Tuyển chọn 10 bài giảng hàm số lớp 12 có đáp án chi tiết dành cho giáo viên và học sinh

Tìm m để (C m ) có điểm cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.. 52 Bài giảng đƣợc cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên s[r]

(1)

1 Bài giảng đƣợc cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân

BÀI GIẢNG SỐ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho hàm số y f x( ) khoảng ( ; )a b

Tính chất 1: Hàm số y f x( )trên khoảng ( ; )a b được gọi là: i) Đồng biến f x'( )0  x ( ; )a b

ii) Nghịch biến f x'( )0  x ( ; )a b

Tính chất 2: Hàm số y f x( )trên khoảng ( ; )a b gọi là:

i) Đồng biến f x'( )0  x ( ; )a b , f x( )0 hữu hạn điểm thuộc khoảng ( ; )a b

ii) Nghịch biến f x'( )0  x ( ; )a b f x( )0 hữu hạn điểm thuộc khoảng ( ; )a b

Nhận xét: Trong tốn tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu thường dùng tính chất để áp dụng

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y f x( ) Phƣơng pháp:

Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2: Tính đạo hàm tìm nghiệm đạo hàm

Bước 3: Lập bảng xét dấu đạo hàm kết luận khoảng đồng biến nghịch biến Ví dụ 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y3 x2x5

Giải:

Tập xác định: DR. Ta có

3 10 ' x

y

x



 Khi phương trình y'  0 x Bảng xét dấu

X   y’ + || - +

(2)

Ví dụ 2: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sin cos x

y x x  trên khoảng ( , ).0 

Lời giải:

Tập xác định: DR

Ta có y' cosxsinx1, phương trình ' sin cos sin( ) sin

3

2

y x x x

x k

 

      

   

 

  



Trên khoảng ( , ).0  y’ = có nghiệm

x Vậy hàm số đồng biến khoảng ( ; )

 

và nghịch biến khoảng (0; )



Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu khoảng cho trƣớc

Phƣơng pháp 1:

Bước 1: Cô lập tham số m sang vế dạng f x( )m

Bước 2: Tính đạo hàm xét dấu lập bảng biến thiên khoảng cho trước Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận điều kiện tham số m

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số

2

1

x x m

y

x

 



 đồng biến với x >

Lời giải:

Tập xác định: D R \ 1

Khi đó, ta có

 

2

1

' x x m

y

x

  





Để hàm số đồng biến với x > 3,

 

'

2

0 0,

1

2 3

x x m

y x x x m x

x

x x m x

  

          



     

Xét hàm số

2

( )

(3)

Vậy f(x) hàm số đồng biến với x3suy f x( ) f( )3 9, để

2x 4x 3 m x 3 m f ( )3 9

Phƣơng pháp 2:

Dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai định lý viet

Ví dụ 4: Tim m để hàm số yx33x2mx m (4) nghịch biến đoạn có độ dài

Lời giải:

Tập xác định: D R

Ta có y'3x26x m Điều kiện để hàm số (4) nghịch biến đoạn có độ dài bằng phương trình: 3x26x m 0 (4’) phải có hai nghiệm

1,

x x cho

2 1 (*)

x x

Điều kiện để (4’) có hai nghiệm phân biệt    ' 3m  0 m

Khi  2

1 1

(*) x x  (x x )  x x  Áp dụng định lý viet, ta có:

3

m m

   

So sánh với điều kiện suy khơng có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán

Ví dụ 5: Cho hàm số 2

ax (2 7) 2( 1)(2 3)

       

y x a a x a a đồng biến [2:+ )

Lời giải

Ta có y'3x22ax(2a27a7) Điều kiện để hàm số đồng biến   2;  y'3x22ax(2a27a 7) (*)  x 2; 

Ta có  ' 7a221a21 0 a Gọi x x1, 2 (x2 x1) hai nghiệm phương trình y’ = 0, tập nghiệm bất phương trình (*) (;x1][ ;x2  )

Vậy để hàm số đồng biến khoảng   2;  , [2;   ) ( ;x1][ ;x2  )nghĩa

1 2

x x  Điều kiện là:

1 2  2

1 2

2

4 3

( )

2 2( ) 7

4

3

 



 

   

  

         

 

 

    



a

x x x x

theo viet

(4)

2

6

6 5

1

2

  

 

     

  

   

 

a a

Dạng 3: Ứng dụng tính đơn điều chứng minh bất đẳng thức

Phƣơng pháp Sử dụng kiến thức sau:

 Dấu hiệu để hàm số đơn điệu đoạn  f ( x) đồng biến [a; b] f a( ) f x( ) f b( )  f(x) nghịch biến [a; b] f a( ) f x( ) f b( )

Ví dụ 6: Chứng minh

3

tan , (0; )

3

x

x x  x 

Lời giải:

Xét hàm số

3 ( ) tan ,

3 x

f x  x x ta có 2

2

'( ) tan

cos

f x x x x

x

    

Dễ thấy tan (0; )

x  x x  nên '( ) (0; )

2

f x   x 

Vậy hàm số f x( ) đồng biến khoảng (0; )



suy

3

( ) (0) tan (0; )

3

x

f x  f   x x  x 

Ví dụ 7: Chứng minh bất đẳng thức sau:

2

cos ,

2

x x

x e   x  x R

Lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

2

cos 0,

2

x x

x e   x   x R

Xét hàm số

2

( ) cos ( )

2

x x

f x  x e   x  x R Ta có

'

( ) sin x

f x   x e  x f''( )x  cosx e   x 1 cosx e x   0, x R Vậy f x'( )0 có nghiệm x0

(5)

x   '( )

f x - +

( ) f x

Từ bảng biến thiên suy ra: f x( )0 với  x R (đpcm)

C BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Với giá trị m, hàm số: m y x

x

  

 đồng biến khoảng xác định

nó ĐS: m0

Bài 2: Xác định m để hàm số

3

2

( 1) ( 3)

x

y   m x  m x đồng biến khoảng (0; 3)

ĐS: 12 m

Bài 3: Cho hàm số y mx x m

 



a Tìm m để hàm số tăng khoảng xác định ĐS:   2 m b Tìm m để hàm số tăng (2;) ĐS: m 2,m2 c Tìm m để hàm số giảm (;1) ĐS: 2   m Bài 4: Cho hàm số yx33(2m1)x2(12m5)x2 Tìm m để hàm số:

a Liên tục R ĐS:  m R b Tăng khoảng (2;) ĐS:

12 m

Bài 5: Cho hàm số y  x3 3x23mx1 (1), m tham số thực

Tìm m để hàm số (1) nghịch biến khoảng 0; ĐS: m 1



(6)

Bài 6: Cho hàm số    

1

3

y mx  m x  m x Tìm m để hàm số đồng biến với

2 x

  ĐS:

3 m

Bài 7: Cho hàm số yx33 2 m1x212m5x2 Tìm m để hàm số đồng biến

  ; 1 2; ĐS:

12 m

  

Bài 8: Cho hàm số

2

6 mx x y

x

 



 Tìm m để hàm số nghịch biến [1;)

ĐS: 14

5 m

  

Bài 9: Cho hàm số y mx m x m

 



a) Tìm m để hàm số đồng biến tập xác định ĐS:   1 m b) Tìm m để hàm số đồng biến với  x ĐS:   1 m

Bài 10 Cho hàm số y(mx x) 2m Tìm m để hàm số đồng biến  1; ĐS: m3

Bài 11: Chứng minh với

2

0 x ta có x tanx x

1 sin

Hướng dẫn: Xét biến thiên hàm số f x  x tanxx

1 sin )

( với 

     

2 ; 

(7)

BÀI GIẢNG SỐ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Khái niệm cực trị hàm số

Giả sử hàm số y f x  xác định D

 xxo gọi điểm cực đại hàm số  a b, xo, a b, D f x  f x o ,

     , \ ,

o o o

x a b x f x

  gọi giá trị cực đại hàm số

 xxo gọi điểm cực tiểu hàm số  a b, xo, a b, D f x  f x o ,

     , \ ,

o o o

x a b x f x

  gọi giá trị cực tiểu hàm số

2 Quy tắc tìm cực trị hàm số

Quy tắc

+ Tìm tập xác định hàm số

+ Tính đạo hàm f ' x Tìm x mà f ' xo 0 mà f x liên tục   khơng có đạo hàm

+ Lập bảng biến thiên

+ Từ bảng biến thiên suy điểm cực đại, cực tiểu

Quy tắc

+ Tìm tập xác định hàm số

+ Tính đạo hàm f ' x Tìm giá trị x ii, 1, để f ' x 0

+ Tính f '' x f " x i

+ Dựa vào dấu f" x suy cực trị

Nếu f" xi   0 x xi điểm cực tiểu

(8)

 Dạng 1: Tìm cực trị hàm số

Phương pháp:

Cách 1: Dùng bảng biến thiên

Cách 2: Dùng y’’

Ví dụ 1:Tìm cực trị hàm số f x sin 2x c os2 x Lời giải

Hàm số cho xác định

Ta có: f ' x 2cos 2x2sin 2x  

"  4sin 4cos

f x x x

 

' cos 2sin , ( )

8

 

      k 

f x x x x k Z

Vậy hàm số đạt cực đại ,

8 C D

x   k y  , hàm số đạt cực tiểu

2 ,

8 C T

x k y  

 Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị điểm x0

Phƣơng pháp: Dùng bảng biến thiên dùng điều kiện y’’

Ví dụ 2:Tìm giá trị để hàm số f x x33mx2m21x2 đạt cực đại x2 Lời giải

Hàm số cho xác định Ta có: y' 3x 3mx m 1

2

3

' 3

3

m m

x

y x mx m

m m

x

  

  

      

  

(9)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại

2

3

2 11

3

m m

x      m

Vậy với m11 hàm số đạt cực đại x2

 Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để hàm số có điêm cực trị thỏa mãn điều kiện đẳng thức cho trước

Phƣơng pháp: Dùng định lý viet

Ví dụ 3: Tìm m để hàm sốyx3m3x24m1x m đạt cực trị x x cho 1, 2

1 2

x   x

Lời giải Tập xác định D

 

2

' 3

y x m x m

    

      

Để hàm số đạt cực trị x x cho 1, x1  2 x2  1 có hai nghiệm phân biệt x x 1, thỏa mãn x1  2 x2

x1 2x2 2 x x1 2x1 x2

        

Áp dụng định lý Viet ta có: 4 3 1

3

m m



        

x 

3

m m 

3

m m  

f’(x)  

  f x

CD

(10)

Vậy

m hàm số cho đạt cực trị x x cho 1, 2 x1  2 x2

Ví dụ 4: Cho hàm số

y x  x m Tìm m đểhàm số có hai cực trị trái dấu

Lời giải

Điểm cực trị hàm số nghiệm phương trình:

'

1 x

y x

x

 

     

  

Giá trị cực trị hàm số tương ứng

2

2 (1)

3 ( 1)

3

y y m

   

 

    



Yêu cầu toán tương đương với: 1 2 ( 2)( 2) 2

3 3

y y   m m     m

Nhận xét: Các em học sinh cần phân biệt khái niệm là:

 Điểm cực trị hàm số xCD,xCT

 Cực trị hàm số yCD,yCT

 Điểm cực trị đồ thị hàm số xCD,yCD , xCT,yCT

Dạng 4: Bài toán cực trị liên quan đến góc, khoảng cách tam giác

Ví dụ 5: Cho hàm số

2

yx  mx  Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cưc trị đường trịn qua ba điểm có bán kính 1

Lời giải

Ta có: y'4x34mx4x x 2m

2

' x

y

x m

 

    



Hàm số có ba cực trị  y' đổi dấu ba lần Dy'0 có ba nghiệm phân biệt

m

  m0

Khi ba điểm cực trị đồ thị hàm số    2  2

0;1 , ;1 , ;1

A B  m m C m m

Theo tính chất đồ thị hàm bậc bốn trùng phương, ta có tam giác ABC cân A Gọi D trung điểm cạnh BC Xét ADC vng D, ta có sinC AD

AC

(11)

Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC,

Áp dụng định lí hàm số sin tam giác ABC, ta có: A

2 2

sin

AB AB AC AC

R

C   AD   AD 

4

2

m m m m m

       

  

1

1 1 5

2 m

m m m

m

  



      

  

B D C

Kết hợp điều kiện m0 ta 1, m  m 

Ví dụ 6: Cho hàm số  

1

x m x m

y

x m

   



 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu giá trị

cực trị dấu

Lời giải

Tập xác định D \{ }m

 

2

2 ' x mx y

x m

 

 

  2  

0 2

'

y  g x x  mx m   xm

Hàm số có cực đại, cực tiểu  y' đổi dấu lần D  

2

Δ 1

0 2

g m m

g m m m

   

   

  

     

 

Khi tọa độ điểm cực trị thỏa mãn hệ  

    

