Thực trạng năng lực cạnh tranh điểm đến du lịch núi bà đen, tỉnh tây ninh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Lê Thanh Quang XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TOR LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Lê Thanh Quang XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TOR Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng chúng tôi, nội dung nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác HỌC VIÊN PHAN LÊ THANH QUANG MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI NÓI ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .5 §1 PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU §2 HÀM TỬ TENXO 14 §3 PHÉP GIẢI XẠ ẢNH VÀ HÀM TỬ TOR 19 Chương 2: XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TỬ TOR 24 §1 MODUN ĐỐI NGẪU 24 §2 XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TỬ TOR 31 §3 SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA XÂY DỰNG TRỰC TIẾP TOR VÀ XÂY DỰNG NHỜ PHÉP GIẢI XẠ ẢNH 46 KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 LỜI NÓI ĐẦU Đồng điều công cụ dùng để đo mức độ không khớp dãy nửa khớp Các hàm tử Hom Tenxo hàm tử nửa khớp Để đo mức độ không khớp hàm tử so với hàm tử khớp, người ta xây dựng hàm tử dẫn xuất tương ứng Tor (hàm tử xoắn ) Ext (hàm tử mở rộng ) Các hàm tử ngày trở thành công cụ trụ cột nhiều lĩnh vực nghiên cứu Hình học, Topo, Đại số, Lý thuyết số… Qua trình nghiên cứu trường Đại học Sư Phạm TPHCM, tiếp cận với phương pháp xây dựng hàm tử Tor thông qua phép giải xạ ảnh Câu hỏi đặt đây: Ngoài cách xây dựng hàm tử Tor nói trên, hàm tử Tor cịn xây dựng phương pháp khác khơng? Điều dẫn đến lý khiến chúng tơi thực đề tài Đề tài thực nhằm mục đích nghiên cứu cách xây dựng hàm tử Tor trực tiếp Sau q trình xây dựng, chúng tơi chứng minh hàm tử Tor xây dựng trực tiếp hàm tử Tor xây dựng gián tiếp thông qua phép giải xạ ảnh tương đương đồng luân với Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn trình bày chương: Chương 1: Trình bày kiến thức phức, đồng điều, hàm tử tenxo phép giải xạ ảnh Qua đó, xây dựng hàm tử Tor thơng qua phép giải xạ ảnh Chương 2: Xây dựng trực tiếp hàm tử Tor phân hoạch ba, trình bày số tính chất định lý liên quan Cuối cùng, chương này, ta trình bày định lý tương đương hai cách xây dựng Luận văn trình bày hướng dẫn khoa học TS Trần Huyên, người thầy hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tơi suốt q trình hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Trần Hun Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy cô giảng viên giảng dạy, bảo tơi suốt q trình nghiên cứu, đặt móng kiến thức vơ quý báu với Tôi xin cảm ơn với Ban giám hiệu, thầy cơng tác phịng sau đại học trường đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU 1.1 Phức Cho R vành giao hốn có đơn vị Định nghĩa 1.1.1: Phức (phức lùi) dãy modun đồng cấu modun đánh số lùi theo tập số số nguyên có dạng: (K): → K (1) thỏa ∂ n ∂ n +1 = Để ngắn gọn ta bỏ số đồng cấu modun dãy (1) viết đơn giản: (K ): ∂∂=0 Định nghĩa 1.1.2: Phức (phức tiến ) dãy modun đồng cấu modun đánh số tiến theo tập số số nguyên có dạng: (K): →K (2) ∂ thỏa ∂ n +1 Để ngắn gọn ta bỏ số đồng cấu modun dãy (2) viết đơn giản (K ): ∂∂=0 ∀n , tức Im∂ ⊂ Ker∂ Như phức đồng cấu dãy nửa khớp đánh số theo tập số nguyên Nếu phức có chiều tăng số chiều với chiều đồng cấu ta gọi phức tiến Ngược lại, phức có chiều tăng số ngược chiều với chiều đồng cấu ta gọi phức lùi Ta chuyển phức tiến thành phức lùi ngược lại cách đặt lại số n ' = −n Thật vậy, ta xét dãy phức tiến sau: (K ): Bằng cách đặt K →K  =  , ta dãy phức lùi: n '−n (L): →L − n +1 Trong luận văn này, tập trung vào phức lùi Vì thế, nói n phức K hay phức K = {Kn , ∂ } ta ngầm hiểu phức lùi 1.2 Biến đổi dây chuyền K ' = Cho hai phức Định nghĩa 1.2.1: {K ' n Khi đó, ta có định nghĩa ' họ với { f :K n đồng nghĩa với biểu đồ sau giao hoán: số nguyên n đồng cấu Điều kiện hạng tự trực tiếp vào hạng tử trực tiếp Như vậy, kết luận với L xạ ảnh hữu hạn sinh Vậy ta có điều phải chứng minh Định lý 3.2: Đối với phép giải C tồn đồng cấu: ω : Tor n đó, đồng cấu tự nhiên C Hơn nữa, xạ ảnh đẳng cấu tự nhiên G C :X Chứng minh: Với phần tử t ∈Torn (G , C ) t (µ, ) Ta có: L,ν µ:L→G ε:X→G Theo định lý