Các dạng bài tập VDC mặt cầu, mặt trụ, mặt nón

CHƯƠNG 2: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU BÀI 1: MẶT NĨN A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM MẶT NĨN TRỊN XOAY Trong mặt phẳng  P  Cho hai đường thẳng Δ  cắt O tạo thành góc  với 0    90 Khi quay mặt phẳng  P  xung quanh Δ đường thẳng  sinh mặt trịn xoay đỉnh O gọi mặt nón trịn xoay (hay đơn giản mặt nón) Khi đó:  Đường thẳng Δ gọi trục mặt nón  Đường thẳng  gọi đường sinh mặt nón  Góc 2 gọi góc đỉnh mặt nón Nhận xét: Nếu M điểm tùy ý mặt nón N  khác với điểm O đường thẳng OM đường sinh mặt nón HÌNH NĨN TRỊN XOAY Cho OIM vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình, gọi hình nón trịn xoay (gọi tắt hình nón) Khi đó:  Đường thẳng OI gọi trục, O đỉnh, OI gọi Chú ý: Nếu cắt mặt nón  N  hai mặt đường cao OM gọi đường sinh hình nón  Hình trịn tâm I, bán kính r  IM đáy hình nón phẳng song song  P  Q  với  P qua O vng góc với  phần mặt nón  N  giới hạn hai mặt phẳng  P   Q  hình trịn giao tuyến  Q  mặt nón  N  hình nón KHỐI NĨN TRỊN XOAY Phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình ta gọi khối nón trịn xoay hay ngắn gọn khối nón Các khái niệm tương tự hình nón Xét khối nón có hình biểu diễn hình bên ta có Chú ý: Vẽ hình biểu diễn hình nón hay khối nón ta thường vẽ hình bên nhận xét: - Nếu mp  P  chứa OI thiết diện mp  P  khối nón hình tam giác cân O - Nếu mp  P  vng góc với OI (khơng chứa O) thiết diện mp  P  khối nón (nếu có) hình trịn Hình trịn thiết diện có diện tích lớn mp  P  qua I CƠNG THỨC CẦN NHỚ Hình nón có chiều cao h, bán kính đáy r độ dài đường sinh  có: - Diện tích xung quanh: S xq  r - Diện tích đáy (hình trịn): S ht  r - Diện tích tồn phần: Stp  r   r 1 - Thể tích khối nón: V  S ht h  r h 3 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA MẶT NÓN MẶT NÓN TRÒN XOAY Trong mặt phẳng  P  Cho hai đường thẳng Δ  cắt O tạo thành góc  Khi quay mặt phẳng  P  xung quanh Δ đường thẳng  sinh mặt tròn xoay đỉnh O gọi mặt nón trịn xoay HÌNH NĨN TRỊN XOAY Cho OMI vng I quay quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình, gọi hình nón trịn xoay KHỐI NĨN TRỊN XOAY Phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình ta gọi khối nón trịn xoay hay ngắn gọn khối nón CÁC CƠNG THỨC S xq  r  Diện tích xung quanh S ht  r Diện tích đáy Diện tích tồn phần Thể tích Stp  r   r 1 V  S ht h  r h 3 B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, độ dài đường sinh, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện hình nón Phương pháp giải Nắm vững cơng thức diện tích xung Ví dụ: Tính diện tích xung quanh khối nón quanh, diện tích tồn phần, diện tích đáy có thiết diện qua trục tam giác vuông cân Biết sử dụng kết phần kiến thức diện tích 2? quan hệ song song, quan hệ vng góc, A S  2 B S  4 hệ thức lượng tam giác… để áp dụng C S  2 D S  2 vào tính tốn Hướng dẫn giải Tam giác OAB vng cân diện tích  OA2  2  OA  OB  AB  22  22  2 hR AB  2 Suy S xq   2.2  2 Chọn A Bài tập Bài tập 1: Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác cạnh 2a Tính diện tích tồn phần hình nón A 6a B 24a C 3a D 12a Hướng dẫn giải Chọn C Ta có h  