BÀI TẬP TỨ GIÁC 1/ Cho tứ giác ABCD biết: µ µ µ µ : : : 1: 2:3: 4A B C D = . a) Tính các góc của tứ giác . b) Chứng minh AB//CD. c) Gọi O là giao điểm của AD và BC là E.Tính các góc của tam giác CDE. 2/ Tứ giác ABCD có AB = BC,AD = DC = AC và µ 0 105A = .Tính các góc còn lại của tứ giác. 3/ Cho tứ giác ABCD , biết µ µ µ µ µ µ 0 0 0 200 , 180 , 120B C B D C D+ = + = + = . a) Tính các góc của tứ giác . b) Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau ở I .C/m: · µ µ 2 C D AIB + = 4/ Chứng minh rằng trong 1 tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối. 5/ Chứng minh rằng các góc của một tứ giác không thể đều nhọn hoặc đều tù. 6/ Cho tứ giác ABCD , biết 2 đường thẳng AD và BC cắt nhau ở E , 2 đường thẳng AB và CD cắt nhau ở F .Các tia phân giác của góc E và góc F cắt nhau ở I. Tính góc EIF theo góc A và góc C của tứ giác ABCD. 7/Cho tứ giác ABCD,trong đó AB + BD không lớn hơn AC + CD.CMR: AB< AC. 8/ Chứng minh rằng trong một tứ giác , tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy. BÀI TẬP HÌNH THANG -HÌNH THANG CÂN 1/Hai cạnh bên AD và BC của hình thang cân ABCD cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tam giác IAB cân 2/ Cho hình thang ABCD (AB//CD) có · · ABD BAC= .C/m ABCD là hình thang cân. 3/Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD); góc A = 70 0 a) Tính các góc của hình thang b) Kẻ đường cao DH và CK của hình thang. Chứng minh DH = CK 4/Cho hình thang ABCD có góc A = 100 0 , góc C = 70 0 và cạnh đáy AB bằng cạnh bên AD.C/m tam giác DBC cân. 5/ Cho hình thang ABCD (AD//BC).Biết µ µ µ µ 0 0 20 ; 150A B A C− = + = .Tính các góc của hình thang. 6/ Cho hình thang ABCD, biết µ µ 0 1 90 , 2 A B AB BC AD= = = = a)Tính các góc của hình thang. b)Chứng minh AC vuông góc với CD. 7/ Cho hình thang ABCD (AB//CD) , trong đó đáy CD bằng tổng hai cạnh bênBC và AD .CMR hai tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại 1 điểm thuộc cạnh đáy CD. 8/Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lấy theo thứ tự các điểm D và E sao cho AD = AE.Chứng minh BDEC là hình thang cân 9/Cho hình thang cân ABCD hai đáy là AB và CD, gọi O là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng: OA=OB; OC=OD 10/Cho tam giác vuông ABC ( Â=90 0 ) , BC=2AB; kẻ trung tuyến AD đường cao AH. Tia Hx song song AD cắt AB ở E Chứng minh:Tứ giác HDAE là hình thang cân 11/ Cho tam giác cân ABC(AB = AC), phân giác BD và CE .Gọi I là trung điểm của BC ,J là trung điểm của ED ,O là giao điểm của BD và CE . a) Chứng minh tứ giác BEDC là hình thang cân. b) C/m: BE = ED = DC. c) Bốn điểm A,I,O,J thẳng hàng. *12/Cho tứ giác ABCD , gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD .Biết 2 AD BC MN + = .C/m tứ giác ABCD là hình thang. Bài tập Đường trung bình của tam giác,hình thang 1/Cho tam giác ABC có BC = 4cm. Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB, AC; M, N theo thứ tự là trung điểm của BD và CE.Tính độ dài đoạn MN? 2/Cho hình thang ABCD ( AB // CD). M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC. Gọi I là giao điểm của MN và BD. Cho AB = 6cm; CD = 14cm. Tính độ dài đoạn MI, NI? 3/ Cho hình thang ABCD (AB//CD) .Trên cạnh AD lấy 3 điểm E,M,P sao cho AE = EM = MP=PD, trên cạnh BC lấy 3 điểm F,N,Q sao cho BF = FN = NQ = QC.Biết AB = 8, DC = 12 .Tính MN,EF,PQ. 4/Hình thang cân có đáy bằng 45 0 , cạnh bên bằng 2cm, đáy lớn bằng 3cm.Tính độ dài đường trung bình của của hình thang cân. 5/ Cho tam giác ABC ,kẻ trung tuyến AM .Trên cạnh AC lấy 2 điểm D,E sao cho AD = DE = EC. a) C/m ME // BD b) Gọi I là giao điểm của AM và BD .C/m AI = IM. 6/ Cho tam giác ABC vuông tại A ,kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC).Từ H kẻ Hx vuông góc AB tại P và trên Hx lấy 1 điểm D sao cho P là trung điểm của HD.Từ H kẻ Hy vuông góc AC tại Q và trên Hy lấy 1 điểm E sao cho Q là trung điểm của HE. a) C/m : 3 điểm D,A,E thẳng hàng. b) C/m: PQ // DE. c) C/m: PQ = AH. 7/ Cho tứ giác ABCD có M,N,E,F theo thứ tự là trung điểm của AB,BC,CD,AD. C/m: MN // EF, MF // NE. 8/ Cho tứ giác ABCD có 2 cạnh đối diện AD = BC .Gọi M,N,P,Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AB,AC,CD,DB.C/m: MP là đường trung trực của QN. 9/ Tính độ dài đường trung bình của một hình thang cân ,biết rằng hai đường chéo của nó vuông góc với nhau và đường cao của nó bằng 10 cm. 10/ Cho hình thang ABCD (AB//CD) .Các tia phân giác của góc A và D cắt nhau ở I , của góc B và góc C cắt nhau ở J .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC .Chứng minh 4 điểm M,N,I,J thẳng hàng. 11/ Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (CA > CB) .Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác đều ACD và BCE .Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AE,CD, BD,CE. a) Tứ giác MNPQ là hình gì? b) C/m 1 2 MP DE= 12/ Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,gọi E là giao điểm của hai tia phân giác góc A và góc D .Chứng minh tam giác AED vuông. 13/ Chứng minh rằng hình thang có hai đường chéo = nhau là hình thang cân. 14/ Cho tam giác ABC vuông tại A.Ta dựng về phía ngoài của tam giác các tam giác vuông cân AEC,ADB với các cạnh huyền là AC,AB.Chứng minh tứ giác BCED là hình thang vuông. 15/ Cho tứ giác ABCD. Gọi M là trung điểm AD,N là trung điểm BC, I là trung điểm BD. a) So sánh : MI và AB, IN và CD. b) CMR: MN nhỏ hơn hoặc bằng nửa tổng 2 cạnh AB và CD. *16/Cho hình thang cân ABCD (AB//DC), DC là đáy lớn ,AH là đường cao(H thuộc DC) và HC = 5cm.Tính độ dài đường TB HT ABCD. HD:MNlà đường TB.C/m DMH cân,MH//NC 17.Cho hình thang cân ABCD ,đáy lớn DC = 7cm,góc C= 60 0 ,BC = 4cm.Tính độ dài đường TB hình thang ABCD. Bài tập đối xứng trục Bài 1:Cho tam giác MNP cân tại M, đường cao MH.Trên MN lấy điểm E, trên MP lấy điểm F sao cho ME = MF.CMR 2 điểm E,F đối xứng với nhau qua đường thẳng MH. Bài 2: Cho tam giác MNE (ME > MN) .Gọi a là đường trung trực của NE.Vẽ điểm I đối xứng với điểm M qua a. a) Tìm đoạn thẳng đối xứng với đoạn MN qua a, đoạn thẳng đối xứng với đoạn ME qua a. b) Tứ giác MIEN là hình gì? Tại sao? Bài 3: Cho tam giác KHG có góc K = 80 0 , điểm M thuộc cạnh HG .Vẽ điểm E đối xứng với điểm M qua KH, điểm F đối xứng với điểm M qua KG. a) Chứng minh KE = KF. b) Tính số đo góc EKF? Bài 4: Cho tam giác ABC có góc A = 70 0 , trực tâm H.Gọi M là điểm đối xứng với H qua BC. a) C/m : BHC BMC∆ = ∆ b) Tính · BMC ? Bài 5: Trên đường phân giác góc