Các dạng bài tập VDC mặt cầu, khối cầu

BÀI 3: MẶT CẦU – KHỐI CẦU A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Ta thường vẽ hay biểu diễn mặt - Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố cầu hay khối cầu hình sau: định khoảng R không đổi gọi mặt cầu tâm O, bán Định nghĩa kính R, kí hiệu là: S  O; R  Khi S  O; R   M OM  R - Khối cầu hay hình cầu S  O; R  tập hợp tất điểm M cho OM  R Vị trí tương đối mặt cầu điểm Cho mặt cầu S  O; R  điểm A Nếu: +) OA  R điểm A nằm mặt cầu S  O; R  +) OA  R ta nói điểm A nằm mặt cầu S  O; R  +) OA  R ta nói điểm A nằm mặt cầu S  O; R  Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng Cho mặt cầu S  I ; R  đường thẳng  Gọi H hình chiếu I lên  hay d  I ;    IH Nếu: +) IH  R :  không cắt mặt cầu hay mặt cầu S  I ; R  đường thẳng  khơng có điểm chung +) IH  R  với mặt cầu S  I ; R  có điểm chung H Ta nói  tiếp tuyến mặt cầu S  I ; R  H tiếp điểm +) IH  R :  cắt mặt cầu S  I ; R  hai điểm phân biệt Nhận xét: +) IAB I, điểm H điểm cân trung AB  AB  R  IH  AH  IH      Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Cho mặt cầu S  I ; R  mặt phẳng  P  Gọi H hình chiếu vng góc I lên  P  hay d  I ;  P    IH Nếu: +) IH  R : Mặt cầu S  I ; R  mặt phẳng P điểm chung +) Nếu IH  R : Mặt phẳng  P tiếp xúc mặt cầu S  I ; R  Lúc ta nói mặt phẳng  P  mặt phẳng tiếp diện mặt cầu H tiếp điểm Lưu ý: IH   P  +) Nếu IH  R : Mặt phẳng  P  cắt mặt cầu theo thiết diện đường trịn có tâm I   I   H  bán kính r  R  IH  R  I I Nhận xét: Đường trịn giao tuyến có diện tích lớn mặt phẳng  P  qua tâm I mặt cầu S  I ; R  Đường tròn ta gọi đường tròn lớn Công thức cần nhớ Cho mặt cầu S  I ; R  - Diện tích mặt cầu S  4 R - Thể tích khối cầu V   R B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Các khái niệm cần lưu ý: - Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện: mặt cầu mà qua tất đỉnh hình đa diện Tâm mặt cầu ngoại tiếp cách tất đỉnh hình đa diện - Trục đa giác: đường thẳng qua tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác vng góc với mặt phẳng chứa đa giác Mọi điểm nằm trục cách đỉnh đa giác ngược lại - Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng: Là mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng Mọi điểm nằm mặt phẳng trung trực đoạn thẳng cách hai điểm mút đoạn thẳng ngược lại Phương pháp giải Đối với toán mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện mấu chốt vấn đề phải xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện Khi xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp ta tính yếu tố cịn lại bán kính, diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu Bài tập: Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2a, 4a, 4a, với  a  R Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật cho A 6a B 4a C 3a D 2a Hướng dẫn giải Giả sử hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' Dễ thấy điểm O trung điểm AC’ tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật R  OA R   1 AC   2  AA   AC   AA   AD    DC   2  2a    4a    4a  Chọn C Bài tập mẫu 2 2  3a Cách Tìm điểm cách đỉnh khối đa diện theo định nghĩa mặt cầu Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD điểm I với A I trung điểm đoạn thẳng SD B I trung điểm đoạn thẳng AC C I trung điểm đoạn thẳng SC D I trung điểm đoạn thẳng SB Hướng dẫn giải  BC  AB Từ giả thiết ta có   BC  SA  BC   SAB   BC  SB   90o  SBC 1 Chứng minh tương tự ta có   90o CD  SD  SDC  2   90o Do SA   ABCD   SA  AC  SAC  3 Từ (1), (2) (3) suy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD mặt cầu đường kính SC nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD trung điểm I đoạn thẳng SC Chọn C Bài tập Cho khối chóp S.ABCD có tất cạnh a Thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp A V  3 a B V   a C V   a3 Hướng dẫn giải Vì S.ABCD hình chóp nên SO   ABCD  Ta có OD  1 a BD  a  , 2 SO  SD  OD  a Vậy OS  OA  OD  OB  OC , nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD Vậy thể tích khối cầu cần tìm V   SO   a (đvtt) Chọn B Lưu ý: Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp đều: R a2 2h D V  3 a với a: độ dài cạnh bên, h: chiều cao hình chóp Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA   ABCD  SA  AB  a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A a B a C a D a Hướng dẫn giải Chứng minh tương tự Bài tập ta kết  Ba đỉnh A, B, D nhìn cạnh SC góc vng  Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD trung điểm SC SC bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD R  Ta có ABCD hình vng cạnh a  AC  a Xét tam giác SAC vng A có SC  a  2a  a Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD R  a Chọn B Bài tập Cho tứ diện ABCD có mặt ABC BCD tam giác cạnh 2, hai mặt phẳng (ABD) (ACD) vng góc với Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A 2 B C 2 D Hướng dẫn giải Ta có ABC, BCD AC  CD   ACD cân C cạnh nên Gọi I trung điểm AD  CI  AD  ACD    ADB   Lại có  ACD    ADB   AD  CI   ABD   IC  AD   CI  IB  IB   ABD   1 Ta có ACD  ABD  c.c.c   CI  IB  2 Từ (1) (2) ta có ACB vng cân I  CB  IB  IB  CB    IC 2 DIB vuông I  ID  BD  IB   AD  ID  2 Xét ADB có AB  DB  2; AD  2  ABD vuông B  ABD  90o   ACD  90o Suy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có đường kính AD nên bán kính R  ID  Chọn B Bài tập Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  , tam giác ABC vuông B Biết SA  4a, AB  2a, BC  4a Bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A 3a B 2a C a D 6a Hướng dẫn giải  BC  AB Ta có   BC   SAB   BC  SB  BC  SA  SA   ABC   SA   ABC   SA  AC Suy hai điểm A, B nhìn SC góc vng Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC trung điểm SC, bán kính SC mặt cầu R  Ta có AC  AB  BC  4a  16a  20a  SC  SA2  AC  16a  20a  6a   / / BD  BD / / EF Vậy R  3a   SBD      EF Chọn A Bài tập 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông B, AC  a 3,  ACB  30o Góc đường thẳng AB' mặt phẳng (ABC) 60° Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC A a 21 B a 21 C 3a D a 21 Hướng dẫn giải Trong tam giác vuông ABC có AB  AC.sin 30o  a Vì AB   ABC    A hình chiếu B lên mặt phẳng (ABC) B nên góc đường thẳng AB' mặt phẳng (ABC) góc hai  AB (vì tam giác AB'B vng đường thẳng AB' AB, góc B  AB  60o B) Do B Trong tam giác vng AB'B có BB  AB.tan 60o  a 3a tan 60o  2 Trong tam giác vng AA'C có  3a  AC  AA2  AC        3a   21 a ABC  90o Mà Ta có BC  AB BC  AA nên BC   ABBA  , suy BC  AB hay   AAC  90o , suy hai điểm A, B nhìn A'C góc vng Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC R  AC 21  a Chọn A Bài tập Cho hình chóp S.ABC có đáy hình vng cạnh a, SA  a vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng () qua A M đồng thời song song với đường thẳng BD cắt SB, SD E, F Bán kính mặt cầu qua điểm S, A, E, M, F nhận giá trị sau đây? A a B a C a D a Hướng dẫn giải Gọi I giao điểm AM SO Dễ thấy I trọng tâm tam giác SAC I, E, F thẳng hàng Lại có SF SI 2    SF  SD SD SO 3 2 SD   SA2  AD   2a 3  SF SD  SA  SF SD  Xét tam giác vng SAD có SF SD  SA2  AF đường cao tam giác AF  SF Chứng minh tương tự ta có AE  SB Tam giác SA  AC  a nên AM vừa trung tuyến vừa đường cao tam giác AM  SC  AM  SM  Ta có  AF  SF nên mặt cầu qua điểm S, A, E, M, F có tâm trung điểm SA bán kính  AE  SE  SA a  2 Chọn C Chú ý: Ta làm sau Do EF      SBD    / / BD