Môđun nội xạ cốt yếu các đặc trưng và mở rộng tt

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THU HÀ MÔĐUN NỘI XẠ CỐT YẾU: CÁC ĐẶC TRƯNG VÀ MỞ RỘNG NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 46 01 04 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HUẾ - NĂM 2020 Cơng trình hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Trương Công Quỳnh GS TS Lê Văn Thuyết Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận án cấp Đại học Huế họp tại: Vào hồi ngày tháng năm 2020 Có thể tìm hiểu luận án tại: Trung tâm học liệu-Đại học Huế Thư viện trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế MỞ ĐẦU Cùng với nhóm trường, vành ba cấu trúc đại số có nhiều ứng dụng rộng rãi Theo cách cổ điển, người ta xét tính chất vành cách tìm hiểu tính chất cấu trúc vành iđêan, vành con, đồng cấu Sau người ta chứng minh tính chất R-mơđun vành R ảnh hưởng đến tính chất vành Chẳng hạn mà R-mơđun phải (trái) nội xạ (xạ ảnh) vành vành nửa đơn Vì thế, luận án này, nghiên cứu cấu trúc vành thông qua việc xem xét môđun chúng Trong lý thuyết mơđun hai lớp mơđun nội xạ xạ ảnh đóng vai trị chủ đạo Ý tưởng mơđun nội xạ xuất vào năm 1940 Baer đưa cho nhóm Aben, thuật ngữ "nội xạ" đưa Eckman-Schopf năm 1953 Trong trình nghiên cứu lớp mơđun nội xạ, nhà khoa học bắt đầu ý đến việc mở rộng lớp mơđun này, mục đích bổ sung số tính chất vào mơđun nội xạ để đặc trưng vành dễ dàng Mở rộng môđun nội xạ môđun tựa nội xạ tác giả Johnson Wong đưa năm 1961 Môđun tựa nội xạ mở rộng thực môđun nội xạ Các tác giả chứng minh mơđun tựa nội xạ bất biến qua tự đồng cấu bao nội xạ Kết đưa xu nghiên cứu lý thuyết mơđun, nghiên cứu môđun bất biến Tiếp tục theo hướng mở rộng này, mở rộng khác môđun nội xạ, mơđun nội xạ cốt yếu đưa sách chuyên khảo Dung-Huynh-Smith-Wisbauer (1994) Các kết môđun nội xạ cốt yếu chủ yếu tác giả Dung-Huynh-Smith-Wisbauer (1994) Santa-Clara (1998) giới thiệu Luận án tiếp tục nghiên cứu tính chất mơđun nội xạ cốt yếu để từ tìm mối liên hệ với lớp mơđun khác, đồng thời đặc trưng vành quen thuộc Vì chúng tơi chọn tên đề tài “Mơđun nội xạ cốt yếu: Các đặc trưng mở rộng” Luận án chúng tơi trình bày thành chương Chương nhắc lại khái niệm số kết biết Chương chủ yếu nghiên cứu tính chất mơđun nội xạ cốt yếu tựa nội xạ cốt yếu, đồng thời đưa kết liên quan lớp môđun nội xạ cốt yếu lớp môđun bất biến đẳng cấu Như nói trên, năm 1994, tác giả Dung-Huynh-SmithWisbauer đưa khái niệm môđun nội xạ cốt yếu, đồng thời giới thiệu số tính chất lớp mơđun Tiếp đó, năm 1998, SantaClara đưa thêm tính chất lớp mơđun nội xạ cốt yếu Trong luận án này, ngồi việc đưa thêm số tính chất mơđun nội xạ cốt yếu, chúng tơi cịn đặc trưng số vành quen thuộc thông qua lớp môđun vành tự đồng cấu, V -vành, vành Noether vành nửa Artin (được trình bày Chương 3) Những kết môđun nội xạ cốt yếu mà thu được, gồm đặc trưng môđun N -nội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.5, Định lý 2.2.8 Định lý 2.2.12) Các tác giả Johnson-Wong chứng minh với hai R-mơđun phải M N , M N -nội xạ f (N ) ≤ M với đồng cấu f : E(N ) → E(M ) Chúng tơi chứng minh điều với môđun M N -nội xạ cốt yếu bổ sung thêm điều kiện Ker(f ) ≤e E(N ) (Định lý 2.2.2) Sau Jonhson Wong chứng minh lớp môđun bất biến tự đồng cấu bao nội xạ lớp mơđun tựa nội xạ vấn đề nghiên cứu môđun bất biến tự đồng cấu bao nội xạ ý nhiều Tiếp tục theo hướng này, Dickson Fuller (1969) xem