2a  a 3,   2a, r  a Diện tích tồn phần hình nón Stp  r   r  .a.2a  .a  3a Bài tập 2: Cho hình nón có đường sinh đường kính đáy, diện tích đáy hình nón 9 Độ dài đường cao hình nón Lưu ý: Diện tích tam giác cạnh x là: S  x2 độ dài chiều cao là: h x Ở toán x  2a A 3 B C D Hướng dẫn giải Chọn A Gọi r , , h bán kính đường trịn đáy, đường sinh, chiều cao hình nón cho r  9 r  nên  Theo giả thiết ta có    r     Lại có h    r h  36   3 Bài tập 3: Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng có cạnh góc vng Mặt phẳng    qua đỉnh S hình nón cắt đường trịn đáy M, N Tính diện tích tam giác SMN, biết góc    đáy hình nón 60 A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Gọi O tâm đường tròn đáy, H trung điểm Lưu ý: Tam giác SMN tam MN giác cân S Ta có MN giao tuyến đường tròn đáy SM  SN  mặt phẳng    , lại có OH  MN , SH  MN Do góc  đáy hình nón   60 SHO Vì thiết diện qua trục hình nón tam giác vng có cạnh góc vng  SO  Xét SOH vuông O có sin 60  SO SO  SH   sin 60 SH  6 Khi MN  SN  SH        2 Vậy diện tích tam giác SMN S SMN  1 SH MN   2 3 Bài tập 4: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A B hai điểm thuộc đường tròn đáy cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SAB  a   30 , SAB   60 Độ dài đường sinh hình nón theo a SAO A a B a C 2a D a Hướng dẫn giải Chọn A Gọi I trung điểm AB, dựng OH  SI Ta có OH  a   60 nên tam giác SAB Do SAB Lưu ý: Suy SA  SB  AB  Ta có: OH  SI (1) Mặt khác  AB  OI  AB   SOI    AB  SI   30  SO  SA.sin 30  SA SAO  AB  OH (2) SA OA  SA.cos 30  Từ (1) (2) suy ra: OH   SAB  , Xét tam giác SOI ta có 1 1 1       2 2 2 OH OS OI OS OA  AI    SA   2   SA     SA  2   2   d  O;  SAB    OH  Có thể đặt SA  x a   SA  OH  6a 2 OH SA Bài tập 5: Cho hình nón đỉnh S, đáy đường trịn tâm O bán kính 2a độ dài đường sinh a Mặt phẳng  P  qua đỉnh S cắt hình   nón theo thiết diện tam giác có chu vi  a Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng  P  A d  d a a B d  a D d  a C Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử thiết diện tam giác SAB, ta có Do: 1   2 OH OE OS   SA  SB  AB   a  OH    OS OE OS  OE  a  a  AB   a  AB  2a Gọi E trung điểm AB, ta có AB  SE , mặt khác AB  SO nên AB   SOE  Kẻ OH  SE H, ( H  SE ) Ta thấy OH  AB OH   SOE   OH   SAB  Vậy khoảng cách từ S đến  P  OH (hay d  O;  P    OH ) EB  AB  a, OB  R  2a, OE  OB  EB  4a  a  a SO  SB  OB  5a  4a  a , OH  OS OE OS  OE Vậy d  2  a.a a  3a 2  a a Bài tập 6: Cho hình nón trịn xoay nằm hai mặt phẳng song song P  Q  hình vẽ Kẻ đường cao SO hình nón gọi I trung điểm SO Lấy M   P  , N   Q  , MN  a qua I cắt mặt nón E F đồng thời tạo với SO góc  Biết góc đường cao đường sinh hình nón 45 Độ dài đoạn EF A EF  2a C EF  a tan 2 a B EF   tan 2 D EF  2a tan 2 Hướng dẫn giải Chọn B Lưu ý: S SFI  S SEI  S SFE (*) S SFI  SF SI sin 45 S SEI  SE.SI sin 45 S SFE  SF SE.sin 90 Xét tam giác NIO có OI  NI cos   a a cos , NO  NI sin   sin  2 Xét tam giác SEF vng S có   ESM   SME   45  90    135   SEF   SE.tan 135     SE  tan  SF  SE.tan SEF tan    nên Vì SI độ dài đường phân giác góc FSE SI  SE tan 135    SE.SF a  cos   SE  SF  tan 135      tan   a 1  cos  tan    a sin    SE    tan  1  tan   2 tan   Do EF  SE SE a sin  a     tan 2  cos SEF cos 135    1  tan    cos   sin   Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 60 Tính diện tích xung quanh S xq hình nón đỉnh S, có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A S xq  a B S xq  a 10 C S xq  a D S xq  a Hướng dẫn giải Chọn D Gọi O tâm tam giác ABC, SO   ABC  Hình nón đỉnh S, có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có đường sinh SA, bán kính đường tròn đáy OA Gọi H trung điểm BC   60  SBC  ;  ABC    SHO  Tam giác ABC O tâm tam giác nên OH  1 a a AH   ; 3 OA  a AH  3 Thay vào (*) ta SI  SE.SF SE  SF   60 nên Tam giác SOH vuông O có SHO SO  OH tan 60  a a 3 Tam giác SOA vuông O nên SA  SO  OA2  a 3a a 21   Diện tích xung quanh hình nón S xq  r   .OA.SA   a a 21 a  6 Dạng 2: Tính thể tích khối nón, tốn cực trị Phương pháp Ví dụ: Cho hình nón có góc đỉnh 60 , diện tích xung quanh 6a Thể tích V khối nón cho A V  3a C V  3a B V  a D V  a Hướng dẫn giải Nhìn vào cơng thức tính thể tích khối nón Chọn C 1 Vn  S ht h  r h 3 ta thấy cần xác định chiều cao diện tích đáy (bán kính đáy) khối nón Đối với tốn cực trị ta thường tính tốn 1 Thể tích V  R h  .OA2 SO 3 vào biến sau dùng đánh giá (sử ASB  60   ASO  30 dụng bất đẳng thức, khảo sát hàm số…) Ta có  đưa đại lượng cần tìm cực trị phụ thuộc để tìm kết  tan 30  OA   SO  OA SO Lại có S xq  R  .OA.SA  OA OA2  SO  6a  OA OA2  3OA2  6a  2OA2  6a  OA  a  SO  3a  V  .3a 3a  3a Bài tập Bài tập 1: Cho tam giác ABC có  ABC  45,  ACB  30, AB  Quay tam giác ABC xung quanh cạnh BC ta khối trịn xoay tích V A V  C V    1  B V    1  D V    1  24   1  Hướng dẫn giải Lưu ý: V tổng Chọn B Ta tích hai khối AB AC BC   sin 30 sin 45 sin105 nón: Khối nón có chiều cao BH đường sinh AB  AC    5    BC  sin  12 cao CH đường sinh Gọi H chân đường cao kẻ từ đỉnh A AC khối nón có chiều Ta có AH BC  AB AC.sin105  AH  Suy thể tích khối trịn xoay cần tìm    1 1 V  AH BH  AH CH  AH BC  24 3 Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Hình nón  N  có đỉnh A đường tròn đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Thể tích V khối nón  N  A V   3a 27 B V  6a 27 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi O tâm tam giác BCD Ta có AO  h, OC  r a a r  3 C V   6a D V   6a 27 Bài tập Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  , tam giác ABC vuông B Biết SA  4a, AB  2a, BC  4a Bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A 3a B 2a C a D 6a Hướng dẫn giải  BC  AB Ta có   BC   SAB   BC  SB  BC  SA  SA   ABC   SA   ABC   SA  AC Suy hai điểm A, B nhìn SC góc vng Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC trung điểm SC, bán kính SC mặt cầu R  Ta có AC  AB  BC  4a  16a  20a  SC  SA2  AC  16a  20a  6a   / / BD  BD / / EF Vậy R  3a   SBD      EF Chọn A Bài tập 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông B, AC  a 3,  ACB  30o Góc đường thẳng AB' mặt phẳng (ABC) 60° Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC A a 21 B a 21 C 3a D a 21 Hướng dẫn giải Trong tam giác vng ABC có AB  AC.sin 30o  a Vì AB   ABC    A hình chiếu B lên mặt phẳng (ABC) B nên góc đường thẳng AB' mặt phẳng (ABC) góc hai  AB (vì tam giác AB'B vuông đường thẳng AB' AB, góc B  AB  60o B) Do B Trong tam giác vng AB'B có BB  AB.tan 60o  a 3a tan 60o  2 Trong tam giác vng AA'C có  3a  AC  AA2  AC        3a   21 a ABC  90o Mà Ta có BC  AB BC  AA nên BC   ABBA  , suy BC  AB hay   AAC  90o , suy hai điểm A, B nhìn A'C góc vng Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC R  AC 21  a Chọn A Bài tập Cho hình chóp S.ABC có đáy hình vng cạnh a, SA  a vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng () qua A M đồng thời song song với đường thẳng BD cắt SB, SD E, F Bán kính mặt cầu qua điểm S, A, E, M, F nhận giá trị sau đây? A a B a C a D a Hướng dẫn giải Gọi I giao điểm AM SO Dễ thấy I trọng tâm tam giác SAC I, E, F thẳng hàng Lại có SF SI 2    SF  SD SD SO 3 2 SD   SA2  AD   2a 3  SF SD  SA  SF SD  Xét tam giác vng SAD có SF SD  SA2  AF đường cao tam giác AF  SF Chứng minh tương tự ta có AE  SB Tam giác SA  AC  a nên AM vừa trung tuyến vừa đường cao tam giác AM  SC  AM  SM  Ta có  AF  SF nên mặt cầu qua điểm S, A, E, M, F có tâm trung điểm SA bán kính  AE  SE  SA a  2 Chọn C Chú ý: Ta làm sau Do EF      SBD    / / BD nên EF / / BD Ta có BD  AC , BD  SA  BD   SAC   EF   SAC   EF  SC Tam giác SAC có SA  AC  a nên AM  SC Do SC   AMEF   SC  AE 1 Lại có BC  AB, BC  SA nên BC   SAB   BC  AE  2 Từ (1) (2) suy AE   SBC   AE  SB Chứng minh tương tự, ta AF  SD Từ đây, suy kết cách bên Cách Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện giao điểm trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy mặt phẳng trung trực cạnh bên Chú ý: Trong khuôn khổ tập thường xoay quanh hình chóp, hình lăng trụ nên đa giác đáy ta nói đến đáy hình chóp hay hình lăng trụ Bài tập Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 60° Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu (S) A 32 a 81 B 32 a 77 C 64 a 77 D 72 a 39 Hướng dẫn giải Gọi H tâm tam giác ABC, SH trục đường tròn ngoại tiếp ABC, mặt phẳng trung trực SA qua E trung điểm SA cắt SH I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Xét tam giác SAH ta có SH  AH.tan 60o  a SH 2a  tan 60o  a; SA  o sin 60 Xét hai tam giác đồng dạng SEI SHA 2a 2a SI SE SA.SE 3  2a Ta có   SI   SA SH SH a R 2a 3  2a  32 a Suy thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu (S)       81 Chọn A Bài tập Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có tất cạnh a A 7 a B 7 a C 7 a Hướng dẫn giải Gọi O1, O2 tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ  O1O2 trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy Gọi I trung điểm O1O2  IA  IB  IC  IA  IB  IC  Suy trung điểm I O1O2 tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ Bán kính D 3 a 2 a 3 a OO  R  IA  AO  IO  AO           a  12   3  2 2 2 2 2 Do diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có tất cạnh a   7 a S  4 R  4  a    12  Chọn B Lưu ý: Mặt phẳng trung trực cạnh bên cắt O1O2 I trung điểm O1O2 Bài tập Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) AB  2, AC  4, SA  Mặt cầu qua đỉnh hình chóp S.ABC có bán kính A R  25 B R  C R  D R  10 Hướng dẫn giải Gọi M, H trung điểm BC, SA Ta có tam giác ABC vng A suy A tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Qua M kẻ đường thẳng d cho d   ABC   d trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong mặt phẳng kẻ đường trung trực  đoạn SA, cắt d I  IA  IB  IC   IA  IB  IC  IS  IA  IS  I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Dễ thấy tứ giác HAMI hình chữ nhật Ta có 1 BC   42  5, 2 IM  SA  2 AM  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC R  AI  AM  IM   5  Chọn B Lưu ý: thay mặt phẳng trung trực SA đường trung trực SA xét mặt phẳng (SAM) Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A a B a C a Hướng dẫn giải D 2a Gọi O tâm hình vng ABCD  SO   ABCD  Vậy SO trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Trong (SAC) gọi (d) trung trực SA I giao điểm (d) với SO  I   SO   IA  IB  IC  ID    IA  IS  I   d   IA  IB  IC  ID  IS Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bán kính mặt cầu R  SA2 SA2   SO SA2  AO a2 a 2 a      a 2 Chọn C Bài tập Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, mặt bên tạo với đáy góc 60° Diện tích Smc mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A S mc  25 a B S mc  32 a C S mc  8 a D S mc  a2 12 Hướng dẫn giải Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy SO Mặt phẳng trung trực SB cắt SO I, cắt SB K I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp   60o Gọi H trung điểm BC SHO Xét tam giác vng SHO, ta có tan 60o  SO  SO  a OH Từ suy SB  SO  OB  3a  2a  a Ta có SKI ∽ SOB  g g  SK SI SK SB    SI   SI  SO SB SO a  5a  5a a a Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S mc 75a 25 a  4 R  4  36 Chọn A Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a 2, cạnh bên 2a Gọi M, N, P, Q trung điểm SA, SB, SC, SD Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ABCDMNPQ A R  a B R  a C R  a D R  a 10 Hướng dẫn giải Ta có  ABCD  / /  MNPQ  Gọi O  AC  BD Mà S.ABCD hình chóp tứ giác nên SO   ABCD  Nên SO trục hai đáy (ABCD) (MNPQ) Trong mặt phẳng (SAO) kẻ đường trung trực d đoạn thẳng AM cắt SA, SO H, I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCDMNPQ bán kính IA Ta có SA  SB  SC  SD  2a AB  BC  CD  DA  a Lại có SH  3 3a a  HA  SA  SA  2a  4  AC  AB  2a  AO  a  SO  SA2  AO  a 3a HI SH OA.SH 3a Mặt khác SHI ∽ SOA  g g     HI    OA SO SO a a  a   a 2 Bán kính mặt cầu cần tìm R  AI  HI  HA        a   2 2 Chọn B Cách Dựa vào trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy trục đường tròn ngoại tiếp mặt bên Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  2a, BC  a, hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm H AD, SH  a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bao nhiêu? A 16 a B 16 a C 4 a D 4 a Hướng dẫn giải Gọi I giao điểm AC BC, qua I dựng đương thẳng d song song với SH  d   ABCD  Gọi M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD, qua M kẻ đường thẳng d' vng góc với mp(SAD), d' cắt d O  O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bán kính R  OS  MO  MS Với OM  IH  AB  a, MS  r (r bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB) Lại có, SAD cân A, cạnh AD  a, đường cao SH  a suy tam giác SAD r  AM  a 4a (R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình SH   R2  3 chóp S.ABCD) Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD S  4 R  16 a Chọn A Bài tập Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  Gọi M, N hình chiếu A SB,    , BC  a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN SC Biết BAC A  a2 cos  B  a2 sin  C 4 a2 cos  D 4 a2 sin  Hướng dẫn giải +) Gọi K, P trung điểm AC AB ACN vuông N  K tâm đường trịn ngoại tiếp ACN ABM vng M  P tâm đường tròn ngoại tiếp ABM +) Hai mặt phẳng (SAB), (ABC) vng góc cắt theo giao tuyến AB nên gọi d1 trục đường trịn ngoại tiếp ABM d1 qua P, d1   ABC  d1  AB Tương tự, gọi d2 trục đường trịn ngoại tiếp ACN d2 qua K , d   ABC  d  AC +) Rõ ràng, mặt phẳng (ABC) d1d2 đường trung trực cạch AB, AC nên hai đường cắt tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN tâm đường trịn ngoại tiếp ABC, bán kính R mặt cầu bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC +) Áp dụng định lí sin cho ABC ta R  BC a  2sin A 2sin  Vây diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN S  4 R   a2 sin  Chọn B Lưu ý: Cách 2: Vẽ đường kính AE đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Khi A, M, N, B, C nhìn AE góc 90° Áp dụng định lí sin cho ABC ta R BC a  2sin A 2sin  Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN S  4 R   a2 sin  Dạng Mặt cầu nội tiếp khối đa diện Mặt cầu nội tiếp khối đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt khối đa diện Phương pháp giải Xác định hiểu rõ khoảng cách từ tâm mặt cầu nội tiếp khối đa diện tới mặt khối đa diện bán kính mặt cầu nội tiếp khối đa diện Từ tính bán kính, diện tích xung quanh mặt cầu, thể tích khối cầu giải tốn liên quan Ví dụ: Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh A  12 B  C 2 D  Hướng dẫn giải Khối cầu nội tiếp hình lập phương có tâm trùng với tâm hình lập phương tiếp xúc với mặt hình lập phương tâm hình vng mặt hình lập phương Suy bán kính R  4 1  Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương V   R      3 2 Chọn D Bài tập mẫu Bài tập Cho hình lập phương tích 64a3 Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương A V  64 a B V  8 a3 C V  32 a D V  16 a Hướng dẫn giải Hình lập phương tích 64a , suy cạnh hình lập phương 4a Khối cầu nội tiếp hình lập phương có bán kính cạnh hình lập phương  R  2a 32 a Vậy V   R  3 Chọn C Bài tập Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, AB  8, BC  Biết SA  SA vng góc với mp(ABC) Tính thể tích khối cầu có tâm thuộc phần khơng gian bên hình chóp tiếp xúc với tất mặt hình chóp S.ABC A 16  B 625  81 C 256  81 D 25  Hướng dẫn giải Gọi I r tâm bán kính hình cầu tiếp xúc với tất mặt hình chóp S.ABC Khi r.S VS ABC  VI ABC  VI SBC  VI SAB  VI SAC  r  S ABC  S SAB  S SBC  S SAC   TP 3 3V  r  S ABC STP 1 VS ABC  SA.SABC  .8.6  48; 3 S ABC  S SAB  24; S SBC  S SAC  30  STP  108 Vậy r  3VS ABC 3.48 4 256    Vmc   r   STP 108 3 81 Chọn C Dạng Bài toán cực trị Phương pháp giải Tương tự toán cực trị hình nón, hình trụ ta thường đánh giá trực tiếp dựa vào hình biểu diễn hay quy đại lượng cần tìm cực trị phụ thuộc vào yếu tố sau đánh giá tìm đáp án Ví dụ: Cho mặt cầu bán kính R  5cm Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có chu vi 8cm Bốn điểm A, B, C, D thay đổi cho A, B, C thuộc đường tròn (C), điểm D thuộc  S   D   C   tam giác ABC Thể tích lớn tứ diện ABCD A 20 3cm3 B 32 3cm3 C 60 3cm3 D 96 3cm3 Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu D mặt phẳng (P) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có chu vi 8cm Suy bán kính đường tròn R  8   cm  2 Suy cạnh tam giác ABC  cm  Suy S ABC 4 3   12  cm  khơng đổi Do thể tích khối tứ diện ABCD lớn d  D,  ABC   lớn  D O nằm phía SO với mặt phẳng (P) D, O, H thẳng hàng  DH  DO  OH  DO  OA2  AH   25  16  Khi Vmax  12 3.8  32  cm3  Chọn B Bài tập mẫu Bài tập Cho hai mặt cầu  S1  ,  S  có tâm I bán kính 10 Các điểm A, B thay đổi thuộc  S1  C, D thay đổi thuộc  S  cho có tứ diện ABCD Khi thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn khoảng cách hai đường thẳng AB CD A 10 B C D Hướng dẫn giải Để có tứ diện ABCD AB CD không đồng phẳng Gọi R1, R2 bán kính mặt cầu  S1   S   R1  2; R2  10 Gọi K trung điểm CD h khoảng cách hai đường thẳng AB CD Ta CD  2CK , AB  R1  4,sin  AB, CD   Thể tích khối tứ diện ABCD VABCD  1 AB.CD.sin  AB, CD  d  AB, CD   4.CD.h 6 Co  si  4 h  CK  IK  CK 3 Xét ICK vng K có IK  CK  CI  R22 Khi VABCD  4 R2  10 3  AB  CD  Dấu “=” xảy   AB   h  IK  CK  Chọn C Bài tập 2: Cho tam giác ABC cạnh a, đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi S điểm thay đổi đường thẳng d, H trực tâm tam giác SBC Biết S thay đổi đường thẳng d điểm H nằm đường (C) Trong số mặt cầu chứa đường (C), bán kính mặt cầu nhỏ A a B a C a 12 D a Hướng dẫn giải Gọi M trung điểm BC suy AM  BC ; SM  BC Gọi AM  G trọng tâm tam giác ABC, a a a2 ; MG  MA  suy MG.MA  tam giác ABC cạnh a nên Mặt khác H trực tâm tam giác SBC nên tam giác BMH tam giác SMC hai tam giác đồng dạng nên BM MH a2   MH MS  BM MC  SM MC MH MA nên tam giác MHG tam  MG MS giác MAS đồng dạng suy GH  SM Do MH MS  MG.MA hay Vì H thuộc (SAM) cố định S thay đổi d GH  SM nên (C) phần đường tròn đường kính GM mặt cầu chứa (C), mặt cầu có bán kính nhỏ mặt cầu nhận GM làm đường kính nên bán kính mặt cầu R GM a  12 Chọn C Dạng Bài toán thực tế Phương pháp giải Nắm vững kiến thức dạng toán để giải toán thực tế liên quan đến mặt cầu EV0   33  36  cm3  Bài tập: Người ta thả viên bi có dạng hình cầu với bán kính 3cm vào ly dạng hình trụ chứa nước Người ta thấy viên bi chìm xuống đáy ly chiều cao mực nước dâng lên thêm 1cm Biết chiều cao mực nước ban đầu ly 7,5cm Tính thể tích V khối nước ban đầu ly (kết lấy xấp xỉ) A V  282, 74cm3 B V  848, 23cm3 C V  636,17cm3 D V  1272,35cm3 Hướng dẫn giải Gọi V0 thể tích viên bi Gọi R bán kính ly (khơng tính vỏ) Theo ta tích cột nước dâng lên 1cm thể tích viên bi nên ta có  R  36  R   cm  Suy thể tích V khối nước ban đầu ly  R h   36.7,5  848, 23  cm3  Chọn B Bài tập mẫu Bài tập 1: Cho ba hình cầu tiếp xúc ngồi với đơi tiếp xúc với mặt phẳng Các tiếp điểm hình cầu mặt phẳng lập thành tam giác có cạnh 4, Tích bán kính ba hình cầu A 12 B C Hướng dẫn giải D Gọi  O , r1  ,  O2 , r2  ,  O3 , r3  hình cầu thỏa mãn Gọi A, B, C hình chiếu O1; O2; O3 mặt phẳng Giả sử AB  4, BC  2, AC  Ta có O1 A  r1 ; O2 B  r2 ; O3C  r3 ; O1O2  r1  r2 ; O2O3  r2  r3 ; O3O1  r3  r1 Kẻ O1 H  BO2  H  BO2   BH  r1 ; O2 H  r2  r1 Theo định lý Py-ta-go ta có O1O2  O1 H  O2 H   r1  r2   AB   r2  r1   r1r2  Tương tự ta có r2 r3  Vậy r1r2 r3  AB BC AC ; r3r1  4 AB BC 2CA2  64 Chọn B Bài tập Cho địa cầu có độ dài đường kinh tuyến 30° Đơng 40cm (tham khảo hình vẽ) Độ dài đường xích đạo là: A 40 3 cm B 40 cm C 80 cm D 80 cm Hướng dẫn giải Đường xích đạo đường vĩ tuyến lớn Độ dài đường xích đạo gấp hai lần đường kinh tuyến 30° Đơng Vậy độ dài đường xích đạo là: 2.40  80  cm  Chọn C Bài tập Quả bóng đá dùng thi đấu giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi thiết diện qua tâm 68,5cm Quả bóng ghép nối miếng da hình lục giác màu trắng đen, miếng có diện tích 49,83cm2 Hỏi cần miếng da để làm bóng trên? A  40 (miếng da) B  20 (miếng da) C  35 (miếng da) D  30 (miếng da) Hướng dẫn giải Vì thiết diện qua tâm đường trịn có chu vi 68,5cm, nên giả sử bán kính mặt cầu R ta có 2 R  68,5  R  68,5 2  68,5  Diện tích mặt cầu: S xq  4 R  4    1493,59  cm   2  Vì miếng da có diện tích 49,83cm2 nên để phủ kín mặt bóng số miếng da 1493,59 cần  29,97 Vậy phải cần  30 miếng da 49,83 Chọn D Dạng Dạng toán tổng hợp Phương pháp giải Sử dụng kiến thức hình nón, hình trụ, hình cầu dạng tốn để giải tốn tổng hợp Ví dụ: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I đường kính AA', M trung điểm BC Khi quay tam giác ABM với nửa hình trịn đường kính AA' xung quanh đường thẳng AM, ta V khối nón khối cầu tích V1 V2 Tỷ số V2 A B 49 C 27 32 Hướng dẫn giải Chọn D a a a Gọi a cạnh ABC đều, suy BM  ; AM  ; IA  2 D 32 a a  BM AM 2 V Ta có      V2 a 3 32  IA3     Bài tập Bài tập Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a, tích V1 hình V cầu có đường kính chiều cao hình nón, tích V2 Khi tỉ số thể tích bao nhiêu? V2 A V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 D V1  V2 Hướng dẫn giải Chọn B Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a 3  I  2a, R  a, h  a  V1  a 3 a  a ; 3 a 3 3 V2    a     Vậy V1  V2 Bài tập Một bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu hình trụ (như hình vẽ) Đường sinh hình trụ hai lần đường kính hình cầu Biết thể tích bồn chứa nước 128 m Tính diện tích xung quanh bồn chứa nước theo đơn vị m2 A 48 m2 B 50 m2 C 40 m2 Hướng dẫn giải Chọn A D 64 m2 Gọi x bán kính hình cầu Ta có lt  2d c  Rc  Rt  x Thể tích bể nước 4 128 V  Vt  Vc   Rt2lt   Rc3   x x   x3  3 3  x   x  Diện tích xung quanh bể nước S  2 Rt lt  4 Rc2  2.2  4 22  48  m  ... (cm) nên MO  Lưu ý: Bài tập Bài tập đề cho khác thiết diện giống Ở Bài tập thêm cách hỏi khác dù thiết diện OK  MK  MO  25  18  7; AB   KB  BO  OK  KB    Bài tập 5: Một hình trụ... R B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Các khái niệm cần lưu ý: - Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện: mặt cầu mà qua tất đỉnh hình đa diện Tâm mặt cầu ngoại tiếp cách tất đỉnh...  Chọn C Bài tập mẫu 2 2  3a Cách Tìm điểm cách đỉnh khối đa diện theo định nghĩa mặt cầu Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tâm mặt cầu ngoại