Đang tải... (xem toàn văn)
- Biết được một số bài toán có liên quan đến phương trình bậc hai như: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện. - Biết cách đưa một số phương trình bậc cao[r]
(1)Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1 Hệ hai phương trình bậc hai ẩn:
- Định nghĩa: Cho hai phương trình bậc hai ẩn: ax + by = c a’x + b’y = c’ Khi ta có
hệ hai phương trình bậc hai ẩn:
ax+by=c(1) ( ) ' ' '(2) I
a x b y c
- Nếu hai phương trình có nghiệm chung (x0;y0) gọi nghiệm hệ (I) - Nếu hai phương trình khơng có nghiệm chung ta nói hệ vơ nghiệm
2 Quan hệ số nghiệm hệ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm: - Phương trình (1) biểu diễn đường thẳng (d)
- Phương trình (2) biểu diễn đường thẳng (d’)
* Nếu (d) cắt (d) ' ' a b
a b hệ có nghiệm nhất
* Nếu (d) // (d’) ' ' '
a b c
a b c hệ vô nghiệm
* Nếu (d) trùng (d’) ' ' '
a b c
a b c hệ có vơ số nghiệm. 3 Hệ phương trình tương đương:
Hai hệ phương trình gọi tương đương với chúng có tập nghiệm
4 Giải hệ phương trình phương pháp cộng, phương pháp thế, phương pháp dùng định thức:
a/ Quy tắc ( Sgk Toán 9-T2-Tr 13)
b/ Quy tắc cơng đại số ( Sgk Tốn 9-T2-Tr 16)
c/ Phương pháp dùng định thức: (Để nhớ định thức ta nhớ câu: Anh Bạn Cầm Bát Ăn Cơm) Từ hệ phương trình (I) ta có:
' ' ; ' ' ' '
' ' ' ' ' '
a b x c b y a c
D ab a b D cb c b D ac a c
a b c b a c
- Nếu D 0, hệ phương trình có nghiệm nhất:
y
D y =
D
x D
x v
D
- Nếu D = Dx 0 Dy 0, hệ phương trình vơ nghiệm - Nếu D = Dx = Dy = 0, hệ phương trình có vơ số nghiệm
III/ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Hệ phương trình bậc hai ẩn
1. Giải biện luận
Bài toán : Giải biện luận hệ :
2 (1)
3 (2)
mx y m x y
Giải Các bạn chọn ba phương pháp:
(2)Ta có: Từ (2) y = - x Thế vào (1) ta được:
Pt (1) mx + 2(3 - x) = 2m (m - 2)x = 2m - (3).
+ Nếu m - = 0 m = (3) trở thành = - 2, vơ nghiệm (khơng nói phương trình vơ lí !)
+ Nếu m - m (3) x =
2
m m
Thay vào (2) ta được:
(2) : y = -
2
m m
= 2
m m
Hệ có nghiệm : (x;y) = (
2
m m
; 2
m m ). * Cách 2: Phương pháp định thức:
Từ hệ phương trình ta có:
2
.1 1.2 2
1 1
2 2
2 3.2 2 6
3 1
2
.3 1.2 3 2
1 3
x
y m
D m m
m
D m m
m m
D m m m m m
- Nếu D m – m2
Suy hệ phương trình có nghiệm nhất:
2 ;
2
y
x D
D m m
x y
D m D m
- Nếu D = m – = m=2
Dx 2.2 6 4 0( Dy 2 0)
hệ phương trình vô nghiệm - LK:….
