Vận dụng linh hoạt các phương pháp giải kết hợp với máy tính có thể giải được rất nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả năng nhẩm nghiệm không được hoặc sử dụng công thức Cardano quá[r]
(1)CHƯƠNG II : ĐA THỨC
1 Định lý Bezout
Số dư phép chia f(x) cho nhị thức x – a f(a) Hệ quả: Nếu a nghiệm f(x) f(x) chia hết cho x – a
Dạng Tính giá trị đa thức Bài tốn: Tính giá trị đa thức P(x,y,…) x = x0, y = y0; …
Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp giá trị x, y vào đa thức để tính. Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đa thức biến)
Viết P(x) a x n a x1 n 1 a ndưới dạng P(x) ( (a x a )x a )x )x a n Vậy P(x ) ( (a x0 0a )x1 0a )x2 0 )x0an
Đặt b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2; …; bn = bn-1x0 + an Suy ra: P(x0) = bn
Từ ta có cơng thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥
Giải máy: - Gán giá x0 vào biến nhớm M
- Thực dãy lặp: bk-1 ALPHA M + ak
Ví dụ 1.1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tính
5
3
3x 2x 3x x A
4x x 3x x = 1,8165
Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans
Aán phím: 8165
2
( Ans ^ Ans ^ Ans x Ans ) ( Ans ^ Ans x Ans )
Kết quả: 1.498465582
Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ X
Aán phím: 8165 SHIFT STO X
2
( ALPHA X ^ ALPHA X ^ ALPHA X x ALPHA X )
( ALPHA X ^ ALPHA X x ALPHA X ) Kết quả:
1.498465582
Nhận xét: Phương pháp dùng sơ đồ Horner áp dụng hiệu máy fx-220
và fx-500A, máy fx-500 MS fx-570 MS nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS giá trị biến x nhanh cách bấm CALC , máy hỏi X? khai báo giá trị biến x ấn phím xong Để kiểm tra lại kết sau tính nên gán giá trị x
0 vào
một biến nhớ khác biến Ans để tiện kiểm tra đổi giá trị
Ví dụ 1.2: Tính
5
3
3x 2x 3x x A
4x x 3x khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321 Khi ta cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X:
235678 SHIFT STO X
(2)tìm cách chia nhỏ tốn tránh vượt giới hạn nhớ máy tính dẫn đến sai kết (máy tính tính kết thu kết gần đúng, có trường hợp sai hẳn)
Dạng 2: Tìm dư phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta P(x)=Q(x)(ax+b) + r, r
là số (khơng chứa biến x) Thế
b x
a
ta P( b a
) = r
Như để tìm số dư chia P(x) cho nhị thức ax+b ta cần tính r = P( b a
), lúc dạng toán 2.2 trở thành dạng tốn 2.1
Ví dụ 2.1: (Sở GD TPHCM, 1998)
Tìm số dư phép chia:P=
14
x x x x x x 723
x 1,624
Số dư r = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723
Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)
Ấn phím: 624 SHIFT STO X
ALPHA X ^ 14 ALPHA X ^ ALPHA X ^ ALPHA X ^ ALPHA X ^ ALPHA X 723 Kết quả: r = 85,92136979
Dạng Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta
P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r Muốn P(x) chia hết cho ax +b m + r =
hay m = -r = - P( b a
) Như toán trở dạng tốn
Ví dụ 3.1: Xác định tham số
(Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000) Tìm a để x47x32x 13x a2 chia hết cho
x+6. Giải x+6.
Số dư
2
4
a ( 6) 7( 6) 6 13 6
Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)
Ấn phím: ( ) 6SHIFT STO X
( ) ( ALPHA X ^
4 7 ALPHA X x3 2 ALPHA X x2 13 ALPHA X )
Kết quả: a = -222
Ví dụ 3.2: (Sở GD Khánh Hòa, 2001)
Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3?
(3)Số dư a2 = -
3
3 17 625
=> a =
3
3 17 625
Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)
3
( ) ( ( ( ) ) x 17 ( ( ) ) 625 ) Kết quả: a = 27,51363298
Chú ý: Để ý ta thấy P(x) = 3x3 + 17x – 625 = (3x2 – 9x + 44)(x+3) – 757
Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) a2 = 757 => a = 27,51363298 a = - 27,51363298
Vi du3.3
Tìm giá trị m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + + m chia hết cho Q(x) = 3x
+2
H.Dẫn:
- Phân tích P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P
1(x) + m Khi đó:
P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x)
Ta có: 1
2
0
3
P m mP
Tính máy giá trị đa thức P1(x)
2 x
ta m =
Vi du3.4:
Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + + n
Tìm m, n để hai đa thức có nghiệm chung x
H.Dẫn:
0 x
nghiệm P(x) m = 1 P
, với P1(x) = 3x2 - 4x + 5
0 x
nghiệm Q(x) n= 1 Q
với Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7.
Tính máy ta được: m = 1 P
= ;n = 1 Q
=
Vi du3.5:
Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m;Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n.