xét môđun bất biến tập khác vành tự đồng cấu bao nội xạ nó, cụ thể tập vành tự đẳng cấu Từ kết ban đầu này, người ta nghĩ đến việc mở rộng môđun nội xạ theo hai hướng, hướng thứ mở rộng cách thêm bớt điều kiện định nghĩa gốc môđun nội xạ (như mở rộng thành môđun nội xạ cốt yếu mà chúng tơi trình bày phía trên), hướng thứ hai mở rộng cách nghiên cứu lớp môđun bất biến tập khác (chẳng hạn đẳng cấu) vành tự đồng cấu bao nội xạ Năm 2013, tác giả Lee-Zhou đưa định nghĩa môđun bất biến đẳng cấu, theo đó, mơđun M gọi bất biến đẳng cấu bất biến tự đẳng cấu bao nội xạ Định lý 2.2.9 chúng tơi mối quan hệ môđun tựa nội xạ cốt yếu môđun bất biến đẳng cấu Chúng tiếp tục chứng minh tính chất tổng trực tiếp, tích trực tiếp mơđun nội xạ cốt yếu Định lý 2.2.12 phiên kết tác giả Cartan-Eilenberg, Faith-Walker, Bass, Matlis, Papp Kushan dành cho môđun nội xạ cốt yếu Định lý 2.2.14 cho kết quả: R-môđun phải nội xạ cốt yếu R-môđun suy biến môđun nửa đơn, mở rộng Định lý Osofsky Tính chất trao đổi tính chất trao đổi hữu hạn mơđun đưa năm 1964 tác giả Crawley-Jónsson Hai câu hỏi đưa "Những môđun thỏa mãn tính chất trao đổi?", "Những mơđun mà thỏa mãn tính chất trao đổi hữu hạn thỏa mãn tính chất trao đổi?" Đã có nhiều tác giả đưa câu trả lời cho môđun khác nhau, trả lời hai câu hỏi trường hợp M môđun tựa nội xạ cốt yếu Định lý 2.2.9 Định lý 2.2.11 Trong Chương 3, nghiên cứu mở rộng môđun xạ ảnh môđun xạ ảnh bé, tức môđun đối ngẫu mơđun nội xạ cốt yếu Song song xem xét lớp môđun đối bất biến đẳng cấu tìm mối liên hệ mơđun tựa xạ ảnh bé môđun đối bất biến đẳng cấu Định lý 3.1.11 Các kết tính chất trao đổi tính chất trao đổi hữu hạn giải với môđun tựa xạ ảnh bé Định lý 3.1.11 Định lý 3.1.12 Phần sau chương đặc trưng số vành quen thuộc thông qua môđun nội xạ cốt yếu môđun xạ ảnh bé Khái niệm V -vành Faith giới thiệu năm 1967 với định nghĩa sau, vành R gọi V -vành phải R-môđun phải đơn nội xạ, tương đương, iđêan phải giao iđêan phải cực đại Định lý 3.2.3 chứng minh xét R vành bất kỳ, R/Soc(R) V -vành phải R-môđun phải xạ ảnh bé, R-môđun phải đơn nội xạ cốt yếu Phần cuối Chương dành để giới thiệu lớp vành mà mơđun xiclic đối bất biến đẳng cấu Chúng nghiên cứu lớp vành mối liên hệ môđun xạ ảnh bé môđun đối bất biến đẳng cấu Định lý 3.1.11 Năm 1969, tác giả Jain-Mohamed-Singh đưa khái niệm q-vành phải, vành mà iđêan phải tựa nội xạ Việc nghiên cứu vành mà mơđun phải xiclic tựa xạ ảnh Koehler đưa gọi vành q ∗ -vành phải Chúng ta nhắc lại mơđun M tựa nội xạ bất biến tự đồng cấu bao nội xạ nó, hay nói cách khác, đồng cấu từ môđun M vào M mở rộng đến tự đồng cấu M Từ tính chất môđun tựa nội xạ, từ định nghĩa môđun bất biến đẳng cấu mà Lee-Zhou đưa ra, tác giả Singh-Srivastava tiếp tục đưa lớp vành mà iđêan phải bất biến đẳng cấu, gọi a-vành phải Ba lớp vành q-vành, q ∗ -vành a-vành tác giả đặc trưng vành, đưa cấu trúc thu nhiều tính chất thú vị Tiếp tục hướng nghiên cứu này, sau giới thiệu khái niệm môđun đối bất biến đẳng cấu, tác giả Singh-Srivastava để ngỏ vấn đề cuối báo: Đặc trưng vành mà mơđun phải xiclic đối bất biến đẳng cấu? Phần chương giải gần trọn vẹn vấn đề Các kết mối quan hệ lớp vành trọng nghiên cứu Chương Kiến thức chuẩn bị Trong toàn luận án này, khơng thích thêm, vành R cho ln giả thiết vành kết hợp, có phần tử đơn vị khác phần tử không, R-môđun xét môđun unita phải trái 1.1 Một số ký hiệu khái niệm Với vành R cho, để