Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 59 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
59
Dung lượng
4,31 MB
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ Các phép toán tập số phức DẠNG Thực phép toán T z 2 z Câu [2D4-1.1-3] Cho số phức z x yi; x, y ��thỏa mãn z 18 26i Tính A B C D Lời giải Đáp án C 2 3 x3 xy x y y i 18 26i Ta có: z 18 26i � x x yi xy y i 18 26i � � 3t � 3 2 �x 3t 18 � � t t 13 � � � �x 3xy 18 �x 3xt x 18 �� �� � y tx , t � � 3 � � � 3x y y 26 x 2tx t x 26 � � �x 3t t 26 �x 3t 18 2 ( x 0; y không nghiệm) � 3t � � 9t 39t 27t 13 � 9t 39t 27t 13 13 � � � �3t t � �3 � �3 �x3 3t 18 x 3t 18 � �x 3t 18 � � t � � � �x x; y �� � z i �y � � T (1 i ) (1 i ) 2i 2i � z a �� i Tìm điều kiện a để zz �là số ảo Câu [2D4-1.1-3] Cho hai số phức z� A a 1 B a �1 C a D a �1 Lời giải Đáp án C zz� i i a a a 1 i Theo yêu cầu toán : a � a z m 3m m i Câu [2D4-1.1-3] Cho số phức , với m �R Tính giá trị biểu thức P z 2016 2.z 2017 3.z 2018 , biết z số thực 2016 2016 A P 6.2 B P C P D P 17.2 Lời giải Đáp án B z m2 3m m i Vì số phức số thực nên: m � m 2 � z 3.2 2016 2017 2018 12016 2.12017 3.12018 Khi đó: P z 2.z 3.z z 1 w z x yi �1 x, y �� z 1 Câu [2D4-1.1-3] Cho số phức Tìm phần ảo số phức 2 x x y 2 y xy A x 1 y2 B x 1 y2 x 1 C Lời giải y2 D x 1 Đáp án C z x yi x yi x yi 1 x yi x yi w 2 z x yi x 1 yi x 1 y x 1 y 2 Ta có x y yi x 1 y x2 y2 x 1 y 2 yi x 1 y2 y2 2 y x 1 y Vậy phần ảo số phức z DẠNG Tìm phần thực, phần ảo 2016 2017 Câu [2D4-1.2-3] Tìm phần ảo số phức z i i i i i A i B 1 C Lời giải Đáp án B z i i i i i 2017 i 2018 z 1 i 2018 Ta có i 2018 i � z i 1 i � z 1 i 1 i z Do có phần ảo 1009 2018 1 1 i 1009 D 1 i i 1 i 1 i2 z = z2 = Câu [2D4-1.2-3] Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn 1+ z1z2 �0 Tìm phần ảo số phức w= z1 + z2 1+ z1z2 A Phần ảo C Phần ảo B Phần ảo - D Phần ảo số thực dương lớn Lời giải Đáp án C Do �1 � = z1 � � z1 � z1 = z2 = 1�� �� � � = z2 � � �z2 1 + z1 + z2 z1 z2 z + z2 w= = = =w z 1+ z1.z2 1+ 1z2 +1 z1z2 Ta có Vì w = w nên số thực hay phần ảo w x, y �� Khi phần thực a phần ảo b số phức Câu [2D4-1.2-3] Cho số phức z x yi zi iz là: x y 1 x y 1 y2 y x2 y y x2 a b a b 2 2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 A , B , 2 2 x y 1 x y 1 y yx 2 y y x 2 a b a b 2 2 2 y 2 x , y 2 x y 2 x , y 2 x2 C D Lời giải Đáp án B � x i y 1 � x i y 1 2 y xi � z i x yi i �� � � � 2 iz i x yi y xi y 2 x Ta có: x y 1 y y x2 �w i 2 y x2 y x2 w Câu [2D4-1.2-3] Nếu số phức A z thỏa mãn z = B - z �1 phần thực C 1- z bằng: D Lời giải Đáp án A Đặt z = a+ bi ( a, b��) Ta có z = 1�� � a2 + b2 = Từ 1 1- a + bi 1- a+ bi 1- a bi = = = = = + 2 1- z 1- ( a+ bi ) 1- a- bi ( 1- a- bi ) ( 1- a + bi ) ( 1- a) + b2 ( 1- a) + b ( 1- a) + b2 Suy phần thực 1- a Ta có ( 1- a) + b = 1- z 1- a 2 ( 1- a) + b 1- a 1- a = = 2 2( 1- a) 1- 2a+ a +1- a A z Cách Gọi phần thực 1 1 2- z - z 2- z - z 2A = + = + = = = 1�� �A= 1- z 1- z 1- z 1- z 1- z - z + z.z 1- z - z + Ta có DẠNG Tính mơđun số phức Câu [2D4-1.4-3] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 3(1 i ) z 9i Tìm mơđun z A 13 B 82 C 13 D Đáp án C Gọi z a bi � z a bi z 3(1 i ) z 9i � 2(a bi ) (3 3i )(a bi ) 9i � 2a 2bi 3a 3bi 3ai 3b 9i 5a 3b � �a � (5a 3b) (3a b)i 9i � � �� �| z | 2 32 13 3a b 9 b3 � � z z2 z1 z2 z z Câu 10 [2D4-1.4-3] Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn Tính A B C D Lời giải Đáp án A Áp dụng z1 z2 z1 z2 z1 z2 Khi z1 z2 1 � z1 z2 Câu 11 [2D4-1.4-3] Cho số phức z có phần thực dương thỏa A z =2 Đáp án D B z =3 ( + 3i ) - = � z z- z- z =4 C Lời giải 2 ( ( + 3i ) - = z D Khi z = ) - + 3i = z z Ta có z = a + bi , a,b ��, a > Đặt Ta có a2 + b2 - - z = 2- 3i � z � � a =- � 2 � � � � a + b = a a a = � � � � a =2 3i = a + bi � � �� � �� � � � � � � = b b = � � � � � � b=- � � z z2 z1 z2 z z Câu 12 [2D4-1.4-3] Cho hai số phức z1 , z2 thỏa , Tính A B C D Lời giải Đáp án B 3 z1 i z1 i 2 , 2 Ta chọn: z z2 z1 z Khi đó: , z1 z2 1 0i Cách 2: 2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 Ta có � z1 z2 ( đẳng thức hình bình hành) Cách z1 z 1 z1 z2 � z2 z1 z1 z2 � z1 z2 z1 z2 � z1 z 1 1 z2 z1 z1 z2 z2 , z1 có điểm biểu diễn hai điểm chung hai đường tròn tâm O 0;0 , R1 đường I 1;0 R2 tròn tâm , � 2 �x � x y z � � �� � � i � 2 x 1 y �y � z2 2 � z1 � i � � z2 2 � Xét hệ � z1 � z1 z2 z1 � z2 z z2 z1 z2 z z Câu 13 [2D4-1.4-3] Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn Tính A B C D Lời giải Đáp án A 2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1.z2 z1.z2 Cách Ta có � z1.z2 z1.z2 � z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1.z2 z1.z Từ suy 2 z1 z2 Cách Giả sử z1 biểu diễn điểm M mặt phẳng Oxy Giả sử z2 biểu diễn điểm M mặt phẳng Oxy Gọi I trung điểm M 1M z1 z2 z1 z2 � OM OM M 1M Ta có , suy OM 1M có cạnh uuuur uuuuu r uur z1 z2 OM OM OI 2OI � z z Khi Vậy 2 ( z1 + z2 + z1 - z2 = z1 + z2 ) Cách 3: Sử dụng đẳng thức với số phức z1 , z2 , ta suy z1 + z2 +12 = ( 12 +12 ) z z phương trình Từ 2i z 3i z i Câu 14 [2D4-1.4-3] Cho số phức z thỏa mãn Tính mơđun z z z z z A B C D Lời giải Đáp án D Đặt z x yi x, y �� z x2 y suy z x yi 2i z 3i z i � 2i x yi 3i x yi i Khi � x yi xi y x yi 3xi y i � x y x y 1 i �x y �x �� �� � z i � z �x y �y 1 z a bi a, b �� Câu 15 [2D4-1.4-3] Cho số phức với b thỏa mãn z z Tính môđun số phức w z w w w w A B C D Lời giải Đáp án A z a bi a, b �� z a bi a b 2abi z a bi Với suy 2 z z � a b 2abi a bi � a b a 2ab b i Khi � � a2 b2 a � a2 b2 a a � 2a � � � � � �� 2ab b � � b 2a 1 � � �� b a a � � � � b0 b b0 � � � Vậy số phức w z i � w 22 3 Câu 16 [2D4-1.4-3] Cho số phức z �0 cho z số thực z P= 1+ z w= z 1+ z2 số thực Tính giá trị biểu thức A P= B P= C P = Lời giải Đáp án B � b Đặt z = a+ bi ( a;b��) Do z � 2 Suy z = a- b + 2abi ( a+ bi ) ( 1+ a2 - b2 - 2abi ) z a+ bi 1+ z2 Khi = = 1+ a2 - b2 + 2abi a3 + ab2 + a ( 1+ a 2 - b ) +( 2ab) = ( 1+ a2 - b3 + a2b- b ( 1+ a 2 - b ) +( 2ab) 2 b2 ) +( 2ab) i ��� b3 + a2b- b = D P= � b = 0( loa� i) �� � a2 + b2 = � 2 b a = � z 1 P= = = + 1+ z Vậy Câu 17 [2D4-1.4-3] Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 �0, z2 �0, z1 + z2 �0 P= biểu thức A 1 = + z1 + z2 z1 z2 Tính giá trị z1 z2 P = B P= P= C Lời giải D P= Đáp án D Từ giả thiết z + 2z1 1 = + �� � = z1 + z2 z1 z2 z1 + z2 z1z2 �� � z1z2 = ( z1 + z2 ) ( z2 + 2z1 ) �� � Đặt t= z1 z2 � � z1 � z1 z� � � � =� +1� 1+ � � � � � � � � � � z2 � z2 z2 � � � � , ta phương trình t = ( t +1) ( 1+ 2t) � 1 � t= + i � 2 � 2t2 + 2t +1= � � �t= � 1 t= - i � � 2 z0 2z z2 z z z Câu 18 [2D4-1.4-3] Cho số phức z i , môđun số phức A B C Lời giải Đáp án D 2 1 i 1 i 4i 4i 2i z0 i i i i 2i 2i 2i 5 Ta có D �4 � �3 � � z0 � � � � �5 � �5 � Câu 19 [2D4-1.4-3] Cho số phức z thỏa mãn iz w 1 z 82 82 w w A B i z 1 i z 3i i Tính mơđun số phức w C Lời giải 82 D Đáp án C z a bi; a; b �� Cách 1: Gọi Từ giả thiết, ta có i a bi 1 i a bi 3i i 5a � �a 1 � 5a 2a b i i � � �� � z 1 8i b 8 �2a b 1 � w 82 iz 82 i� w 1 z 8 Suy ra: Cách 2: Sử dụng MTCT Conjg X 3i � i X 1 i � � � i Nhập giá trị Nhập vào hình biểu thức X 10000 100i Màn hình hiện: 50005 19894i 50005 5a � � 19894 2a b Từ ta đoán với số phức X = a + bi biểu thức Phân tích: � 5a 5 2a b i cho kết 5a � �a 1 �� � z 1 8i � a b b � � Vậy, để biểu thức có giá trị , ta phải có w Nhấn q J z (Tổ hợp phím gán SHIFT STO A) Nhấn q c a p Q z R Q 1+q22Q z)= w iz 1 z Kết quả: DẠNG Phương trình bậc theo z (và liên hợp z) 4i z z i Tính S a b Câu 20 [2D4-1.5-3]Cho số phức z a bi , a, b �� thỏa mãn 2 S S 3 A B S 4 C D S Lời giải Đáp án C z a bi � 4i a bi a bi i Ta có � 3a 4b 3b 4a i a bi i � a � 4a 4b � � � 4a 4b 4a 2b i � � �� �S ab 4a 2b � � b � Câu 21 [2D4-1.5-3] Tìm số phức z thỏa 2iz 3z 1 4i A z 2i B z 2i C z 1 2i D z 1 2i Lời giải: Đáp án A z x yi, x, y �� � z x yi Đặt 2iz z 1 4i � 2i x yi x yi 1 4i � x y x y i 1 4i Ta có: x y 1 �x � �� �� � z 2i �2 x y 4 �y Câu 22 [2D4-1.5-3] Cho số phức z thỏa mãn z z 5 A B Đáp án C i z z 7i Khi đó, mơđun z C Lời giải D z bao nhiêu? z 3 z a bi a, b �� Giã sử i z z 7i � i a bi a bi 7i 5a b � �a �� �� b � z 2i �a 3b 7 � � a bi b 4a 4bi 7i z Vậy Câu 23 [2D4-1.5-3] Tính tổng S phần thực tất số phức z thỏa mãn điều kiện z 3z 3 S S S 3 A S B C D Lời giải Đáp án B z a bi, a, b �� Đặt a bi a bi � a bi a b2 2abi 2 � � a b a 1 �� 2 � � 32ab b b0 � b0 � � � 2 � � � 3.2 a a � � a0 � b0�� � a � Với a �b � 3 S 6 3 i i Có tất số phức z , , , 3 S 00 6 Vậy tổng phần thục z 2z i 1 i Câu 24 [2D4-1.5-3] Tìm phần ảo số phức z thỏa mãn A 13 B C 13 D 9 Lời giải Đáp án C z z i i � z z 9 13i Ta có Đặt z a bi a, b �� Khi 3a 9 a 3 � � �� b 13 �b 13 � a bi a bi 9 13i � � Câu 25 [2D4-1.5-3] Cho số phức z thỏa mãn hệ thức sau đây? A T 10 B T 17 z 4i z z i C T 15 Lời giải Giá trị T z 18 z D T 1 số Đáp án B z 4i z z i � z z 1 z i Ta có z 1 z � z z z z z 16 z 16 � T 17 2 z.z z z 2 Câu 26 [2D4-1.5-3] Có số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện ? A B C D Lời giải Đáp án D z x yi x, y �� Đặt , ta có: 2 �x y x yi � � � x yi x y2 �z.z z � � � �� �� �� � 2 2 2 x y z � �x y x y � � � � x 16 � �x 2 � �2 � � �x y �y Vậy có số phức z thỏa đề _ Câu 27 [2D4-1.5-3] Cho số phức z thỏa mãn số phức z A B _ z z i iz 1 z có phần thực dương Tính mơđun C Lời giải D Đáp án B _ _ z z i iz 1 � x yi x y 1 x xyi y xi y 2 �x y y �� 2x y 2xy � �x y y � � �x y y ��y 2 �� �� � y y 1 y y y 1 y ��y � � �� y 2 � x (N ) � � � 1 � y �x ( L) � 2 � z z i z 5i Câu 28 [2D4-1.5-3] Cho số phức z a bi; (a, b ��) thỏa mãn Tính a b A a b B a b 1 C a b D a b Lời giải Đáp án B z i z 5i � a ib i a ib 5i � 3a b i b a 5i 3a b � �a �� �� � a b 1 b 3 �a b 5 � z1 = z2 = Câu 29 [2D4-1.6-3] Cho