Bước 1: Tìm điều kiện xác định. Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử. Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu. Bước[r]
(1)Tailieumontoan.com
Sưu tầm
CHUYÊN ĐỀ
RÚT GỌN BIỂU THỨC
(2)RÚT GỌN CĂN THỨC
DẠNG 1.1 SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC
A = A 1/.Căn bậc hai:
Căn bậc hai số thực a số x cho x =a
- Với a>0: Ta có hai bậc hai đối a − a - Với a=0: Ta có bậc hai
- Với a<0: Khơng có bậc hai, ta nói a khơng có nghĩa hay khơng xác định
2/.Căn bậc hai số học:
Căn bậc hai số học (CBHSH) số thực a không âm số không âmx mà x =a
Tóm tắt: x a x2
x a
≥
= ⇔
=
Với a≥0 Ta có:
( )
2 a =a
3/.Hằng đẳng thức
A = A :
2
0
A khi A
A A
A A
≥
= =
− <
Chú ý:
A =A A≥0
2
B = −B B≤0
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1: [Mức độ 1] Rút gọn biểu thức A=
(
2− 3) (
2 + 1− 3)
2Lời giải
Biểu thức A=
(
2− 3) (
2 + 1− 3)
2 = −2 + −1 = −2 1− + 3=1Câu 2: [Mức độ 1] Rút gọn biểu thức
5 25 25
B= a − a với a≤0
Lời giải
Ta có:
5 25 25 5 25 50
B= a − a= a − a= − a (vì a≤0)
Câu 3: [Mức độ 1] Thực phép tính: 9− 17 9+ 17
Lời giải
Ta có: 9− 17 9+ 17 = 81 17− = 64=8
Câu 4: [Mức độ 3] Rút gọn biểu thức
2
9 12
3
x x
B
x
+ +
=
+ với
3
x≠ −
Lời giải
Ta có:
( )
(
)
2 2
2 3 2.3 2 3 2 3 2
9 12
3 3
x x x x
x x
B
x x x x
+ + + +
+ +
= = = =
(3)Vì
x≠ − nên
3
3 2
3
3
1
x x
B x
x
> −
+
= =
+ − < −
Câu 5: [Mức độ 2] Tìm x biết:
4
x = −
Lời giải
Ta biến đổi phương trình:
( )
2(
)
22
4 3 3 3
x = − = − + = − + = −
(
)
(
)
3
3
x
x
x
⇔ = ± +
= +
⇔
= − +
Vậy tập nghiệm phương trình S =
{
; - 1+ −}
Câu 6: [Mức độ 2] Rút gọn biểu thức: C= 2− − 2+
Lời giải
Ta viết: 2− = −2 2 1+ =
(
1−)
2(
)
26 2+ = +4 2+ =2 2+
Do đó: C =
(
1−) (
2 − 2+ 2)
2 = 1− − +(
2 2)
= 2− − − = −3Câu 7: [Mức độ 4] Rút gọn biểu thức: D= x+ −2 x+ +1 x+ +2 x+1
Lời giải
Với x + ≥1 thì:
(
)
22 1 1 1
+ − + = + − + + = + − ≥
x x x x x
(
)
22 1 1 1
+ + + = + + + + = + + ≥
x x x x x
Do điều kiện: x≥ −1
Ta có: D= x+ −1 x+ + +1 x+ +1 x+ +1
(
) (
)
2
= x+ −1 + x+ +1
= x+ − +1 x+ +1
* Nếu x+ ≥1 (hay x+ ≥ ⇔ ≥1 x 0) D= x+ − +1 x+ + =1 x+1 * Nếu 0≤ x+ <1 (hay 0≤ + < ⇔ − ≤ <x 1 x 0) D= −1 x+ +1 x+ + =1
Vậy
2
D x khi x
D khi x
= + ≥
= − ≤ <
Dạng 1: Tổng, hiệu liên hợp:
A B+ ± A B− A B− ± A B+
Phương pháp: Dùng phương pháp bình phương (Chú ý: xét dấu biểu thức trước)
(4)Câu 8: [Mức độ 2] Cho M = 57+40 , N = 57 40 2− Tính giá trị biểu thức sau: a).M −N b).M3−N3
Lời giải
a).M −N
Đặt Q=M − =N 57 40 2+ − 57 40 2− , có Q>0
(
)(
)
2
114 57 40 57 40
Q
⇒ = − + − =114−2.7=100, mà Q>0
10
Q
⇒ = Vậy M −N =10
b) 3
M −N
Có
(
)
3(
)
3
M−N =M − MN M −N −N
(
)
3(
)
3
3
M N M N MN M N
⇒ − = − + − , có M−N =10, M N =7
3 3
10 3.10.7 1210
M N
⇒ − = + =
Vậy 3
1210
M N
⇒ − =
Câu 9: [Mức độ 2] Tính A= 4+ 10 5+ + 4− 10 5+
Lời giải
4 10 10
A= + + + − + , có A>0
(
)(
)
2
8 10 10
A
⇒ = + + + − + = +8 16−
(
10+2 5)
= +8 5−(
)
28
= + − = +6 =
(
1+)
2, mà A>05
A
⇒ = +
Dạng 2: Căn phức tạp:
2
2
A A B A A B
A± B = + − ± − −
với A>0, B>0 A2− ≥B
(Chú ý công thức chứng minh lại trước áp dụng)
Chứng minh
Dạng 1: 2
2
A A B A A B
A+ B = + − + − −
Có A+ B
(
)
A A A B
= + − −
2 2
2
2 2
A+ A −B A− A −B A+ A −B A− A −B
= + +
2
2
2
A A B A A B
+ − − −
= +
2
A A B A A B
A B + − − −
(5)Vậy 2
2
A A B A A B
A+ B = + − + − −
Dạng Tương tự có 2
2
A A B A A B
A− B = + − − − −
Câu 10: [Mức độ 3] Tính A= 44 76− − −
(
2 1− + 3)
Lời giải
(
)
3 44 76 3
A= − − − − +
Có A1 = 44 3− −76 = 3− 176 304−
(
)
(
)
3 176 304 176 304
2
+ − − − − −
= −
3 313 176 3 313 176
2
+ − − −
= −
(
)
(
)
2
3 11 11
2
+ − − −
= −
8 14
2
− −
= − 1= − − 3− =2 1− −
(
2− 3)
2 =2 2− − + Có A= A1−(
2 1− + 3)
= −2Vậy A= −2
(Ghi để tính A1 dùng
2
2
A A B A A B
A− B = + − − − −
Câu 11: [Mức độ 3] Tính B= 15 2− + +2 2− 3−
Lời giải
Có B1= 15 2− + = 15− 32 16 3+
(
)
(
)
15 225 32 16 15 225 32 16
2
+ − + − − +
= −
15 193 16 15 193 16
2
+ − − −
= −
(
)
(
)
2
15 15
2
+ − − −
= −
14 16
2
+ −
= − = 3+ − 3−
(
)
2
2 2
= + − −
2 2
= + − −
Có B=B1+2 2− 3− 2= + 3−2 2− 3+2 2− 3− 3=2
Vậy B=2
(6)(Ghi để tính B1 dùng
2
2
A A B A A B
A− B = + − − − − )
Trắc nghiệm
Câu 12: [Mức độ 1] Căn bậc hai số học
A −3 B 3 C −81 D 81
Lời giải Chọn B
Câu 13: [Mức độ 1] Biểu thức
16
A 4 −4 B −4 C 4 D 8
Lời giải Chọn C
Câu 14: [Mức độ 1] Giá trị biểu thức A=
(
2− 5)
2 bằng:A 2− B 2 C D 5−2
Lời giải Chọn D
Áp dụng công thức
A A
A A
A A
≥
= =
− <
Ta có: A=
(
2− 5)
2 = −2 = 5−2Câu 15: [Mức độ 1] Biểu thức
(
)
23 2x
−
A
3 2x
−
B2
x
−
3
C2
x
−
3
D3 2x
−
2
x
−
3
Lời giải Chọn C
Ta có:
(
)
22
3 2
−
x
=3 2
−
x
= x− Câu 16: [Mức độ 1] Biểu thức 2(1
+
x
)
A
1 x
+
B− +
(1
x
2)
C± +
(1
x
2)
D kết khác Lời giảiChọn A
Ta có 2 2
1
(1
+
x
)
=1
+
x
= +x Câu 17: [Mức độ 2] Biểu thức9a b
2A
3ab
B3 a b
2 C3ab
−
D3a b
Lời giải Chọn B
Ta có 2 4
(
2)
2 2 23 3
(7)Câu 18: [Mức độ 2] Giá trị biểu thức B= 3+ bằng:
A 2+ B 2−3 C 2+3 D 2−
Lời giải Chọn D
Ta có:
( ) (
2)
27 4 3 2.2 3 3
B= + = + + = + + = + = + = +
Câu 19: [Mức độ 2] Biểu thức
2
4
x
y
y
với y<0 rút gọn là:A
yx
− B
x y
2y
C2
yx D
y x
2Lời giải Chọn A
Ta có
( )
( )
2
4 2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
x x x
yx
y y
y
x
y
y
y
y
y
= = = − = − y<0Câu 20: [Mức độ 2] Giá trị x để 2x+1=3 là:
A 13 B 14 C 1 D 4
Lời giải Chọn D
2
2x+ = ⇔1 2x+ =1 ⇔ 2x+ =1 ⇔2x+ = ⇔1 2x= ⇔ =8 x
Câu 21: [Mức độ 3] Kết phép tính 9−4 là:
A 2− B 5−2 C 3 5− D Kết khác
Lời giải Chọn B
( ) (
2)
22
9 5− = −2.2 5+ = 2− = −2 = 5−2
Câu 22: [Mức độ 3] Giá trị biểu thức 15−6 + 15+6 6bằng:
A 6 B 30 C 3 D 12
Lời giải Chọn A
( )
( )
(
) (
)
2
2
2
15 6 15 6 2.3 6 2.3 6
3 6 6 6
− + + = − + + + +
= − + + = − + + = − + + =
Câu 23: [Mức độ 3] Giá trị biểu thức
2 2 2 2
A= + + + + + + − + + bằng:
A −1 B 1 C 3−2 D 3+2.
(8)Lời giải Chọn B
Ta có:
2 2 2 2
A= + + + + + + − + +
(
)
= 2+ 2+ 2+ 4− +2 2+ = 2+ 2− − = 3=1−
Câu 24: [Mức độ 3] Cho với A>0, B>0 A2− ≥ B Biểu thức Q= A+ B với biểu
thức đây?
A 2
2
A+ A −B + A− A −B B 2
2
A+ A −B − A− A −B
C 2
2
A− A −B − A+ A −B D 2
A+ A − −B A− A −B
Lời giải Chọn A
Có A+ B = +A A2−
(
A2−B)
2 2
2
2 2
A+ A −B A− A −B A+ A −B A− A −B
= + +
2
2
2
A A B A A B
+ − − −
= +
2
2
A A B A A B
A B + − − −
⇒ + = +
Vậy 2
2
A A B A A B
A+ B = + − + − −
Câu 25: [Mức độ 3] Cho với A>0, B>0 A2− ≥ B Biểu thức Q= A− B với biểu
thức đây?
A 2
2
A+ A −B + A− A −B B 2
2
A+ A −B − A− A −B
C 2
2
A− A −B − A+ A −B D 2
A+ A − −B A− A −B
Lời giải Chọn B
Có A− B = −A A2−
(
A2−B)
2 2
2
2 2
A+ A −B A− A −B A+ A −B A− A −B
(9)2
2
2
A A B A A B
+ − − −
= −
2
2
A A B A A B
A B + − − −
⇒ − = −
Vậy 2
2
A A B A A B
A− B = + − − − −
Câu 26: [Mức độ 2]Cho biểu thức 2
4
Q= x − x+ − x − x+ , với 1≤ ≤x biểu thức rút
gọn Q
A Q=3x−4 B Q= +x C Q= − +3x D Q= − −x
Lời giải Chọn A
2
4
Q= x − x+ − x − x+ , với 1≤ ≤x
(
)
2(
)
22x x
= − − − 1= x− − −x , có 1≤ ≤x
2 3
Q x x x
⇒ = − + − = −
Vậy Q=3x−4
Dạng 1.1.2 Kĩ thuật lũy thừa hai vế 1.1.2 1.Lũy thừa bậc hai hai vế A) Ví dụ mẫu
Câu 1: [Mức độ 2] Rút gọn biểu thức A= 2+ 3+ 2− 3
Lời giải
Bình phương vế ta được:
2
2 3 2 3
A = + + − + + −
2
4
A
⇔ = +
6
A
⇔ = ⇔ =A 6 (vì A>0)
Vậy A=
Câu 2: [Mức độ 2] Rút gọn biểu thứcA= 4+ − 4−
Lời giải
Bình phương vế ta được:
2
4 7 7
A = + + − − + −
8
A
⇔ = −
2
A
⇔ = ⇔ =A (vì A>0)
Vậy A=
Câu 3: [Mức độ 2] Rút gọn biểu thức A= 61+2 10+2 + 61 10− +2
Lời giải
Bình phương vế ta được:
2
61 10 61 10 61 10 61 10
A = + + + − + + + + − +
(10)(
)
22 61 61 10
A
⇔ = + − +
2 61 21
A
⇔ = + −
(
)
22
2 61
A
⇔ = + −
(
)
2 61
A
⇔ = + −
2 61
A
⇔ = + −
2 61
A
⇔ = + − (vì A>0)
Vậy A= 61 5+ −
B)Bài tập
Câu 1: [Mức độ 3] Rút gọn biểu thức 1
3 3
A= + − − − −
Lời giải
Bình phương vế ta được:
2 2 2
1 1
3 3 3 3
A = + − + − − − + − − −
2 2
2
3
3
A
⇔ = − − −
2
2
3
A
⇔ = − −
2
2 3
A −
⇔ = −
(
)
2
2
2
3
A
−
⇔ = −
(
)
2 2
3
3
A
⇔ = − −
2
A
⇔ = −
3
A
⇔ = − (vì A>0)
Vậy
3
A= −
Câu 2: [Mức độ 2] Rút gọn biểu thức 5 5
5 5
A= + + −
− +
Lời giải
Bình phương vế ta được:
2
2 5 5 5 5
2
5 5 5 5
A = + + − + + −
− + − +
2
2 5 5
2
5 5
A + −
⇔ = + +
− +
2 7
2
2
A + −
⇔ = + +
2
7
A
⇔ = +
9
A
⇔ = ⇔ =A (vì A>0) Vậy A=3
Câu 3: [Mức độ 2] Rút gọn biểu thức A= 15− − 15+
Lời giải
Bình phương vế ta được:
2
8 15 15 15 15
A = − + + − − +
2
16 64 4.15
A
⇔ = − −
16 2.2
A
⇔ = −
12
A
⇔ =
2
A
(11)Vậy A= −2
Câu 4: [Mức độ 2] Rút gọn biểu thức A=
(
1−)
5+ .Lời giải
Bình phương vế ta được:
(
) (
2)
2
5
A = − +
(
)(
)
2
6
A
⇔ = − +
( )
236
A
⇔ = −
2
36 20
A
⇔ = −
16
A
⇔ =
4
A
⇔ = (vì A>0)
Vậy A=4
C) Trắc nghiệm
Câu 5: [Mức độ 2] Rút gọn biểu thức A= 6+2 5− 5− .
A 2 B 4 C 6 D
Lời giải
T
Chọn A
Bình phương hai vế ta được:
2
12
A = − + −
2
12 16
A
⇔ = −
4
A
⇔ =
2
A
⇔ = (vì A>0)
Vậy A=2
Câu 6: [Mức độ 2] Rút gọn biểu thức A= 6+2 5+ 5− .
A 2 B 2 C 6 D
Lời giải Chọn B
Bình phương hai vế ta được:
2
12
A = + + −
2
12 16
A
⇔ = +
20
A
⇔ =
2
A
⇔ = (vì A>0 )
Vậy A=2
Câu 7: [Mức độ 2] Rút gọn biểu thức A= 5− − 6+2 .
A 2 B 4 C 6 D −2
Lời giải Chọn D
Bình phương hai vế ta
2
12
A = − − +
(12)2
12 16
A
⇔ = −
4
A
⇔ =
2
A
⇔ = − (vì A<0)
Vậy A= −2
Câu 8: [Mức độ 2] Rút gọn biểu thức 3
2
A= + − − .
A 2 B 1 C 6 D
Lời giải Chọn B
Bình phương hai vế ta
2 3 3
2
2 2
A = + + − − + −
2
2
A
⇔ = −
1
A
⇔ = ⇔ =A 1 (vì A>0)
Vậy A=1
Câu 9: [Mức độ 2] Rút gọn biểu thức A=
(
3 2+ 6)
3− .A 2 B 6 C 3 D
Lời giải Chọn B
Bình phương hai vế ta được:
(
) (
2)
2
3 6 3
A = + −
(
)(
)
2
24 12 3
A
⇔ = + −
(
)(
)
2
12.3 3
A
⇔ = + −
36
A
⇔ = ⇔ =A (vì A>0)
Vậy A=6
Câu 10: [Mức độ 2] Rút gọn biểu thức A= 7−2 10− 7+2 10.
A 2 B 4 C −2 D −2
Lời giải Chọn C
Bình phương hai vế ta được:
2
14 10 10
A = − − +
2
14 49 4.10
A
⇔ = − −
14 2.3
A
⇔ = −
2
8
A
⇔ = ⇔ = −A 2(vì A<0)
Vậy A= −2
Câu 11: [Mức độ 2] Rút gọn biểu thức A= 7−2 10+ 7+2 10 .
A 2 B 4 C 6 D
(13)Chọn A
Bình phương hai vế ta được:
2
14 10 10
A = + − +
2
14 49 4.10
A
⇔ = + −
2
14 2.3
A
⇔ = +
20
A
⇔ = ⇔ =A 2(vì A>0)
Vậy A=2
Câu 12: [Mức độ 2] Rút gọn biểu thức A= −
(
1 5)
5+ .A 2 B 4 C −4 D
Lời giải Chọn C
Bình phương hai vế ta
(
) (
2)
2
1
A = − +
(
)(
)
2
6
A
⇔ = − +
( )
236
A
⇔ = −
2
36 20
A
⇔ = −
16
A
⇔ =
4
A
⇔ = − (vì A<0)
Vậy A= −4
Dạng 1.1.2.1 Lũy thừa bậc ba hai vế A) Ví dụ mẫu
Câu 1: [Mức độ 3] Rút gọn biểu thức 3
44 18 44 18
A= + + − .
Lời giải
Lập phương vế ta được:
(
)
23 3
44 18 44 18 44 18
A = + + − + A −
( )
3
88
A A
⇔ = + −
6 88
A A
⇔ + − =
(
)
(
)
4 22
A A A
⇔ − + + = ⇔ =A (vì A2+4A+22>0)
Vậy A=4
Câu 2: [Mức độ 3] Rút gọn biểu thức 3
6 10 10
A= + − −
Lời giải
Lập phương hai vế ta có:
3 3
( 10 10)
A = + − −
3 3 3
6 10 10 10.( 10 10) 10
A
⇔ = + − + − + + − − +
3 20 (6 10)(6 10).3
A A
⇔ = − + −
3
6 20
A A
⇔ + − =
(A 2)(A 2A 10)
⇔ − + + = ⇔ =A
Câu 3: [Mức độ 3] Rút gọn biểu thức 3
2 5
B= − + + .
