Cuc tri trong dien xoay chieu1

Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm.. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng[r]

http://buicongthang.tk Trang LỜI MỞ ĐẦU

- Bài toán cực trị mạch điện xoay chiều dạng tốn khó học

sinh lớp 12 tài liệu hệ thống hóa cách đầy đủ dạng tốn này.

- Với đề thi trắc nghiệm đại học nay, việc áp dụng trực tiếp kết của

bài toán cực trị làm cho học sinh khơng có nhìn tổng quan phương pháp

giải dạng tốn này.

- Chính lý đó, tơi viết đề tài “ CỰC TRỊ TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN

XOAY CHIỀU “ nhằm hệ thống hóa số dạng tốn cực trị tốn này

phục vụ cho cơng tác giãng dạy bạn đồng nghiệp, tài liệu để

học sinh tham khảo trỉnh học.

- Đề tài gồm bốn phần : khảo sát biến thiên đại lượng nh công suất,

hiệu điện thiết bị… theo giá trị biến trở R, theo giá trị độ tự

cảm L, theo giá trị điện dung C theo giá trị tần số góc .

- Vì thời gian có hạn, nên q trình viết có nhiều thiếu xót, mong được

MỤC LỤC

I Sự thay đổi R mạch R-L-C mắc nối tiếp Có hai giá trị R1R2cho giá trị cơng suất Giá trị R làm cho công suất cực đại

a Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại b Giá trị R làm cho công suất R cực đại c Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại Khảo sát biến thiên công suất vào giá trị R

II Sự thay đổi L mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây cảm Có hai giá trị L1L2cho giá trị cơng suất

2 Khảo sát biến thiên công suất theo cảm kháng Giá trị ZLđể hiệu điện ULmax

4 Có hai giá trị L1L2 cho giá trị UL,giá trị L để ULmaxtính theo L1và L2 Giá trị ZLđể hiệu điện ULRrmax

III Sự thay đổi C mạch R-L-C mắc nối tiếp Có hai giá trị C1C2cho giá trị cơng suất

2 Khảo sát biến thiên công suất theo dung kháng Giá trị ZCđể hiệu điện UCmax

4 Có hai giá trị C1C2 cho giá trị ULvà giá trị ZCđể UCmaxtính theo C1và C2 Giá trị ZCđể hiệu điện UCRrmax

IV Sự thay đổi trong mạch R-L-C mắc nối tiếp Giá trị làm cho Pmax

2 Khảo sát biến thiên cơng suất theo 

3 Có hai giá trị1  2cho công suất giá trị làm cho Pmaxtính theo1và 2 Giá trị làm cho hiệu điện ULmax

http://buicongthang.tk Trang

I Sự thay đổi R mạch R-L-C mắc nối tiếp:

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu hai đầu ổn định : uU0cos( t u) R biến trở, giá trị R0, L C không đổi Gọi Rtd= R + R0

1 Có hai giá trị R1 R2cho giá trị công suất

- Công suất tiêu thụ mạch :

2

2

( )

td td

td L C U

P R I R

R Z Z

 

 

- Vì P1 = P2 = P nên ta xem cơng suất phương trình số không đổi ứng với hai giá trị R1 R2 Khai triển biểu thức ta có:

2 2

( )

td td L C

PR R U P Z Z 

- Nếu có giá trị điện trở cho giá trị cơng suất p hương trình bậc có hai nghiệm phân biệt R1 R2 Theo định lý Viète (Vi-et):

2

1 2

2

1 2

( ) ( )( ) ( )

2

td td L C L C

td td

R R Z Z R R R R Z Z

U U

R R R R R

P P

       

 

 

    

 

 

- Từ ta thấy có giá trị R1và R2khác cho giá trị công suất

2 Giá trị R làm cho công suất cực đại

a Giá trị R làm cơng suất tồn mạch cực đại

- Ta có:

2

2

2

2

( )

( )

td td

L C td L C

td

td

U U

P R I R

Z Z

R Z Z

R

R

  



  

- Đặt

2

( L C) td

td

Z Z

A R

R



  , áp dụng bất đẳng thức Cauchy(Côsi) cho A

2

( ) ( )

2

L C L C

td td L C

td td

Z Z Z Z

A R R Z Z const

R R

 

     

- Ta thấy Pmaxkhi Amin=> “ =” xảy Vậy: Rtd  ZLZC - Khi giá trị cực đại cơng suất là:

2 2

max

1 2

2 L C td td ( )( )

U U U

P

Z Z R R R R R R

  

  

Với R1td R2tdlà hai giá trị R cho giá trị cơng suất

Lưu ý: Khi ZLZC R0thì giá trị biến trở R < 0, giá trị biến trở làm cho

cơng suất tồn mạch cực đại R = 0.

b Giá trị R làm cho công suất R cực đại

A B

C

- Công suất biến trở R 2 2 2

0 ( ) ( )

( ) ( )

R

L C L C

U U

P R I R

R R Z Z

R R Z Z

R

  

  

  

- Đặt mẩu thức biểu thức :

2 2

0

0

( ) ( ) ( )

2

L C L C

R R Z Z R Z Z

A R R

R R

    

   

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho A ta được:

2 2

2

0

0 0

( ) ( )

2 2 ( )

L C L C

L C

R Z Z R Z Z

A R R R R R Z Z R const

R R

   

         

- Ta thấy PRmaxkhi Aminnghĩa dấu “ =” phải xảy ra, đó:

2

0 ( L C) R R  Z Z

- Công suất cực đại biến trở R là:

2

max 2 2

0

2 ( )

R

L C U P

R Z Z R



  

c Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại , cường độ dòng điệncực đại, hiệu điện cuộn dây cực đại, hiệu điện tụ điện cực đại.

- Ta có :

2 2

â 0

2

0

; ;

( ) ( )

d y d L c C

L C

P R I U I Z R U IZ

U I

R R Z Z

   



  

- Vì R0; ZL; ZCvà U đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại cần cường độ dịng điện qua mạch cực đại Từ biểu thức dòng điện ta thấy Imaxkhi giá trị biến trở R =

3 Khảo sát biến thiên công suất vào giá trị R

- Để thấy rõ phụ thuộc cơng suất tồn mạch vào giá trị biến trở R người ta thường dùng phương pháp khảo sát hàm số:

- Ta có cơng suất tồn mạch theo biến thiên the o biến trở R cho hàm số:

2 2 ( ) td td

td L C

td

U

P R I R

R Z Z

R R R

 

 

 

- Đạo hàm P theo biến số Rtdta có:

2

'

2 2

( )

( )

( ( ) )

L C td

td L C

Z Z R

P R U

R Z Z

 



 

Khi ' 2

0

( ) ( L C) td td L C L C P R   Z Z R  R  Z Z  R Z Z R

Bảng biến thiên :

R ZLZC R0 +

-http://buicongthang.tk Trang P(R)

2

max

2 L C U P

Z Z





2

0 2

0 ( L C) U

P R

R Z Z



 

Đồ thị P theo Rtd:

Nhận xét đồ thị :

 Từ đổ thị ta thấy có hai giá trị R1và R2 cho giá trị của công suất.

 Công suất đạt giá trị cực đại khi R ZLZC R0 0

 Trong trường hợp R ZLZC R0 0 thì đỉnh cực đại nằm phần R< 0

do ta thấy cơng suất mạch lớn R = 0.

 Nếu R0 = đồ thị xuất phát từ gốc tọa độ ta ln có giá trị R làm cho cơng suất tồn mạch cực đại là R ZLZC

Kết luận:

 Với phương pháp khảo sát hàm số để thu kết phần sẽ không hiệu phương pháp dùng tính chất hàm bậc bất đẳng thức Cauchy.

 Tuy nhiên từ việc khảo sát ta biết biến thiên P theo biến trở R nhằm định tính giá trị công suất tăng hay giảm khi

thay đổi điện trở.

II Sự thay đổi L mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây cảm.

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu hai đầu ổn định : uU0cos( t u) L cuộn dây cảm có giá trị thay đổi R C không đổi

P

R O

Pmax

R=ZL- ZC- R0

A B

C

ZL ZL= ZC +

P’(ZL) +

-P(ZL)

0

1 Có hai giá trị L1 L2cho giá trị cơng suất

- Vì có hai giá trị cảm kháng cho giá trị công suất nên:

1

2

1 2 2

( L C) ( L C)

U U

P P R R

R Z Z R Z Z

  

   

- Khai triển biểu thức ta thu :

1

1

1

2

( ) ( )

( )

L C L C

L C L C

L C L C

Z Z Z Z

Z Z Z Z

Z Z Z Z

  



    

   



(loại) (nhận)

- Suy :

1 2

2

L L C

Z Z

Z L L

C 



   

2 Khảo sát biến thiên công suất theo cảm kháng ZL

- Ta có cơng suất tồn mạch là:

2

2

( L C)

U

P R

R Z Z



  , với R, C số, nên

công suất mạch hàm số theo biến số ZL - Đạo hàm P theo biến số ZL ta có:

2

2 2

'( ) '( )

[ ( ) }] c L

L L

L C Z Z

P Z RU P Z

R Z Z



  

  ZL ZC

- Bảng biến thiên

http://buicongthang.tk Trang - Nhận xét đồ thị:

 Có hai giá trị cảm kháng cho giá trị công suất

 Công suất mạch cực đại khi

2 L L L C

Z Z

Z Z   , với

1; L L

Z Z là hai giá

trị cảm kháng cho giá trị công suất.

Kết luận: Từ việc khảo sát biến thiên thay đổi công suất vào giá trị ZLsẽ cho

phép định tính tăng hay giảm P theoZL Từ ta tiên đốn sự

thay đổi công suất theo giá trị ZLtrong số toán.

3 Giá trị ZLđể hiệu điện ULmax - Ta có hiệu điện cuộn dây :

2

( )

L L L

L C U U IZ Z

R Z Z

 

  , R; ZC

và U số khơng đổi Ta dùng phương pháp khảo sát hàm số theo biến số ZL Tuy nhiên với cách khảo sát hàm số phức tạp Với phương pháp dùng giản đồ Vecto tốn giải dể

hơn rút nhiều kết luận

- Theo giản đồ vectơ định lý hàm số sin tam giác ta có :

sin( ) sin L

U U

   

- Vì

2

sin cos R

RC C

U R

const

U R Z

     

 , suy

sin( ) sin( )

sin cos

L

U U

U    

 

   

- Do cosvà U giá trị không đổi nên hiệu điện ULmaxkhi sin( )

2



      

P

ZL O

Pmax

ZL= ZC

i UR

URC U

O

UC UL

 

- Theo hệ thức tam giác vng ta có:

RC C L

U U U , từ suy 2

L C C

Z Z R Z

- Tóm lại:

 Khi 2 C L C R Z Z Z   2 max C L R Z U U R  

 Khi ULmaxthì hiệu điện tức thời hai đầu mạch nhanh pha uRC góc 900

4 Có hai giá trị L1 L2cho giá trị UL, giá trị L để ULmaxtính theo L1và L2 - Khi có hai giá trị L cho giá trị hiệu điện thế:

1

1 2

1

1 2 2 2 2

( ) ( )

L L

L L L L

L C L C

Z Z

U U Z I Z I

R Z Z R Z Z

    

   

- Bình phương khai triển biểu thức ta thu được:

1

1 2

2

2 2 2

2

L L

C L L C C L L C

Z Z

R Z Z  Z Z  R Z Z  Z Z

- Theo kết phần hiệu điện hai đầu cuộn dây cực đại thì

2

L C C

Z Z R Z với giá trị ZLlà giá trị làm cho ULmax Thay vào biểu thức trên:

1

1 2

2

2

2

L L

L C L L C L C L L C

Z Z

Z Z Z  Z Z  Z Z Z  Z Z - Tiếp tục khai triển biểu thức ta thu được:

1 2

2

(ZL ZL )ZL 2Z ZL L (ZL ZL )

- Vì L1L2nên đơn giàn biểu thức ta thu được:

1

1

1

2 L L 2

L

L L

Z Z L L

Z L

Z Z L L

  

  với

giá L giá trị cho ULmax

5 Giá trị ZLđể hiệu điện ULRrmax - Khi R L mắc nối tiếp :

2

2

2 2

2

( ) ( )

L

LR L

L C L C

L

U R Z U

U I R Z

R Z Z R Z Z

R Z           - Đặt 2 2

( L C) L

R Z Z

MT

R Z

 



 , ta thực việc khảo sát hàm số MT theo biến số ZLđể tìm giá trị ZLsao cho MTminkhi giá trị ULrmax Đạo hàm MT theo biến số ZLta thu :

2 2

'

2 2

2( )( ) [ ( ) ]

( )

( )

L C L L L C

L

L

Z Z R Z Z R Z Z

MT Z

R Z

    



http://buicongthang.tk Trang - Cho MT’(ZL) = ta có : 2

0 C L C L C

Z Z Z Z Z R  Nghiệm phương trình bậc hai

này là:

2 2 2 4 C C L C C L

Z R Z

Z

Z R Z

Z              

Lập bảng biến thiên ta có:

ZL 2 C C L

Z R Z

Z    +

MT’(ZL) - 0 +

MT (ZL)

2

2

4

C C

R Z Z

R           [

- Từ bảng biến thiên ta thấy MT đạt giá trị nhỏ nên ULRđạt giá trị lớn Ta thu kết sau:

Khi 2 C C L

Z R Z

Z    ax

2 2 R RLM C C U U

R Z Z



 

III Sự thay đổi C mạch R-L-C mắc nối tiếp.

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu hai đầu ổn định :

0cos( u) uU  t

R điện trở L cuộn dây cảm không đổi C có giá trị thay đổi

Nhận xét: Vì công thức tổng trở 2 2

( L C) ( C L)

Z R  Z Z R  Z Z ta thấy toán thay đổi giá trị C giống tốn thay đổi giá trị L Do thực việc khảo sát ta thực tư ơng tự thu kết sau:

1 Có hai giá trị C1 C2cho giá trị công suất

Với hai giá trị C1và C2 cho giá trị cơng suất ta có

1 2 2 2 1 2 C C L C C C C

Z Z C C

Z Z L C C               

Với giá trị C0 giá trị làm cho công suất mạch cực đại 2 Khảo sát biến thiên công suất theo dung kháng - Bảng biến thiên:

ZC ZC= ZL +

P’(ZC) +

-A B

C

P(ZC)

max U P

R 

2

2

L

U

P R

R Z





- Đồ thị công suất theo giá trị ZC:

3 Giá trị ZC để hiệu điện UCmax - Khi

2

L C

L

R Z

Z

Z



 :

 ax 2

L CM

U R Z

U

R



 2 2 2

ax ; ax ax

CM R L CM L CM

U U U U U U U U 

uRLvuông pha với hiệu điện hai đầu mạch

4 Có hai giá trị C1 C2cho giá trị UC,giá trị ZCđể UCmaxtính theo C1và C2

- Khi có hai giá trị C = C1hoặc C = C2cho giá trị UCthì giá trị C làm cho UCmaxkhi

1

1

1 1

( )

2

C C C

C C

C

Z Z Z



   

5 Giá trị ZC để hiệu điện URCmax - Khi

2

4

L L

C

Z R Z

Z    ax

2

2 R

RCM

L L U

U

R Z Z



  ( Với điện trở R tụ điện mắc

gần nhau)

IV Sự thay đổi  mạch R-L-C mắc nối tiếp 1 Giá trị  làm cho Pmax

- Ta có

2

2

2

U

P RI R

R L

C 



 

 

  

 

, từ công thức ta thấy công suất

mạch đạt giá trị cực đại khi: L 0 LC

  



     Với

2 max

U P

R



- Khi Zmin= R hiệu điện giửa hai đầu mạch cường độ dòng điện qua mạch P

ZC O

Pmax

http://buicongthang.tk Trang.11

2 Có hai giá trị 1 2 cho công suất giá trị  làm cho Pmax tính theo1

và 2:

- Nếu có hai giá trị tần số khác cho giá trị cơng suất thì:

2

2 2

1

1

1

( ) ( )

1 2

P P R U R U

R L R L

C C

 

 

  

   

- Biến đổi biểu thức ta thu :

1

1

1

1

1

(1)

1

( )(2)

L L

C C

L L

C C

 

 

 

 

   

 

    



- Vì 1  2nên nghiệm (1) bị loại

- Khai triển nghiệm (2) ta thu : 1 2 LC

  

- Theo kết ta có : 02

1 LC

    với 0là giá trị cộng hưởng điện

3 Khảo sát biến thiên công suất theo .

- Ta có

2

2

2

U

P RI R

R L

C 



 

 

  

 

- Việc khảo sát hàm số P theo biến số bằng việc lấy đạo hàm lập bảng biến thiên khó khăn hàm số tương đối phức tạp Tuy nhiên, ta thu kết từ nhận xét sau:

 Khi= ZC C



   làm cho P =

 Khi 0

LC

   mạch cộng hưởng làm cho công suất mạch cực đại

 Khi   ZL L làm cho P =

- Từ nhận xét ta dễ dàng thu biến thiên đồ thị :

 0

1 LC

   +

P()

2

U R

- Nhận xét đồ thị:

Từ đồ thị ta thấy có hai giá trị 1≠2cho giá trị công

suất, điều phù hợp với biến đổi phần trên.

4 Giá trị  làm cho hiệu điện ULmax

- Ta có : L L L L

U U

U I Z Z Z Z

Z

   , đặt

2

2

2

1

( ) L

R L

Z C

A

Z L

  

 

  

   

  

 

- Biến đổi biểu thức A ta thu :

2

2 2

1 R A

L LC

 

 

   

 

- Ta tiếp tục đặt x 12 L



 

2

1

R x

A x

L C

 

   

 

- Lấy đạo hàm A theo biến số x ta thu được:

2

2 '( ) R x A x

L C C

 

    

 

- Cho A’(x) = ta thu

2

2 LC R C x

L

 

- Vì 2

0 L

x R

C

   ta thu bảng biến thiên: x

0

2

2 LC R C

L



∞ A’(x) - +

A(x)

0 

P

http://buicongthang.tk Trang.13 - Thay giá trị x vào biểu thức đặt ta thu hiệu đ iện cực đại cuộn dây là:

2

1

2

C L R

C  



và ax

2

2

4

LM

U L U

R LC R C





Nhận xét : Khi 2

0 L

x R

C

   Amin x = A làm hàm số bậc có hệ số

2

1 a

C

  nên hàm số có cực tiểu phần âm, x = làm cho Amintrong miền xác định x Khi rất lớn làm cho ZLrất lớn làm cho I = Do khơng thể tìm giá trị làm cho ULmax

5 Giá trị  làm cho hiệu điện Ucmax

- Tương tự cách làm ta thu kết tương tự thay đổi giá trị  làm cho UCmax là: Khi

2

1

2 L R L C

  ax 2 2

2 CM

U L U

R LC R C



 với

2

2L R C 