M R-môđun phải (trái) ta viết MR (R M , tương ứng) Trong ngữ cảnh cụ thể luận án, khơng sợ nhầm lẫn phía mơđun, để ngắn gọn chúng tơi viết mơđun M thay MR Chúng dùng ký hiệu A ≤ M (A < M ) để A môđun (tương ứng, môđun thực sự) M Nếu A hạng tử trực tiếp M ta ký hiệu A ≤⊕ M Chúng dùng kí hiệu Mn (R) để vành ma trận vuông cấp n lấy hệ tử vành R Cho I tập hợp với số card(I) = α M mơđun đó, chúng tơi ký hiệu tổng trực tiếp α M M (I) M (α) , tích trực tiếp α M M I M α Cho M N R-môđun phải bất kỳ, đồng cấu từ M vào N hiểu đồng cấu từ R-môđun phải M vào R-môđun phải N Ta dùng ký hiệu HomR (M, N ) để tập R-đồng cấu môđun từ M vào N , EndR (M ) để tập tự đồng cấu R-môđun phải M Cho M R-môđun phải phần tử m0 ∈ M , m0 R = {m0 r|r ∈ R} môđun M gọi môđun xiclic sinh phần tử m0 Một môđun M gọi đơn M = có hai mơđun M Môđun M nửa đơn M phân tích thành tổng trực tiếp môđun đơn Môđun A môđun M gọi cốt yếu (hay lớn) M với môđun khác không B M ta có A∩B = Khi ta cịn gọi M mở rộng cốt yếu A ký hiệu A ≤e M Một đơn cấu f : M → N gọi đơn cấu cốt yếu (hay nhúng cốt yếu) ảnh f cốt yếu môđun N Đối ngẫu với khái niệm cốt yếu, môđun A môđun M gọi đối cốt yếu (hay bé ) M với môđun B = M M ta có A + B = M , ký hiệu A M Một toàn cấu f : M → N gọi toàn cấu đối cốt yếu (hay toàn cấu bé ) Ker(f ) M Một môđun M = gọi môđun môđun khác không M cốt yếu M 1.2 Môđun nội xạ, xạ ảnh số mở rộng Cho M N R-môđun phải Môđun M gọi N -nội xạ đồng cấu f : A → M , với A môđun N , mở rộng đến đồng cấu g : N → M Nếu môđun M M -nội xạ ta gọi M mơđun tựa nội xạ tự nội xạ, môđun M N -nội xạ với R-mơđun phải N M gọi môđun nội xạ Cho M R-môđun phải, đơn cấu α : M → N gọi bao nội xạ M α đơn cấu cốt yếu N môđun nội xạ Khi α : M → N bao nội xạ ta thường gọi mơđun N bao nội xạ M ký hiệu N = E(M ) Hơn nữa, mơđun nhúng cốt yếu vào mơđun nội xạ nên mơđun có bao nội xạ Đối ngẫu với khái niệm môđun nội xạ, ta có khái niệm mơđun xạ ảnh Cho M N R-môđun phải, M gọi N -xạ ảnh đồng cấu f : M → A toàn cấu g : N → A tồn đồng cấu h : M → N cho f = gh Nếu môđun M M -xạ ảnh ta gọi M mơđun tựa xạ ảnh tự xạ ảnh, môđun M N -xạ ảnh với R-mơđun phải N M gọi môđun xạ ảnh 1.3 Vành nửa đơn Artin, vành hoàn chỉnh, nửa hoàn chỉnh trường hợp tổng quát Định nghĩa 1.3.1 Một vành R gọi vành địa phương R có iđêan phải (hoặc trái) cực đại, hay tương đương, R/J(R) thể Vành R nửa địa phương vành thương R/J(R) Artin nửa đơn Định nghĩa 1.3.2 Một vành R gọi vành nửa hoàn chỉnh R vành nửa địa phương lũy đẳng nâng modulo J(R) Vành R hoàn chỉnh phải R vành nửa địa phương J(R) T -lũy linh phải Định nghĩa 1.3.3 Một vành R gọi vành quy với phần tử x ∈ R tồn phần tử y ∈ R cho x = xyx, vành R gọi nửa quy R/J(R) quy lũy đẳng nâng modulo J(R) Định nghĩa 1.3.5 Vành R gọi Artin phải (Noether phải, tương ứng) RR môđun Artin (Noether, tương ứng) Định nghĩa 1.3.7 Một vành R gọi vành đơn R = R có hai iđêan R Vành R nửa đơn tổng trực tiếp iđêan phải (trái) cực tiểu, tương đương, tổng trực tiếp vành đơn, tương đương, RR (R R) môđun nửa đơn Định nghĩa 1.3.13 Một môđun M gọi nửa Artin mơđun thương khác khơng M có đế khác không Một vành R gọi vành nửa Artin phải RR môđun nửa Artin Định nghĩa 1.3.15 Vành R gọi V -vành phải thỏa mãn điều kiện tương đương sau: (1) Mọi R-môđun phải đơn nội xạ (2) Mọi iđêan phải R giao iđêan phải cực đại Chương Môđun nội xạ cốt yếu mở rộng Trong chương này, chủ yếu nghiên cứu mở rộng môđun nội xạ, mơđun nội xạ cốt yếu Chúng tơi đưa tính chất mơđun nội xạ cốt yếu môđun tựa nội xạ cốt yếu, đồng thời giới thiệu kết liên quan lớp môđun nội xạ cốt yếu lớp môđun bất biến đẳng cấu 2.