2 Nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Những yêu cầu nghiệm thường gặp :
- Nghiệm hệ thỏa mãn bất đẳng thức - Nghiệm hệ thỏa mãn hệ thức
- Nghiệm hệ số ngun
Bài tốn : Tìm m để hệ :
3 (1)
3 (2)
x y m x my
có nghiệm thỏa mãn x > y >
Giải
(3)(2) -3x - 3my = -9 (3)
Cộng vế (1) (3) dẫn đến : - 2y - 3my = m -
(2 + 3m)y = - m (4)
+ Nếu + 3m = m =
(4) trở thành = 29/3 vơ nghiệm
+ Nếu + 3m ; m
2
: (4) y =
9
m m
Thế vào (1) ta có : 3x –
9
m m
= m x =
2 6
2
m m
Khi x > y >
Kết hợp với điều kiện có nghiệm m
2
2
9 m
Tóm lại : Hệ có nghiệm thỏa mãn x > y > -2/3 < m < 9
Bài toán : Cho hệ :
1 (1)
4 (2)
x m y
x y
a) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm x, y ngun b) Tìm m cho nghiệm hệ thỏa mãn x2 + y2 = 0,25
Giải a) Từ (2) m y = 4x + nên vào (1) ta có : x + (m + 1) (4x + 2) =
(4m + 5)x = -2m - (3)
+ Nếu 4m + = m = - 5/4 (3) vơ nghiệm
+ Nếu 4m + m- 5/4 (3)
2
m x
m
Thế vào (2) : y = -
2
m m
+ = 4m 5
Trước hết ta thấy : Vì m nguyên nên 4m + số nguyên lẻ Do : y nguyên 4m + ước số lẻ 6
4m + { -1;1;-3;3} m {-3/2;-1;-2;-1/2}
- Với m = - x = ; y = thỏa mãn - Với m = - x = - ; y = - thỏa mãn
Tóm lại : Hệ có nghiệm x y số nguyên m = - m = - 2. b) Ta có x2 + y2 = 0,25 [ - (2m + 1)/(4m + 5)]2 + [ -6/(4m + 5)]2
(4)Bài toán : Giải hệ :
3
2
2
1
2 15
x y x y
x y x y
Giải
Đặt u = 1/(2x - y); v = 1/(2x + y) hệ trở thành :
3 2 15
u v u v
Giải hệ ta có u = 1/3 ; v = 1/5 Từ ta có :
4 Bài tốn tìm giá trị nhỏ
Có giải tốn tìm giá trị nhỏ biểu thức lại xuất loại hệ Ta xét toán sau :
Bài toán :
Tùy theo giá trị m, tìm giá trị nhỏ biểu thức : F = (mx + 2y - 2m)2 + (x + y - 3)2
Giải
Ta thấy F ≥ với x, y, m F đạt giá trị nhỏ khi hệ sau có nghiệm :
Hệ hệ tốn 1, có nghiệm m
Với m = F = (2x + 2y - 4)2 + (x + y - 3)2. Đặt t = x + y - ta có :
F = (2t)2 + (t - 1)2 = 5t2 - 2t + = 5(t - 1/5)2 + 4/5 ≥ 4/5 Khi F đạt giá trị nhỏ 4/5 t = 1/5
Tóm lại :
Nếu m = F nhỏ 4/5 Và m 2 F nhỏ
Hệ phương trình bậc hai hai ẩn
Bài tốn 6: Giải hệ phương trình
2
2
(1 ) 4
x y y
x y
Hướng dẫn
(5) x2 + 4y = + x2y (x2 – 4)(y – 1) = 0
Nên hệ pt cho tương đương với:
2 2 2 2 ( 4)( 1)
2
2
x x y
x y
x y y
x y a/ Giải 2 x x y
( vô nghiệm)
b/ Giải
2
1
1
y x
x y y
Đáp số: (x; y) = ( 0; )
Bài toán 7: Giải hệ phương trình sau:
2 2
2 ( )
x y
x y xy xy x y
Hướng dẫn
2 ( ) ( 2)( 1)
x y xy xy x y x y xy IV/ BÀI TẬP VẬN DỤNG
*/ Lo¹i 1: Giải hệ phương trình phương pháp cộng phương pháp thế, định thức: Bài 1
2
/
3
4
/
2
7 74
/
3 32
x y a x y x y c x y x y e x y
9
/ 2 17 / 23 /
2 12
x y b x y x y d x y x y f x y Bài 2:
2 /
3 2 /
2 2 (1 3) /
(1 3)
x y a x y x y c x y x y e x y
( 1)
/
( 1)
2
/
3
5 2
/
6 2
x y b x y x y d x y x y f x y
(6)2
2
1 0 /
2 3 7 12 1 0
2 2 23 0
/
3 3 0
x y a
x xy y x y
x y x y
c x y 2 5 1 / 3 10
3 6 3 0
/
4 9 6
x y b
x y xy x y
x xy x y d x y
LOẠI 3: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ: DẠNG 1: 2 1 1 1 / 3 4 5 1 1 24 / 2 3 8 1 1 12 / 1 5 12
7 13 39
/
5 11 33
x y a x y x y d x y x y g x y x y j x y 2 2 6 5 3 / 9 10 1 1 1 2 2 1 / 2 3 1 2 1 4 9 1
2 1 1
/
3 2 13
