HE PHUONG TRINH

CHƯƠNG IV : HỆ PHƯƠNG TRÌNH § HỆ BẬC NHẤT  a.x + b y = c   a '.x + b ' y = c '  x − m y = Ví dụ : Cho hệ phương trình   m.x − y = m + 1 Giải hệ phương trình bậc hai ẩn : a Biện luận b Tìm hệ thức liên hệ x, y nghiệm hệ độc lập với m c Tìm m nguyên để nghiệm hệ nguyên  a.x + b y = c  Ví dụ : Giả sử phương trình b.x + c y = a có nghiệm CMR a3+b3+c3=3abc c.x + a y = b   m.x + y = m  Ví dụ : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm  x + m y =  x− y =m   b.x + y = a.c Ví dụ : Cho hệ phương trình   x + b y = a.c + a Tìm a cho với b ln tồn c để hệ có nghiệm b Tìm a cho tồn c để hệ có nghiệm với b (c + 3) x + y = 5a + 3b + c   x + cy = a.c − 2b + 2c −  a.x + b y + c.z = d  Giải hệ phương trình bậc nhiều ẩn : Hệ bậc ba ẩn :  a '.x + b ' y + c '.z = d '  a ".x + b " y + c ".z = d "  Ví dụ : Tìm a, b để hệ sau có nghiệm với c Các toán khác : Bài Cho a cố định x, y thay đổi Hãy tìm giá trị nhỏ Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số y = ( x − y + 1) + ( x + ay + ) y = ( x + y − ) + ( x + a y − 3) 2 2 § HỆ PHƯƠNG TRÌNH GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Ví dụ : Cho hệ phương trình a Giải m=4  x + y =   x + y = m b Giải biện luận Ví dụ : Tìm m để phương trình có nghiệm Ví dụ : Tìm m để hệ 9 x − 16 y = 144  x− y =m   x + y − x = 2 có hai cặp nghiệm (x1; y1) (x2; y2) CMR : x − x  + y −y ≤ (1) 2  x + my − m = ( ) ( § HỆ ĐẲNG CẤP Hệ khơng chứa tham số :  ax + bxy + cy = d Dang :  2  a1 x + b1 xy + c1 y = d1  x − xy + y =   y − xy = 3x + xy − y = 38  2  x − xy − y = 15  x + xy − y =   y x  x − y = − − xy  )  x + xy + y =  2 2 x + xy + y =  3x − xy = 160  2  x − xy − y = 3 x + xy − y = 37  2  x − xy − y = 15 2 x − xy + y = −1  2 3 x + xy + y =  x + xy − y =   x x + y y = −2  ax + bx y + cxy + dy = e Dạng :  2  a1 x + b1 x y + c1 xy + d1 y = e1  x3 + y =  2  x y + xy + y =  ( x − y )( x − y ) =  2 ( x + y )( x + y ) = 15  x − xy + y = 3( x − y )  2  x + xy + y = 7( x − y )  x3 − y =   xy ( x − y ) =  ( x − y )( x + y ) = 13  2 ( x + y )( x − y ) = 25  x − x y + xy − y =  x− y + x+ y =  Dạng : Hệ đẳng cấp lệch bậc x3 − 8x = y + y  2  x − = 3( y + 1)  x + x = y.(3x + xy )  2  y − xy = 3( x − 1)  y + y x + 3x − y  x + xy =  2 x − y = y − x  2  2y − x =1  x + y − xy =  4 2 x + y − x − y =  x + xy + 12 y =  2  y + x = 12 (  x x − x = y y + y  x− y =5  2 x − x ( y − 1) + y = y  2  x + xy − y = x − y ) 2 y x − y = 3x   2  x x + y = 10 y ( ) 10  x + xy + y =   x = 2x + y Hệ chứa tham số : Bài Giải biện luận : a  x − xy =  2  x + xy − y = m Bài CMR hệ có nghiệm với m : b  x + xy + y = m   y − xy =  x − xy + y = m   y − xy =  x + mxy + y = m Bài Tìm m để hệ sau có nghiệm :  2  x + ( m − 1) xy + my = m  x − xy + y = m Bài Cho   y − xy = a Giải với m=1 b CMR hệ ln có nghiệm  3  x − my = (m + 1) Bài CMR  ln có nghiệm thỏa x+y=0  x3 + mx y + xy =  § HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU I Hệ khơng có tham số :  x + y +x+ y =   x( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2 2  xy + x + y = 11  2  x y + xy = 30   ( x + y )(1 + xy ) =   ( x + y )(1 + ) =  x2 y2 1  x + y + xy =   x + y = xy  x + y + xy = 11   2  x + y + 3( x + y ) = 28  x + xy + y − x + y = 10  xy − x + y = −   x + xy + y =   x + xy + y = x2 + x + y + y =   x + xy + y =  x − xy + y − 2( x + y ) = −31  x + y + xy = 11   x y + = +1  11  y x xy  x xy + y xy = 78   x2 + x − y + y =   x( x − y + 1) + y ( y − 1) = 1   x+ y+ x + y =  x + xy + y =  12  13  4  x2 + y + + =  x + y = 17  x2 y Hệ có tham số : Ví dụ : Tìm m để hệ sau có nghiệm 5( x + y ) − xy =   x + y − xy = − m Ví dụ : Tìm m để hệ có nghiệm  x + xy + y = m +   xy ( x + y ) = m +  x + y + mx + my − m − = 2 có hai cặp nghiệm (x1; y1) (x2; y2) thoả mản x − x + y −y =4  2 x+ y =4  x + y = 2m −  Ví dụ : Gọi (x; y) nghiệm hệ  Tìm m để xy nhỏ nhất, nhỏ 2  x + y = m + 2m − ( Ví dụ : Tìm m để hệ ) ( ) Bài tập tự rèn luyện  x + xy + y = 2m + Tìm m để hệ có nghiệm  xy ( x + y ) = m + m Bài CMR hệ sau ln có nghiệm:   x + y + x + y =  xy ( x + 1)( y + 1) = m Bài Cho hệ :  a Giải với m=12 Bài Cho hệ b Xác định m để hệ có nghiệm  x + y + xy = m +  2  x y + xy = 3m − a Xác định m để hệ vô nghiệm b Xác định m để hệ có nghiệm c Xác định m để hệ có hai nghiệm phân biệt  x + y = 2m − Tìm m để xy nhỏ lớn  2  x + y = m + 4m  x + y = m − Bài Gọi (x; y) nghiệm hệ  Tìm m để T = x + y nhỏ lớn  xy = m − m + 14 Bài Gọi (x; y) nghiệm hệ § HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG KIỂU II Hệ không chứa tham số :  x − y = x + y   y − x = y + x  x + xy = 3x  2 y + xy = y  x − 3x = y −  2 y − y = x − y  x − y =  x  x  y − 3x =  y  y2 + 3 y = x2  x +2 3x =  y2  x3 = x + y   y = y + x   x + y = x  2 y + =  x y 10  x3 = x + y   y = y + x  x = x − y   y = y − x  x + y − =   y + x − = Hệ chứa tham số : Ví dụ : Cho hệ phương trình  x = y − y + m   y = x − x + m a Tim m để hệ có nghiệm b Tìm m để hệ có nghiệm  x − y = 3mx Ví dụ : Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt   y − x = 3my  x + xy = mx + y Ví dụ : Giải biện luận hệ   y + xy = my + x Bài tập tự rèn luyện  y − ( x + y ) = 2m   x − ( x + y ) = 2m Bài Cho hệ : a Tìm m để hệ có nghiệm b Tìm m để hệ có nghiệm  x (3 − y ) = m(3 − 4m2 ) Bài   y (3 − x ) = m(3 − 4m2 ) a Tìm m để hệ phương trình có nghiệm b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x3 − mx = y Bài Tìm m để hệ sau có nghiệm phân biệt :   y − my = x  y = x3 − x + mx Bài Tìm m để hệ sau có nghiệm :   x = y3 − y + my § HỆ QUAY TRỊN x + y = 4z −1   y + z = x −   z + x = y − 4 x − y =   y − z =  z − x2 =  2 x = y −   y = z − 2z4 = 4x −1   y + = x2   z + = y  x +1 = z2   x3 − z + 12 z − =    y − x + 12 x − =   z − y + 12 y − =  x = 3z + z   y = x + x z = y + y   x3 − y + 27 y − 27 =   y − z + 27 z − 27 =  z − x + 27 x − 27 =  12 x − 48 x + 64 = y  12 y − 48 y + 64 = z 12 z − 48 z + 64 = x3  2 y + x + 3x + =  2 z + y + y + =  x3 + z + z + =   x3 − y + y − =   10  y − z + z − =   z − x + x − = § MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ I Phương Pháp biến đổi tương đương : Loại I : Rút ẩn từ phương trình vào phương trình y  + y2 = x + 1+ x + x    x + + x2 + y =  y x   ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x xy + x + = x 2 − 4x +  y + 18 x + 25 y + 9 xy − =  x ( y + 1)   2 2  x + y + x − 12 xy + y = x + y + xy  11 y − + + x = y − 10 x − 24 x − 14   3  y x + + x = xy + y + x + 17 x + 12 ( )   x + xy + x + =   2 ( x + 1) + ( y + 1) + xy − x y + y = ) ( x+ y 2( x − y) + xy = +  x+ y xy  xy  1  − +x+ y =  y x  x   + 6y = y − x − 2y   x + x − y = x + 3y −   x + 10 y = x −  2  x ( + y ) = y + 2 Loại II : Phân tích phương trình dạng tích 3   x − y + xy − y =   x + x − y2 + =  y y2  xy + x + y = x − y   x y − y x − = x − y  x + y + x − y = x + xy + y  x −1 + x + y = x2 −1   xy + y + = x ( x + )   x + y + = y − 2        9x + y 2x +2 y+ =4 x y  2x   y   − 1÷ − ÷ = 18  y  x Loại III : Một phương trình xem phương trình bậc hai ẩn ẩn tham số  y = ( 5x + ) ( − x )  2  y − x − xy + 16 x − y + 16 =  x − = y + 2013 ( − y ) + y  y ( y − x + ) = 3x +  ( ) x2 + y =    y + ( x − 3) y − 48 y − 48 x + 155 = Loại IV : Nhân số thích hợp cộng vế tạo đẳng thức  x − y = 63  2  y + 2x + y − x =  x − y = 35  2 2 x + y = x − y  x + xy = −49   x − xy + y = y − 17 x  x − y = 240  3 2  x − y = 3( x − y ) − 4( x − y )  x3 − y =  2 x + y = x − y Loại V : Các kỹ biến đổi khác  x − y = x − y   x + y = x + y + II Phương pháp đặt ẩn phụ :  x+ y+z =6   xy + yz − xz =  x + y + z = 14   x + x + y + + x + y + x + y + + y = 18   x + x + y + − x + y + x + y + − y =  x + + y( y + x) = y  ( x + 1)( y + x − 2) = y  2 xy + 4( x + y ) + =7  ( x + y)2    2x + =3  x+ y  x + y − xy =   x + + y + =  2x + y + − x + y =  3x + y =   x + y − 3x + y =  2 3 x − y − x − y =  x + y + x + y =   x + y + x − y = 2 ) (  x + x2 − y2 9x =   x − x2 − y2   x = + 3x  y 6(5 − y )  y − + x =   x + y = 82  y + xy = x  2 1 + x y = x   x+ + x+ y −3 = y  11   2x + y + =  y  x + y − x2 − y + x − y = ) ( ) ( 10   2x + y + =3 2x − y  Phương pháp lượng giác hóa  x2 + y =   2  z + t = 16  xt + yz ≥ 12   2 x + x y = y  2  y + y z = z  2z + z2 x = x     1 1 1   ( x − y ) ( + xy ) = 3  x + ÷ =  y + ÷ =  z + ÷ x y z      x2 + y2 =   xy + yz + zx =   − x2 − y = Tìm m để hệ sau có nghiệm :   y − mx + 3m = 2m III Phương pháp hàm số : Bài tốn khơng chứa tham số : ( x + 1) x + ( y − 3) − y =  4x2 + y + − x =   x3 − x = y − y   x + y =1  x − y + y −3 x = 2(1)  2  x + − x − y − y = 0(2)  x −1 − y = − x3  ( x − 1) = y  3 ( )(  x + xy = y 10 + y (1)   x + + y + = 6(2) )  x + x2 + y + y2 + =    27x = x3 − y + 2  x3 − 12 x − y + y − 16 = 10  2  x + − x − y − y + = x + = y + y +  6.:  y + = z + z +  z + = x + x2 +1   x − 3x = y − y  x + x + + x + = y − + y − + y −   6 x + y + x + y = 44  x + y =1   ( x + 1) + x + = ( y − ) y − 11  4x + + y + =  12  y −1 ( y + 1) 2 x + x = 16   x − y + 3x + =   1− y x − + x + y =1  13 1 + − x + y  1− x + + y = 2  ( x + 2) x + x + + y y + + x + y + = 14  x2 + y + = x − y +   + x + x = + y   + y + y = + x 16  ( 53 − x ) 10 − x + ( y − 48 ) − y =   x − y + + x = −2 x + y + 11 + x + 66  x + x + x + = y + y + y + 17  x2 + y2 − 2x + y − =  18 ( − x ) − x − y y − =  x+2 +2 y+2 =5   x y + y = x + x 19  ( x + ) y + = ( x + 1) 20  x + x − x + = y + y +  x − y − 3x + y + =   ( y + 1) + y y + = x +  21   x + x2 − 2x + = + 2 x − y +   x2 y − 2x2 − y + y − = 22  2 2  y + + x − y = xy − x + x − xy + y + + y 15  y + y + x − x = − x 23   y + + y = + x + )( ( )  x + + x2 y + + y =  24   x x − xy + = xy + x + 25  (8 x − 3) x − − y − y =   x − x + y + y − y + = Bài tốn chứa tham số : Ví dụ : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm  x − y + m = 0(1)   y + xy = 2(2) 3 ( x + 1) + y − m = Ví dụ : Tìm m để hệ phương trình  có ba cặp nghiệm phân biệt x + xy =  Bài tập tự rèn luyện Bài Tìm m để hệ sau có nghiệm  x + 3x = y + y  3 x − + m y + = y −  x + 3x + y = m Bài Tìm m để hệ sau có nghiệm phân biệt   x + (3 x + y − 2) x − x = −m + 1  x+ + y+ =5  x y Bài Tìm m để hệ có nghiệm  1  x + + y + = 15m − 10  x y IV Phương pháp đánh giá : Đánh giá ẩn :        1 + 2− = y x 1 + 2− = x y  x 2004 = y + z  2004 = x6 + z  y  z 2004 = x + y  Tìm a, b, c biết 4a - b2 = 4b - c2 = 4c - a2 = (*) Đánh giá ẩn với số : Ví dụ : Biết a > 0, b > a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 (1) Tính giá trị biểu thức P = a2004 + b2004  x5 − x + x y =  Ví dụ : Giải hệ phương trình  y − y + y z =  z5 − z − 2z2 x =  Sử dụng bất đẳng thức cổ điển :  x + y + xy =  x+ y =4   xy =  x + 3y =  x + 32 − x − y = −3 4  x + 32 − x + y = 24  2x2 =y   + x2  y3 =z  + y2 + y   4z2  =x  z + z + z + ax + bx + c = y  Cho hệ  ay + by + c = z  az + bz + c = x  a≠  2x + − x − y2 = 2 4  x + − x + 2 y = + 1  + =  2 + xy  + 2x 1+ y   x − x + y − y = ( ) ( )  0, ∆ = (b − 1) − 4ac CMR ∆ < hệ vô nghiệm V Điều kiện cần đủ : Đối với học sinh lớp 10 :Tìm m để hệ sau có nghiệm  − x + y = m   x + − y = m  + x + − y = m   − x + + y = m Ví dụ : Tìm m để hệ có hai nghiệm  y − m x2 + =   = m2 x + y + x + x +1   m ( x + 1) = y + − x  x2 + y2 =   x + x = y + x + m  x2 + y =   ( x + y ) = 256  8  x + y = m + 2 Đối với học sinh luyện thi đại học : Ví dụ : Tìm m để hệ có nghiệm  x + y = m −   y + cos x = Bài Cho m.x + m − = y − sin x   tan x + y = a ( x + y ) + x + y = b  y−x =b  có nghiệm với b CMR a=0 ( x + 1)m = y + cos x   sin x + y =