Cong thuc toan 11 ledinhhuy

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11 A HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LÊ ĐÌNH HUY ĐT: 0937519957 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Hàm số TXĐ: Hàm số lẻ hàm số tuần hồn chu kì Hàm số TXĐ: Hàm số chẵn hàm số tuần hồn chu kì Hàm số Hàm số Hàm số lẻ hàm số tuần hồn chu kì Hàm số lẻ hàm số tuần hồn chu kì CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11 – ĐT: 0937519957 Trang LÊ ĐÌNH HUY VD: Tập xác định TXĐ: VD: Tập xác định ĐK: TXĐ: VD: Tìm GTLN GTNN Có khi VD: Tìm GTLN GTNN Có VD: Xét tính chẵn lẻ Kí hiệu TXĐ: Nhắc lại: hàm số chẵn hàm số lẻ Do hàm số lẻ CƠ BẢN CUNG LIÊN KẾT ĐỐI BÙ PHỤ (phụ chéo) (cos đối) (sin bù) HƠN KÉM (tan cot ) (sin lớn cos nhỏ) Trang CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN 11 – ĐT: 0937519957 LÊ ĐÌNH HUY CỘNG (sin sin cos cos sin) (cos cos cos sin sin dấu trừ) NHÂN ĐÔI NHÂN BA (sin3a sin trừ sỉn) (cos3a cổ trừ cơ) CƠNG THỨC HẠ BẬC TÍCH – TỔNG TỔNG – TÍCH (cos cộng cos cos cos) (sin cộng sin sin cos) (cos trừ cos trừ sin sin) (sin trừ sin cos sin) (tình cộng với tình ta, sinh đứa ta) NHỚ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN (cos đối) (sin bù) ĐẶC BIỆT VD: CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11 – ĐT: 0937519957 Trang LÊ ĐÌNH HUY PHƯƠNG TRÌNH CỔ ĐIÊN Cách giải: Chia vế phương trình cho , sau áp dụng cơng thức cộng VD: Chia vế pt cho PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Dạng Cách giải PHƯƠNG TRÌNH CHỨA VÀ s Cách giải Thay vào pt (nhớ ) với Chia vế pt cho , giải pt theo Ghi • Có thể giải cách dùng cơng thức hạ bậc đưa dạng VD: Xét (vô lý) Xét ĐIỀU KIỆN Phương trình chứa VD: với Phương trình chứa Phương trình chứa B PHÉP ĐẾM QUI TẮC CỘNG Công việc chia làm trường hợp: - Trường hợp 1: có cách - Trường hợp 2: có cách Khi đó, tổng số cách thực HOÁN VỊ vật xếp vào chổ, số cách xếp là: QUI TẮC NHÂN Sự vật có cách Ứng với cách chọn ta có cách chọn vật Khi đó, tất số cách chọn liên tiếp vật CHỈNH HỢP vật, lấy vật xếp thứ tự, số cách xếp là: GIAI THỪA Qui ước: Lưu ý: TỔ HỢP vật, lấy vật không xếp thứ tự, số cách xếp CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11 – ĐT: 0937519957 Trang NHỚ Số chia hết cho : tận Số chia hết cho : tận Số chia hết cho : tận Số chia hết cho tận VD: Trong lớp có 18 bạn nam, 12 bạn nữ Có cách chọn a Một bạn phụ trách quỹ lớp b Hai bạn, có nam nữ Giải: a Có cách chọn b Chọn nam: 18 cách Chọn nữ: 12 cách Do có cách VD: Có cách xếp bốn bạn A; B; C; D vào bốn ghế thành hàng ngang? Giải: Số cách xếp cách VD: Cho đường thẳng song song với đường thẳng khác song song với đồng thời cắt đường thẳng cho Hỏi có hình bình hành tạo nên 14 đường thẳng cho? Giải: Một hình bình hành tạo nên từ đường thẳng đường thẳng ban đầu đường thẳng đường thẳng lại Chọn đường từ đường ban đầu có cách Chọn đường từ đường cịn lại có cách Do đó, số hình bình hành VD: Từ số 0; 1; 2; 3; 4; lập số tự nhiên có chữ số a Khác b Là số lẻ c Là số chẵn d Là số chia hết cho Giải: Gọi số tự nhiên thỏa đề () a Chọn : cách Chọn cách Do có số b Chọn : cách Chọn : cách LÊ ĐÌNH HUY Số chia hết cho : tổng chữ số chia hết cho Số chia hết cho : tổng chữ số chia hết cho Khi gặp tập số tự nhiên mà có liên