nên EF / / BD Ta có BD  AC , BD  SA  BD   SAC   EF   SAC   EF  SC Tam giác SAC có SA  AC  a nên AM  SC Do SC   AMEF   SC  AE 1 Lại có BC  AB, BC  SA nên BC   SAB   BC  AE  2 Từ (1) (2) suy AE   SBC   AE  SB Chứng minh tương tự, ta AF  SD Từ đây, suy kết cách bên Cách Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện giao điểm trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy mặt phẳng trung trực cạnh bên Chú ý: Trong khn khổ tập thường xoay quanh hình chóp, hình lăng trụ nên đa giác đáy ta nói đến đáy hình chóp hay hình lăng trụ Bài tập Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 60° Gọi (S) mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu (S) A 32 a 81 B 32 a 77 C 64 a 77 D 72 a 39 Hướng dẫn giải Gọi H tâm tam giác ABC, SH trục đường tròn ngoại tiếp ABC, mặt phẳng trung trực SA qua E trung điểm SA cắt SH I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Xét tam giác SAH ta có SH  AH.tan 60o  a SH 2a  tan 60o  a; SA  o sin 60 Xét hai tam giác đồng dạng SEI SHA 2a 2a SI SE SA.SE 3  2a Ta có   SI   SA SH SH a R 2a 3  2a  32 a Suy thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu (S)       81 Chọn A Bài tập Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có tất cạnh a A 7 a B 7 a C 7 a Hướng dẫn giải Gọi O1, O2 tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ  O1O2 trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy Gọi I trung điểm O1O2  IA  IB  IC  IA  IB  IC  Suy trung điểm I O1O2 tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ Bán kính D 3 a 2 a 3 a OO  R  IA  AO  IO  AO           a  12   3  2 2 2 2 2 Do diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có tất cạnh a   7 a S  4 R  4  a    12  Chọn B Lưu ý: Mặt phẳng trung trực cạnh bên cắt O1O2 I trung điểm O1O2 Bài tập Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) AB  2, AC  4, SA  Mặt cầu qua đỉnh hình chóp S.ABC có bán kính A R  25 B R  C R  D R  10 Hướng dẫn giải Gọi M, H trung điểm BC, SA Ta có tam giác ABC vng A suy A tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Qua M kẻ đường thẳng d cho d   ABC   d trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong mặt phẳng kẻ đường trung trực  đoạn SA, cắt d I  IA  IB  IC   IA  IB  IC  IS  IA  IS  I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Dễ thấy tứ giác HAMI hình chữ nhật Ta có 1 BC   42  5, 2 IM  SA  2 AM  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC R  AI  AM  IM   5  Chọn B Lưu ý: thay mặt phẳng trung trực SA đường trung trực SA xét mặt phẳng (SAM) Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A a B a C a Hướng dẫn giải D 2a Gọi O tâm hình vng ABCD  SO   ABCD  Vậy SO trục đường trịn ngoại tiếp hình vuông ABCD Trong (SAC) gọi (d) trung trực SA I giao điểm (d) với SO  I   SO   IA  IB  IC  ID    IA  IS  I   d   IA  IB  IC  ID  IS Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bán kính mặt cầu R  SA2 SA2   SO SA2  AO a2 a 2 a      a 2 Chọn C Bài tập Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, mặt bên tạo với đáy góc 60° Diện tích Smc mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A S mc  25 a B S mc  32 a C S mc  8 a D S mc  a2 12 Hướng dẫn giải Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy SO Mặt phẳng trung trực SB cắt SO I, cắt SB K I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp   60o Gọi H trung điểm BC SHO Xét tam giác vng SHO, ta có tan 60o  SO  SO  a OH Từ suy SB  SO  OB  3a  2a  a Ta có SKI ∽ SOB  g g  SK SI SK SB    SI   SI  SO SB SO a  5a  5a a a Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S mc 75a 25 a  4 R  4  36 Chọn A Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a 