoạn

CD (như GH) bằng nhau (H.3.3b)

Khi thanh chịu kéo (nén), nội lực trên mặt cắt ngang DD hay bất kì mặt cắt ngang khác là Nz = P (H.3.3c) thanh sẽ dãn ra, mặt cắt DD di chuyển dọc trục thanh z so với mặt cắt CC 1 đoạn bé δ dz (H.3.3b)

Ta thấy biến dạng các thớ dọc như GH đều bằng HH’ và không đổi, mặt cắt ngang

trong suốt quá trình biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh, điều này cho

thấy các điểm trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất pháp σzkhông đổi (H.3.3d)

với A là diện tích mặt cắt ngang của thanh

3.3 BIẾN DẠNG CỦA THANH CHỊU KÉO HAY NÉN ĐÚNG TÂM

3.3.1 Biến dạng dọc

Biến dạng dọc trục z của đoạn dài dz chính là δ dz(H.3.3b) Như vậy biến dạng dài

tương đối của đoạn dz là: z dz

E : là hằng số tỷ lệ, được gọi là môđun đàn hồi khi kéo (nén), nó phụ thuộc vào vật

liệu và có thứ nguyên

2

Bảng 3.1 : Trị số E của 1 số vật liệu (tham khảo trong tài liệu)

Từ (a) ta tính δ dz, sau đó thế (b) vào, ta được biến dạng dài dọc trục của đoạn dz là

: δ = ε = σz = z

Suy ra biến dạng dài (dãn dài khi thanh chị kéo, co ngắn khi thanh chịu nén) của 1

đoạnt hanh có chiều dài L là :

; δ

3.3.2 Biến dạng ngang

Theo phương ngang thanh cũng có biến dạng, ta chọn z là trục thanh, x, y là các phương vuông góc với z (H.3.3d) Nếu ta gọi εx và εylà biến dạng dài tương đối theo 2 phương x và y, thì ta có quan hệ : εx= = − εy νεz (3.4)

Trong đó ν: hệ số Poisson, là hằng số tùy loại vật liệu và có giá trị từ 0 đến 0,5 (xem bảng 3.1)

Dấu (-) trong biểu thức chỉ rằng biến dạng theo phương dọc và ngang ngược nhau

3.4 ĐẶC TRƯNG CƠ HỌC CỦA VẬT LIỆU 3.4.1 Khái niệm

Vấn đề của chúng ta là cần phải so sánh độ bền, độ cứng của vật liệu khi chịu lực với ứng suất biến dạng của vật liệu cùng loại đã biết Ta cần thí nghiệm kéo, nén để tìm hiểu tính chất chịu lực và quá trình biến dạng từ lúc bắt đầu chịu lực đến lúc phá hỏng của các loại vật liệu khác nhau

Căn cứ vào biến dạng và sự phá hỏng, khả năng chịu kéo, nén khác nhau người ta phân vật liệu thành 2 loại cơ bản : vật liệu dẻo là vật liệu bị phá hoại khi biến dạng khá

lớn như thép, đồng , nhôm…; vật liệu giòn là vật liệu bị phá hoại khi biến dạng còn nhỏ

như gang, đá, bêtông…

Như vậy, ta có 4 thí nghiệm cơ bản sau:

3.4.2 Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo (thép)

3.4.2.1 Mẫu thí nghiệm:

Theo tiêu chuẩn TCVN 197 – 85 (H.3.5)

Chiều dài L0 thí nghiệm là đoạn thanh đường kính d0, diện tích A0

3.4.2.2 Thí nghiệm

Tăng lực kéo từ 0 đến khi mẫu đứt, với bộ phận vẽ biểu đồ của máy kéo, ta nhận

được đồ thị quan hệ giữa lực kéo P và biến dạng dài ΔL của mẫu như H.3.6 Ngoài ra,

sau khi mẫu bị đứt ta chắp lạo, mẫu sẽ xó hình dáng như H.3.7

3.4.2.3 Phân tích kết quả

Quá trình chịu lực của vật liệu có thể chia làm 3 giai đoạn

OA: giai đoạn đàn hồi, tương quan giữa P vàΔL bậc nhất Lực lớn nhất trong giai

đoạn này là lực tỉ lệ Ptl, ứng suất tương ứng trong mẫu là giới hạn tỉ lệ:

0

σ = tl tl

P

AD:Giai đoạn chảy, lực kéo không tăng nhưng biến dạng tăng liên tục Lực kéo

tương úng là lực chảy Pch và ta có giới hạn chảy:

3.4.2.4 Biểu đồ σ ε − (biểu đồ quy ước)

Từ biểu đồ P − Δ L ta dễ dàng suy ra biến dạng tương quan giữa ứng suất

0

/

σz= P A và biến dạng dài tương đối εz= Δ L L / 0

Biến dạng này có hình dạng giống như biến dạng P − Δ L (H.3.8) Trên biến dạng chỉ rõ σ σ σtl, ch, b và cả môđun đàn hồi : σ tan α

3.4.3 Thí nghiệm kéo vật liệu dòn

Biến dạng kéo vật liệu dòn có dạng đường cong (H.3.9) Vật liệu không có giới hạn tỉ

lệ và giới hạn chảy mà chỉ có giới hạn bền:

0

σ = b

Tuy vậy, người ta cũng qui ước 1 giới hạn đàn hồi nào đó và xem đồ thị quan hệ lực

kéo và biến dạng là đường thẳng (đường quy ước)

3.4.4 Thí nghiệm nén vật liệu dẻo

Mẫu nén vật liệu dẻo (và giòn) thường có dạng hình trụ tròn hay hình lập phương

(H.3.10b) Biến dạng nén vật liệu dẻo như H.3.10a Ta chỉ xác định được giới hạn tỉ lệ

và giới hạn chảy, mà không xác định được giới hạn bền do sự phình ngang của mẫu

làm cho diện tích mặt cắt ngang của mẫu liên tục tăng lên Sau thí nghiệm, mẫu có

dạng hình trống (H.3.10c)

3.4.5 Thí nghiệm nén vật liệu dòn

Biến dạng quan hệ P − Δ L khi nén vật liệu dòn cũng là đường cong tương tự biến

dạng kéo vật liệu dòn Ta chỉ xác định được giới hạn bền tương ứng với lực nén phá

hỏng Pb > Mẫu thí nghiệm bị vỡ đột ngột, có hình dạng nón (H.3.10.d) Nghiên cứu các

thí nghiệm kéo và nén các vật liệu dẻo và dòn, người ta thấy rằng : giới hạn chảy của

vật liệu dẻo khi kéo và nén như nhau Con đối với vật liệu dòn giới hạn bền khi kéo bé hơn nhiều so với giới hạn bền khi nén Ví dụ gang xám có giới hạn bền khi kéo là 2,5kN/cm2 còn giới hạn bền khi nén có thể đạt đến 10kN/cm2

3.5 ỨNG SUẤT CHO PHÉP – HỆ SỐ AN TOÀN – BA BÀI TOÁN CƠ BẢN

3.5.1 Ưùng suất cho phép:

Ta gọi ứng suất nguy hiểm, kí hiệu σ0, là trị số ứng suất mà úng với nó vật liệu được xem là bị phá hoại Đối với vật liệu dẻo σ0= σch , đối với vật liệu dòn σ0= σb

Nhưng khi chế tạo, vật liệu thường không đồng chất hoàn toàn, và trong quá trình sử dụng tải trọng có thể vượt qua tải trọng thiết kế, điều kiện làm việc của kết cấu hay chi tiết chưa được xem xét đầy đủ, các giả thiết tính toán chưa đúng với sự làm việc của kết cấu Vì thế ta không tính toán theo σ0 Chúng ta phải chọn 1 hệ số an toàn n>1 để xác

định ứng suất cho phép: [ ] σ = σ0

và dùng trị số [ ] σ để tính toán

3.5.2 Hệ số an toàn:

Hệ số an toàn thường do nhà nước hay hội đồng kĩ thuật của nhà máy qui định

Để chọn hệ số an toàn được chính xác, nhiều khi người ta phải chọn nhiều hệ số theo riêng từng nguyên nhân dẫn đến sự không an toàn của công trình hay chi tiết máy, có thể nêu ra:

- Hệ số kể đến độ đồng chất của vật liệu

- Hệ số kể đến sự vượt quá tải trọng thiết kế

- Hệ số kể đến sự làm việc tạm thời hay lâu dài Như vậy, muốn đảm bảo sự làm việc an toàn về độ bền khi thanh chịu kéo hay nén

đúng tâm, ứng suất trong thanh phải thỏa mãn điều kiện bền là:

σ = z ≤ [ ] σ

3.5.3 Ba bài toán cơ bản:

Từ điều kiện bền, ta có 3 bài toán cơ bản:

- Kiểm tra bền : là kiểm tra xem ứng suất trong thanh có thỏa mãn điều kiện bền

không? σ = z ≤ [ ] σ ± 5%

A

- Chọn kích thước mặt cắt ngang : đây là bài toán thiết kế, ta phải định kích thước

mặt cắt ngang của thanh sao cho đảm bảo điều kiện bền Từ (3.16) ta có :