(14)Lời giải
Lập phương hai vế ta có: 3 3
2 5 ( 5 )
B = − + − + − + + + +
3 4 (23 5)(2 5 )
B = + − + B
4
B B
⇔ = −
3
B B
⇔ + − =
(B 1)(B B 4)
⇔ − + + =
1
B
⇔ = (Vì
4
B + + >B )
Câu 4: [Mức độ 3] Cho 3
3 2 2
X = + + − , Và Y =317 12 2+ +317 12 2− Rút gọn biểu thức sau: 3
3( ) 2000
A=X +Y − X +Y +
Lời giải
Lập phương hai vế ta có: 3
3 34
X X
Y Y
= +
= +
Suy ra: 3
3( ) 40
X +Y = X +Y + ⇔ X3+Y3−3(X +Y)=40 Vậy A=40+2000=2040
Dạng 1.1.3 KĨ THUẬT TÌM ĐẾN ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP I PHẦN VÍ DỤ
Rút gọn biểu thức sau:
a)
(
1+)(
14− 2)
b)(
5+2)(
15−2 : 3)
c)
(
5+3)(
2− 10)
3−d) 316+2 1.3 +
(
3 4 1−)
2+3 4
e)
(
) (
) (
) (
)
5
2
3
3 4 2 3
+ − − + + −
Lời giải
a) Ta có:
(
1+)(
14− 2)
=(
1+)(
1−)
(
2)
7
= − =
b) Ta có
(
5+2)(
15−2 : 3)
=(
5+2)(
5−2)
: 25
= − =
c) Ta có
(
5+3)(
2− 10)
3−(
)
5 3 10
= + + − −
(
)
2
5 3
= + − − = 5+6 1
(
− 5)
(
) (
2)
2
= + − =2
(
1+) (
2 − 5)
=2 1+(
− 5)
(
) (
)
2
= + − =
(
2)
2 − = −8
d) Ta có 316+2 1.3 +
(
3 4 1−)
2+3 4
(
)
(
)
2
3 3
4 4
= + − +
(
)
3 3
4 4
= + − +
(
)
(
)
3 3
4 4
(15)e)
(
) (
) (
) (
)
5
2
3
3 4 2 3
+ − − + + −
(
)(
)
3
3 2 3
= + − − + + −
(
)
5
2
3 3
3 2
= + − − + −
5
4
= −
2 32
= =
II PHẦN TỰ LUẬN
Câu 5: Rút gọn biểu thức sau:
a)
(
11 30+ − −)
(
5− 2)
b)
(
3− 6+ 3− 2)(
3+ 6− 3− 2)
c) 39−2 1.3 +
(
33 1+)
2−33
d) 2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2− 2+ 2+
e) 5 11+ − − 3−
(
5+2)
Lời giải
a)
(
11 30+ − −)
(
5− 2)
(
)
2(
)
6
= + − − −
(
) (
2)
6
= + − − −
(
)
(
)
(
2)
= + − − −
(
) (
2)
= + − =
b)
(
3− 6+ 3− 2)(
3+ 6− 3− 2)
(
) (
2)
23
= − − − = −
(
3 2+ 3− 6)
3− 2−(
3− 6)
=2c) 3
(
3)
29−2 1.+ 1+ − 3
(
) (
2)
3 3
3
= − + +
(
)
(
)
3 3
3 3
= − + + =
d) 2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2− 2+ 2+
(
)
2
2 2 2
= + + + − + +
2 2 2
= + + + − +
2 3
= + − =
(16)e) 5 11+ − − 3−
(
5+2)
(
) (
)
(
)
3 5 5
= − + − − + − − − +
(
5) (
2)
5= − + − − − + = − + =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Rút gọn biểu thức sau: a) 2020 2019 −
(
2019 1+)
b) 14 2+
(
−6)
c)
(
3 2+ 6)
3−d) 6+ 2 + 6− 2+
e) 25−2 1.3 + 35−
(
35 1+)
2
f)
{
(
)
}
2020
3 3
4−2 1.+ 1+ − 2
g) 2− 3
(
6− 2)(
2+ 3)
h)
(
5 6+)
49 20 6− −i) 4+ 7
(
14+ 2)(
4 7−7)
j)
(
22− 11)(
+ 216)
6− 11k)
(
) (
) (
)
15
3 3 3
26 15 25 25 50 75
+ − − + + −
III PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 6: Rút gọn
(
6− 2) (
+ 2)
− kết là?A 2 B 6− C −2 D 2
Lời giải Chọn A
Xét
(
6− 2) (
+ 2)
− = 2(
1−)
2+ =(
1−)
3+ =2Câu 7: Cho A=
(
2+ 5+ 3)(
2+ 5− 3)
Chọn đáp ánA A=12 15− B A= +6 C A=12 5+ D A=2 15−4
(17)Xét A=
(
2+ 5+ 3)(
2+ 5− 3) (
= 2+ 5)
2− = +3Câu 8: Cho B=
(
2+ 7)
11 7− Chọn đáp ánA B= −3 B B= +11 C B= − −11 D B=3 Lời giải
Chọn D
Xét
(
2+ 7)
11 7− =(
2+ 7) (
7−2)
2 =3Câu 9: Cho C=
(
3 1+)
46 5− Chọn đáp ánA C =44 B C=46 5+ C C= −44 D C= − −46
Lời giải Chọn A
Xét C=
(
3 1+)
46 5− =(
3 1+) (
3 1−)
2 =44Câu 10: Cho
(
)
2
6 2
D= + − − −
Chọn đáp án
A D= − B D=3 C D= −4 D D=
Lời giải Chọn B
Xét D=
(
6+ 2)
2− 3− 7−4 32 =(
1)
32 + − − −
(
)(
) (
) (
2)
22
3 3
= + − − − = − + =
Câu 11: Kết phép tính
(
)
5( )
617− 33 17+ 33 : −8 là:
A
2
− B −8 C 8 D 4
Lời giải Chọn D
Có
(
)(
)
2
17− 33 17+ 33 = 17− 33 17+ 33 = 17 − 33 = 256=16
Suy
(
)
5( )
6 5 617− 33 17+ 33 : −8 =16 : =2 : 220 18 =4
Câu 12: ChoA= 2020− 2019 Khi đó:
A
2020− 2019
B
2020− 2019
C
2020 2019
A=
+ D
1
2020+ 2019
Lời giải
(18)Chọn C
Có
(
2020− 2019)(
2020+ 2019)
=1 suy 2020 20192020 2019
A= − =
+
Câu 13: Cho M = 3+ 5;N =4 :
(
10− 2)
Tính giá trị biểu thức M2019−N2019A 0 B 1 C
( )
2019
2 D 3 5+
Lời giải Chọn A
Có
2
3
2
M = + = +
2 + =
(
)
(
)(
)
(
)
2
5 5 1 5 4
2 2 10
N
+ + + + −
= = = = = =
−
−
Suy 2019 2019
0
M −N =
Câu 14: Tính
(
) (
)
2019 2020
7
P= + −
A P=1 B
(
)
2020
7
P= +
C P=4 3−7 D P= −7
Lời giải Chọn D
Có P=
(
7+4 3) (
2019 3−7)
2020 =(
7+4 3) (
2019 3−)
2020(
)(
) (
2019)
7
= + − − = −7
Câu 15: Tính
(
) (
)
21 11
3 2 17 288
Q= − +
A Q== −3 2 B
(
)
2
3 2
Q= +
C Q= +3 2 D
(
)
2
3 2
Q= −
Lời giải Chọn C
Có Q= −
(
3 2) (
21 17+ 288)
11(
) (
)
21 11
3 2 17 12
= − + = −
(
3 2) (
21 2 +)
211
(
) (
21)
223 2 2
= − + =
(
3 2−)(
3 2+) (
21 2+)
= +3 2I TỰ LUẬN
Câu 16: Tính 3
2 5
x= + + −
(19)Ta có
3
2 5
x= + + − ⇔x3 = +2 5+ −2 5+33
(
2+ 5)(
2− 5)
(
3 2+ 5+32− 5)
4
x x
⇔ = −
3
x x
⇔ + − =
(
)
(
)
1
x x x
⇔ − + + = ⇔ =x (vì
4
x + + > ∀ ∈ x x )
Vậy x=1
Câu 17: Tính
33 368 33 368
27 27
x= + + −
Lời giải
Ta có
3 3 3
3
368 368 368 368 368 368
3 3 3 3
27 27 27 27 27 27
x
= + + − + + − + + −
3
6
x x
⇔ = −
5
x x
⇔ + − =
(
)
(
)
1
x x x
⇔ − + + ⇔ =x (do
6
x + + > ∀x x)
Vậy x=1
Câu 18: Tính x= 39+4 5+39 5−
Lời giải
Ta có
(
)(
)
(
)
3 3 3
9 9 9
x = + + − + + − + + −
3
18
x x
⇔ = +
3 18
x x
⇔ − − =
(
)
(
)
3
x x x
⇔ − + + ⇔ =x (do
3
x + x+ > ∀ ∈ x )
Vậy x=3
Câu 19: Chứng minh
(
3)
32 1
3 −
+ =
Lời giải
Đặt
(
32 1)
33
x= + − suy
(
)
3
3
2
x = + −
(
)
3
3 3
2 2
3
x −
⇔ = + + +
(
)(
)
3 3 3
1 1
x x x
⇔ = + + − ⇔ = ⇔ =
Vậy
(
3)
32 1
3 −
+ =
Câu 20: Chứng minh x số nguyên biết:
a 3
20 14 14 20
x= + − − b 31 84 31 84
9
x= + + −
Lời giải
a Ta có: 3
(
)(
)
(
3)
20 14 14 20 20 14 14 20 20 14 14 20
x = + − + − + − + − −
3
40
x x
⇔ = +
6 40
x x
⇔ − − = ⇔ =x 4 Suy điều phải chứng minh
(20)b Ta có: 3 3
84 84 84 84 84 84
1 1 1
9 9 9
x
= + + − + + − + + −
3
2
x x
⇔ = −
3
2
x x
⇔ + − = ⇔ =x 1 Suy điều phải chứng minh
Câu 21: Chứng minh 3
5
x= + − − nghiệm phương trình x3+3x− =4
Lời giải
Ta có 3
(
)(
)
(
3)
5 5 5
x = + − + − + − + − −
3
4
x x
⇔ = −
3
x x
⇔ + − =
Vậy 3
5
x= + − − nghiệm phương trình x3+3x− =4
II TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Biết x= 44 18 6+ = +a b Tổng a b+
A B 8 C 6 D 9
Lời giải Chọn B
Cách
Giả sử x viết dạng 3
(
)
3x= a b+ ⇔x3 =a a
(
2+3b2) (
+b b2+3a2)
Suy
(
2) (
2)
44 18 6+ =a a +3b +b b +3a
Ta lấy giá trị sau:
(
2)
18 =a a +3b
2
6
8
3 18
a a
a b b
a b
= =
⇒ ⇔ ⇒ + =
=
+ =
Cách làm phù hợp với trắc nghiệm vài trường hợp cụ thể Cách
Đi từ suy luận rút gọn
A= a+ b = +m n B= 3a− b = −m n nên ta
có cơng thức
(
)
2
2
A B A B
A= + + −
Dùng máy tính CASIO sau:
Gán
44 18
A= +
Gán
44 18
B= −
Nhập vào máy tính
(
)
2
2
A B+ + A B−
kết A= +2 6⇒ + =a b
Câu 2: Biết 31801 3015 6
8
a
x c d
b
= + = + với a
b phân số tối giản Tổng a b c d+ + +
A 13 B 14 C 16 D 12
(21)Đi từ suy luận rút gọn
A= a+ b = +m n B= 3a− b = −m n nên ta
có cơng thức
(
)
2
2
A B A B
A= + + −
Dùng máy tính CASIO sau:
Gán 31801 3015 6
8
A= +
Gán 31801 3015 6
8
B= −
Nhập vào máy tính
(
)
2
2
A B+ + A B−
kết 10 6
2
A= + = +
14
a b c d
⇒ + + + =
Dạng 1.2 CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ BIỂU THỨC CHỨA CĂN Ở MẪU
Câu 3: Trục thức mẫu:
A= −
Lời giải
(
2 6)
2 6
6
6 6
A
−
− −
= = = = −
Câu 4: Rút gọn biểu thức 54
A= −
Lời giải
3 6
54
2 2
= − = − = −
A
Câu 5: Tính giá trị biểu thức:
3 3
B= +
− −
Lời giải
6
3 3
B= +
− −
6( 2) 4(3 5)
( 2)( 2) (3 5)(3 5)
+ +
= +
− + − +
4(3 5) (6 12)
2 +
= − + + = −6 12 10− + + = −2
Câu 6: Rút gọn biểu thức
3 5
B= −
− −
Lời giải
(
)
(
)(
)
(
(
)(
)
)
4 5
4
3 5 5 5
+ +
= − = −
− − − + − +
B
( )
2 22
12 5 12 5
4
( 5)
3
+ + + +
= − = −
− −
12 5
1
+ − −
= =
(22)Câu 7: Rút gọn biểu thức : 3
2 3
C= + +
+ −
Lời giải
(
)
(
)(
)
(
(
)(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4 3
:
2 3
4 2 3
:
3
2 6 3
2(2 6) 2(2 3) :
1
6
1
2
6
2
C
C
C
C
C
C
+
= +
+ −
− + +
= +
+ − − +
= − − + + +
= +
+
= +
+ =
Câu 8: Rút gọn biểu thức sau: 12 :1
3
10
H = − + −
−
Lời giải
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
2
6
2
:
6
2
1 :
2( 2)
1 :
6
1
6 2 : 3
1
1
3
H
H
H
H
H
H
+
−
= −
−
−
= − +
−
+ −
= − −
− +
−
= + − −
= −
− =
Câu 9: Rút gọn biểu thức sau: 3 5 30
3 15
A= + + + −
−
Lời giải
2 3 5 30
3 15
+ +
= + −
−
A
2
6 15 ( 3)
2 15
3
+ +
= + −
−
6 15 15
2 15
3
A= + + + − 15 15 15
3 +
= + + −
6 15
4 15
3
A= + + − 15 12 15
3
+ + −
= =
(23)Câu 10: Rút gọn biểu thức sau B= 29 6+ − 32 15− Lời giải
(
) (
2)
23 3
= + − −
B
3 3 3 3 5
B= + − − = + − + = +
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 11: Trục thức mẫu biểu thức
3
G= − + ta được:
A −3 B
2 C 2 D
6
Lời giải Chọn D
2
4
3
6
2 6
6
G
G
G
= − +
= − +
=
Câu 12: Trục thức mẫu biểu thức
2 18 50
A= − − là:
A −2 B
5
− C
2 D
5
−
Lời giải Chọn B
1
2 18 50
2 2
2 2 2
2 2
2
2
A
A
A
A
= − −
= − −
= − −
= −
Câu 13: Kết biểu thức 10 20
H = −
− :
A
3
− B
2 C
2
− D
2
Lời giải Chọn C
(24)(
)
(
)
2
6 10
2
20 3
H
− −
= = = −
− − −
Câu 14: Kết biểu thức 2
3 2 2
E= −
+ − là:
A 2 B 8 C −8 D 5
Lời giải Chọn C
(
)
(
)(
)
(
(
)(
)
)
2
3 2 2
2 2 2
3 2 2 2 2
6
8
E
E
E
E
= −
+ −
− +
= −
+ − − +
= − − −
= −
Câu 15: Giá trị biểu thức
3
F = −
− − là:
A 2− B 3
2
− C
2+ D 1+
Lời giải Chọn A
(
)
(
)(
)
(
(
)(
)
)
2
3 5 3
F
+ −
= −
− + − + = −
(
3+ 5) (
− 3−2)
= −2Câu 16: Giá trị biểu thức 3 2
(
2)
3
I = + − + + + là:
A 1 3+ B 2 2− C 2− D 1 3−
Lời giải Chọn A
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2
3
3
3 2
3
3
3 2
1
I
I
I
I
+ +
= − + +
+ +
= − + +
= + − − + +
= +
Câu 17: Giá trị biểu thức 1
3 3
J = − − +
+ + là:
A 2+ B 2− C 3+ D 3−
(25)Chọn B
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
3 1
2 3
3
3 3
3
3
3
1
3
3
3
2
J
J
J
J
J
J
−
= − +
+ +
− − + +
=
+ =
+ =
+ − =
+ −
= −
Câu 18: Giá trị biểu thức
3
7
K = − + −
− + là:
A 2 3− B 11 C −3 D 3+
Lời giải Chọn B
(
) (
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
(
)(
)
)
2
2 3
5
3
2 3
5
2
2 3
5
2
2 3 3
10 3
K
K
K
K
−
= − +
− +
= − + −
− +
+ −
= − + −
− + + −
= + − + + −
11
K =
Câu 19: Giá trị biểu thức (3 2) 2
3 2
X = + −
+
A 2 B −2 C 1 D
Lời giải Chọn B
(3 2) 2 2
X = + −
+
(
)(
)
2
(3 2) 2
3 2 2
3 2
+ −
= = + − =
+
Câu 20: Giá trị biểu thức 3
2 6
C = + −
− + là
(26)A 3
2
− B 4
2
− C
3
− + D
2
− −
Lời giải Chọn D
(
)
(
)(
)
(
(
)(
)
)
3 6 2
2
2 6 6
C
+ −
= + −
− + + −
2 3 2 3 2
2
+ + − + +
= =
− −
RÚT GỌN CĂN THỨC
DẠNG RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI Ở MẪU BẰNG CÁCH SỬ DỤNG PHÉP LIÊN HỢP
CƠ SỞ LÍ THUYẾT
Sử dụng đẳng thức 2
( )( )
a −b = a b a b− + VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ Rút gọn biểu thức
5
A= +
− −
Lời giải
Tác giả: Trần Xuân Thành; Fb Trần Xuân Thành:
(
)
(
) (
) (
)(
)
( )
(
)
( )
(
)
2
4 5
4
5 5 5 5 1 5 2
A
+ + + +
= + = + = +
− − − + − + − −
(
)
4 5 2
5 2
4
+ +
= + = + + + = +
Ví dụ Rút gọn biểu thức sau: 2
1
A=
+ −
Lời giải
Tác giả: Trần Xuân Thành; Fb Trần Xuân Thành:
(
)
(
)(
)
2 2
2
1
1 3
A
+ +
= = = + +
+ − + − + +
Ví dụ Rút gọn biểu thức sau: A (ab cd a b, c d)
a b c d
= = + ≠ +
+ + +
Lời giải
Tác giả: Trần Xuân Thành; Fb Trần Xuân Thành:
(
) (
)
1
2
a b c d a b c d
A
a b c d
a b c d a b ab c d cd
+ − + + − −
= = =
+ − −
+ + + + + − − −
Ví dụ Rút gọn biểu thức sau: 1
1 2 15 16
A= + + +
+ + +
Lời giải
Tác giả: Trần Xuân Thành; Fb Trần Xuân Thành:
1 1
(27)
(
)(
2) (
2)(
)
(
15)(
16)
1 2 3 15 16 15 16
− − −
= + + +
+ − + − + −
1 2 15 16
1 16
1
− + − + + −
= = − + =
−
DẠNG RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC BA Ở MẪU BẰNG CÁCH SỬ DỤNG PHÉP LIÊN HỢP
CƠ SỞ LÍ THUYẾT
Sử dụng đẳng thức
3 2
( )( )
a −b = a b a− +ab b+
3 2
( )( )
a +b = a b a+ −ab b+
Ví dụ Rút gọn biểu thức sau: 3
A=
−
Lời giải
( )
( )
3
3
3
3 3 3
4 5
4
25
5 5 1
A
+ +
= = = + +
− −
Ví dụ Rút gọn biểu thức sau: 3 3
2
A= −
+ −
Lời giải
( )
( )
( )
( )
2 2
3 3 3
3
3
3 3 3 3 3
3 2 2 2 1
3
2
2 2 1 2 1
A
− +
+ +
= − = − = −
+ − + −
Ví dụ Rút gọn biểu thức sau: 3 3
2 2 32
A=
+ +
Lời giải
( )
(
) ( )
( )
3
3
2
3 3 3 3 3
3 3
2 2
2
2 2 32 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1
A= = = − = − = −
+ + + + − + + −
Ví dụ Rút gọn biểu thức sau:
3 3
2
3
A= −
− − +
Lời giải
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
2
3 3
2
3
3
3 3 3 3 3 3 3 3
2 3 4. 3 1
2 4
3
3 3 1 3 3 1 3 1
A
+ +
+
= − = − = + + −
− − + − − + +
( )
23 3
3 3
= + + − − =
DẠNG RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI Ở MẪU BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I Các ví dụ:
(28)Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A x x 3x x
x x
+
= + −
−
+ −
Lời giải
Điều kiện: x 0,x 9≥ ≠
Có A x x 3x
x x ( x 3)( x 3)
+
= + −
+ − − +
x( x 3) x( x 3) 3x
( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3)
− + +
= + −
− + − + − +
x x 2x x 3x 3( x 3)
( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) x
− + + − − −
= = =
− + − + +
Vậy A
x =
+ với điều kiện x 0,x 9≥ ≠
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức A x x
x x x x
+ −
= + −
− + + −
Lời giải
Có x+ x x x x 6− = + − − = x( x 3) 2( x 3) ( x 2)( x 3)+ − + = − + Điều kiện: x 0,x 4≥ ≠
( x 1)( x 3) 2( x 2) x
( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3)
+ + − −
= + −
− + − + − +
x x x x x x
( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3)
+ + + − − + − +
= =
− + − +
( x 1)( x 2) x
( x 2)( x 3) x
− − −
= =
− + +
Vậy: A x
x − =
+ với điều kiện x 0,x 4≥ ≠
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức P 1: x x 1
x x x x x
+ +
= + −
− + + −
Lời giải
Có P 1: x x 1
( x 1)(x x 1) x x x
+ +
= + −
− + + + + −
x ( x 1)( x 1) x x
1:
( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1)
+ − + + +
= + −
− + + − + + − + +
x x x x x x
1: 1:
( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1)
+ + − − − − −
= =
− + + − + +
( x 1)(x x 1) x x
1
x( x 1) x
− + + + +
= ⋅ =
− Điều kiện x 0,x 1> ≠
(29)Chú ý: Câu có phép chia phân thức nên đoạn cuối xuất thêm x mẫu,
đó ta làm bước đặt điều kiện sau
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức P a a a a : 1
a
( a 2)( a 1) a a
+ + +
= − +
−
+ − + −
Lời giải
Có P ( a 1)( a 2) a a : a a
( a 2)( a 1) ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1)
+ + + − +
= − +
+ − − + − + − +
a a a a a
:
a ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1)
+ + − + +
= −
− − + − +
2
( a 1) a a a
:
( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1)
+ +
= −
− + − + − +
a a a a ( a 1)( a 1) a
( a 1)( a 1) a a
+ + − − − + +
= ⋅ =
− +
Điều kiện a 0,a 1> ≠
Vậy P a
2 a +
= với điều kiện a 0,a 1> ≠
Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức sau:
a)
2 2
a b a b b
P
b a
a b a b
+ −
= − −
−
− + với a≥0, b≥0, a≠b
b) 216
3
8
Q= − −
−
Lời giải:
a)Biến đổi vế trái ta được:
(
) (
) (
) (
)
2
2 2 2
a b a b b a b a b b
VT
b a
a b a b a b a b a b a b
+ − + −
= − − = − +
−
− + − + + −
(
) (
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
2
4 2 2 4 4 4
2 2
a b a b b a ab b a ab b b ab b
a b a b a b a b a b a b
+ − − + + + − + − + +
= = =
− + − + − +
(
)
(
)(
)
4 2
2
b a b b
VP
a b
a b a b
+
= = =
−
− +
b) 216
3
8
Q= − −
−
Biến đổi vế trái ta được:
(30)(
)
(
)
6
2 216 6
3
8 2
6 3
2
2 6
VT
VP
−
−
= − = −
− −
− −
= − = = =
II BÀI TẬP TỰ LUẬN:
Bài 1: Cho biểu thức
(
)
4
a b ab a b b a
A
a b ab
+ − +
= −
−
Chửng tỏ giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào a
Lời giải:
đk: a>0;b>0;a≠b
Ta có:
(
)
(
)
2
4 2 4
a b ab a b b a a ab b ab ab a b
A
a b ab a b ab
+ − + + + − +
= − = −
− −
(
) (
) (
)
2
2
2
a b
a ab b
a b a b a b a b b
a b a b
−
− +
= − + = − + = − − − = −
− −
Bài 2: Cho biểu thức :
1 1
x x x
B
x x x x x
+ −
= −
− − + +
a) Tìm đk xác định b) Rút gọn biểu thức B
Lời giải :
a) đk: x≥0;x≠1
b) Ta có:
(
)(
)
(
)(
)
2 1 1
: :
1 1 1 1
2 1 1
1 1
1
x x x x x x
B
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
x x x
+ − + −
= − = −
− − + + − + + − + +
+ − − − + + −
= = =
− − − −
− + +
Bài 3: Cho biểu thức :
9
x x x x x
C
x x x x x
− − − −
= − + −
− − + + −
a) Tìm đk để C có nghĩa b) Rút gọn C
Lời giải
a) đk: x≥0;x≠4;x≠9
b) Ta có:
3
1 :
9
x x x x x
C
x x x x x
− − − −
= − + −
− − + + −
(31)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
(
) (
)(
)
)
(
(
)(
)
)
(
)(
)
(
)
2
2
3 3 2 9
1 :
2
3 3
3 3 9
1 : :
3
3 3
2
3
3 2
x x x x x
x x
x x x x
x x x x x x x
x x x
x
x x x x x
x x
x x x
− − − −
= − + −
− + − + − +
− + + − − + + − − + − − +
= − =
+ − + + − +
− +
= =
+ − −
Bài 4: Cho biểu thức : 1
9
3
x x x
D
x
x x x x
+ +
= + −
−
+ −
a) Tìm điều kiện b) Rút gọn
Lời giải
a) đk: x>0 ;x≠9
Ta có:
(
)(
)
(
)
9 1 1
: :
9
3 3 3
x x x x x x
D
x
x x x x x x x x x x
+ + + +
= + − = + −
−
+ − + + − −
(
)
(
)(
)
(
) (
)(
)
(
(
)
)
(
)
(
)(
)
(
(
)
)
3 3 1 3 3 9 2
: :
3 3 3
3 3 3
2
3 2
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x
x x x
− + + + − + + +
= =
+ − − + − −
+ − −
= =
+
+ − +
Bài 5: Cho biểu thức 1: 1
1
1
x x x
B
x
x x x x
+ − −
= + −
−
+ − +
a) Rút gọn biểu thức B
b) So sánh B với
Lời giải
a) đk: x≥0; x≠1 Ta có:
(32)(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
) (
) (
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
(
)
)
2 1
1:
1
1 1
2 1
1:
1
1
2 1 2 1 1
1: 1:
1 1
1
1: 1: 1:
1
1 1
x x x
B
x x
x x x x x
x x
x x x
x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x
x x
x x x x x
x x x
x x x x x x
+ − −
= + −
+ − + − + + −
+ −
= + −
+ − + − + +
+ + − + − − + + + − − + −
= =
+ − + + − +
+
+ − +
= = = =
− +
+ − + + − +
b) xét hiệu:
(
)
21
1
1
1
x
x x x x x x x
B
x x x x
B B
−
− + − + − − +
− = − = = = >
⇒ − > ⇒ >
Bài 6: Rút gọn biểu thức 1 : 2.