so sánh có biến đổi dây chuyền h:L X Ta đặt: ω ( µ , L ,ν ) = cls (h n Cách đặt hợp lý, hn : Ln nên: (hn , Ln ,ν )∈ Tor0 (X X G phép giải 49 Hơn nữa, phần tử (  Ln ,ν ) ( hn , Ln ,ν ) = ( ∂hn , Ln ,ν ) = ( hn −1∂, ( hn −1 , Ln −1 ,ν∂ * ) = ( hn −1 , Ln−1 , ) = h': L ( Lớp đồng điều chu trình phụ thuộc vào s → X biến đổi dây chuyền khác tồn đồng luân hn ' = hn + ∂sn + sn−1∂ Khi đó,  ( ∂ s n h , Ln ,ν )+(  s n −1 ∂, Ln ,ν ) ) +∂ ) + ∂ (s có nhờ bờ t v t ' = (µ ', L ',ν s Nếu = ( µ ' s , L , ν ) tr o n g đ ó s : L → L ' n o đ ó , c c p h ầ n t trong đồng thời t t' V ới t , ∈ T o r R ( G , C ) th ì 50 t t = ( ∇ ( µ1 ⊕ µ ), L1 ⊕ L2 ,∇ (ν ⊕ν2 )) Khi đó, t1  Do đó, t ) = ω ( ∇ ( µ1 ⊕ µ ), L1 ⊕ L2 , ∇ (ν ⊕ν2 )) ω ( t1  ( = cls đó, sinh biến đổi dây chuyền ∇ ( h1 ⊕ h ): L1 ⊕ L2 → X X Vậy đồng cấu Ttự nhiên í ntrong h G nhiên suy dây chuyền h : với L biến X A suy trực tiếp từ định nghĩa.Tín h tự từ nhận xét f : X :G X' G' nhân :L X' với phần cho ta biến đổi dây chuyền fh đổi Tiếp theo, ta chứng minh toàn cấu cần toàn y ∈H Để cấu, ta (Xn ,ν )∈Torn (G ,C) Vì y phần tử H tử ω ( µ , L ,ν ) = y cho n ê n y có dạng y+ Im X n i= tử sở 51 tham gia sinh với X n '' modun sinh phần m gia ∑ i x ⊗ c ∈ Ker i=1 Do đó, ta có : in : X n ' → X n dãy khớp chẻ nên dãy dãy khớp chẻ Ta có X n ' modun hữu hạn sinh nên ∂ ( X n Ta đặt X n−1 ' modun tự hữu hạn sinh Tương tự trình ta xây dựng X Trong ∂k ' đồng cấu thu hẹp Như vậy, dãy phức G Các phép nhúng ik sinh phép nhúng ik ⊗ 1C : X k '⊗ C → X k ⊗C Do đó, i ⊗1 biến đổi dây chuyền 52 từ phức X '⊗C vào phức X  C Như y ∈ H  chu trình xi ⊗ ci ∈X n '⊗ C m i =1 X Th eo địn ',ν ) h lý trê n, ta có '⊗ C ≅ Tor ( 1: X n α L →G Đặt định lý nên t Vậy53 o n c ấ u Khi đó: ( = n n n n Do tính biểu diễn hệ ν hn'* = ξ∂* Giả sử đến Xn n+1 phức A biến đổi dây chuyền Phần tử xuất phát ) X trở thành: ξ∂ X ', Vậy t Ta kết thúc chứng minh n Tor ( Vậy ta chứng minh tồn đẳng cấu tự nhi G,A ) vào một, ta xây dựng hàm tử Tor dãy đồng điều Định lý ta vừa nêu chứng minh, hàm tử Tor xây dựng chương chương tương đương đồng luân với 54 KẾT LUẬN Luận văn trình bày hai cách xây dựng hàm tử Tor Xây dựng hàm tử Tor phép giải xạ ảnh trình bày chương Xây dựng hàm tử Tor trực tiếp phân hoạch ba trình bày chương Ngồi ra, hai chương, luận văn trình bày tính chất hàm tử Tor Cuối cùng, phần cuối chương 2, luận văn chứng minh tương đương hàm tử Tor xây dựng cách Vì thời gian có hạn kiến thức hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận đóng góp, quan tâm q thầy bạn học viên để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Saunders Mac Lane ( 1975), Homology, Classics in Mathematics [2] Cartan H and Eilenberg S (1956), Homological abgebra, Princeton [3] Trần Huyên, Nguyễn Viết Đông (2003), Đại số đồng điều, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc Gia TPHCM, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên [4] Avramov, Luchezar; Halperin, Stephen (1986), Through the looking glass: a dictionary between rational homotopy theory and local algebra, in J.-E Roos (ed.), Algebra, algebraic topology, and their interactions (Stockholm, 1983) [5] Hilton, Peter (1988), A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century, Mathematics Magazine, Mathematical Association of America, 60 (5): 282–291, JSTOR 2689545 [6] Hồng Xn Sính (2005), Đại số đại cương, Nhà Xuất Bản Giáo dục [7] Saunders Mac Lane (1971), Categories for the Working Mathematician [8] William S Massey, Singular homology theory, Springer, 1980 [9] Nguyễn Văn Đoành – Tạ Mân, Nhập môn Tôpô Đại số (Đồng điều đồng luân), Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà Nội, 2015 56 ... phải B R − modun trái B Khi nhắc đến phạm trù, ta quan tâm đến vật cấu xạ Nói riêng, phạm trù modun, ta quan tâm đến modun đồng cấu modun Ở trên, ta xây dựng khái niệm đối ngẫu modun Vậy câu hỏi... 3.1.2: Mọi modun tự modun xạ ảnh Định nghĩa 3.1.3: Cho G R-modun Khi đó, phép giải xạ ảnh G dãy khớp có dạng: X: →X n +1 Trong đó, tất modun Xi modun xạ ảnh ∀i Nếu tất modun Xi modun tự X gọi... R-modun phải Định nghĩa 1.1.1: R − modun phải Hom ( A, R ) nói đến đối ngẫu modun A ta kí hiệu A* = Hom ( A, R ) Tương tự, ta xây dựng khái niệm modun đối ngẫu cho R − modun phải B R − modun