a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2)
b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x) Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ đa thức R(x) có nghiệm
(4)a) Giải tương tự VD 3.4, ta có: m = ;n = b) P(x) (x - 2) Q(x) (x - 2) R(x) (x - 2)
Ta lại có: R(x) = x3 - x2 + x - = (x - 2)(x2 + x + 3), x2 + x + > với x nên R(x)
chỉ có nghiệm x =
Ví dụ 3.6
Cho đa thức f(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x
1 Tim giá trị m để f(x) + m chia hết cho x+6
2 Với m vừa tìm câu T ính giá trị đa thức P(x) = f(x) + m cho:
x =
1+√3
1+√1+√3
+
1 −√3
1 −√1 −√3
Giải:
1 f(x) + m chia hết cho x+6 nên f(x) + m viết d ạng
f(x) + m = Q(x)(x+6)
do đ ó f(-6) + m = ⇔ m = - f(-6) HS lập quy trình tính đ úng k ết ⇔ m = - f(-6) = - (- 642)= 642 Với m = 642
ta đa thức P(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x + 642
Học sinh tính x =
Thay x = vào tính đ úng P(1) = 665
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số củaP x thỏa mãn điều kiện đó:
Ví dụ 4.1: (5 điểm) Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c
a) Tìm a, b, c biết x nhận giá trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 P(x) có giá trị tương ứng 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653
b) Tìm số dư r phép chia đa thức P(x) cho 12x – c) Tìm giá trị x P(x) có giá trị 1989
Giải:
a) Thay giá trị x = 1,2 ; x =2,5 ; x=3,7 vào đa thức P(x) = x3+ax2+ c
ta hệ
¿
1 , 44 a+1,2 b+c=1993 6 , 25 a+2,5 b+c=2045 13 , 69 a+3,7 b+c =2123
¿{ {
¿
(5)b) Số dư phép chia P(x) =x3+10x2+3x+1975 cho 2x+5 giá trị P(-2,5)
của đa thức P(x) x=-2,5 ĐS ; 2014,375
c) Giải phương trình P(x) =x3+10x2+3x+1975= 1989 hay x3+10x2+3x-14 =0
x=1 ; x= - 9,531128874 ; x= -1,468871126
Ví dụ 4.2:Cho P(x) = x3 + ax2 + bx - 1
1) Xác định số hữu tỉ a b để x = √7 −√5
√7+√5 nghiệm P(x); 2) Với giá trị a, b tìm tìm nghiệm cịn lại P(x)
Giải:
x = 6- √35 b = 1x− x2−ax
=6+ √35 -(6- √35 )2 -
a(6-√35 ) (a+13) = b+6a+65 = a = -13 ; b =13 P(x) =x3-13x2+13x-1
(x-1)(x2-12x+1) = x = ; x 0,08392 x 11,916
Ví dụ 4.3:Xác định hệ số a, b, c đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để
sao cho P(x) chia hết cho (x – 13) có số dư chia cho (x – 14) có số dư
Hướng dẫn:
Ta có : P(x) = Q(x)(x – a) + r P(a) = r Vậy P(13) = a.133 + b.132 + c.13 – 2007 = 1
P(3) = a.33 + b.32 + c.3 – 2007 =
P(14) = a.143 + b.142 + c.14 – 2007 = 3
Tính máy rút gọn ta hệ ba phương trình :
2197 169 13 2008 27 2009 2744 196 14 2010
a b c
a b c
b c
Tính máy :a = 3,693672994 3,69
b = –110,6192807 –110,62 c = 968,2814519 968,28
Dạng Tìm đa thức thương chia đa thức cho đơn thức
Bài toán mở đầu: Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta thương
đa thức bậc hai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 số dư r Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x
+ b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c) Ta lại có cơng thức truy hồi
Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3
Tương tự cách suy luận trên, ta có sơ đồ Horner để tìm thương số dư chia đa thức P(x) (từ bậc trở lên) cho (x-c) trường hợp tổng quát
: Tìm thương dư phép chia đa thức P(x) cho (ax +b)
Cách giải:
- Để tìm dư: ta giải tốn
- Để tìm hệ số đa thức thương: dùng lược đồ Hoocner để tìm thương phép
chia đa thức P(x) cho (x + b a)
Ví dụ 5.1
Tìm thương số dư phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – cho x – 5.
(6)Ta có: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 =
Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS)
( ) SHIFT STO M ALPHA M ALPHA M
ALPHA M ( ) ALPHA M ALPHA M ALPHA M ALPHA M ( )1
(-5) (23)
(-118) (590) (-2950) (14751)
(-73756) Vậy x7 – 2x5 – 3x4 + x – =
= (x + 5)(x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751) – 73756.
Ví dụ5.2: Tìm thương dư phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - cho (x + 5)
H.Dẫn: - Sử dụng lược đồ Hoocner, ta có:
1 -2 -3 0 -1
-5 -5
3 -118
590 -2950 14751 -73756 * Tính máy tính giá trị sau:
( )
SHIFT STO M
1 ANPHA M + = (-5) : ghi giấy -5
ANPHA M + - = (23) : ghi giấy 23
ANPHA M - = (-118) : ghi giấy -118
ANPHA M + = (590) : ghi giấy 590
ANPHA M + = (-2950) : ghi giấy -2950
ANPHA M + = (14751) : ghi giấy 14751
ANPHA M - = (-73756) : ghi giấy -73756 x7 - 2x5 - 3x4 + x - =
= (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) – 73756
Vi du5.3: Tìm thương dư phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + cho (2x - 1) Vi du 5.4:
Chia x8 cho x + 0,5 thương q
1(x) dư r1 Chia q1(x) cho x + 0,5 thương q2(x)
dư r2 Tìm r2 ?
H.Dẫn:
- Ta phân tích: x8 = (x + 0,5).q
(7)q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2
- Dùng lược đồ Hoocner, ta tính hệ số đa thức q1(x), q2(x) số
dư r1, r2:
1 0 0 0 0
1
1
2
4
1
16
1 32
64
1 128
256
1
-1
4
1
16
3 16
64
1 16
VËy: 16 r
Dạng Phân tích đa thức theo bậc đơn thức
Áp dụng n-1 lần dạng toán 2.4 ta phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r0+r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n
Ví dụ6.1 Phân tích x4 – 3x3 + x – theo bậc x – 3.
Giải
Trước tiên thực phép chia P(x)=q1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để q1(x) r0
Sau lại tiếp tục tìm qk(x) rk-1 ta bảng sau:
1 -3 -2 x4-3x2+x-2
3 0 1 q1(x)=x3+1, r0 =
3 28 q2(x)=x3+3x+1,r1=28
3 27 q3(x)=x+6, r0 = 27
3 q4(x)=1=a0, r0 =
Vậy x4 – 3x3 + x – = + 28(x-3) + 27(x-3)2 + 9(x-3)3 + (x-3)4.
Dạng Tìm cận khoảng chứa nghiệm dương đa thức
Nếu phân tích P(x) = r0 + r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n ta có ri với i
= 0, 1, …, n nghiệm thực P(x) khơng lớn c
Ví dụ 7.1: Cận nghiệm dương đa thức x4 – 3x3 + x – c = (Đa
thức có hai nghiệm thực gần 2,962980452 -0,9061277259)
Nhận xét: Các dạng toán 2.4 đến 2.6 dạng toán (chưa thấy xuất trong
các kỳ thi) dựa vào dạng tốn giải dạng tốn khác phân tích đa thức thừa số, giải gần phương trình đa thức, …
Vận dụng linh hoạt phương pháp giải kết hợp với máy tính có thể giải nhiều dạng tốn đa thức bậc cao mà khả nhẩm nghiệm không sử dụng công thức Cardano phức tạp Do yêu cầu phải nắm vững phương pháp vận dụng cách khéo léo hợp lí làm
Dạng.8 tính giá trị đa thức biết số giá trị khác đa thức Ví dụ 8.1
Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.