[ ] σ 5%

≥ N ±

A

- Định tải trọng cho phép : từ (3.16) ta dễ dàng xác định được nội lực lớn nhất có

thể đạt được của thanh là: Nz≤ [ ] σ A ± 5% hay Nz = [ ] σ A

Từ [ ] Nz ta có thể tìm được trị số cho phép cra tải trọng tác dụng lên công trình hay

chi tiết máy

3.6 MỘT SỐ HIỆN TƯỢNG PHÁT SINH KHI VẬT LIỆU CHỊU LỰC

3.6.1 Hiện tượng biến cứng

Hiện tượng biến cứng là hiện tượng tăng giới hạn đàn hồi của vật liệu bị biến dạng

dẽo Trong thí nghiệm, nếu mẫu còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi thì đường biểu

diễn sẽ là đường OA Mẫu sẽ phục hồi lại hình dạng và kích thước ban đầu Nhưng nếu

lực vượt quá giai đoạn đàn hồi thì khi bỏ lực, vật sẽ có biến dạng dư Ðường biểu diễn khi

bỏ lực sẽ song song nhưng không trùng với OA Sau đó nếu cho mẫu chịu lực ta lại thấy

giới hạn đàn hồi tăng lên so với vật liệu ban đầu Vật liệu biến dạng dư khi tăng giảm

lực liên tục có giới hạn tỉ lệ cao hơn, nhưng biến dạng dẽo kém hơn vật liệu ban đầu

Hiện tượng vật liệu giảm biến dạng dẻo và nâng cao giới hạn tỷ lệ gọi là hiện tượng

biến cứng

Hiện tượng này có lúc ta phải loại trừ để khôi phục tính dẽo ban đầu của vật liệu, có

lúc người ta lợi dụng để tăng bền bề mặt chi tiết trong quá trình công nghệ hoặc nén

theo chu kỳ để tăng bền cho các cột trụ bêtông cốt thép (bêtông tiền áp)

Hiệu ứng Bauschinger: hiện tượng giảm giới hạn bền nén nếu lần trước mẫu chịu

kéo mà lần sau chịu nén

3.6.2 Hiện tượng sau tác dụng

Hiện tượng sau tác dụng là hiện tượng xuất hiện biến dạng dẽo theo thời gian làm

thay đổi ứng suất và biến dạng trong vật thể chịu tác dụng của ngoại lực

Ðối với kim loại, nếu ứng suất ban đầu càng lớn, môi trường làm việc có nhiệt độ càng cao thì hiện tượng sau tác dụng xảy ra càng rõ rệt Hiện tượng sau tác dụng được chia ra:

a./ Hiện tượng chùng

Hiện tượng chùng là hiện tượng biến dạng thay đổi theo thời gian khi ứng suất được giữ không đổi

Thí nghiệm cho thấy, nếu tác dụng vào mẫu một lực đủ lớn để mẫu có thể biến dạng dẽo, sau đó giữ cho lực không đổi thì ta thấy mẫu bị biến dạng liên tục theo thời gian Ta gọi đó là hiện tượng chùng

Ban đầu thanh có biến dạng tức thời (0 (đường OA), biến dạng này có thể là đàn hồi hay đàn hồi dẽo tùy theo trị số của tải trọng Ta có thể chia đồ thị trên làm 3 giai đoạn:

- Ðoạn AB: biểu diễn giai đoạn thứ nhất của hiện tượng chùng, tốc độ biến dạng (biến dạng dẽo) lúc đầu tăng nhanh, sau giảm dần do vật liệu bị biến cứng

- Ðoạn BC: biểu diễn giai đoạn thứ hai của hiện tượng chùng, tốc độ biến dạng trong giai đoạn này được xem như không đổi trong một thời gian dài do hiện tượng biến cứng và hiện tượng chùng trừ khử lẫn nhau

- Ðoạn CD: biểu diễn giai đoạn phá hoại của vật liệu: tốc độ biến dạng tăng nhanh dần đến lúc phá hoại Hiện tượng chùng càng tăng làm cho tính biến cứng của vật liệu càng giảm

Những cánh tuốc- bin trong nhà máy nhiệt điện làm việc ở nhiệt độ cao, do hiện tượng chùng làm cho cánh tuốc- bin dãn dài ra có thể gây va đập vào thành ống

b./ Hiện tượng rão

Hiện tượng rão là hiện tượng ứng suất thay đổi theo thời gian do sự xuất hiện biến dạng dẽo trong vật thể chịu lực khi biến dạng toàn phần được giữ không đổi

Hiện tượng rão thường thấy ở các bulông nối ở các mối nối của nồi hơi

Bulông có hai đầu cố định nên độ dãn dài toàn phần của nó không đổi nhưng do hiện tượng chùng làm biến dạng dẽo ngày một tăng nên ứng suất ngày một giảm Biến dạng dẽo ngày một tăng làm cho biến dạng đàn hồi ngày một giảm, đưa đến sự giảm ứng suất

Hiện tượng rão của bulông ở các mối nối có thể gây ra hiện tượng thẩm thấu hơi trong các nồi hơi, ống dẫn hơi

3.7 KHÁI NIỆM VỀ SỰ TẬP TRUNG ỨNG SUẤT

Trong phần trên, chúng ta đã tìm ra luật phân bố ứng suất trên các mặt cắt ngang

của những thanh hình trụ chịu kéo hoặc nén đúng tâm là phân bố đều Từ đó chúng ta

đã thừa nhận rằng sự phân bố ứng suất trên mọi mặt cắt ngang của thanh có mặt cắt

thay đổi theo bậc cũng là phân bố đều Ðiều đó chỉ đúng với những mặt cắt ở xa những

vị trí có kích thước thay đổi đột ngột Khi mặt cắt có hình dáng, kích thước thay đổi đột

ngột thì trên những mặt cắt tại những chổ thay đổi đó sự phân bố ứng suất không còn

đều nữa

Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh rằng, khi kéo hoặc nén một tấm chữ nhật có lỗ tròn

bé, ứng suất lớn nhất tại mép lỗ sẽ lớn gấp 3 lần ứng suất tại các mặt cắt xa lỗ

Người ta gọi hiện tượng phân bố không đều của ứng suất tại các mặt cắt ngang có

hình dạng và kích thước thay đổi hoặc ở gần các điểm đặt lực là hiện tượng tập trung

ứng suất

Vì hiện tượng tập trung ứng suất có tính chất cục bộ nên ứng suất tại các nơi này

được gọi là ứng suất cục bộ

Ứng suất cục bộ lớn hay bé phụ thuộc vào dạng thay đổi của mặt cắt ngang Sự

thay đổi mặt cắt càng đột ngột thì sự phân bố của ứng suất càng không đều Vì vậy,

trong kỹ thuật để giảm hiện tượng tập trung ứng suất đối với các chi tiết có mặt cắt

ngang thay đổi ta phải làm cho sự thay đổi mặt cắt là từ từ Cần phải hết sức tránh sự

thay đổi mặt cắt ngang đột ngột, vì như vậy sẽ gây ra ứng suất cục bộ lớn

3.8 BÀI TOÁN SIÊU TĨNH

Hệ siêu tĩnh là hệ mà người ta không thể tính được nội lực ở tất cả các bộ

phận nếu chỉ sử dụng các điều kiện tĩnh học

Ðể giải bài toán SIÊU TĨNH này ta phải thiết lập thêm phương trình biến dạng

Ví dụ: Xét thanh bị ngàm ở hai đầu chịu lực như hình vẽ (Hình 2-19)

Dưới tác dụng của lực P tại các ngàm A và B phát sinh phản lực VA và VB

Viết phương trình cân bằng lên phương thẳng đứng ta được:

VA + VB - P = 0

Như vậy ta có một phương trình cân bằng nhưng phải tìm hai ẩn số VA và VB

Ta phải lập phương trình thứ hai, đó là phương trình biến dạng Vì thanh bị ngàm

ở hai dầu nên biến dạng toàn phần phải bằng 0, do đó phương trình biến dạng được viết là: Dl = 0

Tưởng tượng tách bỏ ngàm B và thay vào đó là phản lực VB

Từ các phương trình thiết lập ta tìm được các phản lực VA và VB và từ đó có thể tính được ứng suất trong thanh

CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 3

1 Nắm vững khái niệm: modun đàn hồi hệ số an toàn, ứng suất cho phép

2 Phân biệt được vật liệu dẻo, vật liệu dòn

3 Biến dạng chủ yếu của thanh chịu kéo, nén đúng tâm

4 Công thức tính toán ứng suất pháp và kiểm tra điều kiện bền

5 Vận dụng bài toán cộng tác dụng để đơn giản hóa bài toán

6 Thành thạo giải quyết 3 bài toán cơ bản của SBVL

7 Vận dụng điều kiện biến dạng trong điều kiện làm việc vào bài toán siêu tỉnh

8 Tính toán các giá trị ứng suất pháp tại 1 mặt cắt bất kì, ứng suất pháp cực trị

CHƯƠNG 4 : TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT

4.1 KHÁI NIỆM TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI 1 ĐIỂM

4.1.1 Trạng thái ứng suất

Ta đã làm quen với khái niệm ứng suất ở chương 2 (nội lực và ứng suất) và đã tính

ứng suất trong trường hợp thanh chịu lực đơn giản ở chương 3 (kéo, nén đúng tâm)

Xét 1 vật thể đàn hồi cân bằng dưới tác dụng của ngoại lực (H.4.1) Trên các mặt

cắt đi qua điểm K của vật thể, ta có thể xác định được các thành phần ứng suất pháp và

ứng suất tiếp Các thành phần ứng suất này sẽ thay đổi tùy theo vị trí của mỗi mặt cắt

đi qua K Ta xét tập hợp tất cả những ứng suất trên mọi mặt cắt đi qua K, tạo thành

trạng thái ứng suất tại điểm này

Như vậy, trạng thái ứng suất tại 1 điểm bao gồm tất cả những thành phần ứng

suất trên các mặt cắt đi qua điểm đó.

Trạng thái ứng suất tại 1 điểm đặc trưng cho mức độ chịu lực của vật thể tại điểm

đó Những thành phần ứng suất của trạng thái ứng suất tại 1 điểm có liên hệ với nhau

Bởi vậy, chúng ta cần nghiên cứu trạng thái ứng suất, tìm ra đặc điểm mối liên hệ giữa

ứng suất, xác định ứng suất nguy hiểm để từ đó tính toán độ bền và đoán biết dạng phá

hỏng của vật thể chịu lực

4.1.2 Biểu diễn trạng thái ứng suất

4.1.2.a Phương pháp nghiên cứu

Để biểu diễn trạng thái ứng suất tại 1 điểm trong vật thể, ta tưởng tượng tách 1 phân

tố hình lập phương vô cùng bé bao bọc lấy điểm K Phân tố bé đến mức thể tích của nó

gần như bằng 0, khi đó có thể xem như các bề mặt của phân tố đi qua điểm K Để

thuận lợi cho việc tính toán, ta chọn hệ trục tọa độ xyz có các trục song song với các

cạnh của phân tố Trạng thái ứng suất của phân tố sẽ được biểu diễn như trên H.4.2

Trên các mặt của phân tố sẽ xó 9 thành phần ứng suất, gồm 3 ứng suất pháp

, ,

σ σ σx y z và 6 ứng suất tiếp τ τ τ τ τ τxy, , , , , ,yz zx yx zy xz Mỗi thành phần ứng suất có 2 chỉ số Chỉ số thứ nhất chỉ rõ phương pháp tuyến của mặt tọa độ có ứng suất tác dụng, chỉ số thứ 2 xác định phương tác dụng của thành phần ứng suất.

Ví dụ τxy là thành phần ứng suất tiếp tác dụng trên mặt vuông góc với trục x và có hướng SONG SONG với trục y Đối với ứng suất pháp, 2 chỉ số trùng nhau nên quy ước chỉ viết 1 chỉ số cho gọn Chẳng hạn, σx là ứng suất pháp trên bề mặt vuông góc với trục x

Trước tiên, các mặt của phân tố ứng suất được quy ước là mặt dương hoặc âm nếu pháp tuyến của mặt đó cùng chiều hoặc ngược chiều với các trục tọa độ

Ta quy ước thành phần ứng suất có dấu dương nếu nó tác dụng trên mặt dương và cùng chiều với trục tọa độ hoặc nếu tác dụng trên mặt âm thì nó ngược chiều với trục tọa độ Trong trường hợp ngược lại, ứng suất được coi là âm

Có thể nhớ quy ước dấu này bằng 1 quy tắc đơn giản : nếu cặp chỉ số mặt và phương kết hợp thành dương – dương hoặc âm – âm thì ứng suất là dương, còn khi các

chỉ số kết hợp thành âm – dương hoặc dương – âm thì ứng suất là âm

Chẳng hạn, các thành phần ứng suất trên H.4.2 đều mang dấu dương

Với cách quy ước trên, ứng suất kéo, hướng theo pháp tuyến ngoài của bè mặt, có dấu dương CÒn ứng suất nén, hướng vào bề mặt, là âm

Qui ước ứng suất tiếp: từ ứng suất pháp dương quay 90 độ ra ứng suất tiếp dương

4.1.3 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp

Phân tố hình hojp tách ra từ vật thể đàn hồi tại điểm K phải ở trạng thái cân bằng về

lực và mômen

Xét cân bằng về lực tác dụng lên phân tố, ta có thể thu được các phương trình vi

phân cân bằng là hệ phương trình cơ bản của lí thuyết đàn hồi Tuy vậy, trong SBVL để

đơn giản hóa người ta thường sử dụng các giả thuyết thay cho việc giải các phương trình

này cho nên phương trình vi phân cân bằng không được đề cập tới ở đây

Để xét cân bằng về mômen của phân tố trên, chọn 1 trục SONG SONG với trục z và

đi qua trọng tâm của phân tố Trên H.4.3 chỉ biểu diễn những lực tham gia vào phương

trình cân bằng mômen đối với trục z và phương trình này được viết như sau:

τxydxdydz = τyxdxdydz (4.1)

trong đó, bỏ qua mômen của những lực vô cùng bé bậc cao, chẳng hạn như lực

khối Ta thu được: τxy= τyx (4.2)

Tương tự, viết phương trình cân bằng mômen đối với 2 trục còn lại, ta thu được biểu

thức: τyz = τzy; τxz = τzx (4.3)

Như vậy, ta thu được nguyên lí đối ứng của ứng suất tiếp : trên 2 mặt vuông góc,

các ứng suất tiếp có trị số bằng nhau và có chiều cùng hướng vào cạnh chung hoặc

cùng tách khỏi cạnh chung (xem H.4.4)

Do tính chất đối ứng của ứng suất tiếp, tại 1 điểm của vật thể chúng ta chỉ có 6

thành phần ứng suất độc lập với nhau là 3 ứng suất pháp σ σ σx, ,y z và 3 ứng suất tiếp

, ,

τ τ τxy yz zx Các thành phần ứng suất này được biểu diễn qua các phần tử của 1 ma

trrajn đối xứng gọi là ma trận ứng suất:

y

Chú ý rằng, khi ta biểu diễn trạng thái ứng suất qua các phân tố ứng suất với các hệ tọa độ khác nhau, các thành phần ứng suất trên các bề mặt của phân tố ứng suất tuy thay đổi song chúng vẫn biểu diễn cùng 1 trạng thái ứng suất

4.1.4 Mặt chính, phương chính và ứng suất chính Phân loại trạng thái ứng suất

Lí thuyết đàn hồi chứng minh được rằng tại 1 điểm bất kì của vật thể luôn tồn tại

3 mặt tương hỗ vuông góc mà trên các mặt đó chỉ tác dụng ứng suất pháp chứ không có ứng suất tiếp Những mặt đó gọi là mặt chính Phương vuông góc với mặt

chính gọi là phương chính Ưùng suất pháp tác dụng trên mặt chính gọi là ứng suất chính và được kí hiệu là σ1 Các ứng suất chính được quy ước sắp xếp theo thứ tự

σ σ > > σ

Ví dụ, cho 3 ứng suất chính chính là 200N/cm2 , -400N/cm2 , -500N/cm2 Theo quy ước : σ1= 200 / N cm 2; σ2= − 400 / N cm 2; σ3= − 500 / N cm 2;

Trạng thái ứng suất được phân loại như sau:

Nếu cả 3 ứng suất chính khác 0, điểm ở trạng thái ứng suất khối (H.4.5a)

Nếu có 2 ứng suất chính khác 0, điểm ở trạng thái ứng suất phẳng (H.4.5b)

Nếu chỉ có 1 ứng suất chính khác 0, điểm ở trạng thái ứng suất đơn (H.4.5c)

Trạng thái ứng suất khối và trạng thái ứng suất phẳng gọi là trạng thái ứng suất phức tạp

Để nghiên cứu trạng thái ứng suất tại 1 điểm, ta cần xác định mặt chính, phương chính, các ứng suất cực trị…tại điểm đó Trạng thái ứng suất đơn đã được giới thiệu ở

chương 3 Trong chương này, ta sẽ ng trạng thái ứng suất phẳng và trạng thái ứng suất

khối

4.2 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG

Bài toán phẳng thường hay gặp trong kĩ thuật Người ta thường đơn giản hóa bài toán

sao cho ứng suất trong bộ phận công trình hay chi tiết máy được đưa về xác định chỉ

trong 1 mặt phẳng Chẳng hạn, nếu không có ngoại lực tác dụng lên 1 bề mặt nào đó

của vật thể, khi đó ứng suất pháp và ứng suất tiếp sẽ = 0 trên bề mặt và như vậy sẽ ở

trạng thái ứng suất phẳng

4.2.1 Cách biểu diễn

Xét 1 phân tố vô cùng bé như trên H.4.6a Ưùng suất trên mặt vuông góc với trục z

bằng 0 và mặt này là 1 mặt chính vì có ứng suất tiếp bằng 0 Đễ dễ hình dung, ta biểu

diễn phân tố trên mặt phẳng bằng cách chiếu toàn bộ lên mặt phẳng Kxy (H.4.6b) Để

xác định trạng thái ứng suất tại 1 điểm, cần xác định các thành phần ứng suất trên 1

mặt cắt nghiêng bất kì

4.2.2 Ưùng suất trên mặt cắt nghiêng Phương pháp giải tích

Ta cần phải xác định ứng suất trên mặt cắt nghiêng SONG SONG với trục z và có pháp tuyến u tạo với trục x 1 góc α (ta quy ước α> 0 khi quay ngược chiều kim đồng

hồ kể từ trục x), với giả thiết là đã biết ứng suất σ σ τx, ,y xy Tưởng tượng cắt phân tố bằng 1 mặt cắt nghiêng chia phân tố ra làm 1 phần, ta xét cân bằng của 1 phần phân tố (H.4.7)

Trên mặt nghiêng, ứng suất kí hiệu σu và τuvvà có thể được xác định từ phương trình cân bằng tĩnh học Để thiết lập phương trình cân bằng, cần tìm các lực tác dụng lên các bề mặt của phân tố Diện tích của mặt bến trái (mặt x âm), của mặt đáy (mặt y

âm) và của mặt nghiêng là dydz, dxdz và dsdz Chiếu tất cả các lực bề mặt lên trục u,

ta có phương trình thứ nhất:

σudsdz − σxdzdy α τ − xydzdy α σ − ydzdx α τ − xydzdx α =

Tương tự, chiếu lực tác dụng lên phân tố theo trục v, ta được phương trình thứ 2:

τuvdsdz + σxdzdy α τ − xydzdy α σ − ydzdx α τ − xydzdx α =

Sử dụng tính chất đối ứng của ứng suất tiếp: τxy = τyx

Và chú ý rằng dx ds = sin ; α dy ds = cos α , sau khi giản ước và sắp xếp lại, ta thu được các phương trình sau:

cos (1 cos 2 ); sin (1 cos 2 )

1 sin cos sin 2

này sang hệ trục khác Từ phương trình (4.5), ta có thể rút ra 1 hệ quả quan trọng Nếu

thay thế α bằng α+ 900 như trên (H.4.8) ta thu được ứng suất pháp tác dụng trên bề

Biểu thức trên cho thấy, tổng của ứng suất pháp tác dụng trên 2 mặt vuông góc của

phân tố ứng suất phẳng tại điểm là hằng số và không phụ thuộc vào gócα

4.2.3 Ưùng suất chính và ứng suất tiếp cực trị

Từ phương trình (4.5),ta thấy ứng suất phụ thuộc vào góc nghiêng của mặt cắt Ta

cần xác định vị trí mặt cắt, trên đó tác dụng ứng suất pháp và ứng suất tiếp cực trị

4.2.3.a Ứùng suất chính và phương chính

Ngoài mặt chính là mặt đã biết vuông góc với trục z, ta nhận thấy 2 mặt chính còn lại

phải là những mặt SONG SONG với trục z ( vì phải vuông góc với mặt chính đã có)

Trên mặt chính không có ứng suất tiếp cho nên ta tìm 2 mặt chính còn lại bằng cách

cho τuv trong (4.5b) bằng 0

Như vậy, nếu gọi α0 là góc của phương chính hợp với trục x thì điều kiện để tìm

phương chính là: sin 2 cos 2 0

Phương trình này có 2 nghiệm α0 sai khác nhau 1800 , tức là có 2 giá trị khác nhau 1

góc 900 Vì vậy, ta có thể kết luận rằng có 2 mặt chính vuông góc với nhau và SONG

SONG với trục z Trên mỗi mặt chính có 1 ứng suất chính tác dụng

Ta nhận thấy 2 ứng suất chính này đồng thời cũng là ứng suất pháp cực trị (kí hiệu là

1

σ hay σ1) Thật vậy, lấy đạo hàm của ứng suất pháp trong (4.5a) theo góc α rồi cho

=0, ta lại thu đợc phương trình xác định góc (4.8) Giá trị ứng suất chính có thể tính được

bằng cách thế ngược trị số của α trong (4.8) vào (4.5a) Để ý rằng:

τ

−

= −x y xy

(4.12)

So sánh 2 phương trình (4.12) với (4.8) ta được:

0

1 tan 2

tan 2

α

α

Như vậy, ta có : 2 α = 2 α0±k 900 hay là : α α = ±k0 450

Ta có thể kết luận rằng, mặt có ứng suất tiếp cực trị tạo với những mặt chính 1 góc

450 Thế (4.12) vào (4.9), rồi sau đó thay (4.9) ào (4.5b), ta tìm được giá trị của ứng suất tiếp cực trị trên những mặt SONG SONG với trục z:

2 2 max

4.2.4 Các trường hợp đặc biệt:

4.2.4.a Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt:

Phân tố trên H.4.12 có : σx= σ σ ; y= 0; τxy= τ

Theo công thức (4.10), ta tính được 2 ứng suất chính σ1 và σ3 như sau :

Đó là 1 đặc điểm của trạng thái ứng suất phẳng (có 2 ứng suất chính) mà ta sẽ gặp

ở trường hợp thanh chịu uốn

Như vậy, những phương chính xiên góc 450 với trục x và y

4.2.5 Biểu diễn hình học trạng thái ứng suất Vòng tròn Morh

4.2.5.a Vòng tròn Morh ứng suất

Công thức xác định ứng suất trên mặt cắt nghiêng (4.5) có thể biểu diễn dưới dạng

hình học bằng vòng tròn Morh Cách biểu diễn hình học này cho ta thấy rõ mối quan hệ

giữa ứng suất pháp và ứng suất tiếp tác dụng trên tất cả các mặt nghiêng đi qua 1 điểm

trong vật thể ở trạng thái phẳng Để vẽ vòng tròn Morh, ta sắp xếp lại phương trình (4.6)

R xác định theo công thức (4.19b) Như vậy, các giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên tất cả các mặt SONG SONG với trục z của phân tố đều biểu thị bằng tọa độ những

điểm trên vòng tròn ta gọi vòng tròn biểu thị trạng thái ứng suất của phân tố là vòng tròn ứng suất hay vòng tròn Morh ứng suất của phân tố

4.2.5.b Ứng suất trên mặt cắt nghiêng

4.3 LIÊN HỆ ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG: ĐỊNH LUẬT HOOKE 4.3.1 Liên hệ ứng suất pháp và biến dạng dài

Ở phần trên, khi nghiên cứu trạng thái ứng suất tại 1 điểm trong vật thể, ta đưa ra các phương trình hoàn toàn từ việc xét cân bằng tĩnh học chứ không đề cácajp tới tính chất của vật liệu Song để tính toán biến dạng trong vật thể, chúng ta cần phải nghiên cứu tính chất vật liệu, tức là xét mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng đối với vật liệu cụ thể Như đã giả thiết ở chương 1 vật liệu là liên tục, đồng chất, đẳng hướng và đàn hồi tuyến tính tức là tuân theo định luật Hooke Với các giả thiết trên, ta có thể dễ dàng nhận được mối quan hệ giữa biến dạng và ứng suất trong vật thể

- Trạng thái ứng suất đơn : trong chương 3, ta đã có công thức của định luật Hooke

liên hệ giữa ứng suất pháp và biến dạng dài trong trạng thái ứng suất đơn:ε = σ

E

Trong đó :ε : là biến dạng dài tương đối theo phương ứng suất σ Khi đó, theo

phương vuông góc với σ cũng có biến dạng dài tương đối ε ' ngược dấu với ε

ε = − = − v ε v

E

- Trạng thái ứng suất khối : bây giờ, giả sử ta có phân tố ở trạng thái ứng suất khối

với các ứng suất chính σ σ σ1, ,2 3 theo 3 phương chính I, II, III (H.4.20)

Ta tìm biến dạng dài tương đối ε1 theo phương chính I của phân tố Áp dụng nguyên

lí cộng tác dụng, ta xét biến dạng dài tương đối do từng ứng suất gây ra theo phương I

Biến dạng dài theo phương I do σ1 gây ra : 1

Trạng thái ứng suất tổng quát: lí thuyết đàn hồi đã chứng minh đối với vật liệu đàn

hồi đẳng hướng, ứng suất pháp chỉ sinh ra biến dạng dài mà không sinh ra biến dạng

trượt cũng như ứng suất tiếp chỉ sinh ra biến dạng trượt mà không sinh ra biến dạng dài

Vì vậy, trong trường hợp phân tố ở trạng thái ứng suất tổng quát với đày đủ các thành

phần ứng suất pháp và ứng suất tiếp, những công thức trên vẫn đúng Cho nên, khi lập

liên hệ giữa biến dạng dài tương đối và ứng suất pháp theo 3 phương vuông góc bất kì

x, y, z ta vẫn có công thức:

v E v E

(4.30)