2 1 1 6
2 3 36
/
3 7 37
x y b x y x y e x y x y h x y x y k x y 2 2
1 1 1
4 / 10 1 1 4 5 3 1 /
5 1 29
3 1 20
1 1 2 1 2 / 2 3 1 2 1 3 5 / 3 1 x y c x y x y f x y x y i y x x y l x y
(7)2 1 / 1
7
2
/ / 1 / 10 x y x y a x y x y
x y x y
c
x y x y
x y x y e
x y x y x y xy
xy x y g
x y xy xy x y
2 3
/
3
21
3
1 12 /
2 12
4 5
1
/
3
1
2 1 / 1
x y x y
b
x y x y
x x
y y d
x x
y y
x y x y
f
x y x y
x y y x h y x x y
*/ LOẠI : Hệ hai phương trình hai ẩn, vế phải vế trái phân tích được thành nhân tử
2 2 1 0 / 22
(2 3 2)( 5 3) 0
/
3 1
( ) 3( ) 0
/
5 0
( ) 4( ) 12
/
( ) 2( ) 3
x y xy a
x y x y
x y x y
c
x y
x y x y
e
x y
x y x y
g
x y x y
2 2 2 2
( 2 1)( 2 2) 0
/
3 1 0
( 2)(2 2 1) 0
/
3 32 5 0
( 1) ( 1) 0
/
3 5 0
( ) 6
/
2 2 5
x y x y
b
xy y y
x y x y
d
x y
x y
f
x y
x y x y
h
x y xy
*/ LOẠI 5: Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp với x, y:
-Hệ có dạng:
2
2
ax (1)
' ' ' '(2)
bxy cy d a x b xy c y d
- Cách giải:
* Cách 1:
(8)k.d = k’.d’
rồi trừ vế hai phương trình cho ta phương trình dạng: Ax2 + Bxy + Cy2 = (*)
+/ Xét y =
+/ Xét y 0, ta đặt: x = yt
pt (*) trở thành: Ay2t2 + By2t + Cy2 = 0 At2 + Bt + C = 0
Giải phương trình tìm t
* Cách 2:
Chọn hai số m n cho: a.m = a’.n
+/ Nhân hai vế phương trình (1) với m, phương trình (2) với n
+/ Trừ vế hai phương trình cho nhau, ta phương trình dạng: B(x, y) + Cy2 = D (3)
+/ Xét y =
+/ Xét y 0, từ (3) x =
2
(4)
D Cy By
Thay (4) vào (1) (2), ta phương trình trùng phương
Bài tập: Giải hệ phươ:ng trình sau
2 2 2 2 2 2 2 4 1 / 3 4 3 5 / 3 1
4 2 3
/
2 3 4
25 2 /
( ) 10
x xy y a
y xy x y d
x y
x xy y g
x xy y
x y xy
j
y x y
2 2 2 2 2 2 21
2 5 0
2 3 36
/
3 7 37
3 54
/
4 115
( )( ) 5
/
( )( ) 3
x xy y b y xy x y e x y x xy h xy y
x y x y k
x y x y
2 2 2 2 2 2 2
3 5 4 38
/
5 9 3 15
2 3 9
/
2 2 2
2 1
/
2
( )( ) 45
/
( )( ) 85
x xy y
c
x xy y
x xy y
f
x xy y
x y
i
xy x
x y x y
l
x y x y
*/LOẠI 6: Hệ đối xứng loại 1
- Định nghĩa: Là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà ta thay đổi vai trò x y cho phương trình hệ khơng thay đổi
Hệ có dạng:
( ; ) 0(1) ( ) ( ; ) 0(2)
f x y
I g x y
- Cách giải:
Ta quy hệ phương trình biết tổng tích hai nghiệm: Biến đổi phương trình hệ dạng: x + y x.y
Đặt:
x y S x y P
(9)Thay vào hệ phương trình (I), ta hệ phương trình có hai ẩn S P
Hệ phương trình (I) có nghiệm Hệ phương trình ẩn S P có nghiệm thỏa mãn (*). Bài tập: Giải hệ phương trình sau:
2
2 2 2
2 2
7 17 1 102
1/ 2 / 3 / 4 /
13 65 6 69
( 2)( 2) 9 2 ( 3) ( 3) 0
5 / 6 /
2( ) 6 2( ) 6 0
x y xy xy x y x y xy x y x y
x y xy x y x y y x xy x y
xy x y x y x y y x
x y x y x y xy
2
2 3
3 2
1
1 52
1
7 / / / 1 1 5 10 /
5 2
12
x x y
x y
x y xy x y
x
x y x y x y
x y
x y LOẠI 7: Hệ đối xứng loại 2:
- Định nghĩa: Là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà ta thay đổi vai trị x y cho phương trình (1) trở thành phương trình (2) phương trình (2) trở thành phương trình (1)
Hệ có dạng:
( ; ) 0(1) ( ) ( ; ) 0(2)
f x y
I g x y
- Cách giải:
Trừ vế phương trình (1) (2) ta phương trình dạng:
(x – y) [A(x; y)] =
0 ( ; )
x y A x y
