Thông tin tài liệu
Phần I: Các toán đa thức Tính giá trị biểu thức: Bài 1: Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - TÝnh P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P( ) H.DÉn: - LËp c«ng thøc P(x) - Tính giá trị đa thức điểm: dùng chức - Kết quả: P(1,25) = P(-5,1289) = CALC ; P(4,327) = ; P( ) = Bài 2: Tính giá trị biểu thøc sau: P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 t¹i x = 0,53241 10 Q(x) = x + x + + x + x + x t¹i x = -2,1345 H.Dẫn: - áp dụng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) Ta cã: P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 = ( x − 1)(1 + x + x + + x9 ) x10 − = x −1 x Từ tính P(0,53241) = Tơng tự: Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 + + x8) = x2 x9 − x −1 Tõ ®ã tính Q(-2,1345) = Bài 3: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e BiÕt P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 TÝnh P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: Bớc 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) cho: + BËc H(x) nhá h¬n bËc cđa P(x) + BËc cđa H(x) nhá h¬n sè giá trị đà biết P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ 5, nghĩa là: Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e Bíc 2: T×m a1, b1, c1, d1, e1 ®Ĩ Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tøc lµ: a1 + b1 + c1 + d1 + e1 + = 16a + 8b + 4c + 2d + e + = 1 1 ⇒ a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1 81a1 + 27b1 + 9c1 + 3d1 + e1 + = 256a + 64b + 16c + 4d + e + 16 = 1 1 625a1 + 125b1 + 25c1 + 5d1 + e1 + 25 = VËy ta cã: Q(x) = P(x) - x2 V× x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = lµ nghiƯm cđa Q(x), mµ bËc cđa Q(x) b»ng cã hƯ sè cđa x5 b»ng nªn: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) ⇒ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2 Từ tính đợc: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Bµi 4: Cho ®a thøc P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d BiÕt P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11 TÝnh P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: - Giải tơng tù bµi 3, ta cã: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3) Tõ ®ã tÝnh ®ỵc: P(5) = P(8) = ; P(6) = ; P(7) = ; ; P(9) = Bµi 5: Cho ®a thøc P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d BiÕt P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10 TÝnh A = P (5) − P(6) =? P (7) H.DÉn: - Gi¶i tơng tự 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + Tõ ®ã tính đợc: A = x( x + 1) P (5) − P(6) = P (7) Bµi 6: Cho ®a thøc f(x) bËc víi hƯ sè cđa x3 k, k Z thoả mÃn: f(1999) = 2000; f(2000) = 2001 Chøng minh