(Luận văn thạc sĩ) lý thuyết dây loại II

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN TIẾN MẠNH LÝ THUYẾT DÂY LOẠI II LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CÁN BỘ DẪN KHOA HỌC:TS Phạm Thúc Tuyền, Trƣờng Đại học Khoa Học Tự Nhiên-ĐHQGHN Hà Nội – Năm 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN TIẾN MẠNH LÝ THUYẾT DÂY LOẠI II Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số:60440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CÁN BỘ DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Phạm Thúc Tuyền, Trƣờng Đại học Khoa Học Tự Nhiên-ĐHQGHN Hà Nội – Năm 2015 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, PGS.TS Phạm Thúc Tuyền, ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn chu đáo tận tình giúp đỡ tơi suốt thời gian học tập hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô, tập thể cán Bộ môn Vật lý lý thuyết – Vật lý toán, trƣờng Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện giúp tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, phòng Sau đại học, trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên quan tâm, tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Qua đây, chân thành gửi lời cảm ơn tới toàn thể ngƣời thân, bạn bè giúp đỡ, dạy bảo, động viên, trực tiếp đóng góp, trao đổi ý kiến khoa học quý báu để em hoàn thành luận văn Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn luận văn có nhiều thiếu sót, tơi mong nhận đƣợc bảo, góp ý thầy bạn Một lần nữa, xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Học viên Trần Tiến Mạnh MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT DÂY 1.1 Cơ sở lý thuyết cổ điển dây boson 1.1.1 buộc Hàm tác dụng, nghiệm phƣơng trình chuyển động điều kiện ràng 1.1.2 Bất biến Poincaré 1.1.3 Lƣợng tử hóa dây boson 10 1.2 Lý thuyết siêu dây cổ điển 15 1.2.1 Siêu đối xứng trang đời 15 1.2.2 Siêu dây cổ điển 17 1.2.3 Điều kiện ràng buộc siêu dây-Các toán tử siêu Virasoro 20 1.2.4 Lƣợng tử hóa siêu dây 23 1.2.5 Siêu đại số Neveu – Schwarz Ramond 25 CHƢƠNG 2: TRƢỜNG DÂY 33 2.1 Phiếm hàm trƣờng siêu dây đóng 34 2.1.1 Phiếm hàm trƣờng cho khu vực siêu dây đóng 34 2.1.2 Biến đổi gauge phiếm hàm trƣờng dây 38 2.2 Hình thức luận BRST(Becchi-Rouet-Stora-Tyutin) 38 2.2.1 Tích BRST đối xứng gauge 39 2.2.2 Trƣờng ma 39 2.2.3 Trƣờng siêu ma 41 2.2.4 “Tích BRST” cho siêu dây đóng 46 2.2.5 Phiếm hàm trƣờng dây mở rộng 47 CHƢƠNG 3: LÝ THUYẾT DÂY LOẠI II 49 3.1 Tổng quan lý thuyết siêu dây 49 3.2 Spinơ Không thời gian D  10 (hoặc 11) chiều 51 3.3 Lý thuyết dây loại II 55 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 DANH MỤC BẢNG BIỂU, HÌNH ẢNH Hình 1.1 (a) Tham số hóa đƣờng đời hạt.(b) Tham số hóa trang đời dây mở Hình 3.1 Quan hệ lý thuyết dây khác 51 Bảng tóm tắt lý thuyết dây 49 CÁC KÝ CHỮ VIẾT TẮT BRST: Becchi-Rouet-Tyutin GSO: Gliozzi-Scherk-Olive NS: Neveu-Schwarz QCD: Quantum ChromoDynamics QED: Quantum ElectroDynamics R: Ramond SUSY: Supersymmetry MỞ ĐẦU Mục đích chọn đề tài Lý thuyết dây ứng cử viên cho lý thuyết thống tất bốn loại tƣơng tác: mạnh, yếu, điện từ hấp dẫn Ban đầu vốn đƣợc đề xuất để mô tả tƣơng tác mạnh hadron, trƣớc Sắc động lực học lƣợng tử (QCD) đời Sau có QCD, lý thuyết dây đƣợc ngƣời quan tâm thời gian dài Tuy nhiên nhà vật lý gặp khó khăn việc lƣợng tử hóa trƣờng hấp dẫn thấy phổ trạng thái dây, có trạng thái tƣơng ứng với đặc trƣng lƣợng tử trƣờng hấp dẫn: không khối lƣợng, spin 2, lý thuyết dây lại đƣợc ý trở lại Hiện trở thành mối quan tâm hàng đầu lý thuyết trƣờng hạt Ban đầu, cách tƣơng đối tính hóa dây cổ điển không gian D chiều, ngƣời ta thu đƣợc lý thuyết, gọi lý thuyết dây boson Để trạng thái kích thích tn theo quy luật bất biến Lorentz, số chiều tới hạn không – thời gian phải 26 Để giải thích việc khơng quan sát đƣợc chiều phụ ngồi bốn chiều thực khơng - thời gian Minkowski, ngƣời ta giả sử chiều ngoại phụ kích thƣớc nhỏ chúng bị xoắn, cuộn lại với (compact hóa) tạo thành khơng gian Calabi – Yau kích thƣớc lớn khơng quan sát đƣợc Số chiều D  26 số lớn so với số chiều bốn không – thời gian Minkiwski, việc compact hóa khơng gian với số chiều ngoại phụ D  theo cách thức lý thuyết Kaluza – Klein, gặp khó khăn khó lịng vƣợt qua đƣợc Hơn nữa, lý thuyết dây boson không mô tả đƣợc trạng thái tƣơng ứng với hạt fermion (hạt mô tả trƣờng vật chất) Nhƣ lý thuyết dây boson thích hợp mơ tả trƣờng tƣơng tác (boson), khơng thích hợp mô tả trƣờng vật chất (fermion) Để khắc phục nhƣợc điểm lý thuyết dây boson ngƣời ta siêu đối xứng hóa cách đƣa thêm vào tọa độ spinơ phản đối xứng, gọi tọa độ lẻ trang đời không thời gian xét phép biến đổi qua lại tọa độ không – thời gian, tọa độ boson, với tọa độ siêu đồng hành spinơ chúng Lý thuyết dây chứa siêu đối xứng đƣợc gọi lý thuyết siêu dây Lý thuyết siêu dây có nhiều ƣu điểm Số chiều tới hạn không – thời gian D  10 Trong lý thuyết siêu dây có trƣờng tƣơng tác boson trƣờng vật chất fermion, phân kỳ xuất lý thuyết trƣờng lƣợng tử thông thƣờng đƣợc tự loại bỏ, vì, bậc tự boson fermion đóng góp vào phân kỳ hai loại trƣờng boson fermion có giá trị trái dấu Khi ta lƣợng tử hóa lý thuyết siêu dây có năm phƣơng án để mơ tả lý thuyết trƣờng siêu dây Đó là: lý thuyết dây loại I, lý thuyết dây IIA, lý thuyết dây IIB, lý thuyết dây lai (heterotic): HO với nhóm chuẩn E8  E8 HE với nhóm chuẩn SO(32) Năm phƣơng án này, thơng qua khái niệm đối ngẫu, chúng đƣợc coi thể mặt khác lý thuyết dây thống gọi M – theory Trong lý thuyết siêu dây loại I dây siêu dây mở, lý thuyết siêu dây lại, có siêu dây loại II, siêu dây đóng Tuy nhiên, siêu dây loại II tồn dây mở tƣơng tác với dây bản, gọi p-brane Do luận văn này, chọn đề tài nghiên cứu: Lý thuyết dây loại II, chứa đựng nét tinh túy lý thuyết dây đối tƣợng đƣợc quan tâm nhiều Cấu trúc luận văn Luận văn phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo phụ lục, luận văn gồm có chƣơng, cụ thể: Chƣơng 1: Cơ sở lý thuyết dây Chƣơng 2: Trƣờng dây Chƣơng 3: Lý thuyết dây loại II CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT DÂY 1.1 Cơ sở lý thuyết cổ điển dây boson Trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử, hạt đƣợc coi hạt điểm khơng kích thƣớc, với lý thuyết dây, đối tƣợng dây (sợi dây – string) Chúng có kích thƣớc vơ nhỏ (cỡ kích thƣớc Plank ~ ) Dây có hai đầu trùng nhau gọi dây đóng Dây có hai đầu rời đƣợc gọi dây mở Tƣơng tự nhƣ hạt điểm, vận động không thời gian hạt điểm vẽ nên đƣờng cong chiều gọi “đƣờng đời” (world-line), dây chuyển động quét mặt cong hai chiều, gọi “trang đời’’ (world-sheet) Tổng quát hơn, đối tƣợng p chiều (p-brane) quét nên đa tạp với số chiều p  gọi “quyển đời” (world-volum)1 Trong lý thuyết dây nay, chiều không thời gian lớn 4, luận văn này, chiều khơng thời gian nói chung đƣợc ký hiệu D Metric tổng quát đƣợc ký hiệu g AB  ab , metric Minkowski (metric phẳng) đƣợc ký hiệu  Cho không thời gian Minkowski D chiều  AB  diag 1, 1, 1, , 1 , cho trang đời   diag 1, 1 Nói chung có thể, ta dành số  , để không thời gian chiều Hệ đơn vị c   cho nên, đại lƣợng khơng thứ ngun, có thứ nguyên lũy thừa âm dƣơng lƣợng Hình 1.1 (a) Tham số hóa đƣờng đời hạt (b) Tham số hóa trang đời dây mở Trang đời đƣợc tham số hóa hai đại lƣợng không thứ nguyên,  (tựa thời gian)  (tựa không gian), điểm trang đời đƣợc nhúng vào không thời gian D hàm số vô hƣớng: Trong số tài liệu tiếng Việt, world-line, world-sheet đƣợc dịch thành đƣờng thế, thế, …, tránh chữ “thế”, vốn đƣợc dùng để dịch từ potential X   X  ( ,  ),   0,1, , D  Tham số (1.1a) biến thiên miền sau đây:        (1.1b) Có thể coi hai tham số  ,  thành phần vector hai chiều   (  0,1) trang đời:    ,    , d 2  d d (1.1c) 1.1.1 Hàm tác dụng, nghiệm phƣơng trình chuyển động điều kiện ràng buộc Hàm tác dụng dây đƣợc xây dựng tƣơng tự nhƣ hàm tác dụng hạt Trong trƣờng hợp hạt, tỉ lệ với độ dài đƣờng đời, trƣờng hợp dây, tỉ lệ với diện tích trang đời: S NG  d 4   h (1.2a) Trong đó, h   X    X  , metric không thời gian cảm sinh trang đời,  đạo hàm theo   , h giá trị tuyệt đối định thức h : h  X 2 X   X X  (1.2b) ( X đạo hàm theo  X  đạo hàm theo  ),   đƣợc gọi độ dốc Regge Đại lƣợng 4  thƣờng đƣợc viết 1/ T , T độ căng dây (khối lƣợng đơn vị độ dài, thứ nguyên 2 ) Hàm tác dụng (1.2a) đƣợc gọi hàm tác dụng Nambu-Goto [1] Nguyên lý tác dụng tối thiểu yêu cầu diện tích trang đời phải cực tiểu Hàm tác dụng Nambu-Goto (1.2a) có ý nghĩa hình học rõ ràng nhƣng tính chất phi tuyến, chứa dấu bậc hai tích phân, nên gây khó khăn lƣợng tử hóa Polyakov đề xuất hàm tác dụng sau đây: SP  1 d  L d 4   4   2     X    X  (1.3) đó, metric trang đời   det  ab  d 2 độ đo bất biến, tƣơng tự nhƣ lý thuyết tƣơng đối rộng L dùng để ký hiệu Lagrangian dây Hàm tác dụng Polyakov bất biến phép biến đổi tổng quát, thƣờng đƣợc gọi phép tái tham số hóa hay phép vi phôi (diffeomorphism):  D a   a ,  D X    a  a X  ,  D ab   c c ab   a c cb  b c ac (1.4a) phép biến đổi Weyl:  W ab  2 ab ,  W X   (1.4b) Sử dụng tính bất biến tái tham số hóa bất biến Weyl,  ab đƣợc chọn dƣới dạng “Minkowski”: 1 0  ab  ab     diag 1, 1  1 (1.5) Metric nhƣ đƣợc gọi metric chọn chuẩn bảo giác (conformal gauge) Trong chuẩn bảo giác, với điều kiện biên ban đầu thích hợp, phƣơng trình Euler-Lagrange cho tọa độ X  phƣơng trình “truyền sóng” chiều:   X    2  2  X   - (1.6) Cho dây mở, chọn điều kiện biên Neumann: X '       (1.7) Khi đó, nghiệm phƣơng trình (1.6) có dạng khai triển Fourier: X   x   2 ' p   i 2 '   n ein cos(n ) n0 n (1.8a) Các hệ số không đổi 2, 1/ n khai triển Fourier nghiệm, túy tiện dùng sau Các hệ số  n đƣợc gọi mode dao động hay dao động tử Nghiệm riêng phƣơng trình sóng có dạng hàm mũ với số mũ in tƣơng ứng với hai dao động tử trái phải Điều kiện Neumann kéo theo dao động tử trái phải chúng tạo thành sóng dừng Điều kiện thực kéo theo:  n   n  † Tham số đóng vai trò tọa độ khối tâm dây, dây - Cho dây đóng, chọn điều kiện biên tuần hoàn: X  ( ,  )  X  ( ,    ) (1.8b) xung lƣợng khối tâm (1.9) Hình 3.1 Quan hệ lý thuyết dây khác 3.2 Spinơ Không thời gian D  10 (hoặc 11) chiều Ta ký hiệu tọa độ không thời gian (1 + 9) chiều x A   x0 , x1 , , x9  Trong M-lý thuyết có thêm tọa độ x10 Do lý thuyết siêu dây có chứa siêu hấp dẫn, tensơ metric g AB  g AB  X ,  phụ thuộc vào tọa độ X  Ta chọn số chữ Latin in hoa để đánh số từ đến 10, bốn thành phần đầu đƣợc ký hiệu  , , thành phần sau 3, đƣợc ký hiệu i, k Nhƣ nói phần mở đầu, metric Minkowski (phẳng)  AB  diag 1, 1, , 1 ,   diag 1, 1 Các spinơ hạng I có 2 D/2  25  32 , ký hiệu [D/2] phần nguyên, nhƣ ma trận Dirac cỡ 32  32 (hay gọi cấp 32) Chúng thỏa mãn đại số Clifford:  A ,  B   2 AB (3.1) Và tính Hermitian phản Hermitian:  A†  g AA A   0†   ,  A†   A , A  (3.2) Cách xây dựng ma trận Dirac tổng quát cho chiều D bất kỳ, xem [22], [28] Trƣờng hợp tổng quát là:      1  ,  i    i i (3.3) Trong đó, 1  ma trận đơn vị cỡ 2   2   i ma trận cỡ nhƣ trên, thỏa mãn tính chất giống nhƣ ma trận Pauli:  D 4 /2 D 4 /2  i , k   2ik ,  i†   i 51 (3.4) Trong luận văn này, ta xây dựng ma trận gamma cụ thể cho trƣờng hợp không thời gian D  10 11 chiều Bốn ma trận   bảy ma trận   (   0,1,2,3 ),  ,  ,  dùng để xây dựng ma trận Dirac lại (kể ma trận  11 ) nhƣ sau:   0 0 0      0 0 0   0  0 0    0  0 0          1   0 0  0     0 0  0  0 0 0  0    0 0 0 0        0    0 0  , 5  i         , 6   0         , 7  i 0 0 Trong đó,   ma trận Dirac lý thuyết chiều, 1 thể kiểm tra trực tiếp tính chất nêu (3.4) Các ma trận lại là: 0  0  5       i   0  0 0  0  (3.5) ma trận đơn vị cỡ  Có  0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 5 0 5 0 52                   (3.7) 0  0 0       i  i  0  0 0  0 0  0 5      i   0  0 0  0 0 5 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0  0 0 5 0  0 0 0 0 5 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0  0 0 5 0 0 0  0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 5 0 5 0 0 0  0 0 5   5 0  0     i  i  0  0 0  0 53 0  0 0  0 5   0 0   0  0 0  0 0  5  0                (3.8) (3.9) (3.10)  0 0 0 5     0 0 0 5   0 0 5 0    0 0  0      i  i   0 5 0 0     0 5 0 0   0 0 0 0    0 0 0         10    i           0 0 5 0 0 0 0 5 0 0 0 5 0  0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0  0   0 5   0 5 5 0  5 0  11    i  i  0 0  0 0 0 0  0 0  0   0  0 0  0 0     0  0   0   0     0   0  (3.11) (3.12) (3.13) Ma trận  11 cịn viết:  11  0 9   0  9 10! có vai trò tƣơng tự nhƣ ma trận  lý thuyết Dirac chiều Chúng đƣợc dùng để xác định chirality hạt 1   11  / đƣợc dùng để tạo nên thành phần thuận phải thuận trái spinơ 54 3.3 Lý thuyết dây loại II 3.3.1 Trƣờng vật lý lý thuyết dây loại II Nhƣ trình bày Chƣơng I, trạng thái dây đóng coi tích tensơ trạng thái hai dây mở Vì dây lý thuyết dây loại II đóng, cho nên, cặp đôi điều kiện biên tuần hoàn (điều kiện Ramond) phản tuần hoàn (điều kiện Neveu-Schwarz) cho thành phần tọa độ spinơ, trạng thái dây đóng khu vực với số trƣờng vật lý giống nhau: Ramond Ramond (R-R), Ramond - Neveu-Schwarz (R-NS), Neveu-Schwarz - Ramond (NS-R) Neveu-Schwarz - Neveu-Schwarz (NS-NS) Trong khu vực Ramond, trạng thái chân không spinơ, trạng thái NeveuSchwarz, trạng thái ứng với khơng có kích thích tachyon, vậy, trạng thái chân không tƣơng ứng với mức nghĩa thấp nhất, là b1/2 Việc lý thuyết có trạng thái tachyon mang đến nhiều hệ lụy Một dẫn đến tính khơng bền vững trạng thái chân khơng Tiếp theo gây nên vi phạm siêu đối xứng, vốn cần thiết để xây dựng lý thuyết dây tƣơng tác Để giải vấn đề này, Gliozzi, Scherk Olive đề xuất phƣơng án, áp đặt điều kiện lên trạng thái, trạng thái có số chẵn dao động tử b phải bị loại bỏ Bằng việc này, trạng thái tachyon đƣợc loại bỏ Ta biết rằng, khu vực R không chứa tachyon, cho nên, ta quan tâm đến khu vực NS Ta xét toán tử sau đây, gọi G-chẵn lẻ hay toán tử chiếu GSO: G   1  F bi s bsi   1s 1/ (3.14) Vì F số dao động tử fermion, cho nên, trạng thái có số F chẵn đƣợc gọi G-chẵn trạng thái có F lẻ trạng thái G-lẻ Toán tử chiếu GSO tác dụng lên trạng thái giữ lại trạng thái G-lẻ Trạng thái chân khơng khơng có dao động tử b , bị loại bỏ Đối với khu vực R, tùy thuộc vào chirality trạng thái ta có trạng thái kích thích với tính chẵn lẻ khác Khi đó, ta có hai lý thuyết dây khác tùy thuộc vào tính chẵn lẻ khu vực Ramond cho mode chuyển động phải chuyển động trái dấu hay ngƣợc dấu Trong lý thuyết loại IIB trạng thái thuộc khu vực R có chirality, ta chọn dƣơng Ta ký hiệu chúng  R Trong trƣờng hợp đó, bốn khu vực lý thuyết loại IIB là: 55  R i 1/2 i 1/2 b  b b Bởi  R  R NS NS R  bj1/2  i 1/2 NS (3.14) R NS spinơ 8-thành phần, ta chọn thành phần ngang, cho nên, khu vực có   64 trạng thái vật lý Đối với lý thuyết dây loại IIA, trạng thái thuộc khu vực R trái phải có chirality trái dấu Những trạng thái khơng khối lƣợng phổ là:  R  i 1/2 i 1/2 b  b b R NS NS R  bj1/2  i 1/2 NS (3.15) R NS Nhƣ vậy: Khu vực NS-NS: Trong khu vực cịn có trƣờng vơ hƣớng, gọi dilaton (một trạng thái) Có trƣờng chuẩn diễn tả tensơ phản đối xứng (28 trạng thái), đƣợc coi trƣờng axion, nhƣ chúng trƣờng thành phần siêu hấp dẫn Cuối tensơ hạng hai đối xứng, (35 trạng thái), chúng diễn tả trƣờng hấp dẫn, graviton Khu vực NS-R R-NS: Trong khu vực có chứa spinơ hạng 3, spin 3/2 Đây đƣợc coi trƣờng gravitino (56 trạng thái) Spinơ diễn tả hạt fermion spin ½, đƣợc coi dilatino (8 trạng thái), hạt siêu đồng hành dilaton Trong trƣờng hợp IIB, hai gravitino có chirality, IIA chúng có chirality trái Khu vực R-R: Những trạng thái boson thu đƣợc tích tensơ cặp hai spinơ Majorana-Weyl Trong trƣờng hợp IIA, hai spinơ Majorana-Weyl có chirality trái Trong khu vực có trƣờng chuẩn vectơ (8 trạng thái) Một tensơ phản đối xứng hạng (56 trạng thái) Trạng thái dẫn đến việc tồn Dp-brane với p  Trong trƣờng hợp IIB, hai spinơ Majorana-Weyl có chirality Có trƣờng vô hƣớng trƣờng chuẩn (một trạng thái), tensơ trƣờng chuẩn phẩn đối xứng cấp (28 trạng thái) tensơ trƣờng chuẩn phản đối xứng cấp Nó tensơ cƣờng độ trƣờng chuẩn tự đối ngẫu (35 trạng thái) Một trƣờng vectơ diễn tả tiện lợi dạng vi phân cấp Ví dụ, ta xét không gian vectơ ba chiều Một vectơ A   Ax , Ay , Az    A1 , A2 , A3  tƣơng ứng với dạng vi phân cấp 1: 56   Ax dx  Ay dy  Az dz Khi đó, vi phân ngồi d tốn tử biến dạng vi phân cấp n thành dạng vi phân cấp n  theo quy tắc: Ax A A dx  dx  x dy  dx  x dz  dx x y z Ay Ay Ay  dx  dy  dy  dy  dz  dy x y z A A A  z dx  dz  z dy  dz  z dz  dz x y z đó, tích nêm  phản đối xứng, dx  dx  0, dx  dy  dy  dx Nhƣ d  vậy:  Ay Ax   Az Ay   Ax Az  d       dx  dy    dy  dz    dz  dx y  z  x   z  x  y Đây dạng vi phân cấp hai tƣơng ứng với vectơ rotA Hiển nhiên: d  d   d 2,  Nhƣ vậy, d  , điều nghĩa vi phân ngồi tốn tử nilpoten Hàm số đƣợc gọi dạng vi phân cấp Nó đƣợc gọi  dạng Dạng vi phân cấp 1, đƣợc gọi 1 dạng, dạng vi phân cấp  dạng,… Với ngôn ngữ dạng vi phân, trƣờng chuẩn vectơ 1 dạng, tensơ phản đối xứng vi phân dạng vi phân cấp  dạng Nếu cho vectơ A   A1 , A2 , A3  , đó, tensơ: Bik   ikl Al đó,  ikl ký hiệu Levi-Civita Tensơ Bik phản đối xứng tƣơng ứng với dạng vi phân cấp Cấp n   , với n chiều không gian Tensơ Bik xác định  dạng đƣợc gọi đối ngẫu của 1 dạng Trong trƣờng hợp n  , đối ngẫu  dạng  dạng Trong trƣờng hợp n  , không gian thành phần ngang vectơ không gian 10 chiều,  dạng có đối ngẫu  dạng,  dạng có đối ngẫu  dạng Một dạng vi phân tự đối ngẫu trùng với đối ngẫu Bằng ngơn ngữ dạng vi phân, nội dung trƣờng vật lý lý thuyết dây loại II đƣợc diễn tả nhƣ sau: Siêu dây loại IIA Gồm trƣờng vật lý nhƣ sau: a) Khu vực NS-NS: Những trạng thái không khối lƣợng nằm tensơ cấp 2: 57 L ,R bi ,1/2 bJ1/2 0,0  Aij  x    ij (3.16) Nó thực biểu diễn tensơ nhóm thành phần ngang SO(8) Biểu diễn đƣợc phân tích thành biểu diễn bất khả quy sau đây: - Biểu diễn chiều, trƣờng vơ hƣớng   x   ij  (hạt “dilaton”) - Biểu diễn 28 chiều,  dạng phản đối xứng Bij  x    B ji  x  có  D   D  3  28 chiều (hạt “axion”) - trƣờng tensơ đối xứng không vết Gij  x   G ji  x , Gii  có  D  2 D  1   35 chiều (trƣờng “graviton”) b) Khu vực NS-R: Một vectơ gồm chiral spinơ: L bi ,1/2 0,   i  x  Nó đƣợc phân tích thành: - spinơ chiral spin 1/2:   x    i i  x  có chiều (hạt “dilatino”), - trƣờng có spin 3/2:  i  x  với  i i  x   có  D     56 chiều (hạt “gravitino”) c) Khu vực R-NS: giống nhƣ trên: - dilatino có chiều, - gravitino có 56 chiều Chirality trạng thái trái dấu với chirality trạng thái NS-R d) Khu vực R-R: Là tích spinơ chiral trái với spinơ chiral phải, 8L  8R Cách thức phân tích tích tensơ thành biểu diễn bất khả quy nhóm SO(8) đƣợc thực cách chèn ma trận gamma vào tích chúng:  L  i  i  R k (3.17) Mode trái phải có chirality ngƣợc Vì tất tích vơ hƣớng trạng thái có chirality trái ngƣợc khơng, cho nên, có tích số lẻ ma trận gamma cho đóng góp khác khơng Nếu tích có nhiều ma trận gamma, nhờ đại số Clifford, tích chúng đƣợc biểu diễn thơng qua tổng tích có số ma trận gamma Từ suy ra, 64 trạng thái đƣợc tách thành nhóm trạng thái sau: - trạng thái vectơ  L  i  R  C i  x   chiều, 58 -  dạng phản đối xứng C ijk   L  i  j  k  R có 8   56 chiều 3! Siêu dây loại IIB Ba khu vực giống nhƣ siêu dây loại IIA: – NS-NS: - trƣờng vô hƣớng, -  dạng phản đối xứng Bij  x    B ji  x  ,  35 trƣờng tensơ đối xứng không vết Gij  x   G ji  x  , Gii  ,  35 – NS-R R-NS: (cả hai có chirality): - trƣờng chiral Majorana có spin 1/2  có chiều (dilatino), - trƣờng gravitino  , spin 3/2, có 56 chiều Khu vực R-R khác với trƣờng hợp siêu dây loại IIA : – R-R: Trạng thái 8L  8L chấp nhận dãy gồm số chẵn ma trận gamma, ta có - trƣờng vơ hƣớng, C  x    L  L chiều, - - trƣờng  dạng phản đối xứng C ij  C ji   L  i  j  L  28 - trƣờng  dạng tự đối ngẫu:  8  65  C i1 i4   L  i1  i4  L     35 2 24  59 KẾT LUẬN Trong luận văn này, nhắc lại số kiến thức lý thuyết dây boson, lý thuyết siêu dây vận dụng kiến thức để nghiên cứu lý thuyết dây loại II – hai lăm phƣơng án để mô tả lý thuyết dây Cụ thể, làm đƣợc cơng việc nhƣ sau: Trình bày tổng quan cách hệ thống chặt chẽ khái niệm lý thuyết dây boson, áp dụng lý thuyết siêu đối xứng để xây dựng lý thuyết siêu dây, thu đƣợc phổ khối lƣợng siêu dây chứng minh đƣợc phổ khối siêu dây chứa hạt không khối lƣợng spin tƣơng ứng với hạt graviton tƣơng tác hấp dẫn Áp dụng hình thức luận BRST để lƣợng tử hóa dây thành trƣờng dây Mở rộng khái niệm ma trận   - ma trận Dirac không – thời gian chiều – để xây dựng ma trận Dirac tổng quát cho chiều D  10 (hoặc 11) chiều Các ma trận đƣợc dùng để tạo nên thành phần thuận phải thuận trái spinơ Dựa vào tính chất chirality đƣa vào khái niệm phép chiếu GSO, phân biệt đƣợc lý thuyết dây loại IIA IIB Bằng ngôn ngữ dạng vi phân, mô tả đƣợc trƣờng vật lý lý thuyết dây loại II Bƣớc luận văn thơng qua quan hệ S-đối ngẫu, chí kết hợp chúng, U-đối ngẫu, để xây dựng đƣợc lý thuyết dây khác [F-theory] tiền đề để xây dựng lý thuyết thống [M-theory], thống trƣờng tƣơng tác: điện từ, yếu, mạnh hấp dẫn 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đào Vọng Đức (2007), Các nguyên lý lý thuyết siêu dây lượng tử, Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (2011), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, NXB ĐHQGHN, Hà Nội Phạm Thúc Tuyền (2005-2008), Những giảng siêu đối xứng lý thuyết dây, chƣa xuất Phạm Thúc Tuyền (2007), Lý thuyết hạt bản, NXB ĐHQGHN, Hà Nội Tiếng Anh B.Zwiebach (2004), A First Course in String Theory, Cambridge University Press, Cambridge C.Bachas (1995), “D-brane dynamics”, hep-th/9511043 D.Bailin and A.Love (1994), Supersymmetric gauge field theory and string theory, Institute of Physics Publishing, Bristol Dr David Tong (2009), String Theory, Cambridge University Press, Cambridge E.S.Fradkin and A.A.Tseytlin (1985), Effective field theory from quantized strings, Phys.Lett.B158, 316 10 E.S.Fradkin and A.A.Tseytlin (1985), Effective action approach to superstring theory, Phys.Lett.B160B, 69 11 E.S.Fradkin and A.A.Tseytlin (1985), Non – linear electrodynamics from quantized string, Phys.Lett.163B,123 12 E.Witten (1995), “Bound states of string and p – branes”, hep-th/9510135 13 F.Gliozzi, J.Scherk, and D.Olive (1977), Supersymmetry, Supergravity Theories and The Dual Spinor, Nucl.Phys.B122, 253 14 J Polchinski (1998), String Theory, Cambridge University Press, Cambridge 15 J.Wess and B.Zumino (1974), Supergauge transformations in four dimensions, Nucl.Phys.B70 16 J.Wess and J.Bagger (1992), Supersymmetry and Supergravity, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 17 Katrin Becker, Melanic Becker, and John Schwarz (2007), String Theory And M – Theory, Cambridge University Press, Cambridge 18 L.Ryder (1996), Quantum Field Theory, Cambridge University Press 19 M.Kaku (1989), Introduction to superstring theory, World Scientific 61 20 M.Kaku (1993), Quantum field theory – A modern introduction, Oxford University Press 21 Michael Dine (2007), Supersymmetry And String Theory Beyond the Standard Model, Cambridge University Press, Cambridge 22 M Green, J Schawarz and E Witten (1987), Superstring Theory,Cambridge University Press, Cambridge 23 P Di Francesco, P Mathieu and D Sénéchal (1997), Conformal Field Theory,Springer 24 Robert M.Wald (1984), General Relativity,The University of Chicago Press, Chicago and London 25 R.H.Dijkgraaf, E.P.Verlinde, and H.L.Verlinde (1997), “Matrix string theory”,hep-th/9703030 26 Wigner, E.P (1939), Annals of Mathematics, 40,149 27 ’t Hooft, G (1974), A planar diagram theory for strong interactions Nucl Phys, B72, 461 28 ’t Hooft, G (1993), Dimensional reduction in quantum gravity, In Salamfest pp 284-296 Singapore: World Scientific E-print gr –qc/9310026 62 PHỤ LỤC Lý thuyết tƣơng đối rộng Thuyết tƣơng đối rộng Einstein đƣợc xây dựng cho toàn vũ trụ, nguyên lý bất biến tổng quát khẳng định rằng, trình vật lý diễn nhƣ hệ quy chiếu, phƣơng trình vật lý phải tuân theo phép biến đổi tổng quát (1.1)    x  x '  f ( x) Biến đổi Lorentz: x '  v xv  a  (1.2) Chỉ trƣờng hợp đặc biệt phép biến đổi tổng quát Lý thuyết tƣơng đối rộng xây dựng phần đặc trƣng cho tồn khơng - thời gian, phần phân bố vật chất, hai thành phần tƣơng đƣơng nhau, điều có nghĩa phân bố vật chất khơng – thời gian có ảnh hƣởng đến khơng – thời gian Khối lƣợng qn tính mơ tả chống lại lực – khối lƣợng quán tính lớn lực nhỏ Khối lƣợng hấp dẫn sinh lực hấp dẫn Khối lƣợng quán tính chống lại gia tốc, khối lƣợng qn tính khối lƣợng