ngoài ở đỉnh C của tam giác ABC,lấy điểm M khác điểm C.CMR: AC + CB < AM + MB. HD: Lấy A ’ đối xứng với A qua tia phân giác góc ngoài tại C Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A.Qua A kẻ đường thẳng d //BC, trên d lấy điểm D khác A.CMR: chu vi tam giác ABC nhỏ hơn chu vi tam giác CBD. HD:Lấy điểm E đối xứng với điểm C qua d. Bài 7:Cho 2 điểm A và B trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d .Xác định vị trí điểm C trên đường thẳng d sao cho chu vi tam giác ACB nhỏ nhất. HD: Lấy B’ đối xứng với B qua d, lấy điểm C’ khác C trên d. BÀI TẬP HÌNH BÌNH HÀNH Bài 1: Cho tứ giác MNPQ. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh MN, NP, PQ, QM .CMR: tứ giác EFGH là hình bình hành. Bài 2: Cho hình bình hành ABCD . Từ A và C kẻ AE và CF vuông góc với DB.C/m tứ giác AECF là hình bình hành. Bài 3: Cho hình bình hành ABCD .Gọi I,K theo thứ tự là trung điểm của các cạnh CD,AB. Đường chéo BD cắt AI ,CK theo thứ tự ở E,F.C/m DE = EF = FB. Bài 4: Cho hình bình hành ABCD .Trên các cạnh AB,AC,CD,DA lấy tương ứng các điểm E,F,G,H sao cho AE = CG, BF = DH.C/m: a) Tứ giác EFGH là hình bình hành. b) Các đường thẳng AC,BD, EG,HF đồng quy. Bài 5: Cho hình bình hành ABCD .Tia phân giác của góc A cắt CD tại M,tia phân giác của góc C cắt cạnh AB tại N.Chứng minh: a) Tứ giác AMCN là hình bình hành. b) Ba đường thẳng AC,MN và BD đồng quy. Bài 6:Cho hình bình hành ABCD .Vẽ các tam giác đều ABE và ADF nằm ngoài hình bình hành . a) C/m tam giác EFC là tam giác đều. b) Gọi M,I,K theo thứ tự là trung điểm BD,AF,AE.Tính góc IMK? Bài tập Đối xứng tâm 1/ Cho hình bình hành MNPQ.Gọi I là điểm đối xứng với Q qua M,K là điểm đối xứng với Q qua P.C/m 2 điểm I,K đối xứng với nhau qua N. 2/ Cho tam giác ABC ,điểm E nằm giữa B và C.Qua E kẻ EM // AB(M thuộc AC),kẻ EN //AC(N thuộc AB).Gọi H là trung điểm của AE.C/m M đối xứng với N qua H. 3/ Cho tam giác PMN,trung tuyến ME và NF.Gọi I là điểm đối xứng với M qua E,K là điểm đối xứng với N qua F.C/m I đối xứng với K qua P. 4/ Cho góc xOy bằng 90 0 ,điểm M nằm trong góc xOy.Gọi E là điểm đối xứng với M qua Ox,F là điểm đối xứng với M qua Oy.C/m E đối xứng với F qua O. 5/ Cho hình bình hành ABCD,gọi I là giao điểm của AC và BD .Qua I kẻ đường thẳng d cắt AD tại M,cắt BC tại N.C/m 2 điểm M và N đối xứng với nhau qua I. 6/ Cho tam giác ABC ,M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.I là 1 điểm bất kì nằm trong tam giác ABC.Vẽ E đối xứng với O qua M,vẽ F đối xứng với O qua N. C/m EFCB là hình bình hành. 7/ Cho hình bình hành ABCD.O là giao điểm của AC và BD.Qua O vẽ đường thẳng cắt AB ở E ,cắt AC ở F.Qua O vẽ đường thẳng cắt AD ở G,cắt BC ở H.C/m EGFH là hình bình hành. *1/ Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác .M,N,P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC,CA, AB.Gọi A’,B’,C’ lần lượt là các điểm đối xứng của điểm O qua điểm M,N,P.C/m tứ giác AB’A’B là hình bình hành. 2/ Cho tam giác ABC .M là trung điểm của AB,N là trung điểm của AC,O là trung điểm của MN.Gọi I là điểm đối xứng của điểm A qua O .C/m điểm B đối xứng với C qua I. 3/ Cho hình bình hành ABCD. O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD.Gọi E là 1 điểm thuộc cạnh AB,F là giao điểm của tia EO và cạnh CD.Vẽ FH // AC,EG // AC(H ∈AD,G ∈BC).C/ m điểm H đối xứng với G qua O. 4/ Cho tứ giác ABCD .O 1 ,O 2 ,O 3 ,O 4 lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,AD.O là 1 điểm nằm trong tứ giác .Gọi M,N,P,Q theo thứ tự là điểm đối xứng với điểm O qua các điểm O 1 ,O 2 ,O 3 ,O 4 .C/m tứ giác MNPQ là hình bình hành. Bài tập Hình chữ nhật Bài 1 :Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD,CE. Gọi H,K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ B, C đến đường thẳng DE. a/ C/m : EH = DK. b/ Nếu tam giác ABC cân ở A thì tứ giác BCKH là hình gì? Bài 2:Cho tam giác MNP cân tại M,các đường trung tuyến NE và PF cắt nhau tại G.Gọi I là điểm đối xứng với G qua F,K là điểm đối xứng với G qua E.Tứ giác IKPN là hình gì? Vì sao? Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A.có AB = 6cm, điểm M thuộc BC.Gọi H,K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB,AC. a/ CMR: AHMK là hình chữ nhật.Tính chu vi hình chữ nhật AHMK. b/ Xác định vị trí điểm M trên cạnh BC để đoạn thẳng HK có độ dài nhỏ nhất. Bài 4 : Cho tam giác ABC,đường cao AH.Gọi E,F,G lần lượt là trung điểm của của AB,AC,BC.C/m EFGH là hình thang cân. *Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A ,đường cao AH.Gọi D,E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB,AC. a/ C/m AH = DE. b/ Gọi I là trung điểm HB,K là trung điểm HC.C/m DI // EK. Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông cân tại C.M là 1 điểm trên cạnh AB.,kẻ MR vuông góc AC,MS vuông góc BC. a/ C/m CM và RS bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. b/ Gọi O là trung điểm AB.Tam giác ORS là tam giác gì? Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.Gọi DE theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB,AC. a/ C/m AH = DE. b/ Gọi I ,K theo thứ tự là trung điểm của HB và HC .C/m tứ giác IDKE là hình thang vuông c/ Tính độ dài đường trung bình của hình thang DIKE biết AB = 6cm,AC = 8cm. Bài 8 : Cho tam giác nhọn ABC ,O là trực tâm của tam giác .Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CA còn R,S,T lần lượt là trung điểm của các đoạn OA,OB,OC. a/ C/m MPTS là hình chữ nhật. b/ C/m 3 đoạn RN,MT,SP bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường Bài 9 : Cho hình chữ nhật ABCD .Kẻ BH vuông góc AC.Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD, N là trung điểm của BH. a/ C/m tứ giác MNCK là hình bình hành. b/ Tính góc BMK. Bài 10 : Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc đường chéo AC .Qua E kẻ đường thẳng // BD cắt AD,CD lần lượt ở M và N .Vẽ hình chữ nhật MDNF . a/ C/m DF //AC. b/ C/m E là trung điểm của BF. Bài tập đường thẳng // với 1 đường thẳng cho trước Bài 1: Cho đoạn thẳng MN .Kẻ tia Mx bất kì ,lấy các điểm D,E,F sao cho MD = DE = EF. Qua D và E kẻ các đường thẳng // với FN.C/m đoạn thẳng MN bị chia ra bởi ba phần bằng nhau. Bài 2:Cho góc vuông aOb, điểm M trên Ob, điểm N di chuyển trên Oa.Gọi E là điểm đối xứng với M qua N.Điểm E di chuyển trên đường nào? Bài 3: Cho tam giác MNP ,điểm E di chuyển trên NP.Gọi I là trung điểm của ME. Điểm I di chuyển trên đường nào? Bài 4: Cho góc vuông xOy .Trên Ox và Oy theo thứ tự lấy điểm A và B.Lấy điểm M bất kì thuộc AB .Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến Ox và Oy.Gọi I là trung điểm của EF. a/ C/m O,I,M thẳng hàng. b/ Khi M di chuyển trên AB thì I di chuyển trên đường nào? c/ Điểm M ở vị trí nào trên AB thì OI có độ dài nhỏ nhất. Bài tập hình thoi –Hình vuông Bài 1 : Cho hình thoi MNEF .Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với EN cắt EN tại I,kẻ đường thẳng qua M vuông góc với EF cắt EF tại K.C/m MI = MK. Bài 2 : Cho hình bình hành ABCD có 2 đường cao AH và AK bằng nhau.C/m ABCD là hình thoi. Bài 3 : Cho hình thoi ABCD có góc C = 60 0 .Hai đường cao BM,BN .Tam giác BMN là tam giác gì?Vì sao? Bài 4 : Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 60 0 .Trên AD lấy điểm E,trên DC lấy điểm F sao cho AE = DF. Tam giác BEF là tam giác gì? Vì sao? Bài 5 : Cho tam giác ABC , điểm M nằm giữa B và C.Qua M kẻ đường thẳng //AB ,cắt AC ở E.Qua M kẻ đường thẳng // AC, cắt AB ở F. a/ Tứ giác AEMF là hình gì? b/ Điểm M ở vị trí nào trên BC thì AEMF là hình thoi. c/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì AEMF là hình chữ nhật. Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD có BC = ½ AB.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD.Gọi E là giao điểm của AN và DM,gọi F là giao điểm của BN và CM.C/m MFNE là hình vuông. Bài 7 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A.Trên cạnh BC lấy các điểm K,I sao cho BK = KI = IC.Qua Kvà I kẻ các đường vuông góc với BC ,cắt AB và AC lần lượt ở M và N.Tứ giác MNIK là hình gì? Vì sao? Bài 8:Cho hình vuông ABCD .Trên cạnh AD lấy điểm M,trên tia đối của tia AD lấy điểm H,trên tia đối của tia BA lấy điểm I sao cho DM = AH = BI.Vẽ hình vuông AHNG(G thuộc AB). C/m MNIC là hình vuông. *Bài 1 :Cho tứ giác lồi ABCD co AD = BC .Gọi M,N,P,Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AB,AC, CD,DB.C/m : MP ⊥ QN. Bài 2 :Cho tam giác ABC .Trên cạnh AB lấy điểm D ,trên cạnh AC lấy điểm E sao cho BD = CE.Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm BC,CD,DE,EB. a/ Tứ giác MNPQ là hình gì? b/ Phân giác của góc A cắt cạnh BC tại F .C/m PM // AF. c/ Đường thẳng QN cắt AB và AC lần lượt ở I và K .Tam giác AIK là tam giác gì? Bài 3 : Cho hình thoi ABCD ,O là giao điểm 2 đường chéo .Gọi E,F, G,H theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ O đến AB,BC,CD,DA.Tứ giác E,F,G,H là hình gì? Vì sao? Bài 4 : Cho hình thoi ABCD có AB = AC.Kẻ AE ⊥ BC , AE ⊥ BC a/ C/m Tam giác AEF là tam giác đều. b/ Biết AB = 4cm.Tính độ dài các đường chéo hình thoi. Bài 5 : Cho hình bình hành ABCD ,có AD = 2AB.Từ C kẻ CE ⊥ AB.Nối E với trung điểm M của AD.Từ M kẻ MF ⊥ CE,MF cắt BC tại N. a/ Tứ giác MNCD là hình gì? Vì sao? b/ Tam giác EMC là tam giác gì?Vì sao? c/ C/m góc BAD = 2 góc AEM. Bài 6 : Cho tứ giác ABCD có · · 0 ADC BCD 90+ = và AD = BC.Gọi I,N,J,M lần lượt là trung điểm của AB,AC CD,BD. C/m tứ giác INJM là hình vuông. Bài 7 :Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB,BC của hình vuông ABCD .Các đường thẳng DN và CM cắt nhau ở I .C/m Tam giác AID là tam giác cân. *Bài 8 : Cho hình vuông ABCD , E là 1 điểm nằm trong hình vuông sao cho · · 0 EBC ECB 15= = ,F là 1 điểm nằm ngoài hình vuông sao cho · · 0 FDC FCD 60= = . a/ C/m tam giác AED là tam giác đều. b/ C/m 3 điểm B,E,F thẳng hàng. Bài tập Ơn tập chương I Cơ bản: Bài 1 : Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng với M qua điểm I. a. Tứ giác AMCK là hình gì ? Vì sao ? b.Tứ giác AKMB là hình gì ? Vì sao ? c. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCK là hình vng . Bài 2: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã BC = 2AB. Gäi M, N thø tù lµ trung ®iĨm cđa BC vµ AD. Gäi P lµ giao ®iĨm cđa AM víi BN, Q lµ giao ®iĨm cđa MD víi CN . K lµ giao ®iĨm BN víi CD a. c/m MDKB lµ h×nh thang b. Tø gi¸c PMQN lµ h×nh g×? chøng minh ? c. H×nh b×nh hµnh ABCD ph¶i cã thªm ®iỊu kiƯn g× ®Ĩ PMQN lµ h×nh vu«ng ? Bài 3/ Cho ∆ABC. Gäi M,N lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa BC,AC. Gäi H lµ ®iĨm ®èi xøng cđa N qua M. a) C/m tø gi¸c BNCH vµ ABHN lµ hbh. b) ∆ABC tháa m·n ®iỊu kiƯn g× th× tø gi¸c BCNH lµ h×nh ch÷ nhËt. Bài 4/ Cho tø gi¸c ABCD. Gäi O lµ giao ®iĨm cđa 2 ®êng chÐo ( kh«ng vu«ng gãc),I vµ K lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa BC vµ CD. Gäi M vµ N theo thø tù lµ ®iĨm ®èi xøng cđa ®iĨm O qua t©m I vµ K. a) C/m r»ng tø gi¸c BMND lµ h×nh b×nh hµnh. b) Víi ®iỊu kiƯn nµo cđa hai ®êng chÐo AC vµ BD th× tø gi¸c BMND lµ h×nh ch÷ nhËt. c) Chøng minh 3 ®iĨm M,C,N th¼ng hµng. Bài 5/ Cho tø gi¸c ABCD. Gäi M,N,P,Q lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AB,BC,CD,DA. a) Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? V× sao? b) T×m ®iỊu kiƯn cđa tø gi¸c ABCD ®Ĩ tø gi¸c MNPQ lµ h×nh vu«ng? c) Víi ®iỊu kiƯn c©u b) h·y tÝnh tØ sè diƯn tÝch cđa tø gi¸c ABCD vµ MNPQ Bài 6:Cho hình thoi ABCD có hai đương chéo AC và BD cắt nhau tại O. Qua O kẻ OM, ON, OP, OQ vuông góc với AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P, Q. a) Chứng minh: OM = ON = OP = OQ. b) Chứng minh ba điểm M, O, P thẳng hàng. c) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao? d) Nếu ABCD là hình vuông thì MNPQ là hình gì? Vì sao? Bài 7/Cho hình bình hành ABCD có AB=2AD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB,CD . Gọi CMR: a/ Tứ giác AMCN là hình bình hành b/ Tứ giác AMND là hình thoi c/ Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua D, Gọi Q là điểm đối xứng với điểm N qua D . Hỏi Tứ giác ANKQ là hình gì? Vì sao? d/ Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác ABCN là hình thang cân Bài 8/ Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi E,F và D lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC. Chứng minh: a) Tứ giác BCDE là hình thang cân. b) Tứ giác BEDF là hình bình hành c) Tứ giác ADFE là hình thoi d) 1 4 DEF ABC S S = Bài 9/Cho ∆ ABC vng tại A (AB < AC) , trung tuyến AM, đường cao AH. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA . 1. Tứ giác ABDC là hình gì ? Vì sao ? 2. Gọi I là điểm đối xứng của A qua BC. Chứng minh : BC // ID. 3. Chứng minh : Tứ giác BIDC là hình thang cân. 4. Vẻ HE ⊥ AB tại E , HF ⊥ AC tại F. Chứng minh : AM ⊥ EF. Bài 10/Cho tam giác ABC vng ở C. GọI M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AB. GọI P là điểm đốI xứng của M qua điểm N a) Chứng minh tứ giác MBPA là hình bình hành b) Chứng minh tứ giác PACM là hình chữ nhật c) Đường thẳng CN cắt PB ở Q. Chứng minh : BQ = 2PQ d) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì thì hình chữ nhật PACM là hình vng ? Hãy chứng minh ? Bài 11/Cho ∆ ABC cân tại A . Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh đáy BC . Từ M kẻ ME // AB ( E ∈ AC ) và MD // AC ( D ∈ AB ) a) Chứng minh ADME là Hình bình hành b) Chứng minh ∆ MEC cân và MD + ME = AC c) DE cắt AM tại N. Từ M vẻ MF // DE ( F ∈ AC ) ; NF cắt ME tại G . Chứng minh G là trọng tâm của ∆ AMF d) Xác đònh vò trí của M trên cạnh BC để ADME là hình thoi Bài 12/ Cho hình bình hành ABCD, Evà F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AF, CE với BD. a) Chứng minh : Tứ giác AECF là hình bình hành. b) Chứng minh : DM=MN=NB. c) Chứng minh : MENF là hình bình hành. d) AN cắt BC ở I, CM cắt AD ở J. Chứng minh IJ, MN, EF đồng quy. Bài 13/Cho tam giác DEF. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của DE và DF. a. Tứ giác PQFE là hình gì? Vì sao? b. Trên tia đối của tia PQ xác định điểm R sao cho PQ = PR. Hỏi tứ giác ERDQ là hình gì ? Vì sao? c. Tam giác DEF cần có thêm điều kiện gì để tứ giác ERDQ là hình chữ nhật ? Là hình thoi ? Là hình vng? Nâng cao. Bài 1 : Cho tam giác ABC .Trên tia đối của tia BC lấy điểm D ,trên tia đối của tia CB lấy điểm E / BD = BC = CE.Qua D kẻ đường thẳng // với AB cắt AC ở H ,qua E kẻ đường thẳng // AC cắt AB ở K,chúng cắt nhau ở I. a/ Tứ giác BHKC là hình gì? Vì sao? b/ Tia IA cắt BC ở M .C/m MB = MC. c/ Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ gaics DHKE là hình thang cân. Bài 2 : Cho hình thang ABCD có µ µ 0 A D 90= = CD = 2AB = 2AD.Gọi H là hình chiếu của D lên AC ; M,P,Q lần lượt là trung điểm CD,HC và HD. a/ C/m tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BDC là tam giác vuông cân. b/ C/m tứ giác DMPQ là hình bình hành. c/ C/m AQ ⊥ DB. Bài 3 : Cho hình thang cân ABCD (BC//AD).Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA. a/ C/m MP là phân giác của góc QMN. b/ Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện gì đối với 2 đường chéo để gcs MNQ = 45 0 . Bài : Cho hình bình hành ABCD .Các tia phân giác của các góc của hình bình hành cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH .Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao? Bài 4 : Cho hình thoi ABCD .Trên tia đối của tia BA lấy điểm M ,trên tia đối của tia CB lấy điểm N ,trên tia đối của tia DC lấy điểm P,trên tia đối của tia AD lấy điểm Q sao cho BM = CN = DP = AQ. a/ C/m tứ giác MNPQ là hình bình hành. b/ C/m hình bình hành MNPQ và hình thoi ABCD có chung tâm đối xứng. c/ Nếu ABCD là hình vuông thì tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao? Bài 5 : Cho hình vuông ABCD .M là 1 điểm tùy ý trên đường chéo BD.Kẻ ME ⊥ AB , MF ⊥AD.C/m DE = CF, DE ⊥CF. . ABC vuông tại A ,kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC).Từ H kẻ Hx vuông góc AB tại P và trên Hx lấy 1 điểm D sao cho P là trung điểm của HD.Từ H kẻ Hy vuông góc. nhỏ nhất. Bài tập hình thoi –Hình vuông Bài 1 : Cho hình thoi MNEF .Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với EN cắt EN tại I,kẻ đường thẳng qua M vuông góc với