Tìm giá trị nhỏ nhất - Vẻ đẹp của Toán lớp 8 - Giáo viên Việt Nam

Để tìm cực trị của một biểu thức đại số, ta cần nắm vững:. a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng minh bất đẳng thức.[r]

Chuyên đề tìm GTLN, GTNN (Dành cho bồi dỡng HSG lớp 8)

1 Khái niệm cực trị biểu thức

Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc miền S xác định Nếu với giá trị biến (x0, y0, z0) ¿ S mà ta có: P(x0, y0, z0) ¿ P(x, y, , z) hoặc P(x0, y0, z0) ¿ P(x, y, , z) ta nói P(x, y, , z) lớn nhỏ (x0,

y0, z0) miền S.

P(x, y, , z) đạt giá trị lớn (x0, y0, z0) ¿ S gọi P đạt cực đại (x0, y0, z0) Pmax (x0, y0, z0) Tơng tự ta có: P đạt giá trị nhỏ (x0, y0, z0) ¿ S còn gọi P đạt cực tiểu (x0, y0, z0) Pmin (x0, y0, z0).

Giá trị lớn nhất, nhỏ P miền xác định S gọi cực trị P miền S.

Nguyên tắc chung tìm cực trị biểu thức

Tìm cực trị biểu thức miền xác định vấn đề rộng phức tạp, nguyên tắc chung là:

*) Để tìm giá trị nhỏ biểu thức P(x, y, , z) miền xác định S, ta cần chứng minh hai bớc:

- Chứng tỏ P ¿ k ( với k số ) với giá trị biến miền xác

định S

- Chỉ trờng hợp xảy dấu đẳng thức.

*) Để tìm giá trị lớn biểu thức P(x, y, , z) miền xác định S, ta cần chứng minh hai bớc:

- Chứng tỏ P ¿ k ( với k số ) với giá trị biến miền xác

định S

- Chỉ trờng hợp xảy dấu đẳng thức.

Ví dụ: Cho biểu thức A = x2 + (x - 2)2

Một học sinh tìm giá trị nhỏ biểu thức A nh sau: Ta có x2 ¿ ; (x - 2)2 ¿ nên A ¿ 0.

Vậy giá trị nhỏ A 0. Lời giải có khơng? Giải:

Lời giải không Sai lầm lời giải chứng tỏ A ¿ 0 nhng

cha đợc trờng hợp xảy dấu đẳng thức Dấu đẳng thức khơng xảy ra, khơng thể có đồng thời:

x2 = (x - 2)2 = Lời giải là:

A = x2 + (x - 2)2 = x2 + x2 - 4x +4 = 2x2 - 4x + = 2(x2 -2x - +1) + = 2(x - 1)2 + 2

Ta có: (x - 1)2 ¿ , ∀ x

⇒ 2(x - 1)2 + ¿ ∀ x ⇒ A ¿ ∀ x

Do A = ⇔ x = 1.

Vậy giá trị nhỏ biểu thức A với x = 1. Kiến thức cần nhớ:

Để tìm cực trị biểu thức đại số, ta cần nắm vững:

a) Các tính chất bất đẳng thức, cách chứng minh bất đẳng thức. b) Sử dụng thành thạo số bất đẳng thức quen thuộc:

Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = 0

* -a2 ¿ 0, tổng quát: -a2k ¿ (k nguyên dơng) Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = 0

* |a|≥0 (Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = 0)

* |a|≤a≤|a| (Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = 0)

* |a|+|b|≥|a+b| (Xảy dấu đẳng thức ⇔ ab ¿ 0)

* |a|−|b|≥|a−b| (Xảy dấu đẳng thức ⇔ a ¿ b ¿ a ¿ b ¿ 0)

* 1

2

a a

 

, ∀ a >0

1 2

a a

 

, ∀ a <0

*

2

2 2

a b a b

ab

   

  

  ∀ a,b (Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = b)

*

1 1

, 0

a b ab

a b

   

(Xảy dấu đẳng thức ⇔ a = b)

II - biện pháp thực hiện

(Một số dạng toán cực trị đại số)

Dạng 1: tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức tam thức bậc hai.

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức.

A(x) = x2- 4x+1

Trong x biến số lấy giá trị thực bất kỳ. H

ớng dẫn giải :

Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) ta cần phải biến đổi dạng A(x) ¿ k (k

là số) với giá trị biến trờng hợp xảy đẳng thức Lời giải: A(x) = x2- 4x+1

= x2- 2.2x+1 = (x2- 2.2x+4)- 3 = (x- 2)2- 3

Với giá trị x: (x - 2)2 ¿ 0 nên ta có: A(x) = (x- 2)2- 3 ¿ -3

Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ -3 x=2 Đáp số: A(x)nhỏ = - với x=2

Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn biểu thức

B(x) = -5x2- 4x+1

Trong x biến số lấy giá trị thực bất kỳ H

ớng dẫn giải :

Gợi ý: Để tìm giá trị lớn biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đa B(x) dạng B(x)

¿ k (k số) với giá trị biến giá trị lớn B(x)= k

Lời giải: B(x) = -5x2 – 4x+1 5 x x         2 2 2

5

5 5

x x                         2 4 5 1 5 25 x                 2 4 5 1 5 5 x           2 9 5 5 5 x         

Với giá trị x:

2 x      

  nên

2 5 x         

suy ra: B(x)=

2

2 9 ( )

5 5

B x  x   

 

Vậy B(x)đạt giá trị lớn B(x)=

9

5, x = 

Đáp số: B(x)lớn =

9

5 với x = 

Ví dụ 3: (Tổng quát)

Cho tam thức bậc hai P = ax2 +bx + c Tìm giá trị nhỏ P a > 0 Tìm giá trị lớn P a < 0 H

Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ (lớn nhất) P ta cần phải biến đổi cho P = a.A2(x) + k Sau xét với trờng hợp a>0 a<0 để tìm giá trị nhỏ lớn nhất.

Lời giải:

P = a.A2(x) + k

= a (x2 + b ax) + c

=a(x2+2 x b 2 a+

b2

4a2)+c−

b2

4 a2

2

2 b

a x k

a

 

    

  với

2 4 b k c a   Do 0 2 b x a      

  nên:

+Nếu a>0

2 0 2 b a x a      

  P ¿ k

+Nếu a<0

2 0 2 b a x a      

  P ¿ k

Vậy 2

b x

a 

P có giá trị nhỏ k (nếu a>0) hoặc giá trị lớn k (nếu a<0)

Dạng 2: tốn tìm giá trị nhỏ nhất,giá tri lớn đa thức bậc cao:

Ví dụ4:

Tìm giá trị nhỏ A = (x2 + x + 1)2 H

(?) Ta nhận thấy A = (x2 + x + 1)2 ¿ 0, nhng giá trị nhỏ A có phải hay

khơng? Vì sao?

Trả lời : Mặc dù A ¿ nhng giá trị nhỏ A khơng phải vì: x2 + x +1 ≠ 0 Do Amin (x 2 + x +1)min

(?) Hãy tìm giá trị nhỏ x2 + x +1? tìm giá trị nhỏ A?

Trả lời: Ta có x2 + x +1 =

2 2 1 1 1

2 4

x  x   

2

1 3 3

2 4 4

x

 

    

 

Vậy giá trị nhỏ x2 + x +

3 4 với

1 2 x 

Trả lời: Giá trị nhỏ A

3

4 16  

  

  với

1 2

x 

Ví dụ 5:

Tìm giá trị nhỏ của x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 9

H

ớng dẫn giải :

Gợi ý: -Hãy viết biểu thức dới dạng A2(x) + B2(x) ¿ 0

-Xét xem xảy dấu đẳng thức nào? Giá trị nhỏ biểu thức bao nhiêu?

Lời giải: x4 - 6x3 + 10x2 - 6x +9 = x4 - 2.x2.3x + (3x)2 + x2 - 2x.3 +32 = (x2 - 3x)2 + (x - 3)2 ¿ 0

x2–3x = 0 x(x-3) = 0 x = 0

  x = x = 3

x – = 0 x – = 0 x = 3

Vậy giá trị nhỏ biểu thức với x = 3

Đáp số: Giá trị nhỏ biểu thức với x = 3

Dạng 3: tốn Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ A = x - + x - 3   

H

ớng dẫn giải :

Gợi ý: Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối phải nghỉ tới khoảng nghiệm định nghĩa giá trị tuyệt đối biểu thức.

A Nếu A ¿ 0

A =

 

- A Nếu A ¿ 0

Cách 1: Để tìm giá trị nhỏ A, ta tính giá trị A khoảng nghiệm So sánh giá trị A khoảng nghiệm để tìm giá trị nhỏ A. Lời giải

+ Trong khoảng x < x - = - (x -2) = - x 

x - = - (x - 5) = - x 

⇒ A = - x + 5- x = - 2x Do x < nên -2x > -4 A = - 2x >3

+ Trong khoảng ¿ x ¿ x - = x - 2 

x - = - (x - 5) = - x 

+ Trong khoảng x > x - = x - 2 

x - = x - 5

 

⇒ A = x - + x - = 2x - 7

Do x > nên 2x > 10 A = 2x – > 3

So sánh giá trị A khoảng trên, ta thấy giá trị nhỏ A và ¿ x ¿ 5

Đáp số: Amin = ¿ x ¿ 5

Cách 2: Ta sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối tổng nhỏ tổng các giá trị tuyệt đối.Từ tìm giá trị nhỏ biểu thức A.

Lời giải: A = x - +  x  = x - +  5 x

Ta có: x - + - x    ¿ x - + - x = 3

x -

  ¿

A =   (x - 2) (5 - x) ¿ 0

5 - x

  ¿

 ¿ x ¿ 5

Vậy giá trị nhỏ A ¿ x ¿ 5

dạng 4: Bài tốn Tìm gtnn, gtln phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai

Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn của

3 4x - 4x

M 



H

ớng dẫn giải :

Gợi ý: Sử dụng tính chất a ¿ b, ab >0 ⇒

1 1

a b hoặc theo quy tắc so sánh hai

Lời giải:

Xét M =

3

4x - 4x 5 =

(2 )x  4x  = 1 (2x -1) 4

Ta thấy (2x - 1)2 ¿ nên (2x - 1)2 + ¿ 4

Do đó:

3

(2x -1) 4 4

Trả lời: Vậy M lớn

3

4 2x – = => x =

Đáp số: Mlớn nhất=

3

4 với x =

Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ

1 2x - x - 4 B 

H

ớng dẫn giải :

Ta có: B =

1

2x - x - 4 =

1 x - 2x 

 = (x - 1) 



Vì (x - 1)2 ¿ => (x + 1)2 + ¿ 3

=>

1

(x - 1) 3  => -

1

(x - 1) 3

 



Vậy B nhỏ

1 

x – 1= => x =1

Đáp số: Mnhỏ =

1 

với x = 1

Lập luận dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức

1

x2−3

Mẫu thức x2 - có giá trị nhỏ -3 x = 0

Nhng với x =

1

3

x   giá trị lớn phân thức

Chẳng hạn với x =

1 1

1

3 3

x    

Nh từ -3 < suy -

1  

Vậy từ a < b suy đợc

1 1

a b a b dấu

dạng 5:Bài tốn Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn phân thức có mẫu bình phơng nhị thức

Ví dụ Tìm giá trị nhỏ

2

1 ( 1)

x x A

x

  



Cách 1:

Gợi ý: Hãy viết tử thức dới dạng lũy thừa x + 1, đổi biến cách viết A dới dạng

tổng biểu thức lũy thừa

1

x+1 Từ tìm giá trị nhỏ A.

Lời giải: Ta có: x2 + x + = (x2 + 2x + 1) - (x +1) + 1 = (x + 1)2 - (x + 1) + 1

Do A =

2

2 2

( 1) ( 1) 1

1

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

x x

A

x x x x x

 

     

    

Đặt

1

y x



Ta có: A = - y + y2 = y2 – 2.y

1 + (

1 )2 +

3

= (

y−1

2)

2

+

3

4 ¿

3

Vậy giá trị nhỏ A

3

4 khi:

y=−1

2=0 ⇒ y =

2⇔

1

x +1=

1

⇔ x + = 2 ⇔ x = 1

Đáp số: Anhỏ =

3

4 x = 1

Cách 2:

Gợi ý: Ta viết A dới dạng tổng số với biểu thức khơng âm Từ tìm giá trị nhỏ A.

Lời giải:

A=x

2

+x +1

(x+1)2 =

4 x2+4 x+1 4(x +1)2 =

3 x2+6 x +3+x2−2 x +1 4(x +1)2

A=3( x +1)

2

+(x−1 )2 4( x+1)2

A=3

4+

(x−1)2 4( x +1)2

A=3 4+[

x−1 2(x+1)]

3

A  (vì

2

1

0 2( 1)

x x

   

 



  )

Vậy giá trị nhỏ A

3

4 x-1=0 ⇒ x=1

Đáp số: Anhỏnhất=

3

4 x=1

dạng 6: tốn tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức đại số cách đa

dạng

( ) 0

A x

k  (hoặc

( ) 0 A x

k  )

Ví dụ 10:

Tìm giá trị lớn biểu thức:

2

2

3 10 ( )

2

x x M x

x x

  

 

(Với x thuộc tập hợp số thực) H

ớng dẫn giải :

Gợi ý: Từ M(x) =

3 x2+6 x +10

x2+2 x+3 ta có:

M(x) =

3 x2+6 x +9+1

x2+2 x+3 =

3 ( x2+2 x +3 )+

x2+2 x+3

(?) Ta chia tử thức mẫu thức biểu thức cho x2 + 2x + đợc không? Vì

sao?

Trả lời: Vì x2 + 2x + = x2 + 2x + + = (x+1)2 > với giá trị x nên sau chia cả tử mẫu cho x2 + 2x + ta đợc

M(x) =

1

(x 1) 

 

Trả lời: Bài toán trở thành tìm giá trị lớn biểu thức

1 (x 2) 2

(?) Hãy tìm giá trị lớn

1

(x  từ suy giá trị lớn M(x))

Trả lời: Vì (x+1)2 ¿ Với x Nên (x+1)2 + ¿ với x

Do

1

(x1) 22

Từ ta có:

2

1 1

( ) 3

( 1) 2

M x

x

    

 

Dấu “=” xảy x+1=0 hay x=-1

Vậy giá trị lớn M(x) =

1

2 x=-1

Đáp số: M(x)Lớn =

1

2 với x = -1

Email: info@123doc.org