2, cạnh bên 2a Gọi M, N, P, Q trung điểm SA, SB, SC, SD Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ABCDMNPQ A R  a B R  a C R  a D R  a 10 Hướng dẫn giải Ta có  ABCD  / /  MNPQ  Gọi O  AC  BD Mà S.ABCD hình chóp tứ giác nên SO   ABCD  Nên SO trục hai đáy (ABCD) (MNPQ) Trong mặt phẳng (SAO) kẻ đường trung trực d đoạn thẳng AM cắt SA, SO H, I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCDMNPQ bán kính IA Ta có SA  SB  SC  SD  2a AB  BC  CD  DA  a Lại có SH  3 3a a  HA  SA  SA  2a  4  AC  AB  2a  AO  a  SO  SA2  AO  a 3a HI SH OA.SH 3a Mặt khác SHI ∽ SOA  g g     HI    OA SO SO a a  a   a 2 Bán kính mặt cầu cần tìm R  AI  HI  HA        a   2 2 Chọn B Cách Dựa vào trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy trục đường tròn ngoại tiếp mặt bên Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  2a, BC  a, hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm H AD, SH  a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bao nhiêu? A 16 a B 16 a C 4 a D 4 a Hướng dẫn giải Gọi I giao điểm AC BC, qua I dựng đương thẳng d song song với SH  d   ABCD  Gọi M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD, qua M kẻ đường thẳng d' vng góc với mp(SAD), d' cắt d O  O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bán kính R  OS  MO  MS Với OM  IH  AB  a, MS  r (r bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB) Lại có, SAD cân A, cạnh AD  a, đường cao SH  a suy tam giác SAD r  AM  a 4a (R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình SH   R2  3 chóp S.ABCD) Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD S  4 R  16 a Chọn A Bài tập Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  Gọi M, N hình chiếu A SB,    , BC  a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN SC Biết BAC A  a2 cos  B  a2 sin  C 4 a2 cos  D 4 a2 sin  Hướng dẫn giải +) Gọi K, P trung điểm AC AB ACN vuông N  K tâm đường tròn ngoại tiếp ACN ABM vng M  P tâm đường trịn ngoại tiếp ABM +) Hai mặt phẳng (SAB), (ABC) vuông góc cắt theo giao tuyến AB nên gọi d1 trục đường trịn ngoại tiếp ABM d1 qua P, d1   ABC  d1  AB Tương tự, gọi d2 trục đường trịn ngoại tiếp ACN d2 qua K , d   ABC  d  AC +) Rõ ràng, mặt phẳng (ABC) d1d2 đường trung trực cạch AB, AC nên hai đường cắt tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, bán kính R mặt cầu bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC +) Áp dụng định lí sin cho ABC ta R  BC a  2sin A 2sin  Vây diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN S  4 R   a2 sin  Chọn B Lưu ý: Cách 2: Vẽ đường kính AE đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Khi A, M, N, B, C nhìn AE góc 90° Áp dụng định lí sin cho ABC ta R BC a  2sin A 2sin  Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN S  4 R   a2 sin  Dạng Mặt cầu nội tiếp khối đa diện Mặt cầu nội tiếp khối đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt khối đa diện Phương pháp giải Xác định hiểu rõ khoảng cách từ tâm mặt cầu nội tiếp khối đa diện tới mặt khối đa diện bán kính mặt cầu nội tiếp khối đa diện Từ tính bán kính, diện tích xung quanh mặt cầu, thể tích khối cầu giải tốn liên quan Ví dụ: Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh A  12 B  C 2 D  Hướng dẫn giải Khối cầu nội tiếp hình lập phương có tâm trùng với tâm hình lập phương tiếp xúc với mặt hình lập phương tâm hình vng mặt hình lập phương Suy bán kính R  4 1  Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương V   R      3 2 Chọn D Bài tập mẫu Bài tập Cho hình lập phương tích 64a3 Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương A V  64 a B V  8 a3 C V  32 a D V  16 a Hướng dẫn giải Hình lập phương tích 64a , suy cạnh hình lập phương 4a Khối cầu nội tiếp hình lập phương có bán kính cạnh hình lập phương  R  2a 32 a Vậy V   R  3 Chọn C Bài tập Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, AB  8, BC  Biết SA  SA vng góc với mp(ABC) Tính thể tích khối cầu có tâm thuộc phần khơng gian bên hình chóp tiếp xúc với tất mặt hình chóp S.ABC A 16  B 625  81 C 256  81 D 25  Hướng dẫn giải Gọi I r tâm bán kính hình cầu tiếp xúc với tất mặt hình chóp S.ABC Khi r.S VS ABC  VI ABC  VI SBC  VI SAB  VI SAC  r  S ABC  S SAB  S SBC  S SAC   TP 3 3V  r  S ABC STP 1 VS ABC  SA.SABC  .8.6  48; 3 S ABC  S SAB  24; S SBC  S SAC  30  STP  108 Vậy r  3VS ABC 3.48 4 256    Vmc   r   STP 108 3 81 Chọn C Dạng Bài toán cực trị Phương pháp giải Tương tự tốn cực trị hình nón, hình trụ ta thường đánh giá trực tiếp dựa vào hình biểu diễn hay quy đại lượng cần tìm cực trị phụ thuộc vào yếu tố sau đánh giá tìm đáp án Ví dụ: Cho mặt cầu bán kính R  5cm Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có chu vi 8cm Bốn điểm A, B, C, D thay đổi cho A, B, C thuộc đường tròn (C), điểm D thuộc  S   D   C   tam giác ABC Thể tích lớn tứ diện ABCD A 20 3cm3 B 32 3cm3 C 60 3cm3 D 96 3cm3 Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu D mặt phẳng (P) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có chu vi 8cm Suy bán kính đường trịn R  8   cm  2 Suy cạnh tam giác ABC  cm  Suy S ABC 4 3   12  cm  khơng đổi Do thể tích khối tứ diện ABCD lớn d  D,  ABC   lớn  D O nằm phía SO với mặt phẳng (P) D, O, H thẳng hàng  DH  DO  OH  DO  OA2  AH   25  16  1 Khi Vmax  12 3.8  32  cm3  Chọn B Bài tập mẫu Bài tập Cho hai mặt cầu  S1  ,  S  có tâm I bán kính 10 Các điểm A, B thay đổi thuộc  S1  C, D thay đổi thuộc  S  cho có tứ diện ABCD Khi thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn khoảng cách hai đường thẳng AB CD A 10 B C D Hướng dẫn giải Để có tứ diện ABCD AB CD khơng đồng phẳng Gọi R1, R2 bán kính mặt cầu  S1   S   R1  2; R2  10 Gọi K trung điểm CD h khoảng cách hai đường thẳng AB CD Ta CD  2CK , AB  R1  4,sin  AB, CD   Thể tích khối tứ diện ABCD VABCD  1 AB.CD.sin  AB, CD  d  AB, CD   4.CD.h 6 Co  si  4 h  CK  IK  CK 3 Xét ICK vuông K có IK  CK  CI  R22 Khi VABCD  4 R2  10 3  AB  CD  Dấu “=” xảy   AB   h  IK  CK  Chọn C Bài tập 2: Cho tam giác ABC cạnh a, đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi S điểm thay đổi đường thẳng d, H trực tâm tam giác SBC Biết S thay đổi đường thẳng d điểm H nằm đường (C) Trong số mặt cầu chứa đường (C), bán kính mặt cầu nhỏ A a B a C a 12 D a Hướng dẫn giải Gọi M trung điểm BC suy AM  BC ; SM  BC Gọi AM  G trọng tâm tam giác ABC, a a a2 ; MG  MA  suy MG.MA  tam giác ABC cạnh a nên Mặt khác H trực tâm tam giác SBC nên tam giác BMH tam giác SMC hai tam giác đồng dạng nên BM MH a2   MH MS  BM MC  SM MC MH MA nên tam giác MHG tam  MG MS giác MAS đồng dạng suy GH  SM Do MH MS  MG.MA hay Vì H thuộc (SAM) cố định S thay đổi d GH  SM nên (C) phần đường trịn đường kính GM mặt cầu chứa (C), mặt cầu có bán kính nhỏ mặt cầu nhận GM làm đường kính nên bán kính mặt cầu R GM a  12 Chọn C Dạng Bài toán thực tế Phương pháp giải Nắm vững kiến thức dạng toán để giải toán thực tế liên quan đến mặt cầu EV0   33  36  cm3  Bài tập: Người ta thả viên bi có dạng hình cầu với bán kính 3cm vào ly dạng hình trụ chứa nước Người ta thấy viên bi chìm xuống đáy ly chiều cao mực nước dâng lên thêm 1cm Biết chiều cao mực nước ban đầu ly 7,5cm Tính thể tích V khối nước ban đầu ly (kết lấy xấp xỉ) A V  282, 74cm3 B V  848, 23cm3 C V  636,17cm3 D V  1272,35cm3 Hướng dẫn giải Gọi V0 thể tích viên bi Gọi R bán kính ly (khơng tính vỏ) Theo ta