(
1)
1
x x
x x x x
P
x
x x x x
− +
− +
= −
−
− +
Lời giải
Đk: 0< ≠x Ta có:
(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
(
)
)
(
(
)(
)
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1
:
1
1 1
:
1 1
1 2 1 1
:
1
1
x x
x x x x
P
x
x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
− +
− +
= −
−
− +
− + + + − + −
= −
− + − +
+ + − + − + +
= − = =
+ − −
Bài 7: Cho bth: 3 :
1
x x
P
x x x x
+ +
= − −
− − −
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x nguyên để P nguyên
Lời giải
a) đk: x>0;x≠1;x≠4
(33)(
)
(
)
(
)(
(
) (
)(
)
)(
)
(
) (
)(
)
(
)
(
)(
) (
)
3 1 2 3 1 4
: :
1 1
2
3
3
x x x x x x x x
P
x x x x x x x x
x x x
x
x x
− − + − − + − − − +
= =
− − − − − −
− − −
= =
−
b) Tìm x nguyên để P nguyên
(
)
{
}
(
)
(
)
(
)
(
)
(2)
2 2
1 1;
) 1
)
)
)
x
P Z x U
x x
x x loai
x x loai
x loai
x loai
−
= = − ∈ ⇔ ∈ = ± ±
+ = ⇔ =
+ = ⇔ =
+ = −
+ = −
Câu 21: [Mức độ 1] Rút gọn biểu thức:
2
1
1
x
x
x
x
B
x
x
−
+
+
=
−
−
với x>0, x≠1A −3 B −3 C −2 D −2
Lời giải
Chọn C:
Ta có:
2
1
1
x
x
x
x
B
x
x
−
+
+
=
−
−
với x>0, x≠1=
2
(
1)
1
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
=
x
− − −
1 1
x
=−
2
Câu 22: [Mức độ 1] Tính giá trị biểu thức 2
2 10
T = + − − −
−
A 1 B C 2 D 1
2
Lời giải
Chọn A:
1
3 2
2 10
T = + − − −
−
(
) (
)
21
2
2
−
= + − −
−
1
2
2
= + − − 2
2
= − −
(
)
2
= − − (vì 2>1)
2
= − + =1
(34)Câu 23: [Mức độ 1] Biết giá trị biểu thức
1
A=
+ − có dạng 1+x +y x y ( , ∈ ) Tính
2
2x +y
A 4 B 20 C 9 D 3
Lời giải Chọn D
(
)
(
)
22
2
2
1 1
1 1 2 1
A x y x y
+ +
= = = + + ⇒ = = ⇒ + =
+ − + −
Câu 24: [Mức độ 1] Biết giá trị biểu thức
2
A= +
− có dạng x+y ( ,x y∈ ) Tính x+3y
A 8 B 4 C 3 D 5
Lời giải Chọn D
(
)(
)
( )
22
2 3
2 2,
2 3 2 3
A= + = + = + = + ⇒ =x y= ⇒ +x y=
− − + −
Câu 25: [Mức độ 2] Biểu thức
(
)(
)
:(
0; 1)
1
1
+ −
= − + > ≠
− + − −
x x x x
A x x x
x x
x x
rút gọn là:
A 2 x
x+ B
2 x
x
− C
1
x
x− D
2
1
x x
− +
Lời giải
Chọn B
(
)(
)
A :
1
1
x x x x
x
x x
x x
+ −
= − +
− −
− +
( )
(
)(
)
(
)(
)
3
1 1
:
1
1
x x x x x x
x x
x x
+ − +
− +
= −
− −
− +
(
)(
)
(
)(
)
1 1
1
1
x x x x
x
x
x x
+ − + −
= − −
− +
1 1 1
1 1
x x x x x x x x
x x
x x x
− + − − − + + − −
= + =
− − −
2x x x
x x
− −
(35)Câu 26: [Mức độ 2] Biểu thức 1 :
(
0, 1)
1
= + > ≠
− − − +
y
P y y
y y y y y có giá trị là:
A y y
− B y
y
+ C y
y
− D y
y
+
Lời giải Chọn A
1
:
1
= +
− − − +
y P
y y y y y
(
y>0, 1y≠)
(
1)
(
)
y y y
y
y y y y
− +
= +
− −
(
)
(
) (
) (
)
2
1
1
y y y
y y
y
y y y
y y
− + −
+ −
= = =
−
Câu 27: [Mức độ 2] Biểu thức 1
1 2 2017 2018
A= + + +
+ + + có dạng a −b với
,
a b∈N Tính: a+2b
A 2015 B 2016 C 2017 D 2018
Lời giải Chọn B
Ta có:
1+ = − ;
3
2+ = − ;…;
1
2018 2017
2017+ 2018 = −
Vậy A= 1− + 3− 2+ + 2017− 2016+ 2018− 2017= 2018 1− Vậy a=2018,b= −1 nên: a+2b=2016
Câu 28: [Mức độ 2] Biết giá trị biểu thức 3
5
A=
− có dạng
2
3
25 ( , , )
x +y +z x y z∈ Tính x+ +y z
A 4 B 5 C 11 D 3
Lời giải
Chọn D
(
)
( )
(
)
3 3
3
3
3 3 3
4 25 25
4
25
4
5 5 1
A= = + + = + + = + +
− −
1
x y z x y z
⇒ = = = = ⇒ + + =
Câu 29: [Mức độ 2] Biết giá trị biểu thức
1
A=
− − có dạng
(
)
3
( , , )
x y z
x y z
− +
− ∈ Tính x+ +y z
A 5 B 8 C 6 D 3
(36)Chọn D
(
)
(
) ( )
2(
)
(
)
3 2 3 2 3
3
2
1 1 2 3 2
A= = − + = − + = − − +
− − − − −
1
x y z x y z
⇒ = = = ⇒ + + =
Câu 30: [Mức độ 3] Biết giá trị biểu thức
3
1
10 10
A=
+ −
có dạng
(
)
3
3
3 10 10
( , , )
x y z
x y z
+ + + +
∈ Tính x+ +y z
A 24 B 25 C 14 D 16
Chọn D
(
)
(
)
( )
2
3 3
3 3
3 3 3
10 10 10 100
1
10 10 10 3 10
A
+ + + +
= =
+ − + − 10 3+ =
(
)
3
1+
(
)
(
)
3 3 3
4 10 100 10 10 100
6
+ + + + + + + +
= =
Câu 31: [Mức độ 3] Biết giá trị biểu thức 5
1 2 11699 11700
A= + + +
+ + + có dạng
65 ( , )
x −y x y∈ Tính tổng x y+
A 27 B 40 C 58 D 31
Lời giải
Chọn D
5 5
1 2 11699 11700
A= + + +
+ + +
(
)
(
)
(
)
5 5 11699 11700
1 2 11699 11700
A= − + − + + −
− − −
(
)
5 2 11699 11700
1
A
− + − + + −
=
−
5 11700 30 65
A= − = −
30, 31
x y x y
⇒ = = ⇒ + =
Câu 32: [Mức độ 3] Biết giá trị biểu thức 1
2 1 2 900 899 899 900
A= + + +
+ + + có
dạng x
y ( ,x y ∗
∈ x y, tối giản) Tính y2−x2
A 56 B 135 C 65 D 59
Lời giải
(37)1 1
A
2 1 2 900 899 899 900
= + + +
+ + +
1 1 1 1 29
A
30
1 2 899 900 900
= − + − + + − = − = 2
29, 30 59
x y y x
⇒ = = ⇒ − =
Câu 33: [Mức độ 3] Cho
1 1
1.999 2.198 3.197 199.1
A= + + + +
Khẳng định đúng?
A 0
5
A
< < B 9
5< <A C
1
1-199
A= D A>1, 99
Lời giải
Chọn D
1 1 1
, , ,
100 100 100
1.999 > 2.198 > 199.1 >
1 1 199
1, 99
100 100 100 100
A
⇒ > + + + = =
Câu 34: [Mức độ 3] Biết giá trị biểu thức 3
2 2
A= + + −
+ + − − có dạng
2 ( , )
x +y x y∈ Tính tổng x y+
A 21 B 3 C 10 D 1
Lời giải
Chọn D
(
)(
)
( )
2(
)(
( )
2)
2
2 3 3 3
2 3 3
2 2 4 3 2 4 3 3 3 3 3 3 3
A + − + − + − − +
= + = + = +
+ −
+ + − − − −
3 3
1 1,
6
2
A
A x y x y
+ −
= + = ⇒ = ⇒ = = ⇒ + =
DẠNG 1.3: RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA BIẾN.
Dạng 1.3.1 Tính giá trị biểu thức biến số
Lời giải
Thay x= −6 5vào biểu thức, ta
Tính giá trị biểu thức biết
Ví dụ
(38)(
)
(
)
2
2
5 1
2 5 1 5
5
5 1
6 5 1 1
− −
− − − − − −
= = = = =
− +
− + − +
P
Thay x= −3 2vào biểu thức, ta
(
)
(
)
(
)
2
1 2 2 2 2 2
2
3 2 2 1
− − − −
= = = =
−
− −
P
Dạng 1.3.2 Rút gọn biến trước tính giá trị biểu thức 1 Phương pháp
Bước 1: Tìm điều kiện xác định
Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử
Bước 3: Chia tử mẫu cho nhân tử chung tử mẫu
Bước 4: Khi phân thức tối giản ta hồn thành việc rút gọn Rồi thay giá trị x cho vào ta giá trị biểu thức cần tìm
2 Ví dụ
Hướng dẫn giải
a.ĐKXĐ: x≥0; x≠9
(
)
(
)(
)
3
3 2
1 3
−
+ −
= + −
+ − + −
x
x x
P
x x x x
(
)(
) (
)(
) (
)
(
)(
)
3 3 3
1
+ − + − + − −
=
+ −
x x x x x
x x
(
)(
)
3 2 3 15
1
− + − + + − − − +
=
+ −
x x x x x x x
x x
Tính giá trị biểu thức biết
Ví dụ
Bài 1: Cho biểu thức
a Rút gọn biểu thức
b Tìm giá trị P, biết
(39)(
171)(
63)
− +
=
+ −
x x
x x
(
)(
)
5 15
1
− − +
=
+ −
x x x
x x
(
)(
)
(
)(
)
5 5 2
1
1
− − −
= =
+
+ −
x x x
x
x x
b Ta có x= +4 3=
(
1+)
2 ⇒ x = 1+ ;Do đó:
(
)
(
)
(
(
)(
)(
)
)
5 5 3 3 3
7
3 1 2
+ − + + −
= = = = −
+
+ + + −
P
Hướng dẫn giải
a
(
) (
) (
)
(
9 4)(
9)
9P :
9
2
− + − + − − − +
=
−
− +
x x x x x
x
x x
(
)(
)
(
(
)(
)
)
3
4
2 3
− +
− +
= × =
− + −
x x
x x
x
x x x x
b.Ta có
(
) (
)
(
)
(
)(
)
2
2
3 3
2
1 5
1 5
+ − + −
= = =
+ −
+ −
x Nên P 2
2 +
= = +
Hướng dẫn giải
Cho biểu thức
(với )
a Rút gọn biểu thức
b Tính giá trị biểu thức P
Ví dụ
Cho biểu thức , (với )
a Rút gọn biểu thức
b Tính giá trị biểu thức
Ví dụ
(40)a Ta có 1− = x−1
x x
Và
(
)
(
(
)
)
1
1 1 1
1
1
−
− − − + − −
+ = = =
+ + + +
x x
x x x x x
x x x x x x x x
nên 1
1
− +
=
−
x x
P
x x
1 +
= x
x
b Ta Có x= 2022 2018+ − 2022 2018−
(
) (
2)
22018 2018
= + − −
2018 2018 2018 2018
= + − − = + − + = thỏa mãn điều kiện x>0 x≠1
+ Vậy giá trị biểu thức P x=4 là: 4
+
=
Hướng dẫn giải
a
1
1
3 − −3
−
+ −
= − x
x
x x
A với x ≥ x ≠1
(
)(
)
3
1 1
−
= − −
+ − + −
x
x x x x
(
) (
) (
)
(
)(
)
3 1
1
− − + − −
=
+ −
x x x
x x
(
)(
)
3 3
1
− − − − +
=
+ −
x x x
x x
(
)(
)
1
1
− =
+ −
x
x x
1 =
+
x
b.Ta có x= −3 2=
(
1−)
2 thoả mãn x ≥ x ≠+) Thay x=
(
1−)
2 vào A(
)
21
2 1
=
− +
A
1 1 =
− + (do 2>1)
1
2
= =
Cho biểu thức với x ≥ x ≠
a Rút gọn biểu thức
b Tính giá trị A
(41)Kết luận x=
(
1−)
2 2 =A
Lời giải
Điều kiện xác định x≥1 Khi
(
) (
2)
22 1 1 1
1 1 1 1
= + − + − − = − + − + + − − − +
= − − + − + = − − + − +
A x x x x x x x x
x x x x
Với x= +5 3, ta được:
(
) (
2)
5 1 1 4
2 3
= + − − + + − + = + − + + +
= + = + = +
A
Lời giải
a Ta có:
(
)
(
) (
) (
2)(
)
5 5 5
= − + = − + = − + =
x
Do đó,
2
4 3.4 17 17
1
4 3
− + +
= ⋅ = ⋅ =
−
A
b Ta có:
2
1 1
7 4 3 (2 3)
2 3
1 3
2 3
1
2 (2 3)(2 3)
= + − = + − + = + −
− − −
+ +
= + − = + − = + − =
− − +
x
Lại có:
1 ( 1)( ) (2 1)
1
( )
− + − + + + +
= + = = = +
+ + + +
x x x x x x x x x x
B
x x x x x x x x x x
Cho biểu thức Rút gọn tính giá trị biểu thức
Ví dụ
Tính giá trị biểu thức sau:
a
b
Ví dụ
(42)Thay x=4 vào biểu thức B, ta được: 1 = +
+
B
Lời giải
Đặt y= 3thì y4 =3, 94 =y2 = 3 Ta có:
(
)
2 2 4
2 2
2 2 2
2
1
1 1 1
0
1 1
+ +
− + + +
= + − = − + − = − =
− + +
y y
y y y y y
x y
y y y y y y y y
Suy
(
)
20202020
0 1
0 2020 2020
+ +
= =
+
M
Dạng 1.3.3 Rút gọn tìm biểu thức chứa biến trước thay vào biểu thức cần tính
Lời giải
Sử dụng đẳng thức:
(
)
3 3 3(
)
3
+ = + + +
x y x y xy x y
Đặt x=33+ 17 ;y=33− 17
Do
(
3) (
3)
3 17 17 17
= + − = − = −
xy
Suy :
(
)
(
) (
) (
) (
)(
)
3
3 3
3
3 3 3
3
17 17
3 17 17 3 17 17 17 17
3 17 17 3( 2)
6
6 6
= + + −
= + + − + + − + + −
= + + − + −
= −
⇔ + − = ⇔ + − = −
a
a
a
a a a a
Cho Tính giá trị biểu thức
Ví dụ
Cho Tính với
(43)Vì
( )
(
3)
20196
= + −
f x x x Suy f a
( )
=(
a3+6a−7)
2019Do đó:
( ) ( )
20191
= − = −
f a
Lời giải
Đặt 5 5,
2
+ +
= + + − >
a a
2
2 5 5
2
2
a
+ +
⇒ = + + −
2
5 5 5 5
2 2
2 2
+ + + +
= + + − + − −
5
4 +
= + −
3
4 2 − = +
4
= + −
(
)
24
= + −
3
= +
3
a
⇒ = +
x 5
⇒ = + − − −
6
1
2
+ −
= − −
5
1
2
+ −
= − −
2
= −
(
) (
2)
2
2 2 1 2 2 2
⇒x + x− = − + − − = − + + − − =
Ta có:
Tính giá trị biểu thức: ,
với
Ví dụ
(44)3
3 2
2
A =
2 2 1
2 ( 1) ( 1)
+ − +
= + − − − + +
= + − − + − +
x x x
x x x x x
x x x x x
Thay
2
+ − =
x x vào biểu thức A, ta có: A=2 0 1x − + = Dạng 1.3.4 Rút gọn hết biến biểu thức
Lời giải
Với x>0; x≠3, ta có:
(
)
(
(
)(
)
)
3
3
3 3
−
= +
+ − +
x x
x x x x
3
3
= + =
+ +
x
x x
Lời giải
Biến đổi biểu thức
(
)(
)
2 1
1
1
+ + + − − − − + +
=
+
− + +
x x x x x x x
Q
x
x x x
(
)(
)
1
1
1
1
− + +
=
+
− + +
=
x x x
x
x x x
Dạng 1.3.5 Đổi biến
3 3 3
3
− − + + =
x x x
x x P
Câu Chứng minh biểu thức P không phụ thuộc vào x
với ,
Ví dụ
Câu Chứng minh biểu thức Q khơng phụ thuộc vào x
với
Ví dụ
Rút gọn biểu thức với
(45)Cách 1: Đặt =t x
(
t≥0)
⇔t2 =x, biểu thức cho trở thành:2
4
2 4
−
= −
− +
t t t
A
t t t
(
)
(
)(
)
(
(
)(
)
)
(
)(
)
2 2