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 2.1.1 Cho M N hai R-môđun phải (1) M gọi N -nội xạ cốt yếu đồng cấu với hạt nhân cốt yếu từ môđun N vào M mở rộng tới N (2) M gọi tựa (tự) nội xạ cốt yếu M M -nội xạ cốt yếu (3) M gọi môđun nội xạ cốt yếu M N -nội xạ cốt yếu với môđun phải N (4) Hai môđun M N gọi nội xạ cốt yếu lẫn (hay nội xạ cốt yếu tương hỗ ) M N -nội xạ cốt yếu N M -nội xạ cốt yếu (5) Vành R gọi vành tựa nội xạ cốt yếu phải RR môđun tựa nội xạ cốt yếu đồng cấu f : A → M có hạt nhân cốt yếu, tồn đồng cấu h : N → M cho f = hg Chúng muốn đề cập đến kết quan trọng tính nội xạ Johnson-Wong đưa ra: Với hai R-môđun M N , M N -nội xạ f (N ) ≤ M với R-đồng cấu f : E(N ) → E(M ) từ bao nội xạ N vào bao nội xạ M Định lý sau mở rộng kết cho môđun M N -nội xạ cốt yếu, đồng thời đưa điều kiện tương đương M N -nội xạ cốt yếu thông qua J[E(N ), E(M )] Định lý 2.2.2 Các điều kiện sau tương đương môđun M N : (1) M N -nội xạ cốt yếu (2) Với R-đồng cấu α : E(N ) → E(M ) từ bao nội xạ N vào bao nội xạ M với hạt nhân cốt yếu α(N ) ≤ M (3) α(N ) ≤ M với α nằm J[E(N ), E(M )] Hom(E(N ), E(M )) Từ Định lý 2.2.2, cho N = M , ta có hệ Hệ 2.2.3 Các điều kiện sau tương đương môđun M : (1) M môđun tựa nội xạ cốt yếu (2) α(M ) ≤ M với tự đồng cấu α E(M ) với hạt nhân cốt yếu (3) α(M ) ≤ M với α ∈ J(End(E(M ))) Mệnh đề 2.2.4 Cho M N hai R-môđun phải Khi đó: (1) M N -nội xạ cốt yếu M K-nội xạ cốt yếu với môđun cốt yếu K N (2) Nếu M N -nội xạ cốt yếu K ∼ = N M K-nội xạ cốt yếu (3) Giả sử N = A ⊕ B, M = C ⊕ D α : B → D đồng cấu với hạt nhân cốt yếu Nếu M N -nội xạ cốt yếu C A-nội xạ cốt yếu 10 (4) Cho M1 M2 môđun, xét M := M1 ⊕ M2 Khi M tựa nội xạ cốt yếu M1 M2 tựa nội xạ cốt yếu, nội xạ cốt yếu tương hỗ Định lý 2.2.5 Các điều kiện sau tương đương Rmôđun phải M : (1) Mọi môđun M tựa nội xạ cốt yếu (2) M tựa nội xạ cốt yếu mơđun cốt yếu M bất biến hồn toàn tự đồng cấu M với hạt nhân cốt yếu (3) Mọi môđun cốt yếu M tựa nội xạ cốt yếu Ví dụ 2.2.6 (1) Xét mơđun M có dàn mơđun 0, M, N1 , N2 , N1 ⊕ N2 cho N1 không đẳng cấu với N2 vành tự đồng cấu N1 N2 không đẳng cấu với Z2 Khi M mơđun tựa nội xạ cốt yếu không bất biến đẳng cấu (2) Cho Fi trường Ki trường thực Fi với i ≥ Đặt R ký hiệu cho tập tất dãy Fi với hầu hết phần tử Ki Khi R vành tựa nội xạ cốt yếu giao hốn khơng vành bất biến đẳng cấu (nếu RR mơđun bất biến đẳng cấu vành R gọi vành bất biến đẳng cấu phải) (3) Mỗi miền ngun giao hốn mơđun tựa nội xạ cốt yếu Hơn nữa, R khơng trường R khơng vành bất biến đẳng cấu Xét M N R-môđun phải, ký hiệu ∆[M, N ] = {f ∈ Hom(M, N ) : Ker(f ) ≤e M } ∆(M ) = {f ∈ End(M ) : Ker(f ) ≤e M } Dễ dàng nhận thấy ∆(M ) iđêan End(M ) Định lý 2.2.8 Cho R-môđun phải tựa nội xạ cốt yếu M với bao nội xạ u : M → E(M ) Khi ta có khẳng định sau: 11 (1) ∆(M ) ⊆ J(End(M )) (2) Mọi phần tử lũy đẳng End(M ) nâng theo modulo ∆(M ) Định lý 2.2.9 Các điều kiện sau tương đương Rmôđun phải M với bao nội xạ u : M → E(M ): (1) M môđun bất biến đẳng cấu (2) M môđun tựa nội xạ cốt yếu End(M )/∆(M ) ổn định với End(E(M )) phép nhân bên trái phần tử khả nghịch J(End(E(M ))) Trong trường hợp này, M thỏa mãn tính chất trao đổi Điều kiện (C1): Với môđun A M , tồn hạng tử trực