hấp dẫn, lực hấp dẫn bị triệt tiêu, hấp dẫn tƣơng đƣơng với phi qn tính Để mơ tả tƣơng quan hai hệ quy chiếu, ngƣời ta đƣa vào “hệ số liên thông” “ký hiệu Christoffel”: (1.3)      v ( x ')  x ' x x x  x '  v  ( x)  v    x x ' x ' x ' x x Hệ số liên thông (1.3) đƣợc biểu diễn thông qua tensơ metrix g v ( x) : v ( x)   g ( v g   gv    gv ) (1.4) Từ hệ số liên thông (1.4) ta xây dựng tensơ độ cong không – thời gian:  Rv  v     v   v  v  (1.5) Đƣợc gọi tensơ động cong Rimann Từ nguyên lý tác dụng tối thiểu ta suy phƣơng trình Einstein: g v R  Rv  8 T(v ) (1.6) Trong phƣơng trình ta thấy rằng, bên mơ tả hình học (độ cong khơng – thời gian) bên mơ tả phân bố vật chất, thể động lực học đƣợc mơ tả theo hình học 63 Cohomology homology - Cohomology: Xét đối tƣợng mô tả tƣơng tác dƣới dạng vi phân Ví dụ; lý thuyết điện động lực học lƣợng tử (QED), đƣợc mô tả trƣờng A , trƣờng khơng có ý nghĩa vật lý Để diễn tả tƣờng minh tính bất biến Lorentz, ngƣời ta thƣờng viết phƣơng trình Maxwell thơng qua tensơ điện từ trƣờng: (2.1) v  v v    A  A F Tensơ có dạng vi phân bậc 1, ta có phƣơng trình Maxwell: (2.2)   F v  Từ ta thấy đối tƣợng dạng vi phân, biến đổi qua có dạng:   , đƣợc gọi Cohomology Cohomology quy tắc gán đối tƣợng đƣợc gọi bất biến đại số (tô pô) cho đối tƣợng trừu tƣợng liên quan đến   - Homology: Ta có nhiều tập hợp, phải tìm đặc trƣng đại số gán cho chúng để phân biệt chúng Và đặc trƣng đại số liên quan đến d  Homology có liên quan đến mối liên hệ lấy biên tập hợp (biên biên khơng) - Ta có: tập hợp đóng tập hợp có biên khơng, tập hợp có dạng biên tập hợp khác Chúng đối ngẫu Siêu đối xứng Siêu đối xứng (SUSY) chủ đề đƣợc ý nhà vật lý học toán học Nó khơng hấp dẫn kết đẹp đẽ, mà cịn đƣợc tin tƣởng ngun tắc vật lý hạt Sự tin tƣởng vào kết nghiên cứu Haag, Sohnius Lopuszanski Họ chứng minh đƣợc đại số siêu đối xứng lớp đại số Lie siêu đối xứng S-ma trận, kết tƣơng đối phù hợp với lý thuyết trƣờng lƣợng tử Ta có biểu diễn đại số siêu đối xứng nhƣ sau: Q   2 P  Q , Q   Q , Q    P , Q   P , Q   A  A  , Q B B   m A A m   A  m B  m B A 64   (3.1)  Pm , Pn   Các số Hy Lạp (  ,  , ,  ,  ) chạy từ đến 2, ký hiệu cho hai thành phần spinơ Weyl Các số Latin (m,n,…) chạy từ đến 4, dùng để bốn vectơ Lorentz Các số viết hoa (A,B,…) đề cập đến nội không gian, chúng chạy từ đến N, N  Đại số với N  đƣợc gọi đại số siêu đối xứng, N  đƣợc gọi đại số siêu đối xứng mở rộng Siêu đối xứng trang đời, bên cạnh tọa độ bosonic X  ( ,  ) , ngƣời ta đƣa thêm vào siêu đồng hành chúng, tọa độ fermionic   ( ,  ) Đó spinơ hai thành phần trang đời đại lƣợng phản giao hoán Siêu đối xứng trang đời liên hệ hai loại tọa độ nói thơng qua phép biến đổi trộn lẫn tọa độ bosonic tọa độ fermionic: A (3.2) X   X '     A   A  ' A   A  i X (    ) A    Phép biến đổi kiểu đƣợc gọi phép biến đổi siêu đối xứng 65 ... mặt khác lý thuyết dây thống gọi M – theory Trong lý thuyết siêu dây loại I dây siêu dây mở, lý thuyết siêu dây cịn lại, có siêu dây loại II, siêu dây đóng Tuy nhiên, siêu dây loại II tồn dây mở... lý thuyết siêu dây có năm phƣơng án để mô tả lý thuyết trƣờng siêu dây Đó là: lý thuyết dây loại I, lý thuyết dây IIA, lý thuyết dây IIB, lý thuyết dây lai (heterotic): HO với nhóm chuẩn E8 ... luận văn gồm có chƣơng, cụ thể: Chƣơng 1: Cơ sở lý thuyết dây Chƣơng 2: Trƣờng dây Chƣơng 3: Lý thuyết dây loại II CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT DÂY 1.1 Cơ sở lý thuyết cổ điển dây boson Trong lý thuyết