Toán tử hardy cesàro có trọng suy rộng và hoán tử trên không gian morrey có trọng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thị Kim Hương TỐN TỬ HARDY-CESÀRO CĨ TRỌNG SUY RỘNG VÀ HỐN TỬ TRÊN KHƠNG GIAN MORREY CĨ TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thị Kim Hương TỐN TỬ HARDY-CESÀRO CĨ TRỌNG SUY RỘNG VÀ HỐN TỬ TRÊN KHƠNG GIAN MORREY CĨ TRỌNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn TS Trần Trí Dũng Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số kết quả, nội dung từ sách, báo liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin chịu trách nhiệm hồn tồn luận văn Lê Thị Kim Hương LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Trần Trí Dũng, người tận tình hướng dẫn tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Sau Đại học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện học tập tốt cho Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Hội đồng góp ý q báu để tơi hồn thiện luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, anh chị khóa bạn bè chun ngành Giải tích ln bên cạnh, động viên điểm tựa vững cho thời gian làm luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2018 Lê Thị Kim Hương MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Mục lục Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Kiến thức giải tích điều hịa 1.2 Hàm trọng 1.3 Tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng hốn tử 1.4 Khơng gian có trọng 1.5 Khơng gian Morrey có trọng 1.6 Toán tử cực đại Hardy-Littlewood 10 Kết hợp đánh giá trên, ta 13 CHƯƠNG TÍNH BỊ CHẶN CỦA TỐN TỬ HARDY-CESÀRO CĨ TRỌNG SUY RỘNG VÀ HỐN TỬ TRÊN KHƠNG GIAN MORREY TRUNG TÂM CĨ TRỌNG 14 2.1 Khơng gian Morrey trung tâm có trọng khơng gian BMO trung tâm có trọng 14 2.2 Tính bị chặn tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng khơng gian Morrey trung tâm có trọng 21 2.3 Tính bị chặn hốn tử tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng khơng gian Morrey trung tâm có trọng 24 2.4 Hốn tử bậc cao khơng gian Morrey trung tâm có trọng 37 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 ℕ Tập hợp ℝ Tập hợ Không gian ℝ dạng x Tập hợ ℂ Hàm đặ Không gian f ∞ Tập hợp c ( ) f(x) ‖ ‖∞ = { : | ( )| ≤ ℎầ ℎắ ê } (ℝ ) Khơng gian hàm khả tích Lebesgue bậc p địa phương () Khơng gian hàm khả tích Lebesgue độ đo ℝ () MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích điều hịa đại nhánh quan trọng Tốn học có nguồn gốc từ lý thuyết chuỗi Fourier tích phân Fourier cổ điển Trong khoảng 60 năm gần đây, giải tích điều hịa đại phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng đa dạng lĩnh vực như: phương trình đạo hàm riêng, xác suất thống kê, xử lí tín hiệu Bất đẳng thức tích phân Hardy biến thể đóng vai trị quan trọng nhánh khác giải tích lý thuyết xấp xỉ, phương trình vi phân, lý thuyết khơng gian hàm Do đó, bất đẳng thức tích phân Hardy cho tốn tử biến thể nghiên cứu mở rộng nhiều Carton-Lebrun Fosset [2] định nghĩa tốn tử Hardy có trọng sau: ( )=∫01 ( )() , ∈ℝ , : [0,1] → [0, ∞) hàm đo hàm đo nhận giá trị phức ℝ Các tác giả bị chặn từ (ℝ ) vào Trong [21], Xiao đạt kết tương tự có thêm kết tính bị chặn không gian (ℝ )) Nhận thấy giá trị phụ thuộc giá trị trung bình trọng lượng dọc theo tham số ( , ) = Do đưa đến việc xem xét tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng , kết hợp với đường cong tham số ( , ): = ( ) Không gian Morrey cổ điển (biến thể tự nhiên (ℝ )) giới thiệu Morrey [15] để khảo sát tính chất địa phương nghiệm phương trình đạo hàm riêng , elliptic bậc hai Sau đó, K Yasuo S Satoru [22] đưa định nghĩa khơng gian Morrey có trọng lượng ( ) để nghiên cứu tính bị chặn tốn tử cổ điển giải tích điều hịa tốn tử cực đại Hardy-Littlewood, toán tử Calderon-Zygmund toán tử tích phân phân số Gần đây, Z.W Fu, Z.G Liu S.Z Lu [7] thiết lập điều kiện cần đủ hàm trọng đảm bảo hoán tử tốn tử Hardy có trọng bị chặn (ℝ ), < < ∞ với biểu tượng (symbol) (ℝ ) Sau đó, tính bị chặn nghiên cứu số không gian như: không gian Morrey, không gian Campanato, không gian loại , , khơng gian loại Triebel-Lizorkin Do đó, tiếp nối chủ đề luận văn nghiên cứu bất đẳng thức chuẩn có trọng cho tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng hốn tử khơng gian Morrey có trọng Các kết chủ yếu tham khảo [19] Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu luận văn bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời định hướng số hướng nghiên cứu sau, thuộc chun ngành Tốn giải tích Về mặt khoa học, tác giả mong muốn đạt mục tiêu: tìm hiểu khái niệm tính bị chặn tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng hốn tử khơng gian Morrey có trọng Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn này, thu thập tài liệu liên quan đến đề tài, tự tìm hiểu, tổng hợp trình bày số kiến thức tốn tử cực đại Hardy-Littlewood, tính ̇ chất hàm trọng không gian phải vận dụng kiến thức chuyên sâu giải tích Fourier, giải tích hàm, độ đo ( ), tích phân giải tích thực Cấu trúc luận văn Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính bị chặn tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng hốn tử khơng gian Morrey trung tâm có trọng CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Kiến thức giải tích điều hịa Các định lí sau trích dẫn từ [6], công cụ sử dụng hầu hết chứng minh kết luận văn Định lí 1.1.1 Bất đẳng thức H lder Giả sử < < ∞ thì∈ nghĩa ∈và ∈ Trong suốt luận vặn này, áp dụng bất đẳng thức H o lder với cặp số ( p, p ) ta nói p p’ hai số liên hợp, tức Định lí 1.1.2 Bất đẳng thức Minkowski’s Nếu ≤ < ∞ , ∈ ‖+ ‖≤‖‖+‖‖ 1.2 Hàm trọng Định nghĩa 1.2.1 Ta nói hàm trọng (hầu khắp nơi) ℝ Với tập đo ⊂ đo ℝ ω( x) > h.k.n , ta định nghĩa ω (E) := E Một hàm trọng gọi thỏa tính chất “doubling”, nghĩa tồn số dương cho ( ( , )) ≤ ( ( , )) J2 ≤C ∫ ( ) 33 | ( )||) ( ) Theo định nghĩa M ω , c (Uψb ,s f ), ta ( , )( ) ≤ ‖ ‖ ( ) ∫( ( ( ) ))1⁄ (2 + |log ( ≤ C‖ b‖ BMO ( ω ) Áp dụng bất đẳng thức Minkowski’s cho vế phải bất đẳng thức trên, ta ( 1+ pλ ∫ ≤ C‖ b‖ BMO ( ω ) ≤ C‖ b‖ đó, bất đẳng thức cuối suy từ định lí 1.6.2 kết Để chứng minh tính bị chặn đối số kết hợp với việc thay tốn tử cực đại Hardy-Littlewood Mω định lí 1.6.2 toán tử cực đại Hardy-Littlewood trung tâm Bổ đề 2.3.6 Giả sử có tính chất “doubling”, < < ∞ −1⁄ < < Khi đó, tốn tử , bị chặn ̇ , ( ) Chứng minh tương tự chứng minh định lí 1.6.2 cách thay cầu B tùy ý cầu B có tâm gốc ω(B) Sau đây, ta điều kiện đủ để hoán tử toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy λ λ rộng Uψb ,s bị chặn từ Lq, (ω) vào Lp, (ω) với biểu tượng (symbol) b thuộc không gian BMO trung tâm có trọng với điều kiện thích hợp 34 Định lí 2.3.7 Cho ∈ ( > − ) thỏa tính chất “doubling”, < < < ∞ −1⁄ < < Giả sử ∶ [0,1] Khi đó, ∫ ̇ , ( ) với ∈ Chứng minh Ở đây, thay sử dụng tốn tử cực đại Hardy-Littlewood để chứng minh, ta chứng minh trực tiếp định lí Giả sử ∫1| ( )|( + ) |log Lấy B cầu có tâm gốc,là hàm không gian ̇ Đặt K=( ω(B) = ( = ( ω(B) ω(B) Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta ≤∫ Áp dụng bất đẳng thức −1 (| | +| | +| | )≥| + + | , , , ∈ℂ, cho vế phải đánh giá ta 35 ≤ ∫ C số phụ thuộc vào p Trước hết ta đánh giá số hạng Sử dụng bất đẳng thức H lder cho hàm (b ( y ) − bB,ω ) số ( = K1 ≤ C‖ ≤ ≤ C‖ b‖ r ≤ C‖ b‖ r b‖  f |r * ( s (t ) y))  ( y ) dy )1/ r*ψ (t ) dt ≤ C‖ b‖ CMO (ω) ≤ C‖ b‖ CMO (ω) Tương tự ta có đánh giá 36 ≤ ‖‖ ̇ ( )‖ ‖ ̇ , ( ) ∫ | ( )| ( + ) () Cuối cùng, ta đánh giá số hạng lại Đầu tiên viết lại = () Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức H lder cho cặp số ( ⁄ , ( ⁄ )′) ta ≤ K ω(B) =C ∫ ( =C ∫ ( ≤ C‖ f‖ ≤ C‖ f‖ Dễ thấy với ∈ ℕ, | , − ( ) , | ≤ ∑| 2−( +1) , Theo bổ đề 2.1.5 bổ đề 2.3.1, ta có | b2 − ( k +1) B,ω − ( k +1) ≤ s (t ) ≤ − k Suy Khi ≤ ‖‖ ≤ ‖‖ Kết hợp đánh giá 1, ta thu K ≤C‖ Vậy ta có điều phải chứng minh Nhận xét : Theo định lí 2.3.2 bổ đề 2.1.4 (b) chiều ngược lại định lí 2.3.7 hiển nhiên sử Hệ 2.3.8 Cho −1⁄ < < Giả ∈ ( > − ) thỏa tính chất “doubling”, < < < ∞ ∶ [0,1] → ℝ hàm đo thỏa < | ( )| ≤ h.k.n ̇ , ( ) với ∈ 2.4 Hốn tử bậc cao khơng gian Morrey trung tâm có trọng Cho vector = ( 1, … , ) hoán tử bậc cao toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng định nghĩa , Khi = ()=∫(∏( ()− , = , , (()))) (()) () =1 = , = , 38 Tương ứng, ta định nghĩa hoán tử bậc cao tốn tử Cesàro có trọng suy rộng , ( )=∫ (∏( ( )− Chú ý ( ( ) ))) ( ( ) )| ( )| ( ) nghĩa ∈ () =1 ( ), ∀ , ≤ ≤ ∈ Áp dụng phương pháp chứng minh định lí 2.3.2, ta có kết tương tự cho hốn tử bậc cao tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng Định lí 2.4.1 Cho ∈ ( > − ) thỏa tính chất “doubling”, < < < ∞ −1⁄ < < Giả sử ∶ [0,1] → ℝ hàm đo thỏa < | ( )| ≤ h.k.n [0,1] Khi khẳng định sau tương đương: , , ( ) , bị chặn từ ̇ ( ) vào ̇ ( ) ∀ ∈ ( ); ( ) ∫01| ( )|( + ) | | ( )|| () < ∞ Và hai mệnh đề sau tương đương: ( ) , bị chặn từ ̇ ( ) < ∞ , ( ) vào ̇ , ( ) ∀ ∈ ( ); ( ) ∫0 | ( )| ( + ) | | ( )|| 39 KẾT LUẬN Luận văn hệ thống lại điều kiện cần đủ để toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng bị chặn khơng gian Morrey trung tâm có trọng Ngồi ra, luận văn trình bày lại kết tính bị chặn hốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng với biểu tượng C M O chương Hướng nghiên cứu nối tiếp luận văn: nghiên cứu tính bị chặn tốn tử HardyCesàro có trọng suy rộng hốn tử tốn tử khơng gian quen thuộc Giải tích điều hịa như: khơng gian Campanato, không gian loại Triebel-Lizorkin 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO J Alvarez, M Guzmán-Partida, J Lakey (2000), "Spaces of bounded −central mean oscillation, Morrey spaces, and -central Carleson measures", Collect Math 51, pp.1–47 C Carton-Lebrun, M Fosset (1984), "Moyennes et quotients de Taylor dans BMO", Bull Soc R Sci Liege 53 (2), pp.85-87 Y.Z.Chen, K.S Lau (1989), “On some new classes of Hardy spaces”, J Funct Anal 84, pp.255-278 N.M Chuong, H.D Hung (2012), “A generalized weighted Hardy-Cesaro operator, and its commutator on weighted Lpand BMO spaces”, arXiv:1208.5242v1 [math.CA] J Duoandikoetxea (2001), Fourier Analysis, Grad Stud Math, vol 29, American Mathematical Society, Providence, RI, Translated and revised from the 1995 Spanish original by David Cruz-Uribe G.B Folland (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, second edition, John Wiley and Sons Z.W Fu, Z.G Liu, S.Z Lu (2009), “Commutators of weighted Hardy operators on ℝ ”, Proc 137 (10), pp.3319-3328 Z.W Fu, S.Z Lu (2010), “Weighted Hardy operators and commutators on Morrey spaces”, Front Math China 5(3), pp.531-539 J Garcia-Cuerva and J L Rubio de Francia (1985), “Weighted Norm Inequalities and related topics”, North-Holland Mathematics Studies 116, North-Holland, Amsterdam 10 G.H Hardy, J.E Littlewood, G Pólya (1952), Inequalities, nd ed., Cambridge University Press, London/NewYork 11 J Heinonen, T Kilpel a inen and O Martio (2006), Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations, Dover Pulications, Inc., NewYork 41 12 F John, L Nirenberg (1961), “On functions of bounded mean oscillation”, Comm Pure Apple Math 14, pp.415-426 13 S.G Krantz, H.R Parks (2008), Geometric Integration Theory, Birkh user 14 J Kuang (2010), “Weighted Morrey–Herz spaces and applications”, Appl Math E-Notes 10, pp.159–166 15 C.B Morrey (1938), “On the solutions of quasi-linear elliptic partial differential equations”, Trans Amer Math Soc 43, pp.126–166 16 E.M Stein (1993), Harmonic Analysis, Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press 17 C Tang, Z Zhai (2010), “Generalized Poincaré embeddings and weighted Hardy operator on , spaces”, J Math Anal Appl 371, pp.665–676 18 C Tang, R Zhou (2012), Boundedness of weighted Hardy operator and its applications on Triebel–Lizorkin-type spaces, J Funct Spaces Appl 2012 19 T.D Tran (2014), “Generalized weighted Hardy-Cesàro operators and their commutators on weighted Morrey spaces”, J Math Anal 412, pp.1025-1035 20 T.D Tran (2015), A study of Musielak-Orlicz Hardy spaces, weighted Morrey spaces and boundedness of operators, Thesis for the degree of doctor of philosophy department of mathematics, Australia Macquare University, Sydney 21 J Xiao (2001), “ and bounds of weighted Hardy–Littlewood averages”, J Math Anal Appl 262, pp.660–666 22 Komori Yasuo, Shirai Satoru (2009), “Weighted Morrey spaces and a singular integral operator”, Math Nachr 282 (2), pp.219–231 23 F Zhao, Z Fu, S Lu (2011), “Sharp bounds for generalized Hardy operators”, arXiv:1106.0455v1 [math.FA] ... tâm có trọng 14 2.2 Tính bị chặn tốn tử Hardy- Cesàro có trọng suy rộng khơng gian Morrey trung tâm có trọng 21 2.3 Tính bị chặn hốn tử tốn tử Hardy- Cesàro có trọng suy rộng khơng gian. .. 1.2 Hàm trọng 1.3 Tốn tử Hardy- Cesàro có trọng suy rộng hốn tử 1.4 Khơng gian có trọng 1.5 Khơng gian Morrey có trọng 1.6 Toán tử cực đại Hardy- Littlewood... giá trên, ta 13 CHƯƠNG TÍNH BỊ CHẶN CỦA TỐN TỬ HARDY- CESÀRO CĨ TRỌNG SUY RỘNG VÀ HỐN TỬ TRÊN KHƠNG GIAN MORREY TRUNG TÂM CĨ TRỌNG 14 2.1 Khơng gian Morrey trung tâm có trọng khơng gian