Hệ phương trình (I)
0 ( ) ( ; ) ( ; )
( ) ( ; )
x y
II f x y
A x y
III f x y
Giải hệ (II) (III) để tìm nghiệm
Chú ý: Nếu hai phương trình ẩn đề có lũy thừa số lẻ ta cộng trừ vế hai phương trình, ta hệ phương trình tương đương với hệ pt (I):
( ) ( ; ) ( ) ( ; )
x y A x y x y B x y
(10)2 2 2 3
2 4 5
1/
2 4 5
2 3 3 1
4 /
2 3 3 1
13 6
7 /
13 6
x y y y x x
x xy y x y xy x y
x x y
y y x
2 3
2
2
2 3 2 / 2 3 5 5 / 5 4 3 8 / 4 3 y x x y
x x y y y x
y x x x
x y y y
2 2 3 3 2 7 3/ 2 7 2 6 / 2 2 1 9 / 2 1
x y x
y x y
x y x y x y
x y y x
LOẠI 8: Hệ có chứa thức:
Lưu ý: - Trước giải hệ phải đặt điều kiện cho thức có nghĩa
- Sau giải xong cần đối chiếu với điều kiện Bài tập1:
Giải hệ phương trình sau ( Đặt ẩn phụ
3 2
/ /
2 18
x y x y
a c
x y x y
7
3
7
3
/ /
5
4,5 2 x y x y b d x y x y
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
1 1 x y y x HD ĐK: x y
Từ đk suy ra: x y 1 1, y x 1 1, Dấu đẳng thức xảy x = y = Đ/s: x = y =
Bài 3: Giải hệ phương trình sau:
2
2
2 4
x y x
y x y
HD Nhân hai phương trình hệ ta thu được:
2
4 4
2x1 4x 2y1 4y x y
Ta có bất đẳng thức:
4
2
1;
x x
x x
Dấu xảy x = 1, suy
2
4
2x1 4x 2y 4y 3x y
Dấu đẳng thức xảy x = 1; y =
(11)3
2
2
2
( )(1 )
/
54
1 18
/
1
1 5(1)
/
80(2)
x y y x xy
a
x y
x x y x y y x y
b
x x y x y y x y
x x x y y y
c
x y x y
HD
a/ Ta có:
( )(1 )
( ) ( )
0
x y y x xy
x y x y xy
x y x y
b/ Trừ phương trình hệ cho vế theo vế
*/LOẠI 9: Hệ phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối: Bài 1: Giải hệ phương trình:
1 /
2 1
y x
a
x y
6x | y | b /
x | y |
3
2 3
/
2 1
y x x c
x y
HD
Dùng phương pháp thế, đưa hệ phương trình phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
*/LOẠI 10: Hệ có chứa tham số
Bài : Cho hệ :
2
mx y n x y
a) Tìm n để hệ có nghiệm với giá trị m
b) Với n = 2, tìm m cho hệ có nghiệm thỏa mãn x < y <
c) Với n = 3, tìm số nguyên m cho hệ có nghiệm x, y số nguyên
Bài : Tìm m để hệ có nghiệm :
1
2
) )
3
mx y
m x y
a x my b
x my m x y m
Bài : Tùy theo m, tìm giá trị nhỏ biểu thức : a) F = (mx - 2y + 1)2 + (3x + y)2
b) Q = |x - my| + |2x + y - 1|
Bài : Chứng minh : Nếu hệ
ax by c
bx cy a
có nghiệm thỏa mãn cx + ay = b : a3 + b3 + c3 = 3abc
(12)I/ CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Định lí Vi-ét:
Cho phương trình ax2 + bx + c = (a
0) Nếu phương trình có hai nghiệm x1; x2
thì:
1
1
b x x
a c x x
a
2.Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai:
- Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm: 1; c
x x
a
- Nếu a – b + c = phương trình có nghiệm: x1 1;
c x
a
3 Tìm hai số biết tổng tích:
Hai số x; y có x + y = S; x.y = P hai số x; y hai nghiệm phương trình:
2
X SX P0
Điều kiện: S2
4P
BỔ SUNG
a/ Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a
0) có nghiệm x x1, tam thức ax2 bx c phân tích thành nhân tử: ax2 bx c = a(x – x1)(x – x2)
b/ Xét dầu nghiệm phương trình:
ax2 + bx + c = (a
0) (1)
Điều kiện để phương trình (1)
- Có hai nghiệm trái dấu P <
- Có hai nghiệm dấu 0 P > 0
- Có hai nghiệm dương 0, P > 0, S > 0
- Có hai nghiệm âm 0, P > 0, S < 0.