       

 

     ' ' '

2

'

1

u x u x

y

y u x u x

v x y x m

v x

v x v x u x v x u x v x

y

 



 

       

 

   

 

Do yCĐ 2xCĐ m 1;yCT 2xCT  m

CĐ

(12)

12 Bài giảng đƣợc cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tn

Ví dụ 7: Tìm m để hàm số y2x33x2m có đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng ( )

4 m

y  x  góc 60 o Lời giải

Điểm cực trị hàm số nghiệm phương trình:

6

1 x

x x

x

 

   

 

Vậy giá trị cực trị hàm số

(1) (0)

y y m

  



  



Điểm cực trị đồ thị hàm số (0; m) (1; m-1) Phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu có dạng

0

1

x y m

 

    

 (d)

Véc tơ pháp tuyến (d) ( ) nd(1;1),n m( ; 4) Yêu cầu toán tương đương với

0

2

2 2

| |

cos( , ) cos 60

2

2 16

2( 16) 16 16 16

8

d

m n n

m

m m m m m

m m

    



        

     

   

Ví dụ 8: Tìm m để đồ thị hàm số yx33x2m x m2  có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng x2y 5 0

Lời giải

Hàm số xác định Ta có y'3x26x m

Để hàm số có hai điểm cực trị 'y phải đổi dấu hai lần y'0 có hai nghiệm phân biệt

2

' 3m m 3 m

           

Thực phép chia f x cho   f ' x ta có:         2

1

1 '

3 3

m f x  x f x  m  x m

Với  3 m f ' x 0 có hai nghiệm phân biệt x x hàm số 1, f x đạt cực trị   1,

(13)

Do    

0 f x f x

 

 



 nên

   

2

1 1

2

2 2

2

3

2

3

m

y f x m x m

m

y f x m x m



    

 

     



Suy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị     2

2

:

3

m d y m  x m

Gọi A x y 1, 1 ,B x y2, 2 hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho trung điểm Icủa AB có tọa độ 2

( ; ) (1; 2)

2

x x y y

I    m  m

Các điểm cực trị A x y 1, 1 ,B x y2, 2 đối xứng với qua đường thẳng  :

2

y x

  

   d

   và trung điểm I AB phải thuộc  d

 

   

2

3 1;

0

3

0

2

3 1

3 2

m

m m m

m

m m

   

  

 

   

  

     



Bài 1.Tìm cực trị hàm số sau:

a

2

y  x x  ĐS: ; , ;13

5 5

CT  CD 

   

b

4 48 x y

x



 ĐS: CT2;32 , CD 2; 32

c yx412x23 ĐS: CT 6; 33 ;   6; 33 ,  CD 0;3

d ysin2x cos , x x[0; ] ĐS: ;7 CD  

 

Bài Tìm cực trị hàm số sau:

a cos os2

y x c x ĐS: 2 ; ; 2 ;

3 4

CT k      k   

   

;3 ; 2 1 ;

2

CD k    k   

(14)

b s inx cos x

y  x  ĐS: ; 3

2 2

CT  k      k 

 

; 3

6

CD k     k 

 

Bài 3: Tìm hệ số a b c cho hàm số , , yx3ax2bx c đạt cực tiểu điểm  

1,

x f  đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ

ĐS: a3;b 9;c2

Bài 4: Tìm hệ số a b c, , cho hàm số yx3ax2bx c đạt cực trị điểm

x  đồ thị hàm số qua điểm A 1; ĐS: a3;b0;c 4

Bài 5: Tìm m để hàm

m x

mx x y

  

 đạt cực tiểu tạix0 1 ĐS: m1

Bài 6: Tìm m để hàm số

a đạt cực đại ĐS: m2

b đạt cực tiểu ĐS: m 1 Bài 7: Tìm m để hàm số sau có cực trị

a yx33mx23m21 x m21 có cực trị ĐS:  m

b

1 mx

5 mx x y

2

  

 có cực trị ĐS:

2

1  

 m

Bài 8: Tìm m để hàm số sau có cực trị thoả mãn điều kiện cho trước

a yx42m1x2 m có cực trị ĐS: m1

b 3

y x  x m có hai cực trị trái dấu ĐS:

3

2  

 m

c y  x3 3m1x23m27m1x m 21 đạt cực tiểu điểm có hồnh độ nhỏ ĐS: m1

(15)

Bài 10: Tìm m để hàm số yx32(m1)x2(m24m1)x2m22có hai điểm cực trị 1,

x x thoả mãn điều kiện 1 2

1

1 1

( )

2 x x

x x   ĐS: m 1;5

Bài 11: Tìm m để đồ thị hàm sốyx33x2m x2 mcó hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng x2y 5 0 ĐS: m0

Bài 12: Tìm m để đồ thị hàm số y 1x3 (m 2)x2 (5m 4)x m2

       đạt cực trị

1

x , x cho x1  1 x2 ĐS: m 3 Bài 13: Tìm m để đồ thị hàm số

y x mx x m

3

     có hai điểm cực trị

1 2

(x , y ), (x , y )sao cho khoảng cách chúng nhỏ ĐS:

13

mind  m Bài 14: Cho hàm sốyx33mx23(m21)x m 3m  1 Tìm m để hàm số  1 có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O ĐS: m32 2;m32 Bài 15: Cho hàm số 2

2( 2) 5

yx  m x m  m Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực

trị tạo thành tam giác vuông cân ĐS:  



m

Bài 16: Cho hàm sốyx33x2m Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cho góc AOB120o ĐS:

3

  

m

Bài 17: Tìm m để hàm số yx33m1x22m23m2x m m  1 có đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng

4

y  x góc 45 o ĐS: 15 m 

Bài 18: Cho hàm số  

2

x m x m

y

x

   





Chứng minh với m hàm số ln có cực trị khoảng cách hai điểm cực trị không phụ thuộc m Tính độ dài khoảng cách ĐS:

Bài 19: Tìm m để hàm số ymx32m1x2 x đạt cực đại x1, đạt cực tiểu x2

2 16

(16)

(17)

BÀI GIẢNG SỐ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa

Cho hàm sốy f(x)xét tập

- Số gọi giá trị lớn hàm số

- Số gọi giá trị nhỏ hàm số

2 Phương pháp tìm max

Phương pháp 1: Bảng biến thiên

Bước 1: Tìm miền xác đinh tính y’ Bước 2: Lập bảng biến thiên

Bước 3: Kết luận giá trị max dựa vào bảng biến thiên Phương pháp 2: Phương pháp hàm liên tục đoạn

Ví dụ 1: Tìm GTLN GTNN hàm số

2 3( 1) ( )

2

x f x

x x

 

  trên khoảng  ;  Lời giải

Tập xác định

Ta có

2

6 (1)

3

'( ) ; '( )

(2 2)

1 ( 1)

x f

x

f x f x

x x

x f

   

 

  



      



2 ) ( 

  f x

Lim

(18)

Bảng biến thiên

2

Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f(x)2x1

D ; 5

6 ) (

min f x   x

D

Ví dụ 2: Tìm GTLN GTNN hàm số )

(x x x

f    miền xác định Lời giải

Tập xác định D2;2

Ta có: '( )

4 ) ( '

2    

 

 f x x

x x x f ) ( ; 2 ) ( ; ) ( ; )

(  f   f  f 

f

Vậy max f(x)2 x

D ; minD f(x)2x2

Ví dụ 3: Tìm GTLN GTNN hàm số

x x y

2 ln

 trên đoạn  3 ; 1 e

Lời giải

Ta có : ' ln (22 ln ) x

x x

y   ;   

                3 ; ; 1 ln ln ' e e x e x x x y

Khi y(1)0; ( 2) 42 e e

y  ; ( 3) 93 e e

y 

Vậy  

2 ;

1

4 max

3 x e

e y

e

 

(19)

Ví dụ 4: Tìm GTNN hàm số

) sin cos ( sin cos x x x x y 

 trên khoảng

     ;  Lời giải

Hàm số xác định khoảng

     ;         ; 

x ta có cosx0 Chia tử mẫu cho cosx ta được: ) tan ( tan tan 2 x x x y    

Đặt ttanx 0; 3

;

0  

  

 t

x 

Khi ta có: ( ) ) (

2 g t

t t t y                          0 ) ( ' ) ( ) (

' 4 2

2 t t t t t t g t t t t t t g

t 3

) ( ' t

g - +

) (t g

2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy  

4 ) ( min ; ;            

 y g t t x

Ví dụ 5: Cho số thực khơng âm x, thay đổi thỏa mãn y xy1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S4x23y4y23x25xy

Lời giải

Ta có S 16x2y2 12x3y39xy25xy

   

x y xy x y  xy

y

x 12 34

16 2  3  



 xy xy y

x 121 34

16 2  

(20)

Đặt txy với         ; 4 t y x xy

Ta S 16t2 2t12 với   ;  t            ; 16 ' 32

' t S t

S

t

16 ) ( ' t

g  

) (t g 12 16 191 25

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

                       ; 4 ; 16 25 ) ( min ; y x y x t t g S 25 ) ( max max ;          

 g t t x y

S

Ví dụ 6: Tìm m để phương trình x x x12 m 5x 4x (1) có nghiệm Lời giải

Điều kiện: 0x4

Khi   ( )

4

12

1 F x

x x x x x m        

Ta có: f(x)x x x12 có 0,  0;4 ( ) 12 2 ) (

' x f x

x x

x

f    

 

 tăng

(21)

x x

x

g( ) 5  4 có 0,  0;4 ( )

2

2 )

(

' x g x

x x

x

g    

    

 giảm  0;4

 0;4 ,

0 )

(x  x g

Do F(x) hàm tăng  0;4

Ta có bảng biến thiên:

x

) ( ' x

F 

) (x F

) ( F

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để (1) có nghiệm F(0)mF(4) 12

5

12  



 m

Ví dụ 7: Cho x, y hai số thực thỏa mãn xy34xy2 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A3x4y4x2y2 2 x2y21

Lời giải

Từ giả thiết ta có   3  2 3 2 2

4

2

xy  xy  xy  xy    x y x y 

Ta viết  4 2  2  22 2  2

3 3 

            

 

A x y x y x y x y x y x y

     

   

2

2 2 2

2

2 2

1

3

4

2

4

 

       

 

    

x y x y x y

x y x y

Đặt 2

tx y , biểu thức 2 ( 1)

4

A t  t t

Dễ thấy dùng đạo hàm suy min 1

16 2

(22)

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số

1    x x

y đoạn 1;2

Đs:maxy 2 f(1);miny0 f(1) Bài 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y(3x) x2 1 đoạn  0;2

Đs: maxy3;miny

Bài 3: Cho x0,y0,xy1.Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P32x3y

Đs: 

                  3 3 3 log ; log )); ; (( 10

maxP y P y

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số

x x

y 6 6

4 cos sin cos sin   

Đs: ;max

5

miny y

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số 1 1 ) ( 2 2                        x x x x x x x x x f

Đs: maxy2;miny2

Bài 6: Cho hai số thực x0,y0 thay đổi thỏa mãn điều kiện (xy)xyx2y2 xy Tìm giá trị lớn biểu thức 13 13

y x

A  Đs:

2 16

maxA  x y

Bài 7: Cho x, y hai số thực dương thay đổi thỏa mãn

4

 y

x Tìm giá trị nhỏ biểu

thức y x S 4 

 Đs: maxS5S(1)

Bài 8: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn x2y2 2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P2x3y33xy Đs: ,min

2 13

maxP P

Bài 9: Cho

2 ;

0 ,

,y z xyz

x Tìm giá trị nhỏ biểu thức

z y x z y x

(23)

Bài 10: Cho x, y hai số thực thỏa mãn xy34xy2 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A3x4y4x2y2 2 x2y21 Đs:

2 16

9

minA xy

Bài 11: Tìm m để phương trình 4sin4xcos4x 4sin6xcos6xsin24xm

có nghiệm

Đs: 16

9

  

m

Bài 12: Giả sử x, y, z số thực dương thỏa mãn x2y2z2 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2

1 1

x y z

P

y z x x y z

  

   

(24)

BÀI GIẢNG SỐ 4: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Dạng 1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị hàm số

Bài toán: Cho đồ thị  C :y f x  điểm Mox yo, o   C Viết phương trình tiếp tuyến Mox yo, o

Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến  C Mox yo, o có dạng   0

'

o o

yy  f x xx

Dạng 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trƣớc

Bài tốn: Cho đồ thị  C :y f x  sốk .Viết phương trình tiếp tuyến  C có hệ số góc k

Phương pháp:

+ Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với  C :y f x  điểm có hồnh độ  

'

i i i

x  f x  k x nghiệm phương trình f ' x k + Giải phương trình f ' x   k x x ii, 1; + Phương trình tiếp tuyến x i yk x xiyi

* Các dạng biểu diễn hệ số góc k + Dạng trực tiếp k

+ Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc   k tan

+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng  d :yax b  k a

+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  d :yax b ka 1,a0

+ Tiếp tuyến tạo với đường thẳng  d :yax b góc tan

k a ka



   



Dạng 3:Viết phƣơng trình tiếp tuyến qua điểm cho trƣớc.