tiếp B M thỏa mãn A ≤e B Điều kiện (C2): Nếu môđun A M đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M hạng tử trực tiếp M Điều kiện (C3): Nếu A B hai hạng tử trực tiếp M thỏa mãn A ∩ B = A ⊕ B hạng tử trực tiếp M Môđun M gọi liên tục thỏa mãn điều kiện (C1) (C2) Môđun M gọi tựa liên tục thỏa mãn điều kiện (C1) (C3) Mơđun tựa liên tục cịn gọi môđun π-nội xạ Định lý 2.2.11 Các điều kiện sau tương đương Rmôđun phải tựa nội xạ cốt yếu M : (1) M tựa liên tục (2) End(M )/∆(M ) ổn định với phép nhân bên trái lũy đẳng End(E(M )) J(End(E(M ))) Lúc này, M thỏa mãn tính chất trao đổi hữu hạn M thỏa mãn tính chất trao đổi Theo ý tưởng Cartan-Eilenberg, Bass, Matlis, Papp Kushan đặc trưng vành Noether phải qua tính chất "tổng trực tiếp môđun phải nội xạ nội xạ", dùng giả thiết yếu để chứng minh "tổng trực tiếp môđun nội 12 xạ cốt yếu nội xạ cốt yếu vành R/Soc(R) vành Noether phải" Định lý phát biểu cụ thể sau Định lý 2.2.12 Các điều kiện sau tương đương vành R: (1) R thỏa mãn điều kiện ACC iđêan phải cốt yếu R (nghĩa là, R/Soc(RR ) vành Noether phải) (2) Mỗi tổng trực tiếp R-môđun phải nội xạ cốt yếu nội xạ cốt yếu (3) Nếu K0 , K1 , , Kn mơđun phải đơn, ⊕N E(Ki ) nội xạ cốt yếu (4) E (N) nội xạ cốt yếu với môđun nội xạ cốt yếu ER Từ định lý ta có hệ sau Hệ 2.2.13 Các điều kiện sau tương đương vành R: (1) R thỏa mãn điều kiện ACC iđêan phải cốt yếu R (2) Mỗi tổng trực tiếp R-môđun phải nội xạ nội xạ cốt yếu Trong Định lý Osofsky, vành R nửa đơn Rmôđun phải (trái) xiclic nội xạ, hay tương đương, R-môđun phải nửa đơn R-môđun phải (trái) xiclic nội xạ Mở rộng kết này, chứng minh R-môđun phải nội xạ cốt yếu R-môđun suy biến nửa đơn Định lý 2.2.14 Các điều kiện sau tương đương vành R: (1) Mọi R-môđun phải nội xạ cốt yếu (2) Mọi R-môđun phải xiclic nội xạ cốt yếu (3) Mọi R-môđun suy biến môđun nửa đơn 13 KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG Trong chương thu số kết sau Trong phần đầu chương, thu đặc trưng môđun N -nội xạ cốt yếu (Bổ đề 2.2.1, Định lý 2.2.2), chứng minh môđun tựa nội xạ cốt yếu bất biến tự đồng cấu bao nội xạ với hạt nhân cốt yếu (Hệ 2.2.3) Tiếp chúng tơi mở rộng số tính chất mơđun nội xạ cốt yếu từ tính chất biết (Mệnh đề 2.2.4, Mệnh đề 2.2.5, Định lý 2.2.12) Mối quan hệ môđun tựa nội xạ cốt yếu, môđun bất biến đẳng cấu mơđun thỏa mãn tính chất trao đổi cho số kết thú vị (Định lý 2.2.9 Định lý 2.2.11) Phần cuối chương thu Định lý 2.2.14 mối quan hệ môđun nội xạ cốt yếu môđun suy biến 14 Chương Môđun xạ ảnh bé vành liên quan Sau nghiên cứu lớp môđun nội xạ cốt yếu môđun bất biến đẳng cấu Chương 2, tiếp tục ý đến lớp môđun đối ngẫu chúng, lớp môđun xạ ảnh bé môđun đối bất biến đẳng cấu Phần sau chương đặc trưng môđun số vành quen thuộc Phần cuối chương nghiên cứu vành mà môđun xiclic đối bất biến đẳng cấu, tên a∗ -vành 3.1 Môđun xạ ảnh bé môđun đối bất biến đẳng cấu Định nghĩa 3.1.1 Cho hai R-môđun phải M N (1) M gọi N -xạ ảnh bé R-đồng cấu f : M → K với Im(f ) K toàn cấu p : N → K ln tồn đồng cấu g : M → N cho p ◦ g = f (2) M gọi tựa xạ ảnh bé M M -xạ ảnh bé (3) M gọi xạ ảnh bé M N -xạ ảnh bé với môđun N Ví dụ 3.1.2 15 (1) Từ Định nghĩa 3.1.1 ta có, M mơđun xạ ảnh M xạ ảnh bé, M tựa xạ ảnh M tựa xạ ảnh bé Điều ngược lại không trường hợp tổng quát (2) Môđun nửa đơn mơđun tựa xạ ảnh, nên môđun tựa xạ ảnh bé (3) Z/4Z môđun tựa xạ ảnh bé vành Z Định nghĩa 3.1.3 Môđun M gọi đối bất biến đẳng cấu với môđun bé K1 K2 M , tồn cấu η : M/K1 → M/K2 với hạt nhân bé nâng đến tự đồng cấu ϕ M Ví dụ 3.1.5 (1) Z2 Z4 Z-môđun đối bất biến đẳng cấu, Z2 ⊕ Z4 không Z-môđun đối bất biến đẳng cấu (2) (Z/8Z) ⊕ (Z/8Z) Z-môđun đối bất biến đẳng cấu, (2Z/8Z) ⊕ (Z/8Z) không Z-môđun đối bất biến đẳng cấu (3) Mơđun khơng có mơđun bé khác không môđun đối bất biến đẳng cấu Do mơđun nửa ngun thủy môđun đối bất biến tự đẳng cấu (môđun M gọi nửa nguyên thủy Rad(M ) = 0) F2 F2 F2 F2 F2 trường có 0 F2 F2 F2 F2 hai phần tử Lấy M = 0 Nghĩa M = e11 R, 0 e11 lũy đẳng nguyên thủy Lúc HomF2 (M, F2 ) R-môđun trái đối bất biến đẳng cấu, nên mơđun xạ ảnh bé, HomF2 (M, F2 ) không tựa xạ ảnh (4) Gọi R vành cho Định lý 3.1.7 Cho R vành hồn chỉnh phải M, N Rmơđun phải với phủ xạ ảnh π1 : P1 → M, π2 : P2 → N Khi điều kiện sau tương đương: (1) M N -xạ ảnh bé 16 (2) Với R-đồng cấu f : P1 → P2 R-môđun phải với ảnh bé, f (Ker(π1 )) ≤ Ker(π2 ) Khi cho N = M , ta thu hệ sau Hệ 3.1.8 Cho R vành hoàn chỉnh phải Các điều kiện sau sau tương đương R-mơđun phải M có phủ xạ ảnh π : P → M: (1) M môđun tựa xạ ảnh bé (2) Ker(π) bất biến tự đồng cấu P với ảnh bé Xét M N R-môđun phải, ký hiệu ∇[M, N ] = {f ∈ Hom(M, N ) : Im(f ) N} ∇(M ) = {f ∈ End(M ) : Im(f ) M } Rõ ràng ∇(M ) iđêan End(M ) Định lý mối quan hệ môđun tựa xạ ảnh bé môđun đối bất biến đẳng cấu Định lý 3.1.11 Các điều kiện sau tương đương Rmôđun phải M với phủ xạ ảnh p : X → M : (1) M môđun đối bất biến đẳng cấu (2) M môđun tựa xạ ảnh bé End(M )/∇(M ) ổn định với phép nhân bên trái phần tử khả nghịch End(X)/J(End(X)) Trong trường hợp này, M thỏa mãn tính chất trao đổi Một R-môđun M gọi rời rạc M thỏa mãn điều kiện (D1) (D2) sau Điều kiện (D1): Với môđun N M tồn hạng tử trực tiếp K M cho K ≤ N N/K M/K Điều kiện (D2): Nếu N môđun M cho M/N đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M , N hạng tử trực tiếp M Môđun M gọi tựa rời rạc M thỏa mãn điều kiện (D1) điều kiện (D3) sau: 17 Điều kiện (D3): Với hạng tử trực tiếp K L M mà M = K + L, K ∩ L hạng tử trực tiếp M Đối ngẫu với Định lý 2.2.11, thu kết sau môđun rời rạc Định lý 3.1.12 Các điều kiện sau tương đương R-môđun phải tựa xạ ảnh bé M với p : X → M phủ xạ ảnh vành hoàn chỉnh R: (1) M môđun tựa rời rạc (2) End(M )/∇(M ) ổn định với phép nhân bên trái lũy đẳng End(X) J(End(X)) Lúc này, M thỏa mãn tính chất trao đổi hữu hạn M thỏa mãn tính chất trao đổi 3.2 Đặc trưng môđun nội xạ cốt yếu xạ ảnh bé vành liên quan Tính chất thường dùng V -vành R V -vành phải R-mơđun phải đơn nội xạ Chúng tơi đặc trưng tính chất V -vành cho R/Soc(RR ) thông qua môđun nội xạ cốt yếu môđun xạ ảnh bé Định lý 3.2.3 Các điều kiện sau tương đương vành R: (1) R/Soc(RR ) V -vành phải (2) Mọi R-môđun phải xạ ảnh bé (3) Mọi R-môđun phải hữu hạn sinh xạ ảnh bé (4) Mọi R-môđun phải xiclic xạ ảnh bé (5) Mọi R-môđun phải nửa đơn xạ ảnh bé (6) Mọi R-môđun phải đơn xạ ảnh bé (7) Mọi R-môđun phải đơn nội xạ cốt yếu 18 Kết sau đưa mối quan hệ môđun nội xạ cốt yếu, môđun xạ ảnh bé, môđun nửa đơn môđun suy biến vành nửa Artin Hệ 3.2.4 Các điều kiện sau tương đương vành nửa Artin phải R: (1) R không suy biến phải R/Soc(RR ) V -vành phải (2) R không suy biến phải R-môđun phải (đơn, nửa đơn) xạ ảnh bé (3) R không suy biến phải R-môđun phải đơn nội xạ cốt yếu (4) Mọi R-môđun phải đơn, suy biến nội xạ 3.3 Vành mà mơđun xiclic đối bất biến đẳng cấu Định nghĩa 3.3.1 (1) Vành R đươc gọi q-vành phải iđêan phải tựa nội xạ (2) Vành R gọi q ∗ -vành phải R-môđun phải xiclic tựa xạ ảnh (3) Vành R gọi a-vành phải iđêan phải bất biến đẳng cấu (4) Vành R gọi a∗ -vành phải R-môđun phải xiclic đối bất biến đẳng cấu Ví dụ 3.3.2 (1) Mọi q ∗ -vành phải V -vành phải a∗ -vành phải (2) Một vành nửa hoàn chỉnh V -vành phải q ∗ -vành phải (3) Cho R vành V -vành phải, di truyền phải, Nơte phải nguyên tố, không vành Artin nửa đơn (ví dụ miền Cozzens’s) Lúc R a∗ -vành phải không q ∗ -vành phải 19 Chúng đưa cấu trúc a∗ -vành định lý sau Định lý 3.3.4 Các điều kiện sau tương đương vành nửa hoàn chỉnh R: (1) R a∗ -vành phải (2) Mỗi iđêan phải J(R) T -mơđun trái, T vành R sinh phần tử khả nghịch R Nhận xét 3.3.5 q ∗ -vành phải q ∗ -vành trái không trùng trường hợp tổng quát Ví dụ lấy ¯ ¯b : a R={ a ¯ ∈ Z4 ; ¯b, c¯ ∈ Z2 }, c¯ lúc R q ∗ -vành phải nửa hồn chỉnh khơng q ∗ -vành trái Tuy nhiên trường hợp R lại a∗ -vành trái phải Kết cho phân tích a∗ -vành Định lý 3.3.6 Cho R a∗ -vành phải bất biến đẳng cấu phải nửa hồn chỉnh Khi đó, ta có phân tích R = S ⊕ T , (1) S vành Artin nửa đơn; (2) T = e1 R ⊕ e2 R ⊕ · · · ⊕ en R, với e1 , e2 , , en lũy đẳng địa phương trực giao, ei R ∼ = ej R với i = j Định lý 3.3.7 Nếu R vành nguyên tố a∗ -vành phải nửa hồn chỉnh, R vành Artin đơn, vành địa phương Vậy a∗ -vành phải vành Artin nửa đơn? Chúng trả lời câu hỏi định lý sau Định lý 3.3.9 Các khẳng định sau tương đương vành R: (1) R vành Artin nửa đơn (2) R vành nửa hoàn chỉnh Mn (R) a∗ -vành phải với n > Định lý sau chúng tơi đóng vai trị chứng minh kết chương 20 Định lý 3.3.10 Cho vành R a∗ -vành phải nửa hoàn chỉnh Khi iđêan phải cốt yếu bất biến phần tử khả nghịch R Từ định lý trên, thu kết mối liên hệ a-vành a∗ -vành hệ sau Hệ 3.3.11 Cho R a∗ -vành phải nửa hoàn chỉnh Nếu R vành bất biến đẳng cấu phải R a-vành phải Từ Nhận xét 3.3.5, câu hỏi đặt tự nhiên, là, vành a∗ -vành phải trái có trùng khơng? Ví dụ chúng tơi cho thấy câu trả lời khơng ¯⊆F Ví dụ 3.3.12 (Vớ d Bjă ork) Cho F l trng v gi sử ϕ : F → F ¯ = F đẳng cấu xác định a → a, trường F Đặt R ký hiệu cho khơng gian véc tơ trái có sở {1, t}, cho R vào F-đại số theo cách xác định t2 = ta = ϕ(a)t với a ∈ F Chú ý lúc R vành Artin trái J(R) = Rt = Ft iđêan trái thực R Rõ ràng R a∗ -vành trái R không a∗ -vành phải Trong Định lý 3.3.10, xét vành R nửa hoàn chỉnh, R a∗ -vành phải iđêan phải cốt yếu bất biến phần tử khả nghịch R Bổ đề trả lời câu hỏi ngược lại Bổ đề 3.3.13 Giả sử R vành nửa hoàn chỉnh iđêan phải cốt yếu bất biến phần tử khả nghịch R Nếu iđêan trái bé linh hóa tử trái R a∗ -vành trái Như Ví dụ 3.3.12, trường hợp tổng quát a∗ -vành trái a∗ -vành phải khơng trùng nhau, nhiên định lý sau lúc hai lớp vành trùng Định lý 3.3.14 Giả sử R vành nửa hồn chỉnh iđêan trái bé linh hóa tử trái Lúc R a∗ -vành phải R a∗ -vành trái Định lý cuối chương dùng để quan hệ vành đối sinh a∗ -vành Định lý phát biểu sau Định lý 3.3.16 Nếu R vành CS phải, đối sinh phải a-vành phải R a∗ -vành phải trái 21 KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG Trong chương chúng tơi thu kết sau Trong phần đầu chương thu đặc trưng môđun N -xạ ảnh bé thông qua đồng cấu môđun hạt nhân phủ xạ ảnh (Định lý 3.1.7), có kết tương tự cho môđun tựa xạ ảnh bé Hệ 3.1.8 Trong phần giới thiệu kết môđun đối bất biến đẳng cấu Mối quan hệ môđun tựa xạ ảnh bé môđun đối bất biến đẳng cấu giải