NGUYÊN HÀM Định nghĩa f x F x Cho hàm số ( ) xác định khoảng K Hàm số ( ) gọi nguyên hàm f x F ' x = f ( x) hàm số ( ) ( ) với x �K f ( x) dx = F ( x) +C Ký hiệu: � Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp Bảng nguyên hàm �kdx = kx +C , a +1 x �x dx = a +1+C ( a �- 1) a 1 ax +C ln a mx+n �a dx = �sin xdx = - �sin( ax + b) dx = - x cos x +C dx = - cot x +C �sin �a f ( x) dx = a.�f ( x) dx ( a ι f ( x) �g( x) � dx = �f ( x) dx ��g( x) dx �� � � �, a Bài 1: Tính nguyên hàm sau: c) ( x x 5)dx � (2 x 1) dx � ( x 3)(3 x 1)dx � d) � x � �x e) �x � �dx x2 � x x x dx �cos ( ax + b) dx = a tan( ax + b) +C Tính chất: = f ( x) 1 cos( ax + b) +C a dx = tan x +C x x amx+n +C m.ln a �cos( ax + b) dx = a sin( ax + b) +C �sin �2 dx = eax+b +C a ax+b �cos xdx = sin x +C b) �e x a) a +1 �e dx = e +C �cos a �ax + bdx = a ln ax + b +C x �a dx = / số a +1 a ( ax + b) ax + b d x = +C ( ) � �x dx = ln x +C x ( �f ( x) dx) k 0) 2 1 dx = - cot( ax + b) +C a ( ax + b) (2 x 5.3x 4.e x )dx f) � g) �4 h) � � �cos x x 2.6 x dx � � sin x 12.e x � dx x � Bài 2: Cho F(x) nguyên hàm f ( x) x x Biết F(1)=3 Tính F(2) Bài 3: Cho f '( x ) 5sin x Tìm f ( x ) biết f (0) Bài 4: Cho f ''(x) x Tính f (1) biết f '(0) 3, f (2) Một số phương pháp tìm nguyên hàm 3.1 Phương pháp đổi biến số f ( x) dx = F ( x) +C f� u ( x) � u '( x) dx = F � u ( x) � +C � � Nếu � � � � t u x Dạng 1: Đổi biến số cách đặt PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau : u x t = u ( x) Bước 1: Đặt , hàm số thích hợp dt = u ' ( x ) dx Bước 2: Lấy vi phân hai vế : f ( x) dx= �g ( t ) dt = G ( t ) +C = G � u ( x) � +C � � Bước 3: Khi đó: � Chú ý: Các dấu hiệu thường gặp: Dấu hiệu Cách đặt Hàm số có mẫu số Đặt t = mẫu Hàm số có e f ( x ) dx � Đặt t = f (ln x ) � x dx f (cos x) sin xdx � f (sin x) cos xdx � Bài 5: Tính nguyên hàm sau: I � (2 x 1)( x 1)10 dx a) I � x 5dx b) c) I � ( x3 3x) x 1dx ln x ln x I � dx x d) Đặt t = f(x) Đặt t = ln x Đặt t = cos x Đặt t = sin x sin x I � dx sin x e) I � (sin x 3) cosx dx f) ex I �x dx e 2 g) x t Dạng 2: Đổi biến số cách đặt PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau : x t t Bước 1: Chọn , hàm số mà ta chọn thích hợp dx ' t dt Bước 2: Lấy vi phân hai vế : f ( x)dx f � t � ' t dt g t dt � � Bước : Biến đổi : f ( x )dx � g (t )dt G (t ) C Bước 4: Khi tính : � * Lưu ý : Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu thông thường : Dấu hiệu a x 2 Cách chọn � x a sin t � �t � � 2 � x= a cost � t � x2 a2 � a � � x � t �� ; � �2 2� � � sin t � a � � x � t � 0; \ � � � �2 � cost a2 x2 � � � x a tan t � t �� ; � � 2� � � � x a cot t � t � 0; � x a.cos t ax ax � ax a x x a b x x a b a sin t 3.2 Phương pháp lấy nguyên hàm phần � � a; b� a; b� Cho hai hàm số u v liên tục đoạn � �và có đạo hàm liên tục đoạn � � �udv = uv - �vdu Khi đó: Chú ý Cần lựa chọn u dv hợp lí Ta thường gặp dạng sau: � sin x � � I = �P ( x ) � dx � � cos x � � , P ( x ) đa thức ● Dạng � u = P ( x) � � � � � sin x � � � dv = � dx � � � � cos x � � � Với dạng này, ta đặt ● Dạng I = �P ( x) eax+b dx , P ( x) đa thức � u =P ( x ) � � ax+b � dv =e dx � Với dạng này, ta đặt I =�P( x ) ln( mx+n ) dx P x ● Dạng , ( ) đa thức � u = ln ( mx + n) � � � dv = P ( x ) dx � Với dạng này, ta đặt � � sin x � � I = �� e x dx � � cos x � � ● Dạng � � sin x � � � u =� � � � cos x � � � � � � x dx � d v = e Với dạng này, ta đặt � Mẹo nhớ: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ.” Câu hỏi trắc nghiệm Câu 1: [2H3-1.1-1] Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai f x � f x f x dx C � dx � f x d x � g x dx � �f x g x � � A B � C Câu 2: � dx � f x dx � g x dx �f x g x � � � kf x dx=k� f x dx D � y 2ln x x là: [2H3-1.1-2] Một nguyên hàm hàm số ln x F x F x 2ln x F x ln x F x ln x 2 A B C D x y x e 1 Câu 3: [2H3-1.1-2] Một nguyên hàm hàm số là: x x F x 2e x 1 x F x 2e x 1 x A B x x F x 2e x x F x 2e x x C D ln 2x y x Câu 4: [2H3-1.1-2] Một nguyên hàm hàm số là: ln x 1 x A F x ln x 1 x C ln x 1 x B F x ln x x D F x Câu 5: [2D3-2.3-2] Tìm cosx 1 A 4 C F x sin x 1 � cos xdx sin x C B x cos xdx Câu 6: [2D3-2.6-2] Tìm � 1 x sin x cos2 x C A x sin x C C sinx 1 C C D D sin 2x C Câu 8: [2D3-2.10-2] (Kim Liên – Hà Nội 2017) Cho x f x x F Tính F 2 A B C Câu 9: [2D3-2.6-1] Tìm nguyên hàm hàm số f x dx x e C � f x dx x 1 e C � x x C Câu 10: A f x dx cos x C � C f x dx sin � Câu 11: A xC nguyên hàm hàm số D f x dx x.e x C B � x f x dx x 1 e C D � f x cos x.sin x B f x dx cos � D f x dx sin � [2D3-2.7-2] Tìm nguyên hàm hàm số f x dx � F x x ln 3x x C P cos3 x C D f x x.e x [2D3-2.3-1] Tìm nguyên hàm hàm số 1 x sin x cos2 x C B Câu 7: [2D3-2.3-2] Nguyên hàm hàm số y cos x.sin x là: 1 P cos3 x C P sin x C 3 A B P cos x C C A sin x 1 C B 4 xC xC f x x ln 3x f x dx � x ln 3x x3 C C Câu 12: f x dx � x ln 3x x C 3 D [2D3-2.3-1] Tìm nguyên hàm x2 e C A Câu 13: f x dx ln x � x2 e C B 3x.e � x2 C 3e C [2D3-2.3-1] Tìm nguyên hàm hàm số A f x dx � x C C Câu 14: f x dx � C f x B f x dx � D f x dx � 2 x C [2D3-2.7-3] Tìm nguyên hàm hàm số A x2 x e C D x2 f x dx � x2 x2 4x ln x C f x dx � x x 4x ln x C B D x3 C x 2x2 1 x2 1 C x C f x x.ln x f x dx � x2 x2 4x ln x C f x dx � x2 x2 4x ln x C Câu 15: [2D3-2.7-1]Trong hàm số sau, hàm số nguyên hàm hàm f x ln x ? A Câu 16: F x ln x x B F x x ln x C F x x ln x 1 [2D3-1.3-2] Nguyên hàm hàm số 2 x x2 C x x2 C A B f x x x2 D F x ln x x C C x2 C D x x2 C Câu 17: [2D3-1.2-2] Cho biết F x nguyên hàm hàm số I � � f x 1� dx � � biểu thức bằng: I 3F x C I 3xF x C A B D I 3F x x C C f x Giá trị I 3xF x x C Câu 18 Để tính A �x ln( 2+ x) dx � u= x � � � dv = ln( 2+ x) dx � �x Câu 19 Để tính A theo phương pháp tính nguyên hàm phần, ta đặt: � � � u = ln( 2+ x) u = x ln( + x) u = ln( 2+ x) � � � � � B �dv = xdx cos x dx � � C �dv = dx � � D �dv = dx theo phương pháp tính nguyên hàm phần, ta đặt: u= x � � � � dv = x cos xdx � B I =� xe dx � u = x2 � � � dv = cos xdx � C � u = cos x � � � dv = x2dx � D � u = x2 cos x � � � dv = dx � x Câu 20 Kết x I = x A I = e + xe +C x2 x e +C x I = x x2 x e + ex +C B C I = xe - e +C D x 2x Câu 21 [ĐỀ 2017] Cho F ( x) ( x 1)e nguyên hàm hàm số f ( x )e Tìm ( x)e x nguyên hàm hàm số f � A f� ( x)e x dx (4 x)e x C � B C f� ( x)e � D 2x dx (2 x)e C x f� ( x )e � 2x f� ( x )e � 2x dx 2 x x e C dx ( x 2)e x C f x = x - 1) ex F x Câu 22 Hàm số ( ) ( có nguyên hàm ( ) kết sau đây, biết nguyên hàm x = ? x x x x A F ( x) = ( x - 1) e B F ( x) = ( x - 2) e C F ( x) = ( x +1) e +1 D F ( x) = ( x - 2) e + f ( x) F ( x) 2 x nguyên hàm hàm số x Tìm nguyên Câu 23 [ĐỀ 2017] Cho ( x) ln x hàm hàm số f � �ln x A �f �( x) ln xdx � �x C ( x) ln xdx � �f � �x �ln x Câu 24 Tính nguyên hàm I = ln x.ln( ln x) +C A C 2x2 � � C � 1� � C x2 � ln( ln x) I =� x B D dx I = ln x.ln( ln x) - ln x +C f� ( x) ln xdx � ln x C x2 x2 f� ( x ) ln xdx � ln x C x 2x kết sau đây? I = ln x.ln( ln x) + ln x +C B D I = ln( ln x) + ln x +C ( x)e x Tìm nguyên Câu 25 [ĐỀ 2017] Cho F ( x) x nguyên hàm hàm số f � ( x )e hàm hàm số f � f� ( x)e x dx x x C A � f� ( x )e x dx x x C C � 2x Câu 26 Tính nguyên hàm A I = I =� sin x.exdx x ( e sin x - ex cosx) +C B D f� ( x)e � f� ( x )e � 2x dx x x C 2x dx 2 x x C , ta được: B I = x ( e sin x + ex cosx) +C x C I = e sin x +C x D I = e cos x +C f x x ln x Câu 27 [THAM KHẢO 2019] Họ nguyên hàm hàm số 2 2 2 A x ln x 3x B x ln x x C x ln x 3x C D x ln x x C f ( x) F ( x) 3x nguyên hàm hàm số x Tìm nguyên Câu 28 [ĐỀ 2017] Cho ( x) ln x hàm hàm số f � ln x C x 5x ln x f� ( x) ln xdx C � x 3x C f� ( x) ln xdx � A B ln x C x 5x ln x f� ( x ) ln xdx C � x 3x D f� ( x ) ln xdx � ... Tìm nguyên hàm hàm số f x dx � F x x ln 3x x C P cos3 x C D f x x.e x [2D3-2.3-1] Tìm nguyên hàm hàm số 1 x sin x cos2 x C B Câu 7: [2D3-2.3-2] Nguyên hàm hàm... 2019] Họ nguyên hàm hàm số 2 2 2 A x ln x 3x B x ln x x C x ln x 3x C D x ln x x C f ( x) F ( x) 3x nguyên hàm hàm số x Tìm nguyên Câu 28 [ĐỀ 2017] Cho ( x) ln x hàm hàm số... x)e x Tìm nguyên Câu 25 [ĐỀ 2017] Cho F ( x) x nguyên hàm hàm số f � ( x )e hàm hàm số f � f� ( x)e x dx x x C A � f� ( x )e x dx x x C C � 2x Câu 26 Tính nguyên hàm A I = I