TOÁN 9 NC hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

BÀI TẬP NÂNG CAO HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG Bài 1: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ đường cao, đường chéo vng góc với cạnh bên Tính độ dài đường cao hình thang cân Bài giải sơ lược: A B X Kẻ AH ⊥ CD ; BK ⊥ CD Đặt AH = AB = x ⇒ HK = x X ∆ AHD = ∆ BKC (cạnh huyền- góc nhọn) Suy : DH = CK = 10 − x Vậy HC = HK + CK = x + D H C K 10cm 10 − x x + 10 = 2 Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vng A có đường cao AH Ta có : AH2 = DH CH hay x = 10 − x 10 + x ⇔ 5x2 = 100 2 Giải phương trình ta x = x = – (loại) Vậy : AH = Bài 2: Cho tam giác ABC cân A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm Tính độ dài cạnh đáy BC Giải: A Đặt BC = 2x, từ tính chất tam giác cân ta suy CH = x Áp dụng định lí Pitago tính AC = 15, 62 + x Từ ∆ KBC ⇒ 15,6 ∆ HAC BC KB = hay AC AH 2x 15, + x 2 = 12 15, B // Đưa phương trình 15,62 + x2 = 6,76x2 Giải phương trình ta nghiệm dương x = 6,5 Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm) Bài Tập : Cho ∆ABC : µA = 900 Qua trung điểm I AC, dựng ID ⊥ BC Chứng minh : BD − CD = AB Giải: Hạ AH ⊥ BC Ta có : HD = DC ( t/c đường trung bình) Ta có : BD2 – CD2 = ( BC - CD)2 – CD2 K 12 H 2x // C = BC2 + CD2 – 2BC.CD – CD2 = BC2 – BC.(2CD) = BC2 – BC.HC = BC2 – AC2 = AB2 ( Chú ý : AB2 = BC2 – AC2) Bài Tập : Cho ∆ ABC vuông A Đường cao AH, kẻ HE, HF vng góc với EB  AB  = AB, AC Chứng minh rằng: a) ÷ FC  AC  b) BC BE CF = AH3 Giải: a) Trong ∆AHB có HB = BE BA (1) ; A ∆AHC có HC2 = CF CA (2 ) Từ (1) (2) có : Trong ∆ABC HB BE AB = HC FC AC (1) F E B C H có :AB2 = BH BC AC2 = HC BC suy HB AB  HB   AB  = ⇔ ÷ = ÷ HC AC  HC   AC  (2) Từ (1) (2) Ta có : b) ∆ABC ∆EBH ⇒ EB  AB  = ÷ FC  AC  BE BH = BA BC AB AB → BE = Thay BH = (3) BC BC Tương tự ta có CF = AC BC Từ (3) (4) Ta có : BE CF = ( 4) AB AC BC AB AC  AB ×AC  × × BC = Mà AB AC = BC AH nên BC BE CF =  ÷ = AH 2 BC BC  BC  Bài 5: Cho hình vng ABCD Qua A, vẽ cát tuyến Bất kì cắt cạnh BC, tia CD E F Chứng minh : 1 + = 2 AE AF AD 2 Giải: Dựng điểm H thuộc tia CD cho BE = HD Ta có : ∆ABE = ∆ADH ( c – g –c ) ⇒) AE = AH · AF = 900 ; AD ⊥ HF Áp dụng hệ thức lựơng cho ∆AHF : H Ta có : 1 1 1 + = + = 2 nên 2 AH AF AD AE AF AD Bài 6: Cho hình thoi ABCD có µA = 1200 , tia Ax tạo với Tia AB góc B· Ax = 15o , cắt BC, CD M, N Chứng minh: 1 + = 2 AM AN AB Giải: Từ A, dựng đường thẳng vuông góc với AN Cắt CD P, hạ AH ⊥ CD Ta có : ∆ABM = ∆ADP ( g – c – g) ⇒) AM = AP · = 900 , AH ⊥ NP Áp dụng hệ thức lượng cho ∆NAP : NAP Ta có : 1 1 1 + = + = 2 nên 2 AP AN AH AM AN AH Mà AH2 = sinD.AD = sin600.AD = (1) AB (2) 1 + = 2 1 + = Thay (2) (1) Ta có : AM AN  AB  ⇔ 2 AM AN AB  ÷   BÀI TẬP PHẦN HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG ( 2011-2012) · Bài 1: Trong hình vẽ sau biết AB = , AC = 6, , AN = 3,6 ; ·AND = 900 , DAN = 340 Hãy tính (làm trịn đến số thập phân thứ tư ) a) CN b) ·ABN · c) CAN d) AD · · Bài : Trong hình vẽ sau biết QPT = 180 , PTQ = 1500 , QT = , TR = Hãy tính : a) PT b) Diện tích tam giac PQR Hướng dẫn : Từ T R hạ đường vuông góc với PQ P 150° 18° T R Q Bài 3: Cho tam giác ABD vuông B, AB = cm, BD = cm Trên cạnh BD lấy điểm C cho BC = cm Từ D kẻ Dx // AB, cắt đường thẳng AC E a) Tính AD b) Tính góc BAD, BAC c) Chứng minh AC tia phân giác góc BAD d) Chứng minh tam giác ADE cân D Hướng dẫn câu c: Hạ CI ⊥ AD Chứng minh : AB = CI Bài 4: Cho ∆ ABC có góc A = 200 ; Bˆ = 300 ; AB = 60cm Đường cao kẻ từ C đến AB cắt AB P ( hình vẽ) Hãy tìm a) Tính AP ? ; BP ? b) CP ? µ = 600 Kẻ BH ⊥ AC CK ⊥ AB Bài 5: Cho ABC có A a) chứng minh KH = BC.CosA b) Trung điểm BC M Chứng minh MKH tam giác Hướng dẫn : AH → ∆ABC AB Câu a : Từ KH = BC.CosA ⇔ KH = BC × ∆AHK µ = 600 Câu b: Vận dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vuông ý A µ = 900 ) Từ trung điểm E cạnh AC kẻ EF ⊥ BC Bài 6: Cho ABC ( A Nối AF BE a) Chứng minh AF = BE.cosC b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6 Tính diện tích tứ giác ABFE · c) AF BE cắt O Tính sin AOB Hướng dẫn : Câu a : Tương tự cách giải Câu b: Sử dụng tính chất diện tích miền đa giác hình học · Câu c : Rất khó: Hạ AH, FK vng góc với BE.Tính SABFE = SABE + SBFE Suy sin AOB µ = 900 ) Lấy điểm M cạnh AC Bài 7: Cho tam giác vuông ABC ( B Kẻ AH ⊥ BM, CK ⊥ BM · a) Chứng minh : CK = BH.tgBAC b) Chứng minh : · MC BH.tg BAC = MA BK Hướng dẫn : Câu a : Tương tự cách giải Câu b: Tiếp tục vận dụng câu a lần Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn đ.chéo BD Kẻ CH ⊥ AD CK ⊥ AB a) Chứng minh CKH · b) Chứng minh HK = AC.sin BAD BCA · c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết BAD = 600 , AB = cm AD = cm Bài 9: Cho ∆ABC , trực tâm H trung điểm đường cao AD Chứng minh: tgB.tgC = A E H B D C ĐÁP ÁN · Bài 1: Trong hình vẽ sau biết AB = , AC = 6, , AN = 3,6 ; ·AND = 900 , DAN = 340 Hãy tính (làm tròn đến số thập phân thứ tư ) a) CN b) ·ABN · c) CAN d) AD Bài giải a) CN = AC − AN = 6, 42 − 3,62 ≈ 5, 2915 b) sin ·ABN = A 3,6 = 0, ⇒·ABN ≈ 23034'41'' 34 ° AN 3,6 · · = = = 0,5625 ⇒CAN c) cos CAN = 550 46'16'' AC 6, B 6,4 C 3,6 N D d) AN = AD.cos A = AD.cos 340 ⇒ AD = AN 3,6 = ≈ 4,3426 cos34 0,8290 Q · · Bài : Trong hình vẽ sau biết QPT = 180 , PTQ = 1500 , QT = , TR = Hãy tính : a) PT P 18° b) Diện tích tam giac PQR 150° T R Bài giải · a) Xét ∆PTQ, kẻ đường cao TK , ta có PQT = 1800 − 1500 − 180 = 120 TK = TQ.sin Q = 8.sin120 ; TK = PT sin P = PT sin180 ⇒ PT sin180 = 8.sin120 ; 8.sin120 ⇒ PT = ≈ 5,3825 ( cm ) sin180 b) Ta có PR = PT + TR ≈ 5,3825 + ≈ 10,3825 ( cm ) ; Kẻ đường cao RH, ta có RH = PR.sin P ≈ 10,3825.sin180 ≈ 3, 2084 µ = 180 , Q µ = 120 : PK = PT cos P ≈ 5,3825.cos180 ≈ 5,1191 ; Xét ∆PTQ, ta có P QK = QT cos Q ≈ 8.cos120 ≈ 7,6085 ⇒ PQ = PK + KQ ≈ 5,1191 + 7,6085 ≈ 12,7276 Diện tích tam giác PQR : S PQR = 1 PQ.RH ≈ 12,7276.3, 2084 ≈ 20, 4176 ( cm ) Q 2 H K P 18° 150° T R Bài 3: Cho tam giác ABD vuông B, AB = cm, BD = cm Trên cạnh BD lấy điểm C cho BC = cm Từ D kẻ Dx // AB, cắt đường thẳng AC E a) Tính AD E b) Tính góc BAD, BAC c) Chứng minh AC tia phân giác góc BAD B d) Chứng minh tam giác ADE cân D 3cm C Giải :a) Áp dụng định lí Pitago Ta có : A D I AD = AB + BD = 62 + 82 = 10cm b) Áp dụng tỉ số lượng giác Ta có : sin BAD = tgBAC = BD · = ⇒ BAD ≈ 5307 ' AD 10 BC · = = 0,5 ⇒ BAC ≈ 26034' AB c) Hạ CI ⊥ AD Ta có : ∆ICD ⇒ (*) ∆BAD ( g-g) CI CD CD ×AB ×6 = ⇒ CI = = = 3cm AB AD AD 10 nên ∆ABC = ∆AIC (CH-CGV) ⇒ AI = AB = 6cm Suy : tgCAI = CI = AI (**) · · · Từ (*) (**) Ta có : BAC hay AC tia phân giác BAD = IAC · µ ( cặp góc soletrong) d) Mặt khác : BAC =E µ = IAC · nên E hay ∆ADE cân D Bài 4: Cho ∆ ABC có góc A = 200 ; Bˆ = 300 ; AB = 60cm Đường cao kẻ từ C đến AB cắt AB B P ( hình vẽ) Hãy tìm a) Tính AP ? ; BP ? b) CP ? 60 P Hướng Dẫn A C a) Kẻ AH ⊥ BC ; ∆ AHB ⊥ H ⇒ AH = AB SinB = 60.Sin300 = 60 = 30 B ∆ AHC ( Hˆ = 1v) 60 AH = AC Cos400 ⇒ AC = 30 AH = 39,164 = 0,7660 Cos 40 P A C ∆ APC có ( Pˆ = 1v) H AP = AC.Cos 200 = 39,164 0,9397 = 36,802 PB = AB – AP = 60 – 36,802 = 23, 198 b) ∆ APC ( Pˆ = 1v) CP = AC Sin200 = 39,164 0,342 = 13, 394 µ = 600 Kẻ BH ⊥ AC CK ⊥ AB Bài 5: Cho ABC có A a) chứng minh KH = BC.CosA b) Trung điểm BC M Chứng minh MKH tam giác Giải : a) ∆AHB ⇒ ∆AKC ( g-g) K AH AB = µA chung AK AC Suy : ∆AHK B ∆ABC M A AH HK AH = ⇒ HK = ×BC Mặt khác : ⇒ AB BC AB C 60° H I Hay HK = cosA.BC b) ⇒ HK = cos600 ×BC = Mặt khác : HM = KM = BC BC ( Tính chất đường trung tuyến tam giác vuông) nên HK = HM = KM hay MKH tam giác µ = 900 ) Từ trung điểm E cạnh AC kẻ EF ⊥ BC Bài 6: Cho ABC ( A Nối AF BE a) Chứng minh AF = BE.cosC b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6 Tính diện tích tứ giác ABFE · c) AF BE cắt O Tính sin AOB Giải: a) ∆CEF ⇒ CF AC = CE BC nên ∆CFA ⇒ B ∆CBA ( g-g) F ∆CEB ( c -g- c) O AF AC AF = nên = cos C BE BC BE A Vậy AF = BE.cosC E µ = 900 ) b) Vì ABC ( A nên AB = SinC BC = 0,6.10 = 6cm ⇒ AC = 8cm nên AE = EC = 4cm Mặt khác : EF = SinC EC = 0,6 = 2,4cm ⇒ FC = 3, 2cm ( Định lí Pitago) SABFE = SABC - SCFE = 1 ×( AB ×AC − EF ×FC ) = ( ×8 − 2, ×3, ) = 20,16 (cm2) 2 c) Hạ AH ⊥ BE; FK ⊥ BE Ta có : SABFE = SABE + SBFE = ×( AO ×SinAOB ×BE + OF ×sinAOB ×BE ) 1 = sinAOB ×BE ( AO + OF ) = sin AOB ×BE ×AF 2 mà + BE = 52 ( Định lí Pitago) + ∆ABC ⇒ (2) ∆FEC ( g - g) AC BC µ chung nên ∆ACF = C FC EC nên (1) ∆BCE ( c-g-c) AF AC AC = ⇒ AF = ×BE = × 52 BE BC BC 10 (3) C B Từ (1), (2) (3) Ta có : SinAOB = ×SABFE ×20,16 63 = = BE ×AF 52 ×0,8 × 52 65 H F O K C µ = 900 ) Bài 7: Cho tam giác vuông ABC ( B A E Lấy điểm M cạnh AC C H Kẻ AH ⊥ BM, CK ⊥ BM M · a) Chứng minh : CK = BH.tgBAC b) Chứng minh : Giải: K 2· MC BH.tg BAC = MA BK a) Ta có : ∆AHB B A ∆BKC ( g - g) µ =H µ = 900 ; BCK · · Vì K ) = ·ABH ( phụ với CBK ⇒ CK BC BC = ⇒ CK = BH × = BH ×tgBAC BH AB AB · b) Từ câu a), ta có : CK = BH.tgBAC mà MC CK = MA AH Mặt khác : ∆AHB ⇒ Suy : · MC BH tg BAC = MA AH (1) ∆BKC ( g - g) BK BC BC tgBAC = = = = AH AB AH AB ×BK BK Thay (2) vào (1) Ta có : ( 2) · MC BH.tg BAC = MA BK Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn đ.chéo BD Kẻ CH ⊥ AD CK ⊥ AB a) Chứng minh CKH BCA · b) Chứng minh HK = AC.sin BAD c) Tính diện tích tứ giác AKCH · biết BAD = 600 , AB = cm AD = cm GIẢI: 10 a) ∆BKC K ∆DHC ( g - g) µ =H µ = 900 ; D µ =B µ ( µA ) Vì K KC BC KC BC = hay = HC DC HC AB C B (*) Mặt khác : Xét tứ giác AKCH · Ta có : µA + HCK = 1800 ; µA + ·ABC = 1800 · Suy : ·ABC = HCK (**) Từ (*) (**) Ta có : CKH b) ⇒ A BCA( c-g-c) D H HK CK CK = ⇒ HK = AC × = AC ×sin KBC AC BC BC · · mà BAD ( cặp góc đồng vị) = KBC nên HK = AC ×sin BAD c) SAKCH = SABCH + SBKC = = BC + AH BK ×CK ×CH + 2 BC + AD + CosA ×AB CosA ×BC ×SinA ×BC ×SinA ×AB + 2 + + ×Cos600 Cos600 ×5 ×Sin600 ×5 × × Sin 60 + = 2 =2 ( 10+4cos600).sin600 + 25 ×sin 600 ×cos600 ≈ 26.2 Bài 9: Cho hai hình chữ nhật có kích thước 5; đặt cho cạnh hình chữ nhật song song với M Tính diện tích tứ giác? N A B K O H L D 11 C Q P N M A B C D Q P ×( AH ×NQ + CK ×NQ ) Giải: Ta có : SANCQ = SANQ + SCNQ = mà AH = CosOAH ×AO ; CK = CosOCK ×CO ; · · + OAH ( cặp góc soletrong) = OCK 1 ⇒ SANCQ = ×CosOAH ×NQ ×( AO + OC ) = ×CosOAH ×AC ×NQ 2 · Ta chứng minh số đo OAH không đổi ( · · · = 900 − ·AOH = 900 − OCD + OLC Thật : OAH ) ( Tính chất góc ngồi đỉnh O) · · mà OLC = 900 − MQN ( ) · · · · · = 900 − OCD + 900 − MQN = MQN − OCD Suy : OAH ( Cố định ) ( ) Vậy SANCQ = 1 · · ×CosOAH ×AC ×NQ = ×Cos MQN − OCD ×AC ×NQ 2 Và tgMQN = MN · · = ⇒ MQN ≈ 30057 ' ; OCD = 330 41' NQ Vậy : SANCQ = ×Cos20 44 '× 34 × 52 ≈ 20,9998 ≈ 21 (cm2) Bài 10: Cho ∆ABC , trực tâm H trung điểm đường cao AD A E Chứng minh: tgB.tgC = H 12 B D C Giải : tgB = AD BD ; tgC = cot gDBH = BD HD AD BD AD × = BD HD HD nên tgB.tgC = mà AD = 2HD nên tgB.tgC = = ×HD =2 HD µ = 600 ; C µ = 800 Tính số đo góc tạo đường cao AH trung tuyến Bài tập 11: Cho ∆ABC : B AM Giải: Ta có : tg α = MH AH A Mặt khác : BH - HC = ( BM + MH) - ( MC - MH ) = 2MH BH − HC ⇒ MH = mà BH = AH ; tgB HC = AH tgC B M H C 1 AH ì ữ nờn MH =  tgB tgC   1 AH ì ữ Vy tgB tgC = × −  tgα =  ÷ ×AH  tgB tgC  A ⇒ α ≈ 11 20 ' Bài 12: Cho ∆ABC , phân giác AD, đường cao CH trung tuyến BM gặp điểm Chứng minh : CosA = bCosB H O 13 B D C µ = 400 , F $ = 580 Kẻ đường cao EI Bài 13: a) Cho tam giác DEF có ED = cm, D tam giác Hãy tính: a) Đường cao EI b) Cạnh EF µ = 900 , AB = 5, BC = b) Giải tam giác vuông ABC, biết A E Giải: a) Áp dụng hệ thức lượng Ta có : + EI = sinD DE = sin 400.7 ≈ 4,5 (cm) + EF = 7cm EI 4,5 ≈ ≈ 5,3 (cm) SinF Sin580 D 40° 58° I b) AC = BC − AB = − 52 ≈ 4,9(cm) CosB = F AB µ ≈ 440 25' = ⇒B BC µ = 900 − B µ ≈ 45035' +C Bài 14: Cho ∆ABC : µA = 900 ; AB = 5cm; BC = 13cm Vẽ phân giác AD, đường cao AH a) Tính độ dài đoạn thẳng BD; DC b) Từ H, kẻ HK ⊥ AC Chứng minh : ∆ABC ∆KAH c) Tính độ dài đoạn thẳng AK KC ? Giải : B a) Áp dụng định lí Pitago, ta có : H D AC = BC − AB = 12cm 2 + Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có : A BD CD BD CD BC 13 = ⇒ = = = AB AC AB AC AB + AC 17 Suy : BD = 13 14 ×5 = cm 17 17 CD = 13 ×12 = cm 17 17 14 K C b) ∆ABC ∆KAH ( g-g) c) Ta có : AH BC = AB AC ⇒ AH = Từ ∆ABC ⇒ AB ×AC 60 = = cm BC 13 17 ∆KAH AB BC AB ×AH 131 38 = ⇒ AK = =1 cm ; KC = 10 cm AK AH BC 169 169 a) Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có : BH EH = = AB EA ' µ ≈ 7503121'' Vậy CosB = 0,25 ⇒ B ⇒ µB ≈ 37 45' + SinB = AH 5.4 15 = ≈ 5,164 nên AB = SinB 15 + Áp dụng cơng thức tính chiều dài đường phân giác Ta có : BD = AB ×BC ×Cos AB + BC B ×5,164 ×x ×Cos37 45' hay = 5,164 + x 15 ⇒ BC = x = AC = ×5,164 ≈ 14,3115 ×5,164 ×cos37 45'− AB + BC − AB ×BC ×CosB ≈ 13,9475 16 ... AB  ⇔ 2 AM AN AB  ÷   BÀI TẬP PHẦN HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG ( 2011-2012) · Bài 1: Trong hình vẽ sau biết AB = , AC = 6, , AN = 3,6 ; ·AND = 90 0 , DAN = 340 Hãy tính (làm trịn đến... = 39, 164 = 0,7660 Cos 40 P A C ∆ APC có ( Pˆ = 1v) H AP = AC.Cos 200 = 39, 164 0 ,93 97 = 36,802 PB = AB – AP = 60 – 36,802 = 23, 198 b) ∆ APC ( Pˆ = 1v) CP = AC Sin200 = 39, 164 0,342 = 13, 394 ... trung tuyến tam giác vuông) nên HK = HM = KM hay MKH tam giác µ = 90 0 ) Từ trung điểm E cạnh AC kẻ EF ⊥ BC Bài 6: Cho ABC ( A Nối AF BE a) Chứng minh AF = BE.cosC b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6