Phủ của vành hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH —————————————– DƯƠNG THÁI BẢO PHỦ CỦA VÀNH HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TP HỒ CHÍ MINH - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH —————————————– DƯƠNG THÁI BẢO PHỦ CỦA VÀNH HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG TP HỒ CHÍ MINH – 2019 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn PGS.TS Mỵ Vinh Quang Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số kết quả, nội dung từ báo, sách liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm luận văn Tác giả luận văn Dương Thái Bảo Lời cám ơn Trong trình học tập, nghiên cứu đề tài ``Phủ vành hữu hạn'' nhận giúp đỡ, bảo nhiệt tình thầy, cô giáo trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh để hồn thành luận văn Với tình cảm chân thành, tơi bày tỏ lịng biết ơn Ban giám hiệu, phòng Sau Đại học, Khoa Toán Tin– Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, thầy giáo, giáo tham gia quản lý, giảng dạy giúp đỡ suốt q trình học tập, nghiên cứu Tơi xin bày tỏ biết ơn đặc biệt đến PGS TS Mỵ Vinh Quang – người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ kiến thức, tài liệu phương pháp để hồn thành đề tài nghiên cứu khoa học Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, cổ vũ, khích lệ giúp đỡ suốt thời gian qua Mặc dù có nhiều cố gắng suốt q trình thực đề tài, song cịn có mặt hạn chế, thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp dẫn thầy giáo bạn đồng nghiệp Dương Thái Bảo Mục lục Trang Lời cam đoan Lời cám ơn Mục lục Mở đầu …………………………………………………………… Chương Vành hữu hạn trường hữu hạn …………………… 1.1 Trường hữu hạn ……………………………………………… 1.2 Vành sinh phần tử ……………………………… Chương Phủ vành hữu hạn ……………………………… 10 2.1 Vành tối đại tích trực tiếp trường hữu hạn ……… 10 2.2 Phủ tích vành hữu hạn ……………………………… 18 2.3 Phủ tích trực tiếp trường hữu hạn …………………… 22 2.4 Số phủ tích trực tiếp trường hữu hạn ………………… 25 2.5 Ví dụ phủ vành giao hốn địa phương ………………… 28 Kết luận …………………………………………………………… 30 Tài liệu tham khảo ………………………………………………… 31 Mở đầu Phủ nhóm G họ nhóm thực G mà hợp chúng G Dễ thấy, G phủ gồm nhóm thực Tuy nhiên, nhóm hữu hạn khơng xyclic có phủ hữu hạn Vấn đề đặt tương tự vành Phủ vành A họ vành thực A mà hợp chúng A Tất nhiên, vành A khơng có phủ gồm vành thực Bởi vậy, câu hỏi vành hữu hạn A có phủ gồm hữu hạn vành thực câu hỏi thú vị, thu hút quan tâm nhiều nhà toán học đến nhiều vấn đề mở cần tiếp tục tìm tịi, nghiên cứu Chính vậy, tơi định chọn đề tài “phủ vành hữu hạn” làm đề tài cho luận văn thạc sĩ toán với mong muốn tìm hiểu vấn đề thú vị tốn học Mục tiêu đề tài là: nghiên cứu vành con, vành tối đại vành hữu hạn, nghiên cứu tích trực tiếp vành hữu hạn ứng dụng kết phần để tìm điều kiện cần đủ để vành hữu hạn có phủ hữu hạn Trong trường hợp có phủ hữu hạn, tìm số bé phần tử phủ Số gọi số phủ vành Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Vành hữu hạn, vành con, vành tối đại vành hữu hạn - Tích trực tiếp hữu hạn vành hữu hạn trường hữu hạn - Các phủ vành hữu hạn điều kiện cần đủ để có phủ - Số phủ vành hữu hạn Chương Vành hữu hạn trường hữu hạn Trong luận văn này, khái niệm vành hiểu vành có đơn vị Tập S khác rỗng vành R gọi vành R S với phép tốn cộng R lập thành nhóm Abel đóng với phép tốn nhân R (vành không hẳn chứa phần tử đơn vị) Bên cạnh đó, kí hiệu R  , R cho nhóm cộng R , nhóm nhân phần tử khả nghịch R (phần tử đơn vị kí hiệu e 1) 1.1 Trường hữu hạn Trong mục nhắc lại số kết mở rộng trường trường hữu hạn Đầu tiên khái niệm đặc số vành: số nguyên dương p gọi đặc số vành R p số bé thỏa px  với x  R Nếu không tồn số ngun dương p ta nói vành R có đặc số khơng Định lí 1.1.1 Cho F trường bất kì, đặc số F là số nguyên tố p Chứng minh Gọi F trường có đặc số p  Giả sử p không số nguyên tố, tồn p1 , p2 thỏa mãn  p1 , p2  p p  p1 p2 Ta có  pe  ( p1 p2 )e , mà e  e nên ( p1e)( p2e)  Do F trường nên p1e  p2e  hay p1 p2 đặc số F Điều mâu thuẫn với  p1 , p2  p □ Phần tử đơn vị e với đặc số p trường F tạo nên trường p Định lí 1.1.2 Cho F trường có phần tử đơn vị e , đặc số F p  đặt p  {0, e,2e,3e,,( p  1)e}, F có đặc số đặt p Khi p  {(me)(ne)1 | m, n  , n  0} trường bé F gọi trường nguyên tố F Chứng minh Nếu p trường trường F chứa phần tử đơn vị e nên trường F chứa p Xét F có đặc số p  Lấy le, ke le  ( p  l )e  p p le  ( p  l )e  pe  , suy Vì ke  le  ke  ( p  l )e  (k  p  l )e  p Nếu le  ( p, l )  1, nên tồn u, v cho pu  lv  Do ( pu  lv)e  e hay (lv)e  e , kéo theo (le)(ve)  e Điều có nghĩa (le)1  ve , lúc (ke)(le) 1  (kv)e  p  p Vậy p trường F dễ dàng nhận thấy p Xét F có đặc số 0, dễ dàng nhận thấy: với m, n  , n  (me)(ne)1   me  ne   mn  nm 1 (*) (me)(ne) 1   me  ne    mn  nm  e   nn  e  1  (me)(ne)   m e  n e  1   1    mm  e   nn  e  1 1 Vậy p (me)(ne)1  đóng với hai phép tốn F Mặt khác (me)(ne) 1  p p Ngoài (me)(ne)1  m  , (ne)(me) 1  p  (me)(ne)  (ne)(me)   e 1 Vậy p xạ (me)(ne)1 1 trường F Bên cạnh (*) nên p  thông qua ánh m n Hệ 1.1.3 Nếu F trường hữu hạn đặc số F số nguyên tố Chứng minh Theo định lí 1.1.1 đặc số p số nguyên tố Giả sử F có đặc số 0, theo định lí trường ngun tố p  Suy p có vơ hạn phần tử (mâu thuẫn với tính hữu hạn F ) Kế đến nói đến đặc điểm số phần tử trường hữu trường Định lí 1.1.4 Cho F trường hữu hạn chứa trường K có q phần tử Khi F có q m phần tử m  [ F : K ] Chứng minh Lúc ta xem F không gian vectơ trường K , F hữu hạn nên không gian vectơ hữu hạn chiều K Nếu m  [ F : K ] F có sở K gồm m phần tử, kí hiệu b1 , b2 ,, bm Khi phần tử F biểu diễn qua dạng a1b1  a2b2   ambm , a1 ,, am  K Tuy nhiên có q lựa chọn nên F có q m phần tử Định lí 1.1.5 Cho F trường hữu hạn Khi F có p n phần tử, số nguyên tố p đặc số F n  [ F : p ] Chứng minh Áp dụng trực tiếp định lí cho trường nguyên tố p Tiếp theo định lí này, nhắc lại tồn trường hữu hạn với số phần tử cho trước Tuy nhiên để làm điều này, cần đến khái niệm trường phân rã Định nghĩa 1.1.6 Cho mở rộng trường F / K S tập khác rỗng F Ta kí hiệu K ( S ) giao tất trường F chứa K S , K ( S ) gọi trường F sinh K S Định nghĩa 1.1.7 Cho K trường f ( x)  K[ x] F mở rộng trường K Ta nói đa thức f phân rã F phân tích thành tích nhân tử tuyến tính f ( x)  a( x  a1 )( x  an ) với a, a1 ,, an  F Trường F gọi trường phân rã f K f phân rã F F  K (a1 ,, an ) Bổ đề 1.1.8 Cho f đa thức bất khả qui trường K Khi tồn mở rộng F K f có nghiệm Chứng minh Vì f ( x) bất khả qui nên F  K[ x] / ( f ( x)) trường Xét hai ánh xạ sau i : K  K [ x] a a j : K [ x]  K [ x] / ( f ( x)) p( x) p ( x)  ( f ( x)) Khi i, j đơn cấu, suy ji đơn cấu từ K vào K[ x] / ( f ( x)) Vì F mở rộng trường K Đặt   x  ( f ( x))  F Ta có f ( )  f ( x)  ( f ( x))   F Vậy  nghiệm f ( x) 17 Trước tiên, xét trường hợp phép chiếu S lên thành phần thứ {0} Khi t S bị chứa vành S ' tối đại kiểu I R , giả sử S   M   Fi Do i2 S  S không tối đại t  nên vành S ' không đẳng cấu với trường Do S Một cách tương tự cho phép chiếu S lên thành phần thứ i {0} Giả sử phép chiếu S lên thành phần khác không Theo bổ đề 2.1.2 1S  1R , mà p  1R  nên a  (a1 ,, at )  S cho S  minh S S  Vì S  f p p  S S trường nên tồn t  p [ a ] Đặt S   ( a1 , a2 )   Fi , chứng i 3 R p [a] nên phần tử S có dạng f (a )   f (a1 ), , f ( at )  với [ x] Với phần tử  f (a1 ), f (a2 )   (a1 , a2 ) Vì S S  S '' không trường Cuối (a1 , a2 ) đẳng cấu với vành F1 sinh a1 , vành thật F1  F2 Do S   R chứng minh kết thúc t Định lí 2.1.9 Cho R   Fi Fi trường hữu hạn có đặc số p Khi i 1 vành tối đại R kiểu I kiểu II Chứng minh Chúng ta chứng minh qui nạp theo t Trường hợp t  t  , ta có điều phải chứng minh từ bổ đề 2.1.3 2.1.5 Giả sử t  kết với tích trực tiếp có t trường Lấy M vành tối đại R , I  {a  R | aR  M } Khi I iđêan R I  M Hơn I M theo nhận xét 3.1 [1], I iđêan nguyên tố M Nhưng M vành hữu hạn sinh nên iđêan nguyên tố M iđêan tối đại Do I M I iđêan tối đại M 18 Bây t  nên M khác không Nếu I  (0) iđêan khơng iđêan tối đại M M trường Tuy nhiên, điều mâu thuẫn với bổ đề 2.1.8, t I  (0) Do I iđêan R nên ta thấy I   Ri , Ri i 1 {0} Fi Đặt   {1  j  t | R j  Fj } , suy I   Fj Vì M chứa j F j j M  M    Fj , M ' vành tối đại j  F Do (0) j  I j R nên  phần bù {1, , t} khác rỗng Vậy M ' vành tối đại tích trực tiếp chứa t trường Theo giả thiết qui nạp, M ' kiểu I kiểu II Do M  M    Fj đẳng cấu tạo từ hoán vị nhân tử j tích, M thuộc kiểu I kiểu II 2.2 Phủ tích vành hữu hạn Trong tài liệu [6], Tomkinson chứng minh khơng có nhóm G thỏa  (G )  {2, 7} , từ dẫn đến không tồn vành R cho  ( R)  {2, 7} Tiếp theo kết mối liên hệ số phủ vành R vành R I Mệnh đề 2.2.1 Cho R vành hữu hạn có đơn vị phủ Khi tồn   iđêan hai phía I R cho R / I hữu hạn  ( R)   R I Chứng minh Lấy S1 ,, S ( R ) phủ vành R Theo bổ đề 4.1, 4.4 trình bày [5] nhóm cộng Si có số hữu hạn R Khi giao tất Si vành có số hữu hạn R Bên cạnh theo bổ đề tài liệu [2] giao chứa iđêan hai phía I có số hữu hạn R Do S I  phủ R / I , suy   i R I    ( R) Thế phủ R I   nâng lên thành phủ R ,  ( R)   R I 19 Tiếp theo, bổ đề sau nêu số điều kiện phủ vành R hữu hạn có đơn vị Bổ đề 2.2.2 Cho R vành hữu hạn có đơn vị Khi R phủ với a  R ,  a  R Nếu  a  R a  R Với a  R  a giao hốn Do R khơng giao hốn R phủ Nếu  a vành tối đại R  a phần phủ R Với iđêan I R  ( R)   ( R / I ) Nếu R / I phủ R phủ t Nếu R   Ri với Ri vành tồn Ri phủ R i 1 phủ Chứng minh Nếu R phủ tồn vành thực S R cho a  S Khi  a  S R , suy  a  R Ngược lại R  {a1 , a2 ,, an } { } phủ R Vậy R phủ Nếu  a  R tồn n số nguyên (c1 ,, cn ) cho  cn a n  cn 1a n 1  c1a  a (cn a n 1  cn 1a n   c1 ) Vậy a khả nghịch hay a  R Hiển nhiên Giả sử S1 ,, S ( R ) phủ R Khi tồn Si để a  