quan số nên chia trường hợp VD: Có bơng hồng, bơng cúc, bơng lan Tì số cách a Chọn từ b Chọn hoa có đầy đủ loại c Chọn bơng có phải có bơng cúc Giải: a Chọn từ 15 bông, số cách b Có cách chọn bơng hồng Có cách chọn bơng cúc Có cách chọn bơng lan Do có cách chọn bơng hoa có đầy loại c TH1: bơng cúc Có cách chọn bơng cúc từ bơng cúc Có cách chọn bơng cịn lại từ bơng Do có cách TH2: bơng cúc Có cách chọn bơng cúc Vậy có tất cách chọn bơng có nh bơng cúc Giải: Điều kiện: Vậy VD: Tìm biết Giải: CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11 – ĐT: 0937519957 Chọn cách Do có số c TH1: Chọn : cách Chọn : cách Chọn cách Do có số TH2: 2; Chọn : cách Chọn : cách Chọn cách Do có số Vậy có số d TH1: Chọn : cách Chọn : cách Chọn cách Do có số TH2: Chọn : cách Chọn : cách Chọn cách Do có số Vậy có số C NHỊ THỨC NEWTON NHỊ THỨC NEWTON NHỚ VD: Khai triển Trang Điều kiện: Vậy LÊ ĐÌNH HUY CÁC CHUN ĐỀ TỐN 11 – ĐT: 0937519957 Trang LÊ ĐÌNH HUY Giải: Ycbt Số hạng khơng chứa VD: Chứng minh Giải: Ta có: Thay D XÁC SUẤT XÁC SUẤT Lưu ý: VD: Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp chứa 20 thẻ đánh số từ đến 20 Tính xác suất để thẻ đư lấy ghi số a Chẵn b Chia hết cho c Lẻ chia hết cho Giải: Không gian mẫu Kí hiệu biến cố câu a; b; c E PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TỐN HỌC Có nhiều cách để chứng minh biểu thức Một cách qui nạp toán học: Kiểm tra với hay không Giả sử với Với , ta chứng minh VD: Chứng minh với với Giải: Với : Với : Đặt Giả sử Với : Ta chứng minh Thật vậy, CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11 – ĐT: 0937519957 Trang LÊ ĐÌNH HUY Vậy hệ thức với F DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN DÃY SỐ Dãy số hàm số từ đến Có cách xác định dãy số: cho số hạng tổng quát; mô tả; cho hệ thức tru hồi DÃY SỐ TĂNG – DÃY SỐ GIẢM dãy số tăng dãy số tăng Giải: Vậy dãy số tăng DÃY SỐ BỊ CHẶN • bị chặn  bị chặn • bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn Giải: Do bị chặn CẤP SỐ CỘNG Dãy gọi CSC thỏa với không đổi công sai Ta có: CẤP SỐ NHÂN Dãy gọi CSN thỏa với không đổi l công bội Ta có: CSC CSN VD: Cho dãy số với a Viết số hạng đầu dãy b Chứng minh cấp số cộng Chỉ rõ c Tính tổng 100 số hạng đầu Giải: a b Có Do Suy cấp số cộng với VD: Tìm CSC biết Giải: VD: Cho dãy số với a Chứng minh cấp số nhân b Lập công thức truy hồi dãy số c Hỏi số số hạng thứ dãy số? Giải: Do cấp số nhân với b c Giả sử số hạng thứ dãy số Khi VD: Tìm CSN biết Giải: CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11 – ĐT: 0937519957 Trang LÊ ĐÌNH HUY G.GIỚI HẠN DÃY SỐ NHỚ với nguyên dương TÍNH CHẤT (áp dụng tồn limun;limvn với số TÍNH CHẤT ) Khi PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ • Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu tử chứa luỹ thừa , ta chia tử mẫu cho với số mũ cao • Nếu biểu thức cho có chứa dấu t nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Giải: H GIỚI HẠN HÀM SỐ NHỚ CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN 11 – ĐT: 0937519957 Trang 10 LÊ ĐÌNH HUY với nguyên dương TÍNH CHẤT (dùng tồn ) Khi TÍNH CHẤT (bằng hay ta phải xem dấu coi (bằng hay ta phải xem dấu v hay ) coi hay ) GIỚI HẠN BÊN TRÁI – GIỚI HẠN BÊN PHẢI Giới hạn bên trái, tức Giới hạn bên phải, tức SƠ ĐỒ HOOCNE (đầu rơi, nhân ngang, cộng chéo) Ví dụ: Khi đó: PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ • Dùng lược đồ Hoocne • Nếu chứa biến căn, ta nhân tử mẫu cho biểu thức liên hợp • Chia tử, mẫu cho với số mũ cao • Nếu chứa biến căn, ta đưa dấu (với số mũ cao căn), chia tử mẫu cho luỹ thừa Dạng Dạng • Nhân chia với biểu thức l hợp qui đồng mẫu (do ) I HÀM SỐ LIÊN TỤC HÀM SỐ LIÊN TỤC BÊN TRÁI liên tục trái HÀM SỐ LIÊN TỤC HÀM SỐ LIÊN TỤC BÊN PHẢI liên tục phải CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11 – ĐT: 0937519957 Trang 11 LÊ ĐÌNH HUY liên tục Giải: TXĐ: hàm số không liên tục Giải: TXĐ: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ ÍT NHẤT NGHIỆM TRONG KHOẢNG phương trình có nghiệm khoảng VD: Chứng minh phương trình ln có nghiệm Giải: Xét liên tục xác định nên Do phương trình ln có nghiệm J ĐẠO HÀM ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM BẢNG ĐẠO HÀM (ở ) ĐẠO HÀM BÊN TRÁI – ĐẠO HÀM BÊN PHẢI QUI TẮC ĐẠO HÀM VD: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm Giải: VD: Thay , nhân thêm CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11 – ĐT: 0937519957 Trang 12 LÊ ĐÌNH HUY VD: VD: VD: VD: K PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI DẠNG: Giải Thay vào Nhớ: Tiếp tuyến Thay vào Giải pt Phương trình tiếp tuyến đồ thị biết tiếp tuyến qua • Giả sử tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến • (pt ẩn ) VD: Lập pttt VD: Lập pttt có hệ số góc Giải: Giải: Pttt VD: Lập pttt qua Pttt Giải: Pttt Có CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN 11 – ĐT: 0937519957 Trang 13 LÊ ĐÌNH HUY L VI PHÂN VI PHÂN NHỚ Ví dụ: với số DÙNG VI PHÂN TÍNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG M PHÉP BIẾN HÌNH ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH (PBH) PBH (biến thành điểm ), kí hiệu • Hình ● điểm bất động • PBH mà điểm mặt phẳng biến thành gọi phép đồng Kí hiệu • (tích hai PBH cách thực liên tiếp PBH ) PHÉP DỜI HÌNH (PDH) PBH PDH (bảo tồn khoảng cách hai điểm bất kì) PDH biến PHÉP TỊNH TIẾN (PTT) theo , kí hiệu PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM (ĐXT) , kí hiệu trung điểm PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC (ĐXTR) , kí hiệu PHÉP QUAY (PQ) tâm góc , kí hiệu đối xứng qua PHÉP VỊ TỰ (PVT) tâm tỉ số , kí hiệu PHÉP ĐỒNG DẠNG (PĐD) PĐD tỉ số PBH cho với hai điểm ảnh ta có PĐD biến BIỂU THỨC TỌA ĐỘ Giả sử • PTT theo • Phép đối xứng trục • Phép quay tâm , góc Đặc biệt: Tâm quay ● Phép đối xứng tâm CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11 – ĐT: 0937519957 • Phép vị tự tâm , tỉ số VD: Tìm ảnh qua PTT theo Giải: thỏa Trang 14 VD: Tìm ảnh qua phép ĐXT với tâm Giải: thỏa trung điểm LÊ ĐÌNH HUY VD: Tìm ảnh qua PQ tâm góc Giải: thỏa Khi VD: Tìm ảnh qua PVT tâm , tỉ số Giải: thỏa VD: Tìm tạo ảnh qua PTT theo Giải: thỏa ẢNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG QUA PTT; PHÉP ĐXT; PQ; PVT Giả sử ( ) Lấy Giả sử với Viết biểu thức tọa độ tương ứng với PBH đề cho Ta có (thay vào đường thẳng ) ta đường thẳng VD: Tìm ảnh theo PTT theo Giải: Giả sử Lấy Giả sử với Khi Vậy VD: Tìm ảnh qua PVT tâm tỉ số Giải: Giả sử Lấy Giả sử với Vậy VD: Tìm tâm biết với Giải: trung điểm CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11 – ĐT: 0937519957 Trang 15 LÊ ĐÌNH HUY ẢNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN Giả sử ( ) Xác định tâm đường trịn Tìm ảnh qua PBH Ta có: (riêng phép vị tự ) Từ ta có phương trình VD: Tìm ảnh qua phép ĐXT với tâm Giải: Giả sử với trung điểm Ta có: VD: Tìm ảnh qua PVT tâm , tỉ số Giải: Giả sử với Ta có: TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN TH1: Nếu PVT tâm TH2: Nếu PVT tâm (tâm vị tự ngồi), TH3: Nếu CÁC CHUN ĐỀ TỐN 11 – ĐT: 0937519957 Trang 16 LÊ ĐÌNH HUY VD: Cho Tìm tọa độ tâm vị tự hai đường trịn Giải: Có nên có PVT tỉ số biến thành Tâm vị tự thỏa Tâm vị tự thỏa Vậy tâm vị tự N HÌNH HỌC KHƠNG GIAN NHỚ - Trọng tâm: giao điểm đường trung tuyến - Trực tâm: giao điểm đường cao - Tâm đường tròn ngoại tiếp: giao điểm đường trung trực - Tâm đường tròn nội tiếp: giao điểm đường phân giác ĐỊNH LÍ TALES TRỌNG TÂM TAM GIÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG sin = đối/huyền cos = kề/huyền tan = đối/kề cot = kề/đố (Sin học - Cứ khóc hồi - Thơi đừng khóc - Có kẹo đây) DIỆN TÍCH Tam giác Tam giác vng cân Hình vng CÁCH XÁC ĐINH MỘT MẶT PHẲNG • điểm khơng thẳng hàng ● đường thẳng điểm khơng thuộc đường thẳn • đường thẳng cắt ● đường thẳng song song VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11 – ĐT: 0937519957 Trang 17 LÊ ĐÌNH HUY VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG chéo không đồ phẳng CÁCH XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN GIỮA HAI MẶT PHẲNG Cách 1: Tìm hai điểm chung hai mặt phẳng Cách 2: Tìm điểm chung hai mặt phẳng phương giao tuyến (tức tìm hai mặt phẳ Chú ý: Để tìm điểm chung hai mặt phẳng ta hai đường thẳng song song với nhau) thường tìm hai đường thẳng đồng phẳng với nằm hai mặt phẳng Giao điểm, có, hai đường thẳng điểm chung cần tìm CÁCH XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Để tìm giao điểm , ta tìm đường thẳng cắt Khi đó: Chú ý: Nếu chưa có sẵn ta chọn qua lấy THIẾT DIỆN Thiết diện mặt phẳng với hình chóp đa giác giới hạn giao tuyến với mặt hìn chóp Như vậy, để tìm thiết diện ta tìm giao tuyến với mặt hình chóp CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG ĐƯỜNG THẲNG Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng Cách 2: Hai đường thẳng phân biệt song so áp dụng phương pháp chứng minh song song với đường thẳng thứ ba CÁC CHUN ĐỀ TỐN 11 – ĐT: 0937519957 Trang 18 hình học phẳng (đường trung bình; định lí Tales…) Cách 3: Hai mặt phẳng cắt d theo giao tuyến chứa hai đường thẳng song song giao tuyến có trường hợp: LÊ ĐÌNH HUY Cách 4: Hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến đường thẳng nằm song song với mặt phẳng cịn lại song song với giao tuyến Như vậy, trường hợp ta cần khơng trùng với suy Cách 5: Hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến , đường thẳng song song với hai mặt phẳng song song với giao tuyến Cách 6: Hai mặt phẳng song song bị cắt mặt phẳng thứ hai giao tuyến song song Cách 7: Ba mặt phẳng cắt theo giao tuyến phân biệt, giao tuyến song song đồng quy Cách 8: Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với Như vậy, ta cần chứng minh khơng đồng quy suy CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Cách 1: Chứng minh đường thẳng không nằm Cách 2: Hai mặt phẳng song song với nhau, song song với đường thẳng nằm đường thẳng nằm mặt song song với mặt CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Cách 2: Hai mặt phẳng phân biệt vng gó với đường thẳng song song với Cách 1: Chứng minh mặt phẳng thứ chứa hai đường thẳng cắt song song mặt phẳng thứ hai, hai mặt phẳng song song với CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN 11 – ĐT: 0937519957 Trang 19 LÊ ĐÌNH HUY CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC Cách 1: Hai đường thẳng vng góc góc chúng 90o Cách 2: Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với m đường nằm mặt phẳng Cách 3: Đường thẳng không vuông góc đường Cách 4: Hai đường thẳng song song, đường thẳng nằm Khi đó, điều kiện cần đủ để vng góc với đường vng góc với đườn vng vng với hình chiếu CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG Cách 1: Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng khi đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt chứa mặt phẳng Cách 2: Hai đường thẳng song song đường vuông góc với mặt phẳng th đường vng góc mặt phẳng CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11 – ĐT: 0937519957 Trang 20 Cách 3: Một đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng song song vng góc với mặt cịn lại LÊ ĐÌNH HUY Cách 4: Hai mặt phẳng cắ vng góc mặt phẳng thứ ba giao tuyến vng góc với mặt phẳng thứ ba Cách 5: Hai mặt phẳng vng góc, đường nằm mặt vng vớ giao tuyến vng với mặt β CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GĨC α b a Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng H β GĨC Góc đường thẳng mặt phẳng - Tìm giao bđiểm - Chọn điểm , dựng a - α Suy ra, hình chiếu vng góc Do đó, Góc hai mặt phẳng Cách 1: Tìm hai đường thẳng cho Khi đó, Cách 2: Trang 21 CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN 11 – ĐT: 0937519957 LÊ ĐÌNH HUY - Xác định - Từ , dựng Khi đó, KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng A - Chọn đường thẳng dựng mặt phẳng qua vng góc với - Xác định - Dựng Đường thẳng đường thẳng qua vng góc H dđó, độ dài đoạn thẳng khoảng cách từ đến Kí hiệu - Khi Chú ý: Nếu có sẵn đường thẳng , cần dựng đường thẳng c α ∆A A B H H đến mặt phẳng K Khoảng cách từ đường thẳng song song với với α M a α –H Đoạn vng góc chung khoảng cách hai đường thẳng chéo Cách 1: (áp dụng cho trường hợp ) Dựng chứa , vuông góc với Dựng Khi đó, α A B Khoảng cách hai mặt phẳng K song song v H α với β α M H Cách 2: Dựng mặt phẳng chứa , song song với Khi đó, A Ma a b A α B α B Ha' b CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11 – ĐT: 0937519957 Trang 22 MỤC LỤC LÊ ĐÌNH HUY ... ĐT: 0937519957 LÊ ĐÌNH HUY - Xác định - Từ , dựng Khi đó, KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng A - Chọn đường thẳng dựng mặt phẳng qua vng góc với - Xác định - Dựng Đường thẳng đường... mặt phẳng - Tìm giao bđiểm - Chọn điểm , dựng a - α Suy ra, hình chiếu vng góc Do đó, Góc hai mặt phẳng Cách 1: Tìm hai đường thẳng cho Khi đó, Cách 2: Trang 21 CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN 11 – ĐT:... vị tự N HÌNH HỌC KHÔNG GIAN NHỚ - Trọng tâm: giao điểm đường trung tuyến - Trực tâm: giao điểm đường cao - Tâm đường tròn ngoại tiếp: giao điểm đường trung trực - Tâm đường tròn nội tiếp: giao