Tài Liệu Môn Toán Lớp 9 Đại Số

Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không thoả mãn, rồi kết luận. Đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O.[r]

TÀI LIỆU MƠN TỐN LỚP ĐẠI SỐ

CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI , CĂN BẬC BA 1) Căn bậc hai

* Căn bậc hai số học số thực a  , kí hiệu a số x  mà x2 = a

* a > , có hai bậc hai hai số đối a - a Ta có    a   a = a

* Căn bậc hai ;* Với a > ; b > ta có : a > b  a  b * A xác định ( có nghĩa )  A  * A

B có nghĩa ( xác định )  B >

* A

B có nghĩa ( xác định )  B 0 A  ; *

2 A n u A

A A

- A n u A <

 

   

Õ Õ

* A.B A B ; A B A.B ( với A 0 ; B0 ) ;

A B A B ( Với B  )

* A A ; A A

B  B B  B ( với A 0 ; B0 ) ;

A A.B

(

B  B Với AB 0 ; B0 )

* A A B B

B  ( Với B > ) ;

1 A B ( A B )

A - B

A B A B

  

 

 

* C D C.( A B ) D.( A B )

A - B

A B A B

  

 

  ( Với A 0 ; B0 ; A ≠ B )

* 2

A2 A  1 ( A 1 ) ; ( A1 )  A A1 ( Với A  ) * A2 - 2AB + B2 = ( A – B )2 ; A – AB + B = (

( A B ) ( Với A 0 ; B0 ) * A2 – B2 = ( A – B )( A + B ) ; A – B = ( A B)( A B)

* A3 - B3 = ( A – B )( A2 + AB + B2 ) ; 3

A  B ( A B)(A - AB + B )

* ( A – B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 ; ( A +B )2 = A + 2B A + B2 ( Với A  ) * x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 – 2x1x2 ; x13 + x32 = ( x1 + x2 )3 – 3x1x2(x1 + x2 )

*( x1 - x2 )2 = x12 + x22 - 2x1x2  2

1 2

x x  x x 2x x

* A + A A( A1 ) ( A  ) ; A – =  A 1  A 1 

*   2 2

AB  B - A A - 2B AB

*

2

A B A B ( A B) ( A B)

A - B

A B A B

      

  ( Với A 0 ; B0 ; A ≠ B )

* n + n

*

2

A B A B ( A B) ( A B)

A - B

A B A B

    

 

  (Với A 0 ; B0 ; A ≠ B )

* Bảy đẳng thức đáng nhớ :

1) Bình phương tổng : ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2 2) Bình phương hiệu : ( A - B )2 = A2 - 2AB + B2 3) Hiệu bình phương : A2 – B2 = ( A – B )( A + B )

4)Lập phương tổng : ( A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 4)Lập phương tổng : ( A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5)Lập phương hiệu : ( A - B )3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 6) Tổng lập phưong : A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2 ) 7) Hiệu lập phưong : A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2 )

CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT

1) Hàm số bậc :

a) Hàm số bậc hàm số cho công thức y = ax + b ( a ≠0 )trong a , b số thực xác định ( b = ta có hàm số dạng y = ax )

b) ) Hàm số bậc y = ax + b xác định với số thực x , đồng biến R a > nghịch biến R a <

2) Hệ số góc đường thẳng - Đường thẳng song song đường thẳng cắt

a) Đường thẳng y = ax + b ( a ≠ ) ( d ) có a hệ số góc b tung độ góc b) Cho hai đường thẳng ( d1 ) : y = a1x + b1 ( a ≠0 ) ( d2 ) : y = a2x + b2 ( a ≠ )

* ( d1 ) // ( d2 )  a1 = a2 b1 ≠ b2 * ( d1 ) cắt ( d2 )  a1 ≠ a2

* ( d1 )  ( d2 )  a1 = a2 b1 = b2 * ( d1 ) ⊥ ( d2 )  a1.a2 = -

3) Hệ phương trình bậc hai ẩn :

* Hệ hai phương trình bậc hai ẩn có dạng :

 I ax + by = c (1) a'x + b'y = c' (2)

 

 ( ax + by = c a’x + b’y = c’ phương trình bậc hai ẩn )

*Nếu phương trình (1) (2) có nghiệm chung nghiệm chung gọi nghiệm hệ ( I ) Nếu phương trình (1) (2) khơng có nghiệm chung, ta nói hệ (I) vô nghiệm vô nghiệm * Giải hệ phương trình (I) minh hoạ hình học.Ta vẽ đường thẳng thẳng ( d1) : ax +by = c Và (d2) : a’x + b’y = c’ mặt phẳng toạ độ Oxy

+ ( d1 ) ( d2 ) cắt : Hệ ( I ) có nghiệm + ( d1 ) // ( d2 ) : Hệ ( I ) có vơ nghiệm + ( d1 )  ( d2 ) : Hệ ( I ) có vơ số nghiệm

4) Hệ phương trình tương đương :

5) Hệ hai phương trình bậc hai ẩn :

 

1

1 1 1

2 2 2

2

a c

y

a x + b y = c (d ) b b

I

a x + b y = c (d ) a c

y

b b

    

 

 

    



6)Giải hệ phương trình phương pháp phương pháp cộn đại số

a)Quy tắc :Quy tắc dùng để biến đổi hệ P/ t thành hệ PTTĐ Q/ t gồm hai bước sau * Bước :Từ phương trinh hệ cho ( coi phương trình thứ nhất), ta biểu diễn ẩn theo

ẩn vào phương trình thứ hai để phương trình ( ẩn )

* Bước 2: Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ( phương trình thứ

nhất thường thay bởi hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có bước )

b) Quy tắc cộng đại số : dùng để biến đổi hệ PT thành hệ PTTT Quy tắc gồm hai bước sau * Bước Cộng hay trừ vế hai p/t hệ phương trình cho để hệ phương trình * Bước 2:Dùng phương pháp thay cho hai p/t hệ (và giữ nguyên phương trình kia) 7) Giải toán cách lập hệ phương trình :

Các bước giải tốn cách lập hệ phương trình

BƯỚC 1: Lập hệ phương trình : -Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng BƯỚC 2: Giải hệ phương trình

BƯỚC : Trả lời Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình, nghiệm thoả mãn điều kiện ẩn, nghiệm không thoả mãn, kết luận

8) Hàm số đồ thị hàm hàm số y = ax2 ( a ≠ )

a) Tính chất hàm số y = ax2 ( a ≠ ):

* Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > * Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x >

b)Đồ thị hàm hàm số y = ax2 ( a ≠ ) đường cong qua gốc toạ độ nhận trục

Oy làm trục đối xứng Đường cong gọi Parabol với đỉnh O * Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh , O điểm thấp đồ thị * Nếu a < đồ thị nằm phía trục hồnh , O điểm thấp đồ thị

9)Phương trình bậc hai ẩn ( nói gọn phương trình bậc hai ) phương trình có dạng

ax2 + bx + c = x ẩn ; a , b , c số cho trước gọi hệ số a ≠

a) Công thức nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) ; Δ = b2 – 4ac

* Nếu Δ > phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 - b + ; x2 - b

2a 2a

  

 

* Nếu Δ = phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - b 2a * Nếu Δ < phương trình vơ nghiệm

b) Cơng thức nghiệm thu gọn phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ )

Δ’ = b’2 – ac ( b’ = b

2 hay b = 2b’ )

* Nếu Δ’ > phương trình có hai nghiệm phân biệt :

' ' ' '

1

- b + - b

x ; x

a a

  

 

* Nếu Δ’ = phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -

'

b a * Nếu Δ’ < phương trình vơ nghiệm

c) Nếu a + b + c = phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) có nghiệm x1 = x2 = c a

d) Nếu a - b + c = phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) có nghiệm x1 = - x2 = - c a

10) Hệ thức Viète :

Nếu x1 x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ )

1

1

b

x x

a c x x

a     



 



11) Nếu hai số x1 x2 có tổng S = x1 + x2 tích P = x1 x2 x1 x2 hai nghiệm phương trình x2 – Sx + P = ( Điều kiện S2 – 4P  )

12) Nếu x1 x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) x1 ; x2 hai nghiệm

đối

1

b

x x

a c x x

a      



 



13) Nếu x1 x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) x1 ; x2 hai nghiệm

nghịch đảo

1

1

b

x x

a c

x x

a     



  



14) Với n N* , ta có :

 2 2

(n + 1) n - n n + (n + 1) n - n n +

1 1

n(n + 1)

(n + 1) nn n + 1 n + n - n (n + 1)   n  n +

15) Cơng thức tính khoảng cách d hai điểm A(x1 ; y1) B(x2 ; y2)

d = AB = x2x1 2 y2y12

16) Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a ≠0 ) có nghiệm x1 , x2 điều kiện dể phương trình bậc hai :

17) A B B 2 A = B

    

 ; *

2

A  B A B ; A BA = B ( A > ; B > )

18 )

   

2 3

1 2

2

2 3

1 1 2 1 2

x x x x

1 1

;

x x x x x x x x

 

   

19) ( x1 - x2 )3 = x13 - 3x21 x2 +3x1x22 - x32  x13 - x32 = (x1 - x2)3 - 3x1 x2( x1 - x2 )