Định lý 3.1.11, kết môđun thỏa mãn tính chất trao đổi hữu hạn thỏa mãn tính chất trao đổi chúng tơi đưa Định lý 3.1.12 Các đặc trưng V -vành vành nửa Artin thông qua môđun nội xạ cốt yếu mơđun xạ ảnh bé trình bày Định lý 3.2.3 Hệ 3.2.4 Trong mục 3.3 vành mà môđun xiclic đối bất biến đẳng cấu chúng tơi thu kết sau Chúng tơi mô tả cấu trúc a∗ -vành Định lý 3.3.4 sau, vành nửa hoàn chỉnh R a∗ -vành iđêan phải J(R) T -môđun trái, với T vành R sinh phần tử khả nghịch Định lý 3.3.6 cho phân tích a∗ -vành Vì vành ngun tố a∗ -vành chưa vành Artin đơn, nên đưa Định lý 3.3.7 để khẳng định vành nguyên tố, a∗ -vành nửa hoàn chỉnh vành Artin đơn vành địa phương Chúng tơi trả lời cho câu hỏi vành a∗ -vành vành Artin nửa đơn Định lý 3.3.9 Định lý 3.3.14 nói cho R vành hồn chỉnh thỏa mãn iđêan trái bé linh hóa tử trái, lúc R a∗ -vành phải R a∗ -vành trái Phần cịn lại chương chúng tơi đưa kết mối quan hệ lớp vành, cụ thể, quan hệ a-vành phải a∗ -vành phải giới thiệu Hệ 3.3.11, Định lý 3.3.16; quan hệ vành nửa hoàn chỉnh a∗ -vành nêu Bổ đề 3.3.13 22 KẾT LUẬN Trong luận án này, thu kết sau đây: Từ việc nghiên cứu môđun nội xạ cốt yếu, đưa số đặc trưng môđun nội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.2, Mệnh đề 2.2.4 Mệnh đề 2.2.5) Ngồi ra, chúng tơi thu số kết quan hệ môđun nội xạ cốt yếu môđun bất biến đẳng cấu, tiêu biểu Định lý 2.2.9 Chúng trả lời phần cho câu hỏi mà Crawley-Jónsson nêu mơđun thỏa mãn tính chất trao đổi trường hợp M môđun nội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.11) M môđun xạ ảnh bé (Định lý 3.1.12) Chúng ta thường nhắc đến đặc trưng quan trọng vành Noether phải, là, vành Noether phải tổng trực tiếp môđun nội xạ nội xạ Định lý 2.2.12 cho kết tương tự mơđun nội xạ cốt yếu, là, vành R/Soc(R) vành Noether phải tổng trực tiếp Rmôđun phải nội xạ cốt yếu nội xạ cốt yếu Một kết bật khác mục Định lý 2.2.14, mở rộng Định lý Osofsky cho môđun nội xạ cốt yếu Khi nghiên cứu lớp vành mà mơđun xiclic đối bất biến đẳng cấu, giải gần trọn vẹn câu hỏi mà Singh-Srivastava đưa ra, mơ tả đặc trưng lớp a∗ -vành Chúng đưa cấu trúc a∗ -vành Định lý 3.3.4, phân tích giới thiệu Định lý 3.3.6 Các kết ví dụ để phân biệt lớp vành có liên quan trọng chứng minh chi tiết 23 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ CĨ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Nguyễn Thị Thu Hà, Các đặc trưng mơđun xạ ảnh bé, Tạp chí khoa học Đại học Huế: Khoa học Tự nhiên., Tập 129, Số 1C (2020), 117-123 Kosan, T M., Ha, N T T., Quynh, T C., Rings for which every cyclic module is dual automorphism-invariant, J Algebra and its Appl., 15 (5), (2016), 11pp Quynh, T C., Abyzov, A N., Ha, N T T., Yildirim, T., Modules close to the automorphism-invariant and coinvariant, J Algebra and its Appl., 18 (12), (2019), 24pp 24 ... Hai môđun M N gọi nội xạ cốt yếu lẫn (hay nội xạ cốt yếu tương hỗ ) M N -nội xạ cốt yếu N M -nội xạ cốt yếu (5) Vành R gọi vành tựa nội xạ cốt yếu phải RR môđun tựa nội xạ cốt yếu Chúng ta ý môđun. .. N -nội xạ cốt yếu đồng cấu với hạt nhân cốt yếu từ môđun N vào M mở rộng tới N (2) M gọi tựa (tự) nội xạ cốt yếu M M -nội xạ cốt yếu (3) M gọi môđun nội xạ cốt yếu M N -nội xạ cốt yếu với môđun. .. M môđun nội xạ cốt yếu M môđun RR -nội xạ cốt yếu Ví dụ 2.1.2 (1) Cho n > 1, Zn Z-mơđun tựa nội xạ, Zn mơđun tựa nội xạ cốt yếu (2) Mọi môđun không suy biến môđun nội xạ cốt yếu (3) Cho A môđun