THÔNG TIN TÀI LIỆU
CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Cho hai hàm số y = f ( x ) y = g( x ) có tập xác định Df Dg Đặt D = Df �Dg Mệnh đề chứa biến " f ( x ) = g( x ) " gọi phương trình ẩn ; x gọi ẩn số (hay ẩn) D gọi tập xác định phương trình x0 �D gọi nghiệm phương trình f ( x ) = g( x ) " f ( x0 ) = g( x0 ) " mệnh đề Chú ý: Các nghiệm phương trình f ( x ) = g( x ) hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số y = f ( x ) y = g( x ) Phương trình tương đương, phương trình hệ a) Phương trình tương đương: Hai phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) f2 ( x ) = g2 ( x ) gọi tương đương chúng có tập nghiệm Kí hiệu f1 ( x ) = g1 ( x ) � f2 ( x ) = g2 ( x ) Phép biến đổi khơng làm thay đổi tập nghiệm phương trình gọi phép biến đổi tương đương b) Phương trình hệ quả: f2 ( x ) = g2 ( x ) gọi phương trình hệ phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) tập nghiệm chứa tập nghiệm phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) Kí hiệu f1 ( x ) = g1 ( x ) � f2 ( x ) = g2 ( x ) c) Các định lý: Định lý 1: Cho phương trình f ( x ) = g( x ) có tập xác định D ; y = h ( x ) hàm số xác định D Khi D , phương trình cho tương đương với phương trình sau 1) f ( x ) + h( x ) = g( x ) + h ( x ) 2) f ( x ) h ( x ) = g( x ) h ( x ) h ( x ) � với x �D Định lý 2: Khi bình phương hai vế phương trình, ta phương trình hệ phương trình cho f ( x ) = g( x ) � f ( x ) = g2 ( x ) Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần ý Đặt điều kiện xác định(đkxđ) phương trình tìm nghiệm phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định Nếu hai vế phương trình ln dấu bình phương hai vế ta thu phương trình tương đương Khi biến đổi phương trình thu phương trình hệ tìm nghiệm phương trình hệ phải thử lại phương trình ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TỐN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải - Điều kiện xác định phương trình bao gồm điều kiện để giá trị f ( x ) , g( x ) xác định điều kiện khác (nếu có yêu cầu đề bài) - Điều kiện để biểu thức f ( x ) xác định f ( x ) � xác định f ( x ) � f ( x) f ( x) xác định f ( x ) > Các ví dụ điển hình Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) x + b) + - x = =1 x - c) + 2x - = d) 3x - - 2x = x- x +1 x - 3x + Lời giải a) Điều kiện xác định phương trình x2 -�۹۹� x2 x �3 - x � �x � �� �� x b) Điều kiện xác định phương trình � � � � � x � � �x � � � x� �2x - � � � �۳� x c) Điều kiện xác định phương trình � � � � 2 �3x - � � x� � � d) Điều kiện xác định phương trình � - 2x � � x �2 � �� �3 � � � ( x - 1) ( x2 + x - 2) � �x - 3x + � � �x � � � �x < x � � � � � x � �� � � � � � � � ( x - 1) ( x - 2) � � � �x � �x � � � Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định phương trình sau suy tập nghiệm nó: a) 4x + 4x - = - 4x + b) - x2 + 6x - + x3 = 27 c) x + x - = - 3- x d) ( x - 3) ( - 3x ) + 2x = 3x - + Lời giải � � x� �4x - � � � 4�x=3 �� a) Điều kiện xác định phương trình � � �3 - 4x � � � � x� � � Thử vào phương trình thấy x = thỏa mãn �3� Vậy tập nghiệp phương trình S = � �� � � � �4� b) Điều kiện xác định phương trình - x2 + 6x - � � - ( x - 3) � � x = Thay x = vào thấy thỏa mãn phương trình Vậy tập nghiệp phương trình S = { 3} � x �0 �x � � � � � � x � �� c) Điều kiện xác định phương trình � �x � � � � � - 3- x �0 x �- � � � � Khơng có giá trị x thỏa mãn điều kiện Vậy tập nghiệm phương trình S = � �x - - 3x � ( ) ( ) d) Điều kiện xác định phương trình � (*) � � 3x - � � � Dễ thấy x = thỏa mãn điều kiện (*) � � x� �5 - 3x � � 3�x= �� Nếu x � (*) � � � � � � �3x - � �x � � � Vậy điều kiện xác định phương trình x = x = Thay x = x = vào phương trình thấy có x = thỏa mãn Vậy tập nghiệm phương trình S = { 3} Bài tập luyện tập Bài 3.0: Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) b) + x - = x - = 3x x - x- x +1 c) + 2x - = - 4x d) 2x - = x - 3x + Bài 3.1: Tìm điều kiện xác định phương trình sau suy tập nghiệm nó: a) 4x + 4x - = 4x - + b) - x2 + x - + x = c) 2x + x - = - x + d) x3 - 4x2 + 5x - + x = - x DẠNG TOÁN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ Phương pháp giải Để giải phương trình ta thực phép biến đổi để đưa phương trình tương đương với phương trình cho đơn giản việc giải Một số phép biến đổi thường sử dụng Cộng (trừ) hai vế phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương phương trình cho Nhân (chia) vào hai vế với biểu thức khác không không làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương với phương trình cho Bình phương hai vế phương trình ta thu phương trình hệ phương trình cho Bình phương hai vế phương trình(hai vế ln dấu) ta thu phương trình tương đương với phương trình cho Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình sau a) + = x- x - x- b) x2 x- = x- - x- c) x + 3(x4 - 3x2 + 2) = d) x - 1(x2 - x - 2) = Lời giải � x �3 �x � �� a) ĐKXĐ : � �2 � � � �x - x - � �x �- Với điều kiện phương trình tương đương với 1+ = � ( x - 3) ( x + 2) + x + = x - ( x - 3) ( x + 2) � x2 = � x = �3 Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm phương trình x = - b) ĐKXĐ: x > Với điều kiện phương trình tương đương với - � 13 x2 = 1- ( x - 2) � x2 + x - = � x = Đối chiếu với điều kiện ta thấy khơng có giá trị thỏa mãn Vậy phương trình vơ nghiệm c) ĐKXĐ: x �- � x+3= Phương trình tương đương với � � x4 - 3x2 + = � � �x = - �x = - � � � x=- � � x = �1 x = �� � � � � (�x2 - 1) ( x2 - 2) = � � � x - 2= x=� � � � Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm phương trình x = - 3, x = �1 x = � � x �0 �x � � � �۳ x d) ĐKXĐ: � � � x - �0 �x �1 � � Với điều kiện phương trình tương đương với �x = � x - 1= � � � x =- � �2 � x - x- 2= � � � x=2 � Đối chiếu với điều kiện ta có ngiệm phương trình x = x = Ví dụ 2: Giải phương trình sau a) 2x - = 4x2 - 15 b) x2 - 3x + = - 3x c) 2x + = x - d) 2x + = x - Lời giải �2x - � a) ĐKXĐ: � (*) � � �4x - 15 � Với điều kiện (*) phương trình tương đương với ( ) ( ) 4x2 - 15 � 2x - = 4x2 - 15 �x = � � 4x - 2x - 12 = � � � x =� � Thay vào điều kiện (*) ta thấy có x = thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x = 2 � 3� � b) ĐKXĐ: x2 - 3x + � � � x �+ � (luôn với x ) � � � 2� � 2x - = Bình phương hai vế phương trình ta x2 - 3x + = ( - 3x ) � x2 - 3x + = 9x2 - 48x + 64 8x2 - 45x + 60 = � x = 45 � 105 16 Thay vào phương trình ta thấy có x = c) Phương trình tương đương với ( 45 - 105 nghiệm phương trình 16 2x + ) = ( x - ) � 4x2 + 4x + = x2 - 4x + � x=- � � 3x + 8x - = � � �x = � � Vậy phương trình có hai nghiệm x = - x = d) Ta có 2x + = x - � ( 2x + 1) = ( x - 1) � 4x2 + 4x + = x2 - 2x + � 3x2 + 6x = �x = �� � x=- � Thử vào phương trình ta thấy khơng có giá trị thỏa mãn Vậy phương trình vơ nghiệm Ví dụ 3: Tìm nghiệm ( x;y ) với x số nguyên dương phương trình sau 20 - 8x + 6x2 - y2 = y - 4x Lời giải �20 - 8x � � Nếu phương trình có nghiệm ( x;y ) x phải thỏa mãn � � � �7 - 4x � Vì x số nguyên dương nên x = Thay x = vào phương trình ta 12 + - y2 = y (*) Điều kiện xác định phương trình (*) - y2 � (*) � - y2 = 3( y - 2) � - y2 = 3( y - 2) � 20 � x� � � � � � x� � � x � 4y2 - 12y + = � y = 3� 3+ thỏa mãn � + 3� � � � 1; Vậy phương trình có nghiệm thỏa mãn đề � � � � � � Thử vào phương trình (*) thấy có y = Ví dụ 4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương a) mx2 - 2( m - 1) x + m - = (1) ( m - 2) x2 - 3x + m2 - 15 = (2) b) 2x2 + mx - = (3) 2x3 + ( m + 4) x2 + 2( m - 1) x - = (4) Lời giải a) Giả sử hai phương trình (1) (2) tương đương � x =1 Ta có ( 1) � ( x - 1) ( mx - m + 2) = � � � mx - m + = � Do hai phương trình tương đương nên x = nghiệm phương trình (2) Thay x = vào phương trình (2) ta �m = ( m - 2) - + m2 - 15 = � m2 + m - 20 = � � � m=- � � x =1 � Với m = - : Phương trình (1) trở thành - 5x + 12x - = � � � x= � � �x = � Phương trình (2) trở thành - 7x - 3x + 10 = � � 10 � x =� � Suy hai phương trình khơng tương đương � � x= Với m = : Phương trình (1) trở thành 4x - 6x + = � � � x =1 � � � x =1 � Phương trình (2) trở thành 2x - 3x + = � � � x= � � Suy hai phương trình tương đương Vậy m = 4thì hai phương trình tương đương b) Giả sử hai phương trình (3) (4) tương đương 2 Ta có 2x + ( m + 4) x + 2( m - 1) x - = � ( x + 2) ( 2x + mx - 2) = � x=- �� � 2x2 + mx - = � Do hai phương trình tương đương nên x = - nghiệm phương trình (3) Thay x = - vào phương trình (3) ta 2( - 2) + m( - 2) - = � m = � x =- � Với m = phương trình (3) trở thành 2x + 3x - = � � �x = � � 2 Phương trình (4) trở thành 2x3 + 7x2 + 4x - = � ( x + 2) � x =- � �� �x = � � Suy phương trình (3) tương đương với phương trình (4) Vậy m = 3 Bài tập tự luyện Bài 3.2: Giải phương trình sau 2x = a) + b) = 2- x - x2 3- x c) x + 1(x2 - 16) = d) ( 2x + 1) 3- x - =0 3- x 3- x =0 x2 - 2x - Bài 3.3: Giải phương trình sau a) x - = x2 - b) 3x2 - x - = x - c) 2x + = 2x - d) 2x - = 3x - Bài 3.4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương a) x2 + mx - = (1) ( m - 1) x2 + 2( m - 2) x + m - = (2) b) ( 2m - 2) x2 - ( 2m + 1) x + m2 + m - 17 = (3) ( - m) x2 + 3x + 15 - m2 = (4) §2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Phương trình bậc ẩn phương trình có dạng ax + b = với a,b số thực a � Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng ax2 + bx + c = với a,b,c số thực a � Giải biện luận phương trình ax + b = (1) b b Nếu a � : ( 1) � x = phương trình có nghiệm x = a a Nếu a = 0: phương trình (1) trở thành 0x + b = Th1: Với b = phương trình nghiệm với x �R Th2: Với b � phương trình vơ nghiệm Giải biện luận phương trình ax2 + bx + c = Nếu a = : trở giải biện luận phương trình dạng (1) Nếu a � : D = b2 - 4ac - b� D Th1: D > phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 2a TH2: D = phương trình có nghiệm kép x = - b 2a Th3: D < phương trình vơ nghiệm Định lí Vi-ét ứng dụng a) Định lí Vi-ét Hai số x1 x2 nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = chúng thỏa mãn hệ b c thức x1 + x2 = x1x2 = a a b) Ứng dụng Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f ( x ) = ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 x2 phân tích thành nhân tử f ( x ) = a ( x - x1 ) ( x - x2 ) Tìm hai số biết tổng tích chúng: Nếu hai số có tổng S tích P chúng nghiệm phương trình x2 - Sx + P = Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai: b c Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0(*), kí hiệu S = - , P = a a + Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu P < D �0 � � � + Phương trình (*) có hai nghiệm dương � �P > � � � �S > �D � � � + Phương trình (*) có hai nghiệm âm � �P > � � � �S < B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b = Phương pháp giải Để giải biện luận phương trình dạng ax + b = ta dựa vào kết nêu Lưu ý: � a �0 Phương trình ax + b = có nghiệm � � � a =b= � � a=0 Phương trình ax + b = vô nghiệm � � � � �b � Phương trình ax + b = có nghiệm ۹ a Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải biện luận phương trình sau với m tham số a) ( m - 1) x + - m = b) m( mx - 1) = 9x + c) (m + 1)2x = (3m + 7)x + + m Lời giải a) Phương trình tương đương với ( m - 1) x = m - + Với m - = � m = 1: Phương trình trở thành 0x = - Suy phương trình vơ nghiệm + Với m -�۹ m : Phương trình tương đương với x = m- m- Kết luận m = : Phương trình vơ nghiệm m- m- b) Ta có m( mx - 1) = 9x + � ( m - 9) x = m + m � : Phương trình có nghiệm x = + Với m2 - = � m = �3 : Khi m = : Phương trình trở thành 0x = suy phương trình vô nghiệm Khi m = - : Phương trình trở thành 0x = suy phương trình nghiệm với x �R m+3 + Với m2 -�۹� = m : Phương trình tương đương với x = m - m- Kết luận: m = : Phương trình vơ nghiệm m = - : Phương trình nghiệm với x �R m ��3: Phương trình có nghiệm x = m- � (m + 1)2 - 3m - 7� x = 2+m c) Phương trình tương đương với � � � ( m2 - m - 6) x = + m �m = + Với m - m - = � � : � m=- � Khi m = : Phương trình trở thành 0x = suy phương trình vơ nghiệm Khi m = - : Phương trình trở thành 0x = suy phương trình nghiệm với x �R �m � m+2 + Với m - m - � � � : Phương trình tương đương với x = = � m �- m - m- m- � Kết luận: m = : Phương trình vơ nghiệm m = - : Phương trình nghiệm với x �R m � m �- : Phương trình có nghiệm x = m- Ví dụ 2: Giải biện luận phương trình sau với a,b tham số a) a2 ( x - a ) = b2 ( x - b) b) b( ax - b + 2) = 2( ax + 1) Lời giải 2 2 3 a) Ta có a ( x - a ) = b ( x - b) � ( a - b ) x = a - b + Với a2 - b2 = � a = �b Khi a = b : Phương trình trở thành 0x = suy phương trình nghiệm với x �R Khi a = - b b � 0: Phương trình trở thành 0x = - 2b3 suy phương trình vơ nghiệm (Trường hợp a = - b,b = � a = b = rơi vào trường hợp a = b ) + Với a2 -�۹� b2 a b : Phương trình tương đương với x = a3 - b3 a2 + ab + b2 = a +b a2 - b2 Kết luận a = b : phương trình nghiệm với x �R a = - b b � : phương trình vô nghiệm a2 + ab + b2 a ��b : Phương trình có nghiệm x = a +b b) Ta có b( ax - b + 2) = 2( ax + 1) � a ( b - 2) x = b2 - 2b + � a=0 + Với a ( b - 2) = � � � b=2 � Khi a = : Phương trình trở thành 0x = b2 - 2b + , b2 - 2b + = ( b - 1) + > nên phương trình vơ nghiệm Khi b = : Phương trình trở thành 0x = suy phương trình vơ nghiệm � a �0 b2 - 2b + � x = a b � � ) + Với ( : Phương trình tương đương với � � a ( b - 2) �b � Kết luận a = b = phương trình vơ nghiệm b2 - 2b + a � b � phương trình có nghiệm x = a ( b - 2) Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm a) (m2 - m)x = 2x + m2 - b) m( 4mx - 3m + 2) = x(m + 1) Lời giải a) Ta có (m2 - m)x = 2x + m2 - � (m2 - m - 2)x = m2 - �m �- hay m2 - m - � � � � � �m � Vậy với m �- m � phương trình có nghiệm 2 b) Ta có m( 4mx - 3m + 2) = x(m + 1) � ( 4m - m - 1) x = 3m - 2m Phương trình có nghiệm ۹ a Phương trình có nghiệm ۹ a hay 4m2 �۹ m m � 17 � 17 phương trình có nghiệm Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hai hàm số sau khơng cắt y = ( m + 1) x2 + 3m2x + m Vậy với m � y = ( m + 1) x2 + 12x + Lời giải Đồ thị hai hàm số không cắt phương trình ( m + 1) x2 + 3m2x + m = ( m + 1) x2 + 12x + vô nghiệm 10 + Nếu m � : -) Ta thấy x không thỏa mãn (*) -) Thay x vào (*) ta m (TM ) 2 �7 � �4 � 65 Tính � � � � �3 � �3 � Câu 100 Chọn A �x �a Điều kiện � �x �a x 1 x � x 1 x a x x a 1 � a 1 x a Khi đó, x a 1 x a Phương trình cho vơ nghiệm � a0 � � � a a a � 2a a � � a � � a 1 a a � � a 1 2a � � � � � a 2 a 1 � a 1 � � � � � a 1 � a �0 � � Vậy có giá trị tham số a để phương trình vơ nghiệm Câu 101 Chọn A 3x x x x �0, x y � y 3 x y 1 x y x 2x y Nếu phương trình có nghiệm x y 1 y 3 y 1 �0 Nếu y �3 để phương trình ẩn x có nghiêm � � � y y y y y �0 � y y �0 � 2 �y �3 2 � a 2, b 2 � a b ab 35 2 DẠNG 5.1.5 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Câu 102 Chọn D � �x �1 �x �1 x2 x m x 1 � � � �2 x x m x 1 �x x m 1 � Phương trình cho có nghiệm � 1 có nghiệm x �1 Số nghiệm (1) số giao điểm đường thẳng y m đồ thị hàm số f x x x 76 m 5 � m5 � �� Dựa vào bảng biến thiên ta có: � m 4 � m � Câu 103 Chọn B �x �2 x x 2m x � � �x 3x 2m Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thị hàm số y x 3x với đường thẳng y m tập 2; � Ta có đồ thị sau m Dựa vào đồ thị suy phương trình có nghiệm 2m �۳ Câu 104 Chọn D � �x �0 �x �2 x x 2m x � � � �2 x x 2m x �x x m * � Xét hàm số f x x x , x �2 BBT: 2m m Phương trình cho có nghiệm � * có nghiệm x �۳۳ Câu 105 Chọn B Với giá trị dương m �x �m �x �m �x �m 2 � � � xm Ta có x m x m � � � � 2 xm 2m �x m �x m ( x m) � Vậy phương trình ln có nghiệm x m Câu 106 Chọn C � x �0 � � �x � * Phương trình cho � � 2 � � � �x x m x 1 m 3x x � 77 Phương trình cho vô nghiệm (*) vô nghiệm Ta có bảng biến thiên hàm số y x x sau Từ BBT suy pt vô nghiệm m 15 Câu 107 Chọn C � x �0 � x � � � � � x x 2m x � � 2 �x x 2m x 1 � x x m * � � 1� � 1� Đặt t x ;phương trình (*) trở thành: � t � � t � 2m � 2� � 2� � 3t t 2m ** Yêu cầu toán thỏa mãn phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn �x1 x2 phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 thỏa �t1 t2 Điều � �3 � � 1 4.3 � 2m � � �4 � � � m � 1 � � 3 S � � m� kiện: � � 3 � � m� � � � 2m �0 �P � �1 � Vậy S � ; � Ta có: 8 �3 � Câu 108 Chọn C � x x �0 �x �3 � � � Ta có: x x 2m 3x x � � � x x 2m x x � �x 2m 2 Để phương trình 1 có nghiệm thì: �2m �3 � 1 �m �0 � m � 1;0 � a b Câu 109 Chọn D 78 � x �0 x� � � � Phương trình tương đương: � � �x x m x � x x m0 � Để phương trình x x m x có hai nghiệm phân biệt � x x m có hai � � � � 4m 0 � 0 � � � x1 x2 �� 40 nghiệm phân biệt thỏa x2 x1 � � � � � 1 � 1� � 1� � �x1 x2 x1 x2 �0 �x1 � �x2 ��0 � � 2� � 2� � � 4m 0 � �� � 4 m � 1 m �0 � � Câu 110 Chọn B Điều kiện: 2 �x �2 4�2 Đặt t x x �t Lại có: x � x 2 2 x x x x 12 12 t t 2 Khi phương trình cho chuyển về: t t m � t t m 1 2; 2 � Yêu cầu toán � tìm m để phương trình (1) có nghiệm t �� � � � đồ thị hàm số f t t t cắt đường thẳng y m đoạn � 2; 2 � � �(*) 2; 2 � Bảng biến thiên f t t t � � � Từ BBT ta có (*) ۣ 2 m 2 � Mà m ��� m � 2;3; 4;5;6 Câu 111 Chọn C ĐK: x �1 x 1 x2 1 x 1 x 1 3 24 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 1 �1, x �1 nên � 1) Đặt t mà , �t 1 , (vì x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Ta m 3t 2t f t , �t 1 x 1 m x x2 � m f� t 6t , f � t � t 79 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm � �m Câu 112 Chọn B Tập xác định: D 2018; 2018 \ 0 , m ��1 Đồ thị hàm số y f x � nhận trục Oy làm trục đối xứng m 2018 x m2 2018 x � m2 m2 1 x f x f x , x �D m 2018 x (m 2) 2018 x , x �D (m 1) x 2018 x m 2018 x m 2018 x m 2018 x , x �D � m2 m � m 1 l �� Vậy m 2 m 2 � Câu 113 Chọn B Điều kiện: x 3 x m x m � x m x m � x 3m Với x 3 ;phương trình x3 Để phương trình có nghiệm 3m 3 � m 1 � m � 1; � Câu 114 Chọn D ĐK: x �0 Ta có x m x x x � x2 m x x x (1) Với x nghiệm phương trình Với x �0 phương trình (1) trở thành � x2 x2 m (2) x x x2 , t �2 x Phương trình (2) trở thành: t 4t m � t 4t m (*) Để phương trình dã cho có nghiệm phương trình (*) có nghiệm lớn Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị hàm y t 4t đường thẳng ym Đặt t Xét hàm số y t 4t có đồ thị hình vẽ 80 Dựa vào đồ thị hàm số, để phương trình cho có nghiệm phương trình (*) có nghiệm lớn suy m �2 Suy số giá trị nguyên tham số m � 2018; 2018 để phương trình có nghiệm 2021 Câu 115 Chọn D Xét hàm số f x 5m 2m m x 1 x x liên tục � f 1 1 , f 5m 2m m Để phương trình có nghiệm thuộc khoảng 1;0 f m m m � 5m m m � 4m � m4 � � � m4 � 5m 2m �0 � � � m �4 �� �� �� � � m 3 � m �4 m �0 � � � � 4m 6m 18 � � � � � m m m m 16 � � � m 3 �m � � 3; �hay P a 2b 12 Do m �� � 2� Câu 116 Chọn C Tập xác định: D 1;5 Đặt u x x , ta có u Ta lại có: u x x x 1 x Bunhiacopxki � 1 42 x 1 x �4 ;nên u �2 12 x x 8, nên u �2 2 ; 2� Vậy với x � ; 5 u �� � � Mặt khác u x 1 x 42 Khi ta thu phương trình: u x 1 x x 1 x 3 u 4 m � u u m 2 2 ; 2� Xét hàm số f u u u đoạn � � � Ta có bảng biến thiên sau: 81 � u2 Dựa vào bảng biến thiên ta có yêu cầu toán tương đương �m �6 2 Vì m ��� m � 2;3; 4;5;6;7;8 DẠNG 5.1.6 PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Câu 117 Chọn A Đặt t x , t �0 ; phương trình trở thành: t 2(m 1)t 4m x 2(m 1) x 4m có nghiệm phân biệt � t 2(m 1)t 4m có nghiệm dương phân biệt ' � � �� S0 � P0 � � m 6m m �3 � � �� m 1 �� m2 � � m � Câu 118 Chọn C Nhận xét: x khơng nghiệm phương trình, chia hai vế cho x , ta được: �2 � � 1� �x � 2m �x � � x � � x� 1 Đặt t x | t | 2; x t2 x x2 Phương trình trở thành: t 2mt 0(*) Ta có � m 0, m � Phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt t1 m m t2 m m t1 2 (1) � Phương trình cho vơ nghiệm � t2 (2) � � m �0 (1) � 2 m m2 � m m � � �m 2 (m 2) m � � m �0 (2) � m m � m m � � �m 2 (m 2) m � 3 Vậy với m thỏa mãn: m phương trình vơ nghiệm 4 3� � � � �; ��� ; �� Suy tập tất giá trị m để hệ có nghiệm là: � 4� � � � 82 Câu 119 Chọn C Đặt t x , t �0 , phương trình cho trở thành t 4t m * Phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình * có nghiệm trái dấu có nghiệm kép dương Trường hợp phương trình * có nghiệm trái dấu 6 m3 � m3 6 � m 6 Các số nguyên không dương thỏa mãn trường hợp m � 1;0 Trường hợp phương trình * có nghiệm kép dương � � 10 m3 � � m 10 �� � b t1 t 20 � 2a � Như thế, khơng có giá trị m ngun thỏa mãn trường hợp Vậy có tất giá trị ngun khơng dương tham số m để phương trình cho có nghiệm Câu 120 Lờigiải Chọn A Ta có x x3 x x m � x2 x x2 x m Phương trình trở thành: t 2t m � t 2t m (*) Đặt t x x , t � Để phương trình dã cho có nghiệm phương trình (*) có nghiệm lớn Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị hàm y t 2t đường thẳng y m Xét hàm số y t 2t có đồ thị hình vẽ Dựa vào đồ thị hàm số, để phương trình cho có nghiệm phương trình (*) có nghiệm lớn 1 suy m � 16 Vậy khơng có giá trị nguyên âm m để phương trình cho có nghiệm Câu 121 Chọn A Ta có x khơng nghiệm phương trình cho 83 Chia hai vế phương trình (1) cho x ta phương trình x x (m 1) (2) x x 1 � 1� Đặt t x , với x suy t �2 x , t �x � x x x x � x� (3) với t �2 Phương trình (2) trở thành t 2t m Xét hàm số f (t ) t 2t 2; � Ta có bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm dương phương trình (3) có nghiệm t �2 � đường thẳng y m cắt đồ thị hàm y f (t ) 2; � Dựa vào bảng biến thiên, ta có u cầu tốn thỏa mãn m �5 � m �5 Vậy với giá trị m �5 phương trình cho có nghiệm Câu 122 Chọn A Ta có x x x m � x ( x 4) 3( x 2) m 1 2 �a x Đặt a x � � �x a Khi (1) có dạng: a a 2 3a m � a 11a 16 m (2) Đặt t a �0 (2) � t 11t 16 m (*) u cầu tốn � (*) có hai nghiệm dương phân biệt � 112 4(16 m) � � �S 11 � 16 m 14, 25 �P 16 m � mà m nguyên nên suy có 30 giá trị m thỏa mãn Câu 123 Chọn C Đồ thị y f x 84 f x m � f x m Từ đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm m 1 � m Câu 124 Chọn A Đặt t x x x 1 �3 Phương trình � t 2mt 4m � 2m t t � 2m t 1 2 t 2 t 1 3; � t 2 � t 2 t 1 t � t 2 � � , f� Ta có f � t 2 t 2 � Xét hàm số f t Với t phương trình 1 có hai nghiệm x , đề phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt � phương trình có nghiệm t 2m m4 � � �� Dựa vào BBT ta được: � � 2m m 2 � � Câu 125 Chọn A Đặt t x , t �0 Phương trình trở thành: t 3mt m 0(*) Do phương trình cho có nghiệm phân biệt nên pt(*) có hai nghiệm phân biệt dương Khơng tính tổng quát giả sử pt(*) có hai nghiệm t1 ; t2 phương trình cho có nghiệm x1 t1 ; x2 t1 ; x3 t2 ; x4 t2 Theo giả thiết thì: M x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 t1 t1 t2 t2 t1 t1 t2 t2 t1 t2 m Câu 126 Chọn D Ta có: pt cho � ( x x 2)( x x) m (1) � 3� Đặt t x 3x , t x 3x �x � � � 2� Khi pt (1) � (t 2)t m � t 2t m (2) 2 Pt (1) có nghiệm phân biệt pt (2) có nghiệm phân biệt t1 , t2 *)Xét (2): ' m � m 1 Khi m>-1, (2) có nghiệm phân biệt t1 1 m , t2 1 m (t1 t ) 85 m 1 m 1 � � 9 � � Pt (2) có nghiệm phân biệt t1 , t2 � � 9�� � 1 m 16 t1 1 m 1 m � � � � m ��� m DẠNG 5.2 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM THỎA MÃN U CẦU CHO TRƯỚC Câu 127 Chọn A Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì: 3 m 1 � m � m Câu 128 Chọn B Xét phương trình x x m 1 Phương trình 1 có hai nghiệm trái dấu khi: ac � m 1 � m Câu 129 Chọn B Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac � ( m 1)( m 2) � 1 m Câu 130 Chọn C Phương trình có hai nghiệm trái dấu � ac � m m � m Câu 131 Chọn A Pt x 2mx m2 3m có nghiệm trái dấu m 3m � m Nên chon đáp án A Câu 132 Chọn C Câu 133 Chọn D m �0 � � � 0 � Ta có mx m 1 x m có hai nghiệm phân biệt dương � � �S � �P m �0 � � m �0 m 1 m m 1 � � � � m 1 � � �2 m 1 �� � m m �m � � m � �m m �m � � 0 �m Câu 134 Chọn C Phương trình mx - ( m - 2) x + m - = có nghiệm dương phân biệt khi: m �0 � � � m �0 � � � ( m - 2) - m ( m - 3) > � � � � � - m +4 > � � � � m ( ) � � m �( �;0) �( 3; 4) � � >0 m �� ;0 � 2; +� � � ( ) ( ) � � m � � � � m �� � ( �;0) �( 3; +�) m � � > � � �m Câu 135 Chọn A 86 0 �� � Phương trình x m 1 x 9m có hai nghiệm âm phân biệt �S �P � �� m6 � � � � m 1 9m �m 7m ��m m6 � � � � � � �� 2 m 1 � �m 1 � �m 1 � � m � � � � 9m � � � m m � � � �5 � Vậy m �� ;1�� 6; � �9 � Câu 136 Chọn A Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thì: m m m2 (m 2)(m 3) m m 0 m 3 m m m 2m 0 m m m Câu 137 Chọn B Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt � � m �1 m �1 � � �1 m � � 2 m � �2 � m m 1 3m 2m 5m � � � � � 0 m0 �2m � �2m �� �� �� � �� � 1 m � S m � m m � � � � � � � �� P m m � 0 0 � � �� m �m �m �� � m 1 �� Câu 138 Chọn A ĐK: phương trình có hai nghiệm dương phân biệt là: � � / � / m m 11 � � b � � � 0�� S 60 �� � m 11 �S a � �P m � m2 � � � c P 0 � � a Vậy đáp án A Câu 139 Chọn D 87 Phương trình có hai nghiệm phân biệt hai số đối � � � � m �0 � � m �2 m 1 � � � m m 1 � �2 m � � � �m � � m �1 � m m 0 � � � � � ��m � m2 Câu 140 Chọn A 2 Phương trình x m x m m có hai nghiệm đối � phương trình có hai �m m � m �� nghiệm trái dấu x1 , x2 x1 x2 � � �m Câu 141 Chọn B m2 � m2 � � Phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 � � m 2 � Khi theo Vi-et ta có: x1 x2 2m; x1 x2 Ta có: x12 x1 x2 x22 � x1 x2 3x1 x2 Thế vi-et ta được: 4m2 12 � m � m � (Loại) Vậy giá trị m thỏa mãn yêu cầu tốn Câu 142 Chọn A 2 Phương trình bậc hai x m x m có nghiệm x1 , x � m m 1 �0 � 3m 4m �0 ۣ �0 m �x1 x m 2 �x1 x m Áp dụng hệ thức Viet ta có: � Khi đó, P x1 x x1x m m 1 m 4m � 4� � 4� 0; � Có P� 2m �0 m �� 0; � Xét P m 4m m �� � 3� � 3� �4 � 95 � �� max f m f 0; � � � � � Hàm số f m đồng biến � �3 � 0; � � � 3� � � Vậy giá trị lớn biểu thức P 95/9 Câu 143 Chọn B , không thỏa yêu cầu đề Nếu m �2 , phương trình có hai nghiệm phân biệt hai số đối m2 S x1 x2 � � m �1 m2 Thử lại với m ta có pt x � x l Nếu m 2 phương trình có dạng: 12 x � x Với m 1 ta có pt x � x � n 88 Câu 144 Chọn C Vì phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1 x2 từ định lí Vi-et ta suy ra: x1 x2 3x2 � x2 m1 � 2 Thay x2 vào phương trình ta được: m 3m � m 3m � � m2 � Ta có 4m2 12m 16 4m2 12m ;nên hai giá trị m1 ; m2 thỏa mãn điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt Do đó: m1 m2 m1m2 Câu 145 Chọn C +) Phương trình x m 1 x 3m có hai nghiệm trái � a.c � 3m � m �x1 x2 2m +) Theo định lí Vi-et ta có: � �x1 x2 3m +) Theo đề có : * � �x1 � x1 x2 �x2 Do (*) tương đương với : 1 1 � � x1 x2 x1 x2 � 2m 9m � m (Không thỏa mãn đk) x1 x2 x1 x2 11 Vậy khơng có giá trị tham số m thỏa mãn đề Câu 146 Chọn B �x1 x2 m 1 � ' m 1 m 2 2m m Ta có : �۳ Theo Viét ta có : � 2 �x1 x2 m A x12 x2 16 3x1 x2 x1 x2 x1 x2 16 3x1 x2 m 1 m 16 m2 4m 16m 16 m m m2 3m2 m 3m 2m 2 Xét f m 3m 2m Với m � �1 � � � f � � Ta có hàm số f m nghịch biến � ; ��Do MaxA � � �2 � x�� ;�� � � � � a ta chọn đáp án B b Câu 147 Chọn B Khi phương trình x 2(m 1) x 2m có hai nghiệm x1 x2 , theo Vi-et ta có Vậy t1 t2 3( x1 x2 ) 6(m 1) �x1 x2 2(m 1) � �� � t1t2 (3x1 ) 3 x2 x1 x2 2m 3 � �x1 x2 2m Nên 3x1 3x nghiệm phương trình t 6(m 1) x 2m 3 Câu 148 Chọn C 89 Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 m �1 � � m m 1 m 1 � � �� �� m m �1 � � � m 2 m m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m2 � � m 1 m0 � � � � m m4 A ��� � �� m 4 m 3( L) � � m 1 m3 � � m 2 m 1 � � Vậy tập giá trị nguyên m thỏa yêu cầu toán là: 1;0; 2;3; 4 Câu 149 Chọn A x1 x2 x1 x2 x1 x2 Ta biến đổi: P x x x x x1 x2 x1x2 x1x2 x1 x2 Khi A x1 x2 x1 x2 m 1 2m m2 m 2 m 4m m m 2 2m 4m 1 P � 2 m 2 m 2 2 m 2 m 2 Áp dụng định lý VI – ÉT: P Vậy giá trị nhỏ Pmin Câu 150 Chọn D 2 Ta có phương trình x mx m 2 Yêu cầu tốn � phương trình có hai nghiệm dương x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 �0 � �S x1 x2 m � +) Phương trình có hai nghiệm dương � �P với � P x x m � �S � �2 �m �2 � 3m 12 �0 � m �2 �� � �� � m �2 a � �m m � � � m0 � �m � 2 +) x12 x22 � S P � m m 3 � m � (loại so với điều kiện a ) Vậy khơng có giá trị m thỏa yêu cầu toán 90 ... 15 DẠNG 1. 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT .15 DẠNG 1. 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 17 DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU 18 DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI CĂN 19 ... xác định phương trình ta thu phương trình tương đương với phương trình cho Bình phương hai vế phương trình ta thu phương trình hệ phương trình cho Bình phương hai vế phương trình( hai vế ln... � Phương trình (1) trở thành: 5 x 12 x � � � T1 � ;1? ?? � �5 x ? ?1 � � ? ?10 x �? ?10 � � T2 � ;1? ?? Phương trình (2) trở thành: 7 x 3x 10 � � � �7 x ? ?1 � Vậy T1 �T2 � Hai phương trình
Ngày đăng: 15/12/2020, 20:29
Xem thêm: