Bai giang XSTK chuong 3

• Vectơ ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) được gọi là rời rạc nếu tất cả các biến ngẫu nhiên thành phần X, Y là rời rạc. • Bảng phân bố xác suất của vectơ ngẫu nhiên rời rạc hai chiều[r]

(1)

Chương Vectơ ngẫu nhiên hai chiều

Bài 1: Vectơ ngẫu nhiên rời rạc hai chiều

1) Bảng phân bố xác suất vectơ ngẫu nhiên rời rạc hai chiều

• Vectơ ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) gọi rời rạc tất biến ngẫu nhiên thành phần X, Y rời rạc

• Bảng phân bố xác suất vectơ ngẫu nhiên rời rạc hai chiều

(X, Y ) (hay gọi bảng phân bố xác suất đồng thời hai

(2)

biến ngẫu nhiên X, Y )

(3)

(4)

biến ngẫu nhiên X, Y )

(5)

X\Y y1 y2 yj ym

x1 p(x1, y1) p(x1, y2) p(x1, yj) p(x1, ym)

x2 p(x2, y1) p(x2, y2) p(x2, yj) p(x2, ym)

· · · ·

xi p(xi, y1) p(xi, y2) p(xi, yj) p(xi, ym)

· · · ·

xn p(xn, y1) p(xn, y2) p(xn, yj) p(xn, ym)

,

(6)

trong

• x1, x2, , xn giá trị biến ngẫu nhiên X,

• y1, y2, , ym giá trị biến ngẫu nhiên Y ,

• p(xi, yj) = P(X = xi, Y = yj) xác suất để X xi Y

bằng yj

• Ta có 

  

  

0 ≤ p(xi, yj) ≤ 1, i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , m,

n

X

i=1

m

X

j=1

p(xi, yj) =

(7)

trong

bằng yj

• Ta có 

  

  

0 ≤ p(xi, yj) ≤ 1, i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , m,

n

X

i=1

m

X

j=1

(8)

trong

bằng yj

• Ta có 

  

  

0 ≤ p(xi, yj) ≤ 1, i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , m,

n

X

i=1

m

X

j=1

p(xi, yj) =

(9)

trong

bằng yj

• Ta có 

  

0 ≤ p(xi, yj) ≤ 1, i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , m,

n

X

m

X

(10)

2) Bảng phân bố xác suất X, Y

Biến ngẫu nhiên X có bảng phân bố xác suất

X x1 x2 xn

P P(X = x1) P(X = x2) P(X = xn)

,

trong

P(X = xi) = p(xi, y1) + p(xi, y2) + · · · + p(xi, ym)

(11)

2) Bảng phân bố xác suất X, Y

Biến ngẫu nhiên X có bảng phân bố xác suất

X x1 x2 xn

P P(X = x1) P(X = x2) P(X = xn)

,

trong

(12)

Tương tự biến ngẫu nhiên Y có bảng phân bố xác suất

Y y1 y2 ym

P P(Y = y1) P(Y = y2) P(Y = ym)

,

trong

P(Y = yj) = p(x1, yj) + p(x2, yj) + · · · + p(xn, yj)

(13)

• Nhắc lại hai biến ngẫu nhiên X Y độc lập P(X = a, Y = b) = P(X = a)P(Y = b) với a, b hai giá trị X, Y

Trong trường hợp hai biến ngẫu nhiên X Y độc lập

P(X = xi, Y = yj) = P(X = xi)P(Y = yj) với i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , m

Do tồn i, j mà

P(X = xi, Y = yj) 6= P(X = xi)P(Y = yj) hai biến ngẫu

(14)

Do tồn i, j mà

P(X = xi, Y = yj) 6= P(X = xi)P(Y = yj) hai biến ngẫu

nhiên X, Y khơng độc lập

(15)

(16)

3) Hiệp phương sai hệ số tương quan

• Hiệp phương sai (hay cịn gọi Covariance) hai biến ngẫu nhiên X, Y

cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ),

trong E(XY ) =

n

X

i=1

m

X

j=1

xiyjp(xi, yj)

(17)

• Hiệp phương sai (hay gọi Covariance) hai biến ngẫu nhiên X, Y

cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ),

trong E(XY ) =

n

X

i=1

m

X

j=1

(18)

• Hiệp phương sai (hay gọi Covariance) hai biến ngẫu nhiên X, Y

cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ),

trong E(XY ) =

n

X

i=1

m

X

j=1

xiyjp(xi, yj)

(19)

• Hệ số tương quan hai biến ngẫu nhiên X, Y

ρ(X, Y ) = p cov(X, Y )

D(X)pD(Y )

khi D(X) > D(Y ) >

Nếu D(X) = D(Y ) = ta quy ước ρ(X, Y ) =

• Với a, b ∈ R, ta có

(20)

ρ(X, Y ) = p cov(X, Y )

D(X)pD(Y )

khi D(X) > D(Y ) >

D(aX + bY ) = a2D(X) + b2D(Y ) + 2ab cov(X, Y )

(21)

ρ(X, Y ) = p cov(X, Y )

D(X)pD(Y )

khi D(X) > D(Y ) >

(22)

ρ(X, Y ) = p cov(X, Y )

D(X)pD(Y )

khi D(X) > D(Y ) >

(23)

ρ(X, Y ) = p cov(X, Y )

D(X)pD(Y )

khi D(X) > D(Y ) >

(24)

ρ(X, Y ) = p cov(X, Y )

D(X)pD(Y )

khi D(X) > D(Y ) >

(25)

4) Phân bố có điều kiện kỳ vọng có điều kiện

• Bảng phân bố xác suất X với điều kiện (Y = yj)

X|Y = yj x1 xn

P P(X = x1|Y = yj) P(X = xn|Y = yj)

,

trong

P(X = xi|Y = yj) = P(X = x

i, Y = yj) P(Y = yj)

• Kỳ vọng X với điều kiện (Y = yj)

E[X|Y = yj] =

n X

i=1

(26)

X|Y = yj x1 xn

,

trong

P(X = xi|Y = yj) = P(X = x

E[X|Y = yj] =

n X

i=1

xiP(X = xi|Y = yj)

(27)

X|Y = yj x1 xn

,

trong

P(X = xi|Y = yj) = P(X = x

E[X|Y = yj] =

n X

i=1

(28)

X|Y = yj x1 xn

,

trong

P(X = xi|Y = yj) = P(X = x

E[X|Y = yj] =

n X

i=1

xiP(X = xi|Y = yj)

(29)

X|Y = yj x1 xn

,

trong

P(X = xi|Y = yj) = P(X = x

(30)

• Tương tự, bảng phân bố xác suất Y với điều kiện

(X = xi)

Y |X = xi y1 ym

P P(Y = y1|X = xi) P(Y = ym|X = xi)

,

trong

P(Y = yj|X = xi) = P(X = x

i, Y = yj) P(X = xi)

• Kỳ vọng Y với điều kiện (X = xi)

E[Y |X = xi] =

m X

j=1

yjP(Y = yj|X = xi)

(31)

(X = xi)

Y |X = xi y1 ym

,

trong

P(Y = yj|X = xi) = P(X = x

E[Y |X = xi] =

m X

j=1

(32)

(X = xi)

Y |X = xi y1 ym

,

trong

P(Y = yj|X = xi) = P(X = x

E[Y |X = xi] =

m X

j=1

yjP(Y = yj|X = xi)

(33)

(X = xi)

Y |X = xi y1 ym

,

trong

P(Y = yj|X = xi) = P(X = x

(34)

Ví dụ

Cho X, Y hai biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân bố xác suất đồng thời

X\Y

−2 0, 0, 15 0,

1 5k 3k 0, 05 0, 07

4 2k 0, 13

a) Tìm k Tìm bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên thành phần X Y Hai biến ngẫu nhiên X Y có độc lập không?

(35)

b) Tính phương sai D(2X − 3Y )

c) Tìm bảng phân bố xác suất Y với điều kiện X = 1, tính

(36)

Lời giải

a) Ta có k ≥

0, + 0, 15 + 0, + + 5k + 3k + 0, 05 + 0, 07 + + 2k + + 0, 13 =

Do

10k = 0, ⇐⇒ k = 0, 04

(37)

Lời giải

a) Ta có k ≥

0, + 0, 15 + 0, + + 5k + 3k + 0, 05 + 0, 07 + + 2k + + 0, 13 =

Do

(38)

Ta có

P(X = −2) = 0, + 0, 15 + 0, + = 0, 35,

P(X = 1) = 5k + 3k + 0, 05 + 0, 07 = 0, 44,

P(X = 4) = + 2k + + 0, 13 = 0, 21

Do bảng phân bố xác suất X

X −2

P 0, 35 0, 44 0, 21

(39)

Ta có

P(X = −2) = 0, + 0, 15 + 0, + = 0, 35,

P(X = 1) = 5k + 3k + 0, 05 + 0, 07 = 0, 44,

P(X = 4) = + 2k + + 0, 13 = 0, 21

X −2

(40)

Ta có

P(X = −2) = 0, + 0, 15 + 0, + = 0, 35,

P(X = 1) = 5k + 3k + 0, 05 + 0, 07 = 0, 44,

P(X = 4) = + 2k + + 0, 13 = 0, 21

X −2

P 0, 35 0, 44 0, 21

(41)

Ta có

P(X = −2) = 0, + 0, 15 + 0, + = 0, 35,

P(X = 1) = 5k + 3k + 0, 05 + 0, 07 = 0, 44,

P(X = 4) = + 2k + + 0, 13 = 0, 21

X −2

(42)

Ta có

P(Y = 0) = 0, + 5k + = 0, 3,

P(Y = 2) = 0, 15 + 3k + 2k = 0, 35,

P(Y = 3) = 0, + 0, 05 + = 0, 15,

P(Y = 5) = + 0, 07 + 0, 13 = 0, Vậy Y có bảng phân bố xác suất

Y

P 0, 0, 35 0, 15 0,

(43)

Ta có

P(Y = 0) = 0, + 5k + = 0, 3,

P(Y = 2) = 0, 15 + 3k + 2k = 0, 35,

P(Y = 3) = 0, + 0, 05 + = 0, 15,

Y

(44)

Ta có

P(Y = 0) = 0, + 5k + = 0, 3,

P(Y = 2) = 0, 15 + 3k + 2k = 0, 35,

P(Y = 3) = 0, + 0, 05 + = 0, 15,

Y

P 0, 0, 35 0, 15 0,

(45)

Ta có

P(Y = 0) = 0, + 5k + = 0, 3,

P(Y = 2) = 0, 15 + 3k + 2k = 0, 35,

P(Y = 3) = 0, + 0, 05 + = 0, 15,

P(Y = 5) = + 0, 07 + 0, 13 = 0,

Vậy Y có bảng phân bố xác suất

Y

(46)

Ta có

P(Y = 0) = 0, + 5k + = 0, 3,

P(Y = 2) = 0, 15 + 3k + 2k = 0, 35,

P(Y = 3) = 0, + 0, 05 + = 0, 15,

Y

P 0, 0, 35 0, 15 0,

(47)

Ta thấy

P(X = −2, Y = 0) = 0, 1,

P(X = −2) = 0, 35,

P(Y = 0) = 0, Do

P(X = −2, Y = 0) 6= P(X = −2)P(Y = 0)

(48)

Ta thấy

P(X = −2, Y = 0) = 0, 1,

P(X = −2) = 0, 35,

P(Y = 0) = 0, Do

P(X = −2, Y = 0) 6= P(X = −2)P(Y = 0)

Vậy hai biến ngẫu nhiên X Y không độc lập

(49)

Ta thấy

P(X = −2, Y = 0) = 0, 1,

P(X = −2) = 0, 35,

P(Y = 0) = 0,

Do

P(X = −2, Y = 0) 6= P(X = −2)P(Y = 0)

(50)

Ta thấy

P(X = −2, Y = 0) = 0, 1,

P(X = −2) = 0, 35,

P(Y = 0) = 0, Do

P(X = −2, Y = 0) 6= P(X = −2)P(Y = 0)

Vậy hai biến ngẫu nhiên X Y không độc lập

(51)

Ta thấy

P(X = −2, Y = 0) = 0, 1,

P(X = −2) = 0, 35,

P(Y = 0) = 0, Do

P(X = −2, Y = 0) 6= P(X = −2)P(Y = 0)

(52)

b) Kỳ vọng X

E(X) = (−2) × 0, 35 + × 0, 44 + × 0, 21

= 0, 58

E(X2) = (−2)2 × 0, 35 + 12 × 0, 44 + 42 × 0, 21

= 5,

Phương sai X

D(X) = E(X2) − (E(X))2

= 5, − 0, 582

= 4, 8636

(53)

b) Kỳ vọng X

E(X) = (−2) × 0, 35 + × 0, 44 + × 0, 21 = 0, 58

E(X2) = (−2)2 × 0, 35 + 12 × 0, 44 + 42 × 0, 21

= 5,

Phương sai X

D(X) = E(X2) − (E(X))2

= 5, − 0, 582

(54)

b) Kỳ vọng X

E(X) = (−2) × 0, 35 + × 0, 44 + × 0, 21 = 0, 58

E(X2) = (−2)2 × 0, 35 + 12 × 0, 44 + 42 × 0, 21

= 5,

Phương sai X

D(X) = E(X2) − (E(X))2

= 5, − 0, 582

= 4, 8636

(55)

b) Kỳ vọng X

E(X) = (−2) × 0, 35 + × 0, 44 + × 0, 21 = 0, 58

E(X2) = (−2)2 × 0, 35 + 12 × 0, 44 + 42 × 0, 21

= 5,

Phương sai X

D(X) = E(X2) − (E(X))2

= 5, − 0, 582

(56)

b) Kỳ vọng X

E(X) = (−2) × 0, 35 + × 0, 44 + × 0, 21 = 0, 58

E(X2) = (−2)2 × 0, 35 + 12 × 0, 44 + 42 × 0, 21

= 5,

Phương sai X

D(X) = E(X2) − (E(X))2

= 5, − 0, 582

= 4, 8636

(57)

b) Kỳ vọng X

E(X) = (−2) × 0, 35 + × 0, 44 + × 0, 21 = 0, 58

E(X2) = (−2)2 × 0, 35 + 12 × 0, 44 + 42 × 0, 21

= 5,

Phương sai X

D(X) = E(X2) − (E(X))2

= 5, − 0, 582

(58)

b) Kỳ vọng X

E(X) = (−2) × 0, 35 + × 0, 44 + × 0, 21 = 0, 58

E(X2) = (−2)2 × 0, 35 + 12 × 0, 44 + 42 × 0, 21

= 5,

Phương sai X

D(X) = E(X2) − (E(X))2

= 5, − 0, 582

= 4, 8636

(59)

Kỳ vọng Y

E(Y ) = × 0, + × 0, 35 + × 0, 15 + × 0,

= 2, 15

E(Y 2) = 02 × 0, + 22 × 0, 35 + 32 × 0, 15 + 52 × 0,

= 7, 75

Phương sai Y

D(Y ) = E(Y 2) − (E(Y ))2

= 7, 75 − 2, 152

(60)

Kỳ vọng Y

E(Y ) = × 0, + × 0, 35 + × 0, 15 + × 0, = 2, 15

E(Y 2) = 02 × 0, + 22 × 0, 35 + 32 × 0, 15 + 52 × 0,

= 7, 75

Phương sai Y

D(Y ) = E(Y 2) − (E(Y ))2

= 7, 75 − 2, 152

= 3, 1275

(61)

Kỳ vọng Y

E(Y ) = × 0, + × 0, 35 + × 0, 15 + × 0, = 2, 15

E(Y 2) = 02 × 0, + 22 × 0, 35 + 32 × 0, 15 + 52 × 0,

= 7, 75

Phương sai Y

D(Y ) = E(Y 2) − (E(Y ))2

= 7, 75 − 2, 152

(62)

Kỳ vọng Y

E(Y ) = × 0, + × 0, 35 + × 0, 15 + × 0, = 2, 15

E(Y 2) = 02 × 0, + 22 × 0, 35 + 32 × 0, 15 + 52 × 0,

= 7, 75

Phương sai Y

D(Y ) = E(Y 2) − (E(Y ))2

= 7, 75 − 2, 152

= 3, 1275

(63)

Kỳ vọng Y

E(Y ) = × 0, + × 0, 35 + × 0, 15 + × 0, = 2, 15

E(Y 2) = 02 × 0, + 22 × 0, 35 + 32 × 0, 15 + 52 × 0,

= 7, 75

Phương sai Y

D(Y ) = E(Y 2) − (E(Y ))2

= 7, 75 − 2, 152

(64)

Kỳ vọng Y

E(Y ) = × 0, + × 0, 35 + × 0, 15 + × 0, = 2, 15

E(Y 2) = 02 × 0, + 22 × 0, 35 + 32 × 0, 15 + 52 × 0,

= 7, 75

Phương sai Y

D(Y ) = E(Y 2) − (E(Y ))2

= 7, 75 − 2, 152

= 3, 1275

(65)

Kỳ vọng Y

E(Y ) = × 0, + × 0, 35 + × 0, 15 + × 0, = 2, 15

E(Y 2) = 02 × 0, + 22 × 0, 35 + 32 × 0, 15 + 52 × 0,

= 7, 75

Phương sai Y

D(Y ) = E(Y 2) − (E(Y ))2

(66)

Ta có

E(XY ) = (−2) × × 0, + (−2) × × 0, 15 + (−2) × × 0, + (−2) × × + × × 5k + × × 3k

+ × × 0, 05 + × × 0, 07 + × × + × × 2k

+ × × + × × 0, 13

(67)

= − 0, − 0, + + + 6k

+ 0, 15 + 0, 35 + + 16k + + 2, = 22k + 1,

(68)

Hiệp phương sai

cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y )

= 2, 78 − 0, 58 × 2, 15 = 1, 533

(69)

Hiệp phương sai

cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) = 2, 78 − 0, 58 × 2, 15

(70)

Hiệp phương sai

cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) = 2, 78 − 0, 58 × 2, 15 = 1, 533

(71)

Do

D(2X − 3Y ) = 4D(X) + 9D(Y ) − 12 cov(X, Y )

= × 4, 8636 + × 3, 1275 − 12 × 1, 533

(72)

Do

D(2X − 3Y ) = 4D(X) + 9D(Y ) − 12 cov(X, Y ) = × 4, 8636 + × 3, 1275

− 12 × 1, 533

= 29, 2059

(73)

Do

D(2X − 3Y ) = 4D(X) + 9D(Y ) − 12 cov(X, Y ) = × 4, 8636 + × 3, 1275

(74)

c) Ta có

P(Y = 0|X = 1) = P(X = 1, Y = 0)

P(X = 1)

= 5k

0, 44

= 0,

0, 44

= 20

44,

(75)

c) Ta có

P(Y = 0|X = 1) = P(X = 1, Y = 0)

P(X = 1)

= 5k

0, 44

= 0,

0, 44

= 20

(76)

c) Ta có

P(Y = 0|X = 1) = P(X = 1, Y = 0)

P(X = 1)

= 5k

0, 44

= 0,

0, 44

= 20

44,

(77)

c) Ta có

P(Y = 0|X = 1) = P(X = 1, Y = 0)

P(X = 1)

= 5k

0, 44

= 0,

0, 44

(78)

P(Y = 2|X = 1) = P(X = 1, Y = 2)

P(X = 1)

= 3k

0, 44

= 0, 12

0, 44

= 12

44,

(79)

P(Y = 2|X = 1) = P(X = 1, Y = 2)

P(X = 1)

= 3k

0, 44

= 0, 12

0, 44

= 12

(80)

P(Y = 2|X = 1) = P(X = 1, Y = 2)

P(X = 1)

= 3k

0, 44

= 0, 12

0, 44

= 12

44,

(81)

P(Y = 2|X = 1) = P(X = 1, Y = 2)

P(X = 1)

= 3k

0, 44

= 0, 12

0, 44

= 12

(82)

P(Y = 3|X = 1) = P(X = 1, Y = 3)

P(X = 1)

= 0, 05

0, 44

=

44,

(83)

P(Y = 3|X = 1) = P(X = 1, Y = 3)

P(X = 1)

= 0, 05

0, 44

=

(84)

P(Y = 3|X = 1) = P(X = 1, Y = 3)

P(X = 1)

= 0, 05

0, 44

=

44,

(85)

P(Y = 5|X = 1) = P(X = 1, Y = 5)

P(X = 1)

= 0, 07

0, 44

=

(86)

Bảng phân bố xác suất Y với điều kiện X =

Y |X =

P 20 44 12 44 44 44 Do

E[Y |X = 1] = ×

20

44 + ×

12

44 + ×

5

44 + ×

7 44 = 74 44 = 37 22

(87)

Y |X =

P 20 44 12 44 44 44 Do

E[Y |X = 1] = ×

20

44 + ×

12

44 + ×

5

44 + ×

(88)

Y |X =

P 20 44 12 44 44 44 Do

E[Y |X = 1] = ×

20

44 + ×

12

44 + ×

5

44 + ×

7 44 = 74 44 = 37 22

(89)

Y |X =

P 20 44 12 44 44 44 Do

E[Y |X = 1] = ×

20

44 + ×

12

44 + ×

5

44 + ×

(90)

Y |X =

P 20 44 12 44 44 44 Do

E[Y |X = 1] = ×

20

44 + ×

12

44 + ×

5

44 + ×

7 44 = 74 44 = 37 22

(91)

Bài 2: Vectơ ngẫu nhiên liên tục hai chiều

1) Hàm mật độ xác suất vectơ ngẫu nhiên liên tục hai chiều

• Vectơ ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) gọi liên tục tồn hàm f (x, y) ≥ cho

F (u, v) =

u

Z

−∞

v

Z

−∞

f (x, y)dxdy, ∀(u, v) ∈ R2,

(92)

F (u, v) =

u

Z

−∞

v

Z

−∞

f (x, y)dxdy, ∀(u, v) ∈ R2,

trong F (x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) hàm phân bố xác suất vectơ ngẫu nhiên hai chiều (X, Y )

(93)

F (u, v) =

u

Z

−∞

v

Z

−∞

(94)

• Hàm f (x, y) gọi hàm mật độ xác suất vectơ ngẫu nhiên liên tục hai chiều (X, Y ) hay gọi hàm mật độ xác suất đồng thời biến ngẫu nhiên X, Y

• Hàm f (x, y) cịn ký hiệu fX,Y (x, y)

• Hàm F (x, y) cịn ký hiệu FX,Y (x, y)

(95)

(96)

• Hàm F (x, y) ký hiệu FX,Y (x, y)

(97)

2) Một số tính chất

• f (x, y) ≥ f (x, y) = ∂

2F (x, y)

∂x∂y với (x, y) ∈ R

2.

• P((X, Y ) ∈ D) =

Z Z

D

f (x, y)dxdy với D ⊂ R2

•

+∞

Z

−∞

+∞

Z

−∞

f (x, y)dxdy = hay

Z Z

R2

(98)

• f (x, y) ≥ f (x, y) = ∂

2F (x, y)

2.

• P((X, Y ) ∈ D) =

Z Z

D

•

+∞

Z

−∞

+∞

Z

−∞

f (x, y)dxdy = hay

Z Z

R2

f (x, y)dxdy =

(99)

• f (x, y) ≥ f (x, y) = ∂

2F (x, y)

2.

• P((X, Y ) ∈ D) =

Z Z

D

•

+∞

Z

−∞

+∞

Z

−∞

f (x, y)dxdy = hay

Z Z

R2

(100)

• f (x, y) ≥ f (x, y) = ∂

2F (x, y)

2.

• P((X, Y ) ∈ D) =

Z Z

D

•

+∞

Z

−∞

+∞

Z

−∞

f (x, y)dxdy = hay

Z Z

R2

f (x, y)dxdy =

(101)

• Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên X

fX(x) =

+∞

Z

−∞

f (x, y)dy, x ∈ R

• Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên Y

fY (y) =

+∞

Z

−∞

(102)

fX(x) =

+∞

Z

−∞

f (x, y)dy, x ∈ R

fY (y) =

+∞

Z

−∞

f (x, y)dx, y ∈ R

(103)

fX(x) =

+∞

Z

−∞

f (x, y)dy, x ∈ R

fY (y) =

+∞

Z

−∞

(104)

fX(x) =

+∞

Z

−∞

f (x, y)dy, x ∈ R

fY (y) =

+∞

Z

−∞

f (x, y)dx, y ∈ R

(105)

• Các hàm mật độ xác suất có điều kiện

fX|Y (x|y) = f (x, y)

fY (y) ,

fY |X(y|x) = f (x, y)

fX(x)

• Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập

(106)

Ví dụ

Cho vectơ ngẫu nhiên chiều (X, Y ) có hàm mật độ xác suất

f (x, y) =







2 sin(x + y) ≤ x ≤

π

2, ≤ y ≤

π

2,

0 trái lại

a) Tính P

0 < Y ≤ X ≤ π

2

b) Tìm hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên X

(107)

Lời giải

a) Đặt

D = n

(x, y) : < y ≤ x ≤ π

2 o

Khi

P

0 < Y ≤ X ≤ π

2

= P((X, Y ) ∈ D)

=

Z Z

D

(108)

Lời giải

a) Đặt

D = n

(x, y) : < y ≤ x ≤ π

2 o

Khi

P

0 < Y ≤ X ≤ π

2

= P((X, Y ) ∈ D)

=

Z Z

D

f (x, y)dxdy

(109)

Lời giải

a) Đặt

D = n

(x, y) : < y ≤ x ≤ π

2 o

Khi

P

0 < Y ≤ X ≤ π

2

= P((X, Y ) ∈ D)

=

Z Z

D

(110)

Lời giải

a) Đặt

D = n

(x, y) : < y ≤ x ≤ π

2 o

Khi

P

0 < Y ≤ X ≤ π

2

= P((X, Y ) ∈ D)

=

Z Z

D

f (x, y)dxdy

(111)

Chương Vectơ ngẫu nhiên hai chiều = π Z x Z

f (x, y)dy dx = π Z x Z

2 sin(x + y)dy

dx = π Z h

− cos(x + y)

y=x

y=0

(112)

2 sin(x + y)dy

dx = π Z h

− cos(x + y)

y=x

y=0

i dx

(113)

2 sin(x + y)dy

dx π Z

(114)

=

2

π

Z

0

(cos x − cos 2x)dx

=

2

h

sin x − sin 2x

2

π

0

i

=

2

(115)

=

2

π

Z

0

(cos x − cos 2x)dx

=

2

h

sin x − sin 2x

2

...

y2 + 1dy

( 133 )

Ta có

+∞

Z...

π

f (x, y)dy

(1 23)

Chương Vectơ ngẫu nhiên hai chiều = Z −∞ 0dy + π Z

2 sin(x...

1

y2 + 1dy

( 130 )

Lời giải

a) Ta

Định dạng
Số trang	160
Dung lượng	1,13 MB

Bai giang XSTK chuong 3

D(Y )= E(Y 2) −( E(Y ))2 = 7,75−2,