(25)

Phương pháp:

Cách 1:

+ Giả sử đường thẳng  d qua A a b tiếp xúc với  ,  C :y f x  điểm có hồnh độ xi phương trình đường thẳng  d có dạng y f ' xi xxi f x i

+ Do A a b   ,  d  b f ' xi axi f x i  * + Giải phương trình  * xi

+ Phương trình tiếp tuyến x i y f ' xi xxi f x i

Cách 2:

+ Đường thẳng  d qua A a b với hệ số góc  , k có phương trình yk x a   b + Đường thẳng  d tiếp xúc với đồ thị  C :y f x  hệ phương trình

   

  '

f x k x a b f x k

   

 



 có nghiệm  f x  f ' x x a  b  *

+ Giải phương trình  * x ii, 1;

+ Phương trình tiếp tuyến x i y f ' xi xxi f x i

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số yx33x2, biết tiếp tuyến qua điểm A1; 

Lời giải

Gọi M x( ;0 y0) tiếp điểm tiếp tuyến cần lập, phương trình tiếp tuyến M có dạng:

2

0 0 0 0

'( )( ) (3 3)( ) ( ) y y x xx y  x  xx x  x  d Vì điểm A( 1, 4) ( )d nên ta có

2

0 0

0

3

0

0 (3 3)( )

1

2 1

2

x x x x

x

x x

x

      

   

     

(26)

Vậy có hai tiếp tuyến cần lập

9 y

y x

  

   



Ví dụ 2: Cho hàm số yx33x24  C Gọi  d đường thẳng qua điểm A 2;0 có hệ số góc k. Tìm k để  d cắt  C ba điểm phân biệt A M N, , cho hai tiếp tuyến  C tại M N vng góc với

Lời giải:

Phương trình đường thẳng  d qua A 2;0 có dạng yk x 2 Hồnh độ điểm A M N, , nghiệm phương trình

      

3 2

2

3 2

2

x

x x k x x x x k

f x x x k

 

           

    



Phương trình có ba nghiệm phân biệt  f x 0 có hai nghiệm phân biệt x2

 

0 9

0

2 k

f

  

    





Theo định lí Viet ta có

M N

x x

x x k

 



   



Tiếp tuyến M N vng góc với y x'   M 'y xN  1

    2

3 18

3

M M N N

x x x x k k k  

          

Ví dụ 3: Cho đồ thị hàm số  C :y f x x4x21. Tìm điểm A Oy kẻ ba tiếp tuyến tới đồ thị  C

Lời giải:

Cách 1:

Lấy A 0;a Oy Giả sử tiếp tuyến qua A tiếp xúc với (C) điểm M x( 0;y0), phương trình tiếp tuyến M có dạng:

0 0 0

(4 )( ) ( )

y x  x xx x x  d

Vì (d) qua A nên ta có:

3

0 0 0

4

0

(4 )(0 )

3 (*)

a x x x x x

a x x

     

(27)

Để từ A kẻ tiếp tuyến tới đồ thì phương trình (*) phải có nghiệm phân biệt

Đặt 2

0 (*) (**)

x  t   t    t a , u cầu tốn tương đương với (**) phải có

nghiệm t = nghiệm t >

Nếu t = thay vào (**) suy a =

Ngược lại với a = thay vào (**) ta có 3t2 t 0, dễ thấy phương trình có nghiệm t =

3

t

Vậy điểm A(0; 1) điểm cần tìm

Cách 2: Lấy A 0;a Oy Đường thẳng  d qua A có hệ số góc k có phương trình

ykx a

Đường thẳng  d tiếp xúc với đồ thị    

   *

'

f x kx a C

f x k

  

  



 có nghiệm

* Điêu kiện cần

Ta có f   x f x ,  x f x  hàm chẵn  đồ thị  C nhận Oy làm trục đối xứng Do A Oy nên để từ A kẻ ba tiếp tuyến tới  C điều kiện cần hệ phương trình  * có nghiệm k0

Thế k 0  * ta

4

2

0; 1

1

;

4

2

x a

x x a

x a

x x

 

    

 

   

 

 

* Điều kiện đủ

+ Nếu a1    

4

3 3

1

*

4 4 2

x x x x x

x x kx

x x k x x k

     

    

 

 

 

   

 

 

2

0; 0;

3 1 2

;

1

; 3

2

3

1

;

3 3

x k

x x

x k

x

x k

k x x

x k



  



 



   

 

     

   

 

 

 

   



(28)

+ Nếu

a    

4

3

1

* 4

4

x x kx x x x x x

x x k x x k

                          

4 2 2

2

1 1

3

4 2

2 2

x x x x

k x x k x x k

                       

Vậy từ 0;3 A 

  kẻ tiếp tuyến tới  C

Vậy điểm A 0;1 thỏa mãn điều kiện tốn

Ví dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ,

2 x y x  

 biết tiếp tuyến cắt trục

hoành, trục tung hai điểm A B, phân biệt tam giác OAB cân O

Lời giải

Cách 1: Gọi M x( ,0 y0) tiếp điểm tiếp tuyến cần lập, ta có phương trình tiếp tuyến M có dạng:

 2 0

0 ( ) ( ) 3 x

y x x d

x x       

Tọa độ giao điểm A tiếp tuyến với trục hoành nghiệm hệ

  0 0 0

2

( ) 0

2 3

y

x x x

x

y x x y

x x                     

Tọa độ điểm B tiếp tuyến với trục tung nghiệm hệ

   

2

0 0

0 2 0 0

1

( )

2

2 3

x x

x x x

y x x y

x x x                        

Để tam giác OAB tam giác cân thì: 0

0 (2 3)

2

A B

x

OA OB x y x

x              

+ Với xo   1 yo  1 phương trình tiếp tuyến y      x 1 y x (loại tiếp tuyến qua gốc tọa độ nên không tạo tam giác OAB.)

(29)

Cách 2: Ta có

 2 '

2 y

x

  

Do tam giác OAB vng cân nên tiếp tuyến phải có hệ số góc k  1 Gọi tọa độ tiếp điểm x yo, o  

 2

1

' 1

2

o

y x

x

     



Do y'0 nên

 2

1

2

o

o o

x x x

  

    

 

 

+ Với xo   1 yo  1 phương trình tiếp tuyến y      x 1 y x( loại tiếp tuyến qua gốc tọa độ nên không tạo tam giác OAB.)

+ Với xo   2 yo  0 phương trình tiếp tuyến y       x 2 y x

Ví dụ 5: Cho hàm số    : 1 C f x x

x

  

 Tìm điểm đồ thị  C có hồnh độ lớn

hơn cho tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ Lời giải

Ta có  

 2

'

1 f x

x

  

+ Tiệm cận đứng x1  

lim

x f x  

+ Tiệm cận xiên y x lim   1

x f x   x

+ Tọa độ giao điểm I hai tiệm cận I 1;

Giả sử M x o,f x o  C với xo 1, phương trình tiếp tuyến M có dạng:

        

   

2

: ' :

1

o o o

o o o o

o o

x x x

d y f x x x f x d y x x

x x



      

 

Tọa độ giao điểm A tiếp tuyến  d tiệm cận đứng nghiệm hệ

   

2

1 1

2

2 1;

1

o

o o o o

o o

o

x x

x

x x x x

y x x y x

x x

x



  

 

    

        

 

    



(30)

     

2

2 1;

2

1

o

o o o o o

o o

y x

x x

x x x x x

y x x y x

x x

  

 



     

     



  



Ta có 2

1

o A I

o o

x AI y y

x x

    

 

  2  2  2 2  2

2

2 2 2

B I B I o o o o

BI  x x  y y  x   x   x  BI  x 

.2

1 o

o

AI BI x

x

  



2 2 2

2 os

4

AB AI BI  AI BI c AI BI  AI BI

Chu vi ABI cho

2

ABI

C AIBIABAIBI AI BI  AI BI

 

4

2 2

AI BI AI BI AI BI

      

Suy  

minCABI 4 22 2 1 , đạt AI BI

4

2

2 1

1 o o

o

x x

x

     



Vậy tọa độ điểm M cần tìm

4

1

1 ; 2

2

M    

 

Ví dụ 6: Cho hàm số (C) x y

x

 

 Cho điểm (0; )A a Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến tới

đồ thị (C) cho tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục hoành Lời giải

Gọi k hệ số góc tiếp tuyến qua A, phương trình tiếp tuyến qua A có dạng

ykxa (d)

Gọi

1

2

( , ), ( , )

1

x x

M x N x

x x

 

(31)

2

= kx+a (5')

1

(5'') ( 1)

x x

k x

      

 

  

Phải có hai nghiệm cho

1

( 2) ( 2)

0 (*) ( 1) ( 1)

x x

 



 

Thay k từ (5’’) vào (5’), ta có phương trình

1 2

(a )x  (a )x a  ( ) (**)

Để (**) có hai nghiệm phân biệt 1

0

a a

a

   



   

  (6)

Vì x x1, 2là nghiệm (**), nên áp dụng viet, ta có:

1

2( 2) ( 1)

a x x

a a x x

a

 

  

 

 



 

 

 Khi đẳng thức (*) tương đương với

1 2 2

2( )

0 2

1

x x x x

a a

x x x x

  

      

   (7)

Kết hợp (6) (7) a < -2

Bài 1a: Cho đường cong (C): y = (2 – x2)2

1) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với Ox

2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) kể từ điểm A(0; 4)

Bài 1b: Cho hàm số x y

x

 

 có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tiuyến với đồ thị  C

trong trường hợp

1) Tiếp tuyến song song với :x  y 0; Đs: y  x 6,y  x 2) Tiếp tuyến vng góc với : 4x  y Đs: 17,

4 4

y  x y  x

Bài 1c: Cho hàm số 3 2

3

y x  mx  x Tìm m để tồn tiếp tuyến đồ thị hàm số

vng góc với đường thẳng 1

y x ĐS:

(32)

Bài 2: Cho hàm số yx33x2mx1. Xác định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y1 ba điểm phân biệt C 0;1 , ,D E cho tiếp tuyến đồ thị D E vng góc với

ĐS: 65 m 

3

m

y x  x  Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ

 Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số M song song với đường thẳng 5x y ĐS: m4

Bài 4: Cho hàm số 2

y x  x  x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm

uốn chứng minh tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ ĐS: y  x

Bài 5: Cho hàm số yx3 1 m x 1  Cm Viết phương trình tiếp tuyến giao điểm  Cm với trục tung Tìm m để tiếp tuyến nói cắt hai trục tọa độ tam giác có diện tích

bằng ĐS: m 9 3;m  7 Bài 6: Cho hàm số y  x4 2mx2m1 có đồ thị  Cm

a Chứng minh  Cm qua hai điểm cố định A B

b Tìm m để hai tiếp tuyến A B, vng góc với

ĐS: 3;

4

m m

Bài 7: Tìm điểm A trục tung, cho qua A kẻ ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm số

4

1

y  x x  ĐS: A0;  

Bài 8: Cho hàm số yx4 mx2 m 1. Gọi A điểm cố định có hồnh độ dương đồ thị hàm số, tìm m để tiếp tuyến A song song với đường thẳng y2 x ĐS: m 1 Bài 9: Cho hàm số

1 x y

x

 

 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến

vng góc với đường thẳng x y 20070. ĐS: y  x y  x Bài 10: Cho hàm số

1 x y

x



 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho tiếp tuyến

(33)

2

x y

x

 

 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến

đó cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A B, tam giác OAB cân O ĐS: y  x

Bài 12: Cho đồ thị hàm số x y

x



 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đồ

thị M cắt Ox,Oy ,A B tam giác OAB có diện tích

ĐS: 1 1; , 2 1;1

M    M

 

Bài 13: Cho hàm số 1 x y

x

 

 Tìm điểm trục tung mà từ điểm kẻ

đúng tiếp tuyến tới đồ thị hàm số ĐS: A  0;1 ,A 0; 1. 

