Tài Liệu Môn Toán Lớp 9 Hình Học

và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.. tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.. 12) Trong một đường tròn hai cung chắ[r]

(1)

Người biên soạn : Phạm Năng Hiền GV : TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU

TÀI LIỆU MƠN TỐN LỚP HÌNH HỌC

CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1) Hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông:

*AB2 = BH BC ; AC2 = HC BC

* AH 2 = BH HC

* AB AC = AH BC

* 2 12 12 AH  AB  AC

* ΔABC vuông A  AB2 + AC 2 = BC2 ( Định lý Pythagore

2)Tỷ số lưọng giác góc nhọn :

Sin AB BC   (= ) Cos AC BC   = Tg AB AC

  = ; Cotg AC AB   =

*Với góc nhọn  ; ta có Sinα Sinβ (hoặc Cos = Cosβ ; tg = tgβ ; cotg = cotgβ )  = * Nếu α + β = 900

ta có :Sin= Cosβ ; Cosα = Sinβ ; Tgα = Cotgβ ; Cotgα = Tgβ *Tỷ số lượng giác số góc đặc biệt

Tỷ số lượng giác

300 450 600

2 Cos 2 Tg 3

Cotg 3

3

3)Giải tam giác vuông :

B A C H A B C  Sin B a c b

A C

a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC vuông A * b = a.sinB = a.CosC ; c = a sinC = a cosB

* b = c.tgB = c.cotgC ; c = b.tgC = b.cotgB huyền đối kề huyền đối kề kề đối

*ΔABC vuông A  BC = 2

AB AC

AB = 2

BC AC ; AC = 2

BC AB

 ΔABC vuông A có C= 300 AB = BC

2

 ΔABC vng A có B= 600 AC = BC

(2)

CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRÒN 1)Định nghĩa xác định đường tròn:

a) Định nghĩa : Tập hợp điểm cách điểm O cố định khoảng không đổi R đường

tròn tâm O, bán kính R Kí hiệu : đường trịn ( O; R ) hay đường tròn ( O )

b) Vị trí điểm đường trịn :

* Điểm M nằm đường tròn ( O ; R )  OM = R * Điểm M nằm ngồi đường trịn ( O ; R )  OM > R * Điểm M nằm đường tròn ( O ; R )  OM < R c) So sánh độ dài dây đường kính :

* Định lý : Đường kính dây cung lớn đường tròn d) Sự xác định đường tròn:

Định lí :

* Đường trịn qua ba đỉnh A, B, C tam giác ABC gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( Tam giác ABC gọi tam giác nội tiếp đường tròn )

* Tâm đường tròn ngoại tiếp t/g giao điểm đường trung trực cạnh tam giác 2) Tính chất đối xứng đường tròn :

N O

I M

B A

* Định lí : Trong đường tròn :

K I

O

D C

B

A

2)Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn :

Ghi : d = OH khoảng cách từ tâm đ tròn ( O, R ) đến đ thẳng a *Đường thẳng đường trịn khơng giao : - Số điểm chung : ; - Hệ thức : d > R

*Đường thẳng đường tròn cắt : - Số điểm chung : ;- Hệ thức : d < R

a) Liên hệ đường kính dây cung:

*Định lí : Đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây

(Đường trịn ( O ) có OM ⊥ AB I  I trung điểm AB )

*Định lí đảo : đường kính qua trung điểm dây (dây khơng

là đường kính ) vng góc với dây (Đường trịn ( O ) có OM

cắt AB I I trung điểm dây AB  OM ⊥ AB I )

b) Liên hệ dây khoảng cách đến tâm :

+ Hai dây cách tâm

(Đường trịn ( O )có AB = CD, OI ⊥AB tạiI, OK ⊥CD K  OI = OK ) + Hai dây cách tâm

(Đ Trịn (O) có OI ⊥AB I, OK⊥CD K, OI = OK  AB = CD) + Dây lớn gần tâm ;+ Dây gần tâm lớn

O

a

d

(3)

+Trường hợp đường thẳng a gọi cát tuyến đường tròn ( O, R )

* Đường thẳng đường tròn tiếp xúc : - Số điểm chung : ; - Hệ thức : d = R

+ Trường hợp đường thẳng a gọi tiếp tuyến đường tròn ( O ; R ) H gọi tiếp điểm

* Định lí 1:( t/c tiếp tuyến ) Nếu đ.thẳng tiếp tuyến đ trịn vng góc với

b.kính qua t điểm (Nếu a tiếp tuyến đ trịn tâm O H tiếp điểm a ⊥OH hay a ⊥d )

* Định lí ( dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến ) Nếu đường thẳng qua điểm đưòng tròn

và vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn

( Đường tròn ( O , R ) có OH = R OH ⊥ a a tiếp tuyến đường trịn ( O ) )

* Định lí 3: ( tính chất hai tiếp tuyến cắt ) Nếu MA MB hai tiếp tuyến đường tròn (O)

M

B A

O

+ Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao

điểm đường phân giác tam giác

4) Vị trí tương đối hai đường trịn :

Ghi : d khoảng cách hai tâm hai đường tròn ( O; R) ( I ; r ), d = OI, giả sử R > r >

* Hai đường trịn khơng giao :

- Số điểm chung : ;-Hệ thức d , R , r :

O

Ở : d > R + r Đựng : d < R – r Đặc biệt : đồng tâm ( d = )

* Hai đường tròn cắt : - Số điểm chung :

- Hệ thức d, R, r là: R – r < d < R + r

+ Tính chất đường nối tâm : Nếu hai đường tròn cắt đường nối tâm vng góc với dây chung qua trung điểm dây chung ( Nếu đường tròn (O) đường tròn (I) cắt hai điểm A B O

a d

H

( A B hai tiếp điểm ) : + MA = MB

+ OM phân giác góc AOB + MO phân giác góc AMB

+ OM ⊥ AB I ; I trung điểm AB ( OM trung trực AB )

A

B C

O

* Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC gọi đường tròn nội tiếp tam giác ABC ( Tam giác ABC gọi tam giác ngoại tiếp đường tròn )

B A

I O

r R

F

E I

O

H

(4)

OI ⊥ AB H HA = HB )

I A

O I

A O

Tiếp xúc : d = R + r Tiếp xúc : d = R – r + Tính chất đường nối tâm : Nếu hai đ trịn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm

CHƯƠNG III GÓC VÀ ĐƯỜNG TRỊN

1) Góc tâm :Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn

m

y x

B A

O

*So sánh hai cung :

D

C B

A

O

2) Góc nội tiếp :

* Định nghĩa : Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh cắt đường trịn * Tính chất :

- Định lí : Số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn - Hệ : Trong đường tròn :

+ Các góc nội tiếp chắn cung cung + Mọi góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng

+ Mọi góc nội tiếp (nhỏ hay 900 )có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung

( Góc tâm AOB chắn cung AB )

n

+ sđ AB = sđ CD ABCD

+ sđAB sđCD ABCD

Đối với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn

+ AB = CD ABCD

+ AB > CD ABCD * Hai đường tròn tiếp xúc :

- Số điểm chung : - Hệ thức d, R, r :

* Số đo cung : + AOB sđ AB

+ Số đo cung nửa đường tròn 1800

(5)

F

E

D C

O

P N M

O

C B

A

( Đường tròn ( O ; OA) có : (Đường trịn ( O ) đường kính MN có :

sđABC

 sđAC ; ABC 1AOC

 ) MPN 90 ; CFDCED )

3) Tứ giác nội tiếp

4) Góc tạo tiếp tuyến dây cung :

x

B A

O

5) Góc có đỉnh bên đường tròn

*Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung (đi từ tiếp điểm ) nửa số đo cung bị chắn

 SđxAB  sđAB

* Trong đường tròn số đo góc nội tiếp số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung

 xABACB ( Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung ;góc nội tiếp chắn cung AB )

C

Tứ giác ABCD có ABDACD = ( tứ giác ABCD có ABD ACDcùng cạnh AD góc  )  tứ giác ABCD nội tiếp )

D A

(6)

E

D

C

B A

O

I D

C

B A

O

n

B A

O

9) Diện tích hình trịn , diện tích hình quạt trịn :

Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn (một cung nằm hai cạnh góc cung nằm

giữa tia đối hai cạnh ) AEC 1(

 sđAC + sđDB )

6) Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn : Số đo góc có đỉnh

bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn hai

cạnh góc Ta có : sđAIB

 (sđAB - sđCD )

8) Độ dài đường trịn ( cịn gọi chu vi hình tròn ), độ dài cung tròn :

* Độ dài đường tròn ( gọi chu vi hình trịn ) : C = 2R ( R bán kính đường trịn ;   3,14

* Độ dài cung tròn : LAB Rn 180   

 ( R bán kính đường trịn ; n0 số đo độ cung

* Diện tích hình trịn : S = R2

* Diện tích hình quạt trịn :

S =

2

AB

L R R n

hay S =

360

 

( R bán kính hình trịn ; n0 số đo độ

hình quạt ; L độ dài cung AB ;  3,14 )

7) Tứ giác nội tiếp :

D

C

B A

O

* Định nghĩa : tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn gọi tứ giác nội tiêp đương trịn

* Định lí ( Tính chất ) : Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800

* Định lí đảo ( cách nhận biết ) : Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường

(7)

B A

O

CHƯƠNG IV : HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN – HÌNH CẦU

1) HÌNH TRỤ : Quay hình chữ nhật ABCD vịng quanh cạnh CD cố định, hình phát sinh hình trụ

* Đáy hai hình trịn ( D ; AD ) ( C ; CB ) thuộc hai mặt phẳng song song

* Đường thẳng CD trục hình trụ

* AB đường sinh ( AB quét nên mặt xung quanh hình trụ )

a) Diện tích xung quanh hình trụ :

Sxq = 2πR h ( R bán kính hình trịn đáy ) ; h chiều cao hình trụ

b) Diện tích tồn phần : Stp = Sxq + 2Sđáy

c) Thể tích hình trụ : V = π R2.h

2) HÌNH NĨN : Quay hình tam giác ABC vng A vịng quanh cạnh AB cố định, hình phát sinh HÌNH NĨN

* Đáy hình trịn ( A ; AC ) ; Đỉnh B

* BC đường sinh ( BC quét nên mặt xung quanh hình nón ) * Độ dài AB chiều cao hình nón ; Đường thẳng AB trục hình nón a) Diện tích xung quanh hình nón :

Sxq= πRl ( R bán kính hình tròn đáy ; l độ dài đường sinh )

b) Diện tích tồn phần : Stp = Sxq + S

c) Thể tích hình nón : V = 1 3πR

2.h ( h chiều cao hình nón )

3) Hình cầu : Quay nửa hình trịn tâm O, bán kính R vịng quanh đường kính AB cố định hình phát sinh hình cầu tâm O , bán kính R

a) Diện tích mặt cầu : S = 4π R2 ( R bán kính hình cầu )

b) Thể tích hình cầu :

V = πR

3

A

B h

R C D

A C

B

h l

R

đáy

B O A

(8)

CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý VÀ HỌC THUỘC ĐỂ ÁP DỤNG LÀM TOÁN

1) Tg = Sin Cos  

 ; Cotg

Cos Sin  



 ; Tg Cotgα = ; Sin2

Cos

  =

2) Nếu Sinβ < Sin < Sin  β < <  * Nếu Tgβ< Tg< Tg β<  <  * Nếu Cosβ< Cos < Cos β>  > * Nếu Cotgβ< Cotg < Cotg β>  >  3) Vị trí điểm đường tròn :

a) Điểm M nằm đường tròn ( O; R )  OM = R b) Điểm M nằm ngồi đường trịn ( O; R )  OM > R c) Điểm M nằm đường tròn ( O; R )  OM < R

M 4) a) Nếu điểm M thuộc đường trịn đường kính AB AMB 1v = 90  b)Nếu ΔAMB vng M tâm đường trịn ngoại tiếp ΔAMB trung điểm O cạnh huyền AB OA = OB = OM = AB

5) Nếu tam giác ABC vuông cân A có cạnh góc vng AB = AC = a bán kính đường trịn ( O ; R ) ngoại tiếp ΔABC

OB = OA = OC = R = AB a

2

 

6) a) Khi đường thẳng a đường tròn ( O ; R ) có hai điểm chung A B ta nói đường thẳng

a O

B H

A

7) a) Khi đường thẳng a đường tròn ( O; R ) có điểm chung C ,ta nói đường thẳng a

R

CH

a O

8) Đường thẳng a tiếp tuyến ( O ) ; C tiếp điểm a ⊥ OC

9) Nếu A điểm cung NM NAAM

A O B

a đường tròn ( O ) cắt Đường thẳng a gọi cát tuyến đường tròn ( O ; R )

b) OH ⊥a H Đuờng thẳng a đường tròn ( O ; R ) cắt OH < R

R

và đường tròn ( O ) tiếp xúc Ta cịn nói đường thẳng a tiếp tuyến đường tròn ( O; R ) Điểm C gọi tiếp điểm

(9)

N M

A

O I

Q P

N M

O

C D

B A

** Trong đường tròn đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm qua điểm cung căng dây

14) Đường tròn ( O ) có PQ đường kính ; MN dây cung ; MI = IN PQ NM = I

 

15) Trong đường trịn đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại

E

O

D C

17) Với đa giác nội tiếp đường tròn ( O; R ) : a) Nếu lục giác có cạnh a a = R

b) Nếu hình vng có cạnh b b = R c) Nếu tam giác có cạnh c c = R

18) Đường tròn ( O; R ) có AB 60 AB cạnh lục giác nội tiếp  AB = R 19) Đường trịn ( O; R ) có CD 90 CD cạnh hình vng nội tiếp  CD = R 20)Đường tròn ( O; R ) có EF 120 thì EF cạnh tam giác nội tiếp  EF = R

21) Tam giác có cạnh a S =

2

a

4 đường cao h = a

2

22) Nếu tứ giác ABCD có DACDBC tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

10) Đường tròn ( O ) nội tiếp tam giác ABC ( Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( O ) ) O giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC

11) Đường tròn ( O ) ngoại tiếp tam giác ABC ( Tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) ) O giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC

12) Đường trịn ( O ) có AB // DC (AB CD dây )  ADBC

13) Đường trịn ( O ) có PQ đường kính ; MN dây có PNPM PQ NM = I

 

* Trong đường tròn hai cung bị chắn hai

a) Đường trịn ( O ) có E điểm cung CD  OE ⊥ CD

b) Đường trịn ( O ) có OE ⊥ CD ( E thuộc cung CD )  E điểm

chính cung CD hay sđCE = sđED =

2sđCD

16) Hình thang ABCD nội tiếp đường trịn  ABCD hình thang cân 12) Trong đường tròn hai cung chắn hai dây song song

(10)

D C

B

A

24)

B A

C O

25) Đường tròn ( O; R ) có OB = R OB ⊥ AC B  AC tiếp tuyến đường tròn ( O )

O

M N

B A

y '

x' t

y

x O

23)Ox’ tia phân giác góc xOt ; Oy’ tia phân giác góc tOy góc xOt kề bù với góc tOy suy Ox’ ⊥ Oy’  x'Oy' = 900

Nếu CA CB hai tiếp tuyến đường tròn ( O ) ( A B hai tiếp điểm ) :

+ CA = CB ; OA ⊥ CA ; OB ⊥ CB

+ OC ⊥ AB ; OC đường trung trực AB

+ OC tia phân giác góc AOB ; CO tia phân giác góc ACB

A B C O

26) a) Đường trịn ( O) có AB đường kính B điểm

cung MN ( tức sđNBsđ MB

 sđ NM )  AB ⊥ NM I

b)Đường trịn ( O) có AB đường kính AB ⊥NM I  B điểm

chính cung MN ( tức sđNBsđ MB

 sđ NM )

c) H thuộc cung AN  sđAN = sđAH + sđHN

d) sđNBsđ MBvà B MN B điểm cung MN I