Rút gọn và tính giá trị biểu thức - Giáo viên Việt Nam

Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai ta vận dụng thích hợp các phép tính về căn thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chưa căn bậc hai ( đưa thừa số ra ngoài dấu căn, t[r]

CHUYÊN ĐỀ 1:

RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC I-CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Để rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai ta vận dụng thích hợp phép tính thức phép biến đổi đơn giản biểu thức chưa bậc hai ( đưa thừa số dấu căn, trục thức mẫu, )

Khi phối hợp phép biến đổi thức với phép biến đổi biểu thức cá dạng phân thức cần ý:

1 Tìm điều kiện xác định biểu thức

-Mẫu khác 0; A xác định A  0; biểu thức chia khác Điều kiện để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

2 ( 0)

( 0)

A A A A

A A

 

 

 



3 Một số hắng đẳng thức(x>=0)

1 ( 1)( 1)

x  x  x  ; x2 x  1 ( x 1)2 ; x x  1 ( x  1)(x x 1)

4 Chú ý :

Một số toán : Chứng minh đẳng thức , chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến… quy Rút gọn biểu thức

Sau rút gọn có câu hỏi tiếp theo, chẳng hạn tìm x để: biểu thức có giá trị nguyên, biểu thức có giá trị dương, biểu thức có giá trị k , biểu thức có giá trị nhỏ nhất,

Cho biểu thức m n p m n p , tìm a b cho

II MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1:

2

:

1

x x x x

 

  có nghĩa x+2  0; x-1  0; x+3 0;

x-2 0  x > -2; x1; x2 Ví dụ 2:

* Nhận xét: ta dùng phép đưa thừa số dấu căn, khử thức mẫu,

1

525 ; 20=4.5;

1

24;

9 9.2 4,5

2

 

;

12,5=

125 25 25.2

10   ; 45=9.5; 18=9.2; 72= 36.2; 200=100.2; 0,08 = 4.2/100; 50=25.2

Bài giải

a)

1

5 20

2 2  =

2

5 4.5

4   =

1

5 2 5

4 2  =

5

2 5

4   =

5

2

4 

b)

1

4.5 12,5

2   =

2 9.2 25.2

4   =

1

2 2

2 2  = (

2 2  ). 2=

2

= 2 5 3.3 2   =  15 2 d) 0,1 200 0,08 0,4 20 

= 0,1.2 0,8 5  = 1,2 0,8 5 Ví dụ 3: Tình giá trị biểu thức

a) 3  3 b) 2  2

 Phân tích

Câu a, Ta tìm a=1 b= 3 thỏa mãn a2+b2=4 2ab= 2 3 nên

4 3 = (1+ 3)2 4 3 = (1- 3)2

* Bài giải

4 3  3 = ( 1 )2  ( 1 )2

= 1 3 - 1 3 = 1+ 3 - ( 3- 1) = b) Nhận xét: 2( 2 3 2 3)=

2(2 3)  2(2 )= 3  4 3

Như ta việc tính câu a chia cho 2 kết quả câu b

Cách khác: kết câu b số âm Bình phương ta được:

( 2  2 )2=(2 3)–2.(2 3)(2 3) +(2 3) = 4

-2.( 4-3) = 4-2 =2= (- 2)2 =( 2)2

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức

A= x 2 x 1 x 2 x1

 Phân tích

Ta tìm a=1 b= x  thỏa mãn a1 2+ b2= x+2 2ab= 2 x 1

Ta có x  2 2 x 1 = (1 x1)2 = 1 x1

 Bài giải

Điều kiện xác định:

1 0 1

2 2 1 0 2 2 1

x x

x x x x

  

 



 

      

 

Với x  xét (x+2)1  4(x+1)  x2 ( với giá trị của

x) Vậy ĐKXĐ biểu thức x 1 Cách giải thứ nhất:

A= (1 x1)2 - (1 x1)2 = 1 x1 - 1 x1

Nếu

1

1

x x

   



 

  

 1 x+10  -1 x  ta có:

A= 1- x  -1-1 x  = -21 x  1

Nếu

1

1

x x

   



 

  

 x+1 1  x0 ta có:

A= x  -1 – 1-1 x  = -21

Cách thứ hai: A< ta tính A2 = 2x+4 - x

Nếu x0 ta có A2= <=> A= -2 ( A <0)

Nếu x<0 ta có A2= 4x+4 suy A=- 2 x  ( A<0)1

* Phân tích toán: Ta thực theo quy tắc thực ngoặc

trước, nhân sau

- Trong ngoặc ta rút gọn biểu thức ( được) quy đồng mẫu

Bài giải

Gợi ý: Để rút gon ta biến đổi làm cho tử mẫu có nhân tử chung

a)

2 3 ( 3)(x 3)

3

3

x x

x

x x

  

  

 

b)

3

1 ( ) (1 )(1 )

1 1

a a a a a a

a a a

    

 

   = (1 a a )

với a>0; a khác

3.2 Bài tập

Bài : Rút gọn biểu thức

1)

2

2

149 76

457 384

 

2)

1

3 1

2

    

3)

1 33

48 75

2   11 

4) 9a  16a 49a Víia 0

5)

a a b

ab

b   b a

6) 5  9 80 7) 3 48 75 243

8) 32  6 9) 4 2 2 2 2

8 2 2 10)

3 2

 

 

 

11) 6 11 6 11

Bài Cho biểu thức A =

2

1 1

x x

x x x x x

  

 

 

     

 :

1  x

b Chứng minh A =

  x x

c Tính giá trị A x = - 28

d Tìm max A

* Gợi ý: b) Trước quy đồng mẫu ta phân tích mẫu thừa số tim Mẫu chung đâ thức chia hết cho đa thức mẫu

. 1

x x  = x 3 1 = ( x  1).( x+ x +1)

1 1

1 x  x  1

c) Để tính giái trị A, trước hết ta rút gọn x

x=

2

8 28 7 ( 1)      

Chú ý

2 0

0

A A

A

A A

 



   ; 7 0 

d) Vì tử số dương khơng đổi, suy Biểu thức A có giá trị lớn mẫu x x 1 có giá trj nhỏ nhất;

Chẳng hạn: Y2+Y+1 = (Y2+ Y+ ¼) +3/4 = (Y+1/2)2 +3/4 >=3/4 với

giá trị Y, dấu = xảy Y =-1/2 Giá trị nhỏ biểu thức ¾ Y=-1/2

Bài Cho biểu thức P = n

4 n n

1 n n

3 n

  

    

(với n  ;0 n 4) a Rút gọn P

b Tính giá trị P với n =

Bài Cho biểu thức M =

2

( a b) ab a b b a

a b ab

  



 ( a , b > 0)

a Rút gọn biểu thức M b Tìm a , b để M = 2006

* Gợi ý: Ta rút gọn

a b b a ab



Bài 5: Cho biểu thức : M =                     

 x x

x x x x x x x 1 :

a) Rút gọn M

b) Tính giá trị M x = + c) Tìm x cho M =1/2

 Gợi ý : Tập xác định M x>0, x 1, x 3 (1)

b) Viết x = 3 dạng bình phương thay vào biểu thưc M đã rút gọn

c) sau tìm x ý kết hợp với điều kiện (1) kết luận xem x tìm có thỏa mãn hay khơng

Bài 6: Cho biểu thức : P = 

                      2 : x x x x x x x x

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P x = 

* Gợi ý: a)

2 x x x x          =

( 2)( 2)

( 2)

x x x x

x x           = x ( 2) x x x    = ( 2) x x 

 0 với x TXĐ: x 4; x 0

P= 1- x

b) biến đổi x= 3

 cách trục thức mẫu ta x= 6-2 =

\= ( 1) ; thay vào P ta P = 1-( 5-1) = 2-

Bài Cho biểu thức : B = 

                  : 1 1 x x x x x x x

a) Rút gọn B

c) Với giá trị x B x = 4/5

Gợi ý:

2

1

x x x



 



 

 

  =

2

1

x x x

 

  =

1

1

x x x x x

   

 

=

3

x x x



  > với x, TXĐ B x >0; x1;

a) B=

x

x  với x >0; x1;

b) 2.B<1 

3

x

x  <1 

3

x x

  

vì x  3 với x nên x  3 0 x 9

Đối chiếu với điều kiện tập xác định ta có x >0; x1; x<9

Bài 8: Cho biểu thức : M = 

 

 

   

   

  

   

 

1 :

1

7

x x

x x x

x x

a) Rút gọn M

b) Tìm số nguyên x để M số nguyên c) Tìm x cho : M >

TXĐ: x>0; x9;

a) M=

1

x x



 với x>0; x9;

b) M=

3 2

1

3 3

x x

x x x x

  

   

   

M có giá trị nguyên chia hết cho x 3

Bài 9: Cho biểu thức : A = : 

   

  

   

 

  

1 1 1

2

x x

x x x

x x x

a) Rút gọn A

c) Tìm giá trị nhỏ A

Bài 10: Cho biểu thức : P = 

                         1 : 1 1 x x x x x x x x

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P x = 

c) Tìm x cho P = 1/2

Bài 11: Cho biểu thức : A =

2 1

1

1

x x x x

x

x x x

x                        

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị A x = 

Bài 12: Cho biểu thức : A = 

                    

 : 1

1 x x x x x x x x

a) Rút gọn A b) Tìm x để A <

Bài 13: Cho biểu thức : B = 

                     2 : 1 x x x x x x x x

a) Rút gọn B

b) Tính giá trị B x = + c) Tìm x nguyên để B nguyên

Bài 14: Cho biểu thức : A = 

              x x x x x

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị A x = 

Bài 15: Cho biểu thức : M =                  x x x x x x x 2

a) Rút gọn M b) Tìm x để M <

c) Tìm số tự nhiên x để M nguyên

Bài 16: Cho biểu thức : A = 

                         : 3 x x x x x x x x

a) Rút gọn A b) Tìm x để A >

Bài 17: Cho biểu thức : P =

3 : 2 4 2 x x x x x x x x x x                 

a) Rút gọn P

b) Tìm số nguyên x để P chia hết cho

Bài 18: Cho biểu thức : M = 

                     

 x x

x x x x x x

x

:

1

a) Rút gọn M

b) Tìm số tự nhiên x để M số nguyên c) Tìm x thoả mãn M <

Bài 19: Cho biểu thức : P = 

                        x x x x x x x x : 1

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P x = 

c) Tìm x nguyên để P số tự nhiên d) Tìm x để P < -1

Bài 19: Cho biểu thức : B = 

                       

 x x

x x x x x x x x 2 : 3

a) Rút gọn B

c) Tìm x cho B.( x – ) = x

Bài 20: Cho biểu thức : M = 

                           1 1 : 1 1 xy x xy xy x xy x xy xy x

a) Rút gọn M

b) Tính giá trị M x = - y = 3  

Bài 21: Cho biểu thức : B = 

                6 3 y x xy xy y x xy y x

a) Rút gọn B

b) Cho B= 10 ( 10) 10    y y y

Chứng minh : 10

9  y x

Bài 22 : Cho biểu thức :

                            : 2 x x x x x x x x x P

a) Rút gọn P.

b) Tìm x để

 

P

Bài 23 : Cho biểu thức :

  1 2          x x x x x x x x x P

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị nhỏ P

c) Tìm x để biểu thức P x Q2

nhận giá trị số nguyên

Bài 24: Cho biểu thức :

2 2 1 1                        x x x x x x P

a) Rút gọn P

Bài 25: Cho biểu thức : 

   

  

       

  

    

2

:

4

x x x

x x

x x x

P

a) Rút gọn P

b)*Tìm m để có x thoả mãn : Pmx x 2mx1

Bài26: Cho biểu thức A =

2

2

x

1 x x

1 x

1

      

 

  

1 Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa Rút gọn biểu thức A