z1 , z2 số phức thỏa mãn 1 P = z1 + z2 3 A P= K= B P = C Lời giải z1 - z2 = D Tính K= 3 Đáp án A Cách 1: Chọn P= z1 = - - + i, z2 = i 2 2 thõa z1 = z2 = z1 - z2 = Khi � 1� - � - � � � � � � � z1 + z2 = � + i + i� = - 1= � � � � �� � �2 3� � � � � �2 Lý giải cách chọn: Vì ta nghiệm z1 = z2 = z = 1, z = nên z1 ,z2 nghiệm phương trình z = Giải phương trình - - + i, z = i 2 2 Các nghiệm z1 , z2 chọn phù hợp từ nghiệm z = x1 + y1i, z2 = x2 + y2 i Cách 2: Gọi Ta có � � x12 + y12 = x12 + y12 = � � �z = z = � � �2 �1 �� x2 + y2 = �� x2 + y2 = � � � � � � � � � 2 �z1 - z2 = � 2(x1x2 + y1y2 ) =- � x x + y y = ( ) ( ) � � 2 � P= 1 z1 + z2 = 3 ( x1 + x2 ) 2 x12 + y12 ) +( x2 + y2 ) + 2(x1x2 + y1y2 ) ( 1 = +1- = 3 +( y1 + y2 ) = Từ z 2 zz z 0 Câu 30 [2D4-1.6-3] Tìm tất số phức z thỏa mãn: , A z � 3i B z � 2i C z 1 � 3i Lời giải Đáp án C D z � 2i Gọi z x yi với x, y �� Khi đó: z � x y 1 z z z � x yi x yi x y � x x y ta x � x 1 x 1 vào tìm y � Thế Thế 1 vào Vậy z 1 � 3i Câu 31 [2D4-1.6-3] Cho số phức z thỏa mãn bao nhiêu? 1 i z 10 w i z 2 z Hỏi phần thực số phức P z 3 � � � � i �x � �y � 2 2� � 2� � x2 y x y � � 18 18 sin � t ��6 � 4� 3 3 � � sin � t � 1 � t �z i 2 � 4� Dấu xảy Cách 2: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 2 3 � � � � �2 � � � P z i �x � �y � � �x � �y � 2 2� � 2� � � � � � x = y =2 2 (thỏa điều kiện x + y = ) Dấu xảy chỉ Cách 3: x, y �� biểu diễn điểm M x; y mặt phẳng Oxy Giả sử z x yi , 2 1 Từ giả thiết ta có hệ thức x y � M x; y nằm đường tròn C tâm O 0;0 bán kính R 3 z i 2 Theo YCBT, ta cần tìm z để lớn nhất, hay nói cách khác độ dài đoạn MA lớn �3 � A� �2 ; � � � điểm A có tọa độ � Điểm M thỏa yêu cầu phải giao 1 điểm đường thẳng OA với đường trịn Vì phương trình đường thẳng OA y x nên tọa độ M nghiệm hệ � �3 � M ; � � 2 �x y � � �2 2� � � � �3 3 � �y x M� ; � � � � 2 � �3 3 � M� ; x = y =xy � Suy Để MA lớn � 2 �.Vậy z Câu 128 [2D4-4.1-3] Cho số phức z , tìm giá trị lớn biết z thỏa mãn điều kiện 2 3i z 1 2i A B C Lời giải D Đáp án C Gọi z x yi x, y �� 2 3i z � iz � z i � x y 1 Ta có: 2i I 0; 1 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm , bán kính R Gọi M điểm biểu diễn số phức z , ta có IM z OM �OI IM �2 Ta có: z 4i z 2i z a bi, a, b �� Câu 129 [2D4-4.1-3] Biết số phức thỏa mãn điều kiện có mơ đun 2 nhỏ Tính M a b A M B M 10 C M 16 D M 26 Lời giải Đáp án A z a bi, a, b �� z 4i z 2i � a bi 4i a bi 2i Ta có Gọi a 2 � b 4 a2 b 2 � a b 2 z a b a a a �2 2 Vậy z 2 2 2 nhỏ a 2, b Khi M a b z 4i Câu 130 [2D4-4.1-3] Cho số phức z x yi ( x, y ��) thỏa mãn z có mơđun lớn Tính x y 9 x y x y x y x y 5 A B C D Lời giải Đáp án C M a; b điểm biểu diễn hình học số phức z w 4i x, y �� ; M � 3; 4 điểm biểu diễn hình học số phức w Gọi Gọi z 4i � z 4i � x 3 y 16 C 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn hình học z đường tròn tâm M � , bán kính R 4 �: y x � O 0;0 M 3; Gọi đường thẳng qua C nên suy tọa độ M giao điểm 4 � 2 � x �y � z 1 x 3 y 16 � � 5 �� � 4 27 36 x � �y x �y � z 9 � � � Giải hệ phương trình 27 36 9 z i� x y 5 Vậy Vì z MO Câu 131 [2D4-4.1-3] Cho số phức z thỏa mãn z 3i Tìm giá trị lớn z i A 13 B C 13 D Lời giải Đáp án C Đặt w z i z 3i � z 3i � z 3i � z i 2i Ta có � w 2i Ta có : w 2i � w 2i � 1 �w 13 �1 � 1 13 �w �1 13 � Max z i 13 Câu 132 [2D4-4.1-3] Cho số phức z thỏa mãn A 10 B z - + z + = 10 Giá trị lớn nhỏ C D Lời giải z bằng: Đáp án D Giả sử z = x + yi ( x; y ��) Ta có 10 = z - + z + � z - + z + = 2z �� � z �5 2 100 = ( z - 1+ z - 1) �� (�z - ) +( z + ) � � � � Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 2 �� �( a + 4) + b2 +( a- 4) + b2 �50�� �( a2 + b2 ) �9 �� � z �3 Cách Giả sử z = x + yi ( x; y ��) ( x - 4) + y + ( x + 4) + y2 = 10 Từ giả thiết, ta có ( *) M ( x; y) F - 4;0) F2 ( - 4;0) * Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , gọi ( , ( ) có dạng MF1 + MF2 = 2.5 Vậy tợp hợp điểm M ( x; y) biểu diễn số phức z Elip có độ dài trục lớn a= , 2 �c = tiêu cự F1F2 = �� Suy độ dài trục bé b = a - c = � z �5 Khi ta ln có b �OM �a hay z 1 zi Câu 133 [2D4-4.1-3] Tìm số phức z có đạt giá trị lớn i A B C i D Lời giải Đáp án A z a bi, a, b �� a 2� b 1� b2 1 b Đặt Từ giả thiết �� z i a b 1 i a b 1 2b � 2 Dấu “=” xảy b � a � z i z 3 z max z 2i a b Câu 134 [2D4-4.1-4] Cho số phức z thỏa mãn Tính a b B A D C Lời giải Đáp án A z x yi x, y �� Gọi z z � x 3 yi x yi � x 3 y2 x2 y Khi 2 � x 3 y x y � x y x � x y x � x 1 y 22 Suy I 1; , R tập hợp điểm M biểu diễn z đường trịn tâm z 2i z 2i MN , N 1; 2 Ta có Dựa vào hình vẽ nhận thấy MN lớn qua tâm Khi MN NI IM 2 R 2 Suy a 2, b Do a b Câu 135 [2D4-4.1-4] Cho số phức z , z1 , z2 thỏa mãn P z z z1 z z2 biểu thức A B z1 z2 z1 z2 Tính giá trị nhỏ 2 D C Lời giải Đáp án C � z1 �z1 � � OM � � z2 � OM �z2 � � � z z �z1 z2 � � M 1M � P OM MM MM nhỏ M điểm Fermat � � � Khi M 1MM M 1MO OMM 120�và MM MM (vì tam giác M 1OM vuông cân O ) Ta có: 2 x x 2.x.x.cos120�� x x y 2.x y.cos120�� y ; 2 �P � 6 � Pmin � � 6� � Suy z w z số thực Giá trị lớn Câu 136 [2D4-4.1-4] Cho số phức z thỏa mãn z số thực biểu thức A 2 Đáp án A Cách P z 1 i B C Lời giải D z z z � � z z.z z zz 2 2 z số thực w w 2 z 2 z2 � z z z z z z � z z z.z � z (loại z không số thực) C tâm O , R Suy ra: OM với M điểm biểu diễn z , M thuộc đường trịn Ta có: P z i MA A 1;1 , với A � C Ta có: nên MA lớn R 2 Cách Vì z không số thực nên z �0 Suy w �0 Ta có: z w � w z z � z z * 2 z w � � ��� * phương trình bậc hai với hệ số thực � �w �nên có nghiệm phức z1 , z2 liên hợp w Theo Viet ta có: z1.z2 � z1.z2 � z1 z2 � z1 z1 � z Suy P z i �z i 2 z z z2 z Câu 137 [2D4-4.1-4] Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 1 gọi M , N điểm biểu diễn z1 ; z2 mặt phẳng tọa độ tam giác giác MON có diện tích Tìm giá trị lớn z1 z2 A 3 B C D Lời giải Đáp án C Có z1 z1 z2 z2 � z1 z2 � z1 z2 z2 z1 z2 z � z1 z2 z z z2 Thế vào điều kiện ban đầu ta có , Lấy đối xứng điểm N qua Ox điểm P điểm biểu diễn số phức z2 , suy O; P; M thẳng hàng 1 SOMN OM ON sin 2OP.OP.sin OP sin 2 OP sin 8 � OP OP 2 z1 z2 max Mà SOMN nên z i z 2i Câu 138 [2D4-4.1-4]Trong số phức z thỏa mãn điều kiện Tìm số phức z có mơ đun bé A z 2i B z i C z 2i Lời giải D z 3i Đáp án C M x; y z OM Giả sử z x yi biểu diễn điểm có Ta có z i z 2i � x y Bài tốn trở thành tìm M x; y z OM thuộc đường thẳng d : x y cho ngắn nhất: M 2; Dễ thấy OM ngắn M hình chiếu O lên d, tức im z , m �R m m 2i Câu 139 [2D4-4.1-4]Cho số phức Tìm giá