Bài tập Lý thuyết Hai mặt phẳng song song - Chương 2 Hình học lớp 11

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì song song với nhau. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau. Hai mặt phẳng phân b[r]

(1)

Trang

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT

I Vị trí tương đối hai mặt phẳng

Giữa hai mặt phẳng ( ) ( ) có vị trí tương đối

I 

 a



 



( ) / /( )  ( ) cắt ( ) ( ) ( )

Định nghĩa: Hai mặt phẳng ( ) ( ) gọi song song với chúng khơng có điểm

chung

II Các định lý:

1 Định lí 1: Nếu mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng cắt a, b a, b song song

với mặt phẳng ( ) ( ) song song với ( ) M b

a

 

Hệ quả: Nếu mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng cắt a, b a, b song song

với hai đường thẳng a’, b’ nằm mặt phẳng ( ) mặt phẳng ( ) song song với mặt

phẳng ( )

β α O

b' a'

b

a , ( )

( ) / / ( ) / / ', / / '

', ' ( )  

  =

 

 

 



a b

a b O

a a b b

a b



 



 Lưu ý: Nếu hai mặt phẳng song song với đường thẳng nằm mặt phẳng song song với mặt phẳng

2 Định lí : (Định lí giao tuyến thứ tư) Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng

cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với

b a



 

( ) / / ( )

( ) ( ) / / ( ) ( )



  = 



  =



a a b

b

 

 

 

3 Định lí : (Định lí Ta-lét không gian) Ba mặt phẳng đôi song song chắn

(2)

Trang C'

C

B' B

A ' A







= =

     

AB BC CA

A B B C C A

 Hình lăng trụ hình hộp:

Đỉnh Cạnh bên Mặt bên Mặt đáy

D' E' A '

B'

E

D C

B

C' A

− Các cạnh bên hình lăng trụ song song với − Các mặt bên hình lăng trụ hình bình hành

− Hai đáy hình lăng trụ hai đa giác nằm mặt phẳng song song

− Tùy theo đáy lăng trụ tam giác, tứ giác, ngũ giác … mà ta gọi lăng trụ lăng trụ tam

giác, lăng trụ tứ giác, lăng trụ ngũ giác…

− Hình lăng trụ có đáy hình bình hành gọi hình hộp Hình chóp cụt:

E

C D S

D' C' B'

E' A '

A

B P

− Hai đáy hai đa giác có cạnh tương ứng song song tỉ số cặp cạnh tương ứng bằng

− Các mặt bên hình thang

(3)

Trang

B – BÀI TẬP

Câu 1: Một mặt phẳng cắt hai mặt đối diện hình hộp theo hai giao tuyến a b Hãy Chọn Câu đúng:

A a b song song B a b chéo

C a b trùng D a b cắt

Hướng dẫn giải: Chọn A

Câu 2: Chọn Câu :

A Hai đường thẳng a b không nằm mặt phẳng (P) nên chúng chéo B Hai đường thẳng khơng song song chéo

C Hai đường thẳng phân biệt nằm hai mặt phẳng khác chéo

D Hai đường thẳng không song song nằm hai mặt phẳng song song chéo

Hướng dẫn giải: Chọn D

A sai cịn trường hợp song song B sai cịn trường hợp cắt C sai cịn trường hợp song song

Câu 3: Chọn Câu :

A Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba chúng song song

B Hai đường thẳng song song với mặt phẳng song song với C Hai mặt phẳng khơng cắt song song

D Hai mặt phẳng khơng song song trùng

Hướng dẫn giải:

Chọn A Theo hệ sgk trang 66

Câu 4: Hãy Chọn Câu sai :

A Nếu hai mặt phẳng song song đường thẳng nằm mặt phẳng song song với mặt phẳng

B Nếu mặt phẳng ( )P chứa hai đường thẳng song song với mặt phẳng ( )Q ( )P ( )Q

song song với

C Nếu hai mặt phẳng ( )P (Q) song song mặt phẳng ( )R cắt ( )P phải cắt ( )Q

và giao tuyến chúng song song

D Nếu đường thẳng cắt hai mặt phẳng song song cắt mặt phẳng lại

Hướng dẫn giải: Chọn B

Theo định lý trang 64 sgk: Nếu mặt phẳng ( )P chứa hai đường thẳng cắt song song với

mặt phẳng ( )Q ( )P ( )Q song song với

Câu 5: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( )P Có mặt phẳng chứa a

song song với ( )P ?

A B 1 C 2 D vô số

(4)

Trang

Có mặt phẳng chứa a song song với ( )P Câu 6: Hãy Chọn Câu :

A Nếu hai mặt phẳng song song đường thẳng nằm mặt phẳng song song với mọi đường thẳng nằm mặt phẳng

B Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) chứa hai đường thẳng song song song song với

C Hai mặt phẳng song song với đường thẳng song song với

D Hai mặt phẳng phân biệt khơng song song cắt

Câu 7: Cho điểm A nằm mp( )P Qua A vẽ đường thẳng song song với

( )P ?

A 1 B 2 C D vô số

Qua A vẽ vô số đường thẳng song song với ( )P

Câu 8: Giả thiết sau điều kiện đủ để kết luận đường thẳng a song song với mp( ) ?

A a b // b//( ) B a b // b( )

C a// mp( ) ( ) ( ) //  D a( ) = 

Theo định nghĩa SGK Hình học 11

Câu 9: Cho đường thẳng a nằm mp ( ) đường thẳng b nằm mp ( ) Biết ( ) ( ) //  Tìm câu sai:

a

Q

P

Đáp án A sai

Đáp án B sai Đáp án C sai

A

(5)

Trang

A a//( ) B b//( )

C a b // D Nếu có mp ( ) chứa a b //a b

Hướng dẫn giải: Chọn C

Chọn C vì cịn có khả a b,

chéo hình vẽ sau

Câu 10: Cho đường thẳng a nằm mặt phẳng ( ) đường thẳng b nằm mặt phẳng ( ) Mệnh đề sau SAI?

A ( ) //( )  a b// B ( ) //( )  a//( )

C ( ) //( )  b//( ) D a b song song chéo

Nếu ( ) ( ) //  ngồi trường hợp a b // a b cịn

có thể chéo

Câu 11: Cho đường thẳng amp P đường thẳng ( ) bmp Q Mệnh đề sau đúng? ( )

A. ( ) ( )P / / Q a/ / b B. a/ /b( ) ( )P / / Q

C. ( ) ( )P / / Q a/ /( )Q b/ /( )P D. a b cắt

Nếu ( ) ( )P / / Q đường thẳng amp P song song với ( ) mp Q đường thẳng ( ) ( )



b mp Q song song với mp P ( )

Câu 12: Hai đường thẳng a b nằm ( ) Hai đường thẳng a b nằm mp( ) Mệnh đề sau đúng?

A Nếu a// a b b//  ( ) ( ) // 

B Nếu ( ) ( ) //  a// a b b// 

C Nếu a b// a//b ( ) ( ) // 

D Nếu a cắt b , a cắt b a// a b b//  ( ) ( ) // 

Do a// a nên a//( ) b b// nên b//( )

Theo định lí hai mặt phẳng song song, ( ) ( ) // 



a b



a

(6)

Trang

DẠNG 1: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Phương pháp

Cơ sở phương pháp chứng minh hai mặt phẳng ( ) ( ) song song là:

- Bước 1: Chứng minh mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng a b, cắt song song với hai đường thẳng a b , cắt mặt phẳng ( )

- Bước 2: Kết luận ( ) ( )  theo điều kiện cần đủ Phương pháp

- Bước 1: Tìm hai đường thẳng a b, cắt mặt phẳng ( )

- Bước 2: Lần lượt chứng minh a ( ) b ( )

- Bước 3: Kết luận ( ) ( ) 

Câu 1: Cho hình hộp ABCD A B C D Khẳng định sau SAI?    

A AB C D   A BCD hai hình bình hành có chung đường trung bình 

B BD  B C chéo

C A C  DD chéo

D DC  AB chéo



DC AB song song với

Câu 2: Cho hình hộpABCD A B C D Mặt phẳng     (AB D song song với mặt phẳng  )

mặt phẳng sau đây?

A (BCA ) B (BC D  ) C (A C C   ) D (BDA )

Do ADC B hình bình hành nên   AB DC , //  ABC D hình bình hành nên   AD BC nên // 

(AB D ) (// BC D  )

Câu 3: Cho hình hộp ABCD A B C D Gọi     M trung điểm AB Mặt phẳng (MA C cắt hình  )

hộp ABCD A B C D theo thiết diện hình gì?    

A Hình tam giác B Hình ngũ giác C Hình lục giác D Hình thang

(7)

Trang

Trong mặt phẳng (ABB A ,  ) AM cắt BB I

Do // ;

2

  =  

MB A B MB A B nên B trung điểm B I M trung điểm IA

Gọi N giao điểm BC C I

Do BN B C//  B trung điểm B I nên N trung điểm

của C I

Suy ra: tam giác IA C có MN đường trung bình  

Ta có mặt phẳng (MA C cắt hình hộp  ) ABCD A B C D theo     thiết diện tứ giác A MNC có  MN A C //  

Vậy thiết diện hình thang A MNC 

Cách khác:

Ta có :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) //              =        = 

ABCD A B C D

A C M A B C D A C

A C M ABCD Mx

//  

 Mx A C , M

trung điểm AB nên Mx cắt BC trung điểm N Thiết diện tứ giác  A C NM

Câu 4: Cho hình bình hành ABCD Vẽ tia Ax By Cz Dt, , , song song, hướng không nằm mp(ABCD Mp ) ( ) cắt Ax By Cz Dt, , , tạiA B C D   , , , Khẳng định sau sai?

A A B C D hình bình hành     B mp(AA B B  ) (// DD C C   )

C AA=CC  BB=DD D OO// AA 

( O tâm hình bình hành ABCD , O giao điểm  A C vàB D )

( ) ( ) ( ) ( ) // // // , ,                     AB DC AA DD

ABB A DD C C

AB AA ABB A

DC DD DD C C

Câu B Mặt khác ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) // //   =       =              

ABB A A B

DCC D C D A B C D

ABB A DCC D   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) // //   =      =              

ADD A A D

BCC B C B A D C B

ABB A DCC D 



Do câu A

, 

O O trung điểm AC A C,   nên OO 

đường trung bình hình thang AA C C Do   OO// AA Câu D

(8)

Trang

đường chéo hình hộp đó’ Hỏi hình hộp ABCD A B C D có mặt chéo ?    

A 4 B 6 C 8 D 10

Các mặt chéo hình hộp (ADC B ) (; A D CB  ) (; ABC D  ) (DCB A ) (; ACC A ) (; BDD B  )

B'

C'

A'

C

A B

D D'

Câu 6: Cho hình hộpABCD A B C D Mp     ( ) qua AB cắt hình hộp theo thiết diện hình gì?

A Hình bình hành B Hình thoi

C Hình vng D Hình chữ nhật

Câu 7: Cho hình hộp ABCD A B C D Gọi O      O tâm ABB A  vàDCC D Khẳng  

định sau sai ?

A OO =AD

B OO//(ADDA )

C OO  BB mặt phẳng

D OO đường trung bình hình bình hành  ADC B  

 

ADC B hình bình hành có OO đường trung bình nên 

 =

OO AD Đáp án A, D

// 

OO AD nên OO//(ADDA) Đáp án B

O'

O

B' C'

A'

C

A B

D D'

Câu 8: Cho hình hộp ABCD A B C D Gọi     I trung điểm AB Mp(IB D cắt hình hộp theo thiết  )

diện hình gì?

A Tam giác B Hình thang C Hình bình hành D Hình chữ nhật

(9)

Trang

(IB D ) ( AA B B  )=IB 

(IB D ) ( A B C D   )=B D  

( ) ( )

( )

( ) ( )

//  

  



  

 

  =

        

 

I IB D ABCD

B D BD

IB D ABCD d B D A B C D

BD ABCD

với d

đường thẳng qua Ivà song song với BD Gọi J trung điểm AD

Khi (IB D  ) (ABCD)=IJ (IB D ) ( ADD A )=JD 

Thiết diện cần tìm hình thang IJD B với   IJ D B //  

J I

B' C'

A'

C

A B

D D'

Câu 9: Cho hình lăng trụ ABC A B C Gọi    M M,  trung điểm BC  B C G G,  lần lượt trọng tâm tam giác ABC   A B C Bốn điểm sau đồng phẳng?

A A G G C, ,  , B A G M B, ,  , C A G M C , , , D A G M G, , ,



MM đường trung bình hình bình hành BB C C nên  

; // //

= =    

MM BB AA MM BB AA

Do AA M M  hình bình hành hay điểm A G M G, , , đồng phẳng

Câu 10: Cho hình lăng trụ ABC A B C Gọi    M N, trung điểm BB vàCC ,  = mp AMN( )mp A B C Khẳng định (   )

sau ?

A  AB// B  AC// C  BC// D  AA// 

Hướng dẫn giải: Chọn C BCC B  

MN đường trung bình hình bình hành nên

//  

MN B C

( ) ( )

( )

 

 

    =

   

MN

B

mp AMN mp A B C

AMN

A B

C C

Do // BC

L

N

M C'

B'

A

B C A'

G G'

M'

M C'

B'

A

B

(10)

Trang 10

A (AA B B  ) (// DD C C   ) B (BA D  ) (ADC cắt )

C A B CD hình bình hành   D BB DC tứ giác 

Câu A, C tính chất hình hộp

(BA D ) ( BA D C  ) (; ADC) ( ADC B  ) (BA D )(ADC =) ON Câu B

Do B(BDC nên ) BB DC tứ giác  O

N

B'

C'

A'

C

A B

D D'

Câu 12: Cho hình lăng trụ ABC A B C Gọi    H trung điểm A B  Đường thẳng B C song song

với mặt phẳng sau ?

A (AHC ) B (AA H  ) C (HAB ) D (HA C  )

Gọi K giao điểm B C BC ,  I trung điểm

AB

Do HB= AI HB AI; // nên AHB I hình bình hành hay // 

AH B I

Mặt khác KI AC nên //  (AHC) (// B CI  )

Khi : B C //(AHC ) K

I H

C'

B'

A

B

C A'

Câu 13: Cho hình hộpABCD A B C D Mp     ( ) qua cạnh hình hộp cắt hình hộp theo thiết diện tứ giác ( )T Khẳng định sau ?

A ( )T hình chữ nhật B ( )T hình bình hành

C ( )T hình thoi D ( )T hình vng

(11)

Trang 11

DẠNG 2: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA ( ) VỚI HÌNH CHĨP KHI BIẾT ( ) VỚI MỘT MẶT PHẲNG ( ) CHO TRƯỚC

Phương pháp:

- Để xác định thiết diện trường hợp ta sử dụng tính chất sau

- Khi ( ) ( )  ( ) song song với tất đường thẳng ( ) ta chuyển dạng thiết diện song song với đường thẳng (§3)

Sử dụng

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ' , '

 

   = 



 =



  



d d M d

d

M

 

 

 

 

 

- Tìm đường thẳng d mằn ( ) xét mặt phẳng có hình chóp mà chứa d , ( ) d nên cắt mặt phẳng chứa d ( có) theo giao tuyến song song với d

Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành M N, trung điểm

,

AB CD Xác định thiết diện hình chóp cắt ( ) qua MN song song với mặt phẳng

(SAD Thiết diện hình gì? )

A Tam giác B Hình thang C Hình bình hành D Tứ giác

Hướng dẫn giải::

Ta có ( ) ( )

( ) ( )

 

 

 =



M SAB

SAB SAD SA 

( ) ( ) ,

 SAB   =MK SA KSB

Tương tự

( ) ( )

 

  

  =



N SCD

SAD

SCD SAD SD  

( ) ( ) ,

 SCD   =NH SD HSC

Dễ thấy HK =( ) (  SBC) Thiết diện tứ giác MNHK

Ba mặt phẳng (ABCD) (, SBC ) ( ) đôi cắt theo giao tuyến MN HK BC, , , mà MN BCMN HK Vậy

thiết diện hình thang

Câu 2: Cho hìh chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O có AC=a BD, =b Tam giác

SBD tam giác Một mặt phẳng ( ) di động song song với mặt phẳng (SBD qua điểm ) I

trên đoạn AC AI =x 0(  x a )

a) thiết diện hình chóp cắt ( ) hình gi?

A Tam giác B Tứ giác C Hình thang D Hình bình hành b) Tính diện tích thiết diện theo a b, x

Hướng dẫn giải::

a) Trường hợp Xét I thuộc đoạn OA

K

H

N

M B

D C

(12)

Trang 12

Ta có ( ) ( )

( ) ( )     =  SBD

ABD SBD BD



( ) ( ) ,

   ABD =MN BD IMN

Tương tự ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )        =  N SAD SBD

SAD SBD SD 



( ) ( ) ,

 SAD   =NP SD PSN Thiết diện tam giác MNP

Do ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    =     =  SBD

SAB SBD SB MP SB

SAB MP



Hai tam giác MNP BDS có cặp cạnh tương ứng song

song nên chúng đồng dạng, mà BDS nên tam giác MNP

Trường hợp Điểm I thuộc đoạn OC , tương tự trường hợp ta thiết diện tam giác

HKL ( )hv

b) Trường hợp I thuộc đoạn OA Ta có 2 3 4 = = BCD BD b S ,   =   MNP BCD S MN S BD

Do MN BDMN = AI = 2x

BD AO a

2 2 2

2    =  =   MNP BCD

x b x

S S

a a

Trường hợp I thuộc đoạn OC , tính tương tự ta có

( ) ( )2

2 2

2

2 3

[ ] − −   =  = =   MNP BCD

a x b a x

HL b

S S

BD a a

Vậy ( ) ( ) 2 2 2 ; ( ) ;    =  −    td b x I OA a S

b a x

I OC a

Câu 3: Cho tứ diện ABCD M N, điểm thay cạnh AB CD, cho AM = CN

MB ND

a) Chứng minh MN luôn song song với mặt phẳng cố định b) Cho AM =CN 0

MB ND P điểm cạnh AC thiết diện hình chóp cắt (MNP )

hình gì?

A Tam giác B Tứ giác C Hình thang D Hình bình hành c) Tính theo k tỉ số diện tích tam giác MNP diện tích thiết diện

A

1 +

k

k B

(13)

Trang 13 Hướng dẫn giải::

a) Do AM =CN

MB ND nên theo định lí Thales đường thẳng MN AC BD, , song song với

mặt phẳng ( ) Gọi ( ) mặt phẳng qua AC song song với BDthì ( ) cố định

( ) ( )  suy MN song song với ( ) cố định b) Xét trường hợp AP =k

PC , lúc MP BC nên BC (MNP )

Ta có :

( ) ( )

( )

( ) ( ) ,

 

 

  = 



 



N MNP BCD

BC MNP BCD MNP NQ BC Q BD

BC BCD

Thiết diện tứ giác MPNQ.Xét trường hợp AP k PC

Trong (ABC)gọi =R BCMP

Trong (BCD gọi ) Q=NRBD thiết diện tứ giác MPNQ

Gọi K=MNPQ

Ta có MNP = MPNQ

S PK

S PQ

Do AM = CN

NB ND nên theo định lí Thales đảo AC NM BD, , thuộc ba mặt phẳng song song

với đường thẳng PQ cắt ba mặt phẳng tương ứng P K Q, , nên áp dụng định lí Thales ta PK = AM = CN =k

KQ MB ND

1

 = = =

+ + +

PK

PK PK KQ k

PK

PQ PK KQ k

KQ

K

R A

B C

D M

Q