2 2 2
+ − − +
= −
− + − +
t t t t t t
A
t t t t t
(
)
(
)(
)
(
)(
)
2 2
2 2
+ − + − +
=
− +
t t t t t
A
t t t (vì t≥0)
4 2 = t =
A
t
Cách 2:
4
2
−
= −
− +
x x x
A
x x x
(
)
(
)(
)
(
(
)(
)
)
(
)
(
)(
)
( )
(
)(
)
(
)(
)
2
2 4
2 2
2 2
2
2
4
2
2
2
+ − −
= −
− + − +
+ − + −
=
− +
− +
=
− +
=
x x x x x
A
x
x x x x
x x x x
A
x
x x
x x
x A
x
x x
A
Lời giải Cách 1:
Đặt = ⇔ =2
t x t x
(
t≥0)
, biểu thức cho trở thành:2
2
5
− + +
= − −
− + − −
t t t
B
t t t t
(
22)(
9 3)
32 31− + +
= − +
− − − −
t t t
B
t t t t
(
)(
)
(
(
)(
)(
)
)
(
(
)(
)(
)
)
3 2
2
2 3
+ − + −
−
= − +
− − − − − −
t t t t
t B
t t t t t t
(
) (
)
(
)(
)
2
2 9
2
− − − + − −
=
− −
t t t t
B
t t
Rút gọn biểu thức với
Ví dụ
(46)(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
2
2
2
1
2
1
− − =
− −
+ −
=
− −
+ =
−
t t B
t t
t t
B
t t
t B
t
Vậy
3 + =
−
x B
x
Cách 2:
2
5
− + +
= − −
− + − −
x x x
B
x x x x
(
)(
)
(
)(
)
(
(
)(
)(
)
)
(
(
)(
)(
)
)
2
2
2
3 2
2
2 3
− + +
= − +
− −
− −
+ − + −
−
= − +
− − − − − −
x x x
B
x x
x x
x x x x
x B
x x x x x x
(
)
(
)
(
)(
)
2 9
2
− − − + − −
=
− −
x x x x
B
x x
(
)(
)
2 9
2
− − + + − −
=
− −
x x x x
B
x x
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
2
2
1
2
1
− −
=
− −
+ −
=
− −
+ =
−
x x
B
x x
x x
B
x x
x B
x
Dạng 1.3.6 Tính giá trị biểu thức chứa biến
Lời giải
Cho biểu thức:
a) Rút gọn
b) Tính giá trị
(47)a) Điều kiện xác định: 0 > > ≠
x
y
xy
Ta có:
(
1)
(
1)
1
1 :
1 1
+ + + +
= + + − −
+ − + −
x y x y
x x
B
xy xy xy xy
(
)(
)
(
)(
) (
)(
)
(
)(
)
(
)(
) (
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
1 1 1
1
1 1 1
1
+ − + + + + + −
+ −
=
+ − − + − − + +
+ −
x xy x y xy xy xy
xy xy
xy xy x xy x y xy
xy xy
(
)(
)
(
)(
)
1
2
2
1
+ −
+ =
− −
+ −
xy xy
x
x y xy
xy xy
(
)
(
)(
)
(
)(
(
)
)
2 1
1
+ + −
=
+ − − +
x xy xy
xy xy xy x
1 =
xy
b) Ta có: x=2 3
(
− 5)
y=2 3(
+ 5)
thỏa mãn điều kiện xác địnhKhi thay x=2 3
(
− 5)
y=2 3(
+ 5)
vào biểu thức B=xy ta được:
(
1) (
)
142 5
= =
− +
B
Lời giải
a) Điều kiện xác định: 0 ≥ ≥ ≠
a
b
a b
Ta có:
1 3
. :
−
= + −
+ + − − + +
ab ab a b
B
a b a a b b a b a a b b a ab b
Cho biểu thức
a) Rút gọn B
b) Tính giá trị biết
Bài
(48)(
)(
)
(
)(
)
1 3
:
−
= + −
+ + − + − − + + + +
ab ab a b
a b a b a ab b a b a b a ab b a ab b
(
)(
) (
)(
) (
)(
)
− + + + + − + +
=
+ − + − + + − +
a ab b ab a ab b ab a ab b
a b a ab b a b a ab b a b a b
(
)
(
)(
)
(
(
)(
)
) (
)(
)
2
+ − + +
=
+ − + − + + − +
a b a b a ab b
a b a ab b a b a ab b a b a b
1 =
− +
a ab b
b) Ta có:
4 5 48 10 4 3
= + + − + +
a
= 4+ 3+5 48 10(2− + 3) = 4+ 3+5(5− 3)
= =3
3, 12
= =
a b thỏa mãn điều kiện xác định,
Khi thay a=3,b=12 vào =
− +
B
a ab b ta được:
1
9
3 3.12 12
= =
− +
B
Dạng 1.3.7 Tính giá trị biểu thức chứa hai biến Tìm biểu thức chứa hai biến không để thay vào biểu thức cần tính
Lời giải
Ta có: x= 5+ =
(
5+2)
2 = 5+2(
) (
2)
9 5 2
= − − = − − = − − = −
y
4
⇒ + =x y ; x− =y 5; xy=
(
5+2 2)(
− 5)
= −1Do đó:
(
)
216 16
+ + = − =
x y xy
(
)
2( )
220 20
− + = − =
x y xy
Tính giá trị biểu thức biết
(49)Vậy 2019 2020 =
M
* Có thể biến tấu để tốn khó chút cách
Cho
38 17
= −
y
Khi học sinh phải khéo léo biến đổi đẳng thức bậc
( ) ( )
(
)
3
2
3
3
2
38 17 12 30 5
2 3.2 3.2 5
2 5
= − = − + −
= − + −
= − = −
y
Thay vào biểu thức ta kết
Lời giải
Dễ thấy 3 3
( )
23 2 2+ − = − 2 =1
( )
22
3 3
7− 50 7+ 50 = + 50 = −1
Áp dụng đẳng thức:
(
)
3 3(
)
3
+ = + + +
A B A B AB A B
Ta được:
(
)
(
)
( )
3
3
3 3
6 3 2 2
14 50 50 14
= + + + − = +
= + − + + − = −
x x
y y
(
)
3
3
3
3
3 20
3 14
− =
⇒ ⇒ + − − − =
+ =
x x
x y x y
y y
Do 3
(
)
3 20 2020 2020
= + − − − + =
T x y x y
Dạng 1.4
TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIẾN KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Dạng 1.4.1 Tìm biến số biết giá trị biểu thức số 1 Phương pháp
- Thực chất việc giải phương trình
Tính giá trị biểu thức
biết
Ví dụ
(50)- Học sinh thường quên tìm giá trị x khơng xét xem giá trị x có thỏa mãn
ĐKXĐ A hay khơng 2 Ví dụ
Lời giải
Ta có 2
2
x
A x x x
x
+
= ⇒ = ⇔ + = + ⇒ = −
+ (vô lý)
Vậy không tồn x để A=2
Lời giải
Ta có 1 2 2
(
)
4 4
2 2
x
x x
A
x x x x
x x x
−
= + − = − = =
− − − −
+ − +
Với
3
A
x
= ⇔ =
+ ⇔ x = ⇔ =4 x 16 (nhận)
Vậy
3
A= x=16
Dạng 1.4.2 Tìm biến số biến số biết giá trị biểu thức biến cịn lại
Phân tích
- Để rút gọn biểu thức cần tìm điều kiện cho biểu thức có nghĩa
0
x y x y
> > ≠
quy đồng mẫu số
- Để tính giá trị x, ta cần rút gọn y= 4+ 5 48 10 3+ − + thay giá trị y vào
biểu thức
Cho , điều kiện xác định Tìm biết
Ví dụ
Cho biểu thức Tìm để
Ví dụ
Cho biểu thức:
a) Rút gọn
b) Tính giá trị
(51)Lời giải
a) Điều kiện xác định:
0
x y x y
> > ≠
Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)
:
:
:
y xy x y x y
B x
x y xy y xy x xy
x x y y xy x y x y
x y y x y x y x xy
x x y x y y x y x y y x
x y
x y xy x y y x
xy x y y x
x y
x y x xy y xy
xy x y y x
x y
y x
x y xy x y
− +
= + + −
+ + −
+ + − +
= + −
+ + −
− + + − + −
+
=
+ + −
+ −
+ =
+ +
+ −
+
= = −
+ +
b) Ta có:
( )
4 5 48 10 4 3
4 5 48 10(2 3)
4 5(5 3)
9
y
tm
= + + − + +
= + + − +
= + + −
= =
Mặt khác:
(
)
2( )
1
1
3
B y x
x y
x tm
= = −
⇒ = − = −
⇒ = − = −
Vậy
( )
x y, =(
4−2 3, 3)
Phân tích
Cho biểu thức
a) Rút gọn
b) Tính giá trị biết
Ví d
ụ
(52)- Để rút gọn biểu thức cần tìm điều kiện cho biểu thức có nghĩa 0
x y
> > quy đồng mẫu số
- Để tính giá trị x, ta thay giá trị , 36
x y = A= áp dụng định lí Viét để tìm giá trị cặp
số
( )
x y ;Lời giải
a) Điều kiện xác định: 0
x y
> > Ta có:
(
)(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
( )
2
:
2
:
x y x xy y xy x y
x y x y
A
xy
xy x y xy x y
x y x xy y xy
x y xy
xy xy x y
x y xy x y x y
xy x y x y xy
+ − + + +
+ +
= +
+ +
+ − + −
+
= +
+
+ + +
= =
+ +
b) Ta có: 5
6
A= ⇔ x+ y = xy ⇔ x+ y = do xy =
Khi đó:
( )
( )
5
6
x y
x y
+ =
=
Từ
( )
16
x y
⇒ = − vào
( )
2 ta được:2
1
6 6
5 1
12 144 12
1
x y y y
y
y
y
= ⇔ − =
⇔ − = =
=
⇔
=
Vậy
( )
; 1; ; 1;4 9
x y =
Dạng 1.4.3 Tìm giá trị biến biết biểu thức biểu thức chứa biến khác
Cho biểu thức Tìm để
(53)Phân tích
- Đưa tốn tốn giải phương trình
- Phương trình chứa phân thức biểu thức chứa nên trước hết cần tìm điều kiện xác
định phương trình:
2
x
x
≥
− ≠
Lời giải
Điều kiện: x≥0,x≠4
Với điều kiện trên, theo u cầu tốn ta có:
8
x x− =
(
)
(
(
)
)
2 24
8
x x
x x
−
⇔ =
− −
(
)
224 x x x x 25 x 25
⇔ = − ⇔ − + = ⇔ − =
1
x x
⇔ − = ± ⇔ = − (loại), x= ⇔ =6 x 36(thỏa mãn điều kiện)
Vậy với x=36thì
8
x M =
Phân tích
- Phương trình chứa phân thức biểu thức chứa nên trước hết cần tìm điều kiện xác
định phương trình:
0
x
x
x
≥
≠ − ≥
- Phương trình thu gọn có dạng
0
m + n = , nhận thấy m2 ≥0, n≥0nên m2+ n≥0,
2
0
m + n = xảy
0
m n
= =
Lời giải
Điều kiện: x≥4
Với điều kiện trên, theo yêu cầu tốn ta có:
(
)
21
x
x x x
x
+
= − − −
2 4 4
x x x x x x x
⇔ + + = − − − ⇔ − + + − =
(
)
22
x x
⇔ − + − =
Cho biểu thức Tìm để
Ví d
ụ
(54)Vì
(
x−2)
2 ≥0, x− ≥4 nên(
)
2
2
x− + x− ≥
Do
(
x−2)
2+ x− =4 xảy4
x
x x
− =
⇔ =
− =
(thỏa mãn)
(55)CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC
Dạng 1.6 Tìm điều kiện để biểu thức có giá trị ngun I CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
III BÀI TẬP TỰ LUẬN
Tìm x∈ để biểu thức P có giá trị nguyên
Phương pháp giải:
Bước 1: Đặt điều kiện, khử x tử, đưa biểu thức dạng P a b
(
a b c d, , ,)
c x d
= + ∈
+
Bước 2: Xét hai trường hợp:
TH1 Xét x∈ x ∉⇒ x số vô tỷ ⇒c x+d số vô tỷ b c x d
⇒
+ số vô tỷ
b a
c x d
⇒ +
+ số vô tỷ ⇒P số vô tỷ ⇒ ∉ (loại) P TH2 Xét x∈ x ∈ P∈ b
c x+d∈ ⇒c x+ ∈Ưd
( )
b Từ tìm x Tìm x∈ x∈ để biểu thức P có giá trị nguyên Phương pháp giải:
Bước 1: Đặt điều kiện, khử x tử, đưa biểu thức dạng P m a
(
m ; a, ,b c *)
b x c
= ± ∈ ∈
+
Bước 2: Lập luận: Vì m∈ nên m a b x c
± ∈
+
a
b x+c∈ Bước 3: Chặn hai đầu A a
b x c
=
+
• a 0,b x c a A
b x c
> + > ⇒ > ⇒ >
+ (1)
• x b x b x c c a a A a
c c
b x c
≥ ⇔ ≥ ⇔ + ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤
+ (2)
Từ (1) (2) Suy A a c
< ≤
Bước 4: Chọn A∈,0 A a c
< ≤ Từ suy x
(56)II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm x∈ để biểu thức
1
− =
x
P có giá trị nguyên
A.x=0 B.x=4 C.x=4, D.x∈
{ }
4;Lời giải Chọn D
ĐKXĐ: x≥0;x≠1 Để
1
− =
x
P có giá trị ngun x− ∈1 Ư
( ) { }
1 = 1; 1− ⇒ ∈x{ }
0;Câu 2. Có số nguyên x để biểu thức
x A
x
+ =
− có giá trị nguyên
A.4 B.5 C.7 D.3
Lời giải Chọn B
1 4
1
3 3
+ − +
= = = +
− − −
x x
A
x x x
ĐKXĐ: x≥0;x≠9 Để A nguyên
3 −
x nguyên x− ∈3 Ư(4)
{
}
3 4; 2; 1;1; 2;
x
⇒ − ∈ − − −
{
1; 2; 4;5; 7}
x
⇔ ∈
{
1; 4;16; 25; 49}
x
⇔ ∈
Câu 3. Có số nguyên x để biểu thức
5
− + +
= − −
− + − −
x x x
A
x x x x có giá trị
nguyên
A.4 B.5 C.7 D.3
Lời giải Chọn B
ĐKXĐ: x≥0;x≠4;x≠9
2
5
− + +
= − −
− + − −
x x x
A
x x x x
(
22)(
3)
32 23− + +
= − −
− −
− −
x x x
x x
x x
(
22)(
3)
32 31− + +
= − +
− −
− −
x x x
x x
x x
(
)(
) (
)(
)
(
)(
)
2 3 2
2
− − + − + + −
=
− −
x x x x x
x x
(
)(
)
2 9
2
− − + + − −
=
− −
x x x x
(57)(
2)(
3)
− −
=
− −
x x
x x
(
)(
)
(
)(
)
1
2
x x
x x
+ −
=
− −
1
x x
+ =
−
3
x
= +
−
Để A nguyên −
x nguyên x− ∈3 Ư(4)
{
}
3 4; 2; 1;1; 2;
x
⇒ − ∈ − − −
{
1; 2; 4;5; 7}
x
⇔ ∈
{
1; 4;16; 25; 49}
x
⇔ ∈
Câu 4. Có giá trị nguyên x để biểu thức
(
1)
Ex x
=
+ có giá trị
nguyên
A.1 B.-1 C.0 D.6
Lời giải Chọn C
ĐKXĐ: x>0
Để E có giá trị nguyên
(
)
(
)
( )
1
1
x x
x x l
+ =
+ = −
(
)
( )
( )
1
2
1 1
1
2
x l
x x x x
x l
− +
=
+ = ⇔ + − = ⇔
− −
=
Câu 5. Có giá trị nguyên x để biểu thức
x B
x
− +
=
+ có giá trị nguyên
A 1 B.3 C 4 D.5
Lời giải Chọn B
8 10
1
2
x B
x x
− +
= = − +
+ +
Với x Z∈ để B nguyên 10
(
x+2)
⇔ x+ ∈2 Ư( ) {
10 = −10; 5; 2; 1;1; 2;5;10− − −}
Mà x ≥ ⇔0 x+ ≥2 2nên x+ ∈2{
2;5;10}
Nên x+ = ⇔2 x = ⇔ =0 x 4
( )
tm( )
2
x+ = ⇔ x = ⇔ =x tm
( )
2 10 64
x+ = ⇔ x = ⇔ =x tm
(58)Vậy x∈
{
4;9; 64}
Câu 6. Cho
2
A x
=
+ Tìm x để A∈
A. 4;
16
x∈ − −
B.
1
4;
16
x∈ −
C.