Những công thức (4.27), (4.30) biểu thị định luật Hooke tổng quát đối với biến dạng

dài

4.3.2 Liên hệ giữa ứng suất tiếp và biến dạng góc

- Trạng thái ứng suất phẳng : ta xét phân tố ứng suất ở trạng thái trượt thuần túy, trên

mặt bên song song với trục z của phân tố chỉ có ứng suất tiếp τxy Ưùng suất tiếp sẽ làm biến dạng các mặt phân tố vuông góc với trục z làm cho những mặt này trở thành hình bình hành (H.4.24) Biến dạng góc (góc trượt) γxy biểu thị sự thay đổi góc vuông (góc

trượt giữa 2 mặt x và y) Giữa ứng suất tiếp và góc trượt có mối liên hệ bậc nhất gọi là

định luật Hooke về trượt : τ

- Trạng thái ứng suất khối: do ứng suất tiếp chỉ làm biến dạng bề mặt vuông góc với

bề mặt mà nó tác dụng chứ không ảnh hưởng tới biến dạng góc trên các mặt khác, cho nên trong trường hợp ứng suất khối, ngoài (4.31a) ta cũng có các công thức khác liên hệ các thành phần ứng suất tiếp và các góc trượt còn lại như sau:

Các công thức (4.5a,b,c) gọi là định luật Hooke về trượt liên hệ giữa ứng suất tiếp và

biến dạng góc

- Liên hệ giữa các hằng số đàn hồi E, v và G

Xét phân tố phẳng hình vuông có cạnh là a ở trạng thái trượt thuần túy, trên các

cạnh chỉ có ứng suất tiếp như trên H.4.25 Sau biến dạng, mặt CD bị trượt đi so với các

mặt AB, mặt này được coi là cố định Cạnh CD sẽ di chuyển tới C’D’ 1 đoạn là Δ s Các

góc vuông sẽ thay đổi 1 góc γ gọi là góc trượt hay biến dạng góc Đường chéo AC

thành A’C’ Nếu từ C hạ đường vuông góc CÁC” xuống C’C” chính là độ dãn dài tương

đối của đường chéo AC, kí hiệu là Δl Do biến dạng bé, ta có : Δ = Δ l s cos 450

Như vậy, biến dạng dài của đường chéo AC là:

0

cos 45

2 2

Mặt khác, phân tố ở trạng thái trượt thuần túy như trên H.4.18 nên các ứng suất

chính σ1= − = σ τ3 ; đường chéo AC cũng là phương chính thứ nhất Áp dụng định luật

Hooke tổng quát (4.27), biến dạng dài theo phương đường chéo có dạng:

E G

CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 4

1 Qui ước dấu của các thành phần ứng suất

2 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp

3 Xác định ứng suất pháp, tiếp theo 1 phương a cho trước trong bài toán ứng suất phẳng

4 Tìm ứng suất chính trong bài toán ứng suất phẳng

5 Công thức liên hệ giữa các ứng suất với các biến dạng tương ứng

6 Nắm vững các bước diễn giải và chứng minh ra công thức giải tích tính toán ứng suất

7 Nắm vững các bước thành lập vòng trón Mohr tính toán ứng suất

8

CHÖÔNG 5 : ÑAỊC TRÖNG HÌNH HÓC CỤA MAỊT CAĨT NGANG

5.1 KHAÙI NIEÔM

ÔÛ chöông 3, khí tính söï chòu löïc cụa thanh chòu keùo (neùn) ta nhađn thaây öùng suaât

trong thanh chư phú thuoôc vaøo ñoô lôùn cụa dieôn tích maịt caĩt ngang A Trong nhöõng

tröôøng hôïp khaùc, nhö thanh chòu uoân, xoaĩn… thì öùng suaât trong thanh khođng chư phú

thuoôc vaøo dieôn tích A maø coøn phú thuoôc vaøo hình daùng, caùch boâ trí maịt caĩt…nghóa laø vaøo

nhöõng yeâu toẫ khaùc maø ngöôøi ta gói chung laø ñaịc tröng hình hóc cụa maịt caĩt ngang

Chaúng hán, xeùt thanh chòu uoân trong 2 tröôøng hôïp maịt caĩt ñaịt khaùc nhau nhö tređn

H.5.1 Quan saùt bieân dáng uoân, ta thaây ñoô cong cụa thanh seõ khaùc nhau khi ñaịt chieău

hép cụa thanh theo phöông ngang vaø phöông thaúng ñöùng Baỉng tröïc giaùc, ta deê daøng

nhaôn thaây trong tröôøng hôïp thöù 2, tuy raỉng trong 2 tröôøng hôïp dieôn tích cụa thanh vaên

nhö nhau Nhö vaôy, khạ naíng chòu löïc cụa thanh coøn phú thuoôc vaøo caùch saĩp ñaịt vaø

vò trí maịt caĩt ngang ñoâi vôùi phöông taùc dúng cụa löïc Cho neđn, ngoaøi dieôn tích A ta

phại nghieđn cöùu caùc ñaịc tröng hình hóc khaùc cụa maịt caĩt ñeơ tính toaùn ñoô beăn, ñoô

cöùng, ñoô oơn ñònh vaø thieât keâ maịt caĩt cụa thanh cho hôïp lí Ñoù chính laø caùc khaùi nieôm

môùi: Momen tónh vaø momen quaùn tính.

5.2 MOĐMEN TÓNH TRÓNG TAĐM

Xeùt 1 hình phaúng bieơu dieên maịt caĩt ngang A nhö tređn H.5.2 Xaùc laôp 1 heô trúc tóa ñoô

vuođng goùc Oxy trong maịt phaúng cụa maịt caĩt M(x,y) laø 1 ñieơm baât kì tređn hình Laây

chung quanh M moôt vi phađn dieôn tích dA

Mođmen tónh cụa dieôn tích A ñoâi vôùi trúc x (hay (y) laø tích phađn:

vaø x, y coù theơ ađm neđn mođmen tónh coù theơ coù trò soâ ađm hoaịc döông

Thö nguyeđn cụa mođmen tónh laø ( )3

Töø ñoù, ta suy ra caùch xaùc ñònh tróng tađm C cụa dieôn tích A nhö sau:

Qua C döïng heô trúc x0Cy0 song song vôùi heô trúc xOy ban ñaău (H.5.3) Moâi quan heô cụa tóa ñoô ñieơm M trong 2 heô trúc tóa ñoô ñöôïc bieơu dieên nhö sau:

Nhaôn xeùt : neâu maịt caĩt coù trúc ñoâi xöùng, tróng tađm seõ naỉm tređn trúc naøy vì mođmen tónh ñoâi vôùi trúc baỉng 0.

Chaúng hán, tróng tađm maịt caĩt coù trúc ñoâi xöùng x tređn H.5.4a seõ naỉm tređn trúc x, tróng tađm maịt caĩt coù trúc ñoâi xöùng y tređn H.5.4b seõ naỉm tređn trúc y Neâu maịt caĩt coù 2 trúc ñoâi xöùng nhö tređn H.5.4c, tróng tađm seõ naỉm ôû giao ñieơm 2 trúc ñoâi xöùng

Trong thực tế, ta hay gặp những mặt cắt ngang có hình dáng phức tạp được ghép từ

nhiều hình đơn giản Căn cứ vào định nghĩa, suy ra tính chất sau của mômen tĩnh

Tính chất: Mômen tĩnh của hình phức tạp bằng tổng mômen tĩnh của các hình

đơn giản (nguyên lý cộng tác dung.

Với những hình đơn giản như hình chữ nhật, hình tròn, hình tam giác hoặc mặt cắt

các loại thép định hình I, U, thép góc đều cạnh, thép góc không đều cạnh…ta đã biết

trước diện tích, vị trí trọng tâm hoặc có thể tra theo các bảng trong phần phụ lục Cho

nên có thể dễ dàng tính được mômen tĩnh của hình phức tạp:

Ai, xi, yi : diện tích và tọa độ trọng tâm của hình đơn giản thứ i

n : số hình đơn giản

Từ công thức trên, ta có thể xác định được trojngt âm của 1 hình phức tạp trong hệ

tọa độ xy Để minh họa cách xác định trọng tâm, ta xét trường hợp đặc biệt vỡi mặt cắt

chữ L chỉ gồm 2 hình chữ nhật như trên H.5.5 Tọa độ trọng tâm C của hình trên là:

+

y c

x C

S A x A x x

S A y A y y

i i

x i

i i

A x S

x

A y S

2) Xác định tọa độ trọng tâm hình tam giác: (chỉ xét tung độ yc)

a) Tính momen tĩnh của mặt cắt ngang so với trục x trùng với cạnh đáy

Xét một dãy song song với trục x Coi dãy đĩ là một hình chữ nhật cĩ diện tích b(y).dy

Ta cĩ: b(y) = Ay +B

y = 0 => b(y) = b => B = b

b) Tung độ trọng tâm yc:

3) Xác định tọa độ trọng tâm hình nữa trịn:

Xác định momen tĩnh của mặt cắt ngang đối với trục x trùng cạnh đáy

Xét một dãy dài b(y) rộng dy

Ta cĩ: y = R.sin( ; b(y) = 2Rcos( ;

d(y) = R.dj.cosj

dF = b(y) dy = 2Rcosj.Rcosj dj

= 2R2cos2j dj

Vì y là trục đối xứng nên Sy = 0 b) Do Sy = 0 nên trọng tâm C nằm trên trục tung => xc = 0

5.3 MÔMEN QUÁN TÍNH, BÁN KÍNH QUÁN TÍNH 5.3.1 Mômen quán tính

Mômen quán tính của mặt cắt (hay mômen quán tính độc cực) đối với điểm O được định nghĩa là biểu thức tích phân:

Từ định nghĩa các mômen quán tính,t a nhận thấy :

Mômen quán tính có thứ nguyên là ⎡ ⎣ chiều dài ⎤ ⎦4

Trong khi Mômen quán tính với điểm, với trục luôn luôn dương, mômen quán tính li

tâm có thể dương, âm hoặc bằng 0

Vì ρ2= + x2 y2

mômen quán tính độc cực bằng tổng mômen quán tính đối với 2 trục vuông góc x, y

có gốc tại điểm cực: Iρ= + Ix Iy (5.10)

Nếu lấy 2 trục u, v bất kì vuông góc với nhau, có gốc tại điểm O ta cũng có :

ρ= +u v

suy ra : Ix+ = + = Iy Iu Iv const (5.11)

Như vậy, tại 1 điểm, tổng mômen quán tính đối với 2 trục vuông góc là 1 hằng số

Tổng này gọi là bất biến của mômen quán tính Dựa vào định nghĩa, giống như momen

tĩnh, mômen quán tính cũng có tính chất sau:

Tính chất: Mômen quán tính của 1 hình phức tạp bằng tổng mômen quán tính của

từng hình đơn giản.

5.3.2 Hệ trục quán tính chính trung tâm (QTCTT)

Một hệ trục tọa độ có mômen quán tính li tâm đối với hệ trục đó bằng 0 được gọi là

hệ trục quán tính chính

Nhận xét : tại mỗi điểm trên mặt phẳng A ta đều tìm thấy 1 hệ trục quán tính

chính.Điều này sẽ được chứng minh ở mục 5.5

Hệ trục quán tính chính đi qua trọng tâm mặt cắt được gọi là hệ trục quán tính chính

trung tâm Đối với hệ trục này, ta có :

Nhận xét : kết hợp với nhận xét phần 5.2, ta nhận thấy bất kì trục nào vuông góc với

trục đối xứng đi qua trọng tâm cũng hợp với nó thành 1 hệ trục QTCTT

Mômen quán tính đối với trục chính trung tâm được gọi là mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt

Hệ có 2 trục x, y là 2 trục đối xứng nên đồng thời là hệ QTCTT Để tính Ix, ta lấy diện

tích vi phân dA là 1 dải bề rộng b, bề dày dy, khoảng cách đến trục là y Ta có:

3 2

Ta cần tính mômen quán tính của diện tích tam giác đối với trục x đí qua đáy (H.5.9)

Dải vi phân diện tích dA song song với đáy, có chiều dày là dy, khoảng cách đến trục x

là y và có bề rộng by được tính như sau:

x

h A

5.4.3 Hình tròn – Hình vành khăn

Để đơn giản, trươc hết ta tìm mômen quán tính độc cực đối với trọng tâm O Xét vòng tròn bán kính R ở H.5.10a Lấy phân tố diện tích dA ở dạng 1 vành tròn mảnh bán kính ρ và bề dày d ρ Như vậy, dA = 2 πρ ρ d

Mômen quán tính độc cực của toàn bộ hình tròn:

5.5 CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG

Giả sử ta đã biết các mômen quán tính của hình phẳng A trong hệ tục tọa độ Oxy

Ta cần xác định mômen quán tính của hình phẳng này trong hệ trục O’XY song song với hệ trục đã cho (H.5.11) Gọi a và b là tọa độ của O trong hệ tọa độ O’XY Trong hình vẽ,

ta thấy tọa độ của điểm trong 2 trục liên hệ với nhau bằng công thức sau:

;

X a x Y b y

Theo định nghĩa:

( )2

2

2 2

Công thức (5.19) thường được sử dụng để tính các mômen quán tính chính trung tâm

của 1 hình phức tạp khi được biết mômen quán tính chính trung tâm của từng hình đơn

giản

Từ công thức này, ta nhận thấy : trong tất cả các trục song song thì mômen quán

tính đối với trục trung tâm luôn có giá trị min

5.6 CÔNG THỨC XOAY TRỤC

Giả sử ta đã biết các mômen quán tính của A trong hệ trục tọa độ Oxy Ta xoay hệ

trục ban đầu Oxy quanh gốc tọa độ O 1 góc α ngược chiều kim đồng hồ va thu được hệ

trục mới kí hiệu là Ouv như trên H.5.12 Khi hệ trục quay, các mômen quán tính của A

đối với hệ trục mới cũng thay đổi theo

Tọa độ của điểm trong hệ trục mới và hệ tọa độ cũ được liên hệ như sau:

sin cos cos sin

Tương tự, ta thu được mômen quán tính li tâm đối với hệ trục uv:

Sử dụng các hệ thức lượng giác, biểu thức (b) trở thành:

Lặp lại quá trình tính tương tự như tính mômen Iu, ta thu được mômen quán tính Iv

(hoặc bằng cách thế trực tiếp α bằng α+ 900 trong phương trình (5.21)):

Cã công thức (5.21) – (5.23) gọi là công thức xoay trục biểu diễn sự biến thiên của

các mômen quán tính Iu, Iv và Iuv phụ thuộc vào góc cực α khi xoay trục tọa độ Bởi

vậy, các phương trình này còn được gọi là phương trình chuyển đổi mômen quán tính

Lấy tổng (5.21) và (5.23), ta nhận lại được bất biến của mômen quán tính đã biết ở mục

CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 5

1 Cách xác định momen tĩnh, trọng tâm, momen quán tính và bán kính quán tính của 1 tiết diện

2 Công thức chuyển trục song song

3 Aùp dụng thành thạo và nhận xét các trường hợp có tiết diện đối xứng

4 Thuộc lòng các công thức xác định momen quán tính của tiết diện chữ nhật, tròn, vành khăn và tam giác

5

CHƯƠNG 6: UỐN NGANG PHẲNG THANH THẲNG

6.1 KHÁI NIỆM CHUNG

Một thanh lăng trụ có trục bị uốn cong khi chịu tác dụng của tải trọng nằm trong mặt

phẳng chứa trục thanh và có phương vuông góc với trục thanh Một thanh chịu uốn là

thanh dưới tác dụng của ngoại lực thì trục của nó bị uốn cong Những thanh chịu uốn

được gọi là dầm ( đà)

Như thế dầm khác với thanh chịu kéo (nén) đúng tâm và thanh chịu xoắn thuần túy

khi chịu các ngẫu lực có vectơ nằm dọc theo trục thanh Còn ngoại lực gây ra uốn có

thể là lực tập trung hay phân bố có đường tác dụng vuông góc với trục dầm hoặc do

những ngẫu lực nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm

Hình 7.1 diễn tả hệ tải trọng làm cho dầm chịu uốn, các tải trọng đều nằm trong 1

mặt phẳng chứa trục dầm và ta gọi đó là mặt phẳng tải trọng Gia tuyến của mặt phẳng

tải trọng với mặt cắt ngang được gọi là đường tải trọng

Ngoại lực gây uốn :

- Lực tập trung có đường tác dụng vu6ng góc trục dầm : P { Lực: T ,Kg }

- Tải trọng phân bố có đường tác dụng vu6ng góc trục dầm : q { Lực/chiều dài }

T/m , Kg/m , KN/m

- Momen tập trung nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm

Một số định nghĩa:

• Nếu ngoại lực cùng đặt trong một mặt phẳng, mặt phảng này chứa trục dầm : Mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng tải trọng

• Giao tuyến của mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang của dầm gọi là đường tải trọng

• Mặt phẳng tải trọng trùng mặt phẳng quán tính chính trung tâm (QTCTT) (yoz,xoz) ta gọi thanh chịu uốn đơn hay uốn phẳng

• Nếu gọi mặt phẳng quán tính chính trung tâm (QTCTT) là mặt phẳng tạo bởi một trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang và trục của dầm thì mặt đối xứng là mặt phẳng tải trọngvà đồng thời là mặt quán tính chính trung tâm (QTCTT)

• Trục của dầm sau khi bị uốn là một dường cong phẳng nằm trong mặt phẳng đối xứng Trục đối xứng của mặt cắt là đường tải trọng

Trong chương này chúng ta chỉ khảo sát những trường hợp mặt cắt ngang có ít nhất

1 trục đối xứng Mặt phẳng đối xứng này cũng chính là mặt phẳng quán tính chính trung tâm, và ta giả thiết rằng tải trọng nằm trong mặt phẳng đối xứng như trên H.7.2 Khi đó trục dầm sau khi bị biến dạng vẫn nằm trong mặt phẳng này nên sự uốn còn được gọi

là uốn phẳng

Các phản lực của các gối tựa để cân bằng với các ngoại lực tác dụng lên dầm, dĩ

nhiên cũng phải nằm trong cùng mặt phẳng tải trọng Chúng ta đã biết cách xác định

chúng trong chương 2 Ta chỉ khảo sát ở đây những trường hợp dầm đơn giản nhất Các

dầm này còn được xem là kết cấu phẳng bởi vì tải trọng chỉ nằm trong mặt phẳng

Dầm có gối tựa khớp cố định 1 đầu và gối tựa di động 1 đầu, gọi là dầm đơn giản.

