MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài TOÁN tổ hợp NÂNG CAO

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỔ HỢP NÂNG CAO HUỲNH KIM LINH Phần TỔ HỢP DÀNH CHO HỌC SINH KHỐI 11 VÀ THI THPT QUỐC GIA §1 HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN Quy tắc cộng a) Quy tắc cộng Quy tắc cộng phát biểu sau: i ii Một cơng việc thực theo phương án phương án Có cách thực phương án cách thực phương án Khi cơng việc thực theo cách Tổng quát, giả sử công việc thực theo phương án Phương án có cách thực ( = 1, 2, …, ) Khi cơng việc thực theo cách b) Tính số phân tử hợp hai tập hợp Bản chất toán học quy tắc cộng i cơng thức tính số phần tử hợp hai tập hợp không giao nhau: Nếu hai tập hợp hữu hạn khơng giao Một cách tổng quát, chất toán học quy tắc cộng ii cơng thức tính số phần tử hợp tập hợp hữu hạn đôi không giao Công thức tổng quát: Cho tập hợp đôi không giao Khi đó, Trong nhiều tốn tổ hợp cần phải tính số phần tử hợp hai tập hợp (có thể khơng rời nhau) Khi ta có: Định lí 1: (Cơng thức tính số phần tử hợp hai tập hợp bất kì) Page | Cho hai tập hợp hữu hạn Khi ta có: Chứng minh: Chú ý \ hai tập hợp không giao nên Mặt khác hai tập hợp không giao nên , đó: Thay (3) vào (2) ta (1) Ví dụ 1: Một lớp học có 25 học sinh học mơn Tốn, 24 học sinh học môn Ngữ văn, 10 học sinh học mơn Tốn mơn Ngữ văn học sinh khơng học mơn Tốn lẫn mơn Ngữ văn Hỏi lớp có học sinh? Lời Giải Gọi tập hợp học sinh học môn Tốn, tập hợp học sinh học mơn Ngữ văn Theo ta có: Khi tập hợp học sinh học mơn Tốn mơn Ngữ văn Theo định lí ta có Vậy lớp học có 39 + = 42 học sinh c) Tính số phần tử hợp ba tập hợp Với ba tập hợp bất kì, ta có định lí sau: Định lí 2: (Cơng thức tính số phần tử hợp ba tập hợp bất kì) Cho ba tập hợp Khi Chứng minh: Theo định lí ta có: Mặt khác theo định lí Page | Và Thay (6) (7) vào (5) ta (4) Ví dụ : Trong kì thi đại học, số thi sinh dự thi vào trường Đại học sư phạm khối A có 51 em đạt điểm giỏi mơn Tốn, 73 em đạt điểm giỏi mơn Vật lí, 64 em đạt điểm giỏi mơn Hóa học, 32 em đạt điểm giỏi hai mơn Tốn Vật lí, 45 em đạt điểm giỏi hai mơn Vật lí Hóa học, 21 em đạt điểm giỏi hai mơn Tốn Hóa học 10 em đạt điểm giỏi ba mơn Tốn, Vật lí, Hóa học Có 767 em mà ba mơn khơng có mơn đạt điểm giỏi Hỏi có thí sinh dự thi vào trường Đại học Sư phạm khối A? Lời Giải Kí hiệu tương ứng tập hợp học sinh đạt điểm giỏi mơn Tốn, Vật lí Hóa học Theo ta có: Khi tập hợp học sinh đạt điểm giỏi ba mơn Tốn, Vật lí Hóa học Theo định lí ta có Vậy số thí sinh dự thi vào trường Đại học Sư phạm khối A 100 + 767 = 867 Quy tắc nhân i ii a) Quy tắc nhân Giả sử cơng việc bao gồm hai công đoạn B Công đoạn làm theo cách Với cách thực công đoạn cơng đoạn làm theo cách Khi cơng việc thực theo cách Giả sử cơng việc bao gồm cơng đoạn Giả sử cơng đoạn làm theo cách Với với cách thực công đoạn cơng đoạn thực theo cách Khi cơng việc thực theo cách b) Tính số phần tử tích Descartes hai tập hợp Giả sử cơng đoạn đầu tiến hành theo n cách : Cơng đoạn thứ hai tiến hành theo m cách : Như công đoạn đầu tiến hành theo cách , công đoạn thứ hai tiến hành theo cách việc thực công việc mô tả với cặp Thành thử tâp hợp tất cách thực công việc mô tả tập hợp tất cặp , tức tích Descartes hai tập hợp Page | Như chất toán học quy tắc nhân: Định lí 3: Số phần tử tích Descartes hai tập hợp hữu hạn số phân tử nhân với số phân tử c) Tính số phần tử tích Descartes nhiều tập hợp Một cách tổng quát, chất tốn học quy tắc nhân ii cho cơng việc nhiều cơng đoạn cơng thức tính số phần tử tích Descartes nhiều tập hợp Định lí 4: Cho tập hợp Tập hợp tất với gọi tích Descartes tập hợp kí hiệu Ta có quy tắc nhân sau Chứng minh định lí dễ dàng phương pháp quy nạp, sử dụng nhận xét Ví dụ 3: Cho Lời Giải Khi phần tử tích Descartes Số phần tử BÀI TẬP: A Bài tập : Bài tập 1: Có số ngun dương khơng vượt q 1000 mà chia hết cho chia hết cho Lời Giải Gọi A tập số nguyên dương không 1000 mà chia hết cho Page | B tập số nguyên dương không 1000 mà chia hết cho Khi tập số nguyên dương không 1000 mà chia hết cho cho 5, tập số nguyên dương không 1000 mà chia hết cho 5, tức tập số nguyên dương không 1000 mà chia hết cho 15 Mô tả tập hợp sau: Ta phải có: Vậy Ta phải có: Vậy Ta phải có: Vậy Theo cơng thức tính số phần tử hợp hai tập hợp, ta có: Bài tập 2: Tìm số số nguyên dương không lớn 1000 mà chia hết cho cho Lời Giải Tương tự tập 1, Gọi A tập số nguyên dương không lớn 1000 mà chia hết cho 4, B tập số nguyên dương không lớn 1000 mà chia hết cho 7, tập số nguyên dương không lớn 1000 mà chia hết cho 28 Do đó: Sử dụng cơng thức tính số phần tử hợp hai tập hợp: Bài tập 3: Trong khu phố gồm 53 hộ, thống kê cho thấy có 30 hộ đặt mua báo A, 18 hộ đặt mua báo B 26 hộ đặt mua báo C Có hộ đặt mua báo A B; 16 hộ đặt mua báo A C; hộ mua báo B C Có 47 hộ đặt mua tờ báo Hỏi: a) Có hộ khơng mua tờ báo nào? b) Có hộ mua ba tờ báo? c) Có hộ mua báo A B không mua báo C? d) Có hộ mua báo A không mua báo B C? Lời Giải Gọi A, B, C số hộ mua báo A, B, C Page | a) Có hộ khơng mua tờ báo b) Từ cơng thức tính số phần tử ba tập bất kì, ta có: Suy Vậy , nghĩa có hộ mua ba tờ báo c) Số hộ mua báo A B không mua báo C = Số hộ mua báo A B Số hộ mua ba báo Vậy số hộ mua báo A B không mua báo C d) Cũng tương tự, số hộ mua báo A C không mua báo B Số hộ mua báo A không mua báo B C = Số hộ mua báo A Số hộ mua báo A B không mua báo C Số hộ mua A C không mua báo B Số hộ mua ba báo Vậy số hộ mua báo A Bài tập 4: Một nhóm gồm người đàn ông, người phụ nữ đứa trẻ xem phim Hỏi có cách xếp họ ngồi hàng ghế cho đứa trẻ ngồi hai người phụ nữ khơng có hai người đàn ơng ngồi cạnh nhau? Lời Giải Kí hiệu O, N, T ghế cho đàn ông, phụ nữ trẻ em.Ta có phương án: Phương án 1: ONTNTNONO Phương án 2: ONTNONTNO Phương án 3: ONONTNTNO Xét phương án 1: Ba vị trí ghế cho đàn ơng có 3! cách xếp cho ba người đàn ông Bốn vị trí ghế cho phụ nữ ngồi có 4! cách xếp cho người phụ nữ Hai vị trí ghế cho trẻ em có 2! cách xếp cho hai đứa trẻ Theo qui tắc nhân, phương án có cách thực Tương tự, phươnng án có 288 cách thực Theo qui tắc cộng, ta có cách xếp thỏa mãn điều kiện đề Bài tập 5: Người ta vấn 100 người ba phim A, B, C chiếu thu kết sau: Bộ phim A có 28 người xem; Bộ phim A có 26 người xem; Page | Bộ phim A có 14 người xem; Có người xem hai phim A B; Có người xem hai phim B C; Có người xem hai phim A C; Có người xem ba phim A, B, C Xác định số người không xem phim ba phim Lời Giải Theo cơng thức tính số phần tử hợp ba tập hợp, ta có: Suy số người xem phim là: Do số người khơng xem phim là: Bài tốn 6: Trong trường học có ba câu lạc (CLB) Tốn, Văn Ngoại ngữ Có 28 học sinh tham gia ba CLB Biết rằng: a) Số học sinh tham gia CLB Toán, Văn số học sinh tham gia CLB Toán b) Số học sinh tham gia CLB Văn, Ngoại ngữ gấp lần số học sinh tham gia ba CLB c) Có học sinh tham gia CLB Tốn, Ngoại ngữ d) Khơng có học sinh tham gia CLB Văn CLB Ngoại ngữ e) Số học sinh tham gia ba CLB số nguyên dương chẵn Hãy tìm số học sinh tham gia CLB Toán Văn số học sinh tham gia ba CLB Lời Giải Gọi tập hợp học sinh tham gia CLB Toán, Văn, Ngoại ngữ tương ứng A, B, C Theo giả thiết ta có: Các tập hợp vế trái rời Do Page | Đặt Theo giả thiết: Vậy Vì chẵn nên suy Vậy có học sinh tham gia CLB Toán Văn học sinh tham gia ba CLB Bài tốn 7: Một bị mang virut A, virut B virut C; mang đồng thời hai nhiều virut nói trên; khơng mang virut Trong báo cáo nông trường nuôi bị cho biết: “Kiểm tra 1200 bị có 675 có virut A; 682 có virut B; 684 có virut C; 195 có virut B C; 467 có virut A C; 318 có virut B C; 165 có ba virut trên.” Hãy số liệu báo cáo khơng xác Lời Giải Theo cơng thức tính số phần tử hợp ba tập hợp, ta tính Điều vơ lí chứng tỏ số liệu báo cáo khơng xác B Bài tập nâng cao : Bài 1: Có (có tính đến thứ tự) số ngun dương khơng lớn có tổng ? Bài 2: Có (có tính đến thứ tự) số nguyên dương khơng lớn có số ? Bài 3: Tìm số số tự nhiên lẻ nằm khoảng (2000; 3000) mà biểu diễn thập phân khơng có chữ số lớn Bài 4: a Có số có chữ số mà biểu diễn thập phân có chữ số 2, 3, 4, 5, ? Page | b Có số có chữ số mà biểu diễn thập phân có chữ số 2, 3, 4, 5, chữ số khác nhau? Bài 5: a Có số tự nhiên có chữ số lớn 4000 mà biểu diễn thập phân có chữ số 1, 3, 5, ? b Có số tự nhiên có chữ số lớn 4000 mà biểu diễn thập phân có chữ số 1, 3, 5, chữ số khác ? Bài 6: (CĐSP – dự bị - 01 – 02) Cho đa giác lồi cạnh Xác định để đa giác có số đường chéo gấp đơi số cạnh? C Đáp án hướng dẫn giải: Bài 1: Ta liệt kê (khơng tính đến thứ tự) với số nguyên dương không lớn có tổng Đó sau: Bằng cách hoán vị phần tử nói trên, chẳng hạn (khơng kể thứ tự) sinh có thứ tự Cịn (khơng kể thứ tự) sinh ba có thứ tự Vậy số thỏa mãn điều kiện đầu Bài 2: Ta liệt kê (có tính đến thứ tự) số ngun dương khơng lớn có số Đó với số ngun dương khơng lớn Số có cách chọn từ tập ; số có cách chọn từ tập Vậy có Với sinh có thứ tự Vậy số thỏa mãn điều kiện đầu Bài 3: Các số cần tìm có dạng , thuộc tập thuộc tập Vậy số số cần tìm Bài 4: Page | a) b) Bài 5: a) Các số thỏa mãn u càu tốn có dạng thuộc tập thuộc tập Vậy số số cần tìm b) Chữ số có cách chọn Sau chọn chữ số có cách chọn, tiếp chữ số có cách chọn chữ số có cách chọn Vậy có số thỏa mãn yêu cầu Bài 6: Đa giác lồi có cạnh nên có đỉnh Từ đỉnh ta kẻ đoạn thẳng tới đỉnh cịn lại Do đó, ta kẻ đoạn thẳng Số đường chéo có đa giác lồi cạnh Theo đề ta có : Vậy đa giác cho có cạnh Page | 10 Phần MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỔ HỢP NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN VÀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Chương trình tốn phổ thơng (Lớp 11) trang bị cho học sinh hai quy tắc đếm (Quy tắc cộng quy tắc nhân); Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp nhị thức NIUTON Nhờ học sinh giải nhiều toán tổ hợp bản, tương đối đơn giản Tuy nhiên với toán tổ hợp phức tạp, cần có phương pháp “Cao cấp” giải Các dạng toán nâng cao thường gặp kì thi học sinh giỏi quốc gia (VMO), Olympic tốn quốc tế (IMO) kì thi Olympic 30/04 đơi xuất tốn ĐẠI SỐ TỔ HỢP, toán mà lời giải quy việc áp dụng lý thuyết tập hợp Các tốn thường khó lời giải chúng nhìn chung độc đáo Độ khó tốn có cịn việc phải phối hợp lý thuyết tập hợp với lý thuyết khác Số học, Logic toán, Đại số, Hình học, … q trình tìm tịi lời giải A KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I Một số tính chất tập hợp A Kí hiệu số phần tử tập hữu hạn A Ta có tính chất sau : A �0, A  � A  � 1) 2) 3) 1) A �B A B A �B �C   A �B  � B �C  A1 �A2 � �An1 �An   A1 �A2  � A2 �A3  � � An1 �An  4) Nguyên lý bù trừ : - Đối với hai tập hợp : - Đối với ba tập hợp : A �B  A  B  A �B A �B �C  A  B  C   A �B  B �C  C �A   A �B �C - Tỏng quát : n n U Ai  �Ai  i 1 i 1�� � i j n Ai �Aj  � i j k n Ai �Aj �Ak    1 n 1 n I Ai i 1 Page | 20 II Các số tổ hợp 1) Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử : 2) Số chỉnh hợp chập k n phần tử : Fnk  n k Ank  n  n  1  n  k  1 3) Số hoán vị n phần tử : Pn  n ! 4) Số tổ hợp chập k n phần tử : Cnk  5) n! k ! n  k  ! B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TIÊU BIỂU SỬ DỤNG CÔNG THỨC BAO HÀM VÀ LOẠI TRỪ Bản chất toán học quy tắc cộng (phát biểu cho công việc với nhiều phương án) công thức tinh số phần tử hợp n tập hợp hữu hạn đôi không giao Cụ thể ta có Trong nhiều toan tổ hợp, phải tính số phần tử hợp n tập hợp (khơng thiết rời nhau) Khi ta có quỷ tắc cộng cho số phần tử hợp n tập hợp bất kì, thường gọi cơng thức bao hàm loại trừ Định lí (Cơng thức bao hàm loại trừ) Định lí chứng minh tương đối dễ phương pháp quy nạp, xin dành cho bạn đọc Ví dụ Hỏi tập có số khơng chia hết cho ? Lời Giải Ta đếm xem tập có số chia hết cho số Kí hiệu Khi tập số chia hết cho số Dễ thấy với số nguyên dương số số S chia hết cho Do Sử dụng công thức bao hàm loại trừ, ta tìm Thành thử , tập có số khơng chia hết cho Ví dụ (Cơng thức – hàm Euler) Page | 21 Với số Nguyên dương , kí hiệu số số nguyên dương bé khơng có ước số chung với Chứng minh tất ước nguyên tố phân biệt Hàm gọi hàm Euler Nó đóng vai trị quan trọng nhiều tốn số học Lời Giải Kí hiệu Ta đếm xem tập có số chia hết cho số Gọi chia hết cho Khi tập số chia hết cho số Ta có Do theo cơng thức bao hàm loại trừ Vì số số khơng chia hết cho tất số nên THIẾT KẾ CÁC CÔNG ĐOẠN THÍCH HỢP Để áp dụng quy tắc nhân, điều cốt yếu phải thiết kế mơ hình gồm việc thực liên tiếp công đoạn Quy tắc nhân phát biểu: Với cách thực cơng đoạn trước cơng đoạn thứ làm theo cách Như vậy: số cách thực công đoạn phải không phụ thuộc vào cách thực cơng đoạn trước Thành thử, muốn sử dụng quy tắc nhân, mơ hình ta gồm việc thực liên tiếp công đoạn, số cách thực công đoạn phải với cách thực cơng đoạn trước Ví dụ 3: Có người A, B, C, D cần chọn vào chức giám đốc, kế toán trưởng chủ tịch HDQT Giả sử việc chọn nhân phải thỏa mãn yêu cầu: ông A chọn làm giám đốc, chức chủ tịch HDQT phải ơng C D Hỏi có cách chọn? Lời Giải Có lời giải: Việc chọn ba vị trí giám đốc, kế tốn trưởng chủ tịch HDQT tiến hành theo bước: Bước 1: chọn giám đốc: cách chọn (chọn B,C,D) Bước 2: chọn kế tốn trưởng: có cách chọn từ người lại Bước 3: chọn chủ tịch HDQT: có cách chọn (ơng C D) Theo quy tắc nhân số cách 3.3.2=18 Cách khơng đúng: Vì số cách thực bước phụ thuộc kết bước 2: Nếu bước trước đó, ơng C D khơng chọn bước có cách Cịn C D chọn bước có cách khơng có Page | 22 Tuy nhiên ta thiết kế việc chọn vị trí tiến hành theo bước khác áp dụng quy tắc nhân: Bước 1: chọn chủ tịch HDQT: ln có cách chọn (ơng C D) Bước 2: chọn giám đốc: ln có cách chọn dù kết bước Sau bước theo đề bài, ông A chọn làm giám đốc, nên có người phù hợp Bước 3: chọn kế tốn trưởng: ln có cách chọn từ người lại Vậy kết 2.2.2=8 cách chọn! Ví dụ 4: a) Giả sử có VĐV bóng bàn tham dự giải đấu Trong vòng đấu giải, ban tổ chức cần phân cặp đấu Hỏi có cách ghép thành cặp đấu? b) Giả sử có 2n VĐV bóng bàn tham dự giải đấu Trong vịng đấu giải, ban tổ chức cần phân n cặp đấu Hỏi có cách ghép thành n cặp đấu? c) Từ b) chứng tỏ với số nguyên dương n, ta có chia hết cho Lời Giải a) Ta thiết kế việc thực chọn theo bước sau: Bước 1: Chọn người làm thành cặp đấu thứ Có cách chọn Bước 2: Chọn người làm thành cặp đấu thứ hai Có cách chọn Bước 3: Chọn người làm thành cặp đấu thứ ba Có cách chọn Bước 4: Có cách chọn từ người cịn lại Theo quy tắc nhân có cách Vì thứ tự cặp đấu không xét đến nên số cách ghép thành cặp đấu là: b) Lí luận tương tự: c) Dễ biến đổi: Vì số nguyên dương nên chứng tỏ chia hết cho SỬ DỤNG SONG ÁNH Page | 23 3.1 Nhắc lại kiến thức  Định nghĩa song ánh _ Ánh xạ gọi song ánh X Y vừa đơn ánh vừa toàn ánh Như song ánh với tồn phần tử để VD: Hàm cho song ánh với số nguyên  Ánh xạ ngược song ánh _Ánh xạ ngược , kí hiệu , ánh xạ từ Y đến X gán cho phần tử phần tử mà Như VD: Cho hàm sốxác định Vì nên ánh xạ ngược xác định *Chú ý: Nếu khơng phải song ánh khơng thể định nghĩa ánh xạ ngược Do có song ánh có ánh xạ ngược 3.2 Sử dụng song ánh tổ hợp Định lý _Cho A B tập hợp hữu hạn + Nếu có đơn ánh + Nếu có tồn ánh + Nếu có song ánh Ví Dụ _Giả sử có đàn chim bồ câu bay vào dãy n chuồng Đặt tương ứng chim với chuồng mà bay vào xác định cho ta ánh xạ từ đàn chim vào dãy chuồng +Nếu đơn ánh chuồng có nhiều chim, suy đàn chim có tối đa n +Nếu tồn ánh khơng chuồng trống có chuồng chứa chim, suy đàn chim có nhiều n +Nếu song ánh chuồng có 1con chim khơng chuồng trống, suy đàn chi có n ***Bổ đề: (Bài toán chia kẹo Euler) Cho k, n số nguyên dương Số nghiệm nguyên không âm phương trình x + x2 + … + k 1 xk = n Cn  k 1 Page | 24 Chứng minh Ta cho tương ứng nghiệm ngun khơng âm phương trình x + x2 + … + xk = n (1) với xâu nhị phân độ dài n+k-1 có n bit k-1 bit 0, cụ thể xâu gồm x bit 1, sau bit 0,tiếp theo x2 bit 1, sau bit 0, thế, cuối x k bit Dễ dàng chứng minh song ánh từ tập A nghiệm nguyên không âm (1) vào tập hợp B xâu nhị phân độ dài n+k-1 với n bit k-1 bit Từ đó, theo nguyên lý song ánh ta có | A || B | Cnkk11 (đpcm) Ví dụ 5: Cho tập Một tập A S gọi tập cân tập đó, số số chẵn số số lẻ (tập rỗng tập cân) Gọi X tập hợp tất tập cân S Y họ tất tập hợp S có n phần tử a) Thiết lập song ánh từ X vào Y b) Xác định số tập cân S Lời Giải a) Giả sử Coi tương ứng tập số chẵn số lẻ A Vì A tập cân nên Gọi Khi tập phần tử Y Thật vậy, Gọi phép đặt tương ứng tập với tập Khi song ánh Chứng minh ~ đơn ánh Giả sử Vì tập số chẵn; tập số lẻ nên suy ~ toàn ánh Giả sử Coi tương ứng tập số chẵn tập số lẻ M Page | 25 Đặt Khi tập A tập cân Vậyvà xác định b) Vì có song ánh từ X vào Y nên số tập cân S số tập có n phần tử S Vậy S có tập cân Ví dụ 6: Cho trước số ngun dương n> Gọi X tập hợp tất ba số nguyên không âm tổng n Gọi Y tập hợp dãy nhị phân (dãy gồm kí tự 1) có n + kí tự, có n kí tự kí tự a) Thiết lập song ánh từ X vào Y b) Xác định số phần tử X Lời Giải a) Với ba ta đặt tương ứng với dãy nhị phân theo quy tắc: viết liên tiếp từ trái sang phải số 1, số 0, số 1, số số Như vậy, phần tử tương ứng với dãy nhị phân có n + kí tự, có n kí tự kí tự 0, phần tử Y Gọi phép tương ứng đó, ta có ánh xạ từ X vào Y Khi song ánh Chứng minh ~ đơn ánh Vì ứng với ta ln tìm dãy nhị phân có n + kí tự, có n kí tự kí tự phần tử Y Nên đơn ánh ~ toàn ánh Với dãy n + kí tự với n kí tự kí tự 0, ta đếm từ trái sang phải mà có: số 1, số 0, số 1, số số dãy tương ứng với ba thỏa Vậy song ánh Page | 26 b) Ta có Mặt khác, với dãy nhị phân có n + kí tự có n kí tự kí tự 0, tương ứng với cách chọn vị trí n + vị trí để số Do Vậy Ví dụ 7: Một câu lạc bơi lội có n thành viên tổ chức bơi lội F1, F2, F3, F4 đội tham gia vào bơi lội Hỏi có cách chia đội cho F1∩F2≠∅, F2∩F3≠∅, F3∩F4≠∅? Lời Giải x1;x2; ;xn Xét cách chia α thỏa yêu cầu Gọi thành viên Ta xét ánh xạ f sau: Đặt tương ứng xi với tập Ai theo quy tắc: xi∈Fj bổ sung phần tử j vào Ai Dễ dàng thấy f song ánh Như vậy, số cách chia α thỏa yêu cầu số n (A1;A2; ;An) cho Ai⊂{1;2;3;4} Ai không chứa cặp phần tử (1;2);(2;3);(3;4) Các tập {1;2;3;4} không chứa cặp phần tử (1;2);(2;3);(3;4) là{1};{2};{3};{4}; {1;3};{1;4};{2;4} Có tập vậy, Ai chọn tập đó.Suy ra, số cách phân đội thỏa đề 7n Ví dụ 8* (VMO 2012) Cho nhóm gồm gái, kí hiệu G 1, G2, G3, G4, G5 12 chàng trai Có 17 ghế xếp thành hàng ngang Người ta xếp nhóm người cho ngồi vào ghế cho điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: 1/ Mỗi ghế có người ngồi; 2/ Thứ tự ngồi cô gái, xét từ trái qua phải, G1, G2, G3, G4, G5; 3/ Giữa G1 G2 có chàng trai; 4/ Giữa G4 G5 có chàng trai nhiều chàng trai Hỏi có tất cách xếp vậy? (Hai cách xếp coi khác tồn ghế mà người ngồi ghế hai cách xếp khác nhau) Lời Giải Page | 27 Đánh số thứ tự ghế từ trái sang phải 1, 2, …,17 Gọi x1 số chàng trai xếp bên trái G1, x2 số chàng trai G1 G2, x3 số chàng trai G2 G3, x4 số chàng trai G3 G4, x5 số chàng trai G4 G5, x6 số chàng trai xếp bên phải G5 Khi số (x1, x2, …, x6) hoàn toàn xác định vị trí gái ta có 1) x1 + x2 + … + x6 = 12 2) ≤ x2 3) ≤ x5 ≤ Đổi biến y2 = x2 – y5 = x5 – ta x1 + y2 + x3 + x4 + y5 + x6 = Với ẩn không âm có thêm điều kiện Tiếp theo, sử dụng toán chia kẹo Euler dạng x1 + y2 + x3 + x4 + x6 = – y5 ta số cách phân ghế cho cô gái C124  C114  C104  C94  1161 y5 ≤ Vì cịn có 12 chàng trai hốn đổi vị trí 12 ghế dành cho họ nên số cách xếp thỏa mãn yêu cầu toán 12! 1161 Thiết lập quan hệ truy hồi Đây phương pháp hiệu để giải nhiều tốn tổ hợp khó Các ví dụ sau minh họa điều Ví dụ (Bài toán tháp Hà Nội) Tương truyền ngơi tháp Hà Nội có đế đồng, có đặt ba cọc kim cương Lúc khai thiên lập địa, cọc số 1, Phật tổ Như Lai xếp 64 đĩa vàng có đường kính khác cho đĩa có đường kính lớn xếp dưới, đĩa phía trên cao nhỏ dần Các nhà sư yêu cầu chuyển tất đĩa cọc số sang cọc số với quy tắc sau: + Mỗi lần chuyển đĩa + Trong trình di chuyển không đặt đĩa lớn lên đĩa nhỏ ( cần thiết phải có thêm cọc trung gian thứ ba) Giả sử lần chuyển đĩa giây Hỏi nhà sư cần năm để chuyển tất đĩa cọc số sang cọc số ? Lời Giải - Giả sử lúc đầu cọc số có n đĩa Gọi un số lần để chuyển tất đĩa cọc số sang cọc số Ta thử tính vài giá trị un Với n = Ta cần thực ba phép chuyển sau Chuyển đĩa bé sang cọc số Chuyển đĩa lớn sang cọc số Page | 28 - - Chuyển đĩa bé cọc số Vậy u2 = Với n = Ta cần thực theo ba giai đoạn sau Chuyển hai đĩa phía sang cọc số Như thấy trường hợp n = 2, ta cần phép chuyển Chuyển đĩa lớn sang cọc số Chuyển hai đĩa cọc số cọc số Như thấy trường hợp n = 2, ta cần phép chuyển Vậy ta cần + + = phép chuyển Do u3 = Trường hợp n = gợi ý cho ta thiết lập hệ thức truy hồi mà dãy (un) phải thỏa mãn Để chuyển n đĩa theo quy tắc trên, ta phải thực theo ba công đoạn sau : Cơng đoạn : Chuyển đĩa phía đĩa lớn sang cọc số theo quy tắc Ta cần phép chuyển Chiếc đĩa lớn giữ nguyên cọc số di chuyển đĩa Cơng đoạn : Chuyển đĩa lớn sang cọc số Công đoạn : chuyển đĩa cọc số cọc số đặt lên đĩa lớn Ta cần un  phép chuyển Do để chuyển n đĩa từ cọc số sang cọc số 2, ta cần Vậy ta có hệ thức truy hồi sau Từ hệ thức truy hồi này, ta lập công thức số hạng tổng quát dãy Bằng quy nạp, dễ chứng minh Với n = 64 u64 = 264 – = 18.446.744.073.709.531.615 Đó số lần chuyễn đĩa mà nhà sư phải thực để hồn thành cơng việc Nếu lần chuyển đĩa giây cần đến 500 tỉ năm, nhà sư chuyển tất 64 đĩa sang cọc số Ví dụ 10(IMO 1979, số 6) Giả sử A E hai đỉnh đối diện bát giác Một ếch bắt đầu nhảy từ đỉnh A Tại đỉnh bát giác (trừ đỉnh E), cú nhảy, ếch nhảy tới hai đỉnh kề với đỉnh Khi ếch nhảy vào đỉnh E, bị kẹt vĩnh viễn Cho trước số nguyên dương n Hỏi với n cú nhảy, có cách để ếch nhảy vào đỉnh E Lời Giải Gọi an số cách để ếch nhảy vào đỉnh E Dễ thấy a1 = a2 = a3 = ; a4 = Giả sử từ A, theo chiều kim đồng hồ, đỉnh Từ A ếch đến B phải cần số lẻ cú nhảy Từ B ếch đến C phải cần số lẻ cú nhảy Từ C ếch đến D phải vần số lẻ cú nhảy Từ D ếch đến E phải cần số lẻ cú nhảy Vậy số cú nhảy đến E phải số chẵn Nói cách khác, n lẽ khơng có cách nhảy đến E Vậy a2k-1 = Ta tính a2k Xuất phát từ A, với hai cú nhảy đầu tiên, ếch có cách sau 1) 2) 3) 4) Nếu theo cách 1) số cách tới E Page | 29 Nếu theo cách 2) số cách tới E Gọi cn, gn số cách để ếch, xuất phát tương ứng từ C, G, nhảy vào đỉnh E với n cú nhảy Vì lí đối xứng, ta có cn = gn Vậy theo cách 3) số cách tới E c2k-2 ; theo cách 4) số cách tới E g2k-2 Theo quy tắc cộng, ta có Xuất phát từ C, với hai cú nhảy đầu tiên, ếch có cách sau: 1c) 2c) 3c) 4c) Nếu theo cách 1c) số cách tới E Nếu theo cách 2c) số cách tới E c2k-2 Nếu theo cách 3c) số cách tới E c2k-2 Nếu theo cách 4c) số cách tới E Theo quy tắc cộng ta có (4) Từ (3) (4) rút Thay vào (3) ta Đặt uk = a2k ta có Với u1 = a2 = 0; u2 = a4 = Bằng cách giải phương trình đặc trưng, ta đến cơng thức sau Ví dụ 11 Cho số nguyên dương n tập Tìm số tập (kể tập rỗng) S mà không chứa hai số nguyên dương liên tiếp Lời Giải Gọi an số phải tìm Dễ thấy (Chẳng hạn với n = có tập S có tính chất nêu ) Gọi On họ tập có tính chất nêu Mỗi tập gồm hai loại : + Loại gồm tập chứa n + + Loại gồm tập không chứa n + Nếu A tập loại A khơng chứa n + Do bỏ khỏi A phần tử n + 2, ta tập On Ngược lại, với tập B On tập tập loại Thành thử số tập loại Nếu A tập loại 2, rõ ràng A tập On+1 ngược lại Thành thử số tập loại an+1 Do ta có quan hệ sau : Mặt khác, với dãy Fibonacci (Fn), ta có Vì ta suy Vậy Ví dụ 13 Cho số ngun dương n Tìm số tập A S mà A chứa hai số nguyên dương liên tiếp Lời Giải Gọi On họ tập có tính chất nêu Mỗi tập gồm ba loại : + Loại gồm tập chứa n + n + + Loại tập chứa n + không chứa n + + Loại gồm tập không chứa n + Page | 30 - - Nếu A tập loại A khơng chứa n A chứa n A chứa cặp số nguyên dương liên tiếp (n, n + 1) (n +1, n + 2) Bỏ khỏi A hai phần tử n + 1, n + 2, ta tập không chứa hai số nguyên dương liên tiếp Ngược lại với tập khơng chứa hai số ngun dương liên tiếp tập tập loại Phép tương ứng song ánh Thành thử theo ví dụ 12 trên, số tập loại Nếu A tập loại A khơng chứa n + Do bỏ khỏi A phần tử n + 2, ta tập On Ngược lại, với tập B On tập tập loại Vậy số tập loại Mỗi tập loại rõ ràng tập ngược lại Thành thử số tập loại Do ta có hệ thức sau Tiếp theo ta chứng quy nạp Thật vậy, dễ thấy công thức với n = 1, n = Giả sử công thức với n, n + Ta có Vậy Tức cơng thức với n + Do công thức chứng minh Thay công thức biết , ta công thức BÀI TẬP : Bài 1: (Romanian MO 1995) Cho A1, A2,…, An điểm nằm đường trịn Tìm số cách tơ điểm màu cho hai điểm liên tiếp tô hai màu phân biệt Lời Giải Gọi số cách tơ màu cần tìm Xét tập hợp điểm: A1, A2, …, An+1 Nếu A1, An khác màu tơ màu A1, A2, …, An an cách tô màu An+1theo p – cách Do thu (p – 2)an cách tô màu Nếu A1, An tơ màu giống đồng A1An ta thu an – 2cách tô màu điểm A1, A2, …, An, có (p – 1) cách tô màu An + Ta thu (p – 1)an – 2cách tơ màu Do ta có hệ thức: an + 1= (p – 2)an + (p – 1)an– Chú ý a2 = p(p – 1); a3 = p(p – 1)(p – 2), ta được: an = (p – 1)n + (-1)n(p – 1) Bài (Bài tốn chia kẹo Euler) Có cách chia m kẹo cho n đứa trẻ ? Lời Giải Bài toán tương đương với toán sau : tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình: m = x1 + x2 + … + xn Tương đương với phương trình : m – x1 = x2 + … + xn Gọi S(m ,n) số nghiệm phương trình (1) Khi với giá trị ta có số nghiệm phương trình (2) S Từ ta thu hệ thức: Chú ý rằng: Bằng quy nạp ta có: Thật vậy: giả sử mệnh đề với n, chứng minh với n + 1: Page | 31 Bài (Colombia MO 1997) Xét bảng ô vuông m n tô viền màu Chúng ta tô đoạn đường viền số màu cho hình vng đơn vị có hai cạnh tơ màu hai cạnh tơ hau màu cịn lại Có cách tơ màu có thể? Lời Giải Gọi màu A, B, C; đặt an số cách tô màu đường viền bảng ngang 1n biết màu đoạn viền phía bảng ngang Với n = 1, khơng tính tổng qt giả sử viền tơ màu A Sau có cách chọn tơ màu đoạn màu A, có hai cách chọn tơ màu hai đoạn cịn lại Do a1 = Xét bảng 1n , khơng tính tổng qt giả sử đoạn cuối bên phải tô màu A Bổ sung thêm hình vng đơn vị vào bên phải bảng vừa ta bảng với màu đoạn viền hình vng biết Chúng ta có hai cách tơ màu cho hình vng biết màu hai cạnh ( cạnh bên trái cạnh trên) Do Trở lại tốn, có 3n cách tô màu cho đường viền có 3.2n cách tơ cho hàng Vậy có tất 3m + n.2mn cách tơ màu thỏa mãn toán DÙNG SUY LUẬN TỔ HỢP VÀ NHỊ THỨC NEWTON ĐỂ CHỨNG MINH HẰNG ĐẲNG THỨC _Nhiều đẳng thức đại số chứng minh dễ dàng nhờ áp dụng suy luận tổ hợp áp dụng cơng thức nhị thức Newton Ví dụ 12 Cho số nguyên dương CMR Lời Giải Ta xét dãy gồm chữ số chữ số Với dãy thế, ta quan tâm đến chữ số cuối Vị trí là: Ta nói dãy thuộc loại k vị trí chữ số đứng cuối Ta tính xem có dãy loại k Đứng sau chữ số cuối dãy gồm chữ số đứng trước dãy gồm chữ số có chữ số chữ số Dễ thấy có dãy gồm chữ số, có chữ số chữ số Vậy có dãy thuộc loại k Theo quy tắc cộng, ta suy số dãy gồm chữ số chữ số Mặt khác, dễ thấy có dãy gồm chữ số chữ số (bằng cách chọn vị trí cho số vị trí) Vậy Ví dụ 13 Page | 32 Cho số ngun dương n Tính theo n tổng Trong tổng chạy tất (i, j, k) với i, j, k số tự nhiên thỏa mãn điều kiện i + j + 2k = n Lời Giải Giả sử ta có ba loại đoạn thẳng: màu đỏ, màu xanh, màu trắng Các đoạn thẳng màu đỏ, màu xanh có độ dài đơn vị; đoạn thẳng màu trắng, màu xanh có độ dài hai đơn vị Ta cần ghép đoạn thẳng lại để làm thành cán cờ có độ dài n, có phân biệt điểm đầu (đỉnh) điểm cuối (tay nắm) Hỏi có cách thiết kế? Mỗi cách thiết kế gồm hai công đoạn: Công đoạn 1: chọn ba số tự nhiên (i, j, k) thỏa mãn điều kiện: i + j + 2k = n Lấy i đoạn màu đỏ, j đoạn xanh k đoạn trắng Công đoạn 2: ghép thành cán cờ: Dễ thấy có cách ghép Gọi an số cách thiết kế có Như vậy: an = Trong tổng chạy tất (i, j, k) với i, j, k số tự nhiên thỏa mãn điều kiện i + j + 2k = n Mỗi cán cờ có độ dài n + gồm loại: + Loại 1: đỉnh đoạn thẳng màu đỏ + Loại 2: đỉnh đoạn thẳng màu xanh + Loại 3: đỉnh đoạn thẳng màu trắng Nếu A thuộc loại bỏ đoạn thẳng màu đỏ, ta cán cờ độ dài n+1 Ngược lại, cán cờ B độ dài n+ ghép thêm vào đỉnh đoạn thẳng màu đỏ, ta cán cờ A loại độ dài n+ Vậy số loại cán cờ có độ dài n+2 an Thành thử ta có hệ thức truy hồi an+2 = 2an+1 + an Từ điều kiện ban đầu a1 = 2, a2 = 3, ta tìm KÍNH CHÚC Q THẦY CƠ NĂM MỚI AN KHANG THỊNH VƯỢNG – VẠN SỰ NHƯ Ý Page | 33 MÙNG 10 TẾT 2019 Page | 34 ... Page | 18 Vậy số hạng khơng chứa x 21 Theo hai tính chất số tổ hợp, ta có Vậy ta có Theo cơng thức Newton Vậy hệ số Page | 19 Phần MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỔ HỢP NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC... nhị thức NIUTON Nhờ học sinh giải nhiều toán tổ hợp bản, tương đối đơn giản Tuy nhiên với toán tổ hợp phức tạp, cần có phương pháp ? ?Cao cấp” giải Các dạng toán nâng cao thường gặp kì thi học sinh... A gọi tổ hợp chập k n phần tử A (gọi tắt tổ hợp chập k A) Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử kí hiệu Ckn Định lí Chứng minh Từ định nghĩa, ta có hốn vị tổ hợp chập k A cho ta chỉnh hợp chập