Đang tải... (xem toàn văn)
Lời giải Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là L. Nhập vào như màn hình sau... Ta thấy giá trị C ngày một tăng lên. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Máy hiển thị kết quả như hình sau... Cá[r]
(1)BÀI TẬP GIỚI HẠN GIỚI HẠN DÃY SỐ A LÝ THUYẾT
I DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 1 Định nghĩa
Ta nói dãy số un có giới hạn ( hay có giới hạn ) với số dương nhỏ tùy ý cho
trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương
Kí hiệu: limu n
Nói cách ngắn gọn, limu n un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng
nào trở
Từ định nghĩa suy rằng:
a) limun 0 limun
b) Dãy số không đổi un , với u , có giới hạn n
c) Dãy số un có giới hạn u gần được, miễn n đủ lớn.n
2 Một số dãy số có giới hạn Định lí 4.1
Cho hai dãy số un vn .
Nếu un với n limvn v limn u n
STUDY TIP
Định lí 4.1 thường sử dụng để chứng minh dãy số có giới hạn Định lí 4.2
Nếu q 1 limq n Người ta chứng rằng
a)
lim
n .
b)
lim
n
c)
1
lim k
n với số nguyên dương k cho trước.
Trường hợp đặc biệt :
1
lim
n .
d)lim
k
n
n
(2)Cách ghi nhớ kết bên sau: Khi tử số không đổi, mẫu số lớn (dần đến dương vô cực) phân số nhỏ (dần )
II DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN. 1 Định nghĩa
Ta nói dãy số un có giới hạn số thực L limun L
Kí hiệu: limun L
Dãy số có giới hạn số thực gọi dãy số có giới hạn hữu hạn STUDY TIP
a) Dãy số không đổi un với un , có giới hạn c c
b) limun khoảng cách L un L trên trục số thực từ điểm u đến n L trở nên nhỏ
bao nhiêu miễn n đủ lớn; nói cách hình ảnh, n tăng điểm u “ n
chụm lại” quanh điểm L.
c) Không phải dãy số có giới hạn hữu hạn 2 Một số định lí
Định lí 4.3
Giả sử limun Khi đóL
a)limun L và lim3un 3 L.
b) Nếu u với n n L lim0 un L.
Định lí 4.4
Giả sử limun ,limL vn Mvà c số Khi đó
a) limunvn L M . b)limun vn L M .
c)limu n LM . D)limcun cL.
e)
lim n
n
u L
v M (nếu M ).0
3 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Định nghĩa
Cấp số nhân lùi vô hạn cấp số nhân có cơng bội q thỏa q 1 Cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn:
2
1 1
1 u S u u q u q
q
III DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VƠ CỰC.
1 Dãy số có giới hạn
Ta nói dãy số un có giới hạn với số dương tùy ý cho trước, số hạng
dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương
(3)Nói cách ngắn gọn, limu n u lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng n
nào trở
Người ta chứng minh rằng:
a) lim u n .
b) lim3u n
c)limn k với số nguyên dương k cho trước. Trường hợp đặc biệt : lim n
d) limq n q 1 2 Dãy số có giới hạn
Ta nói dãy số un có giới hạn với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy
số, kể từ số hạng trở đi, nhỏ số âm
Kí hiệu: limu n
Nói cách ngắn gọn, limu n u nhỏ số âm nhỏ tùy ý, kể từ số hạng n
nào trở Nhận xét:
a)limun limun
b) Nếu limu n thì un trở nên lớn miễn n đủ lớn Đo
1
n n
u u trở
nên nhỏ được, miễn n đủ lớn Nói cách khác, limu n thì
lim
n
u .
STUDY TIP
Các dãy số có giới hạn gọi chung dãy số có giới hạn vơ cực hay dần đến
vơ cực Định lí 4.5
Nếu limu n thì
lim
n
u
STUDY TIP
Ta diễn giải “nơm na” định lí 4.5 sau cho dễ nhớ: Khi tử số không đổi, mẫu số có giá trị tuyệt đối lớn(dần đến vơ cực) phân số nhỏ(dần )
3 Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực Quy tắc 1
Nếu limun limvn limu n cho bảng sau:
limun limvn limu vn n
(4)STUDY TIP
Vì số thực nên khơng áp dụng định lí giới hạn hữu
hạn cho dãy số có giới hạn vô cực Quy tắc 2
Nếu limun limvn L limu n cho bảng sau:
limun Dấu L lim
n n
u v
Quy tắc 3
Nếu limun L 0 limvn 0 v n v kể từ số hạng trở thìn lim n
n
u
v cho bảng sau:
Dấu L Dấu củavn lim n n
u v
STUDY TIP
Ở ba quy tắc, dấu, tương tự quy tác dấu phép nhân phép chia hai số Để cho dễ nhớ, ta diễn giải quy tắc cách “nôm na” sau:
- Quy tắc 1: Tích hai đại lượng vơ lớn đại lượng vô lớn.
- Quy tắc 2: Tích đại lượng vơ lớn với đại lượng khác đại lượng vô lớn
- Quy tắc 3: Khi tử thức có giới hạn hữu hạn khác , mẫu thức nhỏ(dần ) phân thức lớn(dần vơ cực)
B CÁC DẠNG TỐN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ
DẠNG TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC
Câu 1:
3
lim n 2n1
A B 1. C . D .
Đáp án D.
Lời giải
Cách 1: Ta có:
3
2
2
2 1
n n n
n n
.
Vì lim n 3
2
lim 1
n n
nên theo quy tắc 2,
3
(5)Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức n3 2n1tại giá trị lớn n (do
n ) sau: Nhập vào hình biểu thức X3 2X 1
Bấm CALC Máy hỏi X ? nhập 105, ấn Máy kết hình bên Ta thấy kết tính tốn với X 105 số dương lớn Do chọn D
Câu 2:
2
lim 5n n 1
A. B. C. D. 1.
Hướng dẫn giải Chọn B.
Cách 1: Ta có
2
2
5
5n n n
n n
Vì lim n 2
5
lim 1
n n
nên lim 5 n n 21 (theo quy tắc 2).
Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ trên.
Ta thấy kết tính tốn với X 105 số âm nhỏ Do chọn đáp án có giới hạn .
Tổng quát: Cho k số nguyên dương.
a)
1
1
lim k k a
k k
a n a n n a
a k
b)
1
1
lim k k a
k k
a n a n n a
a k
Chẳng hạn:
3
lim n 2n1
a ; 3
lim 5n n 1
a 2
STUDY TIP
Cho u có dạng đa thức (bậc lớn 0) n n
- Nếu hệ số lũy thừa bậc cao n số dương limu n
- Nếu hệ số lũy thừa bậc cao n số âm limu n
Câu 3: limu , với n
2
2
5
n
n n
u
n
bằng:
A. B. C. D. 7.
Hướng dẫn giải Chọn B.
Cách 1: Ta có:
2
2 2
5 7
limun lim n n lim 5
n n n n n
.
(6)Đây khơng phải giá trị xác giới hạn cần tìm, mà giá trị gần số hạng với n lớn, n dần vô cực Tuy nhiên kết giúp ta lựa chọn đáp án đúng, đáp án B.
STUDY TIP
Một số dòng máy kết dạng phân số, chẳng hạn
1500044 300007 Do
15
3 nên chọn B.
Câu 4: lim ,u với n
3
3
2
7
n
n n n
u
n n
bằng
A. 3. B. C. D. 0.
Hướng dẫn giải Chọn C.
Cách 1: Chia tử mẫu phân thức cho n3 (n3 lũy thừa bậc cao n phân
thức), ta được:
2
3
3
2
1
n n n n
u
n n
Vì
3
lim 2
n n n
1
lim 1
n n
0
nên
3
3
2
lim
7
n n n
n n
.
Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ trên.
Ví dụ 5: Giới hạn dãy số un , với
3
4
2
3
n
n n
u
n n n
bằng
A. B. C. D.
1
Hướng dẫn giải Chọn B.
Cách 1: Chia tử mẫu phân thức cho n4 (n4 bậc cao n phân thức), ta
3 3 4
4
2
1
2
lim lim lim
3
3 1
n
n n n n n
u
n n n
n n n
Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ trên.
Ví dụ 6: Giới hạn dãy số un với
3
2
3
2
n
n n
u
n n
, bằng
A.
3
2 B. C. D. 1.
(7)Cách 1: Chia tử mẫu cho n2 (n2 lũy thừa bậc cao n mẫu thức), ta
được
3 2
2
2
3
2 2
n
n
n n n n
u
n n
n
Vậy
3
lim lim
2 n
n
u
.
Cách 2: Chia tử mẫu cho n3 (n3 lũy thừa bậc cao n phân thức), ta
2
2
2
lim lim
2
n n n
u
n n
Vì
2
lim 3
n n
,
2
lim
n n
2
0
n n với mọi
n nên theo quy tắc 3, limu n
Cách 3: Ta có
3
2 2 3
2
2 2 1
3 3
lim lim lim
1
1 2
2
n
n
n n n n
u n
n
n n
Vì lim n và
2
2
3 3
lim
1
2
n n
n
nên theo quy tắc 2, limu n
Cách 4: Sử dụng MTCT tương ví dụ trên. STUDY TIP
Rõ ràng làm theo cách (chia tử mẫu cho lũy thừa bậc cao n mẫu thức) phải lập luận cách cách
Tổng quát:
Xét dãy số un với
1
1
1
1
,
i i
i i
n k k
k k
a n a n a n a
u
b n b n b n b
,a b i k (dạng phân thức với tử số mẫu số đa thức n ).
a) Nếu i k (bậc tử lớn bậc mẫu) limu n a b limi k 0, u n a b i k
b) Nếu i k (bậc tử bậc mẫu)
lim i
n k
a u
b
c) Nếu i k (bậc tử nhỏ bậc mẫu) limu n
STUDY TIP
Cho u có dạng phân thức n n
- Nếu bậc tử cao bậc mẫu un có giới hạn vơ cực
- Nếu bậc tử bậc mẫu limu hệ số lũy thừa cao tử chia cho hệ số n
của lũy thừa cao mẫu
(8)Ví dụ 7:
2
sin ! lim
1 n
n bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải Chọn A.
Ta có
2
sin !
1
n
n n mà
1
lim
1
n nên chọn đáp án A.
Lưu ý: Sử dụng MTCT Với X , máy tính cho kết hình bên Với 13 X 13, máy bào lỗi việc tính tốn vượt q khả máy Do với này, MTCT cho kết mang tính chất tham khảo
Nhận xét: Hồn tồn tương tự, ta chứng minh rằng:
a)
sin
lim 0;
k n
n
u
v b)
cos
lim
k n
n
u
v .
Trong limvn ,k nguyên dương.
Chẳng hạn:
2
3
sin
lim
2 n
n n
;
3
cos
lim
2n
n
; 3
cos
lim
5
n
n n n
; …
STUDY TIP
Khi sử dụng MTCT, với toán liên quan đến lượng giác, trước tính tốn ta cần chọn chế độ Rad (radian) Deg (degree) cho phù hợp với đề
Ví dụ 8:
1 lim
1 n
n n
A. 1. B. C. D. 0.
Hướng dẫn giải Chọn D.
Cách 1: Ta có
1 1
1
n
n n n n n n n
mà
1
lim
n nên suy
1
lim
1 n
n n
Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ trên.
Nhận xét: Dãy 1
n
khơng có giới hạn dãy 1n
n
v
, limv n
có giới hạn
Ví dụ 9: Tính giới hạn
2
lim
I n n n
(9)Chọn B.
Cách 1: Ta có
2
lim
I n n n
2
2
2 3
lim
2
n n n n n n
n n n
2
2 lim
2
n n n
n n n
2
lim
2
n
n n n
3
2 2
lim
2 1
1
n
n n
Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ trên. STUDY TIP
Hằng đẳng thức thứ ba: a b a b a2 b2. Hai biểu thức a b a b gọi biểu thức liên hợp
Ví dụ: n2 2n 3 n n2 2n hai biểu thức liên hợp nhau.3 n
Nhận xét: a) bước ta chia tử mẫu cho n Lưu ý n n2 .
b) Ta có
2
2
2
2 1
n n n n
n n
, Vì lim n
2
lim 1
n n
nên
không áp dụng quy tắc ví dụ trước
Ví dụ 10:
3
lim n 8n 3n2
bằng:
A. B. C. 1. D.
Hướng dẫn giải Chọn B.
Cách 1: Ta có
3
lim n 8n 3n2 3
3
limn
n n
Vì
3
2
3
limn , lim 8
n n
nên
3
lim n 8n 3n2
Cách 2: Sử dung MTCT ví dụ trên.
Ví dụ 11:
2
lim n n 4n1
bằng:
A. 1. B. C. D.
Hướng dẫn giải Chọn C.
Cách 1: Ta có
2
2
4
4 1
n n n n
n n
Vì lim n 2
2
4
lim 1
n n
nên theo quy tắc 2,
2
lim n n 4n1
Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ trên.
(10)Xét dãy số 1 1 0,
i i s k k
r
n i i k k
u a n a n a n a b n b n b n b
,
i k
a b
- Nếu r ai sbk
i k
r s: Giới hạn hữu hạn.
+ Nếu hai bậc: Nhân chia với biểu thức liên hợp
+ Nếu hai không bậc: Thêm bớt với r a ni i nhân với biểu thức liên hợp.
- Nếu r ai sbk :
i k
r s Đưa lũy thừa bậc cao n dấu Trong
trường hợp u có giới hạn vơ cực.n
Nhận xét: Trong chương trình lớp 12, em học bậc s ( s nguyên dương)
lũy thừa với số mũ hữu tỉ Người ta định nghĩa
r s r s
a a , a số thực dương, r
là số nguyên dương, s số nguyên dương, s Các tính chất lũy thừa với số mũ hữu tỉ 2 tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương
Chẳng hạn:
1
1
3
3 3
2, ,
n n n n n n Chẳng hạn:
a) Với un n2 2n 3 n n2 2n 3 n2 : nhân chia với biểu thức liên hợp của
2 2 3
n n n n2 2n Dãy số có giới hạn hữu hạn 3 n 1.
b) Với un n 38n33n2 3 n3 38n33n2: đưa n3 dấu
Giới hạn u n .
c) Với
2 4 1 4 1
n
u n n n n n n
: đưa n2 dấu Giới hạn un .
Ví dụ 12.
3
lim n n 3n 1
:
A 1. B 1. C D .
Hướng dẫn giải Chọn A.
Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba)
3 3 1
n n n
3
3
2
2 3
3
lim lim
3
n n n
n n n
n n n n n n
2
2
3
1
lim
3
1 1
n
(11)STUDY TIP Hằng đẳng thức thứ bảy:
3 2
a b a b a ab b
Hai biểu thức a b a2ab b 2 gọi hai biểu thức liên hợp (bậc ba) nhau.
Ví dụ 13.
3
2
lim n n n 3n2
bằng :
A
1
2. B 0. C D .
Hướng dẫn giải Chọn A.
3 3
lim lim
2
n n n n n n n n n n
Ví dụ 14. lim 5
n n
bằng :
A . B 3. C D
5 2.
Hướng dẫn giải Chọn C.
Ta có
2
5
5 n
n n n
Vì lim 5n
2
lim 1
5 n
nên theo quy tắc 2, lim 5
n n
Ví dụ 15.
1
lim 3.2n 5.3n 7n
bằng :
A . B C 3. D 5.
Hướng dẫn giải Chọn A.
lim 3.2 5.3 7
3
n
n n n
n
n n
Ví dụ 16.
1
4.3 lim
2.5
n n
n n
bằng :
A 1. B 7. C
3
5. D
7 5
Hướng dẫn giải Chọn B.
1
3
4
4.3 7
lim lim
2.5 5
2
7
n
n n
n
n n
.
(12)Ví dụ 17.
1
4
lim
5
n n
n n
bằng :
A 0 B
6
8. C 36. D
4 5
Hướng dẫn giải Chọn A.
1
4
4 36
4 8
lim lim
5 5
1
n n
n n
n
n n
.
STUDY TIP
Khi sử dụng máy tính cầm tay, nhập giá trị X lớn, máy báo lỗi giá trị ,
n
a a tăng nhanh X tăng, nên vượt q khả tính tốn máy Khi cần thử lại giá trị khác X Như toán chứa ,a a ta khơng nên tính với n q lớn.n Cách 2: Sử sụng máy tính cầm tay tương tự ví dụ trên.
Ta thấy kết tính toán với X 100 số dương nhỏ Do chọn đáp án giới hạn
Ví dụ 18.
2 lim
2
n n
n
bằng :
A
3
B 0 C . D
Hướng dẫn giải Chọn C.
Chia tử mẫu cho 3n ta
2
2 3
2 2 1
3
n
n n
n n
n
Mà
2
lim 1 0, lim
3 3
n n n
2
0
3
n n
với n nên theo
quy tắc 3,
2 lim
2
n n
n
.
(13)Ví dụ 19.Cho dãy số un xác định
1
2
1,
3 n n
n
u
u u
u
với n 1 Biết dãy số un có
giới hạn hữu hạn, limu bằng:n
A 1. B 2. C 4. D
2 3.
Hướng dẫn giải Chọn B.
Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh
n
u
với n
Đặt limun Ta có L
1
2 lim lim
3
n n
n
u u
u
hay
2 L L
L
2 2 0 ( )
1 ( )
L n
L L
L l
Vậy limu n
Lưu ý: Để giải phương trình
2 L L
L
ta sử dụng chức SOLVE MTCT (Chức SOLVE chức tìm nghiệm xấp xỉ phương trình phương pháp chia đơi) Ta làm sau:
Nhập vào hình
2 X X
X
; Bấm SHIFT CALC (tức SOLVE); Máy báo Solve for X ;
Nhập ; Máy báo kết hình bên
L R tức nghiệm xác Lại ấn phím Máy báo Solve for X ; Nhập ;
Máy báo kết bên
L R tức nghiệm xác Tuy nhiên ta nhận nghiệm khơng âm Vậy L 2
(Ta tìm hai nghiệm dừng lại dễ thấy phương trình hệ phương trình bậc hai) Cách 2: Sử dụng MTCT ( quy trình lặp) Nhập vào hình bên Bấm CALC Máy tính hỏi X nhập ấn phím ? liên tiếp Khi thấy giá trị Y khơng đổi dừng lại.
Giá trị khơng đổi Ylà giới hạn cần tìm dãy số Giới hạn 2.
STUDY TIPS
(14)Ví dụ 20.Cho dãy số un xác định
1
1
1,
2
n n
n
u u u
u
với n 1 Tìm giới hạn của
un .
A limu n B limu n C limu n 2. D limu n 2.
Hướng dẫn giải Chọn C.
Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh u với nn
Đề không cho biết dãy số un có giới hạn hữu hạn hay khơng, nhiên đáp án đề
cho giới hạn hữu hạn Do khẳng định dãy số un có giới hạn hữu
hạn Đặt limun L
1
1
lim lim
n n
n
u u
u
Hay
2
1 2
2
2
L L L L L
L L
Vậy limu n
( loại trường hợp L 2) Vậy limu n 2.
Cách 2: Sử dụng MTCT ( quy trình lặp) Nhập vào hình sau.
Bấm CALC Máy hỏi X? nhập 1 bấm phím = liên tiếp Khi thấy giá trị Y khơng
đổi dừng lại Giá trị khơng đổi Y giới hạn cần tìm dãy số.
Trong bốn đáp án cho, phương pháp loại trừ, ta thấy có đáp án C phù hợp với kết
quả tính tốn máy tính ( 2, 41423568 )
Ví dụ 21.Cho dãy số un xác định u 1 1
1
2
n n
u u
với n 1 Khi limu bằng:n
A. B.
1
C.
1
D.
(15)Phân tích: Đề không cho biết dãy số un có giới hạn hữu hạn hay khơng Có đáp án
hữu hạn, có đáp án vơ cực Do chưa thể khẳng định dãy số có giới hạn hữu hạn hay vơ cực
Lời giải Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn L
Ta có:
1 1
lim 2lim
2 2
n n
u u L L L
Đến kết luận
1 lim
2 n
u
không? Câu trả lời không?
Vì khơng khó để chứng minh u với n Do dãy số có giới hạn n L thì
L Từ suy dãy khơng có giới hạn, mà bốn đáp án có đáp án C vô cực.