1 ; 16
x∈ −
D
1 ; 16
x∈
Lời giải Chọn D
ĐKXĐ: x≥0
Với x≥0thì 3 7
3
2
x
x
+ ≥ ⇔ ≤
+
Do
3
A
< ≤ mà A∈ ⇒ ∈ A
{ }
1;Với 7
2
A x x
x
= ⇒ = ⇔ + = ⇔ =
+
Với 2
2 16
2
A x x
x
= ⇒ = ⇔ + = ⇔ =
+ Vậy ;
16
x∈
thì A∈
Câu Cho
2
A x
− =
+ Có giá trị x để A∈
A 5 B.4 C.3 D.2
Lời giải Chọn A
ĐKXĐ: x≥0
Với x≥0thì 1 5
2
x
x
−
+ ≥ ⇔ ≥ −
+
Do − ≤ <5 A mà A∈ ⇒ ∈ − − − − − A
{
5; 4; 3; 2;}
Với 5 1
2
A x x
x
−
= − ⇒ = − ⇔ + = ⇔ =
+
Với 5
4 64
2
A x x
x
−
= − ⇒ = − ⇔ + = ⇔ =
+
Với 5
3
2
A x x
x
−
= − ⇒ = − ⇔ + = ⇔ =
+
Với
2
5
2 2
2
2
A x x
x
−
= − ⇒ = − ⇔ + = ⇔ =
+
Với 5
2
A x x
x
−
= − ⇒ = − ⇔ + = ⇔ =
+ Vậy 0; 1 9; ; ;
64 16
x∈
thì A∈
Câu Cho
x A
x
+ =
+ Có giá trị x để A∈
(59)Chọn A
ĐKXĐ: x≥0
Ta có
(
)
2 6 6
2
1 1
x
A A
x x x
+ +
= = + ⇒ ∈ ⇔ ∈
+ + +
Với 0 6
{
1; 2;3; 4;5;}
1
x
x x
≥ ⇒ < ≤ ⇒ ∈
+ +
Lập bảng:
6
x+
1 2 3 4 5 6
1
x+ 6 3 2
2
6
1
x 5 2 1
2
1
0
x 25 4 1
4
1 25
0
Vậy 1; ; 0;1; 4; 25 25
x∈
A∈
Câu9 Cho
1
x A
x x
=
− + Có giá trị x để A∈
A 4 B.3 C.2 D 1
Lời giải Chọn B
ĐKXĐ: x≥0
Ta có
1
A x
x
=
+ −
Do 1 2;
2
A
x A A
A x
=
+ − ≥ ⇒ < ≤ ∈ ⇔
=
1
1 1
1
x x
x x
+ − =
⇔
+ − =
1
2
x
x
=
⇔ ±
= Vậy có giá trị x để A∈
Câu10 Cho
1
x A
x
− =
+ Có giá trị x để A∈
A 4 B.3 C.2 D.1
Lời giải Chọn C
ĐKXĐ: x≥0
Ta có
(
1)
21
x A
x x
+ −
= = −
+ +
(60)Để
A
x
∈ ⇔ ∈
+
Với 0 2
x
x
≥ ⇒ < ≤
+ Suy
{ }
1;1
x+ ∈
2
x+
1
x 1
x 1
Vậy x∈
{ }
0;1 A∈Câu 11 Cho
1
x A
x
+ =
− giá trị nguyên dương lớn x để biểu thức A đạt giá trị nguyên
A.5 B 14 C 2 D.16
Lời giải Chọn D
Điều kiện
x x
≠ ≥
Ta có
1
x A
x x
+
= = −
− −
Để A∈
1− x ∈ ⇔ − x∈Ư(3) mà Ư(3)= ± ±
{
3, 1}
1− x −3 −1
x −2
x 16
Thỏa mãn
Thỏa mãn
Thỏa mãn
Loại
Vậy giá trị nguyên dương lớn x để biểu thức A đạt giá trị nguyên :x=16
Câu 12 Cho Cho
x A
x
+ =
+ giá trị nguyên dương lớn x để biểu thức A đạt giá trị nguyên
A 6 B 4 C 4 D 1
Lời giải Chọn A
Điều kiện x≠1
Ta có
1
x A
x x
+
= = +
− −
Để A∈
1 x
(61)1
x− −5 −1
x −4
Thỏa
mãn Thỏa mãn Thỏa mãn mãn Thỏa
Vậy giá trị nguyên dương lớn x để biểu thức A đạt giá trị nguyên :x=6
Câu 13 Cho
1
x A
x
− =
−
x B
x x
− =
+ + giá trị nguyên lớn x để biểu thức C = −A B đạt giá trị nguyên
A 2 B 4 C 0 D 1
Lời giải Chọn C
Điều kiện x≥0;x≠1
Ta có
1
− −
= − = −
− + +
x x
C A B
x x x = +1
x x
1
1 = −
+
x
Có x+ ≥1 1, x≥0, x≠1
Để C ∈ 1
1 x
x+ ∈ ⇔ + ∈Ư(1) mà Ư(1)= ±
{ }
1Do x+ ≥1 1⇔ x+ = ⇔ =1 x (nhận)
Câu 14 Cho 3 22
3
x x
A
x x x
+ +
=
+ + + giá trị nguyên x để biểu thức A đạt giá trị nguyên lớn
A 5 B 4 C 4 D.1
Lời giải Chọn D
Ta có
(
)
(
)
2
3
3
1
2 1
3 1
x
x x
A
x x x x x
+
+ +
= = =
+ + + + + Điều kiện x≠ −1
Để A∈ 1
1 x
x+ ∈ ⇔ + ∈ Ư(1) mà Ư(1)= ±
{ }
11
x+ −1
x −2
A −1
Thỏa
mãn Thỏa mãn
Vậy giá trị nguyên x để biểu thức A đạt giá trị nguyên lớn :x=0
A=
Câu 15. Cho 4 ,
25
x
A B
x x
+
= =
− + giá trị nguyên x để biểu thức P = A B có giá trị nguyên nhỏ
A 12 B 24 C −5 D.26
(62)Lời giải Chọn D
Điều kiện x≥0;x≠25
Ta có 4
25 25
x P A B
x x x
+
= = =
− + −
Để P ∈ 25
25− x∈ ⇔ − ∈x Ư(4) mà Ư(4)= ± ± ±
{
4, 2, 1}
25−x −4 −2 −1
x 29 27 26 24 23 21
P −1 −2 −4
Thỏa
mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn
Vậy giá trị nguyên x để biểu thứcP = A B đạt giá trị nguyên nhỏ :
26
x= ⇔ = −P
Câu 16. Cho biểu thức
2
x P
x
+ =
+ Có giá trị x để P có giá trị nguyên
A 3 B 0 C 4 D.2
Lời giải
Chọn D
Điều kiện :x≥0
5
2
x P
x
+ =
+ ⇒2 xP+ =P x+1⇔ x
(
2P−5)
= −1 P1
2
P x
P
−
⇔ =
−
0
x≥ nên
2
P P
− ≥
−
1
2
1
2
P
P
P
P
− ≥
− >
⇔ − ≤ − <
5
2
P
⇔ ≤ <
{ }
1;P∈ ⇒ ∈ P
Với P= ⇒1 x= ⇔ =0 x
Với P= ⇒2 x = ⇔ =1 x
Câu 17. Cho biểu thức 31
8 15
x x x x
P
x x x x
− − + −
= − −
− + − − Có giá trị nguyên x
để P có giá trị nguyên
A 12 B 8 C 4 D.6
Lời giải Chọn D
Điều kiện:
9 25
x x x
≠ ≠ ≥
8 31
8 15
x x x x
P
x x x x
− − + −
= − −
− + − −
(
)(
)
8 31
3
3
x x x x
x x
x x
− − + −
= − +
− −
(63)(
)(
)
8 31 25 10
3
x x x x x
x x − − − + + − + = − −
(
)(
)
3 x x x x − − = − −(
)(
)
(
)(
)
3 x x x x + − = − − x x + = − 5 x P x x + = = +− − (với x≠9;x≠25;x≥0)
P có giá trị nguyên x−5 ước hay 5 5 5 6 x x x x x x x x − = − = − − = − = − − = − = − − = − = − 9( ) 16 36 49 64 121 x x l x x x x x = = = ⇔ = = = =
Câu 18. Cho 1
2
x P
x x x
−
= +
+ −
Có giá trị nguyên x để
7
Q= P có giá
trị nguyên
A 0 B 1 C 4 D 2
Lời giải Chọn A
Điều kiện : x x > ≠
1
2
x P
x x x
− = + + −
(
)(
)
2 2 x x x x x − = − + 2 x = + 143
Q P
x
= =
+ Để Q∈ 14
3 x+6∈⇒14 3
(
x+6)
Vì
(
3 x+ ≥ ⇒6)
63 14
x x + = + = 3 x x = ⇔ = 64 x x = ⇔ =
Câu 19. Cho biểu thức 1 : 2
1
1
x x x x x x
P
x
x x x x
+ − + −
= − − +
− +
Tìm giá trị lớn a để P a>
A a=2 B.a=1 C a= −2 D a= −1
Lời giải Chọn B
Điều kiện : x x > ≠
(64)1 2 :
1
1
x x x x x x
P
x
x x x x
+ − + − = − + − − +
(
)
(
(
)(
)(
)
)
(
(
)(
)(
)
)
1 2 1
2
:
1 1 1
x x x x x
x
x x x x x x x
− + − − + = + − − + + − +
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
2
2
:
1 1
x x x
x
x x x x x
− − − = + − − − +
(
)
(
)
(
)( )(
)
2 1
:
1 1
x x x x x
x
x x x x x
− − + + − = − − − − +
(
)
(
)
(
(
)(
)
)
2 1 1
1
x x x x x x
x
x x x
− − − + − +
= =
− −
1 x x
P
x
− +
= x x
x x
= + − ≥ − =1⇒ ≥P
Đẳng thức xẩy x x
x = ⇔ = (Khơng thỏa mãn)
⇒ P>1 Do giá trị lớn a để P a> a=1
Câu 20. Cho biểu thức :
1 1
x x x
P
x x x x x
− − +
= +
− − + +
Tổng giá trị x để 3P số nguyên
A 3
2 B 0 C.
9
4 D
3 − Lời giải ChọnC
Điều kiện : x x ≥ ≠
3
:
1 1
x x x
P
x x x x x
− − +
= +
− − + +
(
)(
)
3 1
2
1
x x x x x x
x
x x x
− − + + + + +
=
+
− + +
(
2)(
)
2
1
x x x
x
x x x
− + + = + − + +
(
)(
)
(
)(
)(
)
2 1
1
x x x
x x x x
− + +
=
− + + +
2
2 x
=
+
+
2 P P x P x − = ⇒ =
+ Vì x≥ nên
2 P P − ≥
2
2
2
2 P P P P − ≥ > ⇔ − ≤ <
0
3
P P
⇔ < ≤ ⇒ < ≤
+ 3P∈ ⇒ 3P∈
{ }
1; (65)Với
3 3
P x
x
= ⇒ = ⇒ =
+
Với 2
3 3
P x
x
= ⇒ = ⇒ =
+
Câu 21. Tìm giá trị x∈ để P= −4
(
x−2)
2 đạt giá trị lớnA.1 B.4 C.3 D.2
Lời giải Chọn D
Ta có:
(
)
2(
)
22 4
x− ≥ ⇔ − x− ≤
Dấu " "= xảy x− = ⇔ =2 x
Vậy giá trị lớn P x=2
Câu 22. Tìm giá trị x∈ để P= −4
(
x−2)
2 đạt giá trị lớnA.1 B.6
C 3 D.2
Lời giải Chọn D
Để D đạt giá trị lớn x− +2 đạt giá trị nhỏ Mà x− ≥ ⇒ − + ≥2 x 2
Dấu " "= xảy x− = ⇔ =2 x Vậy x =2 D đạt giá trị lớn
Câu 23. Tìm giá trị x∈ để Q=1010− −3 x đạt giá trị nhỏ
A.6 B.2 C.1 D.3
Lời giải Chọn D
Ta có: 3− − ≤ ⇔x 1010− − ≤3 x 1010
Dấu " "= xảy 3− = ⇒ =x x Vậy giá trị lớn Q 1010khi x=3
Câu 24. Tìm giá trị x∈ để
(
)
2
4 4
,
8 16
x x x x x
A
x x
+ − + − −
=
− + đạt giá trị nhỏ
A.5 B.1 C.3 D.8
Lời giải Chọn D
Điều kiện để biểu thức A xác định x>4
(
) (
)
(
)
2
2
4
4
x x x
A
x
− + + − −
=
−
(
4 2)
4
x x x
x
− + + − −
=
−
(
4 2)
4
x x x
x
− + + − −
=
−
(66)+ Nếu 4< <x x− − <4 nên
(
)
4 2 4 16
4
4 4
x x x x
A
x x x
− + + − −
= = = +
− − −
Do 4< <x 8nên 0< − < ⇒ >x 4 A + Nếu x≥8 x− − ≥4 nên
(
4 2)
2 4 2 8(
)
2 16
4 4
x x x x x x
A x cauchy
x x x x
− + + − − −
= = = = − + ≥ =
− − − −
Dấu " "= xảy 4
x x x
x
− = ⇔ − = ⇔ =
−
Vậy giá trị nhỏ A=8khi x=8
Câu 25. Tìm giá trị x∈ để
(
)
2
4 4
,
8 16
x x x x x
A
x x
+ − + − −
=
− + đạt giá trị nguyên
A.x∈
{
1;5;6;8; 20;68}
B.x∈
{ }
5;6C x∈
{
8; 20;68}
D.x∈
{
5;6;8; 20;68}
Lời giải Chọn D
Xét 4< <x 8thì 16
A
x
= +
− , ta thấy A∈Z 16
4
4 Z x
x− ∈ ⇔ − ước số
nguyên dương 16 Hay x− ∈4
{
1; 2; 4;8;16}
⇔ =x{
5;6;8;12; 20}
đối chiếu điều kiện suy x 5= x=6+ Xét x≥8 ta có:
x A
x
=
− , đặt
2
4
2
x m
x m
m
= +
− = ⇒ ≥
ta có:
(
)
2 8
2
m
A m
m m
+
= = + suy m∈
{
2; 4;8}
⇔ ∈x{
8; 20; 68}
Tóm lại để A nhận giá trị nguyên x∈
{
5; 6;8; 20; 68}
Câu 26 Cho biểu thức
2
P=x − x Tìm x nguyên để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất?
A x= −1 B x= −2 C.x=1 D.x=2
Lời giải
Chọn C
Ta có 2
(
)
22 1
P=x − x= x− − ≥ −
Biểu thức đạt giá trị nhỏ x=1
Câu 27. Cho biểu thức 2
2
P= x − + x − Có giá trị x nguyên dương để biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất?
A 1 B.2 C.3 D.4
(67)Ta có 2
2
P= x − + x −
2 2 2
2x 2x 2x 2x 2x 2x
= − + − = − + − ≥ − + − =
Vậy P≥7 Dấu xảy
(
2 2)(
2 9)
x x x
− − ≥ ⇔ ≤ ≤
Vì x nguyên dương nên x∈
{ }
1; Có giá trị cần tìmCâu 28 Cho biểu thức P= − +x x Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất?
A.x=4 B x=2 C.x=1 D.x=3
Lời giải Chọn A
(
)
24 4
P= − +x x= − x− + ≤
Dấu xảy x = ⇔ =2 x
Câu 29. Cho biểu thức
2
3
P
x
=
+ − Gọi x x1; giá trị để biểu thức đạt giá trị lớn
nhất tích x x1 bao nhiêu?
A −1 B.−4 C.0 D.4
Lời giải Chọn B
Điều kiện − ≤ ≤2 x
Ta có
3 4+ −x ≥ ∀3, x thoả mãn điều kiện xác định
Khi
2
3
1
P
x
= ≤
+ − Vậy P đạt giá trị lớn x= ±2
Nên tích x x1 = −4 Câu 30. Cho biểu thức
2
7
P
x
=
+ − Gọi x0 để biểu thức đạt giá trị nhỏ x0 thoả
mãn điều kiện đây?
A x0 <0 B.− <1 x0 <1 C.x0 >1 D.x0 < −1 Lời giải
Chọn B
Điều kiện − ≤ ≤2 x
Ta có
4−x ≤4,với − ≤ ≤2 x
Nên
3 4+ −x ≤7,với − ≤ ≤2 x
Khi
2
7
1
P
x
= ≥
+ − Vậy P đạt giá trị nhỏ x=0
III BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Cho biểu thức
9
3
a a
B
a
a a
−
= − −
−
− + với a≥0;a≠9 Tìm số nguyên a để B nhận giá trị nguyên
Lời giải
Với a≥0;a≠9 ta có:
3
9
3
a a
B
a
a a
−
= − −
−
− +
3
3 ( 3)( 3)
a a
a a a a
−
= − −
− + − +
(68)( 3) 3( 3)
( 3)( 3) ( 3)( 3) ( 3)( 3)
a a a a
a a a a a a
+ − −
= − −
− + − + − +
3 11
9
3)( 3)
a a a a
a
a a
+ − + − +
= =
−
− +
Để 11 11 ( 9) ( 9)
9
∈ ⇔ ∈ ⇔ − ⇔ − ∈
−
B Z Z a a
a Ư (11)
Ư(11)=
{
1;11; 1; 11− −}
Khi ta có bảng giá trị9
a− -11 -1 11
a -2 10 20
Không thoả mãn Thoả mãn Thoả mãn Thoả mãn
Vậy a∈
{
8;10; 20}
B∈ZCâu 2: Cho biểu thức 1 22
1
− + + −
= + +
− + + −
x x x x x
A
x x x x x x x x ( Với x>0,x≠1) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị số nguyên
Lời giải
Rút gọn A ta
1
x A
x x
+ =
+ +
Cách 1: Với x>0,x≠ ⇒ +1 x x+ >1 x+ >1
Vậy 2 1
1 1
x x
A
x x x x
+ +
< = < = + <
+ + + +
Vì A nguyên nên A = 1
1
x
x
x x
+
⇔ = ⇔ =
+ + ( Không thỏa mãn)
Vậy giá trị nguyên x để giả trị A số nguyên
Cách 2:Dùng miền giá trị
2
Ax+(A 1)
1
x
A x A
x x
+
= ⇔ − + − =
+ +
Trường hợp 1: A= ⇒0 x= − ⇒ ∈∅ x
Trường hợp 2: 2
0 (A 1) ( 2)
3
A≠ ⇒ ∆ = − − A A− = − A + A+ ≥ ⇔ A − A− ≤
{ }
2 2 1 (A 1)2 1; 2
3
A A A
⇔ − + ≤ ⇔ − ≤ ⇒ ∈ A∈,A>0
Với A= ⇔ =1 x ( loại)
Với A=2 2
1
x
x
x x
+
⇔ = ⇔ =
+ + ( loại)
Vậy khơng có giá trị nguyên x để giá trị A số nguyên
Câu 3: Cho biểu thức
2
x x x
P
x x x x
− − −
= + −
− + + − với x≥0;x≠
Tìm tất giá trị nguyên x để 1
P nhận giá trị nguyên dương lớn Lời giải
Rút gọn P ta
x P
x
− =
(69)Ta có 5
2 2
x x
P x x x
+ − +
= = = +
− − −
1
Pnguyên ⇔
5
x− nguyên ⇔ 5
(
x−2)
⇔ x−2 Ư (5)= ± ±{
1; 5}
Lập bảng:
x− -1 -5
x -3
x 1 9 49
1
P -4 Loại
Vậy
P = giá trị nguyên dương lớn x=9
Câu 4: Cho biểu thức :
1
x x x x
P
x x x x x
+ − −
= − + +
+ + − + −
với x≥0;x≠
Tìm tất giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên.
Lời giải
Rút gọn P ta
x P
x
− =
+
Ta có 3
1 1
x x
P
x x x
− + −
= = = −
+ + +
(
)
3
3 1
1
P Z Z x x
x
∈ ⇔ ∈ ⇔ + ⇔ +
+ Ư(3)
Ư(3)=
{
± ±1; 3}
Mà x≥ ∀ ≥0, x 0;x≠ ⇒4 x+ > ∀ ≥1 0, x 0;x≠4nên:
TH1: x+ = ⇔1 x = ⇔ =0 x 0( thỏa mãn) TH2: x+ = ⇔1 x = ⇔ =2 x 4( loại) Vậy x∈
{ }
0 thì P ∈Câu 5: Cho biểu thức 2
(
4)
3 4
x x
B
x x x x
+
= + −
− − + − với x≥0,x≠16
Tìm tất giá trị nguyên x để B nhận giá trị nguyên.
Lời giải
ĐKXĐ: x≥0,x≠16
Rút gọn P ta
x B
x
=
+
3 3 3
3
1 1
x x
B
x x x
+ −
= = = − <
+ + + (
3
x+ > với x≥0;x≠16)
Vì x ≥0 với x≥0;x≠16nên x+ ≥1 1với x≥0;x≠16
3 3
3 3
1 1
x x x
⇒ ≤ ⇒ − ≥ − ⇒ − ≥
+ + +
(70)TH1: 0
x
B x
x
= ⇔ = ⇔ =
+ ( thỏa mãn)
TH2: 3 3
2
3
x
B x x x x
x
= ⇔ = ⇔ = + ⇔ = ⇔ =
+ ( thỏa mãn)
TH3: 3 6 36
3
x
B x x x x
x
= ⇔ = ⇔ = + ⇔ = ⇔ =
+ ( thỏa mãn)
Vậy 0; ;369
x∈
B ∈
Câu 6. Tìm số hữu tỉ x để biểu thức
P x
=
+ đạt giá trị nguyên
Lời giải
x∈ nên x a
(
a, b ;b 0)
b
= ∈ ≠
Điều kiện xác định:
0
0 a,
0
a b
x b
b
≥
≥ ⇔ ∈
≠
Ta có 2
1
1
b
P k
x a a b
b
= = = =
+ + + ;
(
k∈)
(
)
2 b k a k b k b k a
⇔ = + ⇔ − =
2
0
2
2
k
a k
a k
b k
b k
< ≤
−
⇔ = ⇔ −
=
Với k =1 x=1, P=1 Với k =2 x=0, P=2
Câu 7. Tìm số hữu tỉ x để biểu thức
Q x
=
− đạt giá trị nguyên
Lời giải
x∈ nên x a
(
a, b ;b 0)
b
= ∈ ≠
Điều kiện xác định:
0
0 a,
0
a b
x b
a b
≥
≤ ≠ ⇔ ∈
≠ ≠
Ta có 4
1
1
b
P k
x a a b
b
= = = =
− − − ;
(
k∈)
(
)
4 b k a k b k b k a
(71)2
4
4
k k
a k
b k a k
b k
≤ − >
+
⇔ = ⇔
+
=
Vậy số hữu tỉ x cần tìm có dạng
(
{
}
)
2
4
, \ 3; 2; 2;
a k
x k
b k
+
= = ∈ − − −
Câu 8. Tìm số hữu tỉ x để biểu thức
x A
x
− =
+ đạt giá trị nguyên
Lời giải
x∈ nên x a
(
a, b ;b 0)
b
= ∈ ≠ Điều kiện xác định:
0
0 a,
0
a b
x b
b
≥
≥ ⇔ ∈
≠
3 5
1
2 2
x A
x x x
−
= = − = −
+ + +
Để A nguyên
x+ nguyên
Ta có 5 ,
(
)
2
2
b
k k
x a a b
b
= = = ∈
+ + +
(
)
5 b k a 2k b 2k b k a
⇔ = + ⇔ − =
2
5
2
5
k
a k
b k a k
b k
< ≤
−
⇔ = ⇔
−
=
Với k =1 x=9, A=0
Với k =2
4
x= , A= −1
Câu 9. Cho hai biểu thức 4
(
1)
25x A
x
+ =
−
15
:
25 5
x x
B
x x x
− +
= +
− + −
với
0; 25
x ≥ x ≠
1) Tính giá trị biểu thức A x=9
2) Rút gọn biểu thức B
3) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức P=A B đạt giá trị nguyên lớn
(Trích đề tuyển sinh vào 10 – TP Hà Nội – Năm học 2019 – 2020) Lời giải
1) Ta có x=9 thỏa mãn điều kiện xác định Thay x=9 vào A ta có :
(
) (
)
(
)
4 4 1
1
25 25 16
+ + +
= = = =
− −
x A
x
2) Rút gọn biểu thức B
(72)Với x≥0, x≠25, ta có 15 :
25 5
− +
= +
− + −
x x
B
x x x
(
15)(
)
:5
5
− +
= +
+ − + −
x x
B
x x
x x
(
)
(
)(
)
15 1
:
5
5
− + − +
=
−
+ −
x x x
B
x
x x
(
)(
)
15 10
:
5
5
− + − +
=
−
+ −
x x x
B
x
x x
(
5)(
5)
51+ −
= ⋅
+
+ −
x x
B
x
x x
1 =
+
B
x
3) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức P=A B đạt giá giá trị nguyên lớn
Ta có 4
(
1)
25 25
+
= = ⋅ =
− + −
x P A B
x x x
Để P nhận giá trị nguyên ∈x 4 25
(
−x)
hay 25− ∈x U( )4 = − − −{
4; 2; 1; 1; 2; 4}
Khi đó, ta có bảng giá trị sau:25− x −4 −2 −1
x 29 27 26 24 23 21
=
P A B −1 −2 −4
Đánh giá Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Do P đạt giá trị nguyên lớn nên ta có P=4 Khi giá trị cần tìm x x=24
Câu 10 Cho biểu thức
(
) (
)
(
)(
)
2
1 3 1
1
1
x x x
A
x
x x
+ + − +
= −
−
+ − với x>0;x≠1 a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm
x
số phương để 2019 A số nguyên(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Bắc Ninh– Năm học 2019-2020.) Lời giải
a) Ta có:
(
) (
2)
21
1
x x x
A
x
+ + − − −
=
−
2
1
x x x x x
x
+ + + − + − −
=
−
2
1
1
2
1 1 1 1
x x
x x x
x x x
x x x
x x
(
)
2019 2 6057
(73)b) 2019A số nguyên x 1 ước nguyên dương 6057 gồm: 1;3;9;673,2019;6057
+) x 1 x 0, thỏa mãn +) x 1 x 4, thỏa mãn +) x 1 x 64, thỏa mãn
+) x 1 673 x 451584, thỏa mãn +) x 1 2019 x 4072324, thỏa mãn +) x 1 6057 x 36675136, thỏa mãn
Câu 11 a) Tính A= 12+ 18 3− −
b) Cho biểu thức B= 9x+ +9 4x+ +4 x+1 vớix≥ −1 Tìm x cho B có giá trị
18
c) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức P=A B đạt giá trị nguyên lớn
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Đà Nẵng– Năm học 2019-2020.) Lời giải
a) Tính
A= 12+ 18− −8
3 3 8= + − − = − Vậy A=3 2−8
b) B= 9x+ +9 4x+ +4 x+ =1 x+ +1 x+ +1 x+ =1 x+1 Để B có giá trị 18
6 x+ =1 18⇔ x+ = ⇔ + = ⇔ =1 x x (tmdk) Vậy x=8
Câu 12 1) Rút gọn biếu thức: 45
(
1)
2= − + −
−
A
2) Cho biểu thức: 1
3
+
= −
− +
x B
x x x , (với x>0;x≠9)
Rút gọn biểu thức tìm tất giá trị nguyên x để
2 >
B
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Hà Nam– Năm học 2019-2020.)
Lời giải
1)
Ta có 45
(
1)
2 4(
1)
55
+
= − + − = − + −
− −
A
5 5
= + − + − = −
2)
(74)Ta có
(
)
(
)(
)
3
1 3
3 3
+ − −
+ +
= − =
− + − +
x x
x x
B
x x x x x x
(
2)(
)
.33
3
+
= =
−
− +
x x
x x
x x
(
)
(
)
4
1 2
0
2 3 2
− −
> ⇔ > ⇔ − > ⇔ >
− − −
x B
x x x
(
)
( )
1
0; *
+
⇔ >
−
x
x
Vì 1+ x >0 nên
( )
* ⇔ −3 x > ⇔0 x < ⇔ < <3 x Vì x∈ ⇒ ∈ x{
1; 2;3; 4;5; 6; 7;8}
Câu 13 Cho biểu thức:
(
1 (
)
)
3
3
1
:
2
2
2
x
x
y
x
x
M
x
xy
y
x x
y y
x
y
x
xy
y
−
−
=
−
+
+
+
−
−
+
+
a) Rút gọn biểu thức M
b) Tìm số nguyên x cho biểu thức M có giá trị nguyên
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Hà Giang– Năm học 2019-2020.) Lời giải
a/ Điều kiện: x≥0; y≥0; x≠ y x; ≠1
(
)
(
)
(
)
(
)
3
x x y x x xy y x xy y
M
x x y y x x y
− − + + + + +
=
− − −
(
)(
)
(
(
)
(
)
)
2
x xy y
x xy y
M
x y x xy y x x y
+ +
− +
=
− + + − −
2
M x
= −
b/ Để M có giá trị nguyên x−1 ước
Các ước nguyên ± ±1;
Câu 14 Cho
1
+ +
=
+
x x
A
x
1
1 1
+ +
= − −
− − + +
x x
B
x x x x x với x≥0, x≠1
a).Tính giá trị biếu thức A x=2 b).Rút gọn biểu thức B
c).Tìm x cho C= −A B nhận giá trị số nguyên
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thái Bình– Năm học 2019-2020.) Lời giải
a).Tính giá trị biếu thức A x=2
Có
(
1)(
1)
1
1
− + +
+ + −
= = =
− −
+
x x x
x x x
A
x x
(75)Khi x= ⇒ =2 A 2 1−
b)
(
)
(
)(
)
(
)(
)
1 1
1
+ + − + − + −
=
− + +
x x x x x
B
x x x
(
1)(
1)
− + =
− + +
x x
x x x
− =
+ +
x
x x
c)Có
1
− −
= − = −
− + +
x x
C A B
x x x = +1
x x
1
1 = −
+
x
Có x+ ≥1 1, x≥0, x≠1
C nhận giá trị số nguyên ⇔ x+ = ⇔ =1 x (nhận)
Dạng 1.7 Bài tốn có chứa tham số
I CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tìm tham số để phương trình P m= có nghiệm
Phương pháp giải:
Bước 1: Đặt điều kiện để P xác định Bước 2: Từ , rút x theo m
Bước 3: Dựa vào điểu kiện x để giải m
Tìm điều kiện tham số m để biểu thức thỏa mãn yêu cầu …
Phương pháp giải:
Dùng kĩ thuật tách, đẳng thức,… Dựa vào đề bài, tìm m
II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho
3
x A
x
+ =
− (x≥0;x≠9) Giá trị m để phương trình A m= có nghiệm là:
A.m≥1 B.m≤ −1 C.− ≤ ≤1 m D.m≤ −1hoặc m>1
Lời giải Chọn D
Khi
3
x
A m m
x
+
= ⇔ =
− ⇔m
(
x− =3)
x+ ⇔3(
m−1)
x = +3 *m( )
Khi m=1( )
* ⇔ x=6 vơ líKhi m≠1
( )
* ⇔ 31
m x
m
+ =
−
Do x≥0 nên để phương trình có nghiệm khi:
3
1 1
3
1
1 3
1
m m
m m m
m
m
m m m
m m
+ ≥ ≥ −
− > > >
+ ≥ ⇔ ⇔
⇔
≤ −
− + ≤ ≤ −
− < <
Câu 2. Cho phương trình m 2x−
(
2m−1)
8x+(
3m−2)
18x=14.Với giá trị mphương trình có nghiệm
2
x=
A.m=2 B.m= −1 C.m= −3 D.m=3
(76)Lời giải Chọn D
Yêu cầu toán
(
)
(
)
(
) (
)
1 1
2 18 2 3
2 m m m m
m m
⇔ − − + − = ⇔ − − + − =
6m 14 m
⇔ − = ⇔ =
Câu 3. Cho ( )
2
x x
P
x x x x
− +
= +
+ + − x>0,x≠1 Sau rút gọn ta biểu thức
3
x m
P
x
+ −
= Giá trị m bao nhiêu?
A
2
m= − B.
3
m= C.
3
m= − D
2
m= Lời giải
Chọn B
(
)
(
(
)(
)
)
1
2 1 1
2 2
x x
x x x x x x x
P
x x x x x x x x x x x
− +
− + − + + + +
= + = = =
+ + − + − + −
Suy ra:
3
m− = ⇔ =m
Câu 4. Cho
1
x Q
x
=
− vớix≥0; x≠1 tìm tất giá trị m để có x thỏa mãn Q− =m
A m<1 hoặcm≥2
B.m> −1 hoặcm< −2
C m>1 m≤0
D
2
m< hoặcm≥2
Lời giải Chọn C
( -1) (1)
Q= ⇔m m x =m
- Nếu m=1thì
( )
1 ⇔0 x =1(vơ lý)- Nếu m≠1thì
( )
11
m x
m
⇔ =
−
0; 0;
1
1
0
0
1
x x x x
m m
m m
m
m m
m R
m
≥ ≠ ⇔ ≥ ≠
≥ >
>
−
⇒ ⇔ ≤ ⇔ ≤
≠ ∈
−
Câu 5. Cho =5
x N
x
+
+ vớix≥0; x≠1 tìm tất giá trị m để có x thỏa mãn N m=
A 5< <m vàm≠7
(77)B 5≤ <m vàm≠7 D 5≤ ≤m vàm≠49
Lời giải Chọn C
( )
(5 - )
N = ⇔m m x = −m
- Nếu m=5thì
( )
1 ⇔0 x = −4(vơ lý)- Nếu m≠5thì
( )
1m x
m
−
⇔ =
−
0; 0;
9
5
5
9
1
x x x x
m
m m
m m
m
≥ ≠ ⇔ ≥ ≠
−
≥
< ≤
−
⇒ ⇔
− ≠
≠
−
Câu Cho biểu thứcP= mx+2m+1 Tìm tất giá trị khơng âm m để biểu thức P xác
định với giá trị x≥3
A
5
m< B.m>3 C.
5
m≥ − D.m<0
Lời giải Chọn C
ĐKXĐ: mx+2m+ ≥ ⇔1 mx≥ −2m−1
+ Với m=0 ta có 0x≥ − ⇔ ≥ −1 (ln đúng)
+ Với m>0 ta có x 2m m
− −
≥ kết hợp với điều kiện x≥3
2 1
3
5
m
m m m m
m
− − ≤ ⇒ − − ≤ ⇔ ≥ − ⇔ ≥−
Vậy
5
m≥ −
Câu Cho biểu thức 2 3 3
(
5)
1 3
x
x x
Q
x x x x
−
+ −
= − −
+ − − − Tìm khơng âm để với x= +4
thỏa mãn
7
Q= −m
A m= ±3 B.m= −3 C.m=3 D.m≠ ±3
Lời giải Chọn C
Rút gọn biểu thức ta được: 17
2
x x
Q
x x
− +
=
− − vớix≥ , x≠9
Ta có: x= +4 3⇒ x = 3+ =
(
1+ 3)
2 = +1 (thỏa mãn ĐKXĐ)Khi đó:
(
) (
)
(
) (
)
5 17 20 10 17 17 3 6 9 3
9
4 2 3
4 3
Q
+ − + + + − − + −
= = = = − +
−
+ − − −
+ − + −
Mà
7
Q= −m nên 3−m2 = − +9 3⇔m2 = ⇔ = ±9 m kết hợp với ĐKXĐ ta nhận giá trị m=3
(78)Vậy m=3
Câu Cho biểu thức 2
1
x x x x
A
x x x x
+ −
= −
− + + + Tìm để x thỏa mãn x A m+ =
A.m≥ −1 B.m< −1 C.m≤ −1 D.m> −1
Lời giải Chọn A
Rút gọn biểu thức ta được: A= −2 x với
Ta có: x+ = ⇔ = −A m m x x ⇔ −x x− =m Đặt x = >t ta phương trình t2− − =2t m (*)
Để x thỏa mãn x A m+ = phương trình (*) có nghiệm khơng âm Để phương trình (*) có nghiệm
( )
2( )
1 m m m
′
∆ = − − − = + ≥ ⇔ ≥ −
Ta thấy: t1+ = >t2 nên phương trình (*) ln có nghiệm không âm
Vậy m≥ −1 thỏa mãn yêu cầu toán
Câu Cho biểu thức
1
x x
B
x
+ +
=
−
2 1
1 1
x x
C
x x x x x
+ +
= + −
− + + − Tìm giá trị m để
B C=m có nghiệm
A m<0 B.
1
m
m
≤ >
C.m<1 D.m>0
Lời giải Chọn B
Rút gọn biểu thức ta được:
1
x C
x x
=
+ + vớix≥0, x≠1
Ta có:
1 1
x x x x
B C
x x x x
+ +
= =
− + + −
Lại có: B C=m
Nên
(
1)
1
x
m x m x m x m m
x− = ⇒ = − ⇒ − =
+ Nếu m=1 x = ⇔ =1 phương trình vơ nghiệm
+ Nếu m≠ ⇒ − ≠1 m
1
m x
m
=
−
Mà
1
x
x
≥
≠
nên
0
1
0
1
m
m m
m m
m
≥
>
− ⇔
≤
≠
−
Vậy m≤0 m>1
Câu 10. Cho biểu thức
x P
x
− =
+ Giá trị m để phương trình P m= có nghiệm là:
A
2
m< − B m<1 C. 1
2 m
− < < D. 1
2 m
− ≤ <
Lời giải
(79)Điều kiện: x≥0
Khi P m= ta có ( 2) (m 1)
2
x
m m x x x m
x
− = ⇔ + = − ⇔ − = − −
+
* Xét m= ⇒1 x = −3 (loại)
*Xét
1
m
m x
m
− −
≠ ⇒ =
−
Do x≥0 nên phương trình cho có nghiệm 2
1
m m
m m
− − +
≥ ⇔ ≤
− −
1
2 2
1 1
1
2 1
2
1
m m
m m
m m
m m
m
≤ −
+ ≤
− > >
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ <
+ ≥
≥ −
− <
<
Vậy 1
2 m
− ≤ < giá trị cần tìm
Câu 11. Cho hai biểu thức 4
(
1)
x A
x
+ =
−
1
x B
x
+ =
− Các giá trị m∈ để phương trình
2
A m
B = có nghiệm là:
A m∈
{ }
1; B m∈{ }
3; C.m∈{
1; 2;3; 4}
D.m∈{
1;3; 4}
Lời giải
Chọn D
Điều kiện :x≥0,x≠4
Ta có 4
(
1)
2 2
x
A m x m m
B x x x
+ −
= ⇔ ⋅ = ⇔ =
− + +
(
2)
8 (1)m x m x m
⇔ + = ⇔ = −
*Xét m=0 ta có (1)⇔0 x =8(loại)
*Xét m≠0 ta có (1) x 2m m
−
⇔ =
Do x≥0, x ≠2 nên phương trình cho có nghiệm 2m 0,8 2m
m m
− ≥ − ≠
+Giải
8
0
8
0
8
0
m m
m m
m
m
m m m
m m
− ≥ ≤
< <
− ≥ ⇔ ⇔ ⇔ < ≤
− ≤ ≥
> >
+ Giải 2m 2m 2m m
m
−
≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠
(80)Như 0< ≤m 4,m≠2, mà m∈ nên m∈
{
1;3; 4}
Vậy m∈{
1;3; 4}
là giá trị cần tìmCâu 12 Cho P= −1 x Điều kiện xác định: x>0,x≠4 Giá trị m để có x thỏa mãn ( x+1).P> x+mlà:
A m≤ −1 B m>1 C.m≤1 D.m<1
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2
2
( 1)
1
1
( )
2
1
( ) (1)
2
x P x m
x x m
x m
x m
+ > +
⇔ + + − <
⇔ + + − <
⇔ + < −
Ta có: 1
0 ( ) (2)
2 2
x> ⇔ x ≥ ⇔ x+ ≥ ⇔ x+ ≥
Từ (1) (2) ta có: 1 4− > ⇔ <m m
Câu 13 Cho
P x
=
− Điều kiện xác định: x≥0,x≠4,x≠9 Tìm m để với ∀ >x 9ta có
( 2)
x P x− + m< + x
A m≤ −1 B
2
m> C.
2
m≤ D.
2
m< Lời giải
Chọn D
Ta có:
( 2)
(2 1)
x P x m x
x m
− + < +
⇔ − <
Để bất phương trình với ∀ >x
2
2
1
1
2
2
9
1
2
1
10 18
5
0
2
9
m
m x
m
m x
m m
m m
m m
− <
− <
> ⇔
− ≤
−
∀ >
− < <
⇔ − ⇔ ⇔ <
≤
− ≤
Câu 14 Cho 2
x P
x
=
− Điều kiện xác định: x≥0,x≠4 Tìm m để có giá trị x thỏa mãn:
( 2) ( )
(81)A m m = <
B
3 m m = =
C.
