GIA SƯ THÀNH CÔNG ÔN LUYỆN VÀO 10 0975.89.6066 ĐỀ SỐ 01 Bài 1: Cho biểu thức: P x2 x 1 x 1 với x ≥ x ≠ x x 1 x x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P đạt giá trị nguyên Bài 2: 1) Cho phương trình ẩn x: x 2m x n a) Tìm m n biết phương trình có hai nghiệm (-2) b) Cho m = Tìm số ngun dương n nhỏ để phương trình có nghiệm dương 2) Cho phương trình : x2 – 2mx + m2 – m + = Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 + 2mx2 = Bài 3: Khoảng cách hai bến sống A B 50km Một ca nô từ bến A đến bến B, nghỉ 20 phút bến B quay lại bến A Kể từ lúc khởi hành đến tới bến A hết tất Hãy tìm vận tốc riêng ca nơ, biết vận tốc dịng nước 4km/h Bài 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, M điểm cung AB, K điểm cung nhỏ BM Gọi H chân đường vng góc M xuống AK a) Chứng minh AOHM tứ giác nội tiếp b) Tam giác MHK tam giác gì? Vì sao? c) Chứng minh OH tia phân giác góc MOK d) Gọi P hình chiếu vng góc K lên AB Xác định vị trí K để chu vi tam giác OPK lớn Bài 5: 1) Cho a, b, c số thực thỏa mãn: abc = 1 1 a ab b bc c ca 2) Giải phương trình: x 7x 6x 4x 3x Tính giá trị biểu thức: P HẾT ÔN LUYỆN VÀO 10 GIA SƯ THÀNH CÔNG 0975.89.6066 LỜI GIẢI ĐẾ SỐ 01 Bài 1: Cho biểu thức: P x2 x 1 x 1 với x ≥ x ≠ x x 1 x x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P đạt giá trị nguyên BÀI LÀM a) Ta có: P x2 x 1 x 1 x2 x 1 x x 1 x x x 1 x x 1 x x x 1 x 1 x 1 x2 x 1 x x 1 x x x 1 x2 ( x 1)( x 1) x x 1 ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) x x 1 x x 1 x x x ( x 1) x ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) x x Vậy với x ≥ x ≠ 1, P = b) Đặt t x Ta có P x x x 1 t Pt (P 1)t P (*) t t 1 + Để tồn giá trị nguyên P phương trình (*) phải có nghiệm (P 1)2 4P 3P 2P 9P 6P 3P 3P 12 12 3P 1 2 3P 3 3P 1 P + Mà P số nguyên P x = Vậy x = P đạt giá trị nguyên * Nhận xét: Ở phần b) này, ta vận dụng phương pháp “miền giá trị” để tìm giá trị nguyên P Phương pháp miền giá trị cịn giúp tìm giá trị lớn nhỏ hàm phân thức (vấn đề thầy có tài liệu riêng) Ngồi ra, em cần ghi nhớ công thức A2 m,(m 0) m A m Bài 2: 1) Cho phương trình ẩn x: x 2m x n a) Tìm m n biết phương trình có hai nghiệm (-2) b) Cho m = Tìm số nguyên dương n nhỏ để phương trình có nghiệm dương 2) Cho phương trình : x2 – 2mx + m2 – m + = Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 + 2mx2 = GIA SƯ THÀNH CÔNG ÔN LUYỆN VÀO 10 0975.89.6066 BÀI LÀM a) Do (- 2) nghiệm phương trình x 2m 5 x n nên ta có: 4m n 14 m (2) 2m 5 (2) n 6m n 2m n n m phương trình cho có nghiệm -2 n Vậy với b) Với m = 5, phương trình cho trở thành: x 5x n + Để phương trình có nghiệm x1; x 25 4n n 25 (*) x1 x 5 x1.x n + Khi theo định lý Viét ta có + Vì x1 x 5 nên để phương trình có nghiệm dương x1.x n n Kết hợp với điều kiện (*) suy n Mà n số nguyên dương nhỏ n Vậy n = giá trị phải tìm * Nhận xét: Ở phần b) thực chất dạng tập vận dụng hệ thức Vi - ét, ta có x1 x 5 phương trình cho có nghiệm âm nghiệm trái dấu Mà theo đề để phương trình có nghiệm dương xảy trường hợp phương trình có nghiệm trái dấu, tức x1.x 2) Phương trình cho có ' m m m 1 m m m m + Để phương trình có nghiệm x1, x2 ' m –1 m x1 x2 2m (1) x1.x2 m – m (2) + Theo hệ thức Vi –ét ta có: + Mà theo cho, x1 + 2mx2 = (3) - Thay (1) vào (3) ta được: x12 + (x1 + x2 )x2 = x12 + x1x + x 22 = (x1 x2 )2 x1 x2 (4) 2 - Thay (1), (2) vào (4) ta được: 4m m m 3m m 10 - Giải phương trình ta được: m1 = - (loại) ; m2 = Vậy m = (thỏa mãn) phương trình cho có nghiệm x1, x2 : x1 + 2mx2 = GIA SƯ THÀNH CÔNG ÔN LUYỆN VÀO 10 0975.89.6066 Bài 3: Khoảng cách hai bến sống A B 50km Một ca nô từ bến A đến bến B, nghỉ 20 phút bến B quay lại bến A Kể từ lúc khởi hành đến tới bến A hết tất Hãy tìm vận tốc riêng ca nơ, biết vận tốc dòng nước 4km/h BÀI LÀM Đổi 20 phút = - Gọi vận tốc canô nước yên lặng x (km/h, x 4) - Vận tốc canơ nước xi dịng x (km/h) thời gian canô chạy nước xi dịng 50 (giờ) x4 - Vận tốc canơ nước ngược dòng x (km/h) thời gian canơ chạy nước ngược dịng 50 (giờ) x4 50 50 7 x4 x4 50 50 20 5 x4 x4 x4 x4 15( x x 4) 2( x 16) x 30 x 32 - Theo đề ta có phương trình x 15 x 16 - Giải phương trình ta x 1 (loại), x 16 (thỏa mãn) Vậy vận tốc canô nước yên lặng 16 km/h Bài 4: Cho đường trịn tâm O đường kính AB, M điểm cung AB, K điểm cung nhỏ BM Gọi H chân đường vng góc M xuống AK a) Chứng minh AOHM tứ giác nội tiếp b) Tam giác MHK tam giác gì? Vì sao? c) Chứng minh OH tia phân giác góc MOK d) Gọi P hình chiếu vng góc K lên AB Xác định vị trí K để chu vi tam giác OPK lớn BÀI LÀM a) Vì M điểm cung AB, nên sđ AM 900 AOM 900 (Định lý góc tâm), mà MH AK (GT) AHM = 900 + Trong tứ giác AOHM, ta có: AOM AHM 900 Do đỉnh O H ln nhìn đoạn AM góc 900, nên AOHM tứ giác nội tiếp ÔN LUYỆN VÀO 10 GIA SƯ THÀNH CÔNG 0975.89.6066 M K H A O b) Xét tam giác vng MHK có MKH P B sdAM 450 (góc nội tiếp chắn AM đường trịn tâm O) MHK vuông cân H (đpcm) c) MHK vuông cân H (theo phần b) HM = HK + Xét MHO KHO có HM = HK (CM trên), HO cạnh chung, OM = OK = R MHO = KHO (c-c-c) MOH KOH OH phân giác MOK (đpcm) d) Ta có chu vi OPK là: C = OP + PK + OK Mà OK = R không đổi chu vi tam giác OPK lớn OP + PK lớn + Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-ski ta có : OP PK 1.OP 1.PK 12 12 OP PK R chu vi OPK lớn bằng: 2R + R = ( 1)R , OP PK hay K điểm 1 cung MB Bài 5: 1) Cho a, b, c số thực thỏa mãn: abc = 1 1 a ab b bc c ca 2 2) Giải phương trình: x 7x 6x 4x 3x Tính giá trị biểu thức: P BÀI LÀM 1) Ta có 1 1 a ab a ab b bc c ca a ab ab abc a abc a bc ab a ab a ab P 1 a ab ab a a ab a ab P Vậy a, b, c số thực thỏa mãn: abc = P = 2) Chuyển vế phương trình trở thành đẳng thức nghiệm PT x = - x 7x 6x 4x 3x x 3x 3x x 1 x 1 Vậy phương trình có nghiệm x = - (HẾT) ... x2 x ? ?1 x ? ?1 x2 x ? ?1 x x ? ?1 x x x ? ?1 x x ? ?1 x x x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x2 x ? ?1 x x ? ?1 x x x ? ?1 x2 ( x 1) ( x 1) x x ? ?1 ( x 1) (x x 1) ( x 1) (x .. .ÔN LUYỆN VÀO 10 GIA SƯ THÀNH CÔNG 0975.89.6066 LỜI GIẢI ĐẾ SỐ 01 Bài 1: Cho biểu thức: P x2 x ? ?1 x ? ?1 với x ≥ x ≠ x x ? ?1 x x ? ?1 x ? ?1 a) Rút gọn biểu thức P b)... 1) ( x 1) (x x 1) ( x 1) (x x 1) x x ? ?1? ?? x x ? ?1 x x x ( x 1) x ( x 1) (x x 1) ( x 1) (x x 1) ( x 1) (x x 1) x x Vậy với x ≥ x ≠ 1, P = b) Đặt t x