Si , suy  a  Si hay  a  Si Từ 2.2.1 ta có điều phải chứng minh 20 Nếu tồn Ri phủ phần tử  Ri thỏa ai   Ri Suy phần tử a  R  a  R Bây xét vài ví dụ vành phủ khơng thể phủ Ví dụ 2.2.3 ● Trường hữu tử sinh  q q khơng thể phủ ,  a  ● Vành  q  q phủ vành (1, 0), (0,1) (1,1) Chú ý vành thật khác không ● Ta có  nhóm xyclic, chọn a phần  (1, 1) , sau chứng tỏ   3    , suy      phủ Tuy nhiên phần phủ ● Gọi a nghiệm x  x  1 [ x] , 4  [a] Ta kiểm tra phủ vành (a,1), (1, a), (a, a)  (a, a  1) Bên cạnh ta kiểm tra   (1, a) nên  phủ Ý số bổ đề 2.2.2, cho chặn  ( R ) Bây xét chặn  ( R ) , ta xét vành R hữu hạn có đơn vị Bổ đề 2.2.4 Cho S vành chứa phần tử đơn vị R Giả sử R có phủ R  (R) S i 1 i cho S Si với i Khi S phủ  ( S )   ( R ) Đặc biệt, Si vành tối đại R M vành tối đại chứa đơn vị thỏa M  Si với i  ( M )   ( R) Chứng minh Do S Si nên S  Si S với i  {1, ,  ( R)} Khi {S  Si }i (1R ) tạo thành họ vành thực S Bên cạnh ta kiểm tra S  ( R) i 1 ( S  Si ) Vậy {S  Si }i (1R ) phủ S , suy  ( S )   ( R ) 21 Vì M vành tối đại nên M  Si M với i  {1, ,  ( R)} Tương tự, ta có {M  Si }i ( R ) phủ M , suy  ( M )   ( R) Để xét tính phủ vành trường hợp tích vành hữu hạn cần thêm điều kiện cấu trúc vành tối đại Đó vành tối đại phải có dạng R1  Ri 1  M i  Ri 1  Rt , M i vành tối đại Ri t Định lí 2.2.5 Cho R   Ri , Ri vành hữu hạn Giả sử i 1 vành tối đại M R có dạng M  R1  Ri 1  M i  Ri 1  Rt với M i vành tối đại Ri Khi i)  ( R)  min{ ( Ri )} , 1i t ii) R phủ tồn Ri phủ Chứng minh Phần ii) suy từ phần i) Để chứng minh i) ta cần chứng minh cho trường hợp R  R1  R2 Không tính tổng quát ta giả sử  ( R1 )   ( R2 ) (kể trường hợp  ( R1 )  ( R2 )  ) Theo bổ đề 2.2.2,  ( R)   ( R1 ) Lấy r   ( R1 ) S1 ,, Sr vành tối đại R Chúng ta chứng tỏ r Sj  R j 1 Theo giả thiết  j  r có vành Aj  R1 B j  R2 cho S j  Aj  B j Bởi r j 1 Aj  R1  r   r  S j   Aj    B j  Chúng ta hoàn thành chứng minh j 1  j 1   j 1  r r j 1 B j  R2 Ta giả sử ngược lại r j 1 Aj  R1 r B j  R2 j 1 Vì r   ( R1 ) nên hợp vành thật A j tất R1 Lấy a  R1 cho a không thuộc vào hợp tất vành thật A j Tương tự chọn b  R2 cho b không thuộc vào hợp tất vành thật B j 22 Giả sử tồn số k cho (a, b)  Sk , a  Ak b  Bk Từ cách chọn a, b Ak  R1 Bk  R2 , suy Sk  R (mâu thuẫn) Vậy vành S j phủ R  ( R)   ( R1 ) t Khi R   Ri khơng phải lúc vành tối đại R có dạng i 1 định lí Thật vậy, xét R  p  p , lúc (1,1) vành tối đại Tuy nhiên lại khơng thể biểu diễn thành tích hai vành Để khắc phục điều này, thêm giả thiết | Ri | pin i t Hệ 2.2.6 Cho R   Ri , | Ri | pin với p1 , p2 ,, pn số nguyên tố i i 1 đôi phân biệt số nguyên dương n1 , n2 ,, nt Khi i)  ( R)  min{ ( Ri )} 1i t ii) R phủ tồn Ri phủ Chứng minh Theo định lí I.1 [4] vành S R có dạng t S i 1 i , với Si vành Ri Do vành tối đại M R có dạng R1  Ri 1  M i  Ri 1  Rt , M i vành tối đại Ri Sử dụng định lí 2.2.5, ta có điều phải chứng minh 2.3 Phủ tích trực tiếp trường hữu hạn Trong mục xét khả phủ vành tích trực tiếp (hữu hạn) trường hữu hạn Cho q lũy thừa số nguyên tố n số nguyên dương, gọi Irr(q, n) tập hợp đa thức đơn khởi bất khả qui bậc n thuộc q [ x ] Một cơng thức tính cho | Irr(q, n) | trình bày định lí 3.25 chương [3] 23 | Irr(q, n) |  (d )q n / d  n d |n