3 m m m = = = D. m m m = < = Lời giải Chọn D
Ta có :
( 2) ( )
( 1)( x m 1)
1
P x x m x x m
x x m x − + − − = − ⇔ − − + − = = ⇔ − =
Để có giá trị x 1 3 1 m m m m m m − = = −
< ⇔ < = − =
Vậy để có giá trị x thỏa mãn:P( x− +2) x m( −2 )x − x= −m
3 m m m = < =
III BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1: Cho biểu thức: 4( 1)
4 x A x + =
−
1 x B x + =
− Tìm m Z∈ để phương trình
A m B = có
nghiệm
Lời giải
ĐKXĐ: x≥0;x≠4
Xét A m
B =
4( 1)
:
4 2
x x m
x x
+ +
⇒ =
− −
4( 1)
4
x x m
x x + − ⇔ = − + 2 m x ⇔ = +
( 2)
m x m x m
⇔ + = ⇒ = −
Do x ≥0, x ≠2 nên phương trình có nghiệm 2m 0,8 2m
m m
− ≥ − ≠
+) Giải: 2m
m
− ≥
8
0
0
8
0 m m m m m m m m m − ≥ ≤
> >
⇔ ⇔ ⇔ < ≤
− ≤ ≥ < <
+) Giải: 2m 2m 2m m
m
−
≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠
(82)Vậy m∈
{
1;3; 4}
giá trị cần tìmBài 2: Cho biểu thức: 2 2
4
x x m
P
x m
x m x m
= + −
−
+ −
a) Rút gọn P
b) Tìm x theo m để P=0
c) Xác định giá trị m để x tìm câu b) thỏa mãn điều kiện x>1
Lời giải
a) ĐKXĐ:
0;
x≥ x≠m
2
4
x x m
P
x m
x m x m
= + −
−
+ −
2
2 2
8 ( ) ( )
4( ) 4( ) 4( )
x x m x x m m
P
x m x m x m
− +
⇔ = + −
− − −
2
2
8 ( ) ( )
4( )
x x m x x m m
P
x m
− + + −
⇔ =
−
2
2
8 4
4( )
x m x x m x m
P
x m
− + + −
⇔ =
−
2
2
12 12
4( ) 4( )
x m x m x m x m x m
P
x m x m
− − − + −
⇔ = =
− −
2
2
12 (2 ) (2 )
4( ) 4( )
x m x m x x m m x m
P
x m x m
− − − + −
⇔ = =
− −
2
(6 )(2 )
4( )
x m x m
P
x m
+ −
⇔ =
−
b) Tìm x theo m để P=0 Để P=0 (6 )(22 )
4( )
x m x m
x m
+ −
= −
6 (1)
2 (2)
x m
x m
+ −
⇔ =
=
- Nếu m≥0 (1) loại x≥0;x≠m2
(2)
4
m x
⇒ ⇔ = (thỏa mãn đk)
- Nếu m<0 (2) loại x≥0;x≠m2
(1)
36
m x
⇒ ⇔ = (thỏa mãn đk)
Vậy với 2;
36
m m
x= x= P=0
(83)Để x>1 2 2 6 36 36 0 4
4
0 0 m m m m m m m m m m m m m m m m
>
>
> < −
≥ ≥
≥
⇔ ⇔ ⇔ >
> > < −
>
< < −
<
<
Vậy với
m
m
> < −
x>1
Bài 3:Cho biểu thức: :
1
1 1
x x x
P
x
x x x x x x x x x
+
= − +
+
− − + − + + +
với x≥0, 1x≠
a) Rút gọn P b) Tìm x để
2
P<
c) Tìm m để phương trình ( x+1)P= −m x có nghiệm x Lời giải
a) Rút gọn P
Với x≥0, 1x≠ ta có:
1
:
1
1 1
x x x
P
x
x x x x x x x x x
+
= − +
+
− − + − + + +
2 ( 1)
:
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1) 1)
1
(
x x x x
P
x x x x x x x x
x + + = − + + − + − + + + + + 2 :
( 1)( 1) ( )
1 1 1)( x x x
x x x x
x P= + − + − + + + + 2
( ( 1)( 1)
( 1)(
1)
1
) ( )
x x x x
P
x x x x
+
− + −
= =
+ − + +
b) Tìm x để
2
P<
Để
2
P<
2 1
x
x+ <
− 1) 2( x x+
⇔ − <
Giải BPT ta kết quả: 0≤ <x 9,x≠1
c) Tìm m để phương trình ( x+1)P= −m x có nghiệm x
Thay P vào phương trình cho ta được: x+ x−(m+ =1)
Đặt
( 0, 1) ( 1)
x =t t≥ t≠ ⇒ + −t t m+ = (*)
- Phương trình có nghiệm kép
4
m −
⇔ = ⇒ (*) trở thành 1
0
4
t + + = ⇔ =t t −
(khơng thỏa đk)
- Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
m −
⇔ >
Do t1+ = −t2 nên phương trình (*) khơng thể có hai nghiệm dương
(84)Suy (*) có nghiệm 0, 1
m
t t
m
≥ −
≥ ≠ ⇔
≠ Vậy m≥ −1 m≠1
Bài 4:Cho biểu thức: :
1
1
x P
x
x x x x
= − +
−
− − +
với x>0và x≠1
a) Rút gọn P b) Tìm x để P<2
c) Chứng minh với m≠0 ln có giá trị x thỏa mãn P m=
Lời giải
a) Rút gọn P
Rút gọn P ta P x x
−
= với x>0,x≠1
b) Tìm x để P<2
Ta có P x
x
−
< ⇔ < ⇔ x− <1 2⇔ < < +0 x 2
Kết hợp điều kiện ta 2
1
x x
< < +
≠
c) Chứng minh với m≠0 ln có giá trị x thỏa mãn P m= Ta có P= ⇔ −m x m x− =1
Đặt
( 0, 1)
x =t t> t≠ ⇒ −t mt− = (*)
- Vì t t1 = − <1 0nên (*) có hai nghiệm trái dấu
- Nghiệm dương khác m≠0
Vậy với m≠0 , ln có giá trị x thỏa mãn P m=
Bài 5:Cho biểu thức:
1 1
x x
A
x x x x x
+
= + +
− + + − với x≥0và x≠1 a) Rút gọn A
b) Cho biểu thức
2
x
B= − Hãy tìm P A B
= c) Tìm giá trị m để 1 m x
P> + nghiệm với mọix>1 Lời giải
a) Rút gọn A
Với x≥0và x≠1 ta có:
2
1 1
x x
A
x x x x x
+
= + +
− + + −
1
x A
x x
− =
+ +
b) Cho biểu thức
2
x
B= − Hãy tìm P A B
(85)1 1:
A x
P
B x x
x − = = + − + 1 A x P
B x x x x x
−
= =
− =
+ + + + với x≥0và x≠1
c) Tìm giá trị m để 1 m x
P > + nghiệm với mọix>1
Ta có: m x x x 2m
P > + ⇔ − > −
Với x>1 ta có x− x = x( x− >1) nên để x− x>2m−1 1
m− ≤ ⇔ ≤m
Vậy
2
m≤
Bài 6. Cho biểu thức 2:
1
x x x
A
x x
− + −
=
− + Tìm giá trị m để phương trình
1
A m
= có nghiệm Lời giải Điều kiện: x x x ≠ ≠ ≥
( )
1Ta có:
(
)(
)
(
)(
)
(
(
)(
)
)
1 2
3
:
1 1 2
x x x
x x x
A
x x x x x x x
− − +
− + −
= = ⋅ =
− + − + − + +
Phương trình A m
=
( )
2 trở thành: 11 m
x+ =
(
m≠0)
1
x m x m
⇒ + = ⇔ = −
( )
3( )
2 có nghiệm x thỏa đk( )
1 ⇔( )
3 có nghiệm x thỏa đk( )
1 , đk m≠0 1 1 m m m m m m m ≠ ≥ − ≥ ⇔ ⇔ ≠ − ≠ ≠ − ≠ Vậy m m m ≥ ≠ ≠ giá trị m cần tìm
Bài 7. Cho biểu thức
(
)
(
)
3
2
7
2
x x x
A
x x
− + −
=
+ − biểu thức B= x−1 a) Rút gọn hai biểu thức A B
b) Tìm m để phương trình
2
B
m m
A= + − có nghiệm x=2 Lời giải
Điều kiện để hai biểu thức A B xác định là:
1 3 0 x x x x x ≠ − ≠ ≠ ⇔ ≥ ≥
(86)Ta có:
(
)(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
3
2
7 1
2 ( 1) 3
x x x x x x x x x x
A
x x x x x
− + − − + − − − + −
= = =
+ − − + +
(
x 2)
(
x 1)
= − −
Lại có:
(
2)
(
1)
22 3 2
1
x x
B
m m m m x m m
A x
− −
= + − ⇔ = + − ⇔ − = + −
−
Phương trình
2
B
m m
A= + − có nghiệm x=2 khi:
(
)(
)
2
2 3
3
m
m m m m
m
=
+ − = ⇔ − + = ⇔
= −
Vậy m∈
{
1; 3−}
Bài 8. Cho biểu thức 2
x x x x
A
x x x x
− +
=
− + Hãy rút gọn biểu thức A tìm m để biểu thức
A m+ xác định với x không âm khác 1
Lời giải
Điều kiện:
(
)
(
)
20
2 0
2
1
1
0 0
0
x
x x x x
x x x x
x
x
x x
x
≠
− + ≠ − + ≠ >
⇔ ⇔ − ≠ ⇔
≠
≥
≥
≥
Ta có:
(
)
(
)
2
2
2
x x x
x x x x
A x
x x x x x x x
− +
− +
= = =
− + − +
Lại có: A m+ = x+m xác định với x không âm khác 1
0
x m
⇔ + ≥ với x không âm khác 1
x m
⇔ ≥ − với x không âm khác 1
0
m m
⇔ − ≤ ⇔ ≥
Bài 9. Cho biểu thức :
2
x x x
A
x x x
− +
=
+ + Tìm m để biểu thức m+ ≥ ∀ >A x
Lời giải
Điều kiện: x>0
Ta có:
(
)(
) (
)
(
)
1 1
1
: :
2 2
x x x x
x x x
A x
x x x x x x
− + +
− +
= = = −
+ + + +
Ta có: m+ ≥ ∀ > ⇔ +A x m x− ≥ ∀ > ⇔ − + ≤1 x m x ∀ >x
1
m m
⇔ − + ≤ ⇔ ≥
Vậy m≥1 giá trị m cần tìm
Bài 10. Cho biểu thức
2
x x x x
A
x x x
+ −
= ⋅
+ + Tìm m để biểu thức A m+ có giá trị nhỏ
(87)
Điều kiện: x>0
Ta có:
(
) (
)(
)
(
)
(
)
1 2
4
2
2
x x x x
x x x x
A x x x x
x x x x x x
+ + −
+ −
= ⋅ = ⋅ = − = −
+ + + +
Ta có: A m+ = −x x+ =m
(
x−1)
2+ − ≥ −m m Dấu “ =” xảy x=1 (thỏa mãm điều kiện)Do giá trị nhỏ biểu thức A m+ m−1 x=1 Theo đề suy m− = ⇔ =1 m
DẠNG 1.8: GTLN – GTNN biểu thức DẠNG 1.9: Bài toán lạ
Các BĐT thường dùng:
1) BĐT Cô si: Cho hai số a b, khơng âm Khi
a b ab
+ ≥ Dấu “=” xảy a b=
2) BĐT Bu-nhi-a-cốp-x-ki: Cho số thực a, b, x, y Khi đó:
(
ax by+)
2 ≤(
a2+b2)(
x2+y2)
Dấu “= ” xảy x ya = b
Dạng 1.8.1; 1.8.ii
C
HƯ
ƠN
G
1
CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN
LÝ THUY
ẾT
I
H
Ệ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN
II
(88)L ời giải
Với x≥0,x≠1
(
1)
1 1
x
B x
x
x x
−
= + − −
−
+ −
(
)
(
)(
)
(
(
)(
)
) (
)(
)
(
)
4 5
1
1 1 1
x x x
x
x x x x x x
− − + −
= + − −
+ − + − + −
(
) (
) (
)
(
)(
)
(
)
4
1
x x x
x
x x
− − + − −
= −
+ −
1
(
1)
1x
x x
x
−
= − = −
−
Do x ≥0 nên B≥ −1
Dấu "=" xảy x=0
Vậy GTNN Blà −1 x=0
Lời giải
Ta có : P = x + + x - + x x - x - x +2
(
) (
)
(
)
(
) (
)
x +1 x +2 + x x - - - x x - x +
P=
(
)(
)
x + x +2 + 2x - x - - x x +2 x -
=
(
)(
)
(
(
)(
)
)
3 x x
3x - x x
= =
x +2 x + x - x + x -
− =
3 6
3
2 2
x P
x x x
+
= − = −
+ + +
Ta có: 2 3
2
x P
x x
+ ≥ ⇒ ≤ ⇒ = − ≥
+ +
Giá trị nhỏ P x=0
Xây dựng từ vào 10 Bắc Giang 14-15
Tìm GTNN : với
Tìm giá trị nhỏ với
(89)Lời giải
Ta có
(
) (
)
3
1
5
1
x x x x
M x
x x x x
− +
= − + +
+ + − +
(
1)(
1)
(
1)(
1)
5
1
x x x x x x x x
x
x x x x
− + + + − +
= − + +
+ + − +
5
x x x x x x x
= − − − + + = − + =
(
x−1)
2+ ≥4 4,M ≥ ∀ ∈ x Giá trị nhỏ M x=1
Lời giải
a)
5
x x x
B
x x x x
− + +
= − −
− + − −
(
22)(
3)
32 31x x x
x x
x x
− + +
= − +
− −
− −
(
)(
) (
)(
)
(
)(
)
2 3 2
2
x x x x x
x x
− − + − + + −
=
− −
(
)(
)
2 9
2
x x x x x
x x
− − + + − + −
=
− −
(
2)(
3)
x x
x x
− −
=
− −
(
)(
)
(
)(
)
1
2
x x
x x
+ −
=
− −
Tìm giá trị nhỏ với
Câu
Cho hai biểu thức:
, Với
a) Rút gọn
b) Tìm giá trị nhỏ
c) Đặt Tìm giá trị nhỏ
Câu 10
(90)
x
x
+ =
− , với x≥0,x≠4 x≠9
b) Ta có: 4
1 1 1
x x x
B x x x x x
− + − +
= = = − = −
+ + + + +
Ta thấy x≥0, với x ⇔ x+ ≥1 1,với x
1
1
x
⇔ < ≤
+ ,với x
4
1
x
−
⇔ ≥ −
+ ,với x
1
x
⇔ − ≥ −
+ ,với x Vậy
B đạt giá trị nhỏ 3− x= ⇔ =0 x
c)
2
2 5
3
1 3
3
x x
A x x x x x x
P
B x x x x
x
+ +
+ + + + +
−
= = = ⋅ =
+ − − +
−
Ta có:
(
)
(
)
2
1
2 4
1
1 1 1
x x
x x
P x
x x x x x
+ + +
+ +
= = = + = + +
+ + + + +
(
1)
2.2x
x
≥ + ⋅ = =
+
Dấu "=" xảy
x
x
+ =
+
(
)
2
1
x
⇔ + =
1
x
x
+ = −
⇔
+ =
⇔ x+ =1 ⇔ x =1 ⇔ =x Vậy Pmin = ⇔ =4 x
Lời giải
a
Cho biểu thức:
với
a Tính giá trị biểu thức b Rút gọn
Xét biểu thức Hãy tính giá trị nhỏ T
(91)
1 1
1 1
x x x
A
x x x
+ −
= − = =
+ + +
Thay x=16 (TMĐK) vào biểu thức A ta có: 1
1 16
A= =
+
b 2
2
x x x
B
x x x x
+ + +
= + +
− − − + với x≥0,x≠4,x≠9
(
)(
)
3 2
2 3
x x x
x x x x
+ + +
= − +
− − − −
(
)(
) (
)(
)
(
)(
)
3 2
2
x x x x x
x x
+ − − + − + +
=
− −
(
2)(
3)
x
x
x x
−
= =
−
− −
c :
1 1
A x
T
B x x x x
−
= = = = −
+ − + +
Ta có : x≥0
3
0 1 3
1
3
1
1
2
x x
x x
x x
T
≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≤ ⇔ − ≥ −
+ +
⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ −
+ +
⇔ ≥ −
Vậy GTNN T = -2 x =
Lời giải
a :
9 3
x A
x x x
= +
− − −
với x≥0 x≠9
(
2)(
)
:(
)(
)
:3 3
3 3
x x x
A
x x x
x x x x
+ +
= + =
+ − − − + − −
(
)(
)
3
3
x x x
x
x x
+ − +
= =
+
+ −
b Tìm GTNN A
1
1
3
x A
x x
+
= = −
+ +
Cho biểu thức : với
a Rút gọn biểu thức A
b Tìm giá trị nhỏ biểu thức A
Câu 14
(92)Ta có : x≥0
2 2
0 3
3
3
x x
x x
≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≤ ⇔ − ≥ −
+ +
2 2
1 1
3
1
x x
⇔ − ≥ − ⇔ − ≥
+ +
1
A
⇔ ≥
Vậy GTNN
3
A= x =
Lời giải
a 2 :
4
2
x x x
A
x
x x x
+ +
= + −
−
+ − −
(
)
(
)(
)
(
(
)(
)(
) (
)
)(
)
2 2 2 8
2 2 2
x x x x x
A
x x x x x x
− + + +
= + −
+ − + − + −
(
)(
)
2
2
x x
A
x x
− −
=
+ −
6
x A
x
− =
+
b Tìm GTNN A
2
2
x A
x
A
x
− =
+ = −
+ Ta có : x≥0
8 8
0 2
2
1
8
1
1
3
x x
x x
x x
A
≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≤ ⇔ − ≥ −
+ +
⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ −
+ +
⇔ ≥ −
Vậy GTNN A= −3 x=0
[Mức độ ]Cho biểu thức : với ,
a Rút gọn biểu thức A
b Tìm giá trị nhỏ biểu thức A
(93)Lời giải
a) ĐKXĐ: x≥0
Ta có: = +
+ + +
1
P -
x x x x - x
1
1 ( 1)( 1)
x x x x x x
= − +
+ + − + − +
1 2( 1)
( 1)( 1)
x x x
x x x
− + − + +
=
+ − +
( 1)( 1)
x x
x x x
+ =
+ − +
( 1)
( 1)( 1)
x x
x x x
+ =
+ − +
1
x
x x
=
− + b) Tìm giá trị nhỏ P
Ta có
2
1
1 0
2
0
x x x x
x
− + = − + > ∀ ≥
≥
0
x P
x x
⇒ = ≥
− + , ∀ ≥ ⇒x Pmin = ⇔ =0 x
Lời giải
a) ĐKXĐ: x≥0;x≠1
Ta có: P x x : 2 x
x x
x x x x
−
= + −
−
− +
[Mức độ ]Cho biểu thức
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ P
Câu 16
[Mức độ ] : Cho biểu thức
a) Rút gọn b) Tìm giá trị nhỏ
Câu 17
(94)(
)(
)
:(
2)
1 1
x x x
x
x x x x x
−
= + −
− − + +
(
)
(
)(
)
(
(
)
)
1 2
:
1 1
x x x x x
x x x x
+ + + − +
=
− + +
(
)(
2) (
:)
1 1
x x x x
x x x x
+ +
=
− + +
(
)(
)
(
)
1
1
x x
x x
x x
x x
+ +
=
+
− +
1
x
x
=
−
b) Với x>0, nên P có nghĩa ⇔ 0 1
x
P x
x
> ⇔ > ⇔ >
− (do ĐKXĐ đề x≥0) Do P>0 với x>1⇒ P min⇔Pmin
Ta có: x 1
P x x x
−
= = −
1 1
4
x x
= − − + +
2
1 1
2 4
x
= − − + ≤
Vậy max 1
P= ⇒Pmin =4 (Dấu xảy x=4) ⇒ Pmin =2, x=4
Lời giải
a) ĐKXĐ: x≥0;x≠1
Ta có: P :
x x x
= +
− + +
(
)(
3)
:1
1 x x
x x
= +
− + + +
[Mức độ ]Cho biểu thức
a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M
(95)(
)(
)
: 11
x
x
x x
+ −
=
− + +
(
)(
)
(
)(
)
2
1
x x
x x
+ +
=
− +
2
x
x
+ =
− b)
Ta có: 12
1
x M
P x
+ =
−
12
1
x x
x x
+ −
=
− +
12
x x
+ =
+
16
2
2
x
x
= + + −
+
Theo BĐT Cosi: 16 16
2
x
x
+ + ≥ =
+
8 4
M
⇒ ≥ − = ⇒Mmin =4
Dấu "=" xảy 16
x
x
⇔ + =
+
(
)
22 16
x
⇔ + =
(
x 4)(
x 4)
⇔ + + + − =
(
x 6)(
x 2)
⇔ + − = ⇔ x− =2 ⇔ =x (TMĐK)
Vậy Mmin = ⇔ =4 x
Lời giải
Điều kiện: 0≤ ≠x Ta có:
a) 16
3
x A
x
+ =
+
Nhận xét x>0 nên A>0 b)
Cách 1: Dùng BĐT Cô-si đánh giá dựa vào ĐKXĐ
16 25 25
3
3 3
x x
A x
x x x
+ − +
= = = − +
+ + +
25
(
)
253
x x
x x
= + + − ≥ + − ≥
+ +
Cho biểu thức , với ,
a) Rút gọn
b) Tìm giá trị nhỏ
Câu 19
(96)Dấu “ = ” xảy khi 25
x x
x
+ = ⇔ =
+
Cách 2: Dùng phương pháp miền giá trị
( )
216
16
3
x
A x A x A
x
+
= ⇔ − + − =
+
Để phương trình có nghiệm 16
A
A
≥ ∆ ≥ ⇔ ≤ −
Do A≥0 nên A≥4 Do MinA=4
Dấu “ = ” xảy khi
2
A
x = ⇔ =x (thỏa ĐK)
Lời giải
Điều kiện: 0≤ ≠x Ta có:
P 26 19
2 3
x x x x x
x x x x
+ − −
= − +
+ − − +
(
) (
)(
)
(
)(
)
26 19 3
1
x x x x x x x
x x
+ − − + + − −
=
− +
(
)(
)
26 19
1
x x x x x x x
x x
+ − − − + − −
=