tích cột nước dâng lên 1cm thể tích viên bi nên ta có  R  36  R   cm  Suy thể tích V khối nước ban đầu ly  R h   36.7,5  848, 23  cm3  Chọn B Bài tập mẫu Bài tập 1: Cho ba hình cầu tiếp xúc ngồi với đôi tiếp xúc với mặt phẳng Các tiếp điểm hình cầu mặt phẳng lập thành tam giác có cạnh 4, Tích bán kính ba hình cầu A 12 B C Hướng dẫn giải D Gọi  O , r1  ,  O2 , r2  ,  O3 , r3  hình cầu thỏa mãn Gọi A, B, C hình chiếu O1; O2; O3 mặt phẳng Giả sử AB  4, BC  2, AC  Ta có O1 A  r1 ; O2 B  r2 ; O3C  r3 ; O1O2  r1  r2 ; O2O3  r2  r3 ; O3O1  r3  r1 Kẻ O1 H  BO2  H  BO2   BH  r1 ; O2 H  r2  r1 Theo định lý Py-ta-go ta có O1O2  O1 H  O2 H   r1  r2   AB   r2  r1   r1r2  Tương tự ta có r2 r3  Vậy r1r2 r3  AB BC AC ; r3r1  4 AB BC 2CA2  64 Chọn B Bài tập Cho địa cầu có độ dài đường kinh tuyến 30° Đơng 40cm (tham khảo hình vẽ) Độ dài đường xích đạo là: A 40 3 cm B 40 cm C 80 cm D 80 cm Hướng dẫn giải Đường xích đạo đường vĩ tuyến lớn Độ dài đường xích đạo gấp hai lần đường kinh tuyến 30° Đông Vậy độ dài đường xích đạo là: 2.40  80  cm  Chọn C Bài tập Quả bóng đá dùng thi đấu giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi thiết diện qua tâm 68,5cm Quả bóng ghép nối miếng da hình lục giác màu trắng đen, miếng có diện tích 49,83cm2 Hỏi cần miếng da để làm bóng trên? A  40 (miếng da) B  20 (miếng da) C  35 (miếng da) D  30 (miếng da) Hướng dẫn giải Vì thiết diện qua tâm đường trịn có chu vi 68,5cm, nên giả sử bán kính mặt cầu R ta có 2 R  68,5  R  68,5 2  68,5  Diện tích mặt cầu: S xq  4 R  4    1493,59  cm   2  Vì miếng da có diện tích 49,83cm2 nên để phủ kín mặt bóng số miếng da 1493,59 cần  29,97 Vậy phải cần  30 miếng da 49,83 Chọn D Dạng Dạng toán tổng hợp Phương pháp giải Sử dụng kiến thức hình nón, hình trụ, hình cầu dạng toán để giải toán tổng hợp Ví dụ: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm I đường kính AA', M trung điểm BC Khi quay tam giác ABM với nửa hình trịn đường kính AA' xung quanh đường thẳng AM, ta V khối nón khối cầu tích V1 V2 Tỷ số V2 A B 49 C 27 32 Hướng dẫn giải Chọn D a a a Gọi a cạnh ABC đều, suy BM  ; AM  ; IA  2 D 32 a a  BM AM 2 V Ta có      V2 a 3 32  IA3     Bài tập Bài tập Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a, tích V1 hình V cầu có đường kính chiều cao hình nón, tích V2 Khi tỉ số thể tích bao nhiêu? V2 A V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 D V1  V2 Hướng dẫn giải Chọn B Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a 3  I  2a, R  a, h  a  V1  a 3 a  a ; 3 a 3 3 V2    a     Vậy V1  V2 Bài tập Một bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu hình trụ (như hình vẽ) Đường sinh hình trụ hai lần đường kính hình cầu Biết thể tích bồn chứa nước 128 m Tính diện tích xung quanh bồn chứa nước theo đơn vị m2 A 48 m2 B 50 m2 C 40 m2 Hướng dẫn giải Chọn A D 64 m2 Gọi x bán kính hình cầu Ta có lt  2d c  Rc  Rt  x Thể tích bể nước 4 128 V  Vt  Vc   Rt2lt   Rc3   x x   x3  3 3  x   x  Diện tích xung quanh bể nước S  2 Rt lt  4 Rc2  2.2  4 22  48  m  ... sin  Dạng Mặt cầu nội tiếp khối đa diện Mặt cầu nội tiếp khối đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt khối đa diện Phương pháp giải Xác định hiểu rõ khoảng cách từ tâm mặt cầu nội tiếp khối đa... R B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Các khái niệm cần lưu ý: - Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện: mặt cầu mà qua tất đỉnh hình đa diện Tâm mặt cầu ngoại tiếp cách tất đỉnh... khối đa diện tới mặt khối đa diện bán kính mặt cầu nội tiếp khối đa diện Từ tính bán kính, diện tích xung quanh mặt cầu, thể tích khối cầu giải toán liên quan Ví dụ: Thể tích khối cầu nội tiếp hình