kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau (C thuộc cung nhỏ AB). Vẽ đường kính DE. b) Tứ giác ABEC là hình thang cân. c) Tổng có giá trị không đổi khi M thay đổi vị trí trong đường trò[r]
(1)Bài tập góc đường trịn A Lý thuyết
1 Góc tâm- Số đo cung trịn a, Định nghĩa
+ Góc tâm góc có đỉnh tâm đường trịn
+ VD: Hình bên có AOB góc tâm chắn cung nhỏ AB
b, Số đo cung
+ Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung (AOB sđ AB nhỏ)
+ Số đo nửa đường tròn 1800
+ Số đo cung lớn 3600
trừ số đo cung nhỏ có đầu mút với cung lớn (sđ AB lớn = 3600
- sđ AB nhỏ)
c, So sánh cung
+ Định lý: Trong đường tròn hai đường tròn thì:
Hai cung chúng có số đo độ
Hai cung có số đo độ
2 Góc nội tiếp a, Định nghĩa:
+ Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa hai dây đường trịn
+ Hình bên: BAC góc nội tiếp chắn cung BC
b, Tính chất
+ Góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn (
1s
2
BACđ BC
)
+ Góc nội tiếp nửa số đo góc tâm chắn
một cung Nghĩa
1
BAC = BOC
BOC góc tâm chắn cung BC BOC
sđ BC
(2)BAC góc nội tiếp chắn cung
1 BC BAC
2
sđ BC
1
BAC = BOC
+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn 900 ngược lại
(AMB 90 0( nội tiếp chắn nửa đường trịn)
+ Các góc nội tiếp chắn cung (hoặc góc nội tiếp chắn cung nhau)
(MAN = MBN = MCN ( góc nội tiếp chắn cung MN)
3 Góc tạo tiếp tuyến dây cung a, Định nghĩa
+ Cho đường tròn (O); Ax tia tiếp tuyến, AB dây Góc
xAB góc tạo tia tiếp tuyến Ax dây AB chắn cung AB.
b, Tính chất
+ Góc tạo tia tiếp tuyến dây có số đo nửa số đo cung bị chắn
VD :
BAx = sđ AB
+ Góc tia tiếp tuyến dây cung với góc nội tiếp chắn cung
VD : BAx = AMB - chắn cung AB
M
B
A O
N M
C B
A
O
M
O B
(3) Chú ý: Với A thuộc đường tròn, vẽ tia Ax dây AB đường tròn Nếu
BAx = sđ AB
2 Ax tia tiếp tuyến đường trịn (Có thể xem 1 phương pháp chứng minh tiếp tuyến)
4 Góc có đỉnh nằm bên đường tròn a, Định nghĩa
+ Góc có đỉnh nằm bên đường trịn góc có đỉnh giao điểm hai dây cung (hoặc tiếp tuyến) giao điểm nằm bên đường trịn Hai cung nằm bên góc gọi hai cung bị chắn
+ BAC góc có đỉnh nằm đường trịn, góc chắn hai cung BC MN
b, Tính chất
Số đo góc có đỉnh bên đường trịn nửa tổng hai cung bị chắn
Nghĩa
BAC = ( sđ BC + sđ MN)
5 Góc có đỉnh nằm bên ngồi đường trịn a, Định nghĩa
+ Góc có đỉnh nằm bên ngồi đường trịn góc có đỉnh giao điểm hai dây cung (hoặc tiếp tuyến) giao điểm nằm bên ngồi đường trịn Hai cung nằm bên góc gọi hai cung bị chắn
+ BAC góc có đỉnh nằm ngồi đường trịn, góc chắn hai cung BC DE
b, Tính chất
Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu hai cung bị chắn
Nghĩa
BAC = ( sđ DE - sđ BC)
B Bài tập 1 Góc tâm
Bài tập trắc nghiệm.
(4)Câu Hai tiếp tuyến hai điểm A, B đường tròn (O) cắt M, tạo
thành góc AMB 500 Số đo góc tâm chắn cung AB là:
A 500 B 400 C 1300 D 3100
Câu Cho (O; cm), vẽ cung MN có số đo 600
độ dài NM
A cm B cm C cm D cm
Câu Cho (O; cm), vẽ cung MN có số đo 900 độ dài NM
A cm B cm C 2 cm D cm
Câu Cho (O; cm), vẽ cung MN có số đo 1200 độ dài NM
A cm B cm C cm D 3 cm
Câu Cho (O; R cm), vẽ cung MN có số đo 1200 biết NM = cm độ dài R
A cm B cm C cm D cm
Câu Cho (O; R cm), vẽ cung AB có số đo 900 biết AB = cm độ dài R
A cm B cm C cm D cm
Câu Tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) số đo cung nhỏ BC bẳng
A 600 B 1200 C 900 D 1000
Câu Cho đường tròn (O,R), từ A cho OA = 2R, vẽ tiếp tuyến AB và
AC số đo cung nhỏ BC
A 1200 B 600 C 900 D 1000
Câu Khẳng định sai?
A.Trong đường tròn hai cung số đo
B.Trong đường trịn số đo cung nhỏ 1500 số đo cung lớn có hai đầu mút với cung nhỏ có số đo 2100
C.Trong đường trịn hai cung có số đo bẳng
D.Trong đường trịn cung lớn số đo lớn
Câu 10 Cho đường trịn (O,R) cho cung MN có số đo 2000 , góc tâm MƠN
A 1600 B 2000 C 1800 D 1000
(5)Bài 1: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) cắt A B Vẽ cát tuyến
CAD vng góc với AB Tia CB cắt (O’) E, tia BD cắt (O) F Chứng minh rằng:
a) CAF = DAE ∠ ∠
b) AB tia phân giác EAF∠ c) CA.CD = CB.CE
d) CD2 = CB.CE + BD.CF
Bài 2: Cho đường tròn (O; R) điểm M bên đường trịn Qua M
kẻ hai dây cung AB CD vuông góc với (C thuộc cung nhỏ AB) Vẽ đường kính DE Chứng minh rằng:
a) MA.MB = MC.MD
b) Tứ giác ABEC hình thang cân
c) Tổng có giá trị khơng đổi M thay đổi vị trí đường trịn (O)
Bài 3: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB C điểm của
cung AB Lấy điểm M thuộc cung BC điểm N thuộc tia AM cho AN = BM Kẻ dây CD song song với AM
a) Chứng minh ΔACN = ΔBCM b) Chứng minh ΔCMN vuông cân c) Tứ giác ANCD hình gì? Vì sao?
Bài 4: Cho ΔABC cân A nội tiếp đường tròn (O) M điểm bất kỳ
thuộc cung nhỏ AC Tia AM cắt BC N Chứng minh rằng: a) AB2 = AM.AN
b) ACM = ANC∠ ∠
Bài 5: Cho ΔABC có AD tia phân giác góc A Qua D kẻ đường
thẳng song song với AB cắt AC E đường thẳng song song với AC cắt AB F
a) Tứ giác AEDF hình gì? Vì sao?
b) Đường trịn đường kính AD cắt AB AC điểm M N Chứng minh: MN // EF
Bài 6: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) tiếp xúc với A, (R >
R') Qua điểm B (O’) vẽ tiếp tuyến với (O’) cắt (O) hai điểm M N, AB cắt (O) C Chứng minh rằng:
a) MN OC ⊥
b) AC tia phân giác MAN ∠
Bài 7: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB C điểm cung
(6)a) Chứng minh ΔHCM vuông cân OH tia phân giác COM∠ b) Gọi I giao điểm OH với BC D giao điểm MI với nửa đường tròn (O) Chứng minh MC // BD
Bài 8: Qua điểm M nằm đường tròn (O) kẻ hai dây AB CD vng góc
với Chứng minh rằng:
a) Đường cao MH tam giác AMD qua trung điểm I BC b) Đường trung tuyến MI ΔBMC vng góc với AD
Bài 9: Cho AB CD hai đường kính vng góc với đường trịn
(O; R) Qua điểm M thuộc cung nhỏ AC (M ≠ A, M ≠ E)kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt AB, CD E, F
a) Chứng minh: MFO = MBO ∠ ∠
b) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ AC cho FEO = 30∠ o Khi tính độ dài đoạn thẳng OE, ME, EF theo R
3 Góc tạo tiếp tuyến dây cung
Bài 1: Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O), (AB < AC) Trên tia đối tia BC
lấy điểm M cho MA2 = MB.MC Chứng minh rằng: MA tiếp tuyến
đường tròn (O)
Bài 2: Từ điểm M nằm đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với
(O) A B Qua A vẽ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn C Nối C với M cắt đường tròn (O) D Nối A với D cắt MB E Chứng minh rằng:
a) ΔABE ΔBDE; ΔMEA ΔDEM ∼ ∼ b) E trung điểm MB
Bài 3: Cho điểm C thuộc nửa đường trịn (O) đường kính AB Từ điểm D
thuộc đọan AO kẻ đường thẳng vng góc với AO cắt AC BC lại E F Tiếp tuyến C với nửa đường tròn cắt EF M cắt AB N
a) Chứng minh M trung điểm EF
b) Tìm vị trí điểm C đường tròn (O) cho ΔACN cân C
Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R Gọi M điểm thay
đổi tiếp tuyến Bx (O) Nối AM cắt (O) N Gọi I trung điểm AN
a) Chứng minh: ΔAIO ΔBMN ; ΔOBM ΔINB ∼ ∼
(7)Bài 5: Cho đường tròn (O; R) dây AB, gọi I trung điểm dây AB Trên
tia dối tia BA lấy điểm M Kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn, (C,D ≠ (O))
a) Chứng minh rằng: Năm điểm O, I, C, M, D nằm đường tròn
b) Gọi N giao điểm tia OM với (O) Chứng minh N tâm đường tròn nội tiếp
4 Góc có đỉnh nằm bên đường trịn góc có đỉnh nằm bên ngồi đường trịn
Bài tập trắc nghiệm.
Câu Trong hình , Biết số đo cung LK 1000 số đo góc C
A.300 B 400 C 450 D 500
Câu Trong hình Biết số đo cung LK 1000 số đo góc AMB
A.1200 B 1400 C 1450 D 1600
Câu Trong hình 2,cho đường trịn (O;R), dây cung LK = R số đo góc C
bằng
A.500 B 1000 C 600 D 400
Câu Trong hình 2, cho đường trịn (O;R), dây cung LK = R số đo góc
LMK
A.1200 B 1400 C 1450 D 1600
Câu Trong hình 3,biết sđ BC+sđ ED= 1700
số đo góc CME
A.1200 B 1400 C 1450 D 950
(8)A.200 B 400 C 310 D 620
Câu Trong hình 3,biết sđ EC- sđ BD= 620 số đo góc  A.200
B 400
C 310
D 620
Câu Trong hình 3,biết sđ EC= 120 ; Â = 300 số đo cung BD
A500 B 600 C 310 D 620
C Đáp án
1 Góc tâm
Câu 10
Đáp án C B C D B C B A A A
2 Góc nội tiếp Bài 1:
Vì CD AB => CAB = 90⊥ ∠ o Mà CAB = 1/2 sđ ∠ BC => sđ BC = 180o
Vậy ba điểm B, O, C thằng hàng
Chứng minh tương tự ta có B, O’, D thẳng hàng
a) Chứng minh CAF = DAE ∠ ∠
Trong (O) ta có: CAF = CBF (góc nội tiếp chắn cung CF ) ∠ ∠
Trong (O’) ta có: DAE = DBE (góc nội tiếp chắn cung DE ) ∠ ∠
Mà CBF = DBE (đối đỉnh) ∠ ∠
=> CAF = DAE ∠ ∠
(9)Nối CF DE ta có: CFB = 90∠ o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
∠BED = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O’))
Xét ΔCFB ΔDEB có:
∠CFB = BED = 90∠ o
∠CBF = DBE (đối đỉnh) ∠
=> FCB = EDB ∠ ∠
Mặt khác: FAB = FCB (góc nội tiếp (O) chắn cung FB ) ∠ ∠
∠EAB = EDB (góc nội tiếp (O’) chắn cung EB ) ∠
=> FAB = EAB hay AB phân giác góc EAF ∠ ∠ ∠
c) Chứng minh CA.CD = CB.CE
Xét ΔCAE ΔCBD có:
∠C chung
∠CEA = BDA (góc nội tiếp (O’) chắn cung AB) ∠
=> ΔCAE ΔCBD (g.g) => CA/CB = CE/CD hay CA.CD = CB.CE∼ (1)
d) Chứng minh CD2 = CB.CE + BD.CF
Chứng minh tương tự câu c) ta có: DA.DC = DB.DF (2)
Từ (1) (2) suy ra:
CA.CD + DA.DC = CB.CE + DB.DF
⇔ (CA + DA)CD = CB.CE + DB.DF
⇔ CD2
= CB.CE + DB.DF
Bài 2:
a) Chứng minh MA.MB = MC.MD
Xét ΔAMC ΔDMB có:
(10)∠AMC = BMD = 90∠ o
(gt)
=> ΔAMC ΔDMB (g.g) ∼
=> MA/MD = MC/MB => MA.MB = MC.MD
b) Chứng minh tứ giác ABEC hình thang cân
Vì DCE = 90∠ o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
=> CD CE CD AB (gt) => AB // CE ⊥ ⊥
=> Tứ giác ABEC hình thang (1)
Mặt khác: CE AB hai dây song song đường tròn (O) chắn hai cung AC BE
=> AC BE AE BC ABE BAC (2)
Từ (1) (2) suy tứ giác ABEC hình thang cân
c) Tổng có giá trị khơng đổi M thay đổi vị trí đường trịn (O)
Ta có AE BC (cmt) => EA = BC
Mặt khác: DAE = 90∠ o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
Do đó: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = (MA2+ MD2) + (MB2 + MC2)
= AD2 + BC2 = DE2 = 4R2 không đổi
Bài 3:
a) Chứng minh ΔACN = ΔBCM
Xét ΔACN ΔBCM có:
AC = BC (vì C điểm cung AB)
(11)AN = BM (gt)
=> ΔACN = ΔBCM (c.g.c)
b) Chứng minh ΔCMN vng cân
Vì ΔACN = ΔBCM (chứng minh a) => CN = CM => ΔCMN cân C (1)
Lại có CMA = 1/2 sđ∠ AC = 1/2 90o = 45o (2)
Từ (1) (2) => ΔCMN vng cân C
Vì CD // AM nên tứ giác ADCM hình thang cân
c) Tứ giác ANCD hình gì? Vì sao?
Ta có: DAM = CMN = CNM = 45∠ ∠ ∠ o
=> AD // CN Vậy tứ giác ADCN hình bình hành
Bài 4:
a) Chứng minh AB2 = AM.AN
Vì ΔABC cân A => ABC = ACB ∠ ∠
Lại có ACB = AMB (góc nội tiếp chắn cung AB ) ∠ ∠
=> ABN = AMB ∠ ∠
Do đó: ΔABM ΔANB (g.g) => AB/AN = AM/MB ∼
=> AB2
= AN AM
b) Chứng minh ACM = ANC∠ ∠
Vì ΔABM ΔANB => ABM = ANB ∼ ∠ ∠
(12)Do đó: ACM = ANC∠ ∠
Bài 5:
a) Chứng minh Tứ giác AEDF hình thoi
b) Chứng minh: MN // EF
ΔABC có AD tia phân giác góc A
=> BAD = CAD ∠ ∠
=> MD ND => DAC = MND (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng∠ ∠ nhau)
Lại có: AND = 90∠ o (nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> DAN + ADN = 90∠ ∠ o => MND + ADN = 90∠ ∠ o
=> MN // AD
Vì tứ giác AEDF hình thoi nên EF AD => MN // EF⊥
(13)a) Chứng minh MN OC ⊥
Vì Δ O'AB cân O’ nên O'AB = O'BA ∠ ∠
=> Δ OAC cân O nên OAC = OCA ∠ ∠
=> O'BA = OCA mà hai góc vị trí đồng vị∠ ∠
=> O’B // OC
Mặt khác MN tiếp tuyến (O’) B => O'B MN ⊥
Do OC MN ⊥
b) Chứng minh AC tia phân giác MAN ∠
Trong đường tròn (O): => OC đường trung trực MN => CM = CN
=> CM CN => MAC = NAC Hay AC tia phân giác MAN ∠ ∠ ∠
Bài 7:
a) Chứng minh ΔHCM vuông cân OH tia
phân giác COM∠
Vì C điểm cung AB
=> CMA = ∠
o
1
sđAC 45
2
=> ΔHCM vuông cân H => CH = HM
Dễ thấy ΔCOH = ΔMOH (c.c.c) => COH = MOH ∠ ∠
Vậy OH tia phân giác COM ∠
b) Chứng minh MC // BD
Dễ thấy ΔCOI = ΔMOI (c.g.c) nên CI = MI => ΔCMI cân M
Do CMI = MCI ∠ ∠
Lại có CMD = CBD (góc nội tiếp chắn cung CD) ∠ ∠
(14)=> MC // BD
Bài 8:
a) Chứng minh Đường cao MH tam giác AMD qua trung điểm I BC
Ta có ADC = ABC (góc nội tiếp chắn cung∠ ∠ AC) (1)
Lại có AMH = ADM (cùng phụ với góc MAD)∠ ∠ ∠
Mà AMH = IMB (đối đỉnh) => ADM = IMB ∠ ∠ ∠ ∠ (2)
Do IM = IB
Chứng minh tương tự ta có: IM = IC Suy IB = IC = IM
=> I trung điểm BC
b) Học sinh tự chứng minh
Bài 9:
a) Chứng minh: MFO = MBO ∠ ∠
Ta có: MOA = MBO (cùng chắn cung MA) ∠ ∠
(15)Ta có MOA = EFO (cùng phụ với góc FEO ) ∠ ∠ ∠
Suy EFO = MBO ∠ ∠
b) Tính độ dài đoạn thẳng OE, ME, EF theo R
Ta có: FEO = 30∠ o MOA = 60⇔ ∠ o ΔAOM nên AM = OA = R ⇔
Vậy M (O) AM = R FEO = 30∈ ∠ o
Khi ΔOME vng M nên ME = MO tan MOA = ∠ 3R ; OE =
2MO = 2R
Vì ΔEOF vuông O nên cos FEO = EO/EF => EF = EO/cos FEO =∠ ∠
2R / cos30o = 4R 3/3
3 Góc tạo tiếp tuyến dây cung Bài 1:
Vì MA2 = MB.MC => MA/MB = MC/MA
Xét ΔMAC ΔMBA có: M chung ∠
MA/MB = MC/MA
(16)Kẻ đường kính AD (O) Ta có ACB = ADB (hai góc nội tiếp∠ ∠ chắn cung AB )
Mà MAB = MCA (chứng minh trên) Suy MAB = ADB ∠ ∠ ∠ ∠ (2)
Lại có ABD = 90∠ o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => BAD + BDA = 90∠ ∠ o (3)
Từ (2) (3) suy BAD + MAB = 90∠ ∠ o hay MAO = 90∠ o => OA ⊥ MA
Do A (O) => MA tiếp tuyến (O).∈
Bài 2:
a) Chứng minh ΔABE ΔBDE; ΔMEA ΔDEM ∼ ∼
Xét ΔABE ΔBDE có:
∠E chung
∠BAE = DBE (góc nội tiếp góc tia tiếp ến dây∠ cung chắn cung BD )
=> ΔABE ΔBDE (g.g) ∼
Vì AC // MB nên ACM = CMB (so le trong) ∠ ∠
Mà ACM = MAE (góc nội tiếp góc tia tiếp tuyến dây∠ ∠
cung chắn cung AD )
Suy ra: CMB = MAE ∠ ∠
Xét ΔMEA ΔDEM có:
(17)∠MAE = CMD (chứng minh trên) ∠
=> ΔMEA ΔDEM (g.g) ∼
b) Chứng minh E trung điểm MB
Theo chứng minh a) ta có: ΔABE ΔBDE => AE/BE = BE/DE => EB∼ = AE.DE
ΔMEA ΔDEM => ME/DE = EA/EM => ME∼ = DE.EA
Do EB2 = EM2 hay EB = EM
Vậy E trung điểm MB
Bài 3:
a) Chứng minh M trung điểm EF
Ta có MCA = 1/2 sđ∠ AC (góc tiếp
tuyến dây cung chắn cung AC) (1)
Lại có MEC = AED = 90∠ ∠ o - EAD = 90∠ o
- 1/2 sđBC = 1/2 sđAC (2)
Từ (1) (2) suy MCE = MEC ∠ ∠
Vậy ΔMEC cân M, suy MC = ME
Chứng minh tương tự ta có MC = MF
Suy ME = MF hay M trung điểm EF
b) Tìm vị trí điểm C đường tròn (O) cho ΔACN cân C
ΔACN cân C CAN = CNA ∠ ∠
Vì MN tiếp tuyến với (O) C nên OC MN ⊥
=> CNA = 90∠ o - COB = 90∠ o - CAN ∠
Do đó:
∠CAN = CNA CAN = 90∠ ⇔ ∠ o
- CAN CAN = 90∠ ⇔ ∠ o
(18)Vậy ΔACN cân C C nằm nửa đường tròn (O) cho SđBC = 60o
Bài 4:
a) Chứng minh: ΔAIO ΔBMN ; ΔOBM ΔINB ∼ ∼
Vì I trung điểm AN => OI ⊥ AN => AIO = ANB = 90
∠ ∠ o
Do Bx tiếp tuyến với (O) B
=> NBM = IAO = 1/2 sđ∠ ∠ BN
=> ΔAIO ΔBMN (g.g) ∼
Vì OIM = OBM = 90o ∠ ∠
=> điểm B, O, I, M thuộc đường tròn đường kính MO
suy BOM = BIN ∠ ∠
Xét ΔOBM ΔINB có:
∠OBM = INB ∠
∠BOM = BIN ∠
=> ΔOBM ΔINB (g.g) ∼
b) Tìm vị trí điểm M tia Bx để diện tích ΔAIO có giá trị lớn
Kẻ IH AO ta có: S⊥ ΔAIO = 1/2 AO.IH
Vì AO khơng đổi nên SΔAIO lớn IH lớn ⇔
Nhận thấy: Khi M chuyển động tia Bx I chạy nửa đường trịn đường kính AO
Do IH lớn IH bán kính đường trịn
=> ΔAIO vuông cân I nên IAH = 45∠ o
=> ΔABM vuông cân B nên BM = BA = 2R
(19)Bài 5:
a) Chứng minh rằng: Năm điểm O, I, C, M, D nằm đường tròn Vì MC, MD tiếp tuyến C, D với đường tròn (O)
=> OCM = ODM = 90∠ ∠ o (1)
Mặt khác I trung điểm dây AB nên OI AB hay OIM = 90⊥ ∠ o (2)
Từ (1), (2) suy điểm M, C, D, O, I thuộc đường trịn đường kính OM
b) Chứng minh N tâm đường trịn nội tiếp
Vì MC, MD tiếp tuyến (O)
=> MO phân giác CMD∠ (3)
Mà: DCN = NCM = 1/2 sđ∠ ∠ CN
Suy CN phân giác DCM∠ (4)
Từ (3) (4) suy N giao điểm đường phân giác ΔCMD
=> N tâm đường trịn nội tiếp ΔCMD
4 Góc có đỉnh nằm bên đường trịn, góc có đỉnh nằm bên ngồi đường tròn
Câu
Đáp án B B C A D C C B