Ôn tập Toán 12: Chuyên đề số phức

Để thực hiện các phép toán trên tập số phức, ta chuyển qua chế độ CMPLX bằng cách bấm mode 2.. Bài tập có hướng dẫn bằng máy casio..[r]

(1)

SỐ PHỨC

PHẦN I LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1 Định nghĩa số phức

Số phức biểu thức dạng a bi với ,a b i2

Số phức z a bi ta nói a phần thực b phần ảo số phức z Tập hợp số phức kí hiệu (

| , ;

a bi a b i )

2 Hai số phức

Hai số phức gọi phần thực phần ảo chúng tương ứng

bằng nhau: a bi c di a c , a b c d, , ,

b d

Chú ý:

- Khi phần ảo b z a số thực Vậy - Khi phần thực a z bi số ảo

- i gọi đơn vị ảo 3 Biễu diễn hình học số phức

Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox trục thực, Oy trục ảo ), số phức z a bi với ,

a b biểu diễn điểm M a b ;

Ví dụ 1:

1; 2A biểu diễn số phức z1 2i B 0;3 biểu diễn số phức z2 3i

4 Môđun số phức

Độ dài OM gọi môđun số phức z a bi a b, Ký hiệu

z Vậy 2

z OM a b

(2)

5 Số phức liên hợp

Số phức liên hợp z a bi với a b, a bi kí hiệu z Vậy: z z , z z

Ví dụ 2:

Số phức liên hợp số phức z 2i số phức z 2i

2

1

z z

6 Các phép toán số phức

Cho hai số phức z1 a bi ; z2 c di với a, b,c,d

 Tổng hai số phức: z1 z2 a bi c di a c b d i  Hiệu hai số phức: z1 z a2 bi c di a c b d i  Số đối số phức z a bi z a bi

 Nhân hai số phức: z z1 2 a bi c di ac bd ad bc i  Chia số phức:

+ Số phức nghịch đảo: z 12 z z + z z ,a z z a2 b2 z 2

+ Nếu z2 0thì

2

a bi c di

z a bi

z

z c di c d

Nghĩa muốn chia số phức z cho số phức 1 z2 0thì ta nhân tử mẫu thương cho z 2

Chú ý:

4 4

1; ; 1; (k )

k k k k

i i i i i i

Ví dụ 3: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp tính môđun số phức z:

)

a z i i i

4

) z

2 i

b i i

i

(3)

2

a) 4 6

z i i i i i i i

i

Vây phần thực: ; Phần ảo: ; Số phức liên hợp: z 6i Môđun z 82 62 10

2

4

b) z 10 4i 20i 8i

2

8 14 93 94

18 16

5 5

i i

i

i i

Vậy phần thực:93

5 ; Phần ảo: 94

5 ; Số phức liên hợp:

93 94

5

z i

Môđun

2

93 94 17485

5 5

z

7 Phương trình bậc hai với hệ số thực

a Căn bậc hai số thực âm a 0 i a

b Phương trình bậc hai với hệ số thực: az2 bz c 0, a b c, , ,a Phương pháp giải : Tính

4 b ac

 : phương trình có nghiệm thực 1,2

2 b i z

a  : phương trình có nghiệm thực phân biệt

2 b z

a

 : phương trình có nghiệm phức 1,2

2 b i z

a

c Định lý Vi- ét : z z nghiệm phương trình: 1, 2

2

0, , , ,

az bz c a b c a Thì: z1 z2 b

avà c z z

a

Ví dụ 4: Giải phương trình bậc hai sau:

2

z z

Giải:

(4)

Phương trình có nghiệm phức là: 1,2 2 2 ;

i

z i

PHẦN II BÀI TẬP

1 Bài tập có hướng dẫn giải

Câu Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức: z z z 6i

A

5

z i B

5

z i C

5

z i D

5

z i

Hướng dẫn giải Giả sử z x yi x y( , )

Ta có z z z 6i x yi x yi x yi 6i

5 ; ;

5

x yi i x y Vậy

5

z i Chọn đáp án A

Câu Số số phức z thỏa mãn đẳng thức: 1

2

z z z z z i

A B C D

Hướng dẫn giải Đặt z a bi a b( , ), suy

2 2 2

, , ,

z a bi z a b z z bi z z a

Thay vào phương trình cho ta có 2

1

a b bi ai

2

1

a b

b a

a b

Vậy 1 , 1

2 2

z i z i Chọn đáp án B

Câu Số số phức z thỏa mãn z 12 z 12 10i z

A B C D

(5)

Gọi z a bi a b, Ta có z 12 z 12 10i z

2 2 2

2

1 1 10

2 10

2

2 10

1

; 1; ; ;

2

a a bi b a b i a bi

a a ab b i

a a

ab b

a b a b

Vậy z 2i

z i Chọn đáp án C

Câu Biết z z hai số phức thỏa điều kiện: 1, 2 z z 1 i z Tính 2 z1 z 2

A 11

10 10i B

3 11

10 10i C

3 11

10 10i D

3 11 10 10i Hướng dẫn giải

2 2 2

2

2 2

2

2 1 1

3

0 3

3 10 3 10

1

3 10

10

3

z z i z a bi a bi i a b

a a b

a bi a b i a b

b a b

a

b a a a a

a

b

a a b b a

b

b a

Có hai số phức cần tìm 1 ; 2 10 10

z i z i

Chọn đáp án A

Câu Tìm số phức z thỏa mãn 1

1 i

z i z

i z

A 1 i B i 1 C i D i

Hướng dẫn giải

Đặt 2

, , ,

(6)

2 2

2 2 2

2

1

1 1 1 i i

z i z z z z i z

i i z

x y i x y x y x y i

x y

x y x y x y x y x y

xy

x y x y

Với x 0, ta có y y2 y 1, thỏa mãn (1) Suy z i Với y 0, ta có x x2 x 1, không thỏa mãn (1)

Vậy z i Chọn đáp án D

Câu Biết z z số phức thỏa mãn: 1, 2 z 12 z 12 10i z Tính z12 z 22

A 111 i

B 111 i C 111 4i D 44 i

Gọi z a bi a b, , ta được: a bi 12 a bi 12 10i a bi

2

1

2

2 10 1

2 10

2 a b

a a

a a ab b i

ab b a

b

Vậy ,

2

z i z i Suy 12 22 111

4

z z i

Câu Biết z z số phức thỏa mãn: thỏa mãn phương trình 1, 2 10

z

i

i z Tính

1

z z

A 23

25 50i B

7 23

25 50i C

7 23

25 50i D

7 23

(7)

Điều kiện z Gọi z a bi a b, Phương trình cho tương đương với:

2

10 10 10 7

10

7 10

2

2,

5 19 18

9 13

,

10

5

10

z z i i i z a b i a b a b i

a b a b

a b a a b a a a a b b a b a

Vậy z 4i 13

5

z i Suy ra:

1

1 23

25 50i

z z

Chọn đáp án C

Câu Tìm mơ đun số phức z thỏa mãn 2 2

2

iz z i

z

i i

A B C D 2

2

2 2 2 2

2

iz z i

z iz i z i i i i z

i i

2 4i i z 3i z

Giả sử z a bi a b, ,

1 4

2 4 3

2 3 1

1

4

i i a bi i a bi

a b a b i a b a b i

a b a b a b a

z i

a b a b a b b

Vậy số phức cần tìm z i z 2 Chọn đáp án B

Câu Tìm số phức z thỏa điều kiện: z z i z z 3i i

A 1

2

z i B 1

2

z i C 1

2

z i D 1

2

z i

(8)

Ta có 2

z z x

z z yi

Phương trình z z 1 i z z 2 3i 4 i trở thành :

2 2 2

1

2 2

2 4

2 1

2

x i yi i i x xi yi y i

x

x y

x y x y i i

x y

y

Vậy z cần tìm là: 1

2

z i Chọn đáp án D

Câu 10 Tìm môđun số phức z thỏa điều kiện:

1 2

i z z z z

i

i i

A z 101 B z 10 C z D z 11

Hướng dẫn giải Đặt z x yi z x yi, x y,

Phương trình

1 2

i z z z z

i

i i trở thành :

2

2 2

4 6

1 1

2 1 2

4 6

1

2

2 12 10

x yi x y

i i

i i i i

x i y i x y x y i

i i

x y x

x y y

Vậy z cần tìm z 10i z 101. Chọn đáp án A

2 Các ví dụ hướng dẫn giải dạng tốn số phức máy casio

Ví dụ 1: Tìm số phức 2

(9)

A.z 1 2i B z 2i C z 2i D z 2i

+Bước 1: Ấn MODE (CMPLX)

+Bước 2: Nhập 2

1- 2i x2i i 2i (x: dấu nhân)

+Bước 3: Ấn dấu “=” Được kết hình bên

Lưu ý: Đối với số Như ví dụ trên, chỗ (1 )2i i ta phải nhập dấu x : (1 ) x 2i i máy kết quả, không máy báo ERROR

Ví dụ 2: Cho số phức z (2 i)(1 i) 3i Tìm Mơđun số phức z

A 10 B 13 C D 11

+Bước 1: Ấn MODE (CMPLX) +Bước 2: Nhập (2 i)(1 i) 3i

(bài không cần ấn dấu x máy kết quả) +Bước 3: Ấn dấu “=” Được kết hình bên

+Bước 4: Vì tính Mơđun nên ta ấn tiếp Shift + hyp (Abs) (phím giá trị tuyệt đối) + Ans (kết 2i trên)

+ Bước 5: Ấn dấu “=” Kết hình bên

Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn

(1 i) (2 i) z i (1 ) zi

A 5i B.1 i C 2 3i D 4i

+Bước 1: Ấn MODE (CMPLX) +Bước 2: Chuyển vế, nhập

(1 i) (2 i X) i (1 )i X (thay z X ) +Bước 3: CALC gán số phức đáp án Kết đáp án

(10)

 B.1 i Kết

 C 3i Kết

Vậy C đáp án

Ví dụ 4: Xác định số phức z, biết z (1 i z) 2i

A z i B z i C.z i D

z i

+Bước 2: Chuyển vế Thay z X , nhập X (1 i)Conjg( )X 2i Với Conjg( )X z , nhập cách: Shift 2

+Bước 3: CALC gán số phức đáp án Kết đáp án  A z i

Kết i

 B z i

Kết 4i

 C z i

Kết Vậy C đáp án

Ví dụ 5: Tìm phần thực số phức z, biết z (1 i z) 2i

A B C D z

(11)

(1 )( ) 5

2

x yi i x yi i x yi x yi xi y i

x y x

x y xi i

x y

Máy tính:

+Bước 2: Đặt z x yi Nhập x yi (1 i x)( yi) 2i

+Bước 3: Ấn CALC, gán X 1000,Y 100, ấn dấu “=” Kết hình

+Bước 4: Phân tích kết 2095 998i

 2095 2000 95 2000 100 2x y

 998 1000 x

Ta có hệ 5

2

x y x y x

x x y

Ví dụ 6: Tìm Mơ đun số phức z, biết: 2i 2z z 4i 20

A.7 B C D.5

Giải tự luận: Đặt z x yi x y( ; R )

2

1 20

(1 4)( ) 20

3 4 20

2 (4 ) 20

2 20

4 4

i z z i

i x yi x yi i

x yi xi y x yi i

x y x y i i

x y x

x y y

2

z 3i z

(12)

+Bước 2: Đặt z x yi Nhập

2

1 2i (x yi) (x yi) 4i 20

+Bước 3: Ấn CALC, gánX 1000,Y 100, ấn dấu “=” Kết quả:

 2380 2000 380 2000 400 20 2x 4y 20

 3596 4000 404 4000 400 4x 4y

Ta có hệ 20 20 z

4 4 4

x y x y x

i

x y x y y

+Bước 5: (nếu rảnh!!!) MODE Shift hyp Abs nhập 4( ) 3i

Cách phân tích sai

 3596 3000 500 96 3000 500 100 3x 5y y 3x 6y

Ví dụ 7: Tìm phần thực số phức z: 1 i z (2 i z) i Giải tự luận: Đặt z x yi x y( ; R )

1 (2 )

(1 )( ) (2 )( )

2

(3 )

3

1

i z i z i

i x yi i x yi i

x yi xi y x yi xi y i

x y yi i

x y y

y x

Máy tính:

(13)

+Bước 3: Ấn CALC, gán X 1000,Y 100, ấn dấu “=”

Kết hình bên

 2796 3000 204 3000 200 3x 2y

 99 100 y

Ta có hệ 4

1

x y x y y

y y x Phần thực

Cách phân tích sai

 2796 2000 700 96 2000 700 100 2x 7y y 2x 8y

Ví dụ 8: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 2 i z 3i

A.y x B y x C y x D y x

+Bước 2: Đặt z x yi Nhập x yi i x yi 3i +Bước 3: CALC Kết

 A.y x 1, CALC gán x 100,y 100 Kết

 B y x 1, CALC gán x 100,y 100 Kết

Cách Ví dụ 8: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 2 i z 3i

(14)

+Bước 2: Đặt z x yi Nhập x yi i x yi 3i +Bước 3: CALC Kết

 A.y x 1(C Chọn1) M1(2; 1) (C 1)

CALC gán x 2,y Kết  B y x 1(C Chọn 2)

2(2;1) ( 2)

M C

CALC gán x 2,y 1, kết Vậy B đáp án

Ví dụ 9: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện zi (2 i)

A. 2

(x 1) (y 2) B.x 2y

C 3x 4y D (x 1)2 (y 2)2

+Bước 2: Đặt z x yi Nhập (x yi i) (2 i) +Bước 3: CALC Kết

 Chọn M1(3; 2) (C Kết 1)

 M2(3; 1) (C2) Kết

 3 3; ( 3)

4

M C Kết

 M3(2;2) (C4) Kết

Ví dụ 10: Căn bậc số phức 48 14i

A (1 )i B (1 )i C (2 )i D (2 )i +Bước 1: Ấn MODE (CMPLX)

+Bước 2: Nhập 48 14 arg( 48 14 )

2 i

i ,

(15)

+Bước 3: Ấn “=” Được kết

Ví dụ 11 : Giải phương trình:

z 3(1 i) z 5i

A.z ;zi i B z ;zi i

C z ;zi i D z ;zi i

+Bước 2: Đặt z x yi Nhập (x yi)2 3(1 i x)( yi) 5i +Bước 3: CALC Gán đáp án Kết

Ví dụ 12 : Cho z , z nghiệm phương trình 1 2 z2 3(1 i) z 5i tập số phức, giá trị P z + z1

A.5 B C.10 D.1

+Bước 2: Gán 1 A Shift( RCL STO( ) A); 3(1 i) B; 5i C

+Bước 3: Tính

4 ( )

B AC Kết 2i

+Bước 4: Tính

4

B AC cách ấn arg( )

2

2 i

i ,

với dấu : ấn Shift phím ( ) ; arg : ấn Shift Được kết 1 i, gán vào D

+Bước 5: Tính nghiệm phương trình

+Bước 6: 2 2

1

z + z (1) (2) (2) (1 )

(16)

Để thực phép toán tập số phức, ta chuyển qua chế độ CMPLX cách bấm mode

3 Bài tập có hướng dẫn máy casio

Câu Tính z i (3 ).i

Hướng dẫn: Ta bấm phím để nhập tốn ta kết là:

Câu Tính z (1 )( 3i ).i

Hướng dẫn:

Ta bấm phím tương tự ta thu kết sau:

Câu Tính ( i)1

2

i z

i

Hướng dẫn:

Ta nhập biểu thức ( i)1

2

i z

i vào máy ta thu kết quả:

(17)

2

.3 .2 2

A B C D

Hướng dẫn:

6

(1 )

1 i

i z i z z

i Nên ta thực bấm sau: Ta thu kết quả:

Chọn D

Câu Tìm số phức z z

Biết (1 ) 2(1 )3

1 , 1

i i

z i i z

i

A 18 74i B 18 74i C 18 75i D 18 75i

Hướng dẫn: - Tính z1 3i (1 i)3và lưu vào biến A:

- Tính

3 2(1 )

2 1

i i

z

i lưu vào biến B

- Tính z z :

(18)

Câu Tìm mơđun số phức z thỏa mãn: 3i z 3i 7i

3

A z B z C z D z

Hướng dẫn:

Ta chuyển z dạng: 3

i i

z

i tìm mơđun Nhập tốn vào máy Màn hình hiển thị:

Chọn C

Câu Cho số phức z thỏa mãn (3 i z)( 1) (2 i z)( )i i Tìm mơđun số phức w

1 i z

z

82 82 82 82

4

A B C D

Hướng dẫn:

Ở ta xem phím X số phức z

Đây phương trình bậc số phức

Bước 1: Các em nhập lại phương trình vào máy tính hình hiển thị sau:

Bước 2:

(19)

Ta cho trước a =10000 b =100 từ suy ngược lại mối quan hệ a b hệ phương trình ẩn theo a b, lúc tìm a b

Cho z 10000 100i

Màn hình cho kết quả:

Nghĩa là:

(3 i z)( 1) (2 i z)( )i (1 i) 50005 19894i 5a (2a b 6)i Cho nên:

(3 )( 1) (2 )( ) (1 )

5 5

1, 8

2 6

i z i z i i

a a

a b z i

a b a b

Từ tính mơđun w:

Chọn B

Câu Tìm bậc hai số phức z 4i

Hướng dẫn: Quy trình bấm :

- Nhập số phức z 4i lưu vào biến A: - Bấm theo công thức :

- Màn hình cho kết quả:

Nên 2i 2i bậc hai số phức z 4i

(20)

.1 ; 2 ; 2 ; ;

A i i B i i

C i i D i i

Hướng dẫn:

- Nhập số phức đáp án vào máy, hình cho kết quả:

Nên 2i bậc hai số phức z 4i Vì số phức có hai bậc đối nên 1 2i bậc hai số phức z 4i

Chọn C

Câu 10 Giải phương trình bậc hai sau: z2 4z 10 0

Hướng dẫn:

Nhập biểu thức vào máy bấm dấu bằng, thu kết quả:

4 Bài tập có đáp án

Câu Cho số phức z5a 2 3b i  ,với a,b R Tìm số a,b để z số thực

A ;

3

a b B 2;

a b C 2;

5

a b D

0;

(21)

Câu Cho số phức z3a  2 b i ,với a,b R Tìm số a,b để z số ảo

A 2;

3

a b B a ;b 4 C 2;

a b D

;

3

a b

Câu Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau:

A Số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng phức Oxy B Số phức z = a + bi có mơđun a2b2

C Số phức z = a + bi =  0 a b

   

 D Số phức z = a + bi có số phức đối z’ = a – bi

Câu Cho số phức z = a + bi Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A z + z = 2bi B z - z = 2a C z.z = a2 - b2 D 2

z  z

Câu Cho số phứcz a bi a b; , Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau A z2 a2 b2 B z z 2a C z z z2 a2 b D 2

0 z z

Câu Cho số phức z = a + bi Số phức z2 có phần thực là:

A a2 + b2 B a2 - b2 C a + b D a - b Câu Cho số phức z = a + bi Số phức z2 có phần ảo là:

A 2abi B 2a b2 C a b2 D 2ab Câu Cho số phức z = a + bi Số phức z z là:

A Số thực B Số ảo C D Câu Cho số phức z = a + bi với b  Số z – z là:

A Số thực B Số ảo C D i

Câu 10 ( Đề thi thử Bộ ) Cho số phức z 2i Tìm phần thực phần ảo số phứcz

(22)

C Phần thực Phần ảo 2i D Phần thực phần ảo

Câu 11 ( Đề thi thử Bộ ) Tìm số phức liên hợp số phức z i i(3 1) A z i B z i C z i D

3

z i

Câu 12 Cho số phức z a bi Khi số 1 

2 zz là:

A Một số thực B 2 C Một số ảo D i Câu 13 Tìm số phức z, biết

2

z i

A z 2i B z 2i C z 2i D

z i

Câu 14 Tìm số phức z, biếtz i2i3i

A z 7i B z 7i C z 7i D

z i

Câu 15 Cho số phức z 1 3i Số phức liên hợp số phức w iz là:

A w i B w i C w i D

w i

Câu 16 Tìm số phức z, biết z

1

i i

  

 

A 15 55

26 26

z i B z =

23 63

2626i C z =

15 55

2626i D z =

2 1313i

Câu 17 Cho số phức z thỏa mãn: (2i z)  (5 )i z  17 16i Tìm số phức liên hợp số phức z?

A z 4i B z 4i C z 4i D z 4i Câu 18 ( Đề thi thử Bộ ) Cho số phức z1 i z2 3i Tính mơđun

số phứcz1 z ? 2

(23)

1

z z

Câu 19 Số phứcz 4i Khi mơđun số phức

z là:

A

3

z B

25

z C

5

z D

1 z

Câu 20 ( Đề thi thử Bộ )Tính mơ đun số phức z thoả mãn z i 13i

A z 34 B z 34 C 34

z D 34 z

Câu 21 Cho số phức z thỏa mãn: z 2i 4i Tìm mơđun số phức w z 2i

A w B w 17 C w

D w

Câu 22 Cho số phứcz a 2b a b i w 1 2i Biết z wi Tính S a b

A S B S C S 3 D S

5 Bài tập tự rèn theo mức độ

1 MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT

Câu 1: Cho số phức z 3i Tìm phần thực phần ảo số phức z

A Phần thực phần ảo 3i B Phần thực phần ảo

C Phần thực phần ảo D Phần thực phần ảo bằng 3i

Câu Cho số phức z z’ Các phát biểu sau sai ?

A z z' z z B ' z z z C z2 z D

' '

z z z

(24)

Câu Cho số phức z = 3- 4i Phần thực phần ảo số phức z

A Phần thực phần ảo - 4i; B Phần thực phần ảo 4;

C Phần thực phần ảo 4i; D Phần thực phần ảo -4

Câu Tìm phần thực phần ảo số phức z = i2017

A 2017 B C –1 D –1

2 MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU

Câu Tìm phần thực, phần ảo z i 3i i

A phần thực 1, phần ảo B phần thực 11, phần ảo

C phần thực 1, phần ảo D phần thực 11, phần ảo

Câu Cho số phức 1

1

i i

z

i i Trong kết luận sau kết luận đúng? A zcó phần thực phần ảo B zlà số ảo

C Mô đun z D z có phần thực phần ảo bằng

Câu Số phức z = 3 4

i

i bằng: A 16 13

17 17i B

16 11

15 15i C.

9

5 5i D

9 23

25 25i

Câu Tính z z z z biết z 3i

A 13 B C D 13

Câu Thu gọn số phức z = 3

1

i i

(25)

A z = 15 55

26 26i B z =

23 63

26 26i C z =

21 61

26 26i D z =

13 13i

Câu 10 Số phức sau số thực:

A 2

3 4

i i

z

i i B

1 2

3 4

i i

z

i i C

1 2

3 4

i i

z

i i

D

1 2

3 4

i i

z

i i

Câu 11 Tính

2017

1

i z

i

A

3

5 5i B

1

5 5i C

1

5 5i D

3

5 5i

Câu 12 Cho số phức z 3i Tìm số phức w = 2iz - z

A.w 7i B w i C w 7i D

8

w i

Câu 13 Cho số phức z1 3i z2 4i Môđun số phức z1 z 2

A 17 ; B 15 ; C 4; D Câu 14 Cho hai số phức z1 2i z2 i Tính mơđun số phức z1 z 2 A. z1 z2 B z1 z2 C z1 z2 D

1

z z

Câu 15 Số phức nghịch đảo số phức z = - 3i là:

A z = 1

4 i B

1

z = 1

2 i C

1

z = + 3i D

1

z = -1 + 3i

Câu 16 Mô đun số phức z 2i i 13

(26)

(1) z² – z ² số thực (2) z² + z ² số ảo (3) z z số thực (4) |z| – z

Số câu phát biểu

A B C D

Câu 18 Giá trị A = (1 + i)20

A 1024 B 220 C –1024 D 1024 – 1024i

3 MỨC ĐỘ VẬN DỤNG THẤP

Câu 19 Cho số phức z thỏa mãn:z(1 )i 4i Tìm mơ đun số phức z 2i A. B. 17 C. 24 D.

Câu 20 Cho số phức z biết

1 i

z i

i Phần ảo số phức z

2

A.5

2i B -5

2i C

2 D

Câu 21 Tìm số phức z biết

2

1

3 2

i i

z

i i

A 21

34 17i B

21

34 17i C

21

34 17i D

21

34 17i

Câu 22 Tìm số phức z biết 1 1 2 (1 )

z i i

A

10 35

13 26

z i

B

8 14

25 25

z i

C

8 14

25 25

z i

D 10 14

13 25

z i

Câu 23 Cho số phức z thỏa mãn:

3

1

1 i z

i Tìm mơđun z iz

(27)

A. 6 B C D.

Câu 25 Tìm mơ đun số phức z thoả 3iz (3 i)(1 i)

A 2

3

z B

2

z C 3

2

z D

2 3 z

Câu 26 Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)z – – 5i = Tìm số phức w = z 10 z

A + 2i B + 6i C –2 + 6i D –6 + 2i

Câu 27 Cho hai số phức z = – 5i w = – i Tính tỉ số z w

A – 2i B + 2i C + i D – i

6 Bài tập tổng hợp

Câu Gọi z nghiệm phức có phần ảo âm phương trình 1 z2 2z Tọa độ điểm M biểu diễn số phứcz là: 1

A M( 1;2) B M( 1; 2) C.M( 1; 2) D M( 1; )i Câu Cho số phức z có phần ảo âm thỏa mãn z2 3z Tìm mơ đun

sốphức: 2z 14

A B 17 C 24 D

Câu Dạng z = a+bi số phức

3 2i số phức đây?

A

13 13i B

3

13 13i C

3

13 13i D

3

13 13i

Câu Cho số phức 1

1

i i

z

i i Trong kết luận sau kết luận đúng?

A z B z số ảo

(28)

A

z = 1 2 i B.

1

z = 1

4 i C

1

z = + 3i D

z = -1 + 3i

Câu Thu gọn số phức z = 3

1

i i

i i ta được: A z = 21 61

26 26i B z =

23 63

26 26i C z =

15 55

26 26i D z =

2

13 13i Câu Cho số phức z = a + bi Khi số

2i z z là:

A Một số thực B C Một số ảo D i

Câu 8:Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i (Trong a, b, a’, b’ khác 0) điều kiện a, b, a’, b’ để

' z

z số ảo là:

A a + a’ = b + b’ B aa’ + bb’ = C aa’ - bb’ = D a + b = a’ + b’

Câu 9: Trong tập số phức C, phương trình

1 i

z có nghiệm là:

A z = - i B z = + 2i C z = - 3i D z = + 2i

Câu 10: Cho phương trình z2 + bz + c = Nếu phương trình nhận z = + i làm nghiệm b c (b, c số thực) :

A b = 3, c = B b = 1, c = C b = 4, c = D b = -2, c = Câu 11 Cho số phức z thỏa mản (1 i) (22 i z) i (1 )i z Phần thực phần ảo z là:

A 2; B 2; -3 C -2; D -2; -3

Câu 12 Nghiệm phương trình (4 + 7i)z − (5 − 2i) = 6iz là:

A 18 13

7 i B.

18 13

17 17i C

18 13

7 17i D

18 13

17 17i Câu 13 Cho số phức thỏa mãn điều kiện Số phức z cần tìm là:

A B C D

Câu 14 Cho số phức thỏa mãn điều kiện Phần thực phần ảo là:

A -3 B C -2 D -3

z 2z iz  2 5i

3

z  i z 3 4i z 4 3i z 4 3i

z z 2 i z  3 5i

(29)

Câu 15 Cho số phức z a bi a b, thỏa mãn i z 2z 2i Tính P a b

A. B. C. D.

Câu 16 Tìm số phức z biết 1 1 2 (1 )

z i i

A. 10 35

13 26

z i B 14

25 25

z i C 14

25 25

z i D 10 14

13 25

z i

Câu 17 Gọi z 1 z nghiệm phương trình 2 z2 4z Gọi M, N điểm biểu diễn z 1 z mặt phẳng phức Khi độ dài MN là: 2

A MN B MN C MN D.MN

Câu 18 Gọi z 1 z nghiệm phương trình 2 z 1

z Giá trị

3

1

P z z là:

A P = B P = C P = D P =

Câu 19 số phức z thỏa:

3

(1 )

i z

i môđun z iz :

A B C D

Câu 20 Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện

2

z i đường trịn có tâm bán kính là:

A I 2;5 , R 6 B I 2; , R 6 C I 2; , R 36 D I 2;5 , R 36 PHẦN III BÀI TẬP NÂNG CAO

Câu Biết số phức z x yi x y; thỏa mãn điều kiện z 4i z 2i đồng thời

có mơđun nhỏ Tính giá trị biểu thức 2

M x y

A M B M 10 C M 16 D M 26

Câu Cho số phức z w, thỏa mãn z 2i z 4i w iz Giá trị nhỏ

của biểu thức P w là:

A min

2

P B Pmin 2 C Pmin D min 2

P

1

P P1 P 1

2

(30)

Câu Cho số phức z1 3i, z2 3i Tìm điểm M x y; biểu diễn số phức z3, biết mặt phẳng tọa độ điểm M nằm đường thẳng d x: 2y môđun số phức w 3z3 z2 2z1 đạt giá trị nhỏ

A 4;

5

M B C 3;

5

M D 1;

5

M

Câu Cho số phức z thỏa mãn z i z 3i Tính môđun lớn

max

w số phức

w

z

A max

7 10

w B

max

2

w C

max

4

w D

max

9 10 w

Câu Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M M, ' Số phức

4

z i số phức liên hợp có điểm biểu diễn N N, ' Biết ' '

MM N N hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ P z 4i

A min

34

P B min

5

P C min

2

P D min

13 P

Câu Cho số phức z thỏa mãn z2 2z z 2i z 3i Tìm giá trị nhỏ

của P w, với w z 2i

A min

2

P B Pmin C Pmin D min

2 P

Câu Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 2i z2 2i z2 4i Giá trị nhỏ biểu thức P z1 z2 bằng:

A P B P C P D P

Câu Cho số phức z1 thỏa mãn z1 22 z1 i2 số phức z2 thỏa mãn

2

z i Tìm giá trị nhỏ P z1 z2

A min

5

(31)

Câu Biết số phức z x yi x y; thỏa mãn đồng thời điều kiện

3

z i biểu thức P z 22 z i2 đạt giá trị lớn Tính z

A z 33 B z 50 C z 10 D z

Câu 10 Xét số phức z z1, 2 thỏa mãn điều kiện z 4i Gọi z z1, 2 số phức có mơđun nhỏ mơđun lớn Tính w z1 z2

A w i B w i C w i D w i

Câu 11 Xét số phức z thỏa mãn điều kiện i z 7i Gọi m M,

giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P z Tính S M m

A S 10 B S C S 24 D S

Câu 12 Xét số phức z thỏa mãn điều kiện 1

3 i

z

i Gọi m M, giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P z Tính S 2020 M m

A S 2022. B S 2016 C S 2018 D S 2014

Câu 13 Xét số phức z thỏa mãn z 3i Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z i là:

A 13 13 B 13 13

C 6 D 13 13

Câu 14 Cho số phức z thỏa mãn z số thực 2

2 z w

z số thực Tìm giá trị lớn Pmax biểu thức P z i

A Pmax B Pmax 2 C Pmax D Pmax

Câu 15 Xét số phức z thỏa mãn z Biểu thức P z i

z đạt giá trị nhỏ giá trị lớn z1 z2 Tìm phần ảo a số phức w z1 z2

A a B a C a D a

Câu 16 Cho số phức z1 z2 thỏa mãn z1 iz2 Tìm giá trị nhỏ

min

P biểu thức P z1 2z2

(32)

Câu 17 Gọi T tập hợp số phức z thỏa mãn z i z Gọi z1, z2 T số phức có mođun nhỏ lớn Tìm số phức w z1 2z2

A w 12 2i B w 12i C w 4i D w 12 4i

Câu 18 Cho số phức z thỏa mãn z z 10 Giá trị lớn nhỏ z lần

lượt là:

A 10 B C D

Câu 19 Cho số phức z thỏa mãn z 4i

z Gọi M m giá trị lớn nhỏ | |z Tính S M m

A S B S C S D S 13

Câu 20 Cho số phức z thỏa mãn z 1.Tìm giá trị lớn T z z

A Tmax 5. B Tmax 10 C Tmax D Tmax

Câu 21 Xét số phức z thỏa mãn z Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

1

P z z Tính S M m

A S 2 B S 2 C S 2 D S

1

P z z z Tính 2 M P

m

A

4

P B

26

P C

4

P D 13

16 P

3

P z z z z z Tính môđun w M mi

A

4

w B 17

w C 15

4

w D 13

4 w

Câu 24 Cho số phức z thỏa mãn z Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z z Khi đó:

A M 5, m B M 5, m

(33)

Câu 25 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z Tìm giá trị lớn biểu thức

2

T z i z i

A Tmax B Tmax C Tmax D Tmax

Câu 26 Xét số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 z2 z1 z2 Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z1 z2 Tính M

m

A M

m B M

m C

M

m D

M

m

Câu 27 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét số phức z thỏa mãn

2

z i z i Gọi m M, giá trị nhỏ giá trị lớn

z i Tính P m M

A P 13 73 B 2 73

2

P

C P 2 73 D 73

2

P

Câu 28 Xét số phức z thỏa mãn z 2i z i Gọi M m, giá trị

lớn giá trị nhỏ biểu thức P z z 3i

A M 17 5, m B M 26 5, m

C M 26 5, m D M 17 5, m

Câu 29 Xét số phức z thỏa mãn z 3i z i 17 Gọi M m, giá trị

lớn giá trị nhỏ biểu thức P z 2i z i

A M 2, m B M 2, m

C M 2, m 2 D M 2, m 2

Câu 30 Xét số phức z thỏa mãn z 2i z 3i 34 Tìm giá trị nhỏ biển

thức P z i

A min

34

P B Pmin 3. C Pmin 13 D Pmin

(34)

Câu Ta có z 4i z 2i x 2 y x2 y 2

2 2

4 20 4

x y x y x y y y x

Khi 2 2 2

4 16 2 2

z x y x x x x x

Vậy môđun nhỏ z 2 Xảy x y M 8. Chọn A

Câu Đặt z x yi x y;

Ta có z 2i z 4i x 2 y 2 x2 y

2 2

2

x y x y y x

Khi w iz i x yi ix y ix x x xi

Suy

2

2 2 1

1

2 2

w x x x Chọn A

Câu Vì M d M 2y 1;y

Điểm M biểu diễn số phức z3, suy z3 2y yi x y;

Ta có w 3z3 z2 2z1 2y yi 3i 3i 6y 3y i Suy w 6y 3y 3 4y2 y 12 5y2 2y

2

1

3

5

5 5

y

Dấu " " xảy 3 1;

5 5

y x M Chọn D

Câu Gọi z x yi x y;

Ta có z i z 3i , suy x 12 y 12 x2 y 2x 4y Suy tập hợp số phức z thuộc đường thẳng : 2x 4y

Ta có min max

2

min

7 5

;

10

2

z d O w

z Chọn B

Câu Ta có z2 2z z 2i z 3i

2 2

1 1 2

(35)

1 (1)

1 2

1 (2)

z i

z i z i z i z i

z i z i

Từ z 2i w P w Xét Gọi z x yi x y;

Ta có

2 2

1 1

2

z i z i x y x y y

Khi

2

1 3

2 2

w x i i x i P w x

Vậy Pmin 1. Chọn C

Câu Đặt z1 x1 y i1 z2 x2 y i2 với x x1, , , 2 y y1 2

● 2

1 1

z i x y tập hợp số phức z1 đường tròn 2

:

C x y

● z2 2i z2 4i

2 2

2 2 2 2

x y x y

2

y tập hợp số phức z2 đường thẳng

:

d y

Ta có P z1 z2 x2 x1 y2 y1 khoảng cách từ điểm

2;

B x y d đến điểm A x y1; 1 C Do 2 1 min

min

z z AB Dựa vào hình vẽ ta tìm ABmin A 0; , B 0; Chọn B

Nhận xét Ở đường thẳng đường trịn có vị trí đặc biệt nên vẽ hình nhận

được hai điểm A & B, khơng viết phương trình đường thẳng qua tâm C vng góc với d, sau tìm giao điểm với C d loại điểm

Câu Gọi z x yi x y; Ta có

 2 2 2

2 1

(36)

Suy tập hợp số phức z1 đường thẳng : 2x y

 z i x y i

2

4

x y

Suy tập hợp số phức z2 đường tròn

2

:

C x y có tâm I 4;1 bán kính

R

Khi biểu thức P z1 z2 khoảng cách từ điểm thuộc đến điểm thuộc C

Từ suy min , 5 5

P MN d I R Chọn D

Câu Vì z 4i x y 5.

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn C có tâm I 3; bán kính

R

Ta có P x yi2 x y i2 x 2 y2 x2 y 12 4x 2y 4x 2y P

Ta tìm P cho đường thẳng : 4x 2y P đường trịn C có điểm chung

12

, 23 10 13 33

20 P

d I R P P

Do Pmax 33 Dấu " " xảy 2 2

4 30 5

5

3

x y x

y

x y

Vậy 2

5 5

z Chọn D

Câu 10 Gọi z x yi x y;

Ta có z 4i x 2 y

Suy tập hợp số phức z z1, 2 đường trịn C có tâm I 2; , bán kính R

(37)

Gọi M N, hai điểm biểu diễn số phức z z1, 2 Khi tọa độ điểm M N,

nghiệm hệ phương trình 2 2

2

y x

x y

1

2

1

2

4

3

3 x

y z i

w i

z i

x y

Chọn A

Câu 11 Ta biến đổi 1 1

1 i

i z i i z

i

2.z 4i z 4i *

Đẳng thức * chứng tỏ tập số phức z đường tròn tâm I 3; , bán kính R

Khi max

5 4

2

5

P OI R m

S M

P OI R Chọn B

Câu 12 Ta có

3 i

i i nên

2

1 1

3

i

z iz

i

1

i z z i

i Đẳng thức chứng tỏ tập số phức z đường tròn tâm I 0; , bán kính R

Khi max

1 0

2018

1

P OI R m

S M

P OI R Chọn C

Câu 13 Gọi z x yi x y; M điểm biểu diễn số phức z

Từ giả thiết, ta có x y i x 2 y Khi tập hợp điểm M thuộc đường tròn tâm I 2;3 , bán kính R Ta có P z i z i z i Đặt A 1;1 P MA

Vậy

max

13 13

P AI R

Chọn B

(38)

Theo giả thiết: z 3i z i 2i z i 2i P 13

Suy P 13 P 13 13 P 13

Câu 14 Vì z không số thực nên z z 0

Ta có 2 2 2

2 2

z z z

w w

z z z

Vì w số thực nên 2 2

2

z z

w w

z z

2

2 loại

2 2 2

z z

z z z z z z z z z z z z

z z

Suy tập số phức z đường tròn tâm O 0;0 , bán kính R Đặt A 1;1 P MA với M điểm biểu diễn số phức z Vậy Pmax AO R 2 2. Chọn B

Câu 15 Biến đổi P z i i i 1 i

z z z z

Đặt z'

z,

1

'

z

P z i

 tập hợp số phức z' hình trịn tâm O 0;0 , bán kính

R (trừ tâm O)  Xét Đặt A 0;1 P MA với M điểm biểu diễn số phức z'

Dựa vào hình vẽ ta thấy

min

1

2

max

1 1

'

2

2 0 0

3 1

'

2

P AM z i z i

z i

z w i

z i

P AM z i z i

z

Chọn

C

Câu 16 Đặt z3 2z2 P z1 2z2 z1 2z2 z1 z3

Từ 3 2 2 3

(39)

3 3

1

2 4

2iz iz z i

Gọi A B, hai điểm biểu diễn cho hai số phức z1, .z3 ● z1 A đường tròn tâm I 4;0 , R1 ● z3 4i B đường tròn tâm J 0, , R2

Khi 1 3

max

4

P IJ R R

P z z AB

P IJ R R

Chọn B

Cách Biến đổi iz2 iz2 z2 z2 2i 2z2 4i

i i

Ta có P z1 2z2 z1 2z2 4i 4i

2

2 4 4

4 4 4

z i i z

i z i z

Câu 17 Giả sử z a bi a b, Ta có

● 2 2

1 5

z a b a b

tập hợp số phức nằm đường trịn tâm A1;0 bán kính R

● 2 2

1 3

z i a b a b

tập hợp cố phức nằm đường trịn tâm B 0;1 bán kính R'

Dựa vào hình vẽ ta thấy

max

0

6

z z i

1 2 12

z z i Chọn A

Cách Áp dụng bất đẳng thức z1 z2 z1 z2 z1 z2

Ta có

1

3

2

1

z i z i z

z

z z z

Dấu '' '' thứ xảy z1 i 3, kết hợp với z ta hệ

1

3

1

2 z i

z z i

z

(40)

Tương tự cho dấu '' '' thứ hai, ta

2

2 2

2

1

6 12

3 z

z z z z i

z i

Câu 18 Giả sử z x yi x y;

Ta có 10 z z z z 2z z 5 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

2 2

100 z z z z

2 2 2 2 2

4 50

a b a b a b z Chọn D

Cách Giả sử z x yi x y;

Từ giả thiết, ta có 2 2

4 10

x y x y *

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, gọi M x y; F1 4;0 , F2 4;0 * có dạng

1 2.5

MF MF Vậy tợp hợp điểm M x y; biểu diễn số phức z Elip có độ dài trục lớn a 5, tiêu cự F F1 2 c Suy độ dài trục bé b a2 c2

Khi ta ln có b OM a hay z

Câu 19 Áp dụng bất đẳng thức z1 z2 z1 z2 , ta có

2

4

2

1

2

4

z z z

z

z z z

z i

z

z z z

Vậy 5

1

M m

S Chọn A

Câu 20 Gọi z x yi x y; M x y; điểm biểu diễn số phức z

GọiA 1;0 , B 1;0 Ta có z x yi x2 y2 Suy M thuộc đường trịn đường kính AB nên MA2 MB2 AB2

Khi 2 2

2 5.4

T MA MB MA MB Chọn A

(41)

Câu 21 Với z a bi a b, , ta có

2

1

, 1;1

1

a b

z z z a b

z z

Do biến đổi P, ta P z z z z z z z z

z z

2 2 2

2a a b 2a a 1 a 2a a

Khảo sát hàm f a 2a a đoạn 1;1 , ta f a Suy m 2, M S 2. Chọn A

2

1

, 1;1

1

a b

z z z a b

z z

Do biến đổi P, ta

1

1 1 1

P z z z z z z z z

z z

2 2 2

2a a b 2a a 1 a 2a a

Khảo sát hàm f a 2a a đoạn 1;1, ta 13 f a

Suy 3, 13 13

4 16

m M P Chọn D

2

1

, 1;1

1

a b

z z z a b

z z

Do biến đổi P, ta

4

3

3 z z

P z z z z z z

z z

4 2 2

2

1

3 3

z z z z z z z z z z z

(42)

2

2 2 2

1

1 4

z z z z z z z a a a a

z

Khảo sát hàm

4

f a a a đoạn 1;1, ta 3

4 f a

Suy 3, 9 17

4 16

m M w Chọn B

Câu 25 Đặt z x yi x y;

Ta có z x yi x 12 y2

2 2 2

1 2 2

x y x x y x y x

Khi T z i z i x y i x y i

2 2

2 2 2

1 2

x y x y x y y x y x y

2x 2y 2x 2y x y x y

Đặt t x y, T f t 2t 2t với t 1;3

Xét hàm f t 2t 2t 1;3 , ta f t max f 4 Chọn B

Câu 26 Đặt z1 x 0, z2 y suy biểu thức P z1 z2 x y

Áp dụng công thức z1 z22 z1 z22 z12 z22 z12 z2

2 2 2

2

0

5 5

5 x

x y y x P x x

y x

Khảo sát hàm

5

f x x x đoạn 0; , ta f x 10

Suy 10

5

M M

m m

Chọn D

Gọi A 2;1 ,B 4,7 , suy AB

Từ giả thiết, ta có z i z 7i MA MB AB suy M nằm đoạn thẳng AB có phương trình x y

(43)

Ta có z i x y i x 12 y 12

2 2

1 17

x x x x

Khảo sát hàm

2 17

f x x x đoạn 2; , ta 25 73

2 f x

Suy

5

5 2 73

1 73

2

73 m

z i P

M

Chọn B

Gọi A 3;2 , B 3; , suy AB

Từ giả thiết, ta có z 2i z i MA MB AB suy M nằm đoạn thẳng AB có phương trình x 2y

Suy M ;y y với y 1;2

Ta có

2 2 2

2 2

1 3

z x yi x y y y

z i x y i x y y y

Khi 2

2 12 9

P z z i y y y y

Khảo sát hàm 2

5 12 9

f y y y y y đoạn 1; , ta

1;2

min

max 26

f y f

Chọn B

Gọi A 2;3 , B 6;1 , suy AB 17

Từ giả thiết, ta có z 3i z i 17 MA MB AB suy M thuộc đoạn thẳng AB có phương trình x 4y 10

Suy M 10 ;y y với y 1;3

Ta có

2 2

1 2 11

2 2

z i x y i x y y y

(44)

Khi 2

1 2 17 92 125 17 62 65

P z i z i y y y y

Khảo sát hàm 2

17 92 125 17 62 65

f y y y y y đoạn 1;3 , ta

1;3

min

max 3

f y f

Chọn A

Gọi A 2; ,B 1;3 , suy AB 34

Từ giả thiết, ta có z 2i z 3i 34 MA MB AB, suy M thuộc tia AB M nằm đoạn AB M trùng B

Phương trình đường thẳng AB: 5x 3y

Từ suy ;4

x

M x với x

Khi

2

2 2

1 1 1 1

3 x

P z i x y i x y x

Khảo sát hàm

2

1

3 x

f x x ; , ta

;