CHƯƠNG IV : HỆ PHƯƠNG TRÌNH § HỆ BẬC NHẤT a.x + b y = c a '.x + b ' y = c ' x − m y = Ví dụ : Cho hệ phương trình m.x − y = m + 1 Giải hệ phương trình bậc hai ẩn : a Biện luận b Tìm hệ thức liên hệ x, y nghiệm hệ độc lập với m c Tìm m nguyên để nghiệm hệ nguyên a.x + b y = c Ví dụ : Giả sử phương trình b.x + c y = a có nghiệm CMR a3+b3+c3=3abc c.x + a y = b m.x + y = m Ví dụ : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm x + m y = x− y =m b.x + y = a.c Ví dụ : Cho hệ phương trình x + b y = a.c + a Tìm a cho với b ln tồn c để hệ có nghiệm b Tìm a cho tồn c để hệ có nghiệm với b (c + 3) x + y = 5a + 3b + c x + cy = a.c − 2b + 2c − a.x + b y + c.z = d Giải hệ phương trình bậc nhiều ẩn : Hệ bậc ba ẩn : a '.x + b ' y + c '.z = d ' a ".x + b " y + c ".z = d " Ví dụ : Tìm a, b để hệ sau có nghiệm với c Các toán khác : Bài Cho a cố định x, y thay đổi Hãy tìm giá trị nhỏ Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số y = ( x − y + 1) + ( x + ay + ) y = ( x + y − ) + ( x + a y − 3) 2 2 § HỆ PHƯƠNG TRÌNH GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Ví dụ : Cho hệ phương trình a Giải m=4 x + y = x + y = m b Giải biện luận Ví dụ : Tìm m để phương trình có nghiệm Ví dụ : Tìm m để hệ 9 x − 16 y = 144 x− y =m x + y − x = 2 có hai cặp nghiệm (x1; y1) (x2; y2) CMR : x − x + y −y ≤ (1) 2 x + my − m = ( ) ( § HỆ ĐẲNG CẤP Hệ khơng chứa tham số : ax + bxy + cy = d Dang : 2 a1 x + b1 xy + c1 y = d1 x − xy + y = y − xy = 3x + xy − y = 38 2 x − xy − y = 15 x + xy − y = y x x − y = − − xy ) x + xy + y = 2 2 x + xy + y = 3x − xy = 160 2 x − xy − y = 3 x + xy − y = 37 2 x − xy − y = 15 2 x − xy + y = −1 2 3 x + xy + y = x + xy − y = x x + y y = −2 ax + bx y + cxy + dy = e Dạng : 2 a1 x + b1 x y + c1 xy + d1 y = e1 x3 + y = 2 x y + xy + y = ( x − y )( x − y ) = 2 ( x + y )( x + y ) = 15 x − xy + y = 3( x − y ) 2 x + xy + y = 7( x − y ) x3 − y = xy ( x − y ) = ( x − y )( x + y ) = 13 2 ( x + y )( x − y ) = 25 x − x y + xy − y = x− y + x+ y = Dạng : Hệ đẳng cấp lệch bậc x3 − 8x = y + y 2 x − = 3( y + 1) x + x = y.(3x + xy ) 2 y − xy = 3( x − 1) y + y x + 3x − y x + xy = 2 x − y = y − x 2 2y − x =1 x + y − xy = 4 2 x + y − x − y = x + xy + 12 y = 2 y + x = 12 ( x x − x = y y + y x− y =5 2 x − x ( y − 1) + y = y 2 x + xy − y = x − y ) 2 y x − y = 3x 2 x x + y = 10 y ( ) 10 x + xy + y = x = 2x + y Hệ chứa tham số : Bài Giải biện luận : a x − xy = 2 x + xy − y = m Bài CMR hệ có nghiệm với m : b x + xy + y = m y − xy = x − xy + y = m y − xy = x + mxy + y = m Bài Tìm m để hệ sau có nghiệm : 2 x + ( m − 1) xy + my = m x − xy + y = m Bài Cho y − xy = a Giải với m=1 b CMR hệ ln có nghiệm 3 x − my = (m + 1) Bài CMR ln có nghiệm thỏa x+y=0 x3 + mx y + xy = § HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU I Hệ khơng có tham số : x + y +x+ y = x( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2 2 xy + x + y = 11 2 x y + xy = 30 ( x + y )(1 + xy ) = ( x + y )(1 + ) = x2 y2 1 x + y + xy = x + y = xy x + y + xy = 11 2 x + y + 3( x + y ) = 28 x + xy + y − x + y = 10 xy − x + y = − x + xy + y = x + xy + y = x2 + x + y + y = x + xy + y = x − xy + y − 2( x + y ) = −31 x + y + xy = 11 x y + = +1 11 y x xy x xy + y xy = 78 x2 + x − y + y = x( x − y + 1) + y ( y − 1) = 1 x+ y+ x + y = x + xy + y = 12 13 4 x2 + y + + = x + y = 17 x2 y Hệ có tham số : Ví dụ : Tìm m để hệ sau có nghiệm 5( x + y ) − xy = x + y − xy = − m Ví dụ : Tìm m để hệ có nghiệm x + xy + y = m + xy ( x + y ) = m + x + y + mx + my − m − = 2 có hai cặp nghiệm (x1; y1) (x2; y2) thoả mản x − x + y −y =4 2 x+ y =4 x + y = 2m − Ví dụ : Gọi (x; y) nghiệm hệ Tìm m để xy nhỏ nhất, nhỏ 2 x + y = m + 2m − ( Ví dụ : Tìm m để hệ ) ( ) Bài tập tự rèn luyện x + xy + y = 2m + Tìm m để hệ có nghiệm xy ( x + y ) = m + m Bài CMR hệ sau ln có nghiệm: x + y + x + y = xy ( x + 1)( y + 1) = m Bài Cho hệ : a Giải với m=12 Bài Cho hệ b Xác định m để hệ có nghiệm x + y + xy = m + 2 x y + xy = 3m − a Xác định m để hệ vô nghiệm b Xác định m để hệ có nghiệm c Xác định m để hệ có hai nghiệm phân biệt x + y = 2m − Tìm m để xy nhỏ lớn 2 x + y = m + 4m x + y = m − Bài Gọi (x; y) nghiệm hệ Tìm m để T = x + y nhỏ lớn xy = m − m + 14 Bài Gọi (x; y) nghiệm hệ § HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG KIỂU II Hệ không chứa tham số : x − y = x + y y − x = y + x x + xy = 3x 2 y + xy = y x − 3x = y − 2 y − y = x − y x − y = x x y − 3x = y y2 + 3 y = x2 x +2 3x = y2 x3 = x + y y = y + x x + y = x 2 y + = x y 10 x3 = x + y y = y + x x = x − y y = y − x x + y − = y + x − = Hệ chứa tham số : Ví dụ : Cho hệ phương trình x = y − y + m y = x − x + m a Tim m để hệ có nghiệm b Tìm m để hệ có nghiệm x − y = 3mx Ví dụ : Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt y − x = 3my x + xy = mx + y Ví dụ : Giải biện luận hệ y + xy = my + x Bài tập tự rèn luyện y − ( x + y ) = 2m x − ( x + y ) = 2m Bài Cho hệ : a Tìm m để hệ có nghiệm b Tìm m để hệ có nghiệm x (3 − y ) = m(3 − 4m2 ) Bài y (3 − x ) = m(3 − 4m2 ) a Tìm m để hệ phương trình có nghiệm b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x3 − mx = y Bài Tìm m để hệ sau có nghiệm phân biệt : y − my = x y = x3 − x + mx Bài Tìm m để hệ sau có nghiệm : x = y3 − y + my § HỆ QUAY TRỊN x + y = 4z −1 y + z = x − z + x = y − 4 x − y = y − z = z − x2 = 2 x = y − y = z − 2z4 = 4x −1 y + = x2 z + = y x +1 = z2 x3 − z + 12 z − = y − x + 12 x − = z − y + 12 y − = x = 3z + z y = x + x z = y + y x3 − y + 27 y − 27 = y − z + 27 z − 27 = z − x + 27 x − 27 = 12 x − 48 x + 64 = y 12 y − 48 y + 64 = z 12 z − 48 z + 64 = x3 2 y + x + 3x + = 2 z + y + y + = x3 + z + z + = x3 − y + y − = 10 y − z + z − = z − x + x − = § MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ I Phương Pháp biến đổi tương đương : Loại I : Rút ẩn từ phương trình vào phương trình y + y2 = x + 1+ x + x x + + x2 + y = y x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x xy + x + = x 2 − 4x + y + 18 x + 25 y + 9 xy − = x ( y + 1) 2 2 x + y + x − 12 xy + y = x + y + xy 11 y − + + x = y − 10 x − 24 x − 14 3 y x + + x = xy + y + x + 17 x + 12 ( ) x + xy + x + = 2 ( x + 1) + ( y + 1) + xy − x y + y = ) ( x+ y 2( x − y) + xy = + x+ y xy xy 1 − +x+ y = y x x + 6y = y − x − 2y x + x − y = x + 3y − x + 10 y = x − 2 x ( + y ) = y + 2 Loại II : Phân tích phương trình dạng tích 3 x − y + xy − y = x + x − y2 + = y y2 xy + x + y = x − y x y − y x − = x − y x + y + x − y = x + xy + y x −1 + x + y = x2 −1 xy + y + = x ( x + ) x + y + = y − 2 9x + y 2x +2 y+ =4 x y 2x y − 1÷ − ÷ = 18 y x Loại III : Một phương trình xem phương trình bậc hai ẩn ẩn tham số y = ( 5x + ) ( − x ) 2 y − x − xy + 16 x − y + 16 = x − = y + 2013 ( − y ) + y y ( y − x + ) = 3x + ( ) x2 + y = y + ( x − 3) y − 48 y − 48 x + 155 = Loại IV : Nhân số thích hợp cộng vế tạo đẳng thức x − y = 63 2 y + 2x + y − x = x − y = 35 2 2 x + y = x − y x + xy = −49 x − xy + y = y − 17 x x − y = 240 3 2 x − y = 3( x − y ) − 4( x − y ) x3 − y = 2 x + y = x − y Loại V : Các kỹ biến đổi khác x − y = x − y x + y = x + y + II Phương pháp đặt ẩn phụ : x+ y+z =6 xy + yz − xz = x + y + z = 14 x + x + y + + x + y + x + y + + y = 18 x + x + y + − x + y + x + y + − y = x + + y( y + x) = y ( x + 1)( y + x − 2) = y 2 xy + 4( x + y ) + =7 ( x + y)2 2x + =3 x+ y x + y − xy = x + + y + = 2x + y + − x + y = 3x + y = x + y − 3x + y = 2 3 x − y − x − y = x + y + x + y = x + y + x − y = 2 ) ( x + x2 − y2 9x = x − x2 − y2 x = + 3x y 6(5 − y ) y − + x = x + y = 82 y + xy = x 2 1 + x y = x x+ + x+ y −3 = y 11 2x + y + = y x + y − x2 − y + x − y = ) ( ) ( 10 2x + y + =3 2x − y Phương pháp lượng giác hóa x2 + y = 2 z + t = 16 xt + yz ≥ 12 2 x + x y = y 2 y + y z = z 2z + z2 x = x 1 1 1 ( x − y ) ( + xy ) = 3 x + ÷ = y + ÷ = z + ÷ x y z x2 + y2 = xy + yz + zx = − x2 − y = Tìm m để hệ sau có nghiệm : y − mx + 3m = 2m III Phương pháp hàm số : Bài tốn khơng chứa tham số : ( x + 1) x + ( y − 3) − y = 4x2 + y + − x = x3 − x = y − y x + y =1 x − y + y −3 x = 2(1) 2 x + − x − y − y = 0(2) x −1 − y = − x3 ( x − 1) = y 3 ( )( x + xy = y 10 + y (1) x + + y + = 6(2) ) x + x2 + y + y2 + = 27x = x3 − y + 2 x3 − 12 x − y + y − 16 = 10 2 x + − x − y − y + = x + = y + y + 6.: y + = z + z + z + = x + x2 +1 x − 3x = y − y x + x + + x + = y − + y − + y − 6 x + y + x + y = 44 x + y =1 ( x + 1) + x + = ( y − ) y − 11 4x + + y + = 12 y −1 ( y + 1) 2 x + x = 16 x − y + 3x + = 1− y x − + x + y =1 13 1 + − x + y 1− x + + y = 2 ( x + 2) x + x + + y y + + x + y + = 14 x2 + y + = x − y + + x + x = + y + y + y = + x 16 ( 53 − x ) 10 − x + ( y − 48 ) − y = x − y + + x = −2 x + y + 11 + x + 66 x + x + x + = y + y + y + 17 x2 + y2 − 2x + y − = 18 ( − x ) − x − y y − = x+2 +2 y+2 =5 x y + y = x + x 19 ( x + ) y + = ( x + 1) 20 x + x − x + = y + y + x − y − 3x + y + = ( y + 1) + y y + = x + 21 x + x2 − 2x + = + 2 x − y + x2 y − 2x2 − y + y − = 22 2 2 y + + x − y = xy − x + x − xy + y + + y 15 y + y + x − x = − x 23 y + + y = + x + )( ( ) x + + x2 y + + y = 24 x x − xy + = xy + x + 25 (8 x − 3) x − − y − y = x − x + y + y − y + = Bài tốn chứa tham số : Ví dụ : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm x − y + m = 0(1) y + xy = 2(2) 3 ( x + 1) + y − m = Ví dụ : Tìm m để hệ phương trình có ba cặp nghiệm phân biệt x + xy = Bài tập tự rèn luyện Bài Tìm m để hệ sau có nghiệm x + 3x = y + y 3 x − + m y + = y − x + 3x + y = m Bài Tìm m để hệ sau có nghiệm phân biệt x + (3 x + y − 2) x − x = −m + 1 x+ + y+ =5 x y Bài Tìm m để hệ có nghiệm 1 x + + y + = 15m − 10 x y IV Phương pháp đánh giá : Đánh giá ẩn : 1 + 2− = y x 1 + 2− = x y x 2004 = y + z 2004 = x6 + z y z 2004 = x + y Tìm a, b, c biết 4a - b2 = 4b - c2 = 4c - a2 = (*) Đánh giá ẩn với số : Ví dụ : Biết a > 0, b > a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 (1) Tính giá trị biểu thức P = a2004 + b2004 x5 − x + x y = Ví dụ : Giải hệ phương trình y − y + y z = z5 − z − 2z2 x = Sử dụng bất đẳng thức cổ điển : x + y + xy = x+ y =4 xy = x + 3y = x + 32 − x − y = −3 4 x + 32 − x + y = 24 2x2 =y + x2 y3 =z + y2 + y 4z2 =x z + z + z + ax + bx + c = y Cho hệ ay + by + c = z az + bz + c = x a≠ 2x + − x − y2 = 2 4 x + − x + 2 y = + 1 + = 2 + xy + 2x 1+ y x − x + y − y = ( ) ( ) 0, ∆ = (b − 1) − 4ac CMR ∆ < hệ vô nghiệm V Điều kiện cần đủ : Đối với học sinh lớp 10 :Tìm m để hệ sau có nghiệm − x + y = m x + − y = m + x + − y = m − x + + y = m Ví dụ : Tìm m để hệ có hai nghiệm y − m x2 + = = m2 x + y + x + x +1 m ( x + 1) = y + − x x2 + y2 = x + x = y + x + m x2 + y = ( x + y ) = 256 8 x + y = m + 2 Đối với học sinh luyện thi đại học : Ví dụ : Tìm m để hệ có nghiệm x + y = m − y + cos x = Bài Cho m.x + m − = y − sin x tan x + y = a ( x + y ) + x + y = b y−x =b có nghiệm với b CMR a=0 ( x + 1)m = y + cos x sin x + y =