Chuyen de chon diem roi trong baitoan cuctri

http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi,eBook, Tài liệu học tập Chuyên ðề: KỸ THUẬT CHỌN ðIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ I BÀI TOÁN MỞ ðẦU  a, b > 1 , tìm GTNN P = + Bài toán Cho  a + b2 2ab a + b ≤ Giải 1 4 + ≥ = ≥4 Ta có: 2 2ab a + 2ab + b a +b (a + b)2  a=  a = b  Dấu “=” xảy ⇔  ⇔ ⇒ MinP = x = y =  a + b = b =   a, b > 1 Bài toán Cho  , tìm GTNN P = + 2 2ab 1+ a + b a + b ≤ Giải 1 4 + ≥ = ≥ =2 Lời giải Ta có: P = + a + b2 2ab a + 2ab + b2 + (a + b)2 + 2 2 1 + a + b = 2ab (a − b) + = ⇔ (vô nghiệ m) Vậy không tồn Dấu “=” xảy ⇔  a + b =  a + b = MinP ? ? Lời giải Ta có: 1 4 P= + + ≥ + = + + a + b2 6ab 3ab a + 6ab + b2 + 3ab (a + b)2 + + 4ab 3ab a+b Mặt khác ab ≤   = Vậy P ≥   a+b 2+    + a+b 6    ≥ 1 + a + b2 = 3ab  ⇔a=b= Dấu “=” xảy ⇔ a = b a + b =  Lời bình: Bài tốn toán gần tương tự nhau, áp dụng bất ñẳng thức 1 1 + ≥ Lời giải sai? Lời giải lại tách = + ? ? Làm a b a+b 2ab 6ab 3ab nhận biết điều đó…? ðó kỹ thuật chọn ñiểm rơi bất ñẳng thức Và qua chuyên ñề hiểu sâu kỹ thuật “chọn điểm rơi” việc giải tốn cực trị Trang http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi,eBook, Tài liệu học tập II LÝ DO CHỌN ðỀ TÀI Có thể nói tằng tốn bất đằng thức nói chung tốn tìm GTNN, GTLN nói riêng nhửng tốn quan tâm đến nhiều kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh ðại học,…và ñặc biệt với xu hước ñề chung Bộ GD – ðT Trong kỳ thi tuyển sinh ðại học tốn bất đẳng thức tốn khó đề thi cần sử dụng số bất ñẳng thức Sách giáo khoa học sinh gặp nhiều khó khăn số sai lầm thói quen lời giải tốn mở đầu ví dụ ðể giúp học sinh hiểu sâu tốn cực trị đặc biệt trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tơi viết chun đề “Chọn điểm rơi giải tốn bất đẳng thức” III NỘI DUNG Bổ túc kiến thức bất ñẳng thức a) Tính chất bất đẳng thức ðịnh nghĩa: a ≥ b ⇔ a − b ≥ a ≥ b •  ⇒a≥c ≥ b c  • • a ≥b ⇔ a+c≥b+c a ≥ b ⇒ a+c≥b+d  ≥ c d  1 ≤ a b b) Một số bất ñẳng thức • Bất đẳng thức Cauchy Cho n số thực khơng âm a1 , a2 , , an (n ≥ 2) ta ln có a1 + a2 + L + an n ≥ a1a2 an Dấu “=” xảy n a1 = a2 = L = an • Một vài hệ quan trọng: 1 1  + (a1 + a2 + L + an )  + + L +  ≥ n2 vớ i ∀ai > 0, i = 1, n an   a1 a2 • a≥b>0⇒ 1 n2 + +L + ≥ vớ i ∀ai > 0, i = 1, n a1 a2 an a1 + a2 + L + an + Cho 2n số dương ( n ∈ Z , n ≥ ): a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn ta có: + n (a1 + b1 )(a2 + b2 ) (an + bn ) ≥ n a1a2 an + n b1b2 bn • Bất đẳng thức BCS Cho 2n số dương ( n ∈ Z , n ≥ ): a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn ta có: (a1b1 + a2b2 + L + anbn )2 ≤ (a12 + a22 + L + an2 )(b12 + b22 + L + bn2 ) a a a Dấu “=’ xảy ⇔ = = L = n (quy ướ c nế u bi = ⇒ = 0) b1 b2 bn • Hệ quả(Bất ñẳng thức Svác-xơ) Trang http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi,eBook, Tài liệu học tập Cho hai dãy số a1 , a2 , , an vaø b1 , b2 , , bn vớ i bi > ∀i = 1, n ta ln có: a (a + a + L + an )2 a12 a22 + +L + n ≥ b1 b2 bn b1 + b2 + L + bn a a a Dấu “=’ xảy ⇔ = = L = n b1 b2 bn Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Cho f ( x1 , x2 , , xn ) hàm n biến thực D ⊂ n : f : D ⊂ n →  f ( x1 , x2 , , x n ) ≤ M ∀( x1 , x2 , , xn ) ∈ D − Max f = M ⇔  0 0 0 D ∃( x1 , x2 , , xn ) ∈ D : f ( x1 , x2 , , xn ) = M  f ( x1 , x2 , , x n ) ≥ m ∀( x1 , x2 , , xn ) ∈ D − Min f = m ⇔  0 0 0 D ∃( x1 , x2 , , xn ) ∈ D : f ( x1 , x2 , , xn ) = M Phương pháp chọn ñiểm rơi Nhận xét: Các bất ñẳng thức đề thi đại học thơng thường đối xứng với biến, ta dự đốn dấu xảy ta biến xảy biên a) Kỹ thuật chọn ñiểm rơi bất ñẳng thức Cauchy Sử dụng hệ (1) (2)  a, b > 1 Bài Cho  , tìm GTNN biểu thức P = + + 4ab a + b ≤ ab a b +  Sai lầm thường gặp: Sai lầm 1: Ta có : 1 4   P= + + + 4ab ≥ + + 4ab = + + 4ab  2 2ab 2ab a +b a + b + 2ab 2ab (a + b)  2ab  Mặt khác 1 4ab = 2 Vậy P ≥ + 2 nên MinP = 2(2 + 2) + 4ab ≥ 2ab 2ab Sai lầm 2: 1   1 1 P= ab ab + + + + ≥ + ≥ + + = +   4ab  4ab (a + b)2 2ab 4ab 4ab 4ab a + b2 ab  a + b2 = 2ab  1  Dấu xảy ⇔ a 2b2 = ⇔ a = b = Thay a = b = vào ta ñược P ≥ 16 2  a + b =  ⇒ MinP = a = b = Nguyên nhân sai lầm: Trang http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi,eBook, Tài liệu học tập 1 = + thói Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “ñiểm rơi”, việc tách ab 2ab 2ab a = b   2 quen ñể làm xuất a + b + 2ab = (a + b) MinP = + 2 ⇔  = 4ab ⇒ VN ab   a + b = Dấu “=” bất ñẳng thức khơng xảy ⇒ khơng kết luận MinP = + 2 Sai lầm 2: Học sinh có khái niệm điểm rơi, dự đốn dấu a = b = nên ñã tách số hạng MinP = a = b = ñúng, bước cuối học sinh làm 2 sai ví dụ (1 − x) + x ≥ x , dấu xảy x = ⇒ Min ( x − 1)2 + x  = 1?? Lời giải ñúng: Do P biểu thức ñối xứng với a, b , ta dự đốn MinP đạt a = b = , ta có: P= 1   1 + +  4ab + ≥ + 4ab + ≥7 + 2 2ab  4ab  4ab (a + b) 2ab a +b a+b 4    a + b2 = 2ab  1  Dấu xảy ⇔ a 2b2 = ⇔a=b= 16  a + b =   a, b > 1 Bài Cho  , tìm GTNN biểu thức S = 3 + + a +b a b ab a + b ≤ Sai lầm thường gặp: 1 2 2 1  + + ≥ 3 +  + 2 Ta có: S = 3 + + 2 2  a b ab  3a b 3ab 3a b 3ab a +b a + b + 3a b + 3ab 1 1 59 = +  +  ≥9+ ≥ (a + b) ab  a b  a+b a+b 3     59 MinS = a + b3 = 3a 2b  59 Nguyên nhân sai lầm: MinS = ⇔ a = b (vn) a + b =  Trang http://ebook.here.vn Lời giải Tải miễn phí ðề thi,eBook, Tài liệu học tập , ta thấy a + b3 + 3a 2b + 3ab2 = (a + b)3 1 ta muốn xuất (a + b)3 ; ta áp dụng bất ñẳng thức 3 + + a +b 2a b 2ab2 vậy: 1 + + ≥ , ta khơng đánh giá tiếp ñược ta phải a3 + b3 2a 2b 2ab2 (a + b)3 − ab(a + b) áp dụng bất ñẳng thức cho số: 1 1 25 25 S= 3+ + + + ≥ ≥ ≥ 20 2 a +b 2a b 2ab 2a b 2ab (a + b) + ab(a + b) (a + b)3 (a + b) + Dấu xảy a = b =  x, y , z > 1  Bài Cho  1 Tìm GTLN P = + + + + = + + + + + + x y z x y z x y z x y z  Sai lầm thường gặp: Sai lầm 1: Ta có  1   1   1   1  10 + +  + +  =  + +  = P ≤  + + +  +  x y z   x y z   x y z  18  x y z  10 ⇒ MaxP = Sai lầm 2: 1 1  1  1  1  1  1  10 + + ≤ + + + + + P≤   +  + + = 3 xyz 3 x.2 yz 3 xy z 3  x y z  3  x y z  3  x y z  Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải biết hướng “đích” song chưa biết chọn 2 x = y = z 2 y = x = z  10 10 ñiểm rơi MaxP = ⇔ 2 z = x = y (vn) , tức không tồn ( x, y, z ) ∈ D : P = 9 1 1  + + =4  x y z Lời giải ñúng: Từ hai lời giải với dự đốn MaxP đạt x = y = z = nên tách số 2x = x + x cho dấu xẩy 1 1 1 1 Cách 1: Ta có = ≤  + + +  , tương tự ta có: x + y + z x + x + y + z 16  x x y z  Ta dự đốn dấu xảy a = b = Trang http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi,eBook, Tài liệu học tập  1     1   P ≤  + +  +  + +  +  + +   = , MaxP = x = y = z = 16  x y z   x y z   x y z   1 Cách 2: Ta có x + y + z = x + x + y + z ≥ 4 x.x y.z ⇒ ≤ , mặt khác: x + y + z 4 x yz 1 1 1 1 1 1 2 1 ≤  + + + ⇒ ≤  + +  , tương tự ta có: x x y z  x x y z  x + y + z 16  x y z  1 1 P ≤  + +  = Dấu “=” xảy x = y = z = , suy ra: 16  x y z  MaxP = x = y = z = Nhận xét: Ta mở rộng 3:  x, y , z > 1  Cho  1 Tìm GTLN P = + + αx + β y + γ z β x + γ y +αz γ x +α y + β z x + y + z =  x +4 x 244 + L =3x , Nếu Với α , β , γ ∈ N ∗ : Cách làm tương tự 3, ta tách α x = 14 α soá + α , β , γ ∈ R , tốn có cịn giải khơng? Câu trả lời dành cho ñộc giả phần sau” Kỹ thuật chọn ñiểm rơi BCS”  a , b, c > Chứng minh rằng: a + 2b + b + 2c + c + 2a ≤ 3 Bài Cho  a b c + + =  Sai lầm thương gặp: + + (a + 2b) + a + 2b Ta có: 1.1(a + 2b) ≤ = , tương tự ta có: 3 + a + 2b + b + c + c + a + + = 5, a + 2b + b + 2c + c + 2a ≤ 3 mà > 3 ⇒ đề sai ? ? a + 2b = b + 2c =  Nguyên nhân sai lầm: P = VT ≤ 5, vaä y MaxP =5 ⇔  (vn) , P < c a + =  a + b + c = Lời giải đúng: Ta dự đốn dấu “=” bất ñẳng thức xảy a = b = c = Vậy ta áp dụng Cauchy cho ba số a + 2b,3,3 ta có: 1 + + (a + 2b) + a + 2b a + 2b = 3 3.3(a + 2b) ≤ = , tương tự ta có: 9 33 + a + 2b + b + 2c + c + 2a + + = 3 , dấu xảy a = b = c = P≤ 3 3 9 Trang http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi,eBook, Tài liệu học tập  x, y , z > x2 y2 z2 Bài Cho  , chứng minh rằng: + + ≥ 1+ y 1+ z 1+ x  xyz = Sai lầm thường gặp: 1 + y ≥ y 2 2  x y z ( xyz ) Sai lầm 1: P = + + ≥ 33 , mặt khác 1 + z ≥ z , suy 1+ y 1+ z 1+ x (1 + y )(1 + z )(1 + x)  1 + x ≥ x ra: (1 + y )(1 + z )(1 + x) ≤ xyz = Vậy P ≥ , dấu “=” xảy x = y = z =  x2 + (1 + y ) ≥ x  + y   y Sai lầm 2: ta có:  + (1 + z ) ≥ y ⇒ P ≥ 2( x + y + z ) − ( x + y + z ) − = x + y + z − , + z   z2 + (1 + x) ≥ z  1 + x mặt khác x + y + z ≥ 3 xyz = ⇒ P ≥ Nguyên nhân sai lầm: 1 Ở sai lầm 1: Học sinh qn tính chất bất đẳng thức: a ≥ b > ⇒ ≤ a b x = y = z  y2 z2  x = + y, = + z, = + x (vn) Ở sai lầm 2: Dấu “=” xảy ⇔  y z x + + +   xyz =  Lời giải ñúng: Ta dự ñoán dấu “=” xảy x = y = z = Vì áp dụng Cauchy x2 x2 1+ y 1+ y : = ⇔ = ⇔α =4 cho 1+ y α 1+ y α α  x2 1+ y + ≥x  1 + y  y + z 3 3 + ≥ y ⇒ P ≥ ( x + y + z) − ( x + y + z) − = ( x + y + z) − ≥ Ta có:  4 4 1 + z  z2 1+ x + ≥z  + x  Dấu “=” xảy x = y = z = Bài tập tương tự(trích dẫn ñề thi ñại học) Trang http://ebook.here.vn Bài Cho Tải miễn phí ðề thi,eBook, Tài liệu học tập  x, y , z > , chứng minh   xyz = m + x3 + y m + y3 + z3 m + z + x3 + + ≥3 3, xy yz zx với m ∈ N ∗ : Neá u m = đề thi Đạ i họ c khố i D naê m 2005 Bài Cho x, y , z số thỏa x + y + z = , chứng minh rằng: + x + + y + + z ≥ (ñề tham khảo 2005) ab c − + bc a − + ca b − Bài Cho a ≥ 2, b ≥ 3, c ≥ , tìm GTLN: P = abc Bài Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng: a + 3b + b + 2c + c + 3a ≤ (ðTK 2005)  a , b, c > Bài Cho  , tìm GTNN biểu thức sau: a + b + c ≤ 1 1 P= + + + a + b2 + c ab bc ca 1 1 1 S= + + + + + a + b2 b2 + c c2 + a ab bc ca 1 1 1 + + + + + Q= a + bc b + ca c + ab ab bc ca 2   1 25  Bài Cho u + v = , chứng minh rằng:  u +  +  v +  ≥ u   v   Bài Cho a, b, c số dương Tìm GTNN của: 2 a3 b3 c3 + + c3 a3 (ðHQGHN 2001-2002) Q= b a b c + + b c a Bài Cho a, b, c dương thỏa abc = , tìm GTNN biểu thức: bc ca ab Q= + + (ðH 2000 – 2001) a (b + c) b (c + a) c (a + b)  x, y , z > x y Bài Cho  , tìm GTNN P = + (ðHNT 2001 – 2002) 1− x 1− y x + y = Bài 10 Cho x, y , z ba số dương x + y + z ≤ , chứng minh rằng: x2 + 1 + y + + z + ≥ 82 (ðH 2003) x y z Trang http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi,eBook, Tài liệu học tập b) Kỹ thuật chọn ñiểm rơi bất ñẳng thức BCS Bài Cho x, y , z ba số dương x + y + z ≤ , chứng minh rằng: 1 + y + + z + ≥ 82 x y z Nhận xét: dùng bất ñẳng thức Cauchy phần x2 + Sai lầm : 1 1  1   2   x +  +1 ≥  x +  = x + ⇒ x + ≥ x+  x x x x  x 2   ( Tương tự ta có: P ≥ )  1  1 1  (x + y + z) + +  = ( x + y + z ) +  + +   ≥ 2  x y z  x y z Vậy P ≥ ? x y z  = , = , = Nguyên nhân sai lầm: P = ⇔  x y z (vn) x + y + z =  Lời giải ñúng: Ta dự ñoán dấu ñẳng thức xảy x = y = z = ; biểu thức   β  gợi cho tam sử dụng BCS:  x +  α + β ≥  α x +  với α , β số thỏa y x    mãn: x x α = = ⇔ x2 = = , chọn α = 1, β = α β βx β ( )  9 1  9   Ta có  x +  12 + 92 ≥  x +  ⇒ x + ≥  x +  , tương tự ta có: x x x  x 82     1   1 P≥ 9 x + y + z ) +  + +   , x + y + z = 1; + + = nên ta tách: x y z 82   x y z  ( )  1  80  1  80  1  (x + y + z) +  + +  +  + +  ≥ ( x + y + z)  + +  + ≥ 82 + + 9 x y z  x y z x y z x y z   Vậy P ≥ 82 , dấu “=” xảy x = y = z =  x, y, z.0 1  Bài Cho  1 , tìm GTLN P = + + 2x + y + z x + y + z x + y + 2z x + y + z ≤1  Giải Trang http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi,eBook, Tài liệu học tập α 1 (α + z )2 Áp dụng hệ qua (1) ta có: , ta chọn α cho x = y = z = + + ≥ 2x y z 2x + y + z α 1 α = = ⇒ =1⇒α = 2x y z  1 (2 + 2)2 + + ≥  2x + y + z  2x y z  + 1 1 1 (2 + 2)2 Vậy ta có:  + + ≥ ⇒P≤ + + ≤   2y z x + 2y + z x 2+ x y z 2+ 1 1 (2 + 2)2  + + ≥  x y 2z x + y + 2z ( ( Dấu xảy x = y = z = ⇒ MaxP = ) ) x = y = z = 2+ Bài tập áp dụng  a , b, c > 1 ,chứng minh + + ≥ Bài Cho  a (b + c) b (c + a) c (a + b)  abc =  a , b, c > a3 b3 c3 Bài Cho  , tìm GTNN P = + + (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a) (1 + a)(1 + b)  abc = Bài Cho a, b, c, d > , tìm GTNN a b c d + + + P= b + 2c + 3d c + 2d + 3a d + 2a + 3b a + 2b + 3c  xi > 0, i = 1, n  Bài Cho  n , tìm GTNN P = − x1 + − x2 + L + − xn x = ∑ i  i =1 a b c + + ≥1 Bài Cho a, b, c > , chứng minh rằng: a + 8bc b2 + 8ca c + 8ab IV THAY CHO LỜI KẾT ðể làm rõ vai trò quan trọng việc chọn ñiểm rơi việc ñịnh hướng giải toán kết lại phần chun đề này, tơi xin nêu phương pháp giải toán sau: Bài toán: Chứng minh tam giác ABC ta ln có 3 sin A + sin B + sin C ≤ Phân tích để đến lời giải: Ta dự đốn dấu đẳng thức xảy tam giác ABC tam giác ñều A = B = C = π Vì A + B + C = π ta giảm bớt số biến sin C = sin A cos B + sin B cos A P = sin A + sin B + sin C = sin A + sin B + sin A cos B + sin B cos A , ta nghĩ đến: Trang 10 http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi,eBook, Tài liệu học tập 2 sin A + cos A = ; A, B khơng cịn quan hệ ràng buộc, làm ñể xuất  2 sin B + cos B = a + b2 sin A,cos2 A , ta nghĩ ñến bất ñẳng thức ab ≤ , sin A = sin B = ,cos A = cos B = , Ta áp dụng Cauchy: 2  sin B  sin2 A  sin A    sin B  B A B A cos cos cos cos + ≤ + + +          3        3   Ta có: sin A + sin B ≤  sin A +  +  sin B +   Vậy:     VT ≤     sin2 A 3   3   sin B cos sin sin + + + cos2 A   + + + + B A B        =   3 4           Trang 11 ... đến nhiều kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh ðại học,…và ñặc biệt với xu hước ñề chung Bộ GD – ðT Trong kỳ thi tuyển sinh ðại học tốn bất đẳng thức tốn khó ñề thi cần sử dụng số bất ñẳng thức Sách