Dầm bị chèn kẹp 1 đầu còn đầu kia tự do, được gọi là dầm chèn kẹp ( hay dâm

công-xon ).

Dầm có1 đoạn mút thừa BC với đầu tự do và tựa đơn tại A và B Người ta còn gọi là

dầm có 1 đầu mút thừa.

Ngoài ra, còn có nhiều cách sắp đặt các gối tựa khác cho dầm tùy theo trường hợp

tác dụng của tải trọng Tuy hiên, những ví dụ đơn giản ở đây cũng đủ để minh họa

những khái niệm cơ bản

Dưới tác dụng của các tải trọng, trên các mặt cắt ngang của dầm xuất hiện các nội

lực mà hợp lực của chúng là lực cắt hoặc mômen uốn Ta phân biệt 2 loại uốn phẳng :

uốn thuần túy phẳng và uốn ngang phẳng.

Uốn thuần túy phẳng dùng để chỉ sự uốn của các dầm với mômen uốn hằng số,

nghĩa là lực cắt bằng 0 ( bởi vì Q = dM/dz)

Uốn ngang phẳng được đề cập đến trong trường hợp với sự hiện diện của lực cắt,

nghĩa là mômen uốn thay đổi dọc theo trục dầm

Trong phần kế tiếp chúng ta sẽ xác định các biến dạng do uốn và ứng suất pháp

trong trường hợp uốn thuần túy và ứng suất tiếp trong trường hợp uốn ngang

6.2 UỐN THUẦN TÚY

Ta gọi thanh chịu uốn thuần túy phẳng khi trên mặt cắt ngang của thanh chỉ có một

thành phần nội lực là momen uốn Mx nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm

Theo hình vẽ trên đoạn giữa là chịu uốn thuần túy vì có Qy = 0 và Mx = Pa Các công thức dùng để tính ứng suất pháp trong trường hợp uốn phẳng thường được thiết lập từ việc nghiên cứu bài toán uốn thuần túy phẳng Trở lại bài toán uốn thuần túy phẳng như trong trường hợp H.6.5a chẳng hạn tại 1 mặt cắt m-m bất kì ở cách gối tựa

A 1 đoạn x, chỉ tồn tại 1 thành phần nội lực khác 0 là mômen uốn Mx Vấn đề của chúng

ta là xác định thành phần ứng suất tại 1 điểm bất kì trên mặt cắt ngang và trị số lớn nhất của ứng suất này

Mô tả thí nghiệm

Ta quan sát biến dạng của dầm có mặt cắt ngang hình chữ nhật

Trước khi cho dầm chịu lực lực, ta vạch lên mặt ngoài 1 thanh thẳng chịu uốn như trong H.6.6a, những đường song song với trục thanh tượng trưng cho các thớ dọc và những đường vuông góc với trục thanh tượng trưng cho các mặt cắt ngang, các đường này tạo thành các lưới ô vuông (H.6.6a)

Khi có momen tác dụng vào 2 đầu dầm (H.6.6b) ta nhận thấy các đường thẳng song song với trục thanh biến thành các đường cong song song với trục thanh; những đương vuông góc với trục thanh thì sau khi biến dạng vẫn còn vuông góc với trục thanh, nghĩa là các góc vuông luôn được bảo toàn trong quá trình biến dạng

Các giả thuyết :

Với những nhận xét trên ta đề ra hai giả thuyết sau để làm cơ sở tính tốn cho một dầm chịu uốn thuần túy phẳng :

• Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng : Trước khi biến dạng, mặt cắt ngang của dầm

là phẳng và vuơng gĩc với trục dầm thì sau khi biến dạng vẫn phẳng và vuơng gĩc với trục dầm

• Giả thuyết về các thớ dọc : Trong quá trình biến dạng các thớ dọc khơng ép lên

nhau hoặc đẩy xa nhau

• Ngồi ra ta vẫn thừa nhận giả thuyết vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi tuân theo định luật Húc

Nhận xét :

Quan sát biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy phẳng ta nhận thấy :

ƒ Các thớ dọc ở phía trên trục dầm bị co lại

ƒ Các thớ ở phía dưới trục dầm bị giãn ra

ƒ Như vậy từ thớ bị co sang thớ bị giãn chắc chắn sẽ cĩ thớ khơng bị co cũng khơng

bị giãn, tức là thớ khơng bị biến dạng Thớ đĩ được gọi là thớ trung hịa

ƒ Các thớ trung hịa tạo thành một lớp gọi là lớp trung hịa

ƒ Giao tuyến của lớp trung hịa và mặt cắt ngang gọi là đường trung hịa

ƒ Đường trung hịa chia mặt cắt ngang làm hai miền : một miền gồm các thớ bị co và

một miền gồm các thớ bị giãn

Đường trung hịa là một đường cong, nhưng cĩ thể xem nĩ là đường thẳng khi coi

mặt cắt sau biến dạng khơng thay đổi hình dáng ban đầu Lúc này cĩ thể coi biến dạng

của dầm chịu uốn thuần túy phẳng chỉ là sự quay của mặt cắt ngang xung quanh đường

trung hịa

Lập luận đưa ra các công thức

Sau biến dạng các mặt cắt ngang 1-1 và 2-2 vốn cách nhau 1 đoạn vi phân dz sẽ

cắt nhau tại tâm cong O’ (H.6.6b) và hợp thành 1 góc d θ Gọi ρ là bán kính cong của

thớ trung hòa, tức khoảng cách từ O’ đến thớ trung hòa Độ dãn dài tương đối của 1 thở

ab cách thớ trung hòa 1 khoảng cách y cho bởi:

trong đó : κ là dộ cong

Hệ thức này chứng tỏ biến dạng dọc trục dầm thì tỉ lệ với độ cong và biến thiên

tuyến tính với khoảng cách y từ thớ trung hòa Chú ý rằng biểu thức (6.1) được suy ra

hoàn toàn từ điều kiện biến dạng hình học của dầm và độc lập với tính chất của vật

liệu Vì vậy, hệ thức trên không tùy thuộc vào dạng của biểu đồ ứng suất – biến dạng

của vật liệu

Mỗi thớ dọc của dầm chỉ chịu kéo hoặc nén (nghĩa là các thớ dọc ở trạng thái ứng

suất đơn) Do vậy, biểu đồ quan hệ ứng suất – biến dạng của vật liệu sẽ cho ta hệ thức

giữa σz và εz Nếu vật liệu là đàn hồi tuyến tính, định luật Hooke tương ứng với trạng

thái ứng suất đơn cho ta:

σz= E εz= E y κ (6.2)

Do vậy, ứng suất pháp tác dụng trên mặt cắt ngang biến thiên bậc nhất với khoảng cách y từ thớ trung hòa Bây giờ chúng ta hãy xét tập hợp của các ứng suất pháp trên toàn mặt cắt ngang

Trong trường hợp tổng quát, hợp lực này bao gồm 1 lực nằm ngang theo phương z và 1 mômen quanh trục x Tuy nhiên, bởi vì trên mặt cắt ngang không tồn tại lực dọc nên chỉ còn mômen uốn Mx mà thôi

Từ đó, chúng ta có 2 phương trình tĩnh học:

Phương trình thứ nhất, diễn tả hợp lực theo phương z bằng 0

Phương trình thứ nhất, diễn tả hợp lực các mômen quanh trục x bằng mômen Mx Để có thể xác định các hợp lực này, ta hãy xét diện tích vi phân dA trên mặt cắt ngang ở khoảng cách y từ trục trung hòa (H.6.8) Lực tác dụng trên phần tử này vuông góc với mặt cắt ngang và có trị số là σzdA Bởi vì không có nội lực theo phương z nên

tích phân của σzdA trên toàn diện tích mặt cắt ngang phải triệt tiêu, do đó:

đối với dầm chịu uốn thuần túy

Hệ thức này diễn tả rằng mômen tĩnh của diện tích mặt cắt ngang đối với trục trung hòa x đị qua trọng tâm mặt cắt ngang dầm khi vật liệu tuân theo định luật Hooke Tính chất này cho phép ta xác định trục trung hòa của bất kì mặt cắt ngang nào Dĩ nhiên ta chỉ khảo sát trường hợp y là trục đối xứng Theo hệ quả của chương 6, hệ trục (x,y) chính là hệ trục quán tính chính trung tâm

Chúng ta hãy khảo sát sau đây hợp mômen của các ứng lực gây bởi các ứng suất

σz trên toàn mặt cắt ngang Đó chính là tập hợp của các mômen vi phân :

σ

=

Do vậy, tích phân của tất cả các mômen vi phân trên toàn tiết diện phải cân bằng

với mômen Mx , nghĩa là :

là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hòa x

Biểu thức (6.7) có thể được viết lại như sau:

1 κ ρ

x

M

Hệ thức này chứng tỏ độ cong của trục thanh tỉ lệ với mômen uốn Mx, và tỉ lệ nghịch

với đại lượng EIx, gọi là độ cứng uốn của dầm.

Thay (6.9) vào (6.1) ta tìm được biểu thức tính ứng suất pháp tại 1 điểm trên mặt cắt

ngang như sau:

σ = x z x

M y

Biểu thức này chứng tỏ ứng suất pháp tỉ lệ thuận với mômen uốn Mx, và tỉ lệ nghịch

với mômen quán tính Ix của mặt cắt ngang Ngoài ra, ứng suất còn biến thiên bậc 1 theo

khoảng cách y từ trục trung hòa Trong (6.10), mômen uốn M x dương khi có khuynh

hướng là căng thớ y dương Ta có thể nhận thấy rằng những điểm càng xa trục trung

hòa có trị số ứng suất càng lớn và những điểm cùng có khoảng cách tới thớ trung hòa

sẽ có cùng trị số ứng suất pháp

Nếu mômen uốn dương, dầm bị uốn cong với mặt lồi hướng phía dưới, các thớ trên bj

nén (y<0), trong khi các thớ bên chịu kéo Hình ảnh xảy ra ngược lại nêu mômen uốn

x

M y

W W gọi là các suất tiết diện hoặc mômen kháng uốn của mặt cắt

ngang Nếu trục x cũng là đối xứng thì :

Đối với mặt cắt ngang hình tròn, các đặc trưng này cho bởi:

Biểu đồ phân bố ứng suất pháp trong trường hợp mặt cắt ngang có 2 trục đối xứng

cho bởi H.6.9 và trong trường hợp mặt cắt ngang chỉ có 1 trục đối xứng cho bởi H.6.10

Điều kiện bền

Sau đây chúng ta viết điều kiện bền cho ứng suất kéo hoặc nén Điều kiện này diễn

tả rằng u cực đại không thể vượt qua ứng suất cho phép :

[ ]

max max

nghĩa là mômen chông uốn của mặt cắt ngang xác định từ điều kiện bền phải lớn

hơn hoặc bằng mômen uốn lớn nhất chia cho ứng suất cho phép

Bởi vì Wx phụ thuộc vào hình dạng và kích thước của mặt cắt ngang dầm (chữ nhật

chữ T, dạng chữ I…) chúng ta có thể tìm được kích thước của dầm sao cho mômen

chống uốn bằng với trị số tìm được trong công thức (6.19)

Khi sử dụng các công thức (6.18), (6.19) chúng ta cần phân biệt 2 trường hợp:

Trường hợp thứ nhất, VẬT LIỆU DẺO thường gặp trong uốn khi vật liệu có độ bền

khi nén và khi kéo như nhau, trong trường hợp này ứng suất cho phép khi kéo và khi

nén bằng nhau:

Nếu mặt cắt ngang đối xứng qua trục x, mômen chống uốn khi kéo và nén như nhau và chúng ta không cần phân biệt thớ chịu kéo hay nén vì ứng suất kéo cực đại và ứng suất nén cực đại bằng nhau Trong trường hợp tiết diện không đối xứng qua trục x, trong các công thức (6.18) và (6.19) ta cần thay Wx bằng Wx k hoặc Wx n

Trường hợp thứ hai, VẬT LIỆU GIÒN khi dầm có độ bền khi nén và khi kéo khác

nhau, trong trường hợp này chúng ta càn viết 2 điều kiện bền : 1 cho thớ chịu kéo và 1 cho thớ chịu nén:

Trong phần trước đây, ứng suất pháp được đề cập đến trong trường hợp uốn thuần túy, nghĩa là không tồn tại lực cắt trên mặt cắt ngang Trong trường hợp uốn ngang phẳng, sự xuất hiện của lực cắt gây ra sự vênh của mặt cắt ngang; như vậy giả thiết mặt cắt ngang phẳng không còn đúng nữa

Tuy nhiên, cần nhiều thực nghiệm chứng tỏ rằng ứng suất pháp tính trong trường hợp uốn không thay đổi đáng để khi có sự hiện diện của lực cắt Do vậy, công thức ứng suất pháp (6.10) được sử dụng cho cả trường hợp uốn thuần túy phẳng và uốn ngang phẳng

Công thức trên chỉ cho kết quả chính xác trong vùng của dầm tại đó không có sự thay đổi đột ngột của sự phân bố ứng suất gây ra do sự biến đổi đột ngột hình dạng của dầm hoặc sự không liên tục về tải trọng Những sự không bình thường kể trên có thể gây ra

các ứng suất cục bộ gọi là sự tập trung ứng suất, mà trị số có thể lớn hơn rất nhiều so với ứng suất tính bằng công thức do uốn

Từ đay ta có 3 dạng bài toán cơ bản: kiểm tra bền, chọn kích thước mặt cắt ngang,

chọn tải trọng cho phép

Bài toán cơ bản 1: Kiểm tra bền

Cho biết:

ƒ Sơ đồ tải trọng ( Vẽ biểu đồ nội lực tìm Mx max )

ƒ Kích thước tiết diện ( Tính các đặc trưng hình học Jx , Wx )

ƒ Từ đĩ chọn Mx( là biểu thức liên hệ theo tải trọng ) ≤ [ σ ] Wx

Bài toán cơ bản 3: chọn tải trọng cho phép

Cho biết :

ƒ Sơ đồ tải trọng ( Vẽ biểu đồ nội lực tìm Mx max theo tải trọng )

ƒ Hình dạng tiết diện ( Tính các đặc trưng hình học Jx , Wx )

Ví dụ 1 : Trên mặt cắt ngang của dầm chữ T

hình bên cĩ moment uốn Mx = 7200Nm Dầm làm bằng vật liệu cĩ :

Jx= 5312,5 cm4 , [σk] = 20 MN/m2 , [σn] = 30 MN/m2

Yêu cầu kiểm tra bền dầm Giải :

σ = − = − = − × = −

×

Ví dụ 2 : Cho dầm tiết diện chữ nhật (bx2b)

chịu lực như hình vẽ Dầm làm bằng vật liệu

cĩ : [σk] = 7,5 kN/cm2 , [σn] = 17 kN/cm2

Yêu cầu tìm kích thước tiết diện Giải :

M

b W b

σ

⇒ ≥Chọn b=9,3 cm

Ví dụ 3 : Một dầm bằng gang cĩ kích thước và

hình dáng mặt cắt ngang như hình Xác định

moment uốn cho phép Biết J x= 25470 cm4 , [ σk] =

20 MN/m2 , [σn] = 30 MN/m2 Với moment uốn đã

25470 10[ ] [ ] 15 10 3, 54 10

- Đối với dầm làm bằng vật liệu giịn : mặt cắt ngang sẽ hợp lý nếu như các ứng suất

pháp cực trị trên mặt cắt ngang đĩ thỏa mãn các điều kiện :

Chia các vế của đẳng thức trên cho nhau, ta cĩ:

[ ] [ ]

m a x

m a x

k

k n

n

y y

σ σ

Đối với dầm làm bằng vật liệu giịn:

Hình dạng hợp lý của mặt cắt ngang là dạng mặt cắt khơng đối xứng qua trục trung

hịa Ox và phải bố trí sao cho ym a xn và ym a xn thỏa mãn (7.7)

Đối với dầm làm vật liệu dẻo : [ ]σ k =[ ]σ n nên từ (7.7), ta cĩ : ym a xk = ym a xn Tức là mặt cắt ngang phải cĩ dạng đối xứng qua trục trung hịa Ox

ƒ Càng gần đường trung hịa thì các ứng suất pháp càng nhỏ nghĩa là ở các nơi đĩ vật liệu làm việc ít hơn ở những điểm xa trục trung hịa Vì thế cấu tạo hình dáng mặt cắt sao cho vật liệu được phân phối xa trục trung hịa

ƒ Đối với dầm làm bằng vật liệu giịn mặt cắt ngang thường cĩ dạng chữ T

ƒ Đối với dầm làm bằng vật liệu dẻo mặt cắt ngang thường cĩ dạng chữ I,[… hoặc dạng ghép như hình 7.10

ƒ Đối với các loại mặt cắt ngang cĩ k n

6.3 UỐN NGANG PHẲNG

Khi dầm chịu uốn ngang phẳng, trên mặt cắt ngang tồn tại thành phần mômen uốn

Mx và lực cắt Qy Ưùng suất pháp σz tương ứng với mômen uốn được xác định trong phần trên theo (6.10) như trong trường hợp uốn thuần túy phẳng Trong phần này, chúng ta thử tìm quy luật phân bố của ứng suất tiếp τzy phối hợp với lực cắt Qy