Vậy ta chọn đáp án C
Ta xét hai cách giải sau:
Cách 1: Đặt
1
n n
v u
Ta có: 1
1 1
2 2
2 2
n n n n n
v u u u v
Vậy vn cấp số nhân có
v
q Vậy 2
1
3
.2 3.2
2
n n
n
v
Do
2
lim lim 3.2n
n
v
Suy limu n
Cách 2: Sử dụng quy trình lặp (MTCT) tương tự ví dụ trên.
Phân tích: Câu hỏi đặt ta lại đặt
1
n n
v u
để thu kết dãy vn cấp số
nhân? Ta có kết tổng quát sau
Cho dãy số un xác định u1 , a un1run với s n 1, r s, số
1,
r s Khi dãy số vn với n n
s
v u
r
cấp số nhân có cơng bội r
Thật vậy, ta có n n 1 n n n n
s s rs s
v u ru s ru r u rv
r r r r
( Nếu r 1 un cấp số cộng, s 0 un cấp số nhân).
Như vậy, dãy số un xác định u1 , a un1run với s n 1, r s, số
(16)1
n n
u ru s
Đặt n n
s
v u
r
………
1
u , a un1 runs
+ r 1: un có giới hạn
+ r 1: un có giới hạn
+ r 1: un có giới hạn hữu hạn
s r .
Ví dụ 22.Cho dãy số un xác định u , 1 u , 2 un1 2un un1 với n 2 Tìm giới hạn
dãy số un .
A. B. C. D.
Đáp án D.
Phân tích: Đề không cho biết dãy số un có giới hạn hữu hạn hay khơng Có đáp án
hữu hạn, có đáp án vơ cực Do chưa thể khẳng định dãy số có giới hạn hữu hạn hay vơ cực
Lời giải Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn L
Ta có: limun1 2limun limun1 2 L2L L 2 2 (Vơ lý)
Vậy dự đốn dãy có giới hạn vơ cực Tuy nhiên có hai đáp án vơ cực ( ), chưa thể đoán đáp án Ta xem hai cách giải sau
Cách 1: Ta có u , 1 u , 2 u , 3 u Vậy ta dự đốn 4
1 n
u n
với n 1
Khi
2
2 2
1 2 2 1
n n n
u u u n n n n
Vậy
2
1 n
u n với n 1 Do limun limn12 .
(17)Bấm CALC Máy hỏi B? nhập bấm phím =, máy hỏi A? nhập ấn phím = liên tiếp Ta thấy giá trị C ngày tăng lên Vậy chọn đáp án dãy số
Dạng Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn
Ví dụ 23.Cho số thập phân vơ hạn tuần hồn a 2,151515 (chu kỳ 15), a biểu diễn dạng phân số tối giản, ,m n số nguyên dương Tìm tổng m n
A.m n 104. B.m n 312. C.m n 38. D.m n 114.
Đáp án A.
Lời giải
Cách 1: Ta có
15 15 15
2,151515
100 100 100
a
Vì
15 15 15
100 100 100 tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu
15 100
u
, công
bội
1 100
q
nên
15
71 100
1 33
100
a
Vậy m71,n33 nên m n 104.
Cách 2: Đặt
5
0,151515 100 15
33
b b b b
Vậy
5 71
2
33 33
a b
Do m71,n33 nên m n 104.
Cách 3: Sử dụng MTCT Nhập vào máy số 2,1515151515 (Nhiều số 15, cho tràn hình) bấm phím = Máy hiển thị kết hình sau
Có nghĩa
71 2, 15
33
Vậy m71,n33 nên m n 104.
(18)Có nghĩa
71 2, 15
33
Vậy m71,n33 nên m n 104.
Ví dụ 24.Số thập phân vơ hạn tuần hồn 0,32111 biểu diễn dạng phân số tối giản
a
b,
đó ,a b số nguyên dương Tính a b .
A.a b 611. B.a b 611. C.a b 27901. D.a b 27901
Đáp án B.
Lời giải Cách 1: Ta có:
3
3
1
32 1 32 10 289
0,32111
1
100 10 10 10 100 1 900
10
Vậy a289,b900 Do a b 289 900 611.
Cách 2: Đặt x0,32111 100x32,111 Đặt y0,111 100x32 y
Ta có:
1
0,111 10
9
y y y y
Vậy
1 289 289
100 32
9 900
x x
Vậy a289,b900 Do a b 289 900 611.
Cách 3: Sử dụng MTCT Nhập vào máy số 0,3211111111 ( Nhập nhiều số , cho tràn hình), bấm phím = Màn hình hiển thị kết sau
(19)Cách 4: Sử dụng MTCT Bấm ALPHA = Máy hiển thị kết hình sau
Vậy a289,b900 Do a b 289 900 611. Tổng qt
Xét số thập phân vơ hạn tuần hồn a x x x y y ,m y z z z z z zn 1 k 1 k
Khi
1 2
1
1 0 99 0
n k
m
n chu so k chu so n chu so
y y y z z z
a x x x
Chẳng hạn,
15 32
2,151515 ;0,32111
99 100 990
Dạng Tìm giới hạn dãy số mà tổng n số hạng dãy số khác.
Ví dụ 25.Tổng
1 1
1
2
S
bằng:
A.1 B. C.
2
3. D.
3 2.
Đáp án B.
Lời giải
Cách 1: S tổng cấp số nhân lùi vơ hạn có u 1
1
q
Do
1 1
2
S
Cách 2: Sử dụng MTCT Sử dụng chức tính tổng Nhập vào hình sau.
(20)Lưu ý: Ở này, phải nhập số hạng tổng quát
1 2X
, 1
1
2
u
Nếu nhập số hạng
tổng quát
1 2X
kết kết sai
Mặt khác, cho X chạy từ đến 10 máy báo lỗi khối lượng tính tốn q lớn, vượt q khả máy
Trong trường hợp đó, ta quay lại điều chỉnh biên độ máy thơng báo kết
Ví dụ 26.Cho dãy số un với
1 1 1
2
n
n n
u
Khi limu bằng:n
A.
3. B. C.
2
3. D.
3 4.
Đáp án A.
Lời giải
Cách 1: u tổng n số hạng cấp số nhân có n 1
u
1
q
Do
1
1. 1
1
2 1
2
n
n
n
u
Suy
1 1
lim lim
3
n
n
u
.
Cách 2:
1 1
1 1 1
lim lim
2 2
n n
n n n
u
Vậy limu tổng cấp số nhân lui vô hạn với n 1
u
1
q
(21)Do
1
1
lim
1
1
n
u
Cách 3: Sử dụng MTCT Nhập vào hình sau.
Ấn phím = , máy hiển thị kết
1
Do chọn đáp án A
Nhận xét: Rõ ràng, thuộc cơng thức tốn giải thơng thường nhanh MTCT!
STUDY TIP
Tổng n số hạng cấp số nhân có số hạng đầu u công bội q là:1
1
1
n
n
q
S u
q
Ví dụ 27.Tính
1 1
lim
1.3 3.5 2n 2n
bằng:
A. B. C.
1
2. D.
1 3.
Đáp án C
Lời giải Cách 1: Ta có:
1 1 1 1 1 1
1.3 3.5 2n 2n 3 2n 2n 2n
Vậy
1 1 1
lim lim
1.3 3.5 2n 2n 2n
.
(22)Nhập vào hình biểu thức
100
1
1
2
X X X
, bấm dấu = Máy hiển thị kết hình sau
Vậy chọn đáp án C
Tổng quát, ta có:
1 1
lim
2
k k d k d k d k n d k nd d k
Chẳng hạn ví dụ k 1 d 2 Do giới hạn
1
1.2 2.
Kinh nghiệm cho thấy nhiều bạn qn d tính tốn dãy có giới hạn
Ví dụ 28.Cho dãy số un với 2
1 n
n u
n
Mệnh đề sau mệnh đề đúng?
A. limu n B.
1 lim
2 n
u
C.limu n D. Dãy số un khơng
có giới hạn n Đáp án B.
Lời giải
Cách 1: Ta có:
1
2 n n
n
Suy
2
1
1
n n n
n n
Do
1
lim lim
2
2
n
n n u
n
Cách 2: Sử dụng MTCT Gán 10 cho biến A Nhập vào hình biểu thức 5
1 1
A
X
X
A
(23)Do chọn đáp án B
Lưu ý: Tổng 1 n ví dụ tổng dạng quen thuộc Đó tổng n
số hạng cấp số cộng có số hạng đầu u công sai 1 d 1 Do
khơng thuộc cơng thức
1
2 n n
n
, ta sử dụng cơng thức tính tổng cấp số cộng để tính tổng
Để làm tốt dạng tập trên, cần nhớ số tổng quen thuộc sau:
a)
1
2 n n
n
b)
2 2
1
6
n n n
n
c)
3 3
1
2
n n
n
STUDY TIP
Tổng n số hạng cấp số cộng:
n n
n u u
S
;
1
2
2
n
n u n d
S
Tổng n số hạng cấp số nhân: 1
1
n
n
q
S u
q
Ví dụ 1:
1
lim
2 12
n n
bằng:
A
5. B
3
4. C
2
3. D
5 6.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Cách 1: Tử thức tổng n số hạng cấp số cộng un với n , 1 un 4n 3 và
công bội d 4
Do
1 3 4 2
2
n n n n
n
Tương tự ta có:
2 3 5 1 12 5n
2
n n n n
Vậy
4
1 4
lim lim
2 12 5
n n n
n n n
(24)Cách 2: Sử dụng MTCT Nhập vào hình
1000
1 1000
1
4
5
X
X
X
X
, bấm phím, ta thấy kết
quả
3998 4999
Vậy chọn đáp án A.
Studytip:
Nếu tử thức tổng n+i số hạng cấp số cộng có cơng sai d, mẫu thức là tổng n+k số hạng cấp số cộng có cơng sai d’ phân thức có giới hạn là
'
d
d ,i k .
Ví dụ 2:
2
2
3 3 lim
1 2
n
n
bằng:
A B C
3
2. D
2 3.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Cách 1: Ta có tử thức tổng n số hạng cấp số nhân un với u 1 q 3.
Do
2 3
3 3 3
3
n
n n
.
Mẫu thức tổng n+1 số hạng cấp số nhân vn với v n q 2 Do đó
1
2 1
1 2 2 2
n
n n
Vậy
2
2
3
3 3 3 3
lim lim lim
1 2 4 1
2
n n
n n
n
n n
Cách 2: Nhập vào hình
20
1 1000
1
1
3
2
X
X X
X
, bấm phím, ta thấy kết hiển thị hình 2493,943736
Do chọn đáp án A. Bổ sung: (Định lí kẹp)
Xét ba dãy số un , vn , wn Giả sử với n ta có un vn wn. Khi có
=
(25) Studytip:
Nếu tử thức tổng n+i số hạng cấp số nhân có công bội q 1, mẫu thức là tổng n k số hạng cấp số nhân có cơng bội q thì:'
Phân thức có giới hạn
q q ';
Phân thức có giới hạn
q q '
Ví dụ 3: 2
1
lim
1
n
n n n n
bằng
A 0. B
1
2. C
1
3. D
Hướng dẫn giải
Chọn B
Cách 1: Ta có 2 2
1 2
1
n n n
n n n n n n n
Mà
2 2
1
1 2 1 2
lim lim ; lim lim
2 1
n n n n
n n
n n n n n n
Vậy 2
1
lim
1 2
n
n n n n
Cách 2: Sử dụng MTCT Gán 103 cho A Nhập vào hình 2
A
X
X
A X
, bấm phím Kết hiển thị 0.5001664168 Vậy chọn đáp án B
Ta thấy trường hợp khơng thuộc cơng thức, sử dụng máy tính cầm tay giải pháp hiệu Tuy nhiên rèn luyện nhiều, cọ xát nhiều dạng tập sử dụng MTCT cho kết chậm tính tốn thơng thường
C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG DẠNG 1: BÀI TẬP LÝ THUYẾT
Câu 1: Chọn khẳng định
A limu n un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở đi.
B limu n un lớn số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở đi. C limu n u nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở đi.n D limu n u nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở đi.n Câu 2: Chọn khẳng định
A limu n u bé số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở đi.n
(26)B limu n u lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở đi.n
C limu n un bé số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở
D limu n un lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở
đi
Câu 3: Chọn khẳng định
A limun a un a nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở đi. B limun a un a lớn số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở
đi
C limun a un a nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở đi.
D limun a un a lớn số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở đi. Câu 4: Chọn khẳng định
A limq n q 1 B limq n q 1
C limq n q 1 D limq n q 1
Câu 5: Chọn khẳng định
A limq n q 1 C limq n q 1
B limq n q 1 D limq n q 1 Câu 6: Trong mệnh đề đây, mệnh đề sai?
A Nếu q 1 limqn
B Nếu limun , lima vn lim(b u n)ab
C Với k số nguyên dương
1
lim k
n .
D Nếu limun , lima v lim(n u v n n)
Câu 7: Biết limu Chọn mệnh đề mệnh đề sau.n
A
3
lim
1
n
n
u u
. C
3
lim
1
n
n
u u
. B
3
lim
1
n
n
u u
. D
3
lim
1
n
n
u u
.
Câu 8: Biết limu Chọn mệnh đề mệnh đề sau.n
A
1
lim
3
n
n
u u
. C
1
lim
3
n
n
u u
. B
1
lim
3 5
n
n
u u
. D
1 lim
3
n
n
u u
.
DẠNG 2: BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC
(27)A (sin )n B (cos )n C (( 1) ) n D ( )
2 .
Câu 10: Trong dãy số sau đây, dãy số có giới hạn khác 0?
A ((0,98) )n C (( 0,99) ) n B ((0,99) )n D ((1,02) )n
Câu 11: Biết dãy số ( )u thỏa mãn n 1 n
u
n
Tính limu n
A limu n B limu n
C limu n D Không đủ sở để kết luận giới hạn dãy số ( )u n Câu 12: Giới hạn ?
A lim(3n2 n3) C lim(3n2 n) B lim(n2 )n3 D lim(3n3 n4)
Câu 13:
2
2
(2 1) ( 1) lim
( 1)(2 1)
n n
n n
bao nhiêu?
A 1 B 2 C 0 D
Câu 14: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn ?
A
2
2
3
limn n
n n
. C
2
3
2
lim
n n
n n
. B
3
3
2 lim
2
n n
n n
. D
2 1
lim
n n
n
.
Câu 15: Trong giới hạn hữu hạn sau, giới hạn có giá trị khác với giới hạn lại
A
2
3
sin
lim(1 )
1
n n
n
. C
2
2
sin lim
5
n n
n
. B
2 cos lim
5
n
n
n
D
3 cos lim
3
n
n
n
Câu 16: Để tính lim( n21 n2n), bạn Nam tiến hành bước sau:
Bước 1:
2 1
lim( n n n 1) lim(n n )
n n
Bước 2:
1 1
lim(n n ) lim ( 1n )
n n n n
Bước 3: Ta có lim n ;
1
lim( 1 )
n n
Bước 4: Vậy lim( n21 n2n) 0 Hỏi bạn Nam làm sai từ bước nào?
(28)Câu 17: lim( 3n1 2n1)bằng?
A 1 B 0 C . D
Câu 18:
2 1 1
lim
3
n n
n
bằng?
A 0 B
1
3. C . D
Câu 19:
3 lim(1 )
1 n n
n n
bằng?
A 0 B -2 C . D
Câu 20: Trong giới hạn sau, giới hạn hữu hạn?
A lim( n 1 n n) C lim( n2 n n1)
B
1 lim
2
n n D lim( n2 n n).
Câu 21: Trong giới hạn sau, giới hạn không hữu hạn?
A
3
3
lim
n
n n . C
2
3
1
lim n n
n n n
.
B lim( 13 n3 n) D lim(3 n2 n3 n)
Câu 22: Biết
2
2
4
lim
2
3
n n n m
n
n n
,
m
n phân số tối giản, m n số
nguyên dương Chọn khẳng định khẳng định sau:
A m n 10 C m n 15 B m n 14 D m n 21
Câu 23: Tìm
1 2.3 lim
2 (3 5)
n n
n n
:
A B
1
2. C 1. D
1 3.
DẠNG 2: TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Câu 24: Cấp số nhân lùi vô hạn
1
1 1
1, , , , ,( ) ,
2
n
có tổng phân số tối giản
m
n Tính
2 m n.
(29)Câu 25: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0, 27323232 biểu diễn phân số tối giản
m
n ( m , n là
các số nguyên dương) Hỏi m gần với số số đây?
A 542 B 543 C 544 D 545
Câu 26: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn 2, tổng số hạn
9
4 Số hạn đầu
của cấp số nhân là?
A 4 B 5 C 3 D
9 4.
Câu 27: Phương trình
2 5
2
4
x x x x x
, x 1, có tập nghiệm là:
A
7 97 24 S
C
3 41 16 S
B
7 97 24 S
D
3 41 16 S
Câu 28: Cho tam giác A B C cạnh a Người ta dựng tam giác 1 1 A B C có cạnh đường cao2 2
của tam giác A B C ; dựng tam giác 1 1 A B C có cạnh đường cao tam giác 3 3 A B C2 2
và tiếp tục Tính tổng diện tích S tất tam giác A B C , 1 1 A B C ,2 2
3 3
A B C ,…
A
2
3
4 a
B
2
3
2 a
C a2 D 2a2 DẠNG 4: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI
Câu 29: Cho số thực a dãy số ( )u xác định bởi: n u1 a
1
n n
u u
với n Tìm giới1 hạn dãy số ( )u n
A a B 2
a
C 1 D 2
Câu 30: Cho dãy số ( )u xác định n u13, 2un1 un với n Gọi 1 S tổng n số hạngn
đàu tiên dãy số ( )u Tìm limn S n
A limS n C limS n B limS n D limS n
Câu 31: Cho dãy số ( )u xác định n
1 1, 2,
2
n n
n
u u
u u u
với n Tìm lim1 u n
A B
3
2. C
5
3. D
(30)Câu 32: Cho dãy số ( )u xác định n
2
1
1 ,
4
n
n n
u u u u
với n Tìm lim1 u n
A
1 lim
4 n
u
C
1 lim
2 n
u
B limu n D limu n
Câu 33: Cho dãy số ( )u xác định n u11,un1un2n với n Khi 1
1
lim n n
u u
A B 0 C 1 D 2
DẠNG 5: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CÓ CHỨA THAM SỐ
Câu 34: Cho dãy số ( )u xác định n
1 , ,
2
n n
n
u u
u a u b u
với n , a và1 b số thực cho trước, a b Tìm giới hạn ( )u n
A limun a C
2 lim
3 n
a b
u
B limun b D
2 lim
3 n
a b
u
Câu 35: Cho dãy số ( )u với n
5
n
n m u
n
, m tham số Để dãy ( )u có giới hạn hữu hạnn
thì:
A m số thực bất kỳ.
B m nhận giá trị 3. C m nhận giá trị 5. D Không tồn số m
Câu 36: Cho dãy số ( )u với n
2
2
4
5
n
n n
u
an
, a tham số Để ( )u có giới hạn thìn
giá trị tham số a là?
A -4 B 2 C 4 D 3
Câu 37: Tìm tất giá trị tham số thực a để dãy số ( )u vớin
2
2
n
u n n a n n có giới
hạn hữu hạn
A a C a (1;) B a ( ;1) D a 1
Câu 38: Tìm hệ thức liên hệ số thực dương a b để: lim( n2an 5 n2bn3) 2
A a b B a b 2 C a b 4 D a b 4
Câu 39: Tìm số thực a để
2 1 4 2
lim
5
an n
n
.
(31)Câu 40: Tìm số thực a để lim(2n a 38n35) 6
A a 2 B a 4 C a 6 D a 8
Câu 41: Tìm số thực a b cho lim( 13 n3 an b ) 0
A
1 a b
. B
1 a b
. C
1 a b
. D
0 a b
.
DẠNG 6: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ MÀ SỐ HẠNG TỔNG QUÁT LÀ TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT DÃY SỐ KHÁC
Câu 42:
1 lim
2
n n
bằng:
A
2. B
2
3. C 1. D
Câu 43:
2
2
1 2 lim
1 5
n
n
bằng:
A 0 B 1 C
2
5. D
5 2.
Câu 44: Tìm 2
1 1
lim (1 )(1 ) (1 )
2 n
ta được:
A 1 B
1
2. C 0. D 2.
Câu 45: 2
! lim
(1 ).(1 ) (1 ) n
n
bằng:
A 0 B C 1 D
1 2.
Câu 46: Cho dãy số ( )u Biết n
2
1
3
2
n k k
n n
u
với n Tìm 1
1 n k k n
u nu .
A 1 B
1
2. C 0. D
Câu 47:
2
2
1 3 lim
5
k n
k
k
bằng:
A 0 B
17
100. C
17
200. D
1 .
(32)Trong đáp án cho tập đây, có nhiều nêu việc áp dụng kết trình bày phần lí thuyết ví dụ Lời giải đầy đủ việc sử dụng MTCT xin dành lại cho độc giả. DẠNG Bài tập lí thuyết.
Câu 1: Đáp án A.
Xem lại định nghĩa dãy số có giới hạn
Câu 2: Đáp án B.
Xem lại định nghĩa dãy có giới hạn
Câu 3: Đáp án C.
Xem lại định nghĩa dãy có giới hạn hữu hạn
Câu 4: Đáp án D.
Xem lại định lí 4.2
Câu 5: Đáp án A.
Xem lại kết dãy số có giới hạn
Câu 6: Đáp án A.
Nếu q 1thì limq n lim1 0
Câu 7: Đáp án C.
Ta có :
3 3lim 3.3
lim
1 lim
n n
n n
u u
u u
.
Câu 8: Đáp án C.
Ta có :
2
2
2
1 1
5
3 3
n n n
n
n
u u u
u
u
Vì limu nên n
lim
n
u ,
1
lim
n
u .
Vậy
1 0
lim
3 3
n
n
u u
.
DẠNG Bài tập tính giới hạn dãy số cho công thức.
Câu 9: Đáp án D.
Ta có :
1
lim s lim
2
n
Bổ sung :
a) Ta chứng minh dãy số sin n khơng có giới hạn Thật vậy, sinn 1nên dãy số
sin n
có giới hạn giới hạn hữu hạn
Giả sử limsin n L Suy limsinn2 L
Do : lim sin n2 sinn 2sin1.lim osc n1
lim osc n
lim cosn0 lim cosn2 0
0 lim cos n cosn
2sin1.sinn1
sin n
Vậy ta có :
2
1 lim sin n1 cos n1 0 0
( vô lý) Suy đpcm
(33)c) Ta chứng minh dãy số 1
n
khơng có giới hạn hữu hạn
Thật vậy, trục số, số hạng dãy số biểu diễn hai điểm 1và 1 Khi n
tăng lên, điểm
Câu 10: Đáp án D
Vì 1, 02 1 nên lim 1, 02
n
( Các dãy số cịn lại có q 1nên có giới hạn )
Câu 11: Đáp án A.
Vì
1
lim
n nên limu n 0 Suy : limu n
Câu 12: Đáp án C.
Vì 3n2 n có a nên 2
lim 3n n
( Số hạng tổng quát dãy cịn lại có hệ số lũy thừa bậc cao số âm nên giới hạn dãy .)
Câu 13: Đáp án B.
Bậc tử mẫu thức nên dãy có giới hạn hữu hạn Hệ số n3 tử
2
2 4 , hệ số n3 mẫu 1.2 2 nên giới hạn
2
2 .
Câu 14: Đáp án A.
Phân thức
2
2
3
n n
n n
có bậc tử thức cao bậc mẫu thức, đồng thời hệ số lũy thừa bậc cao tử thức hệ số lũy thừa bậc cao mẫu thức dương nên suy giới hạn dãy số tương ứng
( Phân thức
3
3
2
n n
n n
có bậc tử bậc mẫu nên giới hạn dãy số tương ứng
1
Phân
thức
2
3
2
3
n n
n n
có bậc tử thấp bậc mẫu nên giới hạn dãy số tương ứng Phân
thức
2 1
1
n n
n
có bậc tử lớn bậc mẫu hệ số lũy thừa bậc cao tử hệ số lũy thừa bậc cao mẫu trái dấu nên giới hạn dãy số tương ứng .)
Câu 15: Đáp án D.
+ Nhận xét :
2
3
sin
1
n n n
n n mà
2
3
lim
1 n
n nên
2
3
sin
lim
1
n n
n
Do :
2
3
sin
lim 1
1
n n
n
.
+
os5
2n 2n
c n
mà
1
lim
2n
nên
os5
lim
2n
c n
Do :
2 os5 os5
lim lim 1
2
n
n n
c n c n
.
+
2
2
sin
5
n
n n mà
1
lim
5
n nên
2
2
sin
lim
(34)Do :
2 2
2 2
sin sin
lim lim
5 5
n n n n
n n n
Vậy ba giới hạn đầu có kết nên đáp án cần chọn đáp án D
( 1
cos
3n 3n
n
mà
1
lim
3n
nên
cos
lim
3n
n
Do :
1 1
3 cos cos
lim lim
3 3
n n
n n n
n n
.)
Câu 16: Đáp án D.
Vì lim n ,
2
1
lim 1
n n
nên áp dụng quy tắc 2 Do Nam
sai bước ( Quy tắc áp dụng limu limn vn )L
Câu 17: Đáp án D.
Vì hai thức 3n 11 n chứa nhị thức dấu mà hệ số n lại khác nên giới hạn cần tìm ( 2 )
Thật vậy, ta có :
1
lim 3n 2n lim n
n n
.
Vì lim n
1
lim 3
n n
nên lim 3n1 2n1 .
Hoặc độc giả sử dụng MTVT để kiểm tra kết
Câu 18: Đáp án B.
Ta thấy tử thức có bậc 1, mẫu thức có bậc Mà hệ số n tử thức bằng
1, hệ số n mẫu thức nên giới hạn cần tìm
1
3 Thật ta có :
2 2 2
1 1
1
1 1
lim lim
2
3 3
n n n n n
n
n
độc giả sử dụng MTCT để kiểm tra kết
Câu 19: Đáp án B.
Sử dụng MTCT Nhập vào sau :
Qui trình bấm máy Kết thu
(1p2Q))saQ)+3RQ)^3$+Q)+1r10^5=
Do đáp án đáp án B
Hoặc ta làm sau :
3
3
3
lim lim
1
n n n
n
n n n n n
(35)Câu 20: Đáp án D.
Nếu sử dụng MTCT, ta phải tính tốn nhiều giới hạn Tuy nhiên, có kinh nghiệm, ta
thấy đáp án D Thật vậy, theo kết biết ta có
2
lim n n n
là hữu hạn Hoặc ta sử dụng MTCT để kiểm tra lại kết
Lời giải xác :
2
lim n n n
1 lim
1
n
n n n
1 lim 1 1 n n n
2
Việc tìm giới hạn A, B, C xin dành lại cho độc giả rèn luyện thêm
Câu 21: Đáp án C.
Lập luận toán trên, ta thấy ba giới hạn A, B, D hữu hạn Vậy đáp án C
Lưu ý :
2 3
3
lim n n n lim n n n
Ta sử dụng MTCT để kiểm tra lại kết Lời giải xác :
Ta có :
2 2 3 1 1 lim lim 1
n n n n
n n n
n
Mà :
1
lim 1
n n ;
lim 1
n
1 1 n
n nên 3
lim n n
n n n
.
Việc tìm giới hạn A, B, D xin dành lại cho độc giả rèn luyện thêm
Câu 22: Đáp án B.
Với toán dạng này, việc sử dụng MTCT thời gian Ta thấy tử thức mẫu thức có bậc Mặt khác tử thức mẫu thức có giới hạn vơ cực Do ta chia
tử mẫu cho n để :
2
2
4
lim
3
n n n
n n 2 1 lim n n n
3
.
Ta có :
1
1
2 2
3
Vậy m7,n2 nên m n 14
Câu 23: Đáp án D.
Ta có :
1
1 2.3 2.3 3.6 5.2
2
n n n n
n n n n
Từ dễ thấy
1 2.3 lim
3.6 5.2
n n n n Thật vậy, 1
1 2.3 6
lim lim
3.6 5.2 1
3 n n n n n n n DẠNG Tổng cấp số nhân lùi vô hạn.
(36)Cấp số nhân lùi vơ hạn cho có : u 1
1
q
Do tổng cấp số nhân :
1
1
1
S
Suy : m2,n3 Vậy m2n 2 2.3 8
Câu 25: Đáp án A
Ta có
27 32 541
0, 27323232
100 9900 1980
Hoặc sử dụng MTCT theo hai cách trình bày phần ví dụ ta kết sau :
Qui trình bấm máy Kết quả
0.27323232323232=
0.27Qs32=
Vậy m 541, chọn đáp án A
Câu 26: Đáp án C.
Ta có :
1 2
1 u
q
u12 1 q 1 mà :
9
u u u
3
1
1
1
q u
q
.
Thay 1 vào 2 ta :
3
1
2
1
q q
q
3
1
8
q
8
q
2
q
Vậy
1
2
2
u
.
Câu 27: Đáp án A.
Ta có :
2
2
4
x x x 3
4
x x x x
Vì x 1 nên 1 x x 2 x3
là tổng cấp số nhân lùi vơ hạn có u 1 qx Do ta có :
2
3
4
x x x x
1
x x
12x27x1 0
7 97
24
x
(t/m x 1)
Câu 28: Đáp án C.
Đường cao tam giác cạnh a
3
a
Diện tích tam giác cạnh a
2 3
4
a
Tam giác A B C có cạnh a tam giác 1 1 A B C có cạnh 2 2
3
a
tam giác A B C 3 3
có cạnh
2
3 a
… tam giác A B C có cạnh n n n
1
3
n
a
(37)Và 1
2
3 A B C
S a
, 2
2
3
4
A B C
S a
, 3
2
3
4
A B C
S a
, …,
1
3
4
n n n
n
A B C
S a
.
Như Sn CSN lùi vô hạn với
q
Vậy
2
2
3
3
4 a
S S a
DẠNG Tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi.
Câu 29: Đáp án D.
Ta thầy đáp án giới hạn hữu hạn nên chứng tỏ dãy cho có giới hạn hữu hạn
Gọi giới hạn L Ta có :
L L
2 L
Hoặc theo kết trình bày phần ví
dụ, giới hạn dãy cho
1 1
2
1,
2
r s
.
Câu 30: Đáp án B.
Cách : Ta có 2un1un1
1
1
2
n n
u u
Đặt vn un
Khi : 1
1 1
1 1
2 2
n n n n n
v u u u v
Vậy vn cấp số nhân có cơng
bội
1
q
Gọi T tổng n số hạng n vn
Ta có : 1
1
n
n
q
T v
q
1
1
2
1
2
n
v
1
2
n
v
Suy : Sn Tnn
1
1
2
n
v n
.
Vậy limSn
Cách 2: Sử dụng MTCT Nhập vào hình :
1
: :
2
A A X Y X X Y
Bấm r, máy hỏi A? nhập , máy hỏi X? nhập , máy hỏi Y? Nhập , bấm =
liên tiếp ta thấy giá trị A ngày tăng cao Vậy chọn đáp án B
Câu 31: Đáp án C. Sử dụng MTCT
Qui trình bấm máy Kết thu được
QcQraQz+QxR2$QyQzQrQxQyQxQrQcr1=2========== =========================================== =========================================== =========================================== ====
Dùng cách tìm dạng phân số số thập phân vơ hạn tuần hoàn 1, 6 ta
5 1,66666667
3
(38)Vậy giới hạn dãy số trường hợp
5
3 Do chọn đáp án C.
Bổ sung : Cho dãy số un xác định u1 , a u2 , b
1
2
n n
n
u u
u
với , n
trong a b, là số thực cho trước , a b Người ta chứng minh
2 lim
3 n
a b
u
Câu 32: Đáp án B.
Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn L Khi ta có :
2
2
L
L L 2
2L L
0 L
L
.
Tuy nhiên đến ta khơng cịn để kết luận L hay 0
1
L
Ta sử dụng MTCT tương tự tập thấy giới hạn dãy số Vậy chọn đáp án B
9
2
1,706192802.10 X
Y X
Câu 33: Đáp án C. Cách 1: Ta có
2 1
u ;
2 2.1
u ; u 3 22 2.2 3 2;
Dự đốn un n2 Khi
2
1 1
n n
u u n n
Vậy un n2 n 1
Suy
2
1
2
1
lim n lim
n
n u
u n
Do chọn đáp án C Cách : Sử dụng MTCT Nhập vào hình
Qui trình bấm máy Kết thu được
QnQrQ)+2Qz+1QyaQnRQ)
$QyQ)QrQnQyQzQrQz+1r1=1====================
Bấm r, máy hỏi X? nhập 1, máy hỏi A? nhập bấm = liên tiếp, theo dõi giá trị
Y
X , ta thấy
giá trị dần Vậy chọn đáp án C
Nhận xét : Ở phải bấm phím = liên tiếp nhiều lần, n chưa đủ lớn
chênh lệch
2
1
n
n2 xa nên giá trị
2
2
1 n
n
khá xa so với
(39)Đây tốn chứa tham số
Vì tốn trắc nghiệm nên có cách cho a b giá trị cụ thể, sử dụng MTCT để tìm giới hạn, từ tìm đáp án
Chẳng hạn cho a2,b3 Khi
2
3
a b
,
2
7
a b
và
2
, , ,
3
a b a b
a b
đôi khác
Nhập vào hình :
Qui trình bấm máy Kết thu được
QcQraQz+QxR2$QyQzQrQxQyQxQrQcr2=3=========== ============================================ ============================================ ==========================================
Dùng cách tìm dạng phân số số thập phân vơ hạn tuần hồn 2, 6 , ta
8 2,
3
Vậy giới hạn dãy số trường hợp
8
3 Do chọn đáp án C.
Bổ sung : Cho dãy số un xác định bởiu1 ,a u2 ,b
1
2
2
n n
n
u u
u n
,
,
a b số thực cho trước, a b
a) Chứng minh dãy u2n là dãy giảm, dãy u2n1 là dãy tăng.
b) Chứng minh
2
2 1
2
n n n
x x
x x n c) Chứng minh 2xn2xn1 2x2x1 n
d) Chứng minh un có giới hạn giới hạn
a b
Việc chứng minh toán xin dành cho độc giả
Câu 35: Đáp án A.
Dễ thấy
3
lim lim
5
n
n m u
n
với m
Câu 36: Đáp án B.
Dễ thấy với a 2
2
2
4
lim lim
2
n
n n
u
n
.
Thật :
Nếu a 0
2
4
lim lim
n
n n
u
Nếu a 0
2
2
4
lim lim
5
n
n n
u
an a
.
Do để limu n
2 a
a .
Câu 37: Đáp án D.
Với kết trình bày phần ví dụ, ta thấy để un có giới hạn hữu hạn a 1
(40)Từ kết trình bày phần ví dụ, ta thấy cần phải nhân chia với biểu thức liên hợp Ta có :
2
2
2
5
5
a b n
n an n bn
n an n bn
2
2
5
1
a b n
a b
n n n n
Suy
2
lim
2
a b
n an n bn
Do để
2
lim n an 5 n bn3 2
2
a b
4 a b
Câu 39: Đáp án B.
Ta có :
2 1 4 1
lim
5
an n a
n
Do ta phải có a 10 a100.
Câu 40: Đáp án C.
Ta có
3
lim 2n a 8n 5 6 6 alim 2 n 38n35
mà
3
lim 2n 8n 5 0
Do 6 a0 a 6
Câu 41: Đáp án A.
Ta có
3
lim 1 n an b 0 blim 13 n3 an
Để
3
lim n an
hữu hạn
a ( xem lại phần ví dụ ).
phần Ví dụ) Ta có
3
lim 1 n n 0
Vậy b Do đáp án A.0
DẠNG TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ MÀ SỐ HẠNG TỔNG QUÁT LÀ TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT DÃY SỐ KHÁC.
Câu 42: Đáp án A.
Lời giải
Theo kết trình bày phần Ví dụ
1
lim
2 2
n n
tử thức tổng của
n số hạng cấp số cộng có cơng sai 1, mẫu thức tổng n số hạng
đầu tiên cấp số cộng có cơng sai Tuy nhiên, ta giải nhanh chóng sau:
1 n
lim lim
2 2 n
n n
Câu 43: Đáp án A.
Lời giải
(41)Lời giải Ta có:
2 2
2 2 2
2
2 2
1 1 1
1
2 3
2 1
1.3 2.4 3.5
2
1
n
n n
n n n n
n n n n
Vậy 2
1 1 1
lim 1 lim
2 2
n n n
Câu 45: Đáp án A.
Lời giải Ta có:
2 2 2 2 2 2
! ! ! !
1 !
1 1 1 !
n n n n
n n
n n n
Mà
1
lim
!
n nên suy ra: 2 2 2
!
lim
1 1 n
n
Câu 46: Đáp án B.
Lời giải Ta có: 2 1 1
3 9
3 3
2
n n
n k k
k k
n n n n
u u u n n
Suy un 3n3
Vậy
2
1
1
lim lim
2 3 2.3
n k k n n n u
nu n n
Câu 47: Đáp án C.
Lời giải Ta có: 1 2 1 3
lim lim
5 k i k n n i k k k k
Do nên khó để sử dụng MTCT toán Ta có:
1
1
2
1 1
3
3
3 3 1 5 5 17
3
5 2.5 50 50 50 1 501 200
5
k i
k k
k
n n n n
i
k k
k k k k
(42)GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT
I Định nghĩa giới hạn hàm số điểm 1 Giới hạn hữu hạn điểm
Định nghĩa 1:
Cho a b; khoảng chứa điểm x hàm số 0 yf x xác định a b; trên
0
0
; \ lim
x x
a b x f x L
với dãy số xn mà xna b; \ x0 ,xn x0 ta có lim f x n L
Nhận xét:
- Giới hạn hàm số định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn dãy số
- Hàm số không thiết phải xác định x 0
Định nghĩa (Giới hạn bên):
Cho hàm số yf x xác định khoảng
0; lim
x x
x b f x L
với dãy số xn mà
0 n , n
x x b x x ta có lim f x n L
Cho hàm số yf x xác định khoảng
0
; lim
x x
a x f x L
với dãy số xn mà
0,
n n
a x x x x ta có lim f x n L
STUDY TIP
0 x x
nghĩa x x0 x x 0
0 x x
nghĩa x x0 x x
Định lí 1
0 0
lim lim lim
xx f x L xx f x xx f x L 2 Giới hạn vô cực điểm
Định nghĩa 3
Cho a b; khoảng chứa điểm x hàm số 0 yf x xác định a b; trên
0
0
; \ lim
x x
a b x f x
với dãy số xn mà xna b; \ x0 ,xn x0 ta có f x n
(43)Các định nghĩa
lim ; lim ; lim ; lim ;
xx f x xx f x xx f x xx f x
lim
xx f x phát biểu hoàn toàn tương tự
3 Lưu ý:
a) f x không thiết phải xác định điểm x 0
b) Ta xét giới hạn f x điểm x có khoảng 0 a b; (dù nhỏ) chứa x mà 0 f x xác
định a b; a b; \ x0
Chẳng hạn, hàm số f x x có tập xác định D 0; Do ta khơng xét giới hạn hàm số
tại điểm x , khơng có khoảng 0 a b; chứa điểm mà f x xác định Tương
tự ta không xét giới hạn f x điểm x 0
c) Ta xét giới hạn bên phải f x điểm x có khoảng 0 x b0; (khoảng nằm bên phải
0
x ) mà f x
xác định
Tương tự, ta xét giới hạn bên trái f x điểm x có khoảng 0 a x; 0 (khoảng nằm
bên trái x ) mà 0 f x xác định
Chẳng hạn, với hàm số f x x1, điểm x , ta xét giới hạn bên phải Với hàm số0
g x x
, điểm x , ta xét giới hạn bên trái.0
d) lim ( )x xo x xlim ( ) lim ( )o x xo
f x f x f x
lim ( ) lim ( ) lim ( )
o o o
x x f x x x f x x x f x
II Định nghĩa giới hạn hàm số vô cực 1 Giới hạn hữu hạn vô cực
Định nghĩa 4
Cho hàm số y f x ( ) xác định khoảng a; lim ( )x f x L với dãy số
xn , xn a x n ta có lim ( )f x L
LƯU Ý: Định nghĩa xlim ( ) f x Lđược phát biểu hoàn toàn tương tự
(44)Cho hàm số y f x ( ) xác định khoảng a; lim ( )x f x với dãy số
xn , xn a x n ta có lim ( )f x
LƯU Ý: Các định nghĩa: xlim ( ) f x , lim ( )x f x , lim ( )x f x phát biểu hoàn toàn tương
tự
III Một số giới hạn đặc biệt
a) x xlimo o
x x
.
b) x xlimo ; limx
c c c c
( c số )
c) xlim k
c x
(c số, k nguyên dương ). d) lim
k
x x với k nguyên dương; lim
k
x x k số nguyên lẻ;
lim k
x x k số nguyên chẵn.
Nhận xét: xlim ( ) f x xlim f x( )
IV Định lí giới hạn hữu hạn Định lí 2
Giả sử x xlim ( )o
f x L
x xlim ( )o
g x M
Khi
a) x xlim ( )o ( )
f x g x L M
.
b) x xlimo ( ) ( )
f x g x LM
;x xlimo ( )
cf x cL
với c một số.
c)
( )
lim ( 0)
( )
o
x x
f x L M
g x M
STUDY TIP: Giới hạn hữu hạn, giới hạn tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số điểm tổng, hiệu, tích, thương giới hạn chúng điểm (trong trường hợp thương, giới hạn mẫu phải khác khơng)
Định lí 3
Giả sử x xlim ( )o
f x L
Khi đó
a) x xlim ( )o
f x L
.
b)
3
lim ( )
o
(45)c) Nếu f x ( ) với J x\ o , J khoảng chứa xo, L 0 và
lim ( )
o
x x f x L
LƯU Ý: Định lí 2, định lí thay x xo x x o
,x x o
V Quy tắc giới hạn vơ cực
Các định lí quy tắc áp dụng cho trường hợp:
, , ,
o o o
x x x x x x x
x
Tuyên nhiên, gọn, ta phát biểu cho trường hợp x xo.
Quy tắc ( Quy tắc tìm giới hạn tích ).
lim ( )
o
x x
L f x
lim ( )
o
x x g x lim ( ) ( )
o
x x f x g x
0
L
0
L
STUDY TIP: Giới hạn tích hai hàm số
- Tích hàm số có giới hạn hữu hạn khác với hàm số có giới hạn vơ cực hàm số có giới hạn vơ cực
- Dấu giới hạn theo quy tắc dấu phép nhân hai số
Quy tắc (Quy tắc tìm giới hạn thương)
lim ( )
o
x x
L f x
lim ( )
o
x x g x Dấu
( )
g x ( )
lim ( )
o
x x
f x g x
L Tùy ý
0
L +
-
0
L +
-
( Dấu g x xét khoảng K tính giới hạn, với x x o).
STUDY TIP: Giới hạn thương hai hàm số Tử thức có giới hạn hữu hạn khác 0: - Mẫu thức tang ( dần đến vơ cực) phân thức nhỏ (dần đến 0)
- Mẫu thức nhỏ (dần đến 0) phân thức có giá trị tuyệt đối lớn (dần đến vô cực)
- Dấu giới hạn theo quy tắc dấu phép chia hai số
VI Các dạng vô định: Gồm 0 , ,0.0
(46)B Các dạng toán giới hạn hàm số
Dạng 1: Tìm giới hạn xác định cách sử dụng trực tiếp định nghĩa, định lí quy tắc
Phương pháp:
- Xác định dạng toán: giới hạn điểm hay giới hạn vô cực? giới hạn xác định hay vô định?
- với giới hạn hàm số điểm ta cần lưu ý: Cho f x( ) hàm số sơ cấp xác định khoảng a b; chứa điểm x Khi đó, 0 lim ( )x x o ( )o
f x f x
- Với giới hạn hàm số vô cực ta “xử lí” tương tự giới hạn dãy số
- Với giới hạn xác định, ta áp dụng trực tiếp định nghĩa giới hạn hàm số, định lí giới hạn hữu hạn quy tắc giới hạn vô cực
STUDY TIP: Dùng định nghĩa chứng minh hàm số yf x( ) giới hạn x x0
- chọn hai dãy số khác an bn thỏa mãn a n b thuộc tập xác định hàm sốn ( )
yf x khác x ; 0 an x b0; n x0.
- Chứng minh lim f a n lim f b n chứng minh hai giới hạn không tồn tại.
- Từ suy x xlim ( ) o f x
không tồn TH x x0
x chứng minh tương tự. Ví dụ 1: Chọn khẳng định khẳng định sau:
A xlim sin x1 B xlim sin x1 C xlim sin x0 D xlim sin x không tồn
Đáp án D
Lời giải
Xét dãy số ( )x với n
2 n
x n
Ta có x n
lim sin lim sin
2 n
x n
. 1
Lại xét dãy số ( )y với n
2 n
y n
Ta có y n
lim sin lim sin
2 n
y n
(47)Từ 1 2 suy xlim sin x không tồn Vậy chọn đáp án D
Ví dụ 2: Cho hàm số
2
3
1
( ) , lim ( )
2 x
x
f x f x
x
bằng:
A B 0. C
5
3 . D
1 2.
STUDY TIP: Giới hạn điểm
Nếu f x( ) xác định x tồn khoảng 0 a b; thuộc tập xác định f x( ) chứa x thì0
lim ( ) ( )
o o
x x f x f x .
- Việc sử dụng hay khơng sử dụng MTCT để tính f x( )o tùy thuộc vào mức độ phức tạp f x( )o
và khả tính tốn độc giả
Đáp án C.
Lời giải
Hàm số cho xác định trên0; Cách 1(sử dụng định nghĩa):
Giải sử ( )x dãy số bất kỳ, thỏa mãn n xn 0,xn x n Ta cón
2 1 32 1 3
lim ( ) lim
3
2
n n
n
x f x
x
( áp dụng quy tắc giới hạn hữu hạn dãy số) Do
3
5 lim ( )
3
x f x .
Cách 2( sử dụng định lí giới hạn hữu hạn): Theo định lí ta có:
2
2
3 3 3
3
3 3
3
lim lim lim1 lim lim lim1
1 3.3
lim lim
3 lim lim 2.lim lim lim
x x x x x x
x x
x x x x
x
x x x x
x f x
x x x x
Tuy nhiên thực hành, câu hỏi trắc nghiệm nên ta làm sau
Cách 3: Vì f x hàm số sơ cấp xác định 0; chứa điểm x 0 3 nên
3
10
lim
3
x f x f
(48)
Cách 4: Nhập biểu thức vào hình Bấm phím CALC, máy hỏi X ? nhập = Máy hiển thị kết hình:
Do chọn đáp án C
Ví dụ 3: Chọn khẳng định khẳng định ?
A.
2
lim
2 x
x x
. B
2
lim
2 x
x x
.
C
2
lim
2 x
x x
. D Hàm số
2
x f x
x
giới hạn khix 3
Đáp án B
Lời giải
Hàm số
2
x f x
x
xác định khoảng ;2 2; Ta có 32; .
Cách :
3
lim
3
x f x f
.
Cách : Nhập biểu thức hàm số
2
x f x
x
hình MTCT Bấm phím CALC ,
máy hỏi X? nhâp = Máy hiển thị kết hình:
Vậy
2
lim
2 x
x x
.
Ví dụ 4:
3
lim
x x x bằng:
A. 2. B 3 C D .
Đáp án C.
Lời giải Cách 1: Sử dụng MTCT tính giá trị
3
2
f x x x
điểm có giá trị âm nhỏ
(do ta xét giới hạn hàm số x ), chẳng hạn 1020 Máy hiển thị kết quả
(49)Đó giá trị dương lớn Vậy chọn đáp án C , tức
3
lim
x x x
Cách 2: Ta có
3
2
5 2x 5x x
x
Vì
3
lim
x x
2
5
lim 2
x x
nên
3
2
5
lim
x x x
.
Vậy theo Quy tắc 1,
3
2
5
lim lim
x x x x x x
Do chọn C.
Lưu ý 1:
- Để hiểu
3
lim
x x
2
5
lim 2
x x
xin xem lại phần giới hạn đặc biệt.
- Bài tốn thuộc dạng tính giới hạn hàm số x dần tới vô cực, x Do đó khơng thể áp dụng kết biết giới hạn dãy số, giới hạn dãy số xét
n Ta áp dụng kĩ thuật biết giới hạn dãy số. Lưu ý 2: Có thể dễ dàng chứng minh kết sau :
Cho hàm số
1
1 ( 0)
k k
k k k
f x a x a x a x a a
đa thức bậc k
x k ak
Giới hạn f x
x Tùy ý a k
0
k
a
x
k chẵn a k
0
k
a
k lẻ a k
0
k
a
Thật vậy, ta có
1
1
k k
k k k
a a a
f x x a
x x x
(50)Vì
1
1
lim k
k k k k
x
a a a
a a
x x x
lim
k
x x với k tùy ý, lim
k
x x k chẵn,
lim k
x x k lẻ nên ta dễ dàng suy bảng kết trên.
Ví dụ 5:
4
lim
x x x bằng:
A. B . C 3. D 2.
Đáp án A
Lời giải
Cách 1: Theo nhận xét
4
lim
x x x (x , k chẵn a k ) Thật
vậy, ta có
4
2
2
3x 2x x
x x
Vì
4
lim
x x
2
2
lim 3
x x x
nên
4
lim
x x x
STUDY TIP
- Giới hạn vô cực hàm đa thức vô cực, phụ thuộc vào số hạng chứa lũy thừa bậc cao
- Giới hạn hàm đa thức phụ thuộc vào hệ số lũy thừa bậc cao (Giống với giới hạn dãy số dạng đa thức)
- Giới hạn hàm đa thức phụ thuộc vào bậc hệ số lũy thừa bậc cao nhất.
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số
4
3
f x x x
x 1020, ta kết hình :
Kết số dương lớn Do chọn đáp án A,
Ví dụ 6: Cho hàm số
2 2 5
f x x x Khẳng định ?
A. xlim f x B xlim f x
C xlim f x 1 D xlim f x không tồn
Đáp án B.
(51)Hàm số
2 2 5
f x x x xác định trên
Có thể giải nhanh sau : Vì x2 2x5 hàm đa thức x nên có giới hạn vô
cực Mà x2 2x 5 0 với x nên giới hạn
2 2 5
f x x x
chắn
Thật vậy, ta có
2
2
2 5
2 1
x x x x
x x x x
.
Vì xlim x
2
lim 1
x xx
nên
2
lim
x x x
Hoặc ta sử dụng MTCT để tính giá trị f x giá trị âm nhỏ x , chẳng hạn x 1020 ta kết hình:
Kết số dương lớn Do ta chọn đáp án B (Dễ thâý kết hiển thị máy tính kết gần khả tính tốn hạn chế MTCT Tuy nhiên kết giúp ta lựa chọn đáp án xác)
STUDY TIP
Ta có xlim x
Khi x x 0
Với x ta có 0 x2 x
Cần đặc biệt lưu ý điều tính giới hạn hàm chứa thức.
Ví dụ 7: Giới hạn hàm số
2 4 1
f x x x x x bằng:
A. . B C 1. D 3.
Đáp án A.
Lời giải Cách 1: Ta có:
2 2
2
1 1
4 1 4
x x x x x x x
x x x x
(52)2
1
1
x
x x
Mà xlim x
2
1
lim
x x x
.
Vậy
2
2
1
lim lim
x x x x x x x x
.
Lưu ý:
- Độc giả nên đọc lại phần giới hạn dãy số có chứa thức để hiểu lại có định hướng giải (mà không nhân chia với biểu thức liên hợp)
- Có thể thấy sau: Vì
2
lim ; lim
x x x x x
Mà hệ số x2 4x 2 lớn hệ số x2 x2 x nên suy
2
lim
x x x x .
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tạix 1010 ta kết hình
Vậy chọn đáp án A
Ví dụ 8:
2017 lim
3
x x x
bằng:
A. 2017
3 . B . C D 0.
Đáp án D.
Lời giải
Cách 1: Vì
3
lim
x x x nên theo quy tắc 2,
2017
lim
3
x x x
(53)
STUDY TIP
Khi hàm số không xác định x0 ta thử áp dụng quy tắc giới hạn vơ cực Đó các
quy tắc áp dụng cho dạng ; ;
L L
L
Lưu ý cách xác định dấu giới hạn.
- Dạng
L
: giới hạn 0.
- Dạng L 0
L
: Giới hạn vơ cực
Ví dụ 9: Giới hạn bên phải hàm số
3
2
x f x
x
x 2 là
A B . C 3. D
7 2.
Đáp án B.
Lời giải
Hàm số
3
2
x f x
x
xác định ; \ .
Cách 1: Ta có xlim2x 2 0, x
với x 2 xlim 32 x 7 3.2
Do
đó theo quy tắc
3
lim x
x x
.
Cách 2: Sử dụng MTCT Tính giá trị
3
2
x f x
x
x ta thấy máy báo lỗi Math2
Error (do f x không xác định x ) Quay lại tính giá trị 2 f x tạix 2 1010 (tức 2,0000000001) giá trị x lớn gần Kết số âm nhỏ
Do chọn đáp án B
Ví dụ 10:Xét tốn “Tìm
2
2
3
lim
2
x
x x
x x
”, bạn Hà giải sau:
Bước 1: Vì
2
lim
x x x
(54)
Bước 3:
2
lim 13
x x x
Bước 4: nên theo quy tắc 2,
2
2
3
lim
2
x
x x
x x
.
Hỏi lời giải bạn Hà sai từ bước thứ ?
A. Bước B Bước C Bước D Bước Đáp án B
Lời giải
Xét dấu biểu thức
2
2
g x x x
ta thấy g x với x 1; 2
Vậy lời giải sai từ bước (Lời giải cho kết
2
2
3
lim
2
x
x x
x x
).
STUDY TIP
0 x x
nghĩa làx x0 x x 0.
0 x x
nghĩa x x0 x x 0.
Nếu x x0
tính giá trị hàm số 10
k
x x
.
Nếu x x0
tính giá trị hàm số 10
k
x x
.
Trong k sơ ngun dương.
Ví dụ 11:Giới hạn
2
1 lim
4 x
x x
bằng:
A 0. B C . D
Đáp án C.
Lời giải
Cách 1: Ta có
2
4
lim 0, lim
x x x x
2
4
x
với x nên theo quy4
tắc 2,
2
1 lim
4 x
x x
Vậy chọn đáp án C
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số x 4 108 x 4 108 các
(55)Vậy chọn đáp án C
Ví dụ 12:Cho hàm số
52
3
x x
f x
x x
Khẳng định ?
A. limx1 f x 7 B limx1 f x 2.
C limx 1 f x
D xlim1 f x
Đáp án D.
Lời giải
Ta có limx 1 f x lim 5x 1 x 2 5.1
Vì có đáp án nên chọn đáp án D
STUDY TIP Cần xác định biểu thức f x x x0
x x0 .
Giải thích thêm : Ta có
2
1
lim lim 3
x f x x x
Vậy limx 1 f x limx 1 f x
nên limx1 f x không tồn
Các đáp án A, B, C sai
STUDY TIP
0 0 0
lim lim lim
x x f x L x x f x x x f x L
Ví dụ 13:Cho hàm số
2
2
5
5
khi
2
x x
f x x
x x
.
Trong biểu thức (2) trên, cần thay số số để hàm số f x có giới hạn x ?3
A. 19 B 1
C 1. D Khơng có số thỏa mãn.
(56)Lời giải
Hàm số cho định trên\ 2
Cách 1: Ta có
2
3
lim lim 5
x f x x x
Đặt
2
2
x m
f x x
x (m tham số,3 m ).0
Ta có
2
3
3
lim lim
2
x x
x m m m
f x
x
.
Để hàm số f x có giới hạn x 3
9
lim lim
5
x x
m
f x f x m
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức X 2 X kết Sử3
dụng MTCT tính giá trị biểu thức
2
2
X A
X
X nhận giá trị 3 19,1 và
1
Ta thấy A 1 biểu thức nhận giá trị Vậy chọn đáp án C.
Ví dụ 14:Cho hàm số f x có đồ thị hình đây:
Quan sát đồ thị cho biết giới hạn sau, giới hạn ?
A. xlim f x B xlim f x C
lim
x f x
. D xlim3 f x
Đáp án C.
(57)Khi x 3, đồ thị hàm số đường cong lên từ phải qua trái Do đóxlim 3 f x
Tương tự ta có xlim f x xlim f x ; limx 3 f x
Do chọn đáp án C
Cơng phá tốn (trang 240 – 244)
DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG
0
STUDY TIP
Khi tính giới hạn mà khơng thể áp dụng trực tiếp định lí giới hạn hữu hạn hay quy tắc giới hạn vơ cực biết ta gọi dạng vơ định
Kí hiệu dạng vơ định gồm:
0
, , 0
Để tính giới hạn dạng vơ định ta phải biến đổi
biểu thức hàm số dạng áp dụng định lí quy tắc biết Làm gọi “khử dạng vô định”.
1 Bài tốn:
Tính
lim
x x
f x g x
lim lim
x x f x x x g x , f x g x đa thức thức.
Phương pháp giải (tự luận)
Phân tích tử mậu thành tích nhân tử giản ước Cụ thể,
lim lim
x x f x x x g x nên
f x
g x có nghiệm x x Do ta phân tích f x x x A x 0 và
0
g x x x B x
Khi ta có:
0 0
0
0
lim lim lim
x x x x x x
f x x x A x A x
g x x x B x B x
cơng việc cịn lại
là tính
lim
x x
A x B x
Nếu f x g x có chứa thức nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp trước phân tích chúng thành tích để giản ước
STUDY TIP Phân tích đa thức thành nhân tử:
Áp dụng đẳng thức đáng nhớ
Khi biết f x có nghiệm x x , ta sử dụng lược đồ Hooc-ne chia f x cho x x được
(58) Áp dụng kết quả: phương trình ax2bx c 0 có hai nghiệm x x thì1,
2
1
ax bx c a x x x x
Tổng quát: phương trình 1 1 0
k k
k k
a x a x a x a có nghiệm thực x x1, 2, ,x thìm
1
1 1
k k
k k k m
a x a x a x a a x x x x A x
, A x đa thức bậc k m Tuy nhiên, thực tế, ta dùng kết có đủ k nghiệm thực, tức m k Trường hợp ngược lại nên dùng lược đồ Hooc-ne (với phương trình bậc hai, bậc ba dùng MTCT để tìm nghiệm)
Ví dụ 1. Tính
2
2
4 lim
3
x
x
x x .
A. B 4 C.2. D 4.
Phân tích: Vì
2
2
lim lim
x x x x x nên giới hạn vô định dạng
0 Ta thấy
2
4
x
3
x x triệt tiêu x2 nên x2 nghiệm x2 4 x2 3x2.
Từ ta có cách giải sau
Lời giải
Cách 1: Ta có
2
2
2 2
2
4 2
lim lim lim
3 2 1
x x x
x x
x x
x x x x x
Cách 2: Dử dụng MTCT tính giá trị hàm số
2
2
4
x f x
x x x2 ta thấy máy báo lỗi Math Error (do hàm số không xác định x2) Quay lại tính giá trị hàm số tại
2, 0000000001 ta kết sau:
Lại quay lại tính giá trị hàm số 1,9999999999 ta kết sau:
Vậy chọn đáp án B
Ví dụ 2. Tính giới hạn lim1 , *
m n
x
x x
m n
x , ta kết quả:
(59)Cách 1: Ta có 1
1
lim lim
1 1
m n m n
x x
x x x x
x x x
Lại có
1
1
1 lim lim 1 m m m x x
x x x x
x
x x
1
1
lim
m m
x x x x m.
Tương tự:
1 lim n x x n x .
Vậy 1 1
1 1
lim lim lim lim
1 1 1
m n m n m n
x x x x
x x x x x x
m n
x x x x x
Cách 2: Cho m n giá trị cụ thể, chẳng hạn m3 m7 Sử dụng MTCT tính
3 lim x x x
x ta kết
3 lim x x x
x Vậy đáp án B.
STUDY TIP
1
1
m m m
x x x x x
1 lim m x x m x 1 lim n x x n x
Ví dụ 3. Chọn khẳng định khẳng định sau:
A.
3 lim x x
x x . B 1
3 lim x x
x x .
C
3 lim x x
x x . D 1
3 lim x x
x x không tồn tại.
Phân tích: Vì limx1 x 3 20
1
lim
x x x nên dạng vô định 0 Tuy
nhiên ta chưa thể phân tích x 3 thành nhân tử mà phải nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp x 3 2 x 3 2.
Lời giải
Cách 1: Ta có
3 x x x
3
3
x x
x x x
(60) 2
1
3 2
x
x x x
1
3 2
x x x
Mà
1
1 lim
3 2
x x x x
;
1
1 lim
3 2
x x x x
Do
1
1 lim
3 2
x x x x
không tồn
Suy
3 lim
3
x
x
x x không tồn Vậy chọn đáp án D.
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức
3
3
x
x x x1 ta thấy máy báo lỗi Math Error Quay lại tính giá trị biểu thức x1, 000001 x0,999999 ta kết quả:
Hai kết số dương lớn, số âm nhỏ Do kết luận
3
3 lim
3
x
x
x x không tồn tại.
Nhận xét:
- Nếu tính giá trị biểu thức điểm dễ chọn đáp án sai
- Ở ta chuyển dạng vô định
0
0 dạng xác định 0
L
- Dùng MTCT tìm nghiệm phương trình x3 3x 2 0 ta x11, x2 2 Như
phải có nghiệm nghiệm kép phương trình bậc ba Trong trường hợp này, theo Tip
trên nêu, ta nên dùng lược đồ Hooc-ne để phân tích đa thức x3 3x2 thành nhân tử.
Ví dụ 4. Giới hạn
3
1
2
lim
1
x
x x
x bằng:
A.1 B 0 C D
1 2.
Phân tích:
3
lim
x x x limx1x1 0 nên dạng vô định
0
0 Ta chưa
2 1 33 2
(61)không bậc Ta để ý thấy 2x1 33x đạt giá trị x1 nên ta biến
đổi sau:
3
2 1
f x x x
tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp
Lời giải
Cách 1: Ta có
3
2 2 1
1 1
x x x x
x x x
3 2
2 3
2 1 1 3 2 3 2 1
x x
x x x x x
2
3 3
2
2 1 1 3 2 3 2
x x x
Tac có:
1 3
2
lim
2 1 1 3 2 3 2
x x x x
Do
3
1
2
lim
1
x
x x
x .
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức
3
2
1
x x
x x1 ta thấy máy báo lỗi
Math Error Quay lại tính giá trị biểu thức x0,99999999 x1, 00000001 ta kết quả:
Do chọn đáp án B tức
3
1
2
lim
1
x
x x
x .
STUDY TIP
Cho
3
0
A x B x
f x
x x (chứa hai khác bậc) A x 0 B x 0 m ta biến
đổi sau:
3
0
A x m m B x
f x
x x .
Ví dụ 5. Tính giới hạn
3
2
6
lim
1
x
x x
x
(62)A. B 2. C D .
Lời giải
Cách 1: Đặt t x 1 x t 1, limx1t0
3
2
6
1
x x
x
3
2
6 1t 1t t
3
2
6 1t 1t 1t 1t
t t
3 2
2
2
2 3
6 12 4
2
6
t t t t t t t
t t t
t t t t t
2 2
3
8 12
2
6
t
t t
t t t t
Vậy
3
2
6
lim
1 x
x x
x
3 2 2
8 12
lim
2
6
t
t
t t
t t t t
Mà
2
0 3 3
8 12 12
lim
3
t
t
t t t t
;
4
lim
2
2
t t t
Vậy
3
2
6
lim 2
1
x
x x
x
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức
3
2
6
1
x x
x
x0,9999999
1, 0000001
x ta kết quả:
Do chọn đáp án B
Lưu ý:
(63)Do vượt giới hạn tính tốn máy Do khơng thử lại với cá trị lớn ta chọn đáp án A
ở có nhiều vấn đề cần phân tích thêm Nếu làm ví dụ ta biến đổi
3
2
6
1
x x
x
3
2
6 1
1
x x
x x
nhân liên hợp để thu
3
2
6
1
x x
x
2 3
2 3
6 4 6
1 6 1
x x x
x x x x
- Ta thấy giới hạn thu cịn dạng vơ định
0
0 nên tiếp tục phải khử dạng vô
định Mà việc khử phức tạp biểu thức thu cồng kềnh Để giải khó khăn ta thấy lời giải trình bày trên, ta tiến hành đổi biến mẫu gọn lại không thêm bớt tử thức mà thêm bớt nhị thức 1t Vậy sở để tìm nhị thức đó?
Ta mong muốn sau thêm bớt tử thức với lượng A t tách thành hai phân thức để nhân liên hợp tử thức xuất nhân tử t2 để giản ước với t2 mẫu
3
2 2
6
6 1 1
t A t A t t
t t
t t t .
Vậy ta phải có
2 4 1
A t t kt A t2 kt24 1t k 4
và
2
2
A t t A t t
- Ở nhiều toán giới hạn, ta thấy việc sử dụng MTCT nhanh giải thông thường Tuy nhiên khuyến nghị độc giả nên nắm vững phương pháp giải thơng thường (theo hình thức tự luận), nhiều tập khơng đơn tính giới hạn mà người đề hỏi nhiều hình thức khác nhau, đặc biệt có nhiều cách đề hạn chế việc sử dụng MTCT để tìm đáp án
STUDY TIP
Trong nhiều toán, khơng nên tính giá trị hàm số điểm mà nên tính lại số
điểm từ lớn đến nhỏ từ hai phía trái, phải x 0
Ví dụ 6. Giới hạn hàm số
2
3
2
1
x a x a
f x
x x1 bằng
A.
a
B 3
a
C
2 a
D
2 a
(64)
Cách 1:
2
3
2
lim
1 x
x a x a
x
1
1
lim
1
x
x x a
x x x
1
1 lim
1
x
x a a
x x
Cách 2: (Đặc biệt hóa để sử dụng MTCT) Cho a giá trị bất kì, chẳng hạn a1, thì
2
3
3
x x
f x
x Dùng MTCT ta tìm
2
3
3
lim
1 3
x
x x a
x .
Vậy chọn đáp án A
Giải thích: phương trình
2 2 1 0
x a x a
có tổng hệ số nên ta có nghiệm 1, nghiệm cịn lại a1 Do ta phân tích được
2 2 1 1 1
x a x a x x a
STUDY TIP
Nếu đa thức có tổng hệ số đa thức có nghiệm
Nếu đa thức có tổng hệ số lũy thừa bậc chẵn tổng hệ số lũy thừa bậc lẻ đa thức có nghiệm 1.
Ví dụ 7. Giả sử
1
lim
x
ax
L
x Hệ số a để L3 ?
A. 6 B 6 C 12. D 12.
Lời giải
Cách 1: Ta có
1
lim x
ax x
0
lim
2 1
x
ax
x ax
limx 02 1 1
a a
ax
Vậy 4
a L
Do 3 4 3 12
a
L a
Đáp án D
Cách 2: Sử dụng MTCT tìm
1
lim
x
ax
x với a 6 , , 12, 12 Ta thấy với
12
a
1
lim
x
ax
x Vậy chọn đáp án D.
STUDY TIP
Một kĩ thuật giải toán trắc nghiệm thử đáp án chọn đáp án thỏa mãn yêu cầu toán
2 Các toán liên quan đến giới hạn đặc biệt
(65)Đó
sin
lim
x
x x
Sau ta xét số ví dụ áp dụng kết
Ví dụ 8: Cho a b số thực khác Khi
lim sin
x
ax bx
A a B b C
a
b . D
b
a .
Lời giải Đáp án C.
Cách 1: Ta có 0
lim lim lim
sin sin sin
x x x
ax bx a a bx
bx bx b b bx
Đổi biến t bx ta thấy x 0 t 0 Do limx 0sin limx 0sin
bx t
bx t
Vậy
lim sin
x
ax a
bx b
Cách 2: Cho a b giá trị cụ thể, chẳng hạn a2,b3
Sử dụng MTCT tìm giới hạn
2 lim
sin
x
x x
ta kết
2
3, tức
a
b .
Vậy chọn C
STUDY TIP
0
sin
lim lim
sin
x x
x x
x x
0
sin ( )
lim
( )
x
A x A x
, với điều kiện lim ( ) 0x0A x
Ví dụ 9: Cho số thực a khác Khi
2
0
lim
1 cos
x
x ax
A
2
a . B
2
a . C 2a2
D 2a
Lời giải Đáp án A
Cách 1: Ta có:
2 2
2
2
2 2
0 2 2
2 2
2 2
lim lim lim lim
1 cos 2sin sin sin
2 2
x x x x
ax ax
x x
ax ax ax
ax a a a a
(66)Cách 2: Cho a giá trị cụ thể, chẳng hạn a 2 (không nên lấy a 1, giá trị
2
2
a
2
a nhau) Sử dụng MTCT tính giới hạn
2
0
lim
1 cos
x
x x
ta kết
1
2, tức
2
a Vậy chọn đáp án A.
STUDY TIP
0
sin
lim
k
k x
A x A x
điều kiện lim ( ) 0x0A x
Ví dụ 10:
sin sin
lim
x a
x a
x a
bằng
A tan a B cot a C sin a D cos a
Lời giải Đáp án D
Cách 1: Ta có
2cos sin sin
sin sin 2 2 2
lim lim lim cos
2
2
x a x a x a
x a x a x a
x a x a
x a x a
x a
Mà
sin
lim
2
x a
x a
x a
(xem STUDY TIP trên),
lim cos cos
2
x a
x a
a
Vậy
sin sin
lim cos
x a
x a
a x a
Do chọn đáp án D.
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giới hạn
sin sin1
lim
1
x
x x
(ứng với a 1).
So sánh kết với tan1,cot1,sin1,cos1 ta
sin sin1
lim cos1
1
x
x x
.
Vậy chọn đáp án D 3 Đọc thêm
Ví dụ 11: Cho a b số nguyên dương
1 lim
sin
ax
x
e bx
Tích ab nhận giá trị số số đây?
(67)Đáp án D
Ta có 0
1
lim lim 1.1
sin sin
ax ax
x x
e e bx a a a
bx ax bx b b b
Vậy để
1 lim
sin
ax
x
e bx
5
a
b Vì a b số nguyên dương nên suy ra
5 ,
a k b k với k nguyên dương Do ab 15k2
.
+ 15k2 15 k2 1 k 1 ab 15 + 15k2 60 k2 4 k 2 ab60 + 15k2 240 k2 16 k 4 ab240 Vậy ba đáp án Do chọn đáp án D
STUDY TIP
Ngồi giới hạn
sin
lim
x
x x
, Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao chương 2, cịn giới thiệu thêm giới hạn:
0
0
1
lim 1,
ln
lim
x
x
x
e x
x x
Ví dụ 12: Cho hàm số
3
ln 1
k
x f x
x
, k số nguyên dương Tìm tất giá trị
của k để f x có giới hạn hữu hạn x dần tới
A k,k3 B k,0k3 C k,k 3 D k,0k3 Lời giải
Đáp án D
Cách 1: Ta có
3 3
3
0
ln 1 ln 1 1
lim k lim k
x x
x x
x x x
Mà
3
3
ln 1
lim
x
x x
nên để f x có giới hạn hữu hạn x dần tới hàm số
1
k
g x
x
phải có giới hạn hữu hạn x dần tới Muốn k 0 k3 Vì k
nguyên dương nên đáp án D
Cách 2: Sử dụng MTTCT tìm giới hạn k 3, ta
3
3
ln 1
lim
x
x x
(68)Vậy ta xét đáp án C D Chẳng hạn với đáp án C, ta sử dụng MTCT tìm giới hạn
4
k Ta
3
3
ln 1
lim
x
x x
Do loại đáp án C.Vậy đáp án D *** Trong chương trình lớp 12 học khái niệm bậc n.
Định nghĩa
Cho số thực b số nguyên dương n n 2 Số a gọi bậc n số b
n
a b
Với n chẵn và:
0
b
: Không tồn tạo bậc n b.
b
: Có bậc n b số 0.
b
: Có hai trái dấu, kí hiệu giá trị dương nb , giá trị âm nb
Sau ta xét vài ví dụ liên quan đến bậc n STUDY TIP n
n
a b a b
-Mọi số thực có bậc lẻ có bậc lẻ - Chỉ có số khơng âm có bậc chẵn
Số có bậc chẵn
Các số dương có hai bậc chẵn đối
Ví dụ 13: Cho a số thực khác n số nguyên dương, n 2 Chọn khẳng định khẳng định sau
A
1
limn
x
ax a
x n
B
1
lim n
x
ax n
x a
C
1 1
limn
x
ax
x n
D
1 1
lim n
x
ax
x a
Lời giải Đáp án A.
Cách 1: Sử dụng MTCT tìm giới hạn với n 5 a 3, ta kết
0
1 3
lim
5
x
x x
đáp án A
Cách 2: Đổi biến đặt
1
1
n n
n t
t ax t ax x
a
Ta có x t 1
1 1
1
n
n n n n n
ax t t a
a a
x t t t t t t t t
1
lim
n n
x
a a
t t t n
1
lim n
x
ax a
x n
(69)STUDY TIP
0
1
limn
x
ax a
x n
1
n n n n n n
a b a b a a b ab b
1
n n n
a a a a a
Ví dụ 14: Biết
3
4
1 19
lim
8
x
x x a
b x
a
b phân số tối giản, a b số nguyên
dương
Tổng a b bằng
A 137 B 138 C 139 D 140
Lời giải Đáp án C.
Với dạng này, khó sử dụng MTCT để tìm đáp án
Đặt t x Suy x t 8 limx8t 0
3
3
4
4
3
4
3
1 19 27 9 27
8 16
2
16
1 1
9 27
3
1
16
t t
x x t t
x t t
t t
t t g t
t
t
Do
3
4
8
1 19
lim lim ( )
8
x t
x x
g t x
Áp dụng ví dụ 13 Ta có:
3
0 0
1 1
1 1 1 1 1 1
9 27 27 16 16
lim ;lim ;lim
2 18 81 64
t t t
t t t
t t t
Vậy
1
3 18 81 112
lim ( )
1
2 27
64
t g t
Do
3
4
1 19 112
lim
27
x
x x
x
(70)*** Tính giới hạn vơ định dạng
0
0 đạo hàm (Quy tắc L’Hôpital).
STUDY TIP *Quy tắc L’Hôpital
0
0
0
' ( )
lim lim
( )
x x x x
f x f x
g x g x
Trong f x g x xác định khoảng a b; , x0a b;
0
lim lim
x x f x x x g x (Hoặc x xlim 0 f x limx x 0g x )
Và
0
' lim
'
x x
f x g x
tồn
Trước đọc phần xin đọc chương đạo hàm chương trình lớp 11
Ví dụ 15: Ta xét lại ví dụ nêu
Cho số thực a khác Khi
2
0
lim
1 cos
x
x ax
A
2
a . B
2
a . C 2a2
D 2a
Lời giải Đáp án A
Ngoài hai lời giải nêu ta cách áp dụng Quy tắc L’Hopital sau:
2
0 0
2 2
lim lim lim
1 cos sin cos
x x x
x x
ax a ax a ax a
Ở ta áp dụng Quy tắc L’Hopital lần Cách sử dụng Quy tắc hữu dụng giải tốn trắc nghiệm Tuy nhiên khơng áp dụng Quy tắc cho toán tự luận Quy tắc L’Hopital khơng trình bày chương trình THPT
STUDY TIP Có thể áp dụng quy tắc L’Hopital nhiều lần để tính giới hạn
Đề nghị: Độc giả vận dụng quy tắc L’Hopital để giải ví dụ nêu dạng tập dạng trắc nghiệm Nếu tập dạng tự luận em cần trình bày chi tiết theo phương pháp nêu Riêng A B, ta giải tự luận sau:
2
1 1
lim lim lim
1 ( 1)( 1)
x x x
x x
x x x x
5 ( 5)( 5)
lim lim lim ( 5)
5
x x x
x x x
x
x x
(71)Ví dụ 2: Giới hạn
3 3 1
lim x x x x
bằng:
A 0 B
3
2 C D
Đáp án D
Cách 1: Theo kết nêu
3
2
3 1
lim lim
5 2
x x x x x x
Cách 2: Sử dụng MTCT
Bổ sung: Nếu tốn tự luận ‘Tìm
3 3 1
lim x x x x
” ta có hai cách giải sau:
Cách 1: Ta có
2
3 3 1
lim lim
5
5 2
x x
x
x x x
x x Mà
lim ( )
x x x ;
5
lim ( 2)
x x nên theo qui tắc 2,
2
3 3 1
lim lim
5
5 2
x x
x
x x x
x x
Cách : Ta có
3 2 3
3 1 lim lim 5 x x
x x x x
x x x
Mà 3
3
lim (1 ) 1; lim ( )
x x x x x x và
3
5
lim
x x x
với x 0 nên theo qui tắc 2,
3 2 3
3 1 lim lim 5 x x
x x x x
x x x STUDY TIP
k a lim k
x ax
Chẵn + +
- -
Lẻ + -
- +
Ví dụ : Trong giới hạn sau, giới hạn ?
A
5
3
7 lim
2
x
x x
x x
B
2 3 lim x x x x C 3 lim x x x x x
D
(72)Lời giải
Cách : Theo cách ghi kết
5 3
2
3 2
7 1
lim lim ; lim lim ;
2 4
x x x x
x x x x
x x
x x x
3
4
3
3
lim lim ; lim lim ;
1 5
x x x x
x x x x
x x
x x x x
Cách : sử dụng MTCT tính giới hạn
Khi đến C thấy
3
3
3
lim lim
1
x x
x x
x x x
nên dừng lại chọn đáp án C
Ví dụ : Giới hạn
2
4
lim
1
x
x x
x
:
A 2 B -2 C 1 D -1
Đáp án B
Lời giải :
Cách :
2 2 2 2
1 1 1
4 4
4
lim lim lim lim
1
1 1 1
x x x x
x x
x x x x x x x x
x x x
x
Vậy chọn đáp án B
Cách : Sử dụng MTCT
Ví dụ : Giới hạn
2 4 1
lim
2
x
x x x
x
:
A
B
2 C D
Đáp án B
Lời giải :
Cách : Theo ví dụ trình bày dạng
2
lim ( 1)
x x x x
(73)2 2
2
1
1
4
lim lim
2 3
1 1
1 4
1
lim lim
3
2 2
x x
x x
x x
x x x x x
x x
x x
x x x x
x
x
Vậy đáp án B
Cách : Sử dụng máy tính tính giá trị hàm số x1010 ta kết hình bên Vậy chọn đáp án B
Cách : Ta giải phương pháp loại trừ sau :
Vì
2
lim ( 1) ; lim (2 3)
x x x x x x nên giới hạn cần tìm phải mang dấu
dương Mặt khác bậc tử bậc mẫu nên giới hạn cần tìm hữu hạn Đáp án cần tìm đáp án B
STUDY TIP
Ví dụ : Biết
2 lim
3
x
x a
x
x x b
a, b số nguyên dương Giá trị nhỏ tích ab :
A 6 B 12 C 18 D 24
Đáp án C
Lời giải :
Ta có :
3
3
2
lim lim
3 3
x x
x x x
x
x x x x
Vậy
6
a
b Dễ dàng suy tích ab 18.
Chú ý : Nếu sử dụng MTCT tính giá trị hàm số x 1010 ta thu kết hình bên Do đó, khơng có kiến thưc giới hạn hàm số, khó tìm đáp án dùng MTCT Ngược lại có kiến thức vững vàng, bạn đọc nhanh chóng tìm đáp án, chí chớp mắt ! Vì vậy, tơi xin nhắc lại, tơi khuyến nghị bạn đọc nên giải tập theo kiểu tự luận cách để đối mặt với toán ‘’chống MTCT’’
STUDY TIP
Dạng : Dạng vô định 0.
Bài tốn : Tính giới hạn
lim [ ( ) ( )]
x x u x v x
lim [ ( )]
x x u x
lim [v( )]
(74)Phương pháp : Ta biến đổi
0
( ) lim [u(x)v( )] lim
1 ( )
x x x x
u x x
v x
để đưa dạng 0
0
( ) lim [u(x)v( )] lim
1 ( )
x x x x
u x x
v x
để đưa dạng
Tuy nhiên, nhiều tập, ta cần biến đổi đơn giản đưa biểu thức vào trong/ dâu căn, quy đồng mẫu thức … Là đưa dạng quen thuộc
Ví dụ : Giới hạn
1 lim ( 1)
1
x x x
:
A 0 B -1 C 1 D
Đáp án B
Phân tích : Ta có 0
1
lim ; lim ( 1)
x x x x
nên chưa áp dụng định lí, qui tắc để tính giới hạn
Lời giải :
Cách : Ta có 0 0
1 1 ( 1)
lim ( 1) lim lim lim
1 ( 1) ( 1)
x x x x
x x
x x x x x x x
Cách : Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số 0,00000001 ta kết hình bên Do
đó chọn đáp án B, tức
1
lim ( 1)
1
x x x
STUDY TIP
Ví dụ : Giới hạn 2
lim ( 2)
4
x
x x
x
:
A B C 0 D 1
Đáp án C
Phân tích : Vì 2 lim ( 2) 0; lim
4
x x
x x
x
nên chưa áp dụng định lý qui tắc để tính giới hạn
Lời giải :
Cách : Với x 2 ta có :
2
2
( 2) ( 2)
( 2)
4
x x x x x
x
x x x
Do 2
( 2)
lim ( 2) lim
4
x x
x x x
x
x x
(75)Ví dụ 3: Giới hạn lim ( 1)
5
x
x x
x x
bằng:
A 2
B 10
C 5
D
Đáp án B
Phân tích: Ví dụ tương tự nghiên cứu phần dạng vô định
Tuy nhiên
3
2
lim ( 1) ; lim
5
x x
x x
x x
nên giới hạn coi dạng
0.
Lời giải
Cách 1: Với x 1 ta có x 1 nên
2
1 ( 1)
x x
Do
2
3
2 ( 1) (2 1) 10
lim ( 1) lim
5 5
x x
x x x
x
x x x x
Vậy chọn đáp án B
Cách 2: Sử dụng MTCT Tính giá trị hàm số x1010 ta kết hình bên So sánh đáp số A, B, C, D ta chọn đáp án B.
STUDY TIP
Ta quan tâm đến lũy thừa bậc cao x3 Hệ số x2
2
(x 1)
là do2 x12 x22x1
Hệ số x 2x + nên hệ số x3 tử 22 Ở không thiết phải khai triển tích thành đa thức để tìm hệ số x3
Ví dụ 4: Giới hạn
1 lim (xsin )
x x
A 0 B 1 C D Khơng tồn
Đáp án B
Phân tích: Vì lim
x x
nên
1 lim sin
x x
Ta có dạng 0. Lời giải sau : Lời giải :
Cách : Ta có :
1 sin
lim ( sin ) lim
x x
x x
x
x
(76)Đặt t
x
lim
x t
1 sint
lim ( sin ) lim
x x x x t
Cách 2: Sử dụng MTCT ( Lưu ý chuyến máy chế độ Radian) STUDY TIP
Ở ví dụ ta chuyển dạng 0. thành
0 ta liên tưởng đến giới hạn đặc biệt
sinx
lim
x x
Ví dụ 5: Giới hạn
lim ( ) anx
2 x
x t
A 1 B 0 C D Không tồn
Đáp án A
Phân tích: 2
sinx
lim ( ) 0; lim anx= lim
2 cos
x x x
x t
x
nên ta có dạng 0. Lời giải :
Cách : Đặt t x
, lim
2 x
x t t
sin( )
( ) tan tan( ) t cos
2 cos( ) sin
2
t t
x x t t t
t t
Do
2
lim ( ) t anx= lim
2 t o sin
x
t
x cost
t
Cách : Sử dụng MTCT
STUDY TIP
2
lim anx=+ ; lim anx=+
x x
t t
Lưu ý để tránh nhầm lẫn hai giới hạn Dạng : Dạng
Bài toán : Tính
lim [ ( ) ( )]
xx u x v x
lim ( )
xx u x
limv( )
x x x
Hoặc tính
0
lim [ ( ) ( )]
x x u x v x
lim ( )
x x u x
limv( )
xx x
Phương pháp : Nhân chia với biểu thức liên hợp (nếu có thức) qui đồng để đưa phân thức ( chứa nhiều phân thức)
Ví dụ : Giới hạn
2
lim
x x x x
(77)A
1
2 B
1
4 C D
Đáp án A
Lời giải :
Cách 1:
Phân tích: Ta thấy
2
lim ; lim
x x x x x
nên thuộc dạng Tương tự giới hạn dãy số, ta nhân chia với biểu thưc liên hợp Lời giải cụ thể sau:
Ta có:
2
2
2
1
1
lim lim lim
2
1
1 1 1
x x x
x x
x x x
x x x
x x
Cách 2: Sử dụng MTCT
Ví dụ 2: Giới hạn
2
lim
x x x x
A
2
3 B
2
C
1
6 D
1
Đáp án D
Lời giải:
Phân tích: Ta có
2
lim ; lim (3 )
x x x x x
nên thuộc dạng vô
định (mặc dù biểu thức hàm số lấy giới hạn có hạng tổng) Ta tiến hành nhân chia
với biểu thức liên hợp Lời giải cụ thể sau:
Ta có:
2
2
1
lim lim lim
1
9 9 3
x x
x x x
x x x x x
x x
2
1
1 1 1
lim
3 1
9
x
x
x x
Vậy chọn đáp án D.
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số x 1010 ta kết hình bên Sử
dụng ki thuật tìm dạng phân số số thập phân vơ hạn tuần hồn ta
1 0,1
6
(78) Studytip:
Ví dụ Giới hạn
3
2
lim
x x x x x bằng:
A 13
24 B
7
12 C
13 24
D 12
Lời giải
Cách 1: Phân tích:
Vì
3
2
lim ; lim
x x x x x x nên dạng vô định Tuy
nhiên hiệu hai thức không bậc nên ta chưa thể nhâ chia với biểu thức liên
hợp ln Nhận thấy x 0 4x2 38x3 2x nên ta thêm bớt 2x nhân chia liên hợp
Với x : 0
3
2 2
4x 3x 8x 2x 1 4x 3x 2x 2x 8x 2x 1
2
2
3
3
1
4 2
4 8
x x
x x x
x x x x
Do
3
2
lim
x x x x x
2
2
3
3
1
3
lim
2 4 12
3 2 1 2 1
4 2 8 8
x
x
x x x x x
Do chọn B.
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số x 1010 ta kết hình bên Sử
dụng ki thuật tìm dạng phân số số thập phân vô hạn tuần hoàn ta
7
0,58
12
(xem lại phần giới hạn dãy số) Vậy chọn đáp án D.
(79)Lưu ý: Ta xem lại Ví dụ trình bày dạng sau:
Ví dụ Giới hạn hàm số
2 4 1
f x x x x x bằng:
A B C 1 D 3
Phân tích: Ví dụ thuộc dạng lại dạng vô định Bằng
định lí quy tắc, ta tính giới hạn hàm số mà khơng cần phải nhân chia với biểu thức liên hợp Ta xem cách giải cho tiết
Lời giải
2 2
2
1 1
4 1 4
x x x x x x x
x x x x
2
1
1
x
x x
Ta có xlim x và
2
1
lim
x x x
Vậy
2
2
1
lim lim
x x x x x x x x
Studytip:
Cũng nhưng xác định, vô định? Khi phải nhân chia liên hợp,
khi đưa xn đặt nhân tử chung Ví dụ 4? Để có câu trả lời mời quý độc giả đọc lại phần giới hạn dãy số có chứa
Ví dụ Trong giới hạn sau giới hạn hữu hạn:
A
2
lim 4
x x x x B
2
lim
x x x x
C
2
lim
x x x x D
2
lim
x x x x
Lời giải
Cách 1: Với kết biết phần giới hạn dãy số có chứa căn, ta thấy đáp án D. Thật vậy:
2
lim 4 ; lim lim 4
(80)
2
lim ; lim lim
x x x x x x x x x
2
2
1
lim lim
x x x x x x x x
do
2
1
lim ; lim 2
x x x x x
2
2
2
3
lim lim lim
2
3 1 1
x x x
x x
x x x
x x x
x x
Cách 2: Sử dụng MTCT để tìm giới hạn.
Ví dụ Giới hạn 2
1
lim
4
x x x
bằng:
A B C 3 D 2
Lời giải
Cách 1: Vì 2
1
lim ; lim
4
x x x x
nên ta có dạng
Theo phương pháp nêu từ đầu, ta quy đồng mẫu số phân thức
Ta có
2
2 2
1 1 1
lim lim lim
4 2 2 2
x x x
x
x x x x x x x
Vì
2
1
lim 0, lim
2
x x
x
x x
x với 2 x nên theo quy tắc 2,2
2
2
1 1
lim lim
4 2
x x
x
x x x x
Do chọn B
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số x 2,00000001 ta kết hình bên
Do chọn đáp án B, tức 2
1
lim
4
x x x
(81)Ví dụ Cho a b số thực khác Tìm hệ thức liên hệ a b để giới hạn:
2
2
lim
6
x
a b
x x x x
hữu hạn:
A a 4b0 B a 3b0 C a 2b0 D a b 0
Lời giải
Cách 1: Ta có
2 6 8 5 6 2 4 2 3
a b a b
x x x x x x x x
3
2 4
a x b x g x
x x x x x x
Ta có xlim2x 2 0; limx2x 31; limx2x 4 2; limx2 g x 2b a
Do xlim2g x 0 2b a 0
giới hạn cần tìm vơ cực theo quy tắc
Từ chọn đáp án C
(Thật vậy, xlim2 g x 2b a
thì
2
2
6 4
a b bx b b
x x x x x x x x x
Và 2 2
lim lim
6
x x
a b b b
x x x x x x
Cách 2: Sử dụng MTCT Với đáp án, lấy giá trị cụ thể a b , thay vào hàm số tính giới hạn
Từ chọn đáp án C.
C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
DẠNG BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁCH SỦ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÍ, QUY TẮC.
Câu 1: Tìm tất giá trị tham số thực m để B với 7
3
1
lim
x
B x x m m
A m 1 m 3 B m 1 m 3 C 1 m3 D 1m3
Câu 2: Cho hàm số
2 1
1
2
x
khi x
f x x
x khi x
Khi limx 1 f x
bằng:
(82)Câu 3: Trong hầm số sau, hàm số có giới hạn điểm x 1?
A
1 f x
x
B
1 g x
x
C 1 h x
x
D
1 t x x
Câu 4: Chọn khẳng định
A
1
lim cos
x x
B
1
lim cos
x x
C
1
lim cos
x x
D
1 lim cos
x x
không tồn
Câu 5: Trong giới hạn sau, giới hạn ?
A
3
lim
x x x x B
4
lim
x x x
C
2
lim
x x x D
5
lim
x x x
Câu 6: Trong giới hạn sau, giới hạn ?
A
2
lim 4
x x x x B
2
lim 4
x x x x
C
2
lim 4
x x x x D
2
lim 4
x x x x
Câu 7: Trong giới hạn sau, giới hạn ?
A
2 lim x x x
B 1
1 lim 5 x x x
C
3 lim x x x
D
3 2 lim x x x
Câu 8: Trong giới hạn sau, giới hạn vô cực?
A 2 lim x x x x x
B
3 2 2 lim x x x x x
C
2
4
9
lim
2
x x x x x D lim x x x x x
Câu 9: Trong giới hạn sau, giới hạn vô cực?
A
3
lim
5
x x x x
B
3
0 lim x x x
C lim x
x x x
x x
D 3
5
lim
4
x x x
Câu 10: Tìm tất giá trị tham số thực m cho hàm số
2
9
f x mx x x
(83)A m 3 B m 3 C m 0 D m 0
DẠNG GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG
0
Câu 11: Giới hạn
3 lim
2
x
x x
A Bằng B Bằng 3 C Bằng 0 D không tồn tại
Câu 12: Cho a số thực khác Kết
4
lim
x a
x a
x a
bằng:
A 3a3 B 2a3 C a3 D 4a3
Câu 13: Cho
2
2
1
lim ,
1
x
x mx m
C m
x
tham số thực Tìm m để C 2
A m 2 B m 2 C m 1 D m 1
Câu 14: Cho a b số thực khác Nếu
2
2
lim
2
x
x ax b x
a b bằng:
A 2 B 4 C 6 D 8
Câu 15: Cho a b số thực khác Giới hạn
1
lim sin x
ax bx
bằng:
A 2
a
b B
a b
C 2a
b D
2a
b
Câu 16: Cho a b, , c số thực khác 0,3b 2c0 Tìm hệ thức liên hệ a b c, , để:
3
tan
lim
2
1
x
ax
bx cx
A
1
3 10
a
b c B
1
3
a
b c C
1
3 2
a
b c D
1
3 12
a b c
Câu 17: Cho m n số nguyên dương phân biệt Giới hạn
1
sin lim m n
x
x
x x
bằng:
A m n B n m C
1
m n D
1
n m
Câu 18: Để tính giới hạn
5
lim ,
1 x
x x
x
bạn Bính trình bày giải sau:
(84)1 1
5 1
lim lim lim
1 1
x x x
x x x x
x x x
Bước 2:
1 1
5
5 5
lim lim lim
1 5
x x x
x x
x x x x
Bước 3:
1 1
2
2 1
lim lim lim
1 1 1
x x x
x x
x x x x
Bước 4:
5
lim
1 2
x x x x
Hỏi lời giải bạn Bính mắc lỗi sai bước nào?
A Bước B Bước C Bước D Bước
Câu 19: Biết
3
2
8 11
lim
3
x
x x m
x x n
m
n phân số tối giản, m n số nguyên
dương Tổng 2m n bằng:
A 68 B 69 C 70 D 71
Câu 20: Biết
3
2
6 27 54
lim ,
3 18
x
x x m
n
x x x
m
n phân số tối giản, m n số nguyên
dương Khi 3m n bằng:
A 55 B 56 C 57 D 58
Câu 21: Giới hạn
3
2
3
lim x x x x bằng:
A B C 0 D 1
Câu 22: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn 0?
A
1 lim x x x
B
2 2 lim x x x x
C
2 lim x x x x x D
2 2 lim x x x x x
Câu 23: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn khác 0?
A 2 lim x x x x
B
2 lim x x x x
2 3 2
lim x x
3 1
(85)Câu 24: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn không tồn tại? A 2 lim 11 18 x x x x
B
3
0 27 lim x x x C lim x x x x
D 2
2 lim x x x x x
Câu 25: Trong giới hạn sau đây, giới hạn không hữu hạn?
A 2 10 lim x x x x B 2 lim x x x x x
C 2
2 lim x x x
D
1 lim x x x
DẠNG 3: GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG
Câu 26: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn 1?
A 1 lim x x x B 2 3 lim x x x x x
C
2 lim x x x x D 2 lim x x x x x
Câu 27: Trong giới hạn hữu hạn sau đây, giới hạn lớn nhất?
A
3
3
1
lim
1
x
x x x
x x B 2
2
lim
2
x
x x x
x x x
C 2
1
lim
3
x
x x x
x x D
3
lim
2
x
x x
x x x
Câu 28: Trong giới hạn sau đây, giới hạn ?
A 2 lim x x x x B lim x x x x C 2 lim x x x x x
D
2 lim x x x x x
Câu 20. Tính giới hạn
2
2
2 lim
4
x
x x x
x x . A.
2 B.
2
3 C.
2 D.
Câu 21. Cho a b c, , số thực khác Tìm hệ thức liên hệ a b c, , để
2
9
lim
1
x
ax b x cx . A a b c . B a b c . C a b c D a b c
Câu 22. Cho a b tham số thực Biết
2
4
lim 0,
1
x
x x
ax b a
cx
b thỏa mãn
hệ thức hệ thức ?
(86)Câu 23. Trong giới hạn sau , giới hạn ? A 2 lim x x x x x
. B
2 5 2
lim x x x x . C 11 lim x x x x x
. D
3 2 1
lim x x x x
Câu 24. Tìm giới hạn nhỏ giới hạn hữu hạn sau
A lim x x x
. B
2 2 lim x x x x x .
C xlim 2
x x
x x
D
2 lim x x x x
Câu 25. Trong giới hạn hữu hạn sau , giới hạn lớn nhất?
A
2
3
2 lim x x x x x
. B
2
2
lim x x x x x .
C
4
3
2 lim
1
x x x x x
D
3 lim x x x x
Câu 26. Trong giới hạn hữu hạn sau , giới hạn nhỏ nhất?
A
2 2
lim
3
x
x x x
x
. B
lim
1 x x x x . C
2 4 1
lim
2
x
x x x
x
. D
4
5
3
lim
9
x x x x x
DẠNG 4: Giới hạn vô định dạng 0.
Câu 27. Cho a số thực dương Tính giới hạn
2
1 1
lim
x a x a x a
A. a
B. C. D. không tồn
Câu 28. Trong giới hạn sau , giới hạn hữu hạn ?
A
3 lim x x x x x
. B
3 lim 1 x x x x .
C
1 lim x x x x x
. D
2 lim x x x x x
Câu 29. Trong giới hạn hữu hạn sau , giới hạn nhỏ nhất?
A
2 lim x x x x x
. B
3 11 lim
(87)C
3
2
lim
1
x
x x
x
. D
1 lim
5
x
x x
x x
Câu 30. Tính giới hạn
2 3
lim
x
x x
x
x x
A.
1
2 B. C. D
Câu 31. Tính giới hạn
lim tan tan
x
x x
A. B. C.
1
2 D
1 DẠNG 5: Dạng vô định
Câu 32. Cho n số nguyên dương Tính giới hạn
1 lim
1 n
x
n
x x
A. n
B.
1 n
C.
1 n
D
2 n
Câu 33. Cho hàm số
1
1
1
2
khi x
f x x x
mx khi x
Với giá trị mthì hàm số f x có giới hạn điểm x 1
A. B. -1 C. D 3
Câu 34. Tìm tất giá trị tham số thực k cho giới hạn
1
lim( )
1
x
k
x x
hữu hạn A. k 2 B k 2 C. k 2 D. k 2 Câu 35. Trong giới hạn sau đây, giới hạn 1?
A
2
lim ( )
x x x x . B
2
lim ( )
x x x x .
C
2
lim( )
x
x x x
D
2
lim ( )
x x x x
Câu 36. Giới hạn
2
lim ( 5+ax) = +
x x x
A. a 1 B. a 1 C. a 1 D. a 1
Câu 37. Cho a b số thực khác Biết
2
lim ( 2)
x ax x bx , tổng a b
A. B. 6 C. D. 5
Câu 38. Cho a b số thực khác Biết
2
lim (ax+b- 2)
x x x số lớn hai số
a b số số đây?
(88)Câu 39. Trong giới hạn đây, giới hạn vô cực?
A
2
lim ( 2 3)
x x x x . B
2
lim ( )
x x x x .
C
2
lim ( )
x x x x D
2
lim ( 3 )
x x x x
Câu 40. Biết
3
2
lim ( 27 5)
x
m
x x x x
n
m
n phân số tối giản, m n
số nguyên dương Tìm bội số chung nhỏ m n
A. 135 B. 136 C. 138 D. 140
Câu 41. Cho a b số nguyên dương Biết
3
2
lim ( + ax 27 5)
27
x x x bx , hỏi a b
thỏa mãn hệ thức đây?
A. a2b33. B. a2b34. C. a2b35. D. a2b36.
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
DẠNG 1: Bài tập tính giới hạn cách sử dụng định nghĩa, định lý, qui tắc.
Câu Đáp án B.
Cách 1: Ta có lim
2
2
1
x x m m m m
B
x .
Do B7 m2 2m47 m1 hay m3. Cách 2: Sử dụng MTCT tính B m4 m0 Khi m4 B12 7, xét A B
Khi m0 B4 7, A sai B đúng.
Câu Đáp án D.
Cách 1: Ta có x
x x
f
x
x
1 lim
) ( lim
2
1
1 .
Vì lim 1 2; lim11
1
x x x
x 1 x0;x1
nên theo quy tắc 2:
x
x x
f
x
x
1 lim
) ( lim
2
1
1 .
Cách 2: Ta có x
x x
f
x
x
1 lim
) ( lim
2
1
1
(89)Vậy chọn D
Câu Đáp án A.
Vì limx1 x1 0, x 10,x1nên
1 lim ) ( lim
1 f x x x x
Giải thích thêm:
+ Hàm số
1 ) (
x x g
xác định khoảng 1; nên không tồn giới hạn bên trái
x , khơng tồn giới hạn x1.
+ Hàm số x
x h
1 ) (
xác định khoảng ;1 nên không tồn giới hạn bên phải
x , khơng tồn giới hạn x1.
+ Vì lim1 10
x
x , x 10,x1,x10,x1
nên
lim ( ) lim
x x
t x
x
1
1
1 , xlim ( ) xlim
t x
x
1
1
1
Vậy
lim ( ) lim ( )
x x
t x t x
1 nên không tồn xlim ( )
t x
1 .
Câu Đáp án D.
Xét dãy số x với n 2 1
1
n xn
Ta có xn 0và
cos
lim cos
lim n
xn (1).
Lại xét dãy số y với n n
xn
2
Ta có yn 0và
2 cos
lim cos
lim n
yn (2)
Từ (1) (2) suy x x cos lim
0
không tồn tại.
Câu Đáp án C.
Cách 1: Ta có lim(5 1)
3 x x
x
x , lim(2 3 1) x
x
x ;
(4 2)
lim x2 x3
x ; lim(3 2)
5
x x
x .
(90)Câu Đáp án D. Cách 1: Ta có
+ xlim 4x 4x32x
, xlim 4x 4x3 2x + 4 lim 4
lim 2
x x x x x x x x
Do lim 4 3 x
x x
x .
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giới hạn tìm giới hạn . Câu Đáp án C.
Cách 1: Ta có lim 6
2
3
x
x ; lim393 0
x
x 93x0,x3.
Vậy theo quy tắc 2,
x
x
x
6 lim
2
3
Tương tự:
x
x
x 5
2 lim
1 ;
2 lim x x x ; 1 lim x x x
Do đáp án C ( Thật ta cần tính đến C chọn đáp án đúng)
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giới hạn tìm giới hạn .
Câu Đáp án B.
Cách 1: Các hàm số A, C, D xác định điểm điểm tính giới hạn Do đáp án B
Thật vậy, ta tính MTCT:
2
2 6 lim x x x x x
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giới hạn tìm giới hạn vô cực.
Câu 9. Đáp án C
Cách 1: Ta có lim ( ) 2
2 )
(
x x x
x ; ) ( lim ) (
x x
x ; (x4 x)x(x3 1)0,x1.
Vậy
x x
x x x x ) ( lim Bổ sung: +
4)
2 ( lim ) (
lim 2
x x x x x x x x nên lim
x x x
x
(91)+
12 8 lim( 6 12) 12
lim lim 2 3
0
x x x
x x x x x x x x .
+
5 lim ) (
lim 3 2
x x x x x
x
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giới hạn tìm giới hạn vơ cực.
Câu 10. Đáp án A
Cách 1: Sử dụng MTCT tính tốn m3 ta kết
1 ) ( lim
x x x
x
Vậy ta xét đáp án A D.
Lại sử dụng MTCT tính tốn m1 ta kết lim( 1) x
x x
x Vậy
loại đáp án D Do đáp án A.
Cách 2: lim ( ) lim( 1)
2
f x x mx x x
x .
+ Nếu m0thì lim ( )lim( 1) x x mx x f x x .
+ Nếu m0thì
lim lim
x mx x x x x m x x
2
9
Ta thấy m3thì lim
x m x x
2
3
9
lim( 1) x
x mx
x
Ngược lại m3
1 ) ( lim
x x x
x
Vậy đáp án A.
DẠNG 2: Giới hạn vô định dạng 0
0
.
Câu 11. Đáp án D.
Ta có 2 lim lim ) ( ) ( x x x x x
x
2 lim lim ) ( ) ( x x x x x x .
Vậy
6 lim lim ) ( ) ( x x x x x
x nên
6 lim x x x
không tồn
Câu 12. Đáp án D.
Cách 1: Ta có
3 2 3 2 4 ) ( lim ) )( ( lim
lim x xa x a a a
a x a xa a x x a x a x a x a x a x a
x
.
Cách 2: Cho a giá trị cụ thể tính giới hạn máy tính cầm tay Chẳng han với
2
a ta có
4
3
2
lim 32 4.2
2 x a x x
Do chọn đáp án D.
(92)Cách 1: 2 1 lim ) )( ( ) )( ( lim 1 lim 1 2 m x m x x x m x x x m mx x C x x x
Vậy C 2 m2.
Cách 2: Thay giá trị m vào, tìm C gặp kết C2thì dừng lại
Câu 14. Đáp án C
Đặt g(x)x2 axb Rõ ràng ( )g 0thì
) ( lim x x g
x khơng thể hữu hạn Do điều
kiện ( )g2 0 2a b 4
Khi ( ) ( 2)( 2)
b x x x
g
lim( 2) 2
) ( lim 2 b b x x x g x
x .
Vậy 2
) ( lim
2
b a a b
b x
x g
x Câu 15. Đáp án B.
Cách 1: xlim sin lim(x sin )
ax ax bx
bx x bx b
0
1 1 1
.
Mà limx sin ;
ax a bx 1
2 lim0sinbx 1
bx
x nên sin ;
1 lim b a bx b ax x
Cách 2: Cho a b giá trị cụ thể, thay vào tính giới han Chẳng hạn với a b1, sử
dụng MTCT ta tính
1 1
lim sin x x x
Từ chọn đáp án B
Câu 16. Đáp án D.
Cách 1: 3
tan tan
1 x 1 x 1 1
ax ax x
a ax
b c bx cx
Lại có 0
tan sin a
lim lim( )
cosax x x ax x ax ax
1 x x
lim
x
b c
x
0
1 x 1 x
lim( ) x b c x x
2
b c b c
Vậy
tan 6a
lim
3
1 x x
x ax b c b c
Do hệ thức liên hệ , ,a b c là
6a 1
3 2 12
a b c b c
Cách 2: Sử dụng MTCT Với đáp án, chọn giá trị cụ thể , ,a b c thỏa mãn hệ thức rồi
thay vào để tính giới hạn Nếu giới hạn tìm
2 đáp án Chẳng hạn, với đáp án A, chọn a1;b4;c , sử dụng MTCT tính được1
3
tan
lim
5
1
x
x
x x
(93)Vậy A đáp án
Tương tự B C đáp án Vậy đáp án D
Câu 17. Đáp án C.
Cách 1: Ta có
n( 1) sin(x-1) 1
m n m n
si x x
x x x x x
Mà lim1
m n
x
x x
m n x
;
n( 1)
lim
1
x
si x x
nên
n( 1) lim m n
x
si x
x x m n
Cách 2: Cho m n giá trị cụ thể, thay vào sử dụng MTCT tính giới hạn Chẳng hạn với
3;
m n ta tính 1
n( 1) 1
lim
2
x
si x
x x m n
.
Vậy đáp án C
Câu 18. Đáp án A.
Vì ta chưa thể biết giới hạn
5x lim
1
x x
;
2x lim
1
x x
có hữu hạn hay không
nên chưa thể viết được:
5x 2x lim
1
x x
5x lim
1
x x
2x lim
1
x x
Do lời giải mắc lỗi sai bước
Ta sửa lại sau:
Bước 1: Ta có
5x 2x lim
1
x x
5x 2x 1
lim( )
1
x x x
Câu 19. Đáp án A.
Ta có
3
2
8x 11 x+7 3x x
3
2
8x 11
3x 3x
x
x x
2 3
2
( 2)( 1)( 3) ( 2)( 1)( (8x 11) 11 9)
x x
x x x
x x
2 3
8
( 1)( 3) (x 1)( (8x 11) 11 9) x x
Ta có 3
8
lim
27 ( 1)( (8x 11) 11 9)
x x
;
1
lim
6 ( 1)( 3)
(94)Do
3
2
8x 11 x+7 lim
3x 27 54
x x
Vậy m7;n54và 2m n 68
Câu 20. Đáp án C.
Ta có
3
2
6x 27x-54 (x 3)(x 3x-18)
3
2
6x 27x-54 (x 3) (x 6)
Sử dụng MTCT ta tính được:
3
2
6x 27x-54 lim
( 3)
x x
;
1
lim
6
x x
nên
3
2
6x 27x-54 lim
( 3)( 3x-18) 54
x x x
Vậy 3m n 57.
Giải tự luận: Đặt t x 3thì limx3t0và
2
6x 27x-54 (x 3)
3
2
6t 27t+27 t
3
2
6t (t 3) (t 3) 27t 27
t t
( )
( )
tt t
tt t tt tt t
t
tt tt tt
2
2 2 3 3 2
2 3 3 2
9
6 3 3 27 27 27 27
1
6 3 3 27 27 27 27
Ta có
lim ; lim
( )
tt
t
tt tt tt
2
0
1
6
6 3 3 27 27 27 27
Vậy
lim
x
x x
x
3
2
6 27 54 1
6
(95)Mặt khác xlim x
3
1
6 nên
lim
x
x x
x x x
3
2 2
3
6 27 54
54
3 18
Lưu ý: Nếu sử dụng MTCT tính giá trị hàm số x 3 00000001 , x 2 99999999 ta , thu kết máy báo lỗi ( tùy theo loại máy) Điều vượt q khả tính tốn máy Ta thay đổi tính giá trị hàm số x 2 99999 ta kết , sau
Kết hiển thị máy khó để ta tìm giới hạn xác hàm số Tuy nhiên phân tích kĩ chút biến đổi lời giải ta tìm đáp án MTCT
Câu 1: Đáp án A
Bài tập có dạng tương tự tập Bằng MTCT, khơng khó để tìm đáp án là A. Tuy nhiên giải tự luận có số vấn đề cần bàn Đặt t x
, lim
x
x t
1
1
x x tt tt
tt t
x
3 3
2 2
3 5 1
1
tt
tt2 tt2 t
3
3 1 1 5 1 5 1
tt t
tt tt
2
3
2
3
3 5 1
3 1 5
Ta có
lim
t
tt t
tt tt
2
3
2
0 3
3 5 1
3 1 5
Vậy
lim
x
x x
x
2
3
(96)Ta thấy sau đổi biến cho gọn, ta thêm bớt tử với hàng số tách thành hai phân thức nhân chia liên hợp mà không thêm bớt đa thức Vậy thêm bớt số, thêm bớt với đa thức? Quý độc giả nghiên cứu kĩ hai tập tự rút nhận xét
Câu 2: Đáp án D
Ta có
lim lim lim
x x x
x x x x x x
x x x x x
2
2 2
3 2
2 2
6 3 2 3 2
0
2
Câu 3: Đáp án C
lim lim lim lim
x x x x
x x
x x x x x x
x x
x x x
2 2
2
1 1
1
3 3
1
2 1
lim x x
2
Câu 4: Đáp án C
Ta có
lim lim
x x
x x x x
x x
2
0
3 3
2 2 xlim xlim
x x x x
x x
2
0
3 3
2 2
Vậy
lim lim
x x
x x x x
x x
2 4
0
3
2 nên xlim
x x x
2 không tồn tại.
Câu 5: Đáp án B
lim lim lim
x x x
x x
x x x
x
x x x
2
3 3
1
4
3
6 3
Dạng 3: Giới hạn vô định dạng
Câu 6: Đáp án B
+ xlim ;
x x 1
1 +xlim ;
x x x x 2 3 1 + lim ; x x x x
2 0
5 +xlim ;
x x x x 2 2
Câu 7: Đáp án C
lim
x
x x x
x x 3
1
5 lim x
x x x
x x x
2
2
0
(97)+
lim
x
x x x
x x 2
1 2
3 + lim x x x
x x x
3 3
2
2
Câu 8: Đáp án B
+xlim
x x x 2
3 +xlim
x x x 1 + lim x x x x x 2
5 +xlim
x x x x
Câu 9: Đáp án C
lim lim lim
x x x
x x
x x x x x
x x x x
x x x 2 2 2
1 3
2 3
2
1
4 4 2 4 1
Câu 10: Đáp án C
Ta có
lim lim lim
x x x
ax bx a b
ax b x x x a b
cx cx c
c x
2 22 22
9
1
1
Do xlim
ax b x a b
cx c
9 5 5
1
Câu 11: Đáp án A
lim lim
x x
x x
ax b x ax b
x x
4 4 5 11
2
Do
lim ;
x
x x
ax b a b a b
x
4 0 4 5 9
2
Câu 12: Đáp án D
+ lim x x x x x 2
2 + xlim xlim
x x x x
x x
2 5 2 5 2
1 2 . + lim x x x x x 11
2 +xlim
x x x
3 2 1
1
(98)+
lim lim
x x x x x x x 6 3 2
3 Ta có
lim lim
x x
x x x x
x x x x
2 3 2
2 1
8
8
+ lim x x x x x
2 2
+
lim lim
x x
x x
x x x
x x 2
2 3
2
5 1
Câu 14: Đáp án B
+ lim x x x x x 3
2 2
3
3
+
lim lim
x x
x x
x x x
x x x x
2 2
2 1
2 2
5
5
+
lim lim
x x
x x
x x x x
x 2
3
1
1 1
Câu 15: Đáp án A
+
lim lim
x x
x x
x x x x
x x
2 2 1 1
4
3 4
+ lim lim x x x x x x x x 3
1 2
1 (do x , x
1
2 ).
+ lim x x x x x 5
3 2
3
9
Dạng 4: Giới hạn vô định dạng 0 .
Câu 16: Đáp án D
a x
(99)Do
lim lim ;
xa x a x a x a ax x a
1 1
lim lim ;
x a x a x a x a ax x a
1 1
Vậy
lim lim
xa x a x a x a x a x a
1 1 1
nên
lim
x a x a x a
1 1
không tồn Cách 2: Cho a giá trị cụ thể, chẳng hạn a 1 thay vào hàm số sử dụng MTCT để tính , giới hạn Từ ta tìm đáp án D.
Câu 17: Đáp án C
+
lim lim
x x
x x x
x
x x x x
3
4
1
2
+
lim lim
x x x x x x x x 2 3 1 +
lim lim
x x
x x
x x
x x x x
3 1 +
lim lim
x x
x x x
x
x x x x
2
4
1
2
Câu 18: Đáp án B
+
lim lim
x x
x x
x x
x x x x
3
2 1
2
1
2
+
lim lim
x x x x x x x x 2
3 11 11
1 2
1
+
lim lim lim
x x x
x x x
x x x x x x x
x x x
x
3 2
2
1 1 1
1 1
1
+
lim lim
x x
x x
x x
x x x x
3
1
1
2
5
5
Câu 19: Đáp án A
(100)Cách 2: Đặt tx
x t, limx t
1 0
tt tt
x x tt
x
x x tt t
3
2 2
1 1
2 3
t
tt tt tt
2 3
1
1 1 1 3 1 3
Do
lim lim
x t
x x t
x
x x tt
tt tt 2
0 3 3
2 3
1 1 1 3 1 3
Câu 20: Đáp án C
Cách 1: Sử dụng MTCT
Cách 2: Đặt π t x
4 thì
, lim
π x π x tt 4 và
tan2xtan π x tan2 π tt tantt tan π tan
4
cott an cos sin sin cos
sin cos sin cos
tt tt t
tt
tt tt t
2 2
2
2 2 .
Do đó:
sin cos
lim tan tan lim
sin cos
π t
x
π tt t
x x tt t
4
2
2
4 2
Dạng 5: Dạng vô định
Câu 21: Đáp án B
Cách 1: Sử dụng MTCT tính giới hạn với giá trị cụ thể n rooif so sánh với đáp án
Chẳng hạn n 3 ta có
lim
x x x
1 1 1 Cách 2:
n n
n n n
n x x x
n x x x
x
x x x
2 2 1
1
1 1
1
1 1
n n
x x x x x x
x x x
2 2
2
1 1
(101)Lưu ý:
lim
n x
n n
x x
1
1
1
1
Câu 22: Đáp án B
Theo câu 41, ta có
lim lim lim
x x x
f x
x x x x
1 1
1 3 1
1 1 1
Lại có
lim lim
x x
f x mx m
1 2 Để f x có giới hạn điểm x 1 thì
lim lim
x x
f x f x m m
1 1
Câu 23: Đáp án A
Ta có
k x k
x x x
2 2
1
1 1 1 Mà limx1x 1 k 2 k; limx1x2 1 0 nên để
lim
x
k
x x
1
1
1 1 hữu hạn điều kiện cần 2 k 0 k2.
Thật vậy,
, x
k
x x x x
2 2
1 1
2
1 1 1 Nên limx limx
k
x x x
1
1 1
1 1
Lưu ý: lim
n x
k
x x
1
1
1 1 hữu hạn k n .
Câu 24: Đáp án B
Cách 1: Sử dụng MTCT tính giới hạn Đến ý B ta giới hạn 1 Vậy đáp
án B.
Cách 2: Ta thấy A C giới hạn vô cực, B D dạng vô định Ta xét giới hạn ý B.
lim
x
x
x x x
x x
2 2 1
2
1
Vậy đáp án B. Bổ sung:
+
lim
x x x x
2 2
+
lim
x x x x
2 2
+
lim lim lim
x x x
x
x x x
x x x
x
2
2
2
2
2
2 1 1
(102)Cách 1: Sử dụng MTCT tính giới hạn a1va`a0, ta
lim ; lim
x x x x x x x
2 3 5 3 5
2 Từ suy đáp án D
Cách 2:
lim lim
x x x ax x x a x x
2
2
3
3
Vì x lim nên để
lim
x x x ax
2 3 5
a 0 a1
Câu 26: Đáp án D
Ta có
lim lim
x x
b
ax x bx x a
x x
2
2
2
2
Do a 1 thì
lim
x ax x bx
2 2
Vậy a 1 Khi đó
lim lim
x x
bx b
x x bx
x x bx
2
2
2
2
Vậy:
b
b 3 6
2 Do a b 5
Câu 27: Đáp án C
lim lim
x ax b x x x x a x x b
2
2
6
6
Do a 1
lim
x ax b x x
2 6 2
Vậy a 1 Khi ta có
lim lim
x x
x
x b x x b b b
x x x
2
2
6
6
2
Vậy: b b2 DO số lớn hai số a b số Chọn đáp án C.
Câu 28: Đáp án C
Cả bốn giới hạn có dạng , nhiên có giới hạn ý C, hệ số hai số hạng
khác nhau.Theo kết biết giới hạn ý C chắn Do đáp án C,
(103)lim lim lim
x x x
x x
x x x
x x x x
x x
2
2
3
2
4 2
1
2 2 2
lim lim lim
x x x
x x
x x x
x x x x
x x
2
2
2
1 1
4
4 1
4 4 2
lim lim
x x x x x x x x
2
2
3
9
lim lim lim
x x x
x x
x x x
x x x x
x x
2
2
2
1 5 5
3
6
1
3 3 3
Câu 29: Đáp án A
Cách 1: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số x 1010 ta kết
Áp dụng kĩ thuật tìm dạng phân số số thập phân vơ hạn tuần hồn ta có , 185
27 Vậy
m n
5 27
Từ chọn đáp án A.
Cách 2:
x x x x x x x x x x
3
2 2
9 27 27
x x
x x x x x x x x x
2
2 3 2 3 3 2 2
3
2
9 27 4 5 3 27 4 5 9
Suy
lim
x x x x x
3
2 2
9 27
6 9 27
Từ chọn đáp án A.
Câu 30: Đáp án B
Làm tương tự câu 49, ta có:
lim
x
a b b a
x ax x bx
3
2 2
9 27
(104)Do 9b a14 Suy a số chẵn Vậy a b 2 số chẵn Từ loại đáp án A C
Giải hệ
a b
b a
2 34 14
a2;b16
Giải hệ
a b
b a
2 36 14
a 11
5 (loại) Vậy B đáp án
HÀM SỐ LIÊN TỤC A LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa Định nghĩa 1
Cho hàm số yf x xác định khoảng a b, x0a b; Hàm số yf x gọi
là liên tục x0
lim
x x f x f x
0
Hàm số yf x không liên tục x0 gọi gián đoạn điểm đó.
STUDY TIP
Khi xét tính liên tục hàm số điểm, đặc biệt lưu ý đến điều kiện hàm số xác định khoảng (dù nhỏ) chứa điểm
Định nghĩa 2
Hàm số yf x gọi liên tục một khoảng liên tục điểm khoảng
Hàm số yf x gọi liên tục một đoạn a b, liên tục khoảng a b;
và
lim ; lim
x a x b
f x f a f x f
Khái niệm liên tục hàm số nửa khoảng a b; , ;a b , ;a , ;b định nghĩa cách tương tự
STUDY TIP
Đồ thị hàm số liên tục khoảng “đường liền” khoảng
(105)a O b x O b x
Đồ thị hàm số liên tục khoảng
a b;
Đồ thị hàm số không liên tục khoảng
a b;
Định lý 2
Giả sử yf x yg x hai hàm số liên tục điểm x Khi đó:o
a) Các hàm số yf x g x y , f x g x y , f x g x liên tục điểm xo
b) Hàm số
f x y
g x
liên tục điểm x o g x 0
STUDY TIP
Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm (trong trường hợp thương, giá trị mẫu điểm phải khác 0)
2 Một số định lí bản Định lí 1
a) Hàm số đa thức liên tục toàn tập số thực
b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương hai đa thức), hàm số lượng giác, hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số logarit liên tục khoảng tập xác định chúng
(Các hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số logarit học chương trình lớp 12) STUDY TIP
Các hàm số sơ cấp liên tục khoảng xác định chúng
Định lí 3
Nếu hàm số yf x liên tục đoạn a b; f a f b tồn điểm ;
c a b
cho f c Nói cách khác:
Nếu hàm số yf x liên tục đoạn a b; f a f b phương trình f x
có nghiệm nằm khoảng a b; STUDY TIP
Một phương pháp chứng minh phương trình f x có nghiệm khoảng a b; :
(106)- Chứng minh f a f b
B CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC DẠNG XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Phương pháp chung:
Cho hàm số yf x xác định khoảng a b; x0a b; Để xét tính liên tục hàm
số yf x x ta làm sau:0
- Tính f x 0 ;
- Tính lim
xx f x
- Nếu 0 lim
xx f x f x kết luận hàm số liên tục x 0
- Nếu lim
xx f x không tồn 0 lim
xx f x f x thì kết luận hàm số không liên tục tại
0
x
Khi xét tính liên tục hàm số tập, ta sử dụng Định lí 1, Định lí nêu phần Lí thuyết
Câu 48: Hàm số yf x có đồ thị gián đoạn điểm có hồnh độ bao nhiêu?
A. B. C. D.
Đáp án B.
Lời giải
Quan sát đồ thị ta thấy limx 1 f x 3; limx 1 f x
Vậy limx 1 f x limx 1 f x
nên limx1 f x
khơng tồn Do hàm số gián đoạn điểm x 1
Câu 49: Cho hàm số
2
2
1 5x x f x
x
Hàm số f x liên tục khoảng sau đây?
(107)Lời giải
Hàm số có dạng phân thức hữu tỉ xác định tập hợp D ; 3 3; 2 2;
nên theo Định lí 1, hàm số liên tục khoảng ; ; 3; ; 2; Vì
2;3 2;
nên đáp án B.
STUDY TIP
Các hàm số sơ cấp liên tục khoảng tập xác định chúng
Câu 50: Cho hàm số
2
3
x f x
x x
Chọn khẳng định khẳng định sau:
A. f x liên tục .
B. f x liên tục khoảng ;1 1;
C f x liên tục khoảng ;2 2;
D f x liên tục khoảng ;1 , 1;2 2; Đáp án D.
Lời giải
f x
hàm phân thức hữu tỉ, có tập xác định ;1 1;2 2; nên theo Định lí 1,
f x
liên tục khoảng ;1 , 1; 2 2; STUDY TIP
Thật rút gọn ta
2
1
x f x
x x x
khơng mà kết luận f x
trên khoảng ;1 1;
Chú ý: Không rút gọn biểu thức hàm số trước tìm tập xác định!
Câu 51: Cho hàm số
x x
f x
x
Chọn khẳng định sai khẳng định sau?
A. f x liên tục x 7 B. f x liên tục x 0
C. f x liên tục 5; D. f x liên tục 5; Đáp án B.
Lời giải
Hàm số f x xác định D 5; 0 Theo định lí 1, f x liên tục 5;
(108)Thật vậy, khơng tồn khoảng a b; chứa điểm x mà 0 f x xác định a b;
nên khơng thể xét tính liên tục f x x Do khơng thể khẳng định 0 f x liên tục x 0
Câu 52: Cho hàm số
3 1
x x
f x
x x
Chọn khẳng định khẳng định sau.
A. f x liên tục . B. f x liên tục ; 1.
C. f x liên tục 1; D. f x liên tục x 1 Đáp án C.
Lời giải
Trên 1;,
2 1
f x x
nên theo định lí 1, f x liên tục 1; Vậy chọn đáp án C
Giải thích thêm:
Ta có xlim 1 f x xlim 3 1 x 2
,
1
lim lim
x f x x x
Vậy xlim 1 xlim 1
nên x lim 1 khơng tồn tại.
Do f x không liên tục x nên 1 A, D sai
Mặt khác
2
1 1
f
Vậy xlim 1 f 1
nên f x không liên tục ; 1 Do B sai
Câu 53: Cho hàm số
3 8
2
1 x=2 x
x
f x x
mx
Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số liên tục x 2
A.
17
m
B.
15
m
C.
13
m
D.
11
m
Đáp án D.
Lời giải
f x
xác định .
Ta có f 2 2m1
3
2
2 2
8
lim lim lim 12
2
x x x
x
f x x x
x
.
(109)Để f x liên tục x 2
11
lim 2 12
2
x f x f m m
Câu 54: Chon hàm số
2
3
3.
khi x
x
f x x
m x
Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số liên tục x 3
A. m B. m C. m 1 D. m 1
Đáp án A.
Lời giải
Hàm số cho xác định .
Ta có
2
3 3 3
3 3
lim lim lim lim lim 1
3 3
x x x x x
x x x
f x
x x x
.
Tương tự ta có limx3 f x 1
.(có thể dùng MTCT để tính giới hạn hàm số)
Vậy limx 3 f x xlim3 f x
nên limx3 f x không tồn Vậy với m , hàm số cho không
liên tục x 3 Do đáp án A.
Ta tam khảo thêm đồ thị hàm số x để hiểu rõ hơn.3
Câu 55: Cho a b số thực khác Tìm hệ thức liên hệ a b để hàm số
2
1
4 ax
x
f x x
x b x
liên tục x 0
A. a5b. B. a10b. C. a b D. a2b. Đáp án B.
(110)Cách 1: Theo kết biết
1
lim lim
2
x x
ax a
f x
x
Mặt khác f 0 5b Để hàm
số cho liên tục x 0 limx 0 10 a
f x f b a b
Vậy đáp án B.
Cách 2: Sử dụng MTCT Chọn giá trị cụ thể a b thỏa mãn hệ thức tính
tốn kết limx0 f x f 0 Chẳng hạn với hệ thức đáp án A, chọn
5;
a b ta tìm
5 1
lim ;
2
x
x
f x
nên không thỏa mãn Với hệ thức đáp
án B, chọn a10;b1 ta
10 1
lim 5;
x
x
f x
nên thỏa mãn limx0 f x f 0
Do đáp án B
STUDY TIP
0
1 limn
x
ax a
x n
Câu 56: Cho hàm số
2
2
2
x x
f x x
x
x mx m
Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số liên tục .
A. m 3 B. m 4 C. m 5 D. m 6
Đáp án C.
Lời giải
Cách 1: Hàm số xác định , liên tục khoảng 2; .
Ta có f 2 3; limx2 f x xlim2 2x 3 3
Nếu m 6 2
1
lim lim
12 20
x x
x f x
x x
nên hàm số không liên tục x 2
Nếu m ta có 6 2
1
lim lim
2
x x
x f x
x mx m m
.
Để hàm số liên tục x 2
3
3
6 m m m .
Với m 5 x , 2
1
10 17
x f x
x x
liên tục ;2.
Tóm lại với m hàm số cho liên tục 5 .
(111)Ta có f 2 3; limx2 f x xlim2 2x 3 3
Thử giá trị từ A dến C thấy m thỏa mãn 5 xlim2 f x
Do chọn đáp án C
DẠNG CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM
Phương pháp chung:
Một phương pháp chứng minh phương trình f x có nghiệm khoảng a b; :
- Chứng minh hàm số yf x liên tục đoạn a b; - Chứng minh f a f b
- Từ kết luận phương trình f x có nghiệm khoảng a b;
Để chứng minh phương trình f x 0 có nghiệm ta cần tìm hai số a b cho
hàm số liên tục đoạn a b; f a f b
Ví dụ 1. Cho hàm số f x xác định đoạn a b; Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?
A. Nếu hàm số f x liên tục đoạna b; f a f b phương trình f x
khơng có nghiệm khoảnga b;
B. Nếu f a f b phương trình f x có nghiệm khoảng a b;
C. Nếu phương trình f x có nghiệm khoảng a b; hàm số yf x phải liên
tục khoảng a b;
D. Nếu hàm số yf x liên tục, tăng đoạn a b; f a f b phương trình
f x
khơng thể có nghiệm khoảng a b; Đáp án D.
Lời giải
A sai Chẳng hạn xét hàm số
2 5
f x x
Hàm số xác định đoạn 3;3 liên tục
trên đó, đồng thời f 3 f 4.4 16 0 lại có hai nghiệm x1 5;x2 thuộc
vào khoảng 3;3
(112)C sai Chẳng hạn xét hàm số
1 x x
f x
x x
Hàm số xác định đoạn 3;3 ,
có nghiệm x thuộc vào khoảng 1 3;3 gián đoạn điểm x 0 3;3, tức
không liên tục 3;3 Vậy D Thật vậy:
- Vì hàm số yf x liên tục, tăng đoạn a b; nên giá trị nhỏ hàm số
đoạn a b; f a , giá trị lớn hàm số đoạn a b; f b
- Nếu f a giá trị nhỏ hàm số đoạn a b; số dương nên
khơng có giá trị x khoảng a b; làm cho f x Do
đó phương trình f x khơng thể có nghiệm khoảng a b;
+ Nếu f a 0, f a f b nên suy f b Vậy giá trị lớn hàm số đoạn
a b;
số âm nên khơng có giá trị x khoảng a b; làm cho f x Do phương
trình f x khơng thể có nghiệm khoảng a b;
Câu 57: Cho phương trình
3 0 1
x ax bx c
a b c, , tham số thực Chọn khẳng định khẳng định sau
A. Phương trình 1 vơ nghiệm với a b c, ,
B. Phương trình 1 có nghiệm với a b c, ,
C. Phương trình 1 có hai nghiệm với a b c, ,
D. Phương trình 1 có ba nghiệm với a b c, , Lời giải Đáp án B.
Dễ thấy a b c phương trình 1 trở thành x3 0 x0. Vậy A, C, D sai Do B
đúng
Giải thích thêm: Xét tốn “Chứng minh phương trình
3 0 1
x ax bx c
ln
có nghiệm với a b c, , ” Ta có lời giải cụ thể sau: Đặt
3 .
f x x ax bx c
(113)+
3
lim
x x ax bx c với a b c, , nên tồn giá trị x x cho f x 1
+
3
lim
x x ax bx c với a b c, , nên tồn giá trị x x cho f x 2
Vậy f x 1 f x 2 0 mà f x liên tục nên suy f x 0 có nghiệm
trên khoảng x x1; 2 Từ suy ĐPCM.
STUDY TIP
Phương trình đa thức bậc lẻ 2 2 0
n n
n n
a x a x a x a
a2 1n ln có ít0
nhất nghiệm với giá trị a ii, 2n1,0
Câu 58: Tìm tất giá trị tham số thực m để phương trình:
2
3
m m x x
có nghiệm
A. m 1; 2 B. m C. m \ 1;2 D. m Lời giải
Đáp án B.
Nếu m2 3m 2 0: Phương trình cho trở thành
1
3
3
x x
Nếu m2 3m 2 0: theo STUDY TIP vừa nêu phương trình cho ln có nghiệm.
Tóm lại với m phương trình cho ln có nghiệm Do B đúng.
Câu 59: Cho phương trình
4 3 0 1
8
x x x
Chọn khẳng định đúng:
A. Phương trình 1 có nghiệm khoảng 1;3
B. Phương trình 1 có hai nghiệm khoảng 1;3
C. Phương trình 1 có ba nghiệm khoảng 1;3
D. Phương trình 1 có bốn nghiệm khoảng 1;3 Lời giải
Đáp án D.
Cách 1: Sử dụng chức Table MTCT:
4
3 ,
8
f X X X X
(114)Quan sát kết ta thấy giá trị f x điểm khoảng 1;3 đổi dấu lần Mà
phương trình bậc có tối đa nghiệm thực Vậy phương trình 1 có bốn nghiệm
khoảng 1;3 Do D đáp án
Cách 2: Sử dụng chức Shift Calc (Solve) MTCT để tìm nghiệm xáp xỉ phương
trình khoảng 1;3 Tuy nhiên cách tiềm ẩn nhiều may rủi cách sử dụng chức Table
STUDY TIP
Nếu f x liên tục đoạn a b; f x đổi dấu x từ a qua b phương trình
f x
có nghiệm khoảng a b;
Câu 60: Cho phương trình
4
2x 5x x 1
Chọn khẳng định khẳng định sau:
A. Phương trình 1 khơng có nghiệm khoảng 1;1
B. Phương trình 1 khơng có nghiệm khoảng 2;0
C. Phương trình 1 có nghiệm khoảng 2;1
D. Phương trình 1 có hai nghiệm khoảng 0;2 Lời giải
Đáp án D.
Cách 1: Sử dụng chức Table MTCT:
4
2 1,
f X X X X
Start: 2, End:
(115)Quan sát kết ta thấy khoảng 1;1 phương trình có hai nghiệm, khoảng
2;0
phương trình có hai nghiệm, khoảng 2;1 phương trình có ba
nghiệm, khoảng 0;2 phương trình có hai nghiệm Vậy D đáp án C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Câu 1. Cho hàm số yf x có đồ thị hình đây:
Chọn khẳng định đúng:
A. Hàm số liên tục B. Hàm số liên tục ;4 .
C. Hàm số liên tục 1; D. Hàm số liên tục 1; 4
(116)
2
2
3
,
1
,
4
,
7 x
x x
f x x
x
x
x x
Chọn khẳng định đúng:
A. f x liên tục x không liên tục 6 x 1
B. f x liên tục x 6 x 1
C. f x không liên tục x liên tục 6 x 1
D. f x liên tục x 6 x 1
Câu 3. Cho hàm số
4 4
0
3
x x
khi x
f x x
m khi x
Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm
số liên tục x 0
A Khơng có giá trị m thỏa mãn. B m 5
C m 1 D m 1;5
Câu 4. Cho a b số thực khác Tìm hệ thức liên hệ a b để hàm số sau liên tục tại
x
3
1 1
0
ax bx
khi x
f x x
a b khi x
A.a b B 2a b 0 . C 3a4b 0 D 3a2b 0
Câu 5. Cho hàm số
3
3
1
1
3
khi x
x x
f x
m x m khi x
Tìm tất giá trị tham số thực m để
hàm số liên tục
(117)Câu 6. Cho hàm số
3
6
3
2
x a
khi x
f x x
x b x x
Trong a b tham số thực Biết
hàm số liên tục x Số nhỏ hai số a b là3
A 2 B 3 C 4 D 5
Câu 7. Cho hàm số
2
sin
cos
x khi x
f x x
a x khi x
Tìm tất giá trị tham số thực a để
hàm số liên tục
A a 5 B a 7
C 11
2
a
D Khơng có giá trị a thỏa mãn.
Câu 8. Cho phương trình
4
4x 2x x 0
Chọn khẳng định đúng:
A. Phương trình 1 vơ nghiệm khoảng 1;1
B. Phương trình 1 có nghiệm khoảng 1;1
C. Phương trình 1 có hai nghiệm khoảng 1;1
D. Phương trình 1 có hai nghiệm khoảng 1;1
Câu 9. Tìm tất giá trị tham số thực m cho phương trình
2 5 4 2 1 0
m m x x
có nghiệm
A m \ 1;4 B m ;1 4;
C m 1; 4 D m
Câu 10. Tìm tất giá trị tham số thực m cho phương trình sau có nghiệm
2m2 5m 2x 12017x2018 2 2x 3 0.
A
1 \ ;
2 m
B
1
; 2;
2
m
.
C
1 ; 2 m
D m
D HƯỚNG DẪN GIẢI
(118)Rõ ràng hàm số không liên tục x 1 x Do đáp án D.4
Câu 43. Đáp án A.
Hàm số cho liên tục khoảng ;1 1; Do hàm số liên tục x Ta 6 có
+
3
lim lim ;
1
x x
x f x
x
+
2
2
1
1
lim lim
7
x x
x f x
x x
Vậy limx1 f x không tồn nên hàm số không liên tục x Do đáp án A.1
Câu 44. Đáp án A.
Ta có
2
4
2
4
4
4
x khi x
x x
x x
x x x khi x
Do xlim0 f x 2; limx 0 f x
(có thể dùng MTCT để tìm giới hạn bên)
Vậy hàm số khơng có giới hạn x nên khơng liên tục 0 x Vậy khơng có giá trị 0 của m để hàm số liên tục x Đáp án A.0
Câu 45. Đáp án C.
Theo kết biết
3
0
1 1
lim
2
x
ax bx a b
x
Để hàm số liên tục x 0 3
a b
a b a b
Vậy C đáp án
Nếu sử dụng MTCT, với hệ thức ta chọn giá trị a b thỏa mãn hệ thức, thay
vào hàm số tính f 0 limx0 f x Nếu limx0 f x f 0 hệ thức
Câu 46. Đáp án B.
Hàm số cho xác định , liên tục khoảng ;1 1;
Theo kết biết
3
lim lim
1
x f x x x x
(Có thể dùng MTCT để tìm giới hạn trên)
Mặt khác
3
1
lim lim 3 3
(119)Để hàm số liên tục hàm số phải liên tục tại
3
1 3
x m m m m m m 2. (Sử dụng chức giải
phương trình bậc MTCT) Vậy đáp án B
Câu 47. Đáp án B.
3 27 2
f b
Đặt g x x 6 a Ta có g 3 3 a
Ta thấy g 3 0 a
3
lim lim
1
x x
g x f x
x
nên hàm số liên tục x 3
Nếu a 3
6
lim lim
3
x x
x f x
x
Hàm số liên tục
2 35
3 lim 27
3
x
x f x f b b
Vậy a 3
35
b
Số nhỏ a 3 Do đáp án B
Lưu ý: Để giải phương trình
2
27
3
b
ta làm sau:
+ Nhập vào hình
2
27
3
X
+ Bấm SHIFT CALC (SOLVE), máy báo SOLVE FOR X nhập 1=
Máy hiển thị kết
+ Bấm 3.Qs=, máy hiển thị kết
Vậy phương trình có nghiệm
35
b
Câu 48. Đáp án A.
(120)Ta có xlim0 f x xlim0acosx 5 a 5f 0
Ta có với
2
: sin
x x x
x Suy
2
lim lim sin
x f x x x x
Hàm số cho liên tục hàm số liên tục x 0 a 0 a Vậy đáp án A
Câu 49. Đáp án D.
Sử dụng chức TABLE MTCT với
+
4
4
f X X X X
+ Start: 1; End: 1; Step: 0,1
Ta thấy giá trị f x điểm đổi dấu hai lần Suy f x xót hai nghiệm
khoảng 1;1 Vậy đáp án D
Câu 50. Đáp án A.
+ Nếu
2 5 4 0 1; 4
m m m
phương trình cho trở thành 2x 2 Đây phương trình vơ nghiệm
+ Nếu m2 5m 0 theo kết biết, phương trình ln có nghiệm.
Vậy để phương trình cho có nghiệm m \ 1;4
Câu 51. Đáp án D.
+ Nếu 2m2 5m 2 0 phương trình cho trở thành
3
2
2
x x
(121)