II/ CÁC BÀI TẬP
*/ DẠNG THỨ NHẤT: Lập phương trình biết hai nghiệm Bài 1:
a/ x1 =
4; x2 = -
2 b/x1 = -2
1
4 ; x2 = 3
3 c/ x1 = 1
3; x2 = - 0,9 d/ x1 = 1 2; x2 = 1
e/ x1 = 3 2; x2=
3 f/ x1 = +2 6; x2 = 5 6 g/ x1 = + 2 2; x2 = 3 2
h/ x1 = – 5; x2 = + i/ x1 =
2 ; x2 =
2 k/ x1 =
10 72 ; x2 = 10 72 l/ x1 = - 5; x2 = + m/ x1 = 4; x2 = -
n/ x1 = -1,9; x2 = 5,1 o/ x1 = + 11; x2 = 3 11
(13)2 2 1 1 / à x a v x 1 x / x x b v x 2
1 x 1
/ x à
c v x x d/ 2
1 x x v x x 2 1
/ x
e x v
x x
1
/
2 x
f v
x
Bài 3: Giả sử x1; x2 hai nghiệm phương trình: x2 + px – = Khơng giải phương trình, lập phương trình bậc hai có nghiệm là:
1
/ à-x
a x v b/ 4x v1 4x2
1
/
3
c x v x
1 1 / x d v x 1 x / à x x e v x 2
2 x
/ x
f v
x x
1 2
2
3 -x
/ x
g v x x 2 x /
1 x
x
h v
x
1
2
1
/ x
i x v
x x
2
1
/ à x
j x v
2
1
/ x
k x v
x x
2
1 2
/ à x
l x x v x
Bài 4: Gọi p q hai nghiệm phương trình 3x2 + 7x + = Khơng giải phương trình, lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên có nghiệm là:
q p -
p v q
Bài 5:
a/ Chứng minh a1; a2 hai nghiệm phương trình: x2 + px + = 0; b1; b2 hai nghiệm phương trình: x2 + qx + = thì: (a1 – b1)(a2 – b2)(a1 + b1)(a2 + b2) = q2 – p2
b/ Chứng minh tích nghiệm phương trình: x2 + ax + = với nghiệm
nào phương trình x2 + bx + = nghiệm pt thì: 2 2
4 1 1
2
a b a b
c/ Cho phương trình: x2 + px + q = Chứng minh 2p2 – 9q = phương trình có hai nghiệm nghiệm gấp đôi nghiệm
*/ DẠNG 2: Tìm tổng tích nghiệm
Bài 1: Cho phương trình x2 – 5x + = Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình khơng giải phương trình tính:
2
1
/
a x x b x/ 13 x23 c x/ x2 d x/ 12 x22
3
1
/
e x x
1
1 1
/
f
x x 2
1
1 1
/
g
x x
1
1
3 3
/ x x
h x x 1 1 / 2 2 i
x x
1
1
1 1
/
j x x
x x 2 1 1 / 2 2 x x k x x 2
1 2
/
l x x x x
1
2
/ x x
m
x x
Bài 2: Cho phương trình –x2 – 4x + = Khơng giải phương trình tính: a/ Tổng bình phương nghiệm b/ Tổng nghịch đảo nghiệm c/ Tổng lập phương nghiệm d/ Bình phương tổng nghiệm e/ Hiệu nghiệm f/ Hiệu bình phương nghiệm Bài 3:
(14)2
1 2
3
1 2
6 10
5
x x x x A
x x x x
DẠNG 3: Tìm hai số biết tổng tích
Bài 1:
Tìm hai số u, v biết:
a/ u + v = 32; u.v = 231 b/ u + v =-8; u.v = -105 c/ u + v = 2; u.v = d/ u + v = 42; u.v = 441 e/ u - v = 5; u.v = 24 f/ u + v = -5; u.v = -24
g/ u2 + v2 = 85; u.v = 18 h/ u - v = 3; u.v = 180 i/ u2 + v2 = 5; u.v = -2 j/ u2 + v2 = 25; u.v = -12
DẠNG 4: Tính giá trị tham số biết mối liên hệ nghiệm.
Bài 1: Cho phương trình x2 – 6x + m = Tính giá trị m biết phương trình có hai nghiệm
x1; x2 thỏa mãn: a x/ 12 x22 36 b x/ 1 x2 4 12 22
1 /
3
c
x x
1
/
d
x x
Bài 2: Cho phương trình: x2 – 8x + m = Tính giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn hệ thức sau:
2 2
/ 50
a x x b x/ 1 7x2 c/ 2x13x2 26 d x/ 1 x2 2
Bài 3: Cho phương trình: x2 – (m + 3)x + 2(m + 2) = Tính giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 = 2x2 Khi tìm cụ thể hai nghiệm phương trình
Bài 4:
a/ Tìm k để pr: x2 + (k – 2)x + k – = có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 10 b/ Tìm k để pr: x2 - 2(m – 2)x – = có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 18
c/ Tìm k để pt: (k + 1)x2 – 2(k + 2)x + k – = có hai nghiệm x
1; x2 thỏa mãn:
(4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18
d/ Tìm k để pt: 5x2 + mx – 28 = có hai nghiệm thỏa mãn: 5x
1 + 2x2 =
Bài 5: Gọi x1; x2 hai nghiệm khác pt: mx2 + (m – 1)x + 3(m – 1) = 0
Chứng minh:
1 1
x x
*/ DẠNG 5: Các tốn tổng hợp
Bài 1:Cho phương trình: x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = 0
a/ Định m để phương trình có nghiệm Khi phương trình cịn nghiệm nữa, tìm nghiệm đó?