(8)Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
H.Dẫn:
Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) cho:
+ Bậc H(x) nhỏ bậc P(x)
+ Bậc H(x) nhỏ số giá trị biết P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ 5, nghĩa là:
Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e
Bước 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là:
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
16 4
81 27 9
256 64 16 16
625 125 25 25
a b c d e
a b c d e
a b c d e
a b c d e
a b c d e
a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1 Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2
Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = nghiệm Q(x), mà bậc Q(x) có hệ số x5 nên:
Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)
P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2
Từ tính được: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) =
Ví dụ 8.2 Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d.
Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11
Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
H.Dẫn:
- Giải tương tự 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3) Từ tính được: P(5) = ; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) =
Ví dụ 8.3 Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d
Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10
Tính
(5) (6) ? (7)
P P
A
P
(9)- Giải tương tự 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) +
( 1) x x
Từ tính
được:
(5) (6) (7) P P A P
Ví dụ 8.4 Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số bậc cao thoả mãn:
f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ?
H.Dẫn:
- Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c cho g(1) = g(3) = g(5) = 0
a, b, c nghiệm hệ phương trình:
9 11
25 27
a b c a b c
a b c
MTBT ta giải được:
1 a b c
g(x) = f(x) - x2 - 2
Vì f(x) bậc nên g(x) có bậc g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), vậy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5) f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)+ x2 + 2.
Ta tính được: A = f(-2) + 7f(6) =
Ví dụ 8.4 Cho đa thức f(x) bậc Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1.
Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức) H.Dẫn:
- Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) =
nên:
10
12
8 4
27
d
a b c d a b c d
a b c d
lấy phương trình cuối trừ cho phương trình đầu giải hệ gồm phương
trình ẩn a, b, c MTBT cho ta kết quả:
5 25
; ; 12; 10
2
a b c d
3
5 25
( ) 12 10
2
f x x x x
f(10)
(10)Chođa thức f(x) bậc biết chia f(x) cho (x - 1), (x - 2),(x - 3) dư và f(-1) =-18 Tính f(2005) = ?
H.Dẫn:
- Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = có f(-1) = -18 - Giải tương tự 8, ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x
Từ tính f(2005) =
Ví dụ 8.6 Xác định hệ số a, b, c, d tính giá trị đa thức.
Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007
Tại giá trị x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45
Biết x nhận giá trị 1, 2, 3, Q(x) có giá trị tương ứng 9, 21, 33, 45
Giải:
Tính giá trị P(x) x = 1, 2, 3, ta kết : 1+a-b+c+d-2007=9 a-b+c+d=2015 (1)
32+16a-8b+4c+2d-2007=21 16a-8b+4c+2d=1996 (2) 243+81a-27b+9c+3d-2007=33 81a-27b+9c+3d=1797 (3) 1024+256a-64b+16c+4d-2007=45 256a-64b+16c
+4d=1028 (4)
Lấy hai vế phương trình (1) nhân với 2, 3, trừ vế đối vế với phương trình (2), phương trình (3), phương trình (4), ta hệ phương trình bậc ẩn :
-14a+6b-2c=2034 -78a+24b+6c=4248 -252a+60b-12c=7032
Tính máy a = -93,5 ; b = -870 ; c = -2972,5 d = 4211 Ta có P(x)=x5 – 93,5x4 + 870x3 -2972,5x2+ 4211x – 2007
Q(1,15) = 66,15927281 66,16 Q(1,25) = 86,21777344 86,22 Q(1,35) = 94,91819906 94,92 Q(1,45) = 94,66489969 94,66
Ví dụ 8.7:
Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f
Biết P(1) = , P(2) = , P(3) = , P(4) = 16 , P(5) = 25 Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9)
Giải:
Ta có P(1) = = 12; P(2) = = 22 ; P(3) = = 32 ; P(4) = 16 = 42 ; P(5) = 25 = 52
Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2.
(11)Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5)
Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 62
Hay P(6) = 5! + 62 = 156.
Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 72
Hay P(7) = 6! + 72 = 769
BÀI TẬP
Dạng Tính giá trị đa Bài tập 1.1Cho P(x) = x5-14x4+85x3-224x2+274x-110
a) Lập quy trình bấm phím tính giá trị biểu thức x=a b) Tính P x=5,9; 20,11; 22,12; 14,2; 27,2; 26,3; 30,4
Bài tập1.2(Sở GD Hà Nội, 1996) Tính giá trị biểu thức:
a Tính x4 5x 3x3 2 x 1 x = 1,35627
b Tính P(x) 17x 5x 5 48x 13x 11x 3573 2 x = 2,18567
Bài tập1.3 Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1
Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P(
3
4)
H.Dẫn:
- Lập công thức P(x)
- Tính giá trị đa thức điểm: dùng chức CALC - Kết quả: P(1,25) = ; P(4,327) =
P(-5,1289) = ; P(
3
4) =
Bài tập:1.4Tính giá trị biểu thức sau:
P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 x = 0,53241
Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 x = -2,1345
H.Dẫn:
- Áp dụng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) Ta có:
P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 =
2 10
( 1)(1 )
1
x x x x x
x x
Từ tính P(0,53241) = Tương tự:
Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 + + x8) =
9
2
1 x x
x
(12)Bài tập1.5:Cho đa thức
9
1 13 82 32
( )
630 21 30 63 35
P x x x x x x
a) Tính giá trị đa thức x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; b) Chứng minh P(x) nhận giá trị nguyên với x nguyên
Giải:
a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; (tính máy) P(x) =
b) Do 630 = 2.5.7.9 x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; nghiệm đa thức P(x) nên
1
( ) ( 4)( 3)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 3( 4)
2.5.7.9
P x x x x x x x x x x
Vì só ngun liên tiếp ln tìm số chia hết cho 2, 5, 7, nên với x nguyên tích: (x 4)(x 3)(x 2)(x1) (x x1)(x2)(x3(x4) chia hết cho 2.5.7.9 (tích
các số nguyên tố nhau) Chứng tỏ P(x) số nguyên với x nguyên
Bài tập1.6:Cho
2
3
35 37 60080 10 2007 20070
x x
P x
x x x
10 2007
a bx c
Q x
x x
a) Với giá trị a, b, c P(x) = Q(x) với x thuộc tập xác định
b) Tính giá trị P(x) x = 13
Tính n để
2 10 2007 P x
T x n
x x chia hết cho x + 3
Bài tập1.7:Cho đa thức P(x) = x4 +5x3 - 3x2 + x - Tính giá trị P(1,35627) Giải:
P(1,35627) = 10,69558718
Bài tập1.8:Cho đa thức P(x) = x8 + 4x7 + 6x6 + 4x5 + x4
1 T ính giá trị P(x) (làm tròn đến 0,0001) cho x nhận giá trị : - √2 , √π √2 , 1, - 12
Bài tập1.9:Cho đa thức f(x) = 15 x5 +
3 x3 +
15 x + 2008
1 Tính giá trị f(x) cho x nhận giá trị: ; -1 ; 3; - 12 ; √2 Chứng minh rằng: f(x) nhận giá trị nguyên với x nguyên
Giải:
2 f(x) = 15 x5 +
3 x3 +
15 x + 2008
Đặt A = 15 x5 +
3 x3 + 15 x
Ta CM: A số nguyên với x nguyên dương từ f(x) số nguyên Thật vậy: A = 15 x5 +
3 x3 + 15 =
1
5 x5 +
3 x3 + x - 8 x 15 = 15 x5 +
3 x3 + x - x
-1 x x5− x
5 -
(13)Ta CM x5 - x Chia hết cho 5; x3 - x chia hết cho 3.
thật vậy: x5 - x = x(x4 - 1)= x(x2 - 1)(x2 + 1)
=x(x2 - 1)(x2 - + 5)
= x(x2 - 1)(x2 - 4) + 5x(x2 - 1)
=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) + 5(x-1)x(x+1)
(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết x5− x
5 nguyên5(x-1)x(x+1) chi hết cho x3 - x = x(x2-1) = (x-1)x(x+1) chia hết x
3 − x
3 nguyên Vậy toán CM xong
Dạng Tìm dư phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b
Bài tập: 2.1(Sở GD Đồng Nai, 1998) Tìm số dư phép chia
5
x 6,723x 1,857x 6,458x 4,319 x 2,318
Bài tập2.2: (Sở GD Cần Thơ, 2003)
Cho
4
x
P x 5x 4x 3x 50
Tìm phần dư r1, r2 chia P(x) cho x – x-3 Tìm
BCNN(r1,r2)?
Bài tập2.3 : Tìm dư phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - cho (2x - 5)
Giải:
- Ta có: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r
5 5
0
2 2
P Q r r P
Tính máy ta được: r = P
=
Bài tập2.4:Tính số dư r phép chia
5 6,723 1,857 6,458 4,319 2,318
x x x x
x
Bài tập2.5:: Tìm số dư phép chia sau:
a) x3 – 9x2 – 35x + cho x – 12.
b) x3 – 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617.
Bài tập2.6:Cho f(x) = 2x6-4x5+7x4-11x3-8x2+5x-2007 Gọi r
1 r2 số dư
phép chia f(x) cho x-1,12357 x+0,94578 Tính B=0,(2006)r1-3,(2007)r2
Dạng Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b
Bài tập3.1: a)Viết phương trình ấn phím để:
Tìm m để đa thức x5 5x4 3x3 5x2 17x m 1395 chiahết cho x3
b) Với giá trị m đa thức 4x59x4 11x2 29x 3 mchia hết cho 6x + 9
(14)Bài tập3.3:Cho đa thức P x x5 3x44x3 5x26x m
a) Tìm số dư r phép chia P(x) cho ( x – 3,5 ) m = 2005 b) Tìm giá trị m1 để đa thức P(x) chia hết cho x – 3,5
c) Tìm giá trị m2 để đa thức P(x) có nghiệm x =
Bài tập3.4:Cho đa thức P(x) = x4 + x3 + x2 + x + m.
a) Tìm m để P(x) chia hết cho Q(x) = x + 10
Kết m = -9090 (2,5đ)
b) Tìm nghiệm đa thức P(x) với giá trị vừa tìm m
Kết x1 = -10, x2 9,49672 (2,5đ)
Bài tập3.5:Cho ®a thøc P(x) = x4 - 4x3 - 19x2 + 106x + m.
a)Tìm m để đa thức P(x) chia hết cho x +
b) Với m tìm đợc câu a), h y tìm số dã r chia đa thức P(x) cho x –
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số củaP x thỏa mãn điều kiện đó:
Bài tập4.1:
Cho biết đa thức P(x) = x4 + mx3 – 55x2 + nx – 156 chia hết cho x – chia
hết cho x – Hãy tìm giá trị m, n tính tất nghiệm đa thức
Bài tập4.2:Đa thức P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e có giá trị 5, 4, 3, 1, -2
tại
x = 1, 2, 3, 4, Tính giá trị a, b, c, d, e tính gần nghiệm đa thức
Bài tập4.3:Xác định hệ số a , b ,c đa thức P(x)=ax3+bx2+cx − 2007 để cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư , chia cho (x – 3) có số dư chia cho (x - 14) có số dư ( Kết lấy với chữ số phần thập phân )
Giải:
Lập luận đưa đến hệ điểm; tìm a,b,c ý cho điểm Đáp số: : a = 3,69 ; b = -110,62 ; c = 968,28
Bài tập4.4Cho hai đa thức sau:
f(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + a
g(x) = -3x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + b
a)Tìm điều kiện a b để hai đa thức f(x) g(x) có nghiệm chung x = 0,25 ?
b) Cho đa thức:Q(x) =5x5 - x4 - 6x3 + 27x2 - 54x + 32
Sử dụng phím nhớ Lập quy trình tìm số dư phép chia đa thức Q(x) cho 2x + 3?
c)Tính a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6
d)Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625
+ Tính P(2 2)
+ Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3
Bài tập4.5:Xác định hệ số a, b, c, d tính giá trị đa thức
Q(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx – 2007 giá trị của
(15)Bài tập4.6:Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c.
Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 a) Tìm số dư chia P(x) cho x – ? b) Tìm số dư chia P(x) cho 2x + ?’
Bài tập4.7 : Biết đa thức Q(x) = x4 + mx3 - 44x2 + nx - 186 chia hết cho x + nhận x
= nghiệm Hãy tính giá trị m n tìm tất nghiệm lại Q(x) Gi iả
Tõ giả thiết => Q(-2) = Q(3) = => tìm m, n Tõ gi¶ thiÕt => Q(x) cã nghiƯm nguyên => Q(x) = (x+2)(x-3)(x2+7x-31)
Dùng máy giải ph/tr bậc => nghiệm lại
m = 6; n = -11 x2 = -2
x3 3,076473219
x4
-10,076473219
Bài tập4.8:Xác định hệ số a, b, c, d tính giá trị đa thức.
Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007
Tại giá trị x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45
Biết x nhận giá trị 1, 2, 3, Q(x) có giá trị tương ứng 9, 21, 33, 45(Kết lấy với chữ số phần thập phân)
Bài tập4.8:Biết số dư phép chia đa thức
x5 + 4x4 + 3x3 + 2x2 – ax + cho (x + 5) 2007 Tìm a.
Dạng 5: Tìm đa thức thương chia đa thức cho đơn thức
Bài tập5.1: Khi chia đa thức 2x4 +8x3 -7x2 +8x -12 cho đa thức x – ta thương
đa thức Q(x) có bậc Hãy tìm hệ số x2 Q(x) ?
Bài tập5.2:Cho P(x) =
4
2
2
3x x x .
a)Tìm biểu thức thương Q(x) chia P(x) cho x –
b)Tìm số dư phép chia P(x) cho x – xác đến chữ số thập phân
Bài tập5.3:Tìm số dư phép chia đa thức
x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho x – 2,652
Tìm hệ số x2 đ thức thương phép chia trên.
Dạng Phân tích đa thức theo bậc đơn thức
Dạng Tìm cận khoảng chứa nghiệm dương đa thức
Dạng8 tính giá trị đa thức biết số giá trị khác đa thức Bài tập8.1: Cho đa thức P x x5ax4bx3cx2 dx e
và cho biết P(1) = , P(2) = , P(3) = 17 , P(4) = 31 , P(5) = 49 Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) P(11) ?
Bài tập8.2:Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005
Biết x nhận giá trị 1, 2, 3, giá trị tương ứng đa thức P(x) 8, 11, 14, 17 Tính giá trị đa thức P(x) với x = 11, 12, 13, 14, 15
Bài tập8.3:Cho P(x) = x3 + ax2 + bx + c; P(1)=1; P(2)=4; P(3)=9 viết quy trình để tính
P(9) P(10) ?
Bài tập8.4:Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c
(16)Bài tập8.5:Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007
Tại giá trị x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45
Biết x nhận giá trị 1, 2, 3, Q(x) có giá trị tương ứng 9, 21, 33, 45 (Kết lấy với chữ số phần thập phân)
Bài tập8.6:Cho P(x) =ax + bx + cx + + m17 16 15
P(1) = 1; P(2) = 2; ; P(17) = 17 Tính P(18) (H(x) = x )
Bài tập8.7: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d.
Biết P(1) = 5, P(2) = 7, P(3) = 9, P(4) = 11 (H(x) = 2x +3)
a Tìm a, b, c, d
b Tính
15 12
15 20
P P
A
Giải:
a, C1: P(x) = (x – 1)(x – 2)(x - 3)(x – 4) + 2x +
Suy a, b, c, d
C2: Giải hệ phương trình , suy a, b, c, d
b, Nhập P(x) = x4 - 10x3 + 35x2 - 48x + 27
vào máy
Dùng lệnh Calc nhập 15 Shift Sto A ; Calc nhập (-)12 shift Sto B; Nhập ( Alpha A + Alpha B ) : 20 + 15 =
a a = - 10, b = 35
c = - 48, d = 27
b 3400.8000
Bài tập8.8: Cho đa thức P x x4ax3bx2cx d biết P(1) = , P(-2) = , P(3) = 24 , P(-4) = 29 Tính giá trị a , b , c , d P(40) , P(2008) ?
Bài tập8.9: Cho P x x4ax3bx2cx d
biết P(1) = 0,5 , P(2) = , P(3) = 4,5 , P(4) = (H(x) =1/2 x2)
Tính giá trị a , b , c , d P(8) , P(2007) ?
Bài tập7.10: Cho Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q
Biết Q(1) = , Q(2) = , Q(3) = , Q(4) = 11 (H(x) = 2x +3)
Tính giá trị Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13)
Hướng dẫn
Q(1) = = 2.1 + 3; Q(2) = = 2.2 + 3; Q(3) = = 2.3 + ; Q(4) = 11 = 2.4 +
Xét đa thức Q1(x) = Q(x) – (2x + 3) (H(x) = 2x +3)
Bài tập8.12: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Biết P(1) = , P(2) = , P(3) = 19 , P(4) = 33 , P(5) = 51 (H(x) = 2x2 +1)
Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) , P(11)
Bài tập8.13: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c.
Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = Hãy viết quy trình để tính P(9) P(10) ? (H(x) = x2)
Bài tập8.14: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d.
Có P(1) = 0,5 ; P(2) = ; P(3) = 4,5 ; P(4) = Tính P(2002), P(2003) (H(x) =1/2 x2)
(17)Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50 Hãy tính P(5) , P(6) , P(7) , P(8)
Bài tập8.16: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d.
Biết P(1) = 0; P(2) = ; P(3) = 18 ; P(4) = 48 Tính P(2007) (H(x) =x3-x2)
Bài tập8.17: Cho f(x) = x3 + ax2 + bx + c
Biết : f (13) = 1087 ; f (−1
2) = −
5 ; f ( 5) =
89 500 Tính giá trị gần f (23)
(giải hệ phương trinh MTBT để tìm a,b,c)
Bài tập8.18:- Bài tập8.16: Cho đa thức P x x4ax3bx2cx d
biết P(1) = , P(2) = , P(3) = 18 , P(4) = 48 Tính P(2007) ? (H(x) =x3-x2)
Bài tập8.19: Cho đa thức f ( x )=x4+ax3+bx2+cx+d
Biết f(1)=6 ;f(2)=11; f(3)=16 ; f(4)=21 (H(x) = 5x +1)
a) Hãy tính giá trị f(5);f(6); f(7);f(8);f(9) ( trình bày vắn tắt lời giải) b) Tìm số tự nhiên n nhỏ cho f(n) chia hết cho 24 ( trình bày vắn tắt lời
giải)
Giải
f(x)=5 x +1 x=1 ;2;3 ;4 ;5⇒ g(x)=f(x)−(5 x +1) có nghiệm 1; 2; 3; 4;
⇒ g(x)=(x − 1)(x −2) (x −3)(x − 4) hay f(x)=(x −1) (x −2) (x − 3) (x − 4)+(5 x +1) Thay x = 5; 6; 7; 8; ta f (5)=50 ;f (6)=151; f(7)=396 ; f(8)=881 ;f(9)=1726
Bài tập8.20: Cho đa thức P(x) có bậc thoả mãn: P(1) = -1, P(2) = 2, P(3) = 7, P(4) = 14, P(5) = 24 Tính P(26), P(27), P(28), P(29), P(30)
(giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=1/24;,b = -5/12;c =59/24; d= -25/12; e=-1)
Kết P(26) = 13.324, P(27) = 15.677, P(28) = 18.332,
P(29) = 21.314, P(30) = 24.649 (5đ) Bài tập8.21: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c
Biết rằng: P(1945) = 1945 ; P(1954) = 1954 ; P(1975) = 1975 (H(x) = x )
(giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=-5874;,b = 11501055,19;c =-7506045115)
a) Tính P(2005)
b) Đặt Q(x) = P(x) + m Tìm giá trị m để đa thức Q(x) chia hết cho (x - 2005,05) (chính xác đến chữ số thập phân)
Bài tập8.22: Cho P x( )x4ax3bx2cx d
Biết P(1) 5; (2) 7; (3) 9; (4) 11 P P P Tính
(20) (10) P P
(H(x) = 2x +3)
(18)có giá trị 3; 0; 3; 12; 27; 48 x nhận giác trị 1; 2; 3; 4; 5;
(giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ; e=;f=)
a) Xác định hệ số a, b, c, d, e, f P(x)
b) Tính giá trị P(x) với x = 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20 Bài tập8.24: Cho đa thức P x x5ax4bx3cx2dx e
bieát P(1) = , P(2) = , P(3) = 17 , P(4) = 31 , P(5) = 49 (H(x) = 2x2 -1)
Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) vaø P(11) ?
Bài tập8.25: Cho đa thức P x x5ax4bx3cx2dx e
và cho biết P(-1) = -2 , P(2) = , P(3) = 10 , P(-4) = 10 , P(5) = 28 (giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ; e=;)
Tính P(38) P(40) ?
Bài tập8.26: Cho đa thức P x x4ax3bx2cx d
bieát P(1) = 0,5 , P(2) = , P(3) = 4,5 , P(4) = (H(x) =1/2 x2)
Tính giá trị a , b , c , d vaø P(8) , P(2007) ?
Bài tập8.27: Cho đa thức P x x4ax3bx2 cx d
bieát P(1) = , P(-2) = , P(3) = 24 , P(-4) = 29 Tính giá trị a , b , c , d vaø P(40) , P(2008) ?
(giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;)
Bài tập8.28 : Cho P x( )x4ax3bx2cx d coù P(0) = 12,P(1) = 12, P(2) = 0, P(4) = 60
a)Xác định hệ số a, b, c, d P(x)
b)Tính P(66)
(giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;)
Bài tập tổng hợp Bài tập1: : (Thi khu vực 2001, lớp 8)
Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m.
a Tìm m để P(x) chia hết cho 2x +
b Với m vừa tìm câu a tìm số dư r chia P(x) cho 3x-2 phân tích P(x) tích thừa số bậc
c Tìm m n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n P(x) chia hết cho x-2.
d Với n vừa tìm phân tích Q(x) tích thừa số bậc
Bài tập2: : (Thi khu vực 2002, lớp 9) a Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f
Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 15 Tính P(6), P(7), P(8), P(9)
(giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;e=)
Bài tập3: Cho P(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q
Biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11 (H(x) = 2x +3)
Tính Q(10), Q(11), Q(12), Q(13)
Bài tập4: (Thi khu vực 2002, lớp 9)
(19)a Tìm giá trị m, n để đa thức P(x) Q(x) chia hết cho x –
b Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ đa thức R(x) = P(x) – Q(x) có nghiệm
Bài tập5: : (Thi khu vực, 2003, lớp 9) a Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m.
1 Tìm số dư phép chia P(x) cho x – 2,5 m = 2003 Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5
3 P(x) có nghiệm x = Tìm m?
b Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33,
P(5) = 51 Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11) (H(x) = 2x2 +1)
Bài tập6: (Sở SG Cần Thơ 2002) Cho f(x)= x3 + ax2 + bx + c
Biết
1 89
f( ) ;f( ) ;f( )
3 108 500
Tính giá trị gần f( )
3 ?
Bài tập7: (Thi vào lớp 10 chuyên tốn cấp III Bộ GD, 1975) Phân tích biểu thức sau ba thừa số: a4 – 6a3 + 27a2 – 54a + 32.
2 Từ kết câu suy biểu thức n4 – 6n3 + 272 – 54n + 32 số chẵn
với số nguyên n
Bài tập11: (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1984)
Có xác số ngun dương n để
2 (n 1)
n 23
là số nguyên. Hãy tính số lớn
Bài tập12: (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1988)
Chia P(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + 2x + cho x – số dư Chia P(x) cho x –
2 số dư -4
Hãy tìm cặp (M,N) biết Q(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + Mx + N chia hết cho (x-1)
(x-2)
Bài tập13: (Thi khảo sát vòng tỉnh trường THCS Đồng Nai –Cát Tiên, 2004) Cho đa thức P(x) = x10 + x8 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m.
a Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm 0,3648
b Với m vừa tìm được, tìm số dư chia P(x) cho nhị thức (x -23,55)
c Với m vừa tìm điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị)
x -2,53 4,72149 5341 6,15
56 7
P(x)
Bài tập14: (Phòng GD huyện Bảo Lâm - Lâm Đồng, 2004) 1.Tính E=7x -12x +3x -5x-7,175 với x= -7,1254
2.Cho x=2,1835 y= -7,0216 Tính
5 3
3 2 7x y-x y +3x y+10xy -9 F=
5x -8x y +y
3.Tìm số dư r phép chia :
5
x -6,723x +1,658x -9,134 x-3,281
(20)Bài tập15: : (Sở GD Lâm Đồng, 2005) a Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13)
biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + 7
c Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f
biết P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3) = 107 Tính P(12)?
(giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ; e=;f=)
Bài tập16: (Sở GD Phú Thọ, 2004)
Cho P(x) đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33 Biết P(N) = N + 51 Tính N?
Bài tập17: : (Thi khu vực 2004) Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d.
Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 Tính: a Các hệ số b, c, d đa thức P(x)
b Tìm số dư r1 chia P(x) cho x –
c Tìm số dư r2 chia P(x) cho 2x +3
Bài tập18: : (Sở GD Hải Phòng, 2004) Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c.
Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41 Tính: a Các hệ số a, b, c đa thức P(x)
b Tìm số dư r1 chia P(x) cho x +
c Tìm số dư r2 chia P(x) cho 5x +7
d Tìm số dư r3 chia P(x) cho (x+4)(5x +7)
Bài tập19: Cho đa thức: P(x)=x4
+a x3+b x2+c x +d
a) Tính giá trị đa thức P(x) x = -2 với a = c = -2007 b = d = 2008 b) Với giá trị d đa thức P(x) ⋮ ( x -2 ) với a = 2; b = -3; c =
c) Tìm số dư hệ số x2 phép chia đa thức P(x) cho x - với a = d = -2; b = c= 2.
d) Cho biết: P(1) (2) (3) 11 (4) 14 P P P (H(x) = 3x +2)
1) Tính P(5) đến P(10)
2) Tính: A=
2008.(P(8)− P(6))−2007
3) Tìm hệ số a, b, c, d, đa thức P(x)
(giải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;)
Bài tập20: (Sở GD Thái Nguyên, 2003) a Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d
Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48 Tính P(2002)? (HDgiải hệ phương trinh MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;)
b Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – ta thương đa
thức Q(x) có bậc Hãy tìm hệ số x2 Q(x)?
Bài tập21: Cho đa thức f(x) bậc với hệ số x3 k, k Z thoả mãn:
(21)H.Dẫn:
* Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b) Tìm a, b để g(1999) = g(2000) =
1999 2000
2000 2001
a b a
a b b
g(x) = f(x) - x - 1
* Tính giá trị f(x):
- Do bậc f(x) nên bậc g(x) g(x) chia hết cho: (x - 1999), (x - 2000) nên: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0)
f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x +
Từ tính được: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) hợp số
Bài tập22: Cho đa thức Q(x) = ( 3x2 + 2x – )64
Tính tổng hệ số đa thức xác đến đơn vị
Giải:
Tổng hệ số đa thức Q(x) giá trị đa thức x = Gọi tổng hệ số đa thức A ta có : A = Q(1) = ( 3+2-7)64 = 264.
Để ý : 264 =
2 32
2 = 42949672962
Đặt 42949 = X ; 67296 = Y Ta có : A = ( X.10 +Y) = X 10 + 2XY.10 + Y 2 10
Tính máy kết hợp với giấy ta có:
X2.1
010
=
1 4 6 0 0 0 0 0
2XY. 105
=
5 8 0 0 0
Y2
= 4 6
A
= 1 4 4 7 5 6
Vậy A = 18446744073709551616
Bài tập23: Cho x1000 + y1000 = 6,912; x2000 + y2000 = 33,76244
Tính A = x3000 + y3000 Giải:
Đặt a = x1000, b = y1000 Ta có: a + b = 6,912; a2 + b2 = 33,76244
Khi : a3 + b3 = (a + b)3- 3ab(a + b) = (a + b)3 -
2 2 2
2
a b a b
a b
Đáp số : A = 184,9360067
(22)Tính P(18)
Bài tập25: Tìm nghiệm gần phương trình: a) 3x3 + 2,435x2 + 4,29x + 0,58 = 0
b) 3x3+2,735x2+4,49x+0,98 = 0
x = 0,145 x = 0,245 Bài tập26: Tìm nghiệm phương trình: a) x2 2x 5 x22x10 29
b) x2 4x 5 x210x50 5
x = 0,20 x = 0,25 Bài tập27:
Cho P x 2x315x216x m Q x 9x3 81x2182x n a)Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + ?
b)Với m vừa tìm , Tính số dư r chia P(x) cho x – phân tích đa thức P(x) thành tích thừa số bậc ?
c) Tìm n để nghiệm P(x) nghiệm Q(x) , biết nghiệm phải khác – 0,5 ? Phân tích đa thức Q(x) thành tích thừa số bậc ?
Bài tập28: Cho đa thứcP x x4ax3bx2cx d
biết P(1) = 5, P(2) = 7, P(3) = 9,P(4) = 11 (H(x) = 2x +3)
a) Tìm hệ số a , b, c , d đa thức P(x)
b) Tính giá trị P(10) , P(11) , P(12) , P(13) c) Viết lại P(x) với hệ số số nguyên
d) Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (2x + 5) ( xác đến chữ số phần
thập phân )
Bài tập29: Cho đa thức P x x4ax3bx2cx d
biết P(1) = - , P(2) = -3 , P(3) = -1 , P(4) = (H(x) = 2x -7)
a)Tìm hệ số a , b, c , d đa thức P(x)
b)Tính giá trị P(22) , P(23) , P(24) , P(25) c)Viết lại P(x) với hệ số số nguyên
d)Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (7x -5) ( xác đến chữ số phần thập
phân ) Hãy điền kết tính vào ô vuông
Bài tập30: Cho P x x5ax4 bx3cx2dx e
biết P(1)=1, P(-2) = 4, P(3) =9, P(-4) =16, P(5)=25 (H(x) = x2 )
a)Tìm hệ số a , b, c , d f đa thức P(x) b)Tính giá trị P(20) , P(21) , P(22) , c)Viết lại P(x) với hệ số số nguyên
d)Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (x + 3)
Bài tập31: Cho đa thức P x x4 ax3bx2 cx d biết P(1) = , P(2) = 13 , P(3) = 33 , P(4) = 61
(23)b)Tính giá trị P(5) , P(6) , P(7) , P 8 c)Viết lại P(x) với hệ số số nguyên
d)Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (2x - 5)
Bài tập32: a ChoP x x4ax3bx2cx d
biết P(1)= 0, P(2)=4, P(3)=18, P(4)=48 Tính P(2007) ?
b) Cho đa thứcP x x45x3 4x2 3x 50 Gọi r1 phần dư phép chia P(x) cho x -
2 r2 phần dư phép chia P(x) cho x -
Tìm BCNN ( r1 , r2 ) ?
Bài tập33: Cho hai đa thức P x x3ax2bx c ;Q x x410x340x2125x P 9
a) Tính a, b , c P
, biết
1 39; 407; 561
2 64 125
P P P
b) Với a, b, c tìm trên, Tìm thương T(x) số dư G(x) phép chia đa thức Q(x) cho x – 11
c) Chứng tỏ đa thức R(x) = P(x) + Q(x) số chẵn với số nguyên x
Bài tập34: a) Cho đa thức P x x5ax4 bx3cx2dx e biết P(-1) = -2 , P(2) = ,P(3) = 10 , P(-4) = 10 , P(5) = 28 Tính P(38) P(40) ?
b) Cho dãy số xác định công thức
4 , 1
1
n n
n
x
x n N n
x biết x1 = Tính x5 ?
c) Phân tích đa thức thành nhân tử : A5x4 4x311x24x5
Bài tập35: Cho đa thứcP x 5x58x4 12x27x 1 3m
a) Tính số dư r phép chia P(x) cho x – 4,138 m = 2007 ? b) Tính giá trị m1 để đa thức P(x) chia hết cho 3x2 ?
c) Muốn đa thức P(x) có nghiệm x = m2 có giá trị ?
Bài tập36: a) Tìm nghiệm gần phương trình : x9 + x – =
b) Cho A = 532588 B = 110708836 Tìm ƯCLN (A ,B ) BCNN(A,B ) ?
c) Tìm số tự nhiên thoả mãn phương trình x2 + 2y2 = 2377
Bài tập37:
Cho đa thức f(x) = 2x5 + x3 + bx2 + cx + d
Biết f(1) = -18 ; f(2) = 49; f(3) = 480 Tìm hệ số b , c, d , f(x)
2 Tìm hệ số x2 trong phép chia f(x) cho x + 3 Giải
(24)¿
b+c+d=−16 4 b+2 c+d=− 23 9 b+3 c+d+−36
¿{ {
¿
Gi ải hệ pt ta được: b= -2; c=2; d=- 15 Vậy f(x) = 2x5 + x3 - 3x2 - 2x - 15
2 Dùng lược đồ hoocne chia f(x) cho x+3 ta đ ược: F(x) = (x+3)(2x4 - x3 + x2 - 60x + 182) - 561
Vậy hệ số x2 phép chia 1.
Bài tập38: Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m
a) Tìm số dư phép chia P(x) cho x – 2,5 m = 2003 b) Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5
c) P(x) có nghiệm x = Tìm m
Bài tập39: Cho đa thức P x x5 3x44x3 5x26x m
a)Tìm số dư r phép chia P(x) cho ( x – 3,5 ) m = 2005 b)Tìm giá trị m1 để đa thức P(x) chia hết cho x – 3,5
c) Tìm giá trị m2 để đa thức P(x) có nghiệm x =
Bài tập40: Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m
a)Tìm m để P(x) chia hết cho 2x +
b)Với m tìm câu a ) , tìm số dư r chia P(x) cho 3x – phân tích P(x) thành tích thừa số bậc
Tìm m n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n P(x) chia hết cho x –
c)Với n tìm , phân tích Q(x) tích thừa số bậc
Bài tập41:
Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n
a) Tìm giá trị m n để P(x) Q(x) chia hết cho x – b) Với giá trị m n tìm , chứng tỏ R(x) = P(x) – Q(x) có nghiệm
Bài tập42: Cho đa thức
F(x)= x4+5x3-4x2+3x+a G(x)=-3x4+4x3-3x2+2x+b; H(x)=5x5-x4-6x3+27x2-54x+32
a)Tìm a, b để F(x) G(x) có nghiệm chung x=0,25
b)Sử dụng phím nhớ, lập quy trình bấm phím tìm số dư phép chia Q(x) cho 2x+3
Bài tập43: Cho đa thức P x x3bx2 cx d biết P(1) = - 15 , P(2) = - 15 , P(3) = -
a)Tìm hệ số b, c , d đa thức P(x)
b)Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (x – 4)
c)Tìm số dư r2 phép chia P(x) cho (2x + 3) ( xác đến chữ số phần
thập phân )
Bài tập44: Cho đa thức P x x4 ax3bx2 cx d biết P(1) = - , P(2) = -3 , P(3) = -1 , P(4) =
a) Tìm hệ số a , b, c , d đa thức P(x)
(25)c) Viết lại P(x) với hệ số số nguyên
Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (7x -5) ( xác đến chữ số phần thập
phân )
Bài tập45: Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c
a)Tìm a , b , c biết x nhận giá trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 P(x) có giá trị tương ứng 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653
b)Tìm số dư r phép chia đa thức P(x) cho 12x – c)Tìm giá trị x P(x) có giá trị 1989
Bài tập46: Cho Q(x)=22x3+ 2x-2008.
a) Tính Q 14 2
b) Tìm m để Q(x) + m3 chia hết cho x-5
Bài tập47: Cho đa thức f(x)
Biết f(x) chia x-3 dư 7, chia x-2 dư 5, chia (x-2)(x-3) thương 3x dư a) Tìm f(x)
b) Tính xác tổng f(2007)+f(2008)+f(2009)
Bài tập48: Cho đa thức P x x4ax3bx2 cx d
biết P(1) = , P(2) = , P(3) = , P(4) = 11 a)Tìm hệ số a , b, c , d đa thức P(x)
b)Tính giá trị P(10) , P(11) , P(12) , P(13) c)Viết lại P(x) với hệ số số nguyên
d)Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (2x + 5) ( xác đến chữ số phần
thập phân )
Bài tập49: Cho đa thức P x x4ax3bx2 cx d
biết P(1) = - , P(2) = -3 , P(3) = -1 , P(4) = a)Tìm hệ số a , b, c , d đa thức P(x)
b)Tính giá trị P(22) , P(23) , P(24) , P(25) c)Viết lại P(x) với hệ số số nguyên
d)Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (7x -5) ( xác đến chữ số phần
thập phân )
Bài tập50: Cho đa thức P x x5ax4bx3cx2dx e
biết P(1) = , P(-2) = , P(3) = , P(-4) = 16 , P(5) = 25 a)Tìm hệ số a , b, c , d f đa thức P(x) b)Tính giá trị P(20) , P(21) , P(22) , P c)Viết lại P(x) với hệ số số ngun
Tìm số dư r1 phép chia P(x) cho (x + 3)
Bài tập51: Cho đa thức P x x4ax3bx2 cx d
(26)Bài tập52:
Cho P x 2x315x216x m vaø Q x 9x3 81x2182x n
a)Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + ?
b)Với m vừa tìm , Tính số dư r chia P(x) cho x – phân tích đa thức P(x) thành tích thừa số bậc ?