Đáp án đề thi môn toán khối A năm 2010 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả cá...
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 Môn: TOÁN; Khối: A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − 2x2 + (1 − m)x + m (1), m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thoả mãn điều kiện x12 + x22 + x32 < Câu II (2,0 điểm) π⎞ ⎛ (1 + sin x + cos x) sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ = Giải phương trình cos x + tan x 2 Giải bất phương trình x− 1− x 2( x − x + 1) ≥ 1 x2 + e x + x2e x ∫0 + 2e x dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a ⎧⎪(4 x + 1) x + ( y − 3) − y = (x, y ∈ R) Câu V (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ⎨ 2 + + − = x y x ⎪⎩ II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + y = d2: x − y = Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B C cho tam giác ABC vuông B Viết điểm A có hoành độ dương phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích x −1 y z + = = mặt phẳng (P): x − 2y + z = Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: −1 Gọi C giao điểm ∆ với (P), M điểm thuộc ∆ Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm phần ảo số phức z, biết z = ( + i ) (1 − i ) B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x + y − = Tìm toạ độ đỉnh B C, biết điểm E(1; −3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho x+2 y−2 z +3 = = Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) đường thẳng ∆: Tính khoảng cách từ A đến ∆ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ hai điểm B C cho BC = (1 − 3i )3 Câu VII.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm môđun số phức z + i z 1− i - Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011 Môn: TOÁN; Khối A (Đáp án - thang điểm gồm 05 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu I (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) ⎧1 ⎫ • Tập xác định: D = \ \ ⎨ ⎬ ⎩2⎭ • Sự biến thiên: Chiều biến thiên: y ' = −1 ( x −1) 0,25 < 0, ∀x ∈ D 1⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ Hàm số nghịch biến khoảng ⎜ − ∞; ⎟ ⎜ ; + ∞ ⎟ 2⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ 1 Giới hạn tiệm cận: lim y = lim y = − ; tiệm cận ngang: y = − x → −∞ x → +∞ 2 lim − y = − ∞, lim + y = + ∞; tiệm cận đứng: x = ⎛1⎞ ⎛1⎞ x →⎜ ⎟ x →⎜ ⎟ ⎝2⎠ Bảng biến thiên: ⎝2⎠ x −∞ y’ y − 0,25 − +∞ − 0,25 +∞ − −∞ y • Đồ thị: (C) O − 2 x 0,25 –1 (1,0 điểm) Hoành độ giao điểm d: y = x + m (C) nghiệm phương trình: x + m = −x +1 2x −1 ⇔ (x + m)(2x – 1) = – x + (do x = không nghiệm) ⇔ 2x + 2mx – m – = (*) ∆' = m2 + 2m + > 0, ∀m Suy d cắt (C) hai điểm phân biệt với m 0,25 0,25 Gọi x1 x2 nghiệm (*), ta có: k1 + k2 = – 4( x1 + x2 ) − x1 x2 − 4( x1 + x2 ) + 1 – = − (2 x1 − 1) (2 x2 − 1) (4 x1 x2 − 2( x1 + x2 ) + 1) Theo định lý Viet, suy ra: k1 + k2 = – 4m2 – 8m – = – 4(m + 1)2 – ≤ – Suy ra: k1 + k2 lớn – 2, m = – Trang 1/5 0,25 0,25 Câu II (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) Điều kiện: sin x ≠ (*) Phương trình cho tương đương với: (1 + sin2x + cos2x)sin2x = 2 sin2xcosx ⇔ + sin2x + cos2x = 2 cosx (do sinx ≠ 0) ⇔ cosx (cosx + sinx – • cosx = ⇔ x = ) = π + kπ, thỏa mãn (*) 0,25 0,25 0,25 π π ) = ⇔ x = + k2π, thỏa mãn (*) 4 π π Vậy, phương trình có nghiệm: x = + kπ; x = + k2π (k ∈ Z) • cosx + sinx = ⇔ sin(x + 0,25 (1,0 điểm) ⎧⎪5 x y − xy + y − 2( x + y ) = (1) ⎨ 2 (2) ⎪⎩ xy ( x + y ) + = ( x + y ) Ta có: (2) ⇔ (xy – 1)(x2 + y2 – 2) = ⇔ xy = x2 + y2 = • xy = 1; từ (1) suy ra: y4 – 2y2 + = ⇔ y = ± Suy ra: (x; y) = (1; 1) (x; y) = (–1; –1) • x2 + y2 = 2; từ (1) suy ra: 3y(x2 + y2) – 4xy2 + 2x2y – 2(x + y) = 2 ⇔ 6y – 4xy + 2x y – 2(x + y) = ⇔ (1 – xy)(2y – x) = ⇔ xy = (đã xét) x = 2y Với x = 2y, từ x2 + y2 = suy ra: ⎛ 10 10 ⎞ ⎛ 10 10 ⎞ (x; y) = ⎜⎜ ; ;− ⎟⎟ (x; y) = ⎜⎜ − ⎟ ⎠ 5 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎛ 10 10 ⎞ ⎛ 10 10 ⎞ Vậy, hệ có nghiệm: (1; 1), (– 1; – 1), ⎜⎜ ; ;− ⎟⎟ , ⎜⎜ − ⎟ ⎠ ⎝ 5 ⎟⎠ ⎝ III (1,0 điểm) I = π π π 4 ( x sin x + cos x) + x cos x dx = ∫0 x sin x + cos x ∫ dx + x cos x ∫ x sin x + cos x dx 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 π π Ta có: ∫ dx = x 04 = π π ∫ IV (1,0 điểm) 0,25 π x cos x dx = x sin x + cos x d(x sin x + cos x) ∫0 x sin x + cos x = ( ln x sin x + cos x ) π ⎛ ⎛ π ⎞⎞ ⎛ ⎛ π ⎞⎞ π = ln ⎜⎜ ⎜ + 1⎟ ⎟⎟ Suy ra: I = + ln ⎜⎜ ⎜ + 1⎟ ⎟⎟ 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝ (SAB) (SAC) vuông góc với (ABC) ⇒ SA ⊥ (ABC) S n góc (SBC) AB ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC ⇒ SBA n = 60o ⇒ SA = AB tan SBA n = 2a (ABC) ⇒ SBA Mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N H ⇒ MN //BC N trung điểm AC D N C A BC AB MN = = a, BM = = a M 2 B ( BC + MN ) BM 3a = ⋅ Thể tích: VS.BCNM = S BCNM ⋅ SA = a 3 ⋅ Diện tích: SBCNM = 2 Trang 2/5 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Đáp án Điểm Kẻ đường thẳng ∆ qua N, song song với AB Hạ AD ⊥ ∆ (D ∈ ∆) ⇒ AB // (SND) ⇒ d(AB, SN) = d(AB, (SND)) = d(A, (SND)) Hạ AH ⊥ SD (H ∈ SD) ⇒ AH ⊥ (SND) ⇒ d(A, (SND)) = AH Tam giác SAD vuông A, có: AH ⊥ SD AD = MN = a ⇒ d(AB, SN) = AH = V (1,0 điểm) SA AD = 2a 39 ⋅ 13 0,25 0,25 SA2 + AD 1 + ≥ (*), với a b dương, ab ≥ Trước hết ta chứng minh: + a + b + ab Thật vậy, (*) ⇔ (a + b + 2)(1 + ab ) ≥ 2(1 + a)(1 + b) ⇔ (a + b) ab + ab ≥ a + b + 2ab b )2 ≥ 0, với a b dương, ab ≥ Dấu xảy ra, khi: a = b ab = Áp dụng (*), với x y thuộc đoạn [1; 4] x ≥ y, ta có: x 1 P= + + ≥ + 3y 2x + 3y + z + x x 2+ 1+ y z x y 0,25 ⇔ ( ab – 1)( a – Dấu " = " xảy khi: x z x = = y y z 0,25 (1) x t2 + ⋅ = t, t ∈ [1; 2] Khi đó: P ≥ 2t + + t y Đặt − ⎡⎣t (4t − 3) + 3t (2t − 1) + 9) ⎤⎦ t2 < Xét hàm f(t) = + , t ∈ [1; 2]; f '(t ) = 2t + + t (2t + 3) (1 + t ) ⇒ f(t) ≥ f(2) = 0,25 34 x = ⇔ x = 4, y = (2) ; dấu " = " xảy khi: t = ⇔ y 33 34 Từ (1) (2) suy dấu " = " xảy khi: x = 4, y = z = 33 34 Vậy, giá trị nhỏ P ; x = 4, y = 1, z = 33 ⇒P≥ VI.a 0,25 (1,0 điểm) (2,0 điểm) A Đường tròn (C) có tâm I(2; 1), bán kính IA = n = MBI n = 90o MA = MB Tứ giác MAIB có MAI I ⇒ SMAIB = IA.MA B M ∆ 0,25 ⇒ MA = ⇒ IM = IA2 + MA2 = M ∈ ∆, có tọa độ dạng M(t; – t – 2) IM = ⇔ (t – 2)2 + (t + 3)2 = 25 ⇔ 2t2 + 2t – 12 = 0,25 ⇔ t = t = – Vậy, M(2; – 4) M(– 3; 1) 0,25 0,25 (1,0 điểm) ⎧2 x − y − z + = ⎪ Gọi M(x; y; z), ta có: M ∈ (P) MA = MB = ⇔ ⎨( x − 2) + y + ( z − 1) = ⎪ x + ( y + 2) + ( z − 3) = ⎩ Trang 3/5 0,25 Câu Đáp án Điểm ⎧2 x − y − z + = ⎪ ⇔ ⎨x + y − z + = ⎪( x − 2) + y + ( z − 1) = ⎩ 0,25 ⎧x = y − ⎪ ⇔ ⎨z = 3y ⎪7 y − 11y + = ⎩ 0,25 ⎛ 12 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ; ⎟ Vậy có: M(0; 1; 3) M ⎜ − ; ; ⎟ ⎝ 7 7⎠ ⎝ 7 7⎠ ⇔ (x; y; z) = (0; 1; 3) ⎜ − ; VII.a Gọi z = a + bi (a, b ∈ R), ta có: z = z + z ⇔ (a + bi)2 = a2 + b2 + a – bi (1,0 điểm) 2 ⎧a − b = a + b + a ⇔ a – b + 2abi = a + b + a – bi ⇔ ⎨ ⎧a = − 2b ⎩b(2a + 1) = ⇔ ⎨ 0,25 ⎛ 1⎞ ⎟ (a; b) = ⎝ 2⎠ 1 1 Vậy, z = z = − + i z = − – i 2 2 ⇔ (a; b) = (0; 0) (a; b) = ⎜ − ; (2,0 điểm) 0,25 0,25 ⎩2ab = − b VI.b 0,25 1⎞ ⎛ ⎜ − ; − ⎟ 2⎠ ⎝ 0,25 (1,0 điểm) Gọi A(x; y) Do A, B thuộc (E) có hoành độ dương tam giác OAB cân O, nên: y A H O B 0,25 − x2 B(x; – y), x > Suy ra: AB = 2| y | = Gọi H trung điểm AB, ta có: OH ⊥ AB OH = x Diện tích: SOAB = x − x 2 x = x (4 − x ) ≤ Dấu " = " xảy ra, x = 0,25 0,25 ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ 2⎞ 2⎞ 2⎞ 2⎞ Vậy: A ⎜⎜ 2; ⎟⎟ A ⎜⎜ 2; − ⎟⎟ B ⎜⎜ 2; ⎟⎟ B ⎜⎜ 2; − ⎟ ⎠ ⎠ ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ 0,25 (1,0 điểm) (S) có tâm I(2; 2; 2), bán kính R = Nhận xét: O A thuộc (S) Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp r = OA = 3 (P) qua O có phương trình dạng: ax + by + cz = 0, a2 + b2 + c2 ≠ (*) (P) qua A, suy ra: 4a + 4b = ⇒ b = – a Khoảng cách: d(I, (P)) = d(I, (P)) = 2(a + b + c) 2 a +b +c 0,25 R2 − r = = 2c 2a + c ⇒ 2c 2a + c = ⇒ 2a2 + c2 = 3c2 ⇒ c = ± a Theo (*), suy (P): x – y + z = x – y – z = Trang 4/5 0,25 0,25 0,25 Câu VII.b (1,0 điểm) Đáp án Gọi z = a + bi (a, b ∈ R), ta có: (2z – 1)(1 + i) + ( z + 1)(1 – i) = – 2i ⇔ [(2a – 1) + 2bi](1 + i) + [(a + 1) – bi](1 – i) = – 2i ⇔ (2a – 2b – 1) + (2a + 2b – 1)i + (a – b + 1) – (a + b + 1)i = – 2i ⎧3a − 3b = ⎩a + b − = −2 ⇔ (3a – 3b) + (a + b – 2)i = – 2i ⇔ ⎨ ⇔ a= 1 , b = − ⋅ Suy môđun: | z | = a + b = ⋅ 3 - Hết - Trang 5/5 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 ... ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011 Môn: TOÁN; Khối A (Đáp án - thang điểm gồm 05 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu I (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm)... với AB Hạ AD ⊥ ∆ (D ∈ ∆) ⇒ AB // (SND) ⇒ d(AB, SN) = d(AB, (SND)) = d (A, (SND)) Hạ AH ⊥ SD (H ∈ SD) ⇒ AH ⊥ (SND) ⇒ d (A, (SND)) = AH Tam giác SAD vuông A, có: AH ⊥ SD AD = MN = a ⇒ d(AB, SN) = AH... SA AD = 2a 39 ⋅ 13 0,25 0,25 SA2 + AD 1 + ≥ (*), với a b dương, ab ≥ Trước hết ta chứng minh: + a + b + ab Thật vậy, (*) ⇔ (a + b + 2)(1 + ab ) ≥ 2(1 + a) (1 + b) ⇔ (a + b) ab + ab ≥ a + b + 2ab