b/ CMR: phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m c/ Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để x
2
1 + x22 =
d/ Định m để phương trình có nghiệm ba nghiệm kia?
Bài 2: Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x – m = 0
a/ CMR phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với m
b/ Với m 0 Hãy lập PT ẩn y có hai nghiệm là:
1 2
2
1
à y
y x v x
x x
c/ Định m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: x1 + 2x2 =
Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2(k + 3)x + 2k – = 0
(15)b/ CMR tổng tích nghiệm có liên hệ không phụ thuộc k?
d/ Định k để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: 2
1
x x x x
e/ Tìm k để tổng bình phương nghiệm có giá trị nhỏ nhất?
Bài 4: Cho phương trình:
2 2(2 1) 3 6
0
x m x m m
x
a/ Giải phương trình m = 2/3
b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 + x2 = 16 Bài 5: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
a/ Giải biện luận pt
b/ Tìm giá trị m để pt có nghiệm m Khi tìm nghiệm cịn lại?
c/ Tìm m cho hai nghiệm x1; x2 pt thỏa mãn: 10x1x2 +x12x22 đạt giá trị nhỏ Tìm
giá trị đó?
Bài 6: Cho pt: x2 – 2mx + 2m – = 0
a/ CMR: phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b/ Đặt A = 2(x12 x22) 5 x x1
Chứng minh: A = 8m2 – 18m +
Tìm m cho A = 27
c/Tìm m để pt có nghiệm hai nghiệm Khi tìm hai nghiệm
Bài 7: Cho pt: x2 – 2(m + 1)x + m – = 0
a/ CMR: phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với m
b/ Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu c/ Tìm m để pt có hai nghiệm dương
d/ CMR biểu thức A x 1(1 x2)x2(1 x1) khơng phụ thuộc m e/ Tính giá trị biểu thức x1 – x2
Bài 8:
a/ Phương trình: x2 – 2px + = có nghiệm x
1 = Tìm p tính nghiệm kia?
b/ Phương trình: x2 + 5x + p = có nghiệm Tìm p tính nghiệm kia?
c/ Biết hiệu hai nghiệm pt: x2 – + q = 11 Tìm q hai nghiệm phương
trình
d/ Tìm giá trị m để pt: x2 + 2(m + 2)x + 2m2 + = có nghiệm x
1 = tìm
nghiệm lại?
Bài 9:
Cho phương trình: x4 + 2mx2 + = (1) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm phân
biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn:
4 4
1
x x x x = 32
Hướng dẫn
Đặt x2 = t suy phương trình trở thành: t2 + 2mt + = (2)
Pt (1) có nghiệm phân biệt pt (2) có nghiệm dương phân biệt t1; t2
Đ/s: m < -2 Khi (1) có nghiệm x1,2 t x1; 3,4 t2
4 4 2
(16)Bài 10: Cho phương trình:
2
1
1 m
x x
(1) a/ Giải pt với m = 15
b/ Tìm m để pt có nghiệm phân biệt
Hướng dẫn
Pt (1)
2
1
0 ( 1) ( 1) m
x x x x
; Đặt
1 ( 1)
y x x
(*) Thì pt (1) trở thành: y2 + 2y – m = (2)
( Với m = 15, tìm y sau tìm x)
b/ Từ (*) ta thấy tồn hai giá trị x y < - y >
Do pt (1) có nghiệm phân biệt pt (2) có nghiệm p/b thỏa mãn: y 4;0 Theo định lý Vi-ét: y1 + y2 = -2 nên (2) thỏa mãn y1 < -4 < < y2
(4) 0 (0) 0
a f a f
CHỦ ĐỀ: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I/ MỤC TIÊU CỦA CHỦ ĐỀ Qua chủ đề giúp học sinh:
- Biết số tốn có liên quan đến phương trình bậc hai như: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện
- Biết cách đưa số phương trình bậc cao phương trình bậc hai( phương trình quy phương trình bậc hai)
- Rèn kỹ giải tốn trình bày lời giải cho học sinh
II/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Công thức nghiệm phương trình: ax2 + bx + c = ( a 0 )
2 Một số toán nghiệm phương trình bậc hai
Giả sử phương trình: ax2 + bx + c = ( a 0 ) có hai nghiệm x1; x2 x1 + x2 = S, x1.x2 = P ta có tốn tổng qt sau:
* Bài tốn 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm:
0
a
0
a b
0 0
a b c
* Bài tốn 2: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt:
0
a
* Bài tốn 3: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm:
0
a
0
a b
* Bài tốn 4: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm dấu:
0
P
(17)* Bài toán 5: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghệm dương ( < x1 x2 )
0 0
P S
* Bài toán 6: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm âm ( x1 x2 < ):
0
S P
* Bài tốn 7: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu ( x1 < < x2 ): P <
* Bài tốn 8: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: = x1 < x2:
0 0
S P
* Bài tốn 9: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: x1 < x2 = 0:
0 0
S P
* Bài tốn 10: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: x1 = x2 =
0
S
*/ Chú ý: Ta lưu ý đến điều kiện a # để phương trình có hai nghiệm
So sánh nghiệm phương trình bậc hai với số * Số nằm hai nghệm: x1 < < x2 a f ( ) 0
* Số nằm phía trái hai nghiệm: < x1 < x2
0 ( )
2
a f S
* Số nằm phía phải hai nghiệm: x1 < x2 <
0 ( )
2
a f S
* So sánh nghiệm với số ;
1
1
x x
x x
f( ) ( ) 0 f III/ MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA:
1.Bài tốn 1: Cho phương trình: x2 – 2mx + m2 – = (1)
a/ Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b/ Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt dấu c/ Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm thỏa mãn: -2 < x <
(18) phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m b/ Để phương trình (1) có hai nghiệm dấu:
2
' 0( âu a)
0
0
c m
P m
P m
Vậy với m > m < - phương trình (1) có nghiệm phân biệt dấu c/ Để phương trình có nghiệm thỏa mãn: -2 < x <
1 2
1
0 ( 2)
2
2
2
4
0 (4)
4
a f S x x
x x
x x
a f S
Giải (I) ta được: m > - Giải (II) ta được: m <
Vậy với - < m < phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn -2 < x <
2.Bài tốn 2: Cho phương trình: x2 – (a2 + )x +a2 + = (*) CMR: phương trình ln có hai nghiệm dương phân biệt
HD
Để pt có hai nghiệm dương phân biệt:
0(1) 0(2)
0(3)
S P
3 4.( 2) 2 1 ( 1)2 0
a a a a a a
Ta có:
Vậy (1) ln với a
Ta có: S = x1 + x2 = a2 + 3 a Vậy (2) với a Ta có: P = x1.x2 = a2 + 2a Vậy (3) với a KL: Phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt dương với a
3.BÀI TẬP VẬN DỤNG
1 Cho phương trình : x2 2m1x m m 0
a) Chứng minh : phương trình ln có nghiệm với m
b) Chứng minh có hệ thức liên hệ nghiệm số không phụ thuộc m
2 Tìm giá trị nguyên kđể biệt thức phương trình sau số phương : kx22k 1x k 0; k 0
( I )
(19)3 Tìm a để phương trình x4 2a1x2 2a 1 có nghiệm phân biệt cho biểu diễn nghiệm lên trục số chắn trục số thành đoạn
4 Tìm k để phương trình sau có nghiệm phân biệt :
2
2
x x kx k
5 Chứng minh phương trình bậc hai : ax2 bx c 0 khơng thể có nghiệm hữu tỷ a b c, , số lẻ
6 Tìm a b, để hai phương trình sau tương đương : x2 3a2b x 0 x2 2a3b x 2b0
7 Giả sử b c, nghiệm phương trình :
2
2
1
0
x ax a
a
Chứng minh : b4 c4 2 2
8 Chứng minh hệ số a b c, , phương trình sau ln có nghiệm : a x b x c b x c x a c x a x b 0
9 Chứng minh hệ số a b c, , phương trình : ax2 bx c 0 a 0 thỏa mãn điều kiện : 2b2 9ac0 phương trình có nghiệm gấp đôi nghiệm kia.
10 Chứng minh m n p m n, p với m n p, , số dương phương trình sau vô nghiệm :
2 2 2 0
m x m n p x n
11 Chứng minh : x0 3 a a2 b3 a2 b3 a nghiệm phương trình :
3 3 2 0
x bx a .
12 Tìm giá trị tham số a để bất phương trình sau có nghiệm chung :
2 , 1
a x x a x x .
13 Cho phương trình x2 2bx c 0, x2 2cx b 0 Chứng minh b c 2 có phương trình phải có nghiệm
14 Cho phương trình ax2 bx c 0 a 0 có nghiệm x x1,
a) Tính theo a b c, , biểu thức sau :
1 2
2 1
5 ,
3
x x
P x x x x Q
x x x x
b) Cho a m b ; 2 2 m1 ; c3m4 Tìm hệ thức liên hệ x x1, không phụ
thuộc vào m
15 Chứng minh phương trình ax2 bx c 0 có nghiệm dương phương trình cx2 bx a 0 có nghiệm dương.
16 Với giá trị m hai phương trình sau có nghiệm chung : x2 m4x m 5 0, x2 m2x m 1
(20)18 Tìm m để phương trình x2 2m1x m 0 có nghiệm x x1, cho 2
1
x x .
19 Cho hàm số y x 2m1x m 1, tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hồnh độ x x1, thỏa mãn : x1 0;x2 0;x2 x1
20 Tìm giá trị a cho phương trình x2 ax2a 1 0, ax2 2a1x 0 có nghiệm chung
21 Cho phương trình : m 1x2 2mx m 2 (m tham số)
Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x x1, Khi tìm hệ thức liên hệ 1,
x x không phụ thuộc vào m Tìm m để phương trình có nghiệm x x1, 2 thỏa mãn hệ
thức :
1
2
6
x x
x x .
IV/ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Phương pháp 1:
- Trường hợp phương trình có ẩn số mẫu, ta thu tất vế, vế lại - Đặt điều kiện mẫu khác Do suy điều kiện ẩn phương trình - Giải phương trình cách quy đồng mẫu thức So với điều kiện trước trả lời
Phương pháp 2:
Trường hợp ẩn x có bậc cao
- Biến đổi phương trình thành phương trình tích - Hoặc vận dụng cách đặt ẩn phụ
Các ví dụ:
Giải phương trình:
1 5
/ 2
2
/ 2 80 0
x a
x x
c x x
2
4
2 2
/ 5 6 0(2)
1 1
/ 4 3 2 2 0
y y
b
y y
d x x x x
HD
b/ Đặt
y
x y
với y 1, x (*) Do (2) x2 - 5x + =
Phương trình có hai nghiệm là: x1 = 3; x2 = 2( thỏa mãn (*))
c/ Đặt x3 = t phương trình cho tương đương với: t2 – 2y – 80 = 0 d/ Phương trình cho tương đương với: (x + 1)2(x2 + 2)(x – 1) =
V/ BÀI TẬP VẬN DỤNG
(21)1) x2 2x 2 1 2) 2x2 7x 5 0 3) 0,7x2 2,3x 30
4)
2
x 1 x 0
5)
2
x 3 x 0 6)
2
x 2m x 2m0
7)
2
x mn xmn0
8)
2
2m x 2mx 3 9)
2
x 1 x 4 0
10)
2
4x 1 x 0 11)
5x 32 5x32 x
12)
2
x x3 2 x Bài 2: Giải phương trình sau:
1) x4 7x2 120 2) x4 18x2 810 3) 4x4 5x2 90 4)
x x 1
5) 2x4 5x2 70 6) 2x4 5x2 70 7)
4
1 1
x x
3 6 Bµi 3: Gi¶i phương trình sau:
a/
2
x 1 40
b/
2
2x 160
c/
2
x 1 x3 0
d/ x4 4x2 4 16x2 8x 1 e/
x 4x 8x 8 0 f/
2
2
x x 4 x x 120
g/
2
x x x x2 120
h/
2 2
x 12 x 14 x 18 x 16
7 13 11
k*/
2
1 19
3 x x
x x
u/
x x 2x 2 0 Bµi 11: Gi¶i phương trình:
a/
x 2x 2x x
b/
2
1 1
x x2 x 1 12
c/ 2
1
0 2x 1 2x
d/
3 x 2x
6
x x
e/
x 2x 2x x
f/
1 1
x 1 x x
/ 2
y
y 96y2y y 3y ¬/
32 1
x 2x x x x x 1
g/
2x x
0 2x 2x
h/ 2
3
2
x x 5 x x 4 k/
1 1
0 x 1 x 1 x
m*/
3
1
x x
x x
n*/
3
3
8
x x
x x
u*/
2
x x x x x x x x
s/
14 x
x x x 3 x
t/
x x x x
Bài Giải phơng trình sau:
a) x4−10 x3+26 x2− 10 x+1=0 b)x4 4x3 6x2 4x 0 c) x4+2 x3− x2− x +1=0 d) x4+3 x3−14 x2−6 x +4=0
(22)Bài Giải phơng trình sau: a) x
2
+x 5
x +
3 x
x2+x −5+4=0 b) x
2
+x −
x2+x −5=5
c) 21
x2−4 x+10− x
2
+4 x −6=0
d)
2
2
4
4
x x
x x