− +
(
)(
)
(
)
(
)
(
)(
) (
)
1 16
16 16 16
1 3
x x
x x x x x
x x x x x
− +
− + − +
= = =
− + − + +
Áp dụng BĐT Cauchy ta được: 16 25 25
3 3
x
P x x
x x x
+
= = − + = + + −
+ + +
Vậy giá trị nhỏ P=4 25
x x
x
+ = ⇔ =
+
Lời giải
a Điều kiện: x≥0, x≠4, x≠9 Khi
2 10
3
x x x
A
x x x x
+ + −
= + −
− − − +
(
)(
)
2 10
3
x x x
x x x x
+ + −
= − −
− − − −
(
)(
) (
)(
)
(
)(
)
2 3 10
3
x x x x x
x x
+ − − − + − +
=
− −
[Mức độ ]Cho biểu thức P , rút gọn P tìm x để P đạt giá
trị nhỏ
Câu 20
[Mức độ ]Cho biểu thức
a Rút gọn biểu thức A
b Tìm giá trị nhỏ biểu thức B biết
(97)(
)(
)
(
(
)(
)(
)
)
1
2
2
3
x x
x x x
x
x x x x
+ −
− − +
= = =
−
− − − −
b Biểu thức B xác định x≥0, x≠4, x≠9 Khi
(
4 220)
21 220x x x x x
B
x x
A x
− + − − +
= = ⋅
+ −
−
4 20 25 25
5
1 1
x x
x x
x x x
− +
= = − + = + + −
+ + +
Áp dụng BĐT AM-GM cho số x+1 25
x+ ta được:
(
)( )
252 25 10
1
B x
x
≥ + − = − = − =
+
Dấu = xảy 25 16
1
x x
x
+ = ⇔ =
+ Vậy giá trị nhỏ biểu thức B 4, đạt x=16
Lời giải
Ta có: 1 1 2
4 1 3
+ − + − + − + − +
= =
+ − + − + − + − +
x x x x x
y
x x x x x
(
)(
)
(
)(
)
1 1 1 2 1
1
1 3
1 1
− + − + − +
= = = −
− + − +
− + − +
x x x
x x
x x
Mà x 1 0 nên 3 1 1
3
1 3
x
x x
Dấu “=” xảy x 1 Vậy giá trị nhỏ y 2
3 khi x=1
Lời giải
Dễ dàng chứng minh :
2 2
2 2
2 2
1 1 1
2 1
+ + + − = + + + + = + +
x x x x x x x x x x
Tìm giá trị nhỏ
Câu 23
Cho Tìm giá trị nhỏ
Câu 24
(98)Vì x≠0nên x2+ 12 + >1
x Vì
(
)
2(
)
(
2(
2)(
)
)
2
2 2 2
1
1
1 :
1 1
− + − +
= − − + + = − = − = −
+ + − + + + + +
x x x x x x x
A x x x
x x x x x x x x x
Đặt t =1
x Ta có 2
1
0
1
2
= − = − <
+ +
+ +
A
t t
t
Vậy A nhỏ A lớn hay
2
1
2
+ +
t nhỏ tức
1
2
= − ⇔ = −
t x
Khi
3 = −
A
Dạng 1.8iii : Sử dụng kỹ thuật tách
Lời giải
Với a ≥ 0, a ≠ ta có
(
1)
(
1) ( )( )
1 1 1
1
a a a a
P a a a
a a
+ −
= + + = + − = −
+ −
Do a≥0 nên P≤1
Dấu “ = ” xảy a=0 Vậy GTLN P x=0
Lời giải
Với a≥0, a≠25
Xây dựng từ vào 10 Yên Bái 16 - 17
Tìm GTLN của: với ;
Câu
[]
Xây dựng từ vào 10 Bắc Ninh 15-16
Tìm GTLN với
(99)(
1)
(
5)
3
1
a a a a
A a
a a
+ −
= + − +
+ −
(
)(
)
3 a a a
= + − +
2
1 37
9
2
a a a
= − + = − − +
Suy 37
4
A≤
Dấu “ = ” xảy
a=
Vậy GTLN Alà 37
4
a=
Lời giải
a) :
1
1
x x x
P x
x
x x
+ −
= − −
−
+ +
(
1)
(
2)
:1
1
x x x x x
x
x x
+ − + −
= +
+ + −
(
)
(
)(
)
1
2
:
1 1
x x
x x x x
x x x x
−
+ − − −
= +
+ + + −
:
1
x x x x x x
x x
+ − − − + −
=
+ +
(
)(
)
2
:
1 1
x x
x x x
− −
=
+ + −
(
)(
)
(
)(
)
2
2 :
1 1
x x
x
x x x
+ −
− =
+ + −
(
)(
)
(
)(
)
1
2
1 2
x x
x
x x x
+ −
−
= ⋅
+ + −
2
x
x
− =
+
b) Ta có 2
(
)
(
2)
(
1)
x
Q P x x x x x x
x
−
= + = ⋅ + = −
+
x= − x
Cho biểu thức:
, Với
a) Rút gọn
b) Tìm giá trị lớn
Câu 11
(100)
( )
2
2 1 1 1
2
2 2
x x
= − ⋅ ⋅ + −
2
1 1
2 4
x
= − − ≥ −
Ta suy
1 1 1
0
4 2
Q = − ⇔ x− = ⇔ x− = ⇔ x= ⇔ =x
Lời giải
a) Ta có:
2
2
1 1 1 ( 1)
:
1 ( 1) ( 1) 1
x x
A
x x x x x x x x
+ −
= + = +
− − − − − +
2
1 ( 1)
( 1)
x x x
x x x x
+ − −
= =
− +
1 −
= x
A
x với x>0;x≠1
b)với x>0;x≠1 ta có P A x 9x x x
− + −
= − =
Đặt
0 ( 1)
x = > ⇒t t + P− t+ =
Do a c>0 nên phương trình có nghiệm t>0 khi:
1
0
t t
∆ ≥
+ >
2 5
( 1) 36
5
1
0
1
P P
P P
P
P
≤ −
− − ≥
⇔ − > ⇔ ≥ ⇔ ≤ −
<
Vậy giá trị lớn P= −5
9
x=
Cho biểu thức: (với )
a Rút gọn biểu thức
b Tìm giá trị lớn biểu thức
(101)Lời giải
Đặt a =x, b = y điều kiện 0<x y, ≤3;x≠ y Ta có:
(
)
(
)
(
)
22
2
2
y x y y
P x y
x y x y x xy x y
−
+
= − − +
+ − − + −
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
3
2
2
2
x xy x xy y y x y
y x y
x y x y x xy x xy y
− + − + + + −
= − −
+ − − + − +
(
)(
)
(
(
)(
)(
) (
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
2 3 4
3 4
6 3
2
a b
x y x y x y x y
x y x xy y x y
x y x y x y x y x y x y a b
+ +
− + + − + +
− + − + −
= = = =
+ − − + − + + Ta
có: P
a b
= +
+ , P lớn a+ b nhỏ nhất, mặt khác a b, ≥1;a≠b a b; , ∈ suy a+ b≥ +1 4
1
P≤ + = −
+ , dấu đẳng thức xảy
1;
a= b= a=2;b=1 suy n=12 n=21
Lời giải
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
(
)
)
2 2 2
2 2
1 2
3
1 1
k x m x b k m x k mb x k mb
x B
x x x
+ + + + + + + +
= = =
+ + +
Ta có
2
0
2
0
k m k mb
k mb
+ =
+ = ⇔
+ =
0
2
0
k m m mb
k kb
+ =
− + =
− =
0
2
1
k m m mb
b
+ =
⇔ − + =
− =
3
k m
b
= − =
⇔ = −
Do 3( 1)22
4 4( 1)
x B
x
−
= − ≤
+
Khi x=1
4
B=
Cho biểu thức với
và
Cho ( số tự nhiên có hai chữ số) Tìm để lớn
Câu 28
Tìm giá trị lớn biểu thức sau với số thực khác
Câu 38
(102)Vậy Max
B=
Dạng 1.8.iv : Sử dụng bất đẳng thức
Lời giải
a) Điều kiện để biểu thức A xác định x>4
(
) (
)
(
)
(
)
2
2
4 4 2 4 2
4
x x x x x x
A
x x
− + + − −
− + + − −
= = =
− −
(
4 2)
4
x x x
x
− + + − −
−
+ Nếu 4< <x x− − <4 nên
(
)
4 2 4 16
4
4 4
x x x x
A
x x x
− + + − −
= = = +
− − −
Do 4< <x nên 0< − < ⇒ >x 4 A
+ Nếu x≥8 x− − ≥4 nên
(
4 2)
2 4 2 82 16
4 4
x x x x x x
A x
x x x x
− + + − − −
= = = = − + ≥ =
− − − −
(Theo bất đẳng thức Cauchy) Dấu xảy
2 4
4
x x x
x
− = ⇔ − = ⇔ =
−
Vậy GTNN A x=8
Lời giải
a Với x>0;x≠1 ta có:
Cho biểu thức: , với Tìm GTNN biểu thức
Câu
Cho biểu thức: (với )
a Rút gọn biểu thức
b Tìm giá trị lớn biểu thức (Trích đề vào 10 Điện Biên)
(103)(
) (
)
21 1 1
: :
1 ( 1) 1
x x x
A
x x x x x x x
+ + +
= + =
− − − −
−
(
)
(
)
2
1
1
x
x x
A
x x
x x
−
+ −
⇔ = =
+ −
b P A x P x x P 9x x P x 1
x x x
− − + −
= − ⇔ = − ⇔ = ⇔ = − + −
Áp dụng BĐT cauchy cho số dương ta có: x x
x x
+ ≥ =
Vậy MaxP= −5 dấu "=" xảy
9
x=
Lời giải
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm ta có
2 2 2
2 2 1
1 1
2 2
a b b c c a
a −b +b −c +c −a ≤ + − + + − + + − =
Đẳng thức xảy
2 2 2
2 2 2
2
2
1 1
3
1
2
1
a b a b
b c b c a b c
c a
c a
= − = −
= − ⇔ = − ⇒ + + =
= −
= −
(đpcm)
b) Ta viết lại giả thiết thành: 2
2x 1−y +2y 2−z +2z 3−x =6
Áp dụng bất đẳng thức : 2
2ab≤a +b ta có:
2 2 2 2 2
2x 1−y +2y 2−z +2z 3−x ≤x + −1 y +y + −2 z +z + −3 x =6 Suy VT ≤VP
Dấu xảy khi:
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
, , 3; , ,
1
1
2 1; 0;
2
3
3
x y z x y z x y z
x y
x y x y
y z x y z
y z y z
z x
z x z x
≥ + + = ≥
= −
+ = + =
= − ⇔ ⇔ ⇔ = = =
+ = + =
= −
+ =
+ =
Dạng 1.8.v :
a) Cho ba số thực dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
b) Tìm số thực thỏa mãn điều kiện: (Trích đề
thi tuyến sinh vào lớp 10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014)
Câu
(104)Lời giải
1 Điều kiện: x≥0, xy≥0, xy≠1
1
1 :
1 1
xy x xy x
x x
A
xy xy xy xy
+ + + +
= + + − −
+ − − +
(
)(
) (
)(
) (
)(
)
(
)(
)
1 1 1
1
x xy xy x xy xy xy
xy xy
+ − + + + + + −
=
+ − :
(
)(
) (
)(
) (
)(
)
(
)(
)
1 1 1
1
xy xy xy x xy x xy
xy xy
− + − + + − + −
+ −
(
)(
) (
)(
)
(
)(
) (
)(
)
1 1
1 1
x xy xy xy x xy
xy xy xy x x xy
+ − + + + + −
=
+ − + + + + −
(
)(
)
(
)(
)
1 1 2 1
2
1 1
x xy xy
xy xy
x xy xy
+ − + +
= = =
+ + + −
Theo BĐT Cauchy, ta có: 1 1
x y xy xy
= + ≥ ⇒ ≤
Dấu = xảy 1
9
x y
x = y = ⇔ = =
Vậy giá trị lớn biểu thức A 9, đạt
x= =y
Lời giải
Điều kiện: xy ≠1
(
)
(
) (
)(
) (
)(
)
(
)(
)
1 1 1
: 1
x xy xy x xy xy xy
A
xy xy
+ − + + + + + −
=
+ −
[Mức độ ]Cho biểu thức
1 Rút gọn biểu thức A
2 Cho Tìm giá trị nhỏ
Câu 22
Cho biểu thức
Cho Tìm giá trị lớn
(105)
Cho biểu thức P= với
Tìm giá trị lớn P
Câu 27
(
)(
) (
)(
)
(
)
(
)
(
)(
)
1 1 1
1
xy xy xy x xy x xy
xy xy
+ − + + + − + −
=
+ −
(
)
(
) (
)(
) (
)(
)
(
11 1)(
) (
)(
11)
(
11 1)
(
)
x xy xy x xy xy xy
xy xy xy x xy x xy
+ − + + + + + −
= =
+ − + + + − + −
1 x
x y xy xy
+
= =
+
Theo Cơsi, ta có: 6 1 2 1 9
x y xy xy
= + ≥ ⇒ ≤
Dấu xảy ⇔ 1
x = y ⇔
1
x= =y
Vậy: max A = 9, đạt khi:
x= =y
Lời giải
Ta có:
(
)
(
)
(
(
)
)
2
2 1
:
a a b b
a a b ab
P
ab b ab a a b
b a b a a b ab a b
− − −
= + − =
− − − −
Hay P =
(
)
(
)
2
2
ab a b
ab
ab a b
−
=
−
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: 2 2
4 4
a + b ≥ a b = ab⇒ ab≤ ⇒ab≤ Vậy P≤
,Dấu đẳng thức xảy 2
4 2,
a = b = ⇔ =a b=
Vậy GTLN P
Dạng 1.9: Bài toán lạ
Lời giải
Cho biểu thức (với )
a) Rút gọn biểu thức
b) Đặt So sánh
Câu
(106)a) Với a>0; a≠1, ta có:
2
6 10 ( 1)
1 ( 1)( 1)
a a
B
a a a a
− −
= +
− − −
2
4 ( 1)
( 1)( 1)
a a
a a a
+ −
=
− −
1
a
=
Vậy B a
= với a>0; a≠1
b) Với a>0; a≠1, ta có:
2
1 ( 1)
1 a a a
C
a a
− + −
− = − = > Vậy C>1 Với a>0;a≠1
Lời giải
3
3
1 1
: x y x x y y
A
x y
x y x y x y xy
+ + +
= + + +
+
+
(
) (
)
(
)
(
)
2
:
x y x xy y xy x y
x y x y
x y
x y x y xy x y
+ − + + +
+ +
= +
+ +
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
:
x y x y x y xy x y
x y
x y xy
xy xy x y x y xy
+ + +
+ +
= + = =
+ +
Ta có:
(
)
20 2
x − y ≥ ⇔ x+ y− xy ≥ ⇔ x+ y≥ xy
(
)
2 16
1 16
16 16
xy
x y x y
A do xy A x y
xy xy xy
+ =
⇒ = ≥ = = = ⇒ = ⇔ ⇔ = =
=
Lời giải
Ta có:
Cho với
Biết Tìm giá trị để có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ
Câu 29
Cho với
Biết Tìm giá trị để có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn
(107)(
)(
)
: :
a b a b a b a b a b b a
B
a b
a b b a b a a b b a b a a b
b a
+ + + + −
= + = =
+
+ − + + − + +
= −
Do 0, 0,
4
a b b a a
b a
a b b
≥ > ≠ ≥
⇒ ⇒ − ≤ − =
+ = ≤
4
max
0
b B
a
=
⇒ = ⇔
=
Lời giải
Ta có 1 ( 1)2
2 2 ( 1)( 1)
x= ⋅ − = ⋅ − = −
+ + −
2
2x (2x 1) 4x 4x
⇔ + = => + = ⇔ + − =
Ta có
4x +4x −5x +5x−2 =4x5+4x4−x3−4x3−4x2+ +x 4x2+4x−2
3 2
(4 1) (4 1) 4
x x x x x x x x
= + − − + − + + −
Do
4x +4x− =1 =>4x5+4x4−5x3+5x− =2 x3.0−x.0 1+ − = −1
=>
( 1) 2019 2020
= − + =
A
Lời giải
a) Ta có: 1
1 k k
k + k+ = + −
ÁP dụng: 1; ; ; 1
1+ = − 2+ = − n+ +1 n = n+ − n
Vậy A= 1− + 3− 2+ + n+ −1 n= n+ −1
b) Đặt 1
2 2020
B= + + + +
Cho biểu thức: .Tính giá trị
Câu 31
Cho
a) Rút gọn biểu thức
b) Chứng minh
Câu 32
(108)Ta có 1
2 2 2020
B= + + + +
Nhận xét: 1 ; 1 ; ; 1
2=1 1+ >1+ 2 = 2+ > 2+ 2020 > 2020+ 2021
Suy 1 1
2+2 +2 3+ +2 2020 >1+ 2+ 2+ 3+ + 2020+ 2021 Áp dụng câu a) ta có: Vậy B>2
(
2021 1−)
Lời giải
Đặt 2 2 2
1 1 1
1
1 2 2017 2018
S = + + + + + + + + +
Ta có
2
2
1 1
1
( 1) ( 1)
n n n n n n
+ + = + − +
+ + +
*
(n∈ )
2
1 1
1
1
n n n n
= + − = + −
+ +
Áp dụng đẳng thức ta 1 1 1 1
1 2 2017 2018
S= + − + + − + + + −
1
2018 2018
2018
= − < (điều phải chứng minh)
Lời giải
Ta có:
Chứng minh
Câu 33
Cho số thực khác không thoả mãn:
Hãy tính giá trị biểu thức
(109)2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) (2 )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ).( ).( )
a b c b c a c a b abc
a b a c b c b a c a c b abc
a b b a c a c b abc b c a c
ab a b c a b c a b
a b ab c ac bc
a b a c b c
*TH1: a b+ =0 Ta có 2019 2019 2019
1
a b a b
c
a b c
ta có 2019 2019 2019
1 1
1
B
a b c
Các trường hợp lại xét tương tự Vậy B 20191 20191 20191
a b c
Lời giải − + + − = + + + + + − − n n n n
M (a )(a )(a ) (a )(a )
a a
1
2 2
1
2
1 1 1
1
1
2
2
( 1)( 1)( 1) ( 1)
1
n
n
a a a a
a − + + + + = −
2
1
( 1)( 1)( 1) ( 1)
1
n
n
a a a a
a − − + + + + = − 2
( 1)( 1)( 1)
1
a a a
a + + + = − 2
( 1)( 1)
1 a a a + + = − 1 a a + = − 1 a = − 1 n a M a + − ⇒ − = − 1 2 1 n n
a a a
M a a + + − + − ⇒ = + = − −
Cho a số thực lớn số tự nhiên Hãy thu gọn biểu thức sau:
Câu 37
(110)Lời giải
(
)
(
) (
)
2 2
2
2 4 (2 )
4 4
a ab a a ab b a b a b
M
a a ab a b a ab
+ + + + + +
=
+ + + + +
(
)
(
) (
)
2 2
2
4 (2 )
4 4
a ab a a ab a b a b a b
a a ab a b a ab
+ + + + + + +
=
+ + + + +
(
)
(
)
(
)
2
2 2
2
4
4 4
a a ab b a ab b
a a ab a b a a b
+ + + + +
=
+ + + + +
(
)
(
)
2
4 ( )
4
a a ab b a b
a b a b a
+ + + +
=
+ + +
(
)
(
)
4
4
a a a b b a b
a b a b a
+ + + +
=
+ + + = a Vậy M không phụ thuộc b
Lời giải
1 Để M có nghĩa, ta có:
x
x x
x x
≥
− ≠
+ ≠
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào :
M =
Câu 39
Cho
1 Tìm điều kiện để M có nghĩa
2 Rút gọn M (với điều kiện Mcó nghĩa)
3 Cho N= Tìm tất giá trị x để M = N
(111)⇔
x
x ( x 1) x ( x 1)
≥
− ≠
+ ≠
⇔ x
x > ≠
2 Với x > 0, ≠1 ta có:
2
(x x 1)(x x ) (x x 1)(x x ) M
x x
− + − + −
=
−
= x2 x x2 x x2 x2 x x2 x x
x x
+ − − − + − +
−
= 2x22 2x
x x
− −
22
2(x x)
x x
− =
− = Vậy M =
3 Với x > 0, ≠1 ta có: 6(x 1) x3 13
18 x x
= + + +
(1)
Đặt x y x
+ = >2 (vì x> ≠0, 1)
Ta có 3
3
1 1 1
y x 3x 3x x 3(x )
x x x x x
= + + + = + + + ⇒ 3
3
1
x y 3y
x
+ = −
Do đó, từ (1) ta có:
36=6y+y −3y ⇔ y3+3y 36− =0
⇔ 3 2
0=(y −3 ) (3y 9)+ − =(y 3)(y− +3y 9) 3(y 3)+ + − =(y 3)(y− +3y 12)+
⇔ y= >3 (vì
2
2 39
y 3y 12 x
2
+ + = + + >
)
Với y=3, ta có x x
+ = ⇔
x −3x 1+ =0 (∆= 9- 4= > 0)
3 5
,
2
x + −
⇔ = (tmđk)
Vậy với
3
2
x = + , 2
2
x = − M N=
Lời giải
Bđt b c a d
c b d a
⇔ + < +
2 2
( ) ( )
ad b c a d bc
⇔ + < +
2 2
adb adc a bc d bc
⇔ + < +
2 2
0
adb a bc adc d bc
⇔ − + − <
(bd ac ab cd)( )
⇔ − − < (1)
Cho Chứng minh rằng:
Câu 41
(112)Ta có 0
a b
c d
< <
< < ⇒ac<bd ⇒bd−ac>0
0
a c
b d
< <