Đang tải... (xem toàn văn)
Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a... Lê Ngô Thiện[r]
(1)ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mơn : TỐN - Khối : A A1
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1 2 1
yx ( m )x m ( ) ,với m tham số thực
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vng Câu (1,0 điểm) Giải phương trình s in2x+cos2x=2cosx-1
Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
3
2
3 22
1
x x x y y y
x y x y
(x, y R)
Câu (1,0 điểm) Tính tích phân
3
2
1 ln(x 1)
I dx
x
Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a
Câu (1,0 điểm) : Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3x y 3y z 3z x 6 6 6
P x y z
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm cạnh CD cho CN = 2ND Giả sử 11 1;
2
M
và đường thẳng AN có phương trình 2x – y – = Tìm tọa độ điểm A
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
1
x y z
và điểm I (0; 0; 3) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông I
Câu 9.a (1,0 điểm) Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5 n1
n n
C C Tìm số hạng chứa x5trong
khai triển nhị thức Niu-tơn
2 1 14
n
nx x
, x ≠ B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2+ y2= Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) có độ dài trục lớn (E) cắt (C) bốn điểm tạo thành bốn đỉnh hình vng
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
1
2 1
x y z
, mặt phẳng (P) : x + y – 2z + = điểm A (1; -1; 2) Viết phương trình đường thẳng cắt d (P) M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN Câu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa 5( )
1
z i
i z
Tính mơđun số phức w = + z + z
2.
BÀI GIẢI GỢI Ý PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1: a/ Khảo sát, vẽ (C) :
m = y = x4– 2x2
(2)Hàm số đồng biến (-1; 0) (1; +), nghịch biến (-;-1) (0; 1) Hàm số đạt cực đại x = yCĐ= 0, đạt cực tiểu x = ±1 yCT= -1
lim
xy Bảng biến thiên :
x - -1 + y’ + +
y + + -1 -1
y = x = hay x =
Đồ thị tiếp xúc với Ox (0; 0) cắt Ox hai điểm ( 2; 0) b/ y’ = 4x3– 4(m + 1)x
y’ = x = hay x2= (m + 1)
Hàm số có cực trị m + > m > -1 Khi đồ thị hàm số có cực trị A (0; m2), B (- m ; – 2m – 1); C (1 m ; –2m – 1)1
Do AB = AC nên tam giác vuông A Gọi M trung điểm BC M (0; -2m–1) Do ycbt BC = 2AM (đường trung tuyến nửa cạnh huyền)
m = 2(m1 2+ 2m + 1) = 2(m + 1)2 = (m + 1) m =
3
(m1) (do m > -1) = (m + 1) (do m > -1) m =
Câu s in2x+cos2x=2cosx-1
sinxcosx + 2cos2x = 2cosx cosx = hay sinx + cosx = 1
cosx = hay
2 sinx + 2cosx =
1
2 cosx = hay cos(x 3) cos3
x =
2 k hay x k
hay 2
x k (k Z)
Câu 3:
3
2
3 22
1
x x x y y y
x y x y
Đặt t = -x
Hệ trở thành
3 2
2
3 9( ) 22
1
t y t y t y
t y t y
Đặt S = y + t; P = y.t
Hệ trở thành
3
2
3 3( ) 22 3( ) 22
1 1
2 ( )
2 2
S PS S P S S PS S P S
S P S P S S
3
2
3
2 45 82
4
1
( ) 2
2
S S S
P
P S S
S
Vậy nghiệm hệ 3; ; 1;
2 2
Cách khác :
3
2
3 22
1
( ) ( )
2
x x x y y y
x y
Đặt u = x
1
; v = y +
x y
-1
2 O
-
(3)Hệ cho thành
3
2
3 45 45
( 1) ( 1) ( 1)
2 4
1
u u u v v v
u v
Xét hàm f(t) = 3 45
2
t t t có f’(t) = 3 45
4
t t < với t thỏa t
f(u) = f(v + 1) u = v + (v + 1)2+ v2= v = hay v = -1
1
v
u
hay
1
v
u
Hệ cho có nghiệm 3; ; 1;
2 2
Câu 4.
2
1 ln(x 1)
I dx
x
=
3
2
1
1 ln(x 1)
dx dx
x x
=
1 3 1
x
= J
3 Với J
2
ln(x 1)
J dx
x
Đặt u = ln(x+1) du = 1dx
x ; dv =
1
dx
x , chọn v =
1
x
-
J = ( 1) ln( 1)3
x x
+
1
dx x
= ( 1) ln( 1)3
x x
+ ln x = 31 4ln 2ln
+ ln3
= 2ln ln 3
. Vậy I = 2
ln ln
3
Cách khác : Đặt u = + ln(x+1) du =
dx
x ; đặt dv = dx
x , chọn v =
1
x
, ta có :
3
1 1 ln( 1)
I x
x
+
3
1 ( 1)
dx x x
=
3
1
1 1 ln( 1) ln
x x
x x
=
2 2ln ln 3
3
Câu 5.