trị nhỏ số thực k cho tồn m để A k z �k 1 k B k C Lời giải 1 D k Đáp án A im im 1 m i m2 2m z � z � z m m 2i i m m i m i m2 k �0 � � z �k � � m 2m * k � f m � k �Minf m m2 � Để tồn m thỏa mãn (*) Lập bảng biến thiên Vậy giá trị nhỏ số thực k k2 3 5 1 �k 2 z i z 7i Câu 140 [2D4-4.1-4] Xét số phức z thỏa mãn Gọi m , M giá trị nhỏ z 1 i giá trị lớn Tính P m M 73 73 P P 2 A P 13 73 B C P 73 D Lời giải Đáp án B M x; y A 2;1 B 4, C 1; 1 Cách Gọi điểm biểu diễn z Các điểm , , z i z 7i � MA MB Ta có , mà AB � MA MB AB Suy M thuộc đoạn thẳng AB x � 2; Phương trình đường thẳng AB : y x , với z i MC � z i MC x 1 y 1 x 1 x x x 17 2 2 Ta có f x x x 17 x � 2; 4 Đặt , x � x f� x 4x , f � ( nhận ) � � 25 f� � f 2 13 � , f 73 � Ta có , � � 25 f x f � � � 2� Vậy , 5 73 m �P � M 73 , f x max f 73 M x; y Cách Gọi điểm biểu diễn z A 2;1 B 4,7 C 1; 1 Các điểm , , z i z 7i � MA MB Ta có , mà AB � MA MB AB Suy M thuộc đoạn thẳng AB x � 2; 4 Phương trình đường thẳng AB : y x , với CB 73; CA 13 � CM max CB 73 CM d C ; AB Vậy P 73 73 2 z 2i z i Câu 141 [2D4-4.1-4]Trong số phức thỏa mãn điều kiện , tìm số phức có mô-đun nhỏ 3 16 16 z i z i z i z i 5 5 5 5 A B C D Lời giải Đáp án A a, b �� Gọi z a bi , z 2i z i � a 1 b i a b 1 i Ta có b a b 1 � a 2a b2 4b a b 2b � 2a 6b � a 3b � a 1 2 z a b2 Do đó, 3b 2 10 � 3� b 10b 12b 10 � b � � � 5� b �a 5 Dấu " " xảy z i 5 Vậy z 1 Câu 142 [2D4-4.1-4] Cho z số phức thay đổi thỏa Gọi M , m giá trị lớn M T P 1 z 1 z z2 4m giá trị nhỏ biểu thức Tính giá trị biểu thức A T 13 B T 13 T C Lời giải 13 D T Đáp án B 2 Đặt z x iy Ta có x y Khi đó: P x 1 y (1 x x y )2 y (2 x 1)2 x x � 1� � x � � � x x 1� 2� � � P� 1� � x x 1� x � � � 2� � � 1 20 x � P x x 1; P� 2x 2: P đồng biến nên M m � 1� P x x � P� �x � x 2x � �P nghịch biến nên M m M 3 4m 12 13 Câu 143 [2D4-4.1-4] Cho số phức z thỏa mãn z.z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P z 3z z z z 15 13 A B C D Lời giải Đáp án B Gọi z a bi , với a, b �� T z.z � z � z Ta có: z z 2a ; z� � P z 3z z z z z �z � z z z� � Khi P z z2 P zz Vậy Pmin z2 z z z z zz z z z 1� 3 � z z a a 4a a � a � � 2� 4 � 2 Câu 144 [2D4-4.1-4] Cho số phức z thỏa mãn A B z i M z z 2i Tìm giá trị lớn C D Lời giải Đáp án D z x yi x, y �� z i � x y 1 1 Đặt Ta có Lại có M z z 2i Bunhiacopski � 1 12 z z 2i 2 x y y 12 � x y 1 � 10� � 2.4 10 z + + 4i = z Câu 145 [2D4-4.1-4] Trong số phức z thỏa , gọi số phức có mơ đun nhỏ Khi z =2 z A Không tồn số phức B z0 = z0 = C D Lời giải Đáp án D Cách 1: Đặt z = a + bi (a, b ��) Khi z + + 4i = � (a + 3) + (b + 4) = C Suy biểu diễn hình học số phức z đường tròn I 3; 4 tâm bán kính R M z M z � C Gọi điểm biểu diễn số phức z Ta có: z OM �OI R z M z C �IM Vậy bé Cách 2: � � a + = cos j a =- + cos j � �� � � � � b + = 2sin j b =- + 2sin j � Đặt � � z = a + b = (2 cos j - 3) + (2sin j - 4) = 29 - 12 cos j - 16sin j � = 29 - 20 � cos j + sin j � � 5 � z0 = � � = 29 - 20 cos(a - j ) � � � � z 2i Câu 146 [2D4-4.1-4] Cho số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn nhỏ z 2i A T 50 2 Tính T M m B T 64 C T 68 Lời giải Đáp án C u v �u v �u v Với số phức u v ta có Ta có z i z 2i 3i z 2i 3i �z i �z 2i 3i Vậy � 18 �z �4 18 Ta có z i 18 Suy m 18 , M 18 Vậy z 1 2 2 i , z 1 2 2 i z i 18 T M m 18 18 68 D T 16 z 4i P z z i Câu 147 [2D4-4.1-4] Tìm số phức z cho biểu thức đạt giá trị lớn A z i B z 5i C z 2i D z 3i Lời giải Đáp án B z x yi x, y �� Đặt 2 z 4i � x 3 y � �x sin t � x sin t � �y cos t � y cos t Đặt 2 P z z i x y sin t cos t � sin t cos t P 23 Theo điều kiện có nghiệm phương trình lượng giác P � �� 5� 23� P 46 P 429 13 P 33 Vậy GTLN P 33 x y 33 � � � �y 15 x P 33 � � � � 2 2 x 3 y x 3 15 x � x y � � Ta có � z 5i Cách khác: z x yi x, y �� Đặt z 4i � x 3 y 2 2 2 P z z i x y x 3 y 23 � x 3 y 4 23 33 x y 33 � � � �x y � x y � z 5i � �4 Dấu xảy Câu 148 [2D4-4.1-4] Cho số phức z thỏa mãn z số thực biểu thức A 2 P z 1 i B w z z số thực Giá trị lớn C Lời giải D Đáp án A z z Gọi z a bi, b �0 M a; b điểm biểu diển z Cách Xét z �0 suy w � 2a � � � z �2 a � b � 1� i 2 w z a b a b � � � � Suy b0 � � � b�2 � �� � � a b suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt � � Vì w nên �a b C : x2 y2 phẳng Oxy đường tròn Xét điểm A 1;1 điểm biểu diễn số phức z0 1 i suy P MA � max P OA r 2 C : x y Với r bán kính đường trịn z w � w z z � z z * * 2 z w Cách phương trình bậc hai với hệ số �1 � � ��� � Vì z thỏa * nên z nghiệm phương trình * Gọi z1 , z2 hai nghiệm * thực �w z z � z1.z2 � z1 z2 � z suy Suy P z i �z i 2 Dấu xảy z = 1- i z 1 Câu 149 [2D4-4.1-4] Cho số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn giá trị P z 1 z 1 nhỏ biểu thức Khi đó: A M 5, m B M 5, m C M 5, m D M 10, m Lời giải Đáp án C z x yi x; y �� Đặt z � x y x � 1;1 Ta có Suy Ta có P z 1 z 1 Xét hàm x 1 y2 f x x 2 x f� x Ta có Bảng biến thiên: x 1 đoạn y x 2 x 1;1 , ta f� x � x 2x 2 x , � 3� max f x f � � f x f 1 1;1 � 5� Dựa vào BBT, ta suy ra: 1;1 z 2i z 5i w iz 20 Câu 150 [2D4-4.1-4] Cho số phức z , w thỏa mãn , Giá trị nhỏ m w 10 10 m m 2 A m 10 B C D m 10 Lời giải Đáp án A x, y �� Ta có: Giả sử z x yi z 2i z 5i � x yi 2i x yi 5i � x 1 y x y 5 � x 1 y x y � x x y y x y 10 y 25 2 � x y 20 � x 3 y 10 (1) Mặt khác w iz 20 i x yi 20 xi y 20 20 y x2 Thay (1) vào ta có w 20 y 3 y 10 400 40 y y y 60 y 100 10 y 20 y 500 10 y y 1 490 10 y 1 490 �7 10 Giá trị nhỏ w 10 chỉ y 1 z 1 i z 3i Câu 151 [2D4-4.1-4] Cho số phức z thỏa mãn Giá trị lớn A 13 B C D 13 Lời giải Đáp án D z 3i x yi 3i x y 3 i Gọi z x yi ta có 2 x y 3 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm đường tròn tâm Theo giả thiết I 2;3 Ta có bán kính R z i x yi i x y i x 1 y 1 HM x 1 y 1 M x; y H 1;1 Gọi M H MH Do chạy đường tròn, cố định nên lớn M giao HI với đường tròn �x 3t HI : � �y 2t , giao HI đường tròn ứng với t thỏa mãn: Phương trình � � � � M �2 ;3 ,M � 2 ;3 9t 4t � t � � � 13 13 � � 13 13 � 13 nên � 2 Tính độ dài MH ta lấy kết HM 13 z i Câu 152 [2D4-4.1-4] Tìm mơđun lớn số phức số phức thỏa mãn A B C D Lời giải Đáp án A Giả sử z a bi a, b �� � z i a b 1 i a 2 2 b 1 2 �a � �b � z i � a b 1 20 � � � � � � � �2 � Bài a2 b 1 sin u, cos u 5 u Tồn cho 2 z a b sin u cos u Khi 20 sin u cos u sin u cos x 2 25 sin u cos x � sin u cos x 25 z Cần có �� �� 20 z � 25 z 25 �� 20 2 z� 45 � 25 z z 1 z 2 �400 T z 1 z 1 Câu 153 [2D4-4.1-4] Cho số phức z thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức A max T B max T 10 C max T D max T Lời giải Đáp án A Gọi số phức Ta có Mà z x yi x, y �� z � x2 y T z z 1 x 1 y2 x 1 y2 x2 x y x2 x y2 x 2 x Mà theo Bunhiacopxki ta có 2x 2 2x 2 ( x y ) � x x 20 2 T 2 Nên �T �2 nên max z - i �3 Câu 154 [2D4-4.1-4] Gọi T tập hợp số phức z thỏa mãn z + z số phức có mođun nhỏ lớn Tìm số phức 12 2i + 12i 4i A B C Lời giải Đáp án A Giả sử z = a+ bi ( a,b��) z- �5 Gọi z1, z2 �T D 12+ 4i z - = ( a- 1) + b2 �5 � ( a- 1) + b2 �52 ● �� � tập hợp số phức nằm đường tròn tâm A ( 1;0) bán kính R = Ta có ● z - i = a2 +( b- 1) �3 � a2 +( b- 1) �32 �� � tập hợp cố phức nằm đường trịn tâm B ( 0;1) bán kính R ' = Dựa vào hình vẽ ta thấy zmin = z1 = 0- 2i � � �� � z1 + 2z2 = 12- 2i � � �zmax = z2 = 6+ 0i Cách Áp dụng bất đẳng thức z1 - z2 � z1 - z2 � z1 + z2 ( 1) ( 2) � � z- i � z + i � 2� z � �� �� �� � � z � � � �z - � z - �5 � �z �6 Ta có � z1 - i = z- �5 '' = '' Dấu thứ xảy , kết hợp với ta hệ �z1 - i = � � �z - �5 �� � z1 = - 2i �1 � � � � �z1 = �z2 - = � � �z = �� � z2 = �� � z1 + 2z2 = 12- 2i �2 � � �z - i �3 Tương tự cho dấu '' = '' thứ hai, ta � z - 2i = Câu 155 [2D4-4.1-4] Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z2 + 2+ 2i = z2 + 2+ 4i Giá trị nhỏ P = z1 - z2 biểu thức A P = bằng: B P = C P = Lời giải Đáp án B Đặt z1 = x1 + y1i z2 = x2 + y2i với x1, x2, y1, y2 �� D P = 2 2 � ● z1 - 2i = � x1 +( y1 - 2) = �� tập hợp số phức z1 đường tròn ( C ) : x +( y- 2) = 2 2 ● z2 + 2+ 2i = z2 + 2+ 4i � ( x2 + 2) +( y2 + 2) = ( x2 + 2) +( y2 + 4) � y2 + = �� � tập hợp số phức z2 đường thẳng d : y = - P = z1 - z2 = ( x2 - x1 ) +( y2 - y1) Câu B x ; y �d Ta có khoảng cách từ điểm ( 2 ) đến điểm A ( x1; y1 ) �( C ) z2 - z1 � ABmin A 0; , B ( ) ( 0;- 3) AB = Do Dựa vào hình vẽ ta tìm Nhận xét Ở đường thẳng đường trịn có vị trí đặc biệt nên vẽ hình nhận hai điểm A & B , khơng viết phương trình đường thẳng qua tâm C vng góc với d , sau tìm giao điểm với C d loại điểm z 2i z 2i 2 156 [2D4-4.1-4] Cho số phức z thỏa mãn Biết biểu thức z a bi a, b �� đạt giá trị nhỏ Tính P a 4b 1333 691 P P P 272 272 B C D Lời giải Q z 4i z 6i A P 2 Đáp án A z a bi a, b �� Giả sử �5 � �3 � A� ; � B � ; 2 � M a; b �, C 2; , D 4;6 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi , � �, � z1 2i z2 2i z 4i z 6i 2 điểm biểu diễn số phức z a bi , , , , z 2i z 2i � MA MB Q z 4i z 6i MC MD 2 Khi Ta có MA MB nên M nằm d đường trung trực AB Phương trình đường thẳng d : x y Dễ thấy C , D nằm phía đường thẳng �58 28 � E � ; � 17 17 � Gọi E điểm đối xứng N qua d Khi � Ta có MC MD ME MD nên MC MD đạt giá trị nhỏ M , E , D thẳng hàng hay d cắt DE M Phương trình đường thẳng ED : 13 x y 46 62 24 �62 24 � M � ; �� z i � P a 4b 2 17 17 �17 17 � Suy ... phần thực số phức z z z z z i z z Câu 43 [2D4-1.6-3] Cho số phức z bất kỳ, xét số phức , Khẳng định sau đúng? A , số thực B số ảo, số thực D số thực, số ảo Lời... b a a � � � � b0 b b0 � � � Vậy số phức w z i � w 22 3 Câu 16 [2D4-1.4-3] Cho số phức z �0 cho z số thực z P= 1+ z w= z 1+ z2 số thực Tính giá trị biểu thức A P= B P=... Vậy có số phức thỏa điều kiện đề z i Câu 70 [2D4-2.4-3] Có số phức z thỏa mãn: z số ảo: A B C Lời giải D Đáp án C z a bi � z i a b 1 i, z a b abi Gọi z i Để z số ảo