Các tính chất phủ né và cấu trúc của các nhóm hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hồng Yến CÁC TÍNH CHẤT PHỦ-NÉ VÀ CẤU TRÚC CỦA CÁC NHĨM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hồng Yến CÁC TÍNH CHẤT PHỦ-NÉ VÀ CẤU TRÚC CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS.TS Mỵ Vinh Quang khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh dành nhiều thời gian cơng sức tận tình hướng dẫn giúp tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy PGS.TS Trần Tuấn Nam, TS Trần Huyên, PGS.TS Bùi Xuân Hải, PGS.TS Bùi Tường Trí q thầy khoa Tốn giảng dạy cho tơi kiến thức Đại số Giải tích để từ tơi tự đọc thêm kiến thức hoàn thành luận văn Bên cạnh đó, tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban chủ nhiệm khoa Tốn q Thầy Cơ giảng dạy, tạo điều kiện cho chúng tơi hồn thành khóa học Và để có kết ngày hôm nay, nhận lời động viên, đóng góp ý kiến bạn bè người thân Cuối cùng, trình viết luận văn này, khó tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Bảng ký hiệu dùng luận văn MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương CAP-NHÓM CON CỦA CÁC NHĨM HỮU HẠN 15 2.1 CAP-nhóm nhóm hữu hạn 15 2.2 Một số đặc trưng nhóm giải hữu hạn 24 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 Φ ( G) H G ≤ H < ⋅G H G < H G Ο ( G) p ( G) H Aut( G) G:M Mx NG(H) p',p' CG(H) Ο Z(G) p HG H char G BẢNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN H nhóm chuẩn tắc G Cái chuẩn hóa H G Tâm hóa tử H G H nhó m G Tâm G H nhó m tối đại G Cấp nhóm H H nhó m thực G Nhóm Frattini p-nhóm chuẩn tắc tối đại G Nhóm tự đẳng cấu G Chỉ số M G x −1Mx Phần bù p,p P p-nhóm chuẩn tắc tối đại G Lõi H G H nhóm đặc trưng G MỞ ĐẦU Lý thuyết nhóm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng Đại số đại Bài toán lí thuyết nhóm mơ tả cấu trúc nhóm với xác đến đẳng cấu, nghiên cứu phép biến đổi nhóm Trên thực tế, việc mơ tả cấu trúc nhóm khơng thể, mà lí thuyết nhóm tiếp tục nghiên cứu Năm 1993, L.M Ezquerro đưa số tiêu chuẩn nhóm hữu hạn G p-siêu giải siêu giải dựa giả thiết tất nhóm tối đại nhóm Sylow G có tính chất phủ né Trong phạm vi luận văn này, dựa theo kết báo: “ Cover-avoidance properties and the structure of finite groups” Guo Xiuyun K.P Shum, tơi trình bày vài tiêu chuẩn nhóm hữu hạn giải dựa giả thiết số nhóm tối đại 2-nhóm tối đại có tính chất phủ né Mục tiêu luận văn nghiên cứu tính chất nhóm có tính chất phủ - né ảnh hưởng lên cấu trúc nhóm hữu hạn Đặc biệt, nghiên cứu nhóm có tính chất phủ né liên hệ với tính giải được, tính lũy linh nhóm hữu hạn Nội dung luận văn gồm chương Trong chương 1, ta định nghĩa khái niệm nhóm đặc trưng, nhóm giải được, nhóm lũy linh, chứng minh số kết quan trọng sử dụng việc chứng minh định lí chương Trong chương 2, ta định nghĩa CAP-nhóm nhóm tìm hiểu vài tính chất để thấy liên hệ nhóm có tính chất phủ né với tính giải được, tính lũy linh nhóm hữu hạn Mặc dù thân có nhiều cố gắng với thời gian kiến thức có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong ý kiến đóng góp, phê bình quý Thầy Cô bạn để luận văn hoàn chỉnh Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm tối đại, 2-nhóm tối đại, nhóm tối tiểu Cho G nhóm, L < G i)Nhóm tối đại, 2-nhóm tối đại L gọi nhóm tối đại G không tồn M < G cho L < M < G Kí hiệu L < ⋅G K gọi 2-nhóm tối đại G K nhóm tối đại L ii) Nhóm tối tiểu L gọi nhóm tối tiểu G L ≠ 1và không tồn N < G cho 1