Gọi M trung điểm AB, ta có
2 3 6
a a a MH MB HB
2 2 2
2 3 28 7
2 6 36 3
a a a a
CH CH
2 7
2
3 a
SC HC ; SH = CH.tan600= 21
a
, 1 2 7 3 7
3 4 12
a a
V S ABC a
dựng D cho ABCD hình thoi, AD//BC
Vẽ HK vng góc với AD Và tam giác vuông SHK, ta kẻ HI chiều cao SHK
Vậy khoảng cách d(BC,SA) khoảng cách 3HI/2 cần tìm
2 3 3
3 2 3
a a
HK , hệ thức lượng 12 12 1 2 1 2 1 2
21 3
3 3
HI HS HK a a
42 , 3 3 42 42
12 2 2 12 8
a a a
HI d BC SA HI
Câu x + y + z = nên z = -(x + y) có số khơng âm khơng dương Do tính chất đối xứng ta giả sử xy
B A
C S
H M
K
(4)Ta có 3x y 32y x 32x y 12( 2 )
P x y xy =
2 2
3x y y x x y 12[( ) ]
x y xy
2
2
3 2.3 12[( ) ]
y x x y
x y
x y xy
3
3 2.3
x y x y
x y
Đặt t = 0
x y , xét f(t) = 2.( 3)3t2 3t
f’(t) = 2.3( 3) ln 3 3( 3.( 3) ln 1) 03t 3t f đồng biến [0; +) f(t) f(0) =
Mà 3x y 30= Vậy P 30+ = 3, dấu “=” xảy x = y = z = Vậy P = 3. A Theo chương trình Chuẩn :
Câu 7a.
Ta có : AN = 10
a
; AM =
a
; MN = 6a ;
cosA = 2
2
AM AN MN
AM AN
=
2 45
o
MAN
(Cách khác :Để tính MAN = 450ta tính
1
3
( ) 1
1
tg DAM DAN
)
Phương trình đường thẳng AM : ax + by 11 a 2b
=
2
2
cos
2
5( )
a b MAN
a b
3t
2– 8t – = (với t = a
b) t = hay
1
t
+ Với t = tọa độ A nghiệm hệ :
3 17
x y
x y
A (4; 5)
+ Với
t tọa độ A nghiệm hệ :
3
x y
x y
A (1; -1)
Cách khác: A (a; 2a – 3), ( , )
d M AN , MA = 10
2
MH ( 11)2 (2 7)2 45
2 2
a a
a = hay a = A (1; -1) hay A (4; 5)
Câu 8a Ta có M (-1; 0; 2) thuộc d, gọi ud = (1; 2; 1) vectơ phương đường thẳng d
[ , ]
( , )
2
d
d
MI u
AB R
IH d I d
u
, [MI u, ] ( 2;0; 2)d
IH =
2
2
R R = 2
3 phương trình mặt cầu (S) :
2 ( 3)2
x y z
Câu 9.a 5 n1
n n
C C ( 1)( 2)
6
n n n
n 30 = (n – 1) (n – 2), (do n > 0) n =
Gọi a hệ số x5ta có
7
7
7
1
i i
i x
C ax
x
7
7 14
7
( 1)
2 i
iC i x i ax
14 – 3i = i =
7 7
1
2 i i
C a
a =
35 16
Vậy số hạng chứa x5là 35 16
.x5 B Theo chương trình Nâng cao :
B A
C D
N
(5)Câu 7b Phương trình tắc (E) có dạng :
2
2 ( )
x y
a b
a b Ta có a =
(E )cắt (C ) điểm tạo thành hình vng nên : M (2;-2) thuộc (E) 42 42
a b
16
3
b
Vậy (E) có dạng
2 16 16
3
x y
Câu 8b. M d M( ; ; 2 t t t t) ( R); A trung điểm MN N(3 ; 2 t t; 2t)
( )
N P t 2N( 1; 4;0) ; qua A N nên phương trình có dạng :
2
x y z
Câu 9b z x yi 5( )
2
z i
i z
5( )
2
x yi i
i
x yi
5[( ( 1) ) ( 1)
x y i
i
x yi
5x 5(y 1)i 2(x 1) (x 1)i 2yi y
5x5(y1)i(2x 2 y) ( x )y i
2
1 5( 1)
x y x
x y y
3
7
x y
x y
1
x
y
z = + i; 1 1 (1 ) (1 )2
w z z i i 1 i 2i ( 1) 2 3i w 9 13
ThS Lê Ngô Thiện