1 x x y

x

  

 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp

tuyến vng góc với tiệm cận xiên ĐS: y  x 25

1 x x y

x

  

 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp

tuyến vng góc với đường thẳng

3

y x ĐS: 3

4

y x

4

y x

m y x

x

   

 Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại điểm A cho

tiếp tuyến với đồ thị A cắt trục Oy B mà tam giác OAB vuông cân ĐS: m1

2

1 x x y

x

  

 Tìm điểm Oy cho từ kẻ hai tiếp

tuyến tới đồ hàm số hai tiếp tuyến vng góc với

ĐS: A10; 3  15 , A2 0; 3  15

2 x y

x



 Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ Oxy để từ ta có

thể kẻ hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số hai tiếp tuyến vng góc với

(34)

Bài 19: Cho đồ thị hàm số

1 x y

x



 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp

tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích S

ĐS: y x

3

9

25 y x

Bài 20: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 1, x y

x

 

 biết tiếp tuyến cắt trục

,

Ox Oy ,A B cho OA4OB ĐS: x4y 5 0 x4y130 Bài 21: Cho hàm số

1 x y

x

 

 (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ

điểm I(1;2) đến tiếp tuyến ĐS: y =-x + y = -x +

Bài 22: Cho họ đường cong (Cm):

m x

m m x ) m

(

   

, (m 0) Tìm m để giao điểm

(35)

BÀI GIẢNG SỐ GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Cho hai đồ thị hàm số  C :y f x   C' :yg x 

Hai đồ thị  C  C cắt điểm '      

0

, y f x

M x y

y g x

    



 tức x y0; 0

nghiệm hệ phương trình     y f x y g x

   





Như hoành độ giao điểm  C  C' nghiệm phương trình f x g x   1

Số nghiệm phương trình  1 số giao điểm  C  C'

Ví dụ 1: Cho hàm số 1 x y

x

 



a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình

(1)

x

m x

  

Lời giải

a Hàm số 1 x y

x

 

 có tập xác định DR\  

Giới hạn:

1

1 1

lim 1; lim ; lim

1 1

x x x

x  x  x

  

       

  

Đạo hàm:

 2

' 0,

1

y x

x



    

 Hàm số nghịch biến khoảng ;1 1;

(36)

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x1; tiệm cận ngang y1 Giao hai tiệm cận I 1;1 tâm đối xứng

Đồ thị

b Đồ thị hàm số 1 x y

x

 

 vẽ từ đồ thị hàm số

1 x y

x

 

 theo quy tắc giữ nguyên phần đồ

thị hàm số 1 x y

x

 

 ứng với x0, phần đồ thị hàm số ứng với x0 lấy đối xứng qua

trục tung

Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị 1 x y

x

 

 đường thẳng ym

Dựa vào đồ thị ta có

 Với m 1;m1: phương trình (1) có nghiệm

x    

'

y  

y

1  

(37)

 Với m 1: phương trình (1) có nghiệm

 Với   1 m 1: phương trình (1) vơ nghiệm

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3 – 3x2 – m(x + 1) + Tìm m để đồ thị hàm số

a) Cắt trục hoành điểm c) Cắt trục hoành điểm b) Cắt trục hoành điểm d) Tiếp xúc với trục hoành

Lời giải

Số giao điểm với trục hoành số nghiệm phương trình

x3 – 3x2 – m(x + 1) + = (1)

a) Để phương đồ thị hàm số cắt Ox phương trình (1) có nghiệm phân biệt

2

2 (1) ( 1)( 4 )

4 (*) x

x x x m

x x m

  

       

   



(1) Có nghiệm phân biệt (*) có nghiệm phân biệt khác – 1, điều kiện

' 0

9

m

m m

  

 



    

 

b) Để đồ thị hàm số cắt Ox điểm (*) vơ nghiệm có nghiệm kép = -

Điều kiện là:

'

0 '

0

( ) 1

2

m m

VN b

a

 

  

   

  

     



 



Vậy m <

c) Để đồ thị hàm số cắt Ox điểm (*) có nghiệm phân biệt nghiệm -1 có nghiệm kép khác –

TH1: (*) có nghiệm kép khác – 1, điều kiện

'

0

2

m b

a

  

  

  



TH2: (*) có nghiệm phân biệt có nghiệm = -1 ĐK cần: Thay x = -1 vào phương trình (*) ta có m =

ĐK đủ: Với m = 9, dễ thấy (*) có nghiệm x = -1 x =

Vậy m = m =

(38)

 

3 2

2

x – 3x – m x

0 (3 )( 1)

' 6

y x x x x x

y x x m m x x

    

      

  

   

 

   

  

1

0 x m x m

   

 

 

  

 

 

Vậy m = m =

Ví dụ 3: Cho hàm số yx33m1x23m4x8  Cm Tìm m để  Cm cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số nhân

Lời giải

Điều kiện cần: Giả sử  Cm cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hoành độ x x x1, 2, 3 lập thành cấp số nhân Khi phương trình: x33m1x23m4x 8 0 (2) có ba nghiệm phân biệt x x x1, 2,

       

3

1

3

x m x m x x x x x x x

         

       

3

1 2 3 1

3

x m x m x x x x x x x x x x x x x x x x

             

1 x x x

 

Vì x x x1, 2, 3 lập thành cấp số nhân nên

2 2

x x x x  x 

Thay x2 vào phương trình x33m1x23m4x 8 0 ta được4 2 m  0 m Điều kiện đủ:

Với m2 thay vào phương trình (2) ta được:

   

3

1

7 14 1; 2;

x  x  x   x x x   x x  x  lập thành cấp số

nhân

Vậy m2 giá trị cần tìm

Ví dụ 4: Cho hàm số yx32x2 1 m x m  (1)

Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hoành độ x x x1, 2, 3 thỏa mãn điều kiện 2

1

x x x 

Lời giải

(39)

 

3

2

2 ( 1)

1

( 1)( )

0 (*)

x x m x m x x x m x

x

x x x m

x x m

          

 

      

   

Giả sử x11 Để đồ thị hàm số (1) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ x x x1, 2, 3thỏa mãn

2 2

1

x x x  phương trình (*) phải có hai nghiệm x x2, 3thỏa mãn điều kiện

2 2

2 3

1x x  4 (x x ) 2x x 3

Điều kiện để (*) có hai nghiệm phân biệt khác

1

0

4

1 0

0

m m

m



     

  

      

   

Áp dụng định lý Viet, ta có 2 m  3 m Vậy 1;1 \{0}

4 m  

 

Ví dụ 5: Cho hàm số 2

 



x y

x có đồ thị  C Chứng minh đường thẳng  d :y  x m cắt đồ thị  C hai điểm phân biệt ,A B Tìm m để đoạn AB có độ dài ngắn

Lời giải

Hoành độ giao điểm đồ thị  C đường thẳng  d nghiệm phương trình

   

2

4

2

x x

x m

x m x m

x

  

 

         

 

Do phương trình  1 có

1 m

      2 2 4 m   2 2m   3 0, m nên đường thẳng  d cắt đồ thị hai điểm phân biệt A B,

Ta có yA  m xA;yB m xBAB2 xAxB 2 yAyB2 2m212 AB ngắn

AB

 nhỏ   m AB 12

Ví dụ 6: Tìm m để đường thẳng  d :ymx1 cắt  

2 :

2 x x C y

x

  

 hai điểm phân biệt

thuộc nhánh đồ thị  C

Lời giải

(40)

       

2

1 1

2 x x

mx g x m x m x

x

          



Do  C có tiệm cận đứng x 2 nên  d cắt  C hai điểm phân biệt thuộc nhánh  C phương trình  4 có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn 1, 2

 

  

 

1

1 2 2

' 1

2

2 2

m m m m

x x

x x x x x x x x

                              

 1  

1

0

1 2.2

1 m m m m m m m                       

Vậy với m0  d cắt  C hai điểm phân biệt thuộc nhánh đồ thị

Ví dụ 7: Tìm điều kiện tham số m để đường thẳng ym x( 3) cắt đồ thị hàm số x y x   

tại hai điểm phân biệt cho có điểm có hồnh độ lớn

Lời giải

Số giao điểm hai đồ thị hàm số x y x  

 ym x( 3) số nghiệm phương

trình hồnh đồ giao điểm: 2

( 3) (4 1) (5)

1 x

m x mx m x m

x

        



Để đường thẳng ym x( 3) cắt đồ thị hàm số x y x  

 hai điểm phân biệt cho có

nhất điểm có hồnh độ lớn phương trình  5 có nghiệm lớn

Nếu m = 0, phương trình có nghiệm x = Vậy m = không thỏa mãn

Nếu m0, ta có trường hợp sau:

TH1: Phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 1 x2

    

2

1 2

0 3 2 4 1

1 0

1 1

m m m

m

x x x x x x m m

                            

TH2: Phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 1 x1 x2

  

   

 

2

1 2

1

3

0 1 0

1 1 0

4

2

1

m m

m

m m

x x x x x x m

m x x

x x m

(41)

Vậy m0 thỏa mãn toán

Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số y2x39x212x4 Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt

2 x 9x 12 x m ĐS: 4 m

Bài 2: Cho đường cong (C):

3 3 x

y   x đường thẳng (d): y = m(x – 3)

a) Tìm m để (d) tiếp tuyến (C) b) CMR (d) qua điểm cố định A (C)

c) Gọi A, B, C giao điểm (d) (C) Tìm m để OB  OC (0 gốc tọa độ)

Bài 3: Cho hàm số yx3mx2 x m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng ĐS: m0; 3 

Bài 4: Cho hàm số yx33x22 có đồ thị  C Gọi d đường thẳng qua A 1; 2 có hệ số góc k

a Tìm k để d cắt (C) ba điểm phân biệt A, M, N ĐS: x1x24x 4 k0

 

x

0 k

g x x 4x k

  

   

    



b Với điều kiện câu a, tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng MN k thay đổi ĐS: : x   2, y 25

Bài 5: Cho hàm số yx36x29 x Tìm m để đường thẳng d y: mx (C) ba điểm phân biệt O A B Chứng minh m thay đổi, trung điểm I AB nằm đường , , thẳng song song với trục Oy

y  x  x có đồ thị (C) đường thẳng d y: m x( 3) A 3;0 Tìm m để d cắt (C) ba điểm A, B, C Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng BC

ĐS: 3, m

   ( ) : 3, 36

2

x y

     

Bài 7: Cho đường cong yx32m1x2 m24m1x2m2 1  Cm Tìm m để  Cm cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ 3. ĐS:

3 17 17

2 17 m m

    

 

(42)

Bài 8: Cho đường cong yx3 3x2 3mx3m  Cm Tìm m để  Cm cắt đường thẳng  d :y  3x ba điểm phân biệt x x x cho 1, 2, 3 x1 1 x2  2 x3 ĐS: m1

Bài 9: Cho đường cong y x3 3mx2 3x 3m Cm Tìm m để Cm cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ x x x1, 2, 3 cho x12 x22 x32 15 ĐS: m Bài 10: Tìm m để hàm số y  x4 2mx22m1 cắt trục hoành bốn điểm phân biệt lập thành cấp số cộng Xác định cấp số cộng ứng với m tìm

ĐS: 1, 5, 2 m m m9

Bài 11: Cho đường cong y x4 3m x2 3m Cm Tìm m để đường thẳng y cắt

m

C bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ ĐS:

1

0 m m

4

y x mx  có đồ thị  Cm

a) Tìm giá trị tham số m để đồ thị  Cm có ba điểm cực trị lập thành ba đỉnh tam giác vuông cân

b) Tìm giá trị tham số m để đồ thị  Cm cắt trục hồnh bốn điểm có hoành độ

thỏa mãn 2 2

1 20

x x x x 

Bài 13: Cho đường cong y x4 3m x2 3m Cm Tìm m để đường thẳng y cắt

m

C bốn điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Đáp số: 1;

3 m m

Bài 14: Cho hàm số x y

x

 

 có đồ thị (C)

a Chứng minh đường thẳng d y: 2x m cắt (C) hai điểm phân biệt M, N Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng MN Đáp số: quỹ tích I đường thẳng y  2x

b Xác định m để đoạn MN ngắn ĐS: MNmin 2 5 m

Bài 15: Cho hàm số 2 x y

x

 

 Tìm m để đường thẳng  d :y2x m cắt đồ thị hàm số hai

(43)

x y

x

 

 Gọi  d đường thẳng qua A 1;1 có hệ số góc k Tìm k

sao cho đường thẳng  d cắt đồ thị hàm số hai điểm M N, MN 3 10

ĐS: 3; 41 16 k   k  

2

mx x m y

x

  

 Tìm m để hàm số cắt trục hoành hai điểm phân biệt hai điểm có hồnh độ dương ĐS:

2 m

  

Bài 18: Tìm m để đường thẳng  d :y2mxm cắt đồ thị  

2 :

2

x x

C y x

 

 hai điểm

phân biệt thuộc hai nhánh đồ thị  C ĐS: m1

Bài 19: Tìm m để đường thẳng  d :y2xm cắt đồ thị hàm số  : 3

C y x

x

   

 hai

điểm phân biệt ,A B cho AB có độ dài ngắn ĐS: m0

Bài 20: Tìm m để hàm số y  x42mx22m1 cắt trục hoành bốn điểm phân biệt lập thành cấp số cộng Xác định cấp số cộng ứng với m tìm

(44)

BÀI GIẢNG SỐ 6: BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

 Khoảng cách hai điểm A x( A;yA), (B xB; yB)được cho công thức:

   2

B A B A

AB x x  y y

 Khoảng cách từ điểm M x( ;0 y0)đến đường thẳng :ax by  c 0 cho công thức

0

2

( , ) ax by c

d M

a b

 

 



 Định lý viet phương trình bậc hai

Ví dụ 1: Cho hàm số

3

yx  x  (1)

Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) y3x2sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ

Lời giải

Ta có ' 0 x

y x x

x

 

    





Với x  0 y x   2 y Vậy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A(0, 2) (2, 2)

B 

Ta viết đường thẳng y3x2thành dạng: 3x  y (*)

Thay tọa độ A, B vào vế trái (*) ta thu hai giá trị trái dấu, điểm A B nằm hai phía đường thẳng

Vậy vị trí điểm M (d) cho MA + MB đạt giá trị nhỏ M giao điểm (d) với đường thẳng qua hai điểm A B

Phương trình đường thẳng qua A B có dạng: 2

2 2

x y

      

  

Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình sau:

4

3 5

2

5 x x y

x y

y

     

 

    

  



Vậy tọa độ điểm M cần tìm ( ; )4 3 5 5

(45)

Ví dụ 2: Cho hàm số 2 x y

x

 

 (C)

Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B cho AB = 5

Lời giải

Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị là: 2x 2x m x

  



2

2x mx m

     (*)

(d) cắt (C) điểm phân biệt  pt (*) có nghiệm phân biệt  1

2

2 m m

m 8m 16

4

m 4 m 4

   

   



   

  

 

    

   

Gọi A x ; 2x 1 1  m , B x ; 2x  2 2  m x , x1 2 nghiệm (*)

Ta có: AB x2 x12  2x2  m  2x1  m2  x 2  x12  4x xx 2

 

Áp dụng định lý Viet, ta có:  

m

AB m

4

 

    

 

Theo giả thiết AB

2 m

5 2m

4

 

     

 

2

m 8m 16 m 8m 20

m 10

m

   

 

   



Cả giá trị m thỏa mãn

Ví dụ 3: Cho hàm số y 2x (C) x

 

(46)

Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B sao cho AB ngắn

Lời giải

Gọi M x y( , )0 0 tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị (C) Khi phương trình tiếp tuyến điểm M x y( , )0 0 có dạng:

0 0 2        ( ) ( ) x

y x x

x

x (d)

Giao điểm A tiếp tuyến (d) với tiệm cận đứng x2là nghiệm hệ:

0 0 0 0 2 2

2 2

1 2 2                          ( ; ) ( ) ( ) x x x A x x

y x x y x

x x

x

Tọa độ điểm B tiếp tuyến (d) với tiệm cận ngang y2là nghiệm hệ:

0 0 0 2

2 2

2 2                       ( ; ) ( ) ( ) y x x B x x

y x x y

x x

Vậy khoảng cách A B là:

   

 

2

0

2

2 2 2

2 2                 x

AB x x

x x

Theo bất đẳng thức cauchy dấu xảy

0

2

0

3

2

1             ( ) ( ) ( ) x x x x x

Vậy tiếp tuyến cần lập thỏa mãn điều kiện có dạng y x y  x

Ví dụ 4: Cho hàm số x y x  

 (C)

Tìm đồ thị (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) N(-1; -1)

Lời giải

Phương trình đường thẳng qua M N: 3

2

x y  x y 



(47)

Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d) có dạng: 2x 2x c x

  



2

2x cx c

    

Gọi A x( ; 21 x1c), B x( ; 22 x2c), với x x nghiệm phương trình (3) Khi trung điểm 1, 2 I AB có tọa độ 2 2

( ; ) ( ; )

2

x x x x c c c

I      (theo viet)

Vì A, B đối xứng qua (MN) nên ta có: I (MN) c 2c c

4

        

Thay c = - vào (3), ta có

2

2 x

x x

x

 

   





Với x = y = - 4, cịn với x = y =

Vậy có điểm A (0; - 4), B (2; 0) thuộc đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện tốn

Ví dụ 5: Tìm đồ thị hàm sô (H): 1 x y

x

 

 hai điểm thuộc hai nhánh cho khoảng cách

giữa điểm nhỏ

Lời giải

Gọi điểm A(1 a;a 2); (1B b;2 b)

a b

 

 (a, b > 0) hai điểm nằm hai nhánh đồ thị

đó ta có:    

 

2

1 64 1

4 16 ( )

AB a b a b vi

a b a b a b a b

 

           



  

Vậy AB  

 

2

64

a b

a b a b

a b

 

   

  

 



Vậy tọa độ điểm A B A(1 2;1 2); (1B  2;1 2)

Nhận xét: Hai điểm nằm hai nhánh đồ thị có nghĩa hai điểm nằm hai phía tiệm cận đứng x = 1, có điểm hồnh độ + a điểm hoành độ –b (a, b > 0)

Ví dụ 6: Cho hàm số yx32mx2(m3)x4 (Cm)

(48)

Lời giải

Phương trình hồnh độ giao điểm  Cm (d) là:

3

2 ( 3) 4 ( 2)

x  mx  m x   x x  mx  m x 2

2 ( )

x

x mx m

 

      



(d) cắt Cm điểm phân biệt phương trình   có nghiệm phân biệt 0

Điều kiện

2

' 2

1

2 0

0 m

m

m m

m

m m m

m

 

      

  

    

        

    



Gọi (B x xB; B4); (C x xC; C4)với x ,B x nghiệm phương trình C  

Theo định lý Viet ta có:

B C B C

x x m

x x m

  



  



Ta có:  2

2( B C) B C B C

BC  x x   x x  x x 

2(4m 4m 8)

  

Mặt khác S KBC 1d(K; d) BC

 

1

8 BC BC 16

2

   

Vậy 2(4m24m8) 168m28m16256

2

8m 8m 272

    137

2

m 

 

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho đồ thị hàm số y mx (Cm) x

 

Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm)đến tiệm

cận xiên (Cm)bằng

2 ĐS: m =

Bài 2: Cho hàm số x y

x

 

 (1), có đồ thị (C)

Chứng minh đường thẳng ( ) :d y2xm luôn cắt (C) hai điểm phân biệt A, B với mọi m Xác định m để đoạn AB ngắn ĐS: m =

1

  

x x

(49)

ĐS: M 1; 2  , M 1; 2  

x y

x

 

 (C ) Gọi (d) đường thẳng qua A( 1; ) có hệ số góc k

Tìm k cho (d) cắt ( C ) hai điểm M, N MN 3 10 ĐS: 3; 41 16 k   k  

Bài 5: Tìm m để hai điểm cực trị hàm số yx33mx23(2m1)x nằm hai phía đường thẳng d: x – y = ĐS: 1;

2

m m

1

2   

x x

y (C) Tìm điểm đồ thị (C) cách hai điểm A(2 , 0)

và B(0 , 2) ĐS: 5;1 , 5;1

2

M    M   

   

1 x y

x



 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết khoảng

cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn ĐS: y x; y  x Bài 8: Cho hàm số yx33mx24m3 (m tham số) có đồ thị (Cm) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x ĐS:

2 m 

Bài 9: Cho đường cong (C): y2x43x22x1 đường thẳng (d): y = 2x – a CMR (d) khơng cắt (C)

b Tìm (C) điểm A có khoảng cách đến (d) nhỏ

ĐS: 3; , 3;

2 8

A    A  

   

Bài 10: Tìm đồ thị hàm sơ (H):

3 2

x x

y

x

 



 hai điểm thuộc hai nhánh cho khoảng

cách điểm nhỏ

ĐS: 4 4 4 4 4 4

min

9 1 9 1 3

; , ; ,

80 2 80 80 2 80

A     B      AB  

   

Bài 11: Cho (Cm):

2

( 1)

mx m x m m

y

x m

   



 Tìm (Cm) điểm có tổng khoảng cách

(50)

ĐS:

3 3

0

2 ;

1

m m

M m mx

x m m

 

    

   

 

với

3

0 2

1 m

x m

m

  



Bài 12: Tìm khoảng cách đồ thị sau:

a) : y2x5 (P): yx21 b) : y 1 x (P): y x2 x c) :y x (P): y x2 x

Bài 13: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số : y 3x x

 

 Tìm điểm thuộc (C)

cách đường tiệm cận ĐS: 2 2;3 , 2   2;3 

x y

x

 

 (C)

(51)

BÀI GIẢNG SỐ 7: MỘT SỐ BÀI TOÁN HÀM SỐ KHÁC Dạng 1: Bài tốn diện tích tam giác

Ví dụ 1: Cho hàm số yx42mx23m1 (Cm) Tìm m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu các điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích

Lời giải

Để hàm số có điểm cực trị phương trình y’ = có nghiệm phân biệt

3

4x 4mx

   có nghiệm phân biệt x2

x m

 

  



Điều kiện m > Khi đó: x

x m

  

     

Vậy điểm cực trị  Cm A(0;3m1); (B m;m23m1); (C  m;m23m1) Do tính đối xứng đồ thị hàm số trùng phương nên ABC cân A

Gọi H trung điểm BC 2

(0; 1)

H m m AH m m

       

2

ABC

BC  mS  m m

Mà SABC 1  m1 Ví dụ 2: Cho hàm số yx32mx2(m3)x4 (Cm)

Cho đường thẳng (d) có phương trình y x 4và điểm K(1; 3) Tìm m để (d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C cho tam giác KBC có diện tích

Lời giải

Phương trình hồnh độ giao điểm  Cm (d) là: x32mx2(m3)x  4 x

3

2 ( 2)

x  mx  m x

2

2 ( )

x

x mx m

 

      



(d) cắt Cm điểm phân biệt phương trình   có nghiệm phân biệt 0

Điều kiện

2

' 2

1

2 0

0 m

m

m m

m

m m m

m

 

      

   

 

        

    

(52)

Gọi (B x xB; B4); (C x xC; C4)với x ,B x nghiệm phương trình C  

Theo định lý Viet ta có:

B C B C

x x m

x x m

  



  



Ta có: BC  2(xBxC)2  2xBxC24x xB C  2(4m24m8)

Mặt khác ( ; )

KBC 

S d K d BC 2 16

2

  BC BC

Vậy 2(4m24m8) 168m28m16256

2

8m 8m 272

    137

2

m 

 

Ví dụ 3: Cho hàm số 2 (1)

3

y x mx  x m Tìm giá trị (0; )5

m cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số (1) đường x0,x2, y0 có diện tích

Lời giải

3

1

2

3

y x mx  x m

Ta có đạo hàm y' x  2mx 2 ,

2

1 (0; 2) '

1 (0; 2)

x m m

y

x m m

     

  

     



x x2 y’ - +

y

1

3 m

 

2m – 5/3

Vì 0;5 m 

 nên dễ thấy

1

2

3

0

2

3 m

y m

  

  



  



trên khoảng (0; 2)

(53)

2

3

0

1

2

3

S   x mx  x m dx

 



2

4

2

0

1 10 (2 )

12 3

x mx m

x m x

  

       

 

Vì 10 12 S   m  m

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2 ( m) yx  x  m C

a) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm chung với Ox

b) Chứng minh với tham số m, đồ thị hàm số ln có điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân Đs: a) m = 0, m >

Bài 2: Cho hàm số yx42a x2 2b (a0) Tìm a, b để hàm số đạt cực đại cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm sô tạo thành t am giác Đs:

3, a  bR

Bài 3: Cho hàm số ( ) x

y C

x

 

 Cho điểm M x y( ,0 0)C mà tiếp tuyến M cắt đường tiệm cận ( C) A B

a) Chứng minh M0 trung điểm AB

b) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận Chứng minh diện tích tam giác IAB khơng đổi tìm tọa độ điểm M0 để đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ

Đs: b) M(3; 3), M(-1; -1)

( )

1 m

x x m

y C

x

  

 Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) tạo với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích nhỏ Đs: m ( 1;1) \{0}

Bài 5: Cho hàm số yx32x2(m1)xm C( m)

Trong trường hợp (Cm) đồng biến R, tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm

số (1) hai trục tọa độ Ox, Oy có diện tích Đs: 13 m 

Dạng 2: Bài tốn điểm cố định

Ví dụ 3: Cho hàm số (Cm)

3

2 y x mx mx m a) Chứng minh (Cm) có hai điểm cố định

(54)

Lời giải

a) Gọi M x y( ;0 0)là điểm cố định đồ thị hàm số (Cm) ta có

3

0 0

2

0 0

2

0 0

3

0

2

( 2)

2 1,

2,

y x mx mx m m

m x x x y m

x x x y

x y

     

       

        



  



   

 



Vậy đồ thị có hai điểm cố định (-1; -4) (2; 5)

b) Phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm cố định có dạng

1

3

x y

y x

 

   

(d) tiếp xúc với (Cm) hệ phương trình sau có nghiệm

3 ' '

3

2

( 3) (3 1) 3

2 3 ( 3) 2

3 3 (1)

( 2)( 1)( 1) (2) ( 2)[ ( 2) 1]

x mx mx m x x mx m

x mx mx m x x mx m x m

x mx m x mx m

x x x m

x x m x m

          

 

 

           

 

 

         



 

    

     

 



Từ (2) ta có

1 x x

x m

         

+) Nếu x = 2, thay vào (1) suy m =

+) Nếu x = -1 thay vào (1) suy m =

+) Nếu x = –m thay vào (1) ta có

2

0

3(1 ) (1 ) 7

5

m

m m m m m m

m   

         

  

Vậy giá trị m cần tìm

0 m m m

(55)

(Cm) : y  x 2mx 2m1 a) Tìm điểm cố định (Cm)

b) Tìm m để tiếp tuyến hai điểm cố định vng góc với Đs: a) (-1; 0), (1; 0)

b) 3;

4

m m

Bài 8: Chứng minh   m đồ thị hàm số

2

2x (1 m x) m y

x m

   



 luôn tiếp xúc

với đường thẳng cố định điểm cố định Đs:  1; , f '( 1) 1.  Dạng 3: Bài toán đối xứng

Ví dụ 4: Cho hàm số yx3mx29x2 ( )C Với giá trị tham số m đồ thị hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ

Lời giải

Gọi A x y( ;1 1), (B x2;y2) ( ) C đối xứng qua gốc tọa độ ta có

1

3

1 1 2

2

3 2

1 2

2

0

0 ( 9 2) ( 9 2) 0

( ) ( ) 9( ) 4

2

x x x x

y y x mx x x mx x

x x x x

x x m x x x x mx

x x

x m

 



 

 

   

       



 

   

 

 

 

        

 

 

     

 

Để tồn hai điểm A, B đối xứng qua gốc tọa độ m >

Ví dụ 5: Chứng minh đường thẳng y x 4 trục đối xứng đồ thị hàm số 2 x y

x

 



Lời giải

Gọi đường thẳng vng góc với (d) có dạng y  x m (d’) Yêu cầu toán tương đương với phải chứng minh (d’) cắt (C) điểm phân biệt A B đối xứng qua (d)

Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d’) (C)

2

(4 ) (1)

2 x

x m x m x m

x

         

(56)

Gọi A x( ;1  x1 m B x), ( 2; x2 m) x x nghiệm (1) 1, 2

Theo định lý viet ta có: x1x2 m Gọi I trung điểm AB ta có tọa độ điểm I

1 ( 2) 4

( ; ) ( ; )

2 2

x x x x m m m

I       

A, B đối xứng qua (d) điểm I thuộc đường thẳng (d), thay tọa độ I vào (d) ta có

4 4

4

2 2

m m m m

    (đpcm)

Bài 9: Cho hàm số yx33x2 ( )C Tìm đồ thị (C) cặp điểm đối xứng qua điểm I(2;18) Đs: (1; 2) (3; 34)

Bài 10: Cho hàm số y2x32(3m1)x26 (m m1)x1. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng d: y = x + Đs: Khơng có giá trị m

Bài 11: Tìm đồ thị hàm số

3

x x

y x

 



 cặp điểm đối xứng qua đường thẳng

có phương trình: –x +2y +3 = Đs: Không tồn

Bài 12: Tìm đồ thị hàm số

3

2 11

3

x

y  x  x hai điểm phân biệt A, B đối xứng

qua trục tung Đs: 3;16 , 3;16

3

   

   

   

Dạng 4: Bài tốn min, max góc

Ví dụ 6: Cho đường thẳng d: y = 4x + a đồ thị hàm số (C): x y

x



 Chứng minh (d)

cắt ( C ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x x với a Tìm a để 1, 2 x1x2 nhỏ

Lời giải

Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C)

2

3

4 ( 7) (1)

1 x

x a x a x a

x       

(57)

2

0 ( 7) 16 49

( 1) 48 ( )

a a a a

a a

         

    

Xét

2

2 2

1 2

( 7) ( 1) 48

( )

16 16

a a

x x  x x  x x    a   

Vậy x1x2 min  3  a

Ví dụ 7: Cho hàm số yx42mx2m2m. Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị tạo thành góc 1200

Lời giải

Ta có y' 4x34mx Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị phương trình

3

2

0

4

0 x

x mx

x m

 

   

 

 có nghiệm phân biệt

Điều kiện m < Khi tọa độ điểm cực trị A(0; m2

+ m), (B m m C; ), ( m m; ) Do tính đối xứng đồ thị hàm số trùng phương qua Oy nên dễ thấy tam giác ABC cân A

Ta có AB m;m2 ,AC  m;m2 Để tam giác có góc 1200

góc phải góc A

Ta có

4

3

0 ( )

cos

2

3

m L

AB AC m m

A m m

m

m m

AB AC

 

 

         





Vậy giá trị m cần tìm

3

1 m 

Bài 13: Tìm điểm đồ thị hàm số y2x43x22x1 cho khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 2x  y đạt giá trị nhỏ

ĐS: 3, ; 3, ; min

2 8 d 40

   

     

   

(58)

Bài 14: Tìm tọa độ điểm M đồ thị hàm số 1 x y

x

 

 để tổng khoảng cách từ M đến hai trục

tọa độ nhỏ ĐS: M 1, 1 ; Tmin  x0  y0  2 

Bài 15: Cho hàm số (1)

y x mx   x m Tìm m để khoảng cách hai điểm cực trị

của đồ thị hàm số nhỏ ĐS: m 

Bài 16: Cho hàm số yx33x2m Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho góc AOB = 1200 ĐS:

3

m  

Dạng 5: Một số tốn khác

Ví dụ 8: Cho hàm số yx x( 3)2 Tìm tất giá trị a để đường thẳng yaxb không thể tiếp xúc với đồ thị hàm số cho ĐS: a  3

Bài 17: Cho hàm số y  x3 3x24 (1) Tìm m để đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu tiếp xúc với đường tròn sau: (x m )2  (y m 1)2 5 Đs: m = -8, m =

Bài 18: Cho hàm số y2x44 x2 (1) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) b) Tìm m để phương trình 2

2

x x  m có nghiệm phân biệt Đs: < m <

Bài 19: Cho hàm số y  x3 3x2mx2 Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (0, 2) Đs: m0

Bài 20: Cho hàm số (C) x y

x

 

 Cho điểm A(0; )a Tìm để từ A kẻ tiếp tuyến tới

đồ thị (C) cho tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục hồnh Đs: a < -4

Bài 21: Cho hàm số (C)

2

x y

x

  

 Chứng minh với m đường thẳng y x m

(59)

BÀI GIẢNG SỐ 8: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TỐN CĨ THAM SỐ

Tính chất 1: Cho phương trình f x( )m 1 với x xác định D

Phương trình (1) có nghiệm D khi    

x D x D

Min f x m Max f x

   

Tính chất 2: Điều kiện để bất phương trình f x( )m (2) với x xác định D a) Có nghiệm miền D khi  

x D

Max f x m

 

b) Nghiệm với xDkhi  

x D

Min f x m

 

Tính chất 3: Điều kiện để bất phương trình f x( )m 3 vớivới x xác định trênD a) Có nghiệm miền D khi  

x D

Min f x m

 

b) Nghiệm với xDkhi  

x D

Max f x m

 

Phƣơng pháp chung để giải tốn có tham số:

Bước 1: Cô lập tham số chuyển tham số vế (Chú ý điều kiện)

Bước 2: Tìm giá trị min, max (Nếu phải đặt ẩn phụ ý điều kiện ẩn phụ)

Bước 3: Dựa vào tính chất , tính chất tính chất để kết luận giá trị cần tìm tham số

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:

3 x 1 m x 1 x 1 (1)

Giải

Tập xác định: D1;  

Khi chia hai vế phương trình (1) cho x1, ta được:

4

1 1

3 2

1

   

    

 

x m x m x x

x x

Đặt 1

 



x t

x , ta có 4

1



   

 

x t

(60)

Xét hàm

( )

f t  t t với t0;1, ta có f t'( ) 2 6t

 

'

3

f t   t

Qua bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm 1 m

   

Vậy: 1 m

  

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau: 2(sin4xcos4x) cos 4 x4sin cosx x m 0 có một nghiệm thuộc đoạn [7 ;3 ]

12  

Giải

Ta có: sin x cos x   cos4x + 4sinxcosx - m =

2

1

2 sin 2x 2sin 2x 2sin2x m

3sin 2x 2sin2x m 3sin 2x 2sin2x m

 

        

 

     

   

Đặt tsin 2x [7 ;3 ] 12

x   nên 1; t   

 , hương trình trở thành

2

3t 2t 3 m

Xét hàm số f t 3t22t với 1; t   

  f ' t   6t với

1 1;

2

t  

    

 

(61)

Quan sát bảng biến thiên ta có: 5

4      m m

Vậy: m

  

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:

2 2

sin os sin

2 x3c x m.3 x

Giải

Đặt sin

t x với 0 t phương trình cho trở thành:

1

2 3

3

t t

t t t

m m

    

       

   

Xét hàm số  

3

t t

f t       

    , với t 0;1

 

' 2 1

ln ln

3 9

t t

f t        

    , nên f t nghịch biến    0;1

T f’(t) -

f(t)

Phương trình cho có nghiệm

 0;1    0;1    1  0 Min f t  m Max f t  f  m f   m

Vậy: 1m4

(62)

 

2

log ( x 2xm)4 log (x 2xm)5

Giải

Điều kiện:

2

x  x m

Đặt  

4

log ,

t x  xm t phương trình  1 trở thành t2      4t 5 t 1, kết hợp điều kiện ta 0 t

  2

2

4 2 2

2

0 log

2 4

x x m x x m

x x m

x x m x x m

       

 

     

     

 

 

Để bất phương trình  1 nghiệm với  

 

  

2

0,2

2

0,2

2

[0; 2]

2

Min x x m

x

Max x x m

   



  

  

 

1

2 4

m

m m

   

     



Vậy ta có 2 m

Ví dụ 5: Tìm m để bất phương trình sau:  3  

3 1

x  x  m x x có nghiệm

Giải

Điều kiện x1

Với x1  x x13 0, bất phương trình  1 tương đương với

   

3

2

x x

m

x x

  

 

Xét hàm số  

 

3

1

x x

f x

x x

 



  , với x1

Ta có:

 

        

3

2

6

1 1

' 1

2 2

f x x x x x x x x x

x x

   

             



 

 

 

Vì 1 0, 3 0,

(63)

Bất phương trình  1 có nghiệm bất phương trình  2 có nghiệm x1

1;   

m Min f x m



   

Vậy: m3

Ví dụ 6: Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm lớn

 

2 2

2 2x 2x

x xx x ax a xx

Giải

Điều kiện:

2xx    0 x 2, x1 nên 1 x Bất phương trình  1 x a 2x 2xx2 x0 2 

Ta có  2

2xx  1 x  1 2xx  x 0,  2

2

x

x a a

    

Xét hàm số   2x

x

f x  , với 1; 2 '  ln

2x ln

x

x  f x     x

(64)

Qua bảng biến thiên ta có:

1;2

1 ln a Max a

e

  

Vậy: ln a

e



Ví dụ 7: Tìm m để hệ sau có nghiệm thực:

2

1 2

3

x y xy x

x x xy m

            Giải

Đặt z y1, z0 hệ cho trở thành

3

2

3

x z xz

x xz m

  

 

  



Rõ ràng z0 không thỏa mãn hệ phương trình nên z0

Đặt xtz, hệ trở thành    

   

3

2 1

3 2

z t t

z t t m

  

 

  



Do z0 nên từ  1 2 0 t t t t         

Chia vế theo vế phương trình  2 cho  1 ta có

2 t m t    

Xét hàm số      

3

, , 2,

t

f t t

t             2 ' t t t f t t t            

X   f’(x) + + - - +

f(x)

2  



Từ bảng biến thiên suy hệ có nghiệm

2

(65)

Vậy:

m m

     

Ví dụ 8: Tìm m để hệ sau có nghiệm thực:

 

2

2013 2013 2014 2014

2

x x x

x

x m x m

   

   

 

    



Giải

Điều kiện: x 1

Bất phương trình thứ 2013 x120132x201322014 1 x 1 Nhận xét:

Nếu x1 20132x20132 0, 1 x nên  1 vơ nghiệm, từ suy để  1 có nghiệm x1 Kết hợp điều kiện ta được:   1 x

Khi  

2

x x

x m x m m

x

  

      



Xét hàm số      

 

2

, 1;1 '

2

x x x x

f x x f x

x x

    

    

 

 

'

f x    x , x  1;1 nên x 2 Bảng biến thiên:

Hệ cho có nghiệm  

1;1

2 m Min f x m



    

(66)

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm khoảng (0; 1)

2

4(log x) log x m 0 ĐS: m

Bài 2: Chứng minh phương trình sau: xx1 (x 1)x có nghiệm thực Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực :

a)

2

16

16 m x

x

   

 ĐS: m 4

b) x m  x22x2 ĐS: m1

c) m 2 x 2x 9 4x2.ĐS: 13 m

 

d) x 9   x x2 9x m ĐS: 10 m

  

e) x x x12m 5 x 4x ĐS: 3 5 4 m 12 f) 2x22m4x5m10  3 x ĐS: m3

g) 9

6 m x

x x  x x   ĐS: m27

h) x2 1 x m. ĐS: 0 m

i) 32 tan2 tanx+cotx

sin x x m   ĐS:

4 m m

     

j) sin 4x c os4x 4 sin6x c os6xsin 42 xm ĐS: 16 m

  

k) 2cos x 2sin x m ĐS: 1  m 1 l) 9x22x4.6x22xm.4x22x 0 ĐS:4

9  m

m) 22   2

2

log log log x m x m x m 

ĐS: 1 m

(67)

Bài 4: Tìm m để phương trình sau:

a)    

1

27

log 27x  1 log xm  1 có nghiệm x0 ĐS: m

 

b) 2.(4 7)x3 (4m  7)x 4.3x có nghiệm x0 c)

.2 x (2 1)2 x

m   m    m có nghiệm thực x x thoả mãn 1, 2 x1 1 x2 2

d)  x2 4x2  5 4x2  m x2 có nghiệm thực phân biệt

Bài 5: Tìm điều kiện tham số m để đường thẳng ym x( 3) cắt đồ thị hàm số x y

x

 



hai điểm phân biệt cho có điểm có hồnh độ lớn

Bài 6: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x thuộc R

a) m.9x4m1 3 x m 1.ĐS: m1

b) m.9xm1 3 x2  m ĐS: m1

c) x 2x2 1 m ĐS: 2 m

d) a 2x2  9 x a ĐS: a 

e) mx44x m ĐS: m 427. Bài 7: Tìm m để bất phương trình sau:

a) m.4x x m1 10 x x 251 x x2 0 thỏa mãn với x0, x1. ĐS: m12 b) 2   2   2

9 x x x x x x

m m

       

thỏa mãn vói

x  ĐS: m3

c) 2 3 5 3 5

x x

x

m   m     thỏa mãn với x0. ĐS: m 

d) 91 1 x2 (m2)31 1 x2 2m 1 thỏa mãn với 1  x

e) x4 6 xx22x m thỏa mãn với 4  x ĐS:m6

f) 2x1 3 x m 2x25x3 thỏa mãn với x

(68)

Bài 8: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:

a) m( x22x  2 1) x(2 x) 0, x0;1  b) x 2 m x2 1

c) 4x 2x

m m

    ĐS: m m

     

d) mx x  3 m

Bài 9: Tìm m để bất phương trình sau:

2

2 2

3

4 ( 2)

m x x

x x x

    

 có nghiệm với x

thuộc tập xác định

Bài 10: Tìm giá trị m để hệ sau có nghiệm thực:

1 1

4

2008 2008 2008 2008

( 1)

x x x

x

m x mx m

   

   

 

    



Bài 11: Tìm m để hệ sau có nghiệm x4,

5

x y

x y m

  

 

   

 ĐS:m5

Bài 12: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt :

4 2x 2x2 64  x 2 6 x m. ĐS: 2 62 64   m 6 2. Bài 13: Chứng minh rằng:

a) Với  a hệ phương trình

2

a x y

y a y x

x



  



  



có nghiệm

b) Với  a hệ phương trình

2

x y a y xy a x

  

 

 

 có nghiệm

c) Với  a hệ phương trình

   

0

ln ln

x y

x y m

e e x y

   

     

(69)

Bài 14: Tìm m để hệ sau có nghiệm thực:

2

2 4 12 105

x xy y

x xy y m m m

   

 

      



ĐS: m m

     

Bài 15: Tìm m để hệ sau có nghiệm thực:

a)

3

1

5

1

15 10

x y

x y m

x y

     



     



ĐS:

2

22 m m

   

  

b)  

 2

2

1

1 10

x y

xy

x y m

x y

  

  

  

  



 

    

 

  



(70)

BÀI GIẢNG SỐ 09: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

Tính chất 1: Giả sử hàm số y f x( ) đơn điệu khoảng ( , )a b x y, ( , )a b thì f x( ) f y( ) x y

Tính chất 2: Giả sử f x( ) hàm số đồng biến khoảng ( , )a b và g x( ) hàm số nghịch biến khoảng ( , )a b , phương trình f x( )g x( ) có nghiệm khoảng ( , )a b thì nghiệm

Nhận xét: Nếu f x( )là hàm số đơn điệu khoảng ( , )a b phương trình ( )

f x c có nghiệm khoảng ( , )a b nghiệm

Tính chất 3: Cho hàm số y f x( )trên khoảng ( , )a b Nếu phương trình f x'( )0 có n1 (nN) nghiệm thuộc ( , )a b phương trình f x( )0 có nhiều n nghiệm thuộc ( , )a b

Ví dụ 1: Giải phương trình: 85 2x

x  x   (1)

Lời giải

Điều kiện: x1

Xét hàm số f x( ) x 1 x4 1; ), ta có '( ) 1

2

f x

x x

  

 

Vậy f x( ) đồng biến miền xác định Mặt khác xét hàm số

5

8

( )

2

x x

g x     , ta có g x'( ) 28x.ln 20 nên g x( ) nghịch biến miền xác định

Theo tính chất 2, phương trình (1) có nghiệm x5, thật vậy: Nếu 1 x f x( ) f(5)g(5)g x( ) nên phương trình (1) vơ nghiệm Nếu x5 f x( ) f(5)g(5)g x( ) nên phương trình (1) vơ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình:

2

2 2

1

log

2

x x

    

(71)

Lời giải

Điều kiện: x R 

Phương trình (2) 2 2

2

log ( 1) log (2 3) (2 3) ( 1)

 x   x x  x  x  x  x  x

log (2 x2  x 1) (x2  x 1) log (22 x24x 3) (2x24x3) Xét hàm số f t( )log2tt t( 0), phương trình (2) có dạng

f x( 2  x 1) f(2x24x3) (2’)

Vì '( ) 1 ln f t

t

   nên f t( ) hàm đồng biến (0, )

Vậy theo tính chất 1, phương trình (2’)

x2  x 2x24x3 2 x

x x

x

 

     





Ví dụ 3*: Giải phương trình: 3x5x 6x2 (3)

Lời giải

Phương trình (3) 3x5x6x 2

Xét hàm số ( )f x 3x5x6x2, ta có f x'( )3 ln ln 6x  x 

Dễ thấy f '( )x hàm số đồng biến liên tục R thỏa mãn điều kiện f(0) (1)f 0 nên phương trình f x'( )0 có nghiệm thuộc khoảng (0, 1)

Vậy theo tính chất phương trình (3) có nhiều hai nghiệm

Dễ thấy x0,x1 nghiệm (3)

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 2( 1) (4)

1 (5)

x y x y

x y

e e x

e x y

 



   

 

   

Lời giải

Lấy phương trình (4) –(5) theo vế ta có hệ phương trình ban đầu tương đương với

1 (4 ') (5')

x y

e x y





   

 

   

Lấy (4’)-(5’) theo vế, ta ex y  (x y)ex y  (x y) (6)

(72)

Theo tính chất 1, phương trình (6)  f x( y) f x( y)     x y x y y Với y0 thay vào (4), ta có : ex  x (7) Xét hàm số g x( )ex x 1, với g x'( )ex1 g x'( )  0 x

Lập bảng biến thiên

x   '( )

g x - +

( ) g x

Từ bảng biến thiên, ta suy g x( )0, dấu  xảy x0 Vậy nghiệm hệ phương trình (0; 0)

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình

1

2

(1 )5 (6)

3 (7)

x y x y x y

x y y y

x

    

   

 

   

 

Lời giải

Biến đổi phương trình (6) dạng: [ ] 9.3

5

x y

x y x y



 

 

   

 

Đặt t x y  , phương trình có dạng: 9.3

5

t t

t

    

  

       

 

 

Dễ thấy vế trái hàm số nghịch biến vế phải hàm số đồng biến nên theo tính chất phương trình có nghiệm t0

Vậy yx, thay vào (7), ta có: x2 3x x 1 2x x

   

Chia hai vế cho x ta x x

x x

     (8)





(73)

Đặt u x (u 0) x

   , (8) 2 u

u u

u

 

     

 

Với

1

2

1

2 x u

x

 

    

 

  

Với 2

2 x

u

x

     

  

Vậy hệ có nghiệm (1 1; 5), (1 1; 5), (2 5; 5), (2 5; 5)

2 2

       

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:

2

log (1 3cos ) log (sin ) (8) log (1 3sin ) log (cos ) (9)

x y

y x

  



   



Lời giải

Điều kiện: cos sin

x y

 

 



Lấy phương trình (8) trừ (9) theo vế, ta có:

2 3

log (1 3cos ) log cos x  xlog (1 3sin ) log sin y  y (10) Xét hàm số f t( )log (1 ) log3  t  3t t( 0), ta có:

'

( ) ( 0)

(1 ) ln ln

f t t

t t

    



Vậy theo tính chất 1, phương trình f(cos )x  f(sin )y cosxsiny Thay sinycosx vào (8), ta có: log (1 3cos )2  x log (cos ) 23 x 

 log (1 3cos )2  x log (9cos )3 x (11)

Đặt 2

3

3cos

log (1 3cos )

log cos cos

t t

t

x x

x t

x t x



     

   

  

 

Vậy phương trình (11) tương đương với 3(2t   1) 3t 3t1  2t (12) Xét g t( )3t1 2t 1, ta có g t'( )3t1ln ln 2. t

Khi

2 3ln 3ln

'( ) log ( )

2 ln ln

t

g t       t

  Theo tính chất 3, phương trình (12) có

nhiều hai nghiệm Dễ thấy (12) có hai nghiệm t t

   

(74)

+) Nếu t1 log (1 3cos ) 12 cos

x x

    , từ sin y Trong trường hợp hệ có nghiệm

(arccos1 , arcsin1 ), (arccos1 , arcsin1 ) ( ,

3k  3m  3k    3m  k m )

( arccos1 , arcsin1 ), ( arccos1 , arcsin1 ) ( , )

3 k  m  k   m  m k

       

+) Nếu t2 log (1 3cos )2  x  2 cosx1, từ siny1 Trong trường hợp hệ có nghiệm ( , ) ( , )

2

k   m  k m

Bài 1: Giải phương trình sau

a) 3x x40 Đs: x1 b) 4log3x2log3x 2x, Đs: x1,x3. c) 2x12x2x  (x 1)2 Đs: x1 d) x2(32x)x2(12x)0 Đs: x0;x2 Bài 2: Giải phương trình sau

e) log2xlog (25 x 1) Đs: x2 f) log7xlog (3 x2) Đs: x49

g) (x2) log (32 x 1) 4(x1) log (3 x 1) 160 Đs: 2; 80 81 x x 

h) 2x 1 5x 1 10x    1 x2 x Đs: x1

i)

1

1 3

2

1

ln(1 ) x ln(1 ) x

x x x

x x

 

     Đs: x1

Bài 3: Giải hệ phương trình sau:

a) sin sin cos 3sin

x y x y

x y

  



   

 Đs: (6 k2 , k2 )

     

, (5 ,5 )

6 k k

(75)

b)

2

y

x

x x x

y y y

                

Đs: (1, 1)

c)

3

2 2

3

1

x y y x

x x y y

     

 

     

 Đs: (1, 2), (1, 0), ( 1, 2), ( 1, 0). 

d)

2

(4 1) ( 3)

( , )

4

x x y y

x y R

x y x

     

 



   

 Đs:

1 ( ; 2)

2 Bài 4: Giải hệ phương trình sau:

a)

2

1 2x y 2x

x y y x

x y           

 Đs: ( 1, 1), (1, 0) 

b)    

2

ln ln

2

x y x y

x xy y

     

 

  

 Đs:  0;

c)

ln ln

2 36

x x y y

x y x y

         

Đs: (1, 1)

d)

3

2

log log 10

2

x y

e e x y x y        

 Đs:  2;

e)

3

3 5

x x x y

y y y z

z z z x

                

Đs: 1;1;1 , 1   2;1 2;1 

f)

5 10

2

4

x xy y y

x y

   

 

   

(76)

BÀI GIẢNG SỐ 10: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Cho f x( )là hàm đơn điệu khoảng ( , )a b , với x y, ( , )a b khi ta có: Nếu f x( ) đồng biến khoảng ( , )a b thì f x( ) f y( ) x y Nếu f x( )nghịch biến khoảng ( , )a b và f x( ) f y( ) x y B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: log7 xlog (3 x2)

(1)

Lời giải:

Điều kiện; x0

Đặt log7x  t x 7t, bất phương trình (1) ( 7) ( 7) 2.( )1

3

t t t t

     

(1’)

Xét hàm số ( ) ( 7) 2.( )1

3

t t

f t   , dễ thấy f t( ) hàm số nghịch biến R

Bất phương trình (1') f(2) f t( ) Theo tính chất hàm nghịch biến ta có

2 log 49

t  x  x

Vậy x49là nghiệm bất phương trình (1)

Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: x x 7 x27x 49 2 x (2)

Lời giải:

Điều kiện x0

Bất phương trình (2) x x 7 x27x2x490 (2’)

Xét hàm số f x( ) x x 7 x27x2x49,ta có

'

2

1

( )

2 7

x f x

x x x x



    

  với x0

(77)

Vậy tập nghiệm bất phương trình 0, 

Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức sau:

cos ,

2

x x

x e   x  x R (3)

Lời giải:

Bất đẳng thức (3) tương đương với:

2

cos 0,

2

x x

x e   x   x R

Xét hàm số

2

( ) cos ( )

2

x x

f x  x e   x  x R

Ta có: f x'( ) sinx e  x x f''( )x  cosx e   x 1 cosx e x   0, x R Vậy f x'( )0 có nghiệm x0

x   '( )

f x - +

( ) f x

Từ bảng biến thiên suy ra: f x( )0 với x R (đpcm)

Ví dụ 4: Cho a b 0. Chứng minh 2

2

b a

a b

     

   

    (4)

Lời giải:

Bất đẳng thức (4) cần chứng minh tương đương với

1

ln ln

2

1

ln ln

2 (4 ')

a b

b a

a b

     

   

   

     

   

   

 



(78)

Để chứng minh (4’) ta xét hàm đại diện:

   

1

ln(2 ) ln 2 1 ln 2 ln 2 1

( ) ln 2, ( 0)

t t t

t t

f t t

t t t

   

    

Ta có:

2

2 2

2 '

2 2

2 ln

ln(2 1)

2 ln (2 1) ln(2 1)

( )

(2 1)

t

t t t t

t

t f t

t t

    



 



Xét hàm g u( )ulnu u( 1), ta có g u'( ) ln  u0 với u1

Vậy g(2 )2t g(22t 1) ln 22t 2t (22t 1)ln(22t 1) Từ suy f t'( )0 Vậy hàm số f t( ) nghịch biến với t0

Theo giả thiết a b 0nên suy

1

ln ln

2

( ) ( )

a b

f a f b

a b

     

   

   

   (đpcm)

Ví dụ 5: Chứng minh với tR,ta ln có: 4sint 2cost 3

Lời giải:

Dễ thấy 2 2

2

sin cos sin cos sin sin

2

sin sin

4 4

cos cos

t t t t t t

t t



 

      



 

Đặt sin2  

2 t x x(  1; ), 4sin2t 21 sin2t x2 x



  

Xét hàm số f x( ) x2 x

  đoạn  1, Ta có f x'( ) 2x x

  , '

( )

f x   x

đoạn  1, Vì f x( )liên tục đoạn  1, nên ( )f x minf(1), (2)f 3 Vậy f x( )3,  x  1, hay 4sint 2cost 3 với tR.

Ví dụ 6*: Chứng minh

1

x

x x

e

    với x(0, 1). (6)

Lời giải:

Xét hàm số

1

1 1 1

( ) (1 )

x x x x x

x x x x x

f x x x x x x x

 

    

      với x(0, 1)

Ta có ln ( ) ln ln(1 )

x

f x x x

x

  

(79)

Đạo hàm hai vế (6’), ta có:

'

2

( ) 1 1

ln ln

( ) (1 ) 1 (1 )

f x x

x x

f x x x x x x



 

      

  

   

Xét hàm số ( ) ln 21

x

g x x

x



 

 , ta có  

2 '

2

1 ( 1)

( ) ( 0, )

(1 ) (1 ) x

g x x

x x x x



     

 

Suy rag x( )là hàm số đồng biến khoảng  0, , g x( )g(1)0 Vậy

'

2

( )

( ) ( ) (1 )

f x

f x g x

x

 

 Từ suy f x( )là hàm nghịch biến khoảng  0,

Vậy

1

1 1

2

( ) lim ( ) lim (1 ) lim (1 1)

x x

x x x

f x f x x x x

e                         (đpcm)

Ví dụ 7: Cho xy12. Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:

2

9 16

(4 )

9 16 576

P x y

x y

   

 

Lời giải

Ta viết biểu thức lại dạng sau: 2 2 1( )2 4

1 x y P x y                

Đặt ,

3

x y

u v , ta có uv1 biểu thức P có dạng:

2

1 1

( )

1

P u v

u v

   

 

Trước hết ta chứng minh: 2 2 ( 1) 1u 1v 1uv khi uv Thật bđt cần chứng minh tương đương với

2

2 2

1 1 ( ) ( 1)

( ) ( ) 0

1 1 (1 )(1 )(1 )

u v uv

u uv v uv u v uv

 

     

      

Bất đẳng thức với uv1

Ta có 2

( ì ( ) )

P uv v u v uv

uv

   



Đặt uvt t( 1), xét hàm số ( ) ( 1)

f t t t

t

  



Ta có

 2

'( ) ( 1)

1

f t t

t

    

(80)

Vậy hàm số f(t) đồng biến t1 nên suy f t( ) f(1)2

Dấu xảy

3

1

4 x y

uv u v

u v u v x

y

  

 

  

  

        

 

  

 

C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Giải bất phương trình sau:

a x3  x2 3x26x70 Đs: x1

b x135x7 47x5513x7 8 Đs:

5   x

c x2 2x3 x2 6x11 3x x1 Đs: 2x3 d x4 2 2x4 13 Đs: x0 Bài 2: Giải bất phương trình sau

a xlog2 x1 Đs: x1 b 2.2x 3.3x 6x 1 Đs: x2

c

2

2 32

 

 



x x

x

Đs: 2

1  x

d 12

7

12

log

2

3     

  

  

  

x x x

Đs:   

         

13 61 ; ; x

Bài 3: Cho bất phương trình

m x x m  m x m

4

2

2 21  4 3    

a Giải bất phương trình với m2 Đs:

5

 

x

b Tìm m để bất phương trình vơ nghiệm Đs: m Bài 4: Cho bất phương trình

  2 log 2 log 1 4

2m1x4  m2m2  m2 m  m x

(81)

b Tìm m để bất phương trình nghiệm x 0;1 Đs: m1 8;1 2;3 Bài 5: Chứng minh với

2

0 x ta có x tanxx sin

Hướng dẫn: Xét biến thiên hàm số f x  x tanxx sin )

( với 

      ;  x

Bài 6: Chứng minh với

2

0 x ta có tan sin 2

2   

x x x

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho vế trái, đưa bất dẳng thức cần chứng minh tương đương với 2sinxtanx3x

Bài 7: Chứng minh với x 0;1 ta ln có  

3 1x2 

x Từ chứng minh

nếu a,b,c0 a2 b2 c2 1

2 3 2 2

2      

b a c a c b c b a

Hướng dẫn: Xét biến thiên hàm số  2 )

(x x x

f   với x 0;1

Bài 8: Chứng minh xy1

8 4  

y

x

Hướng dẫn: Xét biến thiên hàm số  4 )

(x x x

f   

Bài 9: Chứng minh với x0 ta có 2 2



x x

x ex

Hướng dẫn: Xét biến thiên hai hàm số x

e x

f( )

2 ) ( 2    x x x x

g

khoảng0;

Bài 10: Chứng minh với 

      ; 

x

sin ) sin (cos cos 

 x x

x x

Hướng dẫn: Đặt t cotx xét biến thiên hàm f(t) với t 0;1

Bài 11: Chứng minh x 1 n số nguyên lớn   n n n

x

1   

Hướng dẫn: Xét biến thiên hàm số

n n n x x x f                 2 )

( khoảng  1;1 với n nguyên dương cách sử dụng phương pháp quy nạp

Bài 12: Chứng minh với x dương ta có x x sinxx

(82)

Hướng dẫn: Xét biến thiên hàm số f x x x sinx

) (

3

 

 g(x)sinxx khoảng 0;

Bài 13: Chứng minh x0 với số nguyên dương n ta có

! !

2

n x x

x e

n x     

Hướng dẫn: Xét biến th4iên hàm số 

  

 

     

! !

) (

2

n x x

x e

x f

n x

n khoảng

0; với n nguyên dương cách sử dụng phương pháp quy nạp

(83)

Bài tập tổng hợp: CÂU HỎI PHỤ TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC NHỮNG

NĂM GẦN ĐÂY

Khối A

Câu 1(2013) Cho hàm số

3 (1),

y  x x  mx m tham số thực

Tìm m để hàm số (1) nghịch biến khoảng 0;

Câu 2(2012) Cho hàm số 2

2( 1) (1),

yx  m x m m tham số thực

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông

Câu 3: (2011) Cho hàm số

2

x y

x

  



Chứng minh với đường thẳng y x m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B Gọi k k1; hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m

để tổng k1k2max

Câu 4:(2010) Cho hàm số yx32x2 1 m x m  (1),m

Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x x x1, 2, thỏa

mãn điều kiện 2

1

x x x 

Câu 5: (2009) Cho hàm số (1)

2

x y

x

 



Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục

tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O

Câu 6: (2008) Cho hàm số  

2

3 2

(1),

mx m x

y m

x m

  



 tham số thực

(84)

Câu (2007) Cho hàm số  

2

(1),

x m x m m

y m

x

   



 tham số

Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực trị đồ thị

với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O

Câu (2006) Vẽ đồ thị hàm số

2 12

y x  x  x

Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt

2 x 9x 12 x m

Câu (2005) Gọi (Cm)là đồ thị hàm số

1 (1),

y mx m

x

  tham số

Tìm m để hàm số (1) có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm)đến tiệm cận

xiên (Cm)

2

Khối B

Câu 10 (2013) Cho hàm số

2 3( 1) (1),

y x  m x  mx m tham số thực

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho đường thẳng AB vng

góc với đường thẳng y = x +

Câu 11(2012) Cho hàm số 3

3 (1),

yx  mx  m m tham số thực

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện

tích 48

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC, O

gốc tọa độ, A điểm cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị lại

1 x y

x

 

(85)

Tìm m để đường thẳng y  2x m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích

2 (1)

y x  x

Với giá trị m, phương trình 2

x x  m có nghiệm thực phân biệt

4 (1)

y x  x 

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua điểm

 1; 9

M  

Câu 16(2007) Cho hàm số 2

3 3( 1) (1),

y  x x  m  x m  m tham số

Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ O

2 x x y

x

  



Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp vng góc với tiệm cận xiên (C)

Câu 18(2005) Gọi (Cm) đồ thị hàm số

( 1)

,

x m x m

y m

x

   



 tham số

Chứng minh với m bất kỳ, đồ thị (Cm) ln ln có điểm cực đại, cực tiểu khoảng

cách hai điểm 20

Khối D

2 ( 1) (1),

y x  mx  m x m tham số

Tìm m để đường thẳng y = - x + cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt

Câu 20 (2012) Cho hàm số  

2 (1) ,

3

y x mx  m  x m tham số

(86)

1 x y

x

 



Tìm k để đường thẳng ykx2k1 cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A B đến trục hoành

Câu 22(2010) Cho hàm số y  x x 

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng

1

y x

(3 2)

yx  m x  m, m tham số

Tìm m để đường thẳng y 1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ

hơn

3 (1) yx  x 

Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k ( k > - 3) cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn AB

1 x y

x

 

Tìm tọa độ điểm M( )C , biết tiếp tuyến (C) M cắt hai trục Ox, Oy A, B tam giác OAB có diện tích

4

3

yx  x

Gọi d đường thẳng qua điểm A(3; 20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) điểm phân biệt

Câu 27(2005) Cho hàm số ( )

3 m

m

y x  x  C

Gọi M điểm thuộc (Cm) có hồnh độ – Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm

(87)

Đáp án:

1) m 1 2) m = 3) k1k m2 ax    2 m 4)

1

0 m m

   

   

5) y  x 6) m 1 7) m  4 8) 4 m

9) m = 10)

2 m m

   

 11) m 2 12) m 2 2

13) m 2 14) 0 m 15) y24x15 15 21

4

y x

16)

2

m  17) y  x 25 19)

0 m m

     

20)

3

m

21) k 3 22) y  6x 10 23)

1

0 m m

   

   

25) (1;1), 1; 2 M M  

  26)

15 24 m m

      

Tuyển chọn 10 bài giảng hàm số lớp 12 có đáp án chi tiết dành cho giáo viên và học sinh

Thông tin tài liệu

Hình ảnh liên quan

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan