Đáp án GT3 nhóm 1

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Nhóm Giải tích III ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH III 20192 Câu ∞ √ n −√ ) n n3 + n=2 √ n − ( n + 1) Xét an = √ √ n.( n2 + 1) −1 n − n2 − ⇒ an ∼ ⇒ an = n + n2 n2 ∞ Ta có: phân kỳ n=2 n ⇒ Chuỗi ban đầu phân kỳ (√ a, I = ∞ (−1)n ( b, n=0 2n2 + 69 ); 3n2 + 96 n → +∞ an = (−1)n ( 2n2 + 69 ) 3n2 + 96 n→∞ −2 +, Với n = 2k + (k ∈ N ) ⇒ lim an = n→∞ ⇒ Với n lim an = +, Với n = 2k (k ∈ N ) ⇒ lim an = n→∞ Vậy chuỗi phân kỳ Câu Tìm miền hội tụ chuỗi: ∞ I= n=1 x+6 n ( ) n.2n x − ∞ x+6 n ⇒I= y Đặt y = x−9 n.2n n=1 Xét an = n.2n an (n + 1).2n+1 Ta có R = lim | | ⇒ R = lim | |=2 n→∞ n→∞ an + n.2n ⇒ |y| < chuỗi hội tụ ∞ +, Xét y = 2, I có dạng: I = (phân kỳ) n n=2 ∞ +, Xét y = −2, I có dạng: I = n=2 (−1)n n ⇒ I hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz Với −2 ≤ y < chuỗi hội tụ x > 24 ⇒ x≤4 Vậy MHT (−∞; 4] ∪ (24; ∞) Câu Tính tổng chuỗi số sau: Trang Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Nhóm Giải tích III ∞ +, I = n=1 ∞ = n=1 ∞ = n=1 n 8n−1 n 8n−1 8n + 8n ∞ + n=1 + ∞ n.xn−1 Xét I1 = n=1 ⇒ (|x| < 1) ∞ n.xn−1 I1 dx = ∞ ⇒ 8n (|x| < 1) n=1 xn + C I1 = (|x| < 1) n=1 ⇒ I1 dx = x +C 1−x (|x| < 1) ) 1−x ⇒ I1 = (1 − x)2 Thay x = 64 = ⇒ I1 = 49 (1 − )2 64 71 ⇒I= + = 49 49 ⇒ I1 = ( Câu Khai triển Fourier f (t) = 2x + 3, 0≤x≤π −2x + 3, − π < x < Giải π +) a0 = π f (x)dx −π π ⇒ a0 = π (2x + 3)dx + π (−2x + 3)dx −π ⇔ a0 = π + + π + ⇔ a0 = 2π + π +) an = π f (x)cosnxdx −π π ⇒ an = π (2x + 3)cosnxdx + π (−2x + 3)cosnxdx −π 2 2 (−1)n − − − (−1)n ⇔ an = πn πn πn πn −4 ⇔ an = πn2 Trang Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Nhóm Giải tích III +) Do f(x) hàm chẵn nên bn = với ∀x dương ⇒ bn = ∞ −4 ⇒ f (x) = π + + cosnx πn2 n=1 Câu Giải phương trình sau: a, (x2 + y)dx + (x − 2y)dy = P = x2 + y Đặt ⇒ Py = Qx = Q = x − 2y Chọn (x0 , y0 ) = (0, 0) phương trình tích phân tổng qt là: y x x3 (t2 + y)dt+ (−2t)dt = C ⇒ + xy − y = C 0 b, xy ” = 2yy − y ⇒ xy ” + y = 2yy ⇒ (xy ) = (y ) ⇒ xy = y + C (1) +, C = (1) có dạng: ⇒ xy = y Ta thấy y = nghiệm kì dị dx −1 dy ⇒ = ln|x| + A Với y = 0, = y x y dy dx +, C = 0, = y +C x y Với C > ⇒ √ arctan √ = ln|x| + A C C√ y − −C √ Với C < ⇒ √ ln| | = ln|x| + A −C y + −C c, y ” + 4y = cosx.cos3x 1 ⇒ y ” + 4y = cos4x + cos2x 2 Phương trình đặc trưng: u2 + = ⇔ u = ±2i Suy Y = C1 cos2x + C2 sin2x Xét phương trình: y ” + 4y = cos4x (2) Đặt y0 = Acos4x + Bsin4x ⇒ y0 = −4Asin4x + 4Bcos4x ⇒ y0” = −16Acos4x − 16Bsin4x −1 B = Thay vào (2) tìm A = 24 −1 ⇒ y0 = cos4x 24 Xét phương trình: y ” + 4y = cos2x (3) Đặt y1 = Cxcos2x + Dsin2x x Tương tự tìm y1 y1” thay vào (3) ta được: y1 = sin2x −1 x cos4x + sin2x Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: y = C1 cos2x + C2 sin2x + 24 Câu a, x” + 3x + 2x = t; Laplace vế ta có: x(0) = x (0) = Trang Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ trợ học tập Nhóm Giải tích III s2 X + 3s.X + 2X = , X = L{x}(t) s −3 −1 1 = + 2+ + ⇒X= s (s + 1)(s + 2) 4s 2s s + 4(s + 2) −3 −1 −2t ⇒x= + t+ e + e−t 4 b, x” + x = f (t); x(0) = x (0) = −sin2t, t < π f (t) = − cost, t ≥ π Từ đề suy ra: x” + x = (1 − cos(t − π))u(t − π) − sin2t Đặt X = L{x}(t) Laplace vế được: s e−πs + e−πs − s2 X + s.X = s s +1 s +4 e−πs s.e−πs ⇒X= + − 2 s + s (s + 1)(s + s) (s + 1)(s2 + 4) t f (u).[1 − eu−t ]du ⇒ x(t) = t sin2u(eu−t − 1)du Với t < π f (t) = −sin2t ⇒ x(t) = t t sin2u(eu−t − 1)du + Với t ≥ π f (t) = − cost ⇒ x(t) = (1 − cost)(1 − eu−t )du π Trang ... học tập Nhóm Giải tích III ∞ +, I = n =1 ∞ = n =1 ∞ = n =1 n 8n? ?1 n 8n? ?1 8n + 8n ∞ + n =1 + ∞ n.xn? ?1 Xét I1 = n =1 ⇒ (|x| < 1) ∞ n.xn? ?1 I1 dx = ∞ ⇒ 8n (|x| < 1) n =1 xn + C I1 = (|x| < 1) n =1 ⇒ I1 dx... < 1) n =1 xn + C I1 = (|x| < 1) n =1 ⇒ I1 dx = x +C 1? ??x (|x| < 1) ) 1? ??x ⇒ I1 = (1 − x)2 Thay x = 64 = ⇒ I1 = 49 (1 − )2 64 71 ⇒I= + = 49 49 ⇒ I1 = ( Câu Khai triển Fourier f (t) = 2x + 3, 0≤x≤π... y0” = ? ?16 Acos4x − 16 Bsin4x ? ?1 B = Thay vào (2) tìm A = 24 ? ?1 ⇒ y0 = cos4x 24 Xét phương trình: y ” + 4y = cos2x (3) Đặt y1 = Cxcos2x + Dsin2x x Tương tự tìm y1 y1” thay vào (3) ta được: y1 = sin2x