r»ng: f(2001) - f(1998) lµ hợp số H.Dẫn: * Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b) Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 1999a + b + 2000 = a = −1 ⇔ ⇔ ⇒ g(x) = f(x) - x - 2000a + b + 2001 = b = * Tính giá trị f(x): - Do bậc f(x) nên bậc cđa g(x) lµ vµ g(x) chia hÕt cho: (x - 1999), (x - 2000) nªn: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) ⇒ f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + Tõ ®ã tÝnh ®ỵc: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) hợp số Bài 7: Cho đa thức f(x) bËc 4, hƯ sè cđa bËc cao nhÊt lµ thoả mÃn: f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ? H.Dẫn: - Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c T×m a, b, c cho g(1) = g(3) = g(5) = ⇒ a, b, c nghiệm hệ phơng trình: a + b + c + = 9a + 3b + c + 11 = 25a + 5b + c + 27 = a = −1 MTBT ta giải đợc: b = c = −2 ⇒ g(x) = f(x) - x2 - - Vì f(x) bậc nên g(x) cã bËc lµ vµ g(x) chia hÕt cho (x 1), (x - 3), (x - 5), vËy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x 0) ⇒ f(x) = (x 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x2 + Ta tính đợc: A = f(-2) + 7f(6) = Bài 8: Cho đa thức f(x) bËc BiÕt f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = T×m f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức) H.Dẫn: - Giả sử f(x) cã d¹ng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d V× f(0) = 10; f(1) = 12; d = 10 a + b + c + d = 12 f(2) = 4; f(3) = nªn: 8a + 4b + 2c + d = 27a + 9b + 3c + d = lấy phơng trình cuối lần lợt trừ cho phơng trình đầu giải hệ gồm phơng trình ẩn a, b, c MTBT cho ta kết quả: 25 a = ; b = − ; c = 12; d = 10 2 ⇒ f ( x) = 25 x − x + 12 x + 10 ⇒ f (10) = 2 Bµi 9: Cho ®a thøc f(x) bËc biÕt r»ng chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) đợc d f(-1) = -18 TÝnh f(2005) = ? H.DÉn: - Tõ gi¶ thiÕt, ta cã: f(1) = f(2) = f(3) = vµ có f(-1) = -18 - Giải tơng tự nh 8, ta cã f(x) = x3 - 6x2 + 11x Từ tính đợc f(2005) = Bài 10: Cho đa thøc P ( x ) = 13 82 32 x − x + x − x + x 630 21 30 63 35 a) Tính giá trị đa thức x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; b) Chøng minh P(x) nhận giá trị nguyên với x nguyên Giải: a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; (tính máy) P(x) = b) Do 630 = 2.5.7.9 vµ x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; lµ nghiệm P ( x) = đa thức P(x) nên ( x − 4)( x − 3)( x − 2)( x − 1) x ( x + 1)( x + 2)( x + 3( x + 4) 2.5.7.9 V× só nguyên liên tiếp tìm đợc sè chia hÕt cho 2, 5, 7, nªn víi x nguyên tích: ( x 4)( x − 3)( x − 2)( x − 1) x ( x + 1)( x + 2)( x + 3( x + 4) chia hÕt cho 2.5.7.9 (tÝch cđa c¸c sè nguyên tố nhau) Chứng tỏ P(x) số nguyên với x nguyên Bài 11: Cho hàm số f ( x) = 4x H·y tÝnh c¸c tỉng sau: 4x + a) 2001 S1 = f + f + + f 2002 2002 2002 b) π 2π 2 2001π S = f sin + f sin + + f sin 2002 2002 2002 H.DÉn: * Víi hµm sè f(x) ®· cho tríc hÕt ta chøng minh bỉ ®Ị sau: NÕu a + b = th× f(a) + f(b) = * áp dụng bổ đề trên, ta cã: a) 1000 2001 1002 1001 S1 = f + f + + f + f + f 2002 2002 2002 2002 2002 =1 + +1 + 1 f + f =1000 + =1000, 2 2 b) Ta cã sin π 2002 = sin 2001π 1000π 1002π , , sin = sin 2002 2002 2002 Do ®ã: π 2π 2 1000π 1001π S = f sin + f sin + + f sin + f sin 2002 2002 2002 2002 = π f sin + 2002 1000π f sin + + 2002 500π f sin + 2002 501π f sin + 2002 π f sin 2 = π π f sin + f cos + + 2002 2002 = [ +1 + +1] + 500π 500π f sin + f cos + f (1) 2002 2002 2 =1000 + =1000 3 Tìm thơng d phép chia hai đa thức: Bài toán 1: Tìm d phép chia đa thức P(x) cho (ax + b) Cách giải: b b - Ta ph©n tÝch: P(x) = (ax + b)Q(x) + r ⇒ P − = 0.Q − + r ⇒ a a −b r = P a Bài 12: Tìm d phÐp chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - cho (2x - 5) Gi¶i: 5 5 5 - Ta cã: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r ⇒ P = 0.Q + r ⇒ r = P ⇒ r = 2 2 2 5 P 2 5 TÝnh trªn máy ta đợc: r = P = Bài toán 2: Tìm thơng d phép chia đa thức P(x) cho (x + a) Cách giải: - Dùng lợc đồ Hoocner để tìm thơng d phép chia đa thức P(x) cho (x + a) Bài 13: Tìm thơng d phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - cho (x + 5) H.Dẫn: -5 - Sử dụng lợc đồ Hoocner, ta cã: 1 -5 -2 23 -3 -118 590 -2950 1475 -1 - 7375 * Tính máy tính giá trị trªn nh sau: ( −) SHIFT M STO × ANPHA M + = × ANPHA M + - = (-5) : ghi giÊy -5 (23) : ghi giÊy 23 × ANPHA M - = × ANPHA M + × ANPHA M × ANPHA × ANPHA (-118) : ghi giÊy -118 = (590) : ghi giÊy + = (-2950) : M + = (14751) : ghi giÊy 14751 M - = 590 ghi giÊy -2950 (-73756) : ghi giÊy -73756 x7 - 2x5 - 3x4 + x - = (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756 Bài toán 3: Tìm thơng d phép chia đa thức P(x) cho (ax +b) Cách giải: - Để tìm d: ta giải nh toán - Để tìm hệ số đa thức thơng: dùng lợc đồ Hoocner để tìm thơng phép chia đa thức P(x) cho (x + ơng với b ) sau nhân vào tha ta đợc đa thức thơng cần tìm a Bài 14: Tìm thơng d phÐp chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + cho (2x - 1) Gi¶i: 1 - Thùc hiÖn phÐp chia P(x) cho x − , ta đợc: P(x) = x3 + 2x2 - 3x + = x − x + x − + Tõ ®ã ta 2 4 ph©n tÝch: 1 7 P(x) = x3 + 2x2 - 3x + = x − x + x − + 2 4 7 1 = (2x - 1) x + x − + 8 Bài 15: Tìm giá trị cđa m ®Ĩ ®a thøc P(x) = 2x + 3x2 - 4x + + m chia hÕt cho Q(x) = 3x +2 H.DÉn: - Ph©n tÝch P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m Khi ®ã: P(x) chia hÕt cho Q(x) = 3x + vµ chØ khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x) 2 2 Ta cã: P1 − + m = ⇒ m = − P1 − 3 Tính máy giá trị đa thức P1(x) x = ta đợc m = Bài 16: Cho hai đa thức P(x) = 3x - 4x + + m; Q(x) = x + 3x2 - 5x + + n T×m m, n để hai đa thức có nghiệm chung x0 = H.DÉn: x0 = 1 lµ nghiƯm cđa P(x) th× m = − P1 , víi P1(x) = 3x2 - 4x + 2 x0 = 1 nghiệm Q(x) n = −Q1 , víi Q1(x) = x3 + 3x2 2 5x + Tính máy ta đợc: m = P1 = 1 ;n = −Q1 = 2 Bµi 17: Cho hai ®a thøc P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n a) T×m m, n ®Ó P(x), Q(x) chia hÕt cho (x - 2) b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x) Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ đa thức R(x) chØ cã nhÊt mét nghiƯm H.DÉn: a) Gi¶i tơng tự 16, ta có: m = ;n = Ên tiÕp phÝm: × 16,5 SHIFT x × ÷ = − MR = (353.66) Ên tiÕp phím: ữ MR SHIFT % Kết quả: 100 Vậy diện tích hai phần Lời bình: Có thể chứng minh phần có 12 tam giác nhau, diện tích hai phần Từ cần tính diện tích lục giác chia đôi Bài 12 Cho lục giác cấp ABCDEF cã c¹nh AB = a = 36 mm Tõ trung điểm cạnh dựng lục giác ®Òu A ' B ' C ' D ' E ' F ' hình cánh có đỉnh trung điểm A ', B ', C ', D ', E ', F ' A' ®ỊuB cÊp A giác (xem hình vẽ) Phần trung tâm hình lục MNPQRS Với lục giác ta lại làm tơng tự M N B' F' nh lục giác ban đầu ABCDEF đợc F P c S hình lục giác cấp Đối với lục giác cấp 3, ta lại làm tơng tự nh C' R Q E' đợc lục giác cấp Đến ta dừng lại D E D' Các cánh hình đợc tô mầu (gạch xọc), hình thoi hình chia thành tam giác tô hai mầu: mầu gạch xọc mầu "trắng" Riêng lục giác cấp đợc tô mầu trắng a) Tính diện tích phần đợc tô mầu "trắng" theo a b) Tính tỉ số phần trăm diện tích phần "trắng" diện tích hình lục giác ban đầu Giải: a) Chia lục giác thành tam giác có cạnh a đờng chéo qua ®Ønh ®èi xøng qua t©m, tõ ®ã ta cã 3a 2 S = 6⋅ a = a Chia lục giác ABCDEF thành 24 tam giác có cạnh Mỗi tam giác c¹nh a cã diƯn tÝch b»ng diƯn tÝch tam giác "trắng" A ' NB ' (xem hình vẽ) Suy diện tích tam giác trắng vòng = 24 diƯn tÝch lơc gi¸c cÊp ABCDEF 3a ⋅ Vậy diện tích tam giác trắng vòng là: (1) a b b) Tơng tự với cách tÝnh trªn ta cã: MN = b = ; c = Diện tích tam giác trắng lục giác cấp MNPQRS là: 3b (2) 3c ⋅ Diện tích tam giác trắng lục giác cấp là: (3) c Diện tích lục giác trắng (với d = ): 3d (4) Tãm l¹i ta cã: 3a = 3c ⋅ = S1 = ⋅ S3 = 3a 27 3a 23 ; S2 = 3a ⋅ ⋅ 42 = 3b ⋅ 3a 27 = ; S4 = 3a ⋅ ⋅ 22 3d = = 3a 25 3a ⋅ 82 ; = Str¾ng =S1+S2+S3+S4 = 3a ( Ên phÝm: × 36 SHIFT x × ÷ 1 + 5+ 2 )= 3a + + 26 = MODE (3367.11) Min VËy SABCDEF = 3367,11 mm2 Ên tiÕp phÝm: SHIFT x y + SHIFT x + = ữ SHIFT xy ì MR = (1157.44) Ên tiÕp phÝm: VËy Str¾ng ≈ 1157,44 mm2 ÷ MR SHIFT % (34.38) VËy Strang SABCDEF ≈ 34,38% Đáp số: 1157,44 mm2 34,38% Bài 13 Cho hình vuông cấp ABCD với độ dài cạnh AB = a = 40 cm LÊy A, B, C , D làm tâm, thứ tự vẽ cung tròn bán kính a, bốn cung tròn cắt M , N , P, Q Tø gi¸c MNPQ hình vuông, gọi hình vuông cấp Tơng tự nh trên, lấy M , N , P, Q làm tâm vẽ cung tròn bán kính MN , đợc giao điểm E , F , G, H hình vuông cấp Tơng tự làm tiếp đợc hình vuông cấp XYZT dừng lại (xem hình vẽ) a) Tính diện tích phần hình không bị tô mầu (phần để trắng theo a) b) Tìm tỉ số phần trăm hai diện tích tô mầu không tô mầu Giải: a) Tính diện tích cánh hoa trắng cấp (bằng viên phân trừ lần diện tích hình vuông cấp 2) S1 = ⋅ π a2 a2 - − 2b ( b cạnh hình vuông cấp 2) Tơng tự, tính diện tích cánh hoa trắng cấp vµ cÊp 3: S = 4( π b2 b2 - ) 2c ( c cạnh hình vu«ng cÊp 3) π c2 c2 - ) 2d ( d cạnh hình vuông cấp 4) Rót gän: S1 = a2( π - 2) - 2b2; S2 = b2( π - 2) - 2c2; S3 = c2( π - 2) - 2d2 ; Str¾ng=S1+S2+S3 = π (a2 + b2 + c2)-4(b2 + c2)-2 (a2 + d2) S3 = ( · b) Ta cã: MCQ = 300; b = QM = 2MK = 2a.sin150 = a(2sin150) T¬ng tù: c = 2b.sin150 = a(2sin150)2; d = 2c.sin150 = a(2sin150)3 Ký hiÖu x = 2sin150, ta cã: b = a.x; c = ax2; d = ax3 Thay vào công thức tính diện tích Strắng ta đợc: Str¾ng = π (a2 + a2 x2 + a2 x4) - 4(a2 x2 + a2 x4) - 2(a2 + a2 x6) = π a (1 + x2 + x4) - 4a2(x2 + x4) - 2a2(1 + x6) Ên phÝm: 15 o,,, sin × = Min SHIFT x y + MR SHIFT x + = × SHIFT π × 40 SHIFT x − × 40 SHIFT x × [( MR SHIFT x + MR SHIFT x y [( )] − × 40 SHIFT x × + MR SHIFT x y = MODE (1298.36) Min VËy Str¾ng ≈ 1298,36 cm2 BÊm tiÕp phÝm: 40 SHIFT x − MR = (301.64) VËy Sg¹ch xäc ≈ 301,64 cm2 BÊm tiÕp phÝm: ÷ MR SHIFT % (23.23) Sgach xoc Vậy S trang 23,23% Đáp số: 1298,36 cm2; 23,23% Bài 14 Cho tam giác ABC có cạnh a = 33,33 cm tâm O Vẽ cung tròn qua hai đỉnh trọng tâm O tam giác đợc hình Gọi A ', B ', C ' trung điểm cạnh BC, CA AB A Ta lại vẽ cung tròn qua hai trung điểm điểm O, ta đợc hình nhỏ B' a) Tính diện tích phần cắt bỏ (hình gạch xọc) tam giác ABC để đợc hình lại O b) Tính tỉ số phần trăm phần cắt bỏ B C A' diện tích tam giác ABC Giải: A ' B ' C' tam giác nhận O làm tâm (vì AA ', BB ', CC ' đờng cao, đờng trung tuyến ∆ A ' B ' C' ) chiÕc l¸ có điểm chung O, nghĩa phần diện tích chung Mỗi viên phân có góc tâm 60 0, bán kính tam giác Gọi S1 diện tích viên phân Khi S1 = = OA2 12 ®êng cao π OA2 OA2 (2 π -3 ) Ta cã: OA = a 3 = a 3 Gäi S lµ diện tích lớn, S' diện tích l¸ nhá Khi Êy: S =6S1 = OA2 (2 π -3 )= a2 (2 π -3 ) Gọi cạnh tam giác A ' B ' C' b, tơng tự ta có: S'= b2 (2 π -3 ) = a2 24 (2 -3 ) Tổng diện tích là: S + S' = (2 π -3 )( a2 a2 + 24 ) Diện tích phần gạch xọc (phần cắt bỏ) S'' S''= SABC -(S + S')= TÝnh S∆ABC : 33.33 SHIFT x × TÝnh S'' : ì ữ a2 ữ - (2 π -3 )( a2 a2 + )=( − π )a 24 12 = (481.0290040) Min − ÷ 12 × π = × 33.33 SHIFT x = (229.4513446) VËy S'' ≈ 229,45 cm2 S'' Ên tiÕp phÝm để tính S : ữ MR SHIFT % Kết quả: 47.70 ABC S'' 47,70 % Đáp số: S'' 229,45 cm2; S ABC Phần VI Hình học không gian Bài 15 (Sở GD&ĐT Hà Nội, 1996, vòng trờng, lớp 10) 1) Tính thể tích V hình cầu bán kÝnh R = 3,173 2) TÝnh b¸n kÝnh cđa hình cầu tích V = 137, 45 dm3 Giải: 1) Ta có công thức tính thể tích hình cầu: V = R3 Tính máy: 3.173 SHIFT x y ì ì ữ = (133.8131596) 3V 2) Từ công thøc V = π R3 suy R = áp dụng: ì 137.45 ữ ÷ π = SHIFT x y a b / c = (3.20148673) Đáp số: V = 133.8134725 dm3 ; R = 3, 201486733 dm Bµi 16 (Së GD & ĐT TP HCM, 1998, vòng chung kết, PTTH & APTCB) Tính góc R HCH phân tử mêtan ( H : Hydro, C : Carbon) Gi¶i: Gäi G tâm tứ diện ABCD cạnh a , I tâm tam giác BCD Góc S HCH phân tử mêtan a góc S AGB cđa tø diƯn ABCD Khi Êy ta cã: IB = Suy AI = AB − IB = a − ( vµ BG = AG = a AI = 2 a AE sin AGE = = = AG a 2 TÝnh AGB :2 a b / c Đáp số: 109o 28'16 '' a )2 = G D a I B C Gọi E điểm AB SHIFT sin -1 = × suu u = SHIFT o,,, ( 109o 28o16.39 ) Khi Êy Bµi 17 (Sở GD & ĐT TP HCM, 1998, vòng chung kết, PTTH & PTCB) Cho hình chóp tứ giác SABCD , biết trung đoạn d = 3, 415 cm , góc cạnh bên đáy 42o17 ' Tính thể tích Giải: Gọi cạnh đáy chóp tứ giác SABCD a , chiều cao h , góc cạnh bên đáy Khi Êy SH = tgϕ AH S hay h = SH = a tg Mặt khác, a h + ( )2 = d 2 Suy a = hay ( a tgϕ )2 + ( a )2 = d 2d 2 a C d tgϕ vµ h = tgϕ = + tg ϕ + 2tg Thể tích tứ diện đợc tính theo công thức: V= B 2 d 2tgϕ 4d = = 2 3 + 2tg ϕ (1 + 2tg ϕ ) d tgϕ (1 + 2tg 2ϕ )3 D TÝnh máy: 4ì2 [( ữ ì 3.415 SHIFT x y ì 42 o,,, 17 o,,, tan Min ữ + × MR SHIFT x )] SHIFT x y a b / c = (15.795231442) §¸p sè: V = 15,795 cm3 M H A Phần VII Phơng pháp lặp giải gần phơng trình f ( x ) = Nội dung phơng pháp: Giả sử phơng trình có nghiệm khoảng (a, b) Giải phơng trình f ( x) = phơng pháp lặp gồm bớc sau: Đa phơng trình f ( x) = phơng trình tơng đơng x = g ( x) Chọn x0 (a, b) làm nghiệm gần ban đầu 3.Thay x = x0 vào vế phải phơng trình x = g ( x) ta đợc nghiệm gần ®óng thø nhÊt x1 = g ( x0 ) Thay x1 = g ( x0 ) vào vế phải phơng trình x = g ( x) ta đợc nghiệm gần thứ hai x2 = g ( x1 ) Lặp lại trình trên, ta nhận đợc dÃy nghiệm gần x1 = g ( x0 ) , x2 = g ( x1 ) , x3 = g ( x2 ) , x4 = g ( x3 ) , , xn = g ( xn −1 ) , Nếu dÃy nghiệm gần { xn } , n = 1, 2, héi tô, nghĩa tồn lim xn = x n (với giả thiết hàm g ( x) liên tơc kho¶ng (a, b) ) ta cã: x = lim xn = lim g ( xn −1 ) = g (lim xn −1 ) = g ( x) n →∞ Chøng tá n →∞ n →∞ lµ nghiƯm phơng trình x = g ( x) x x nghiệm phơng tr×nh f ( x) = TÝnh héi tơ: Có nhiều phơng trình dạng x = g ( x) tơng đơng với phơng trình f ( x) = Phải chọn hàm số g ( x) cho dÃy { xn } xây dựng theo phơng pháp lặp lµ d·y héi tơ vµ héi tơ nhanh tíi nghiƯm Ta có tiêu chuẩn sau Định lý Giả sử (a, b) khoảng cách ly nghiệm x phơng trình f ( x) = phơng trình x = g ( x) tơng đơng với phơng trình f ( x) = g ′( x) ≤ q < ∀x ∈ [ a, b ] NÕu g ( x) g '( x) hàm số liên tục cho từ vị trí ban đầu x0 ∈ (a, b) d·y { xn } x©y dùng theo phơng pháp lặp xn = g ( xn ) sÏ héi tơ tíi nghiƯm nhÊt x khoảng (a, b) phơng trình f ( x) = Thí dụ Giải phơng trình x3 x = Phơng trình có nghiệm khoảng (1;1.5) tơng đơng víi x = x2 + Do kiƯn g '( x) = g ( x) = x + 1 x nên đồng biến toàn trục số Hơn nữa, f (0) = , f (1) = e > nên phơng trình đà cho cã nghiƯm nhÊt n»m kho¶ng (0,1) Phơng trình đà cho tơng đơng với x = ln(3 x) Đặt g ( x) = ln(3 − x) th× g '( x) = − 3− x Do dÃy lặp (0,1) xn +1 = ln(3 − xn ) nªn g '( x) < ∀x ∈ ( 0,1) héi tơ tõ mäi ®iĨm khoảng DÃy lặp máy Casio fx-570 MS: Khai b¸o g ( x) = ln(3 − x) : ln ( ALPHA X ) Bắt đầu tÝnh to¸n b»ng CALC m¸y hiƯn X? Khai b¸o gi¸ trị ban đầu x0 = : a b / c vµ bÊm phÝm = Sau ®ã thùc hiƯn d·y lỈp CALC Ans = ta cịng ®i ®Õn x26 = x27 = x28 = 0.792059968 Vậy nghiệm gần 0, 792059968 DÃy lặp máy Casio fx-570 MS Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu x0 = : a b / c vµ bÊm phÝm = Khai b¸o d·y xÊp xØ xn +1 = g ( xn ) = ln(3 − xn ) : ln ( − Ans ) Sau ®ã thùc hiƯn dÃy lặp = ta đến x26 = x27 = x28 = 0, 792059968 VËy nghiÖm xÊp xØ (chính xác đến chữ số thập phân) x = 0, 792059968 Nhận xét phân sau nghiệm Nhận xÐt g ( x) = − e x Nếu đòi hỏi nghiệm xác đến chữ số thập dấu phẩy cần sau 13 bớc lặp ta đà đến 0,79206 Nếu ta đa phơng trình e x + x = dạng x = e x có đạo hàm g '( x) = e x không thỏa m·n ®iỊu kiƯn g '( x) ≤ q < x ( 0,1) nên ta cha thể nói đợc hội tụ dÃy lặp Nhận xét Chọn điểm xuất phát x = ([2], trang 62) cần nhiều bớc lặp Dùng lệnh solve để giải phơng trình Maple: > solve(exp(x)+x-3,x); -LambertW(exp(3)) + Máy cho đáp số thông qua hàm LambertW Ta tính xác nghiệm đến 30 chữ sè nhê lƯnh: > evalf(",30); 79205996843067700141839587788 Lêi b×nh: Maple cho ta đáp số đến độ xác tuỳ ý Thí dụ Tìm nghiệm gần phơng trình x + ln x = f ( x) = x + ln x hàm đồng biến ngặt (0, +) Hơn Vì f (1) = > e e vµ f ( ) = < nên phơng trình có nghiệm e khoảng ( ,1) Phơng trình đà cho tơng đơng với x = e x = g ( x ) V× g '( x) = −e− x nªn g '( x) = e− x ≤ e e
Ngày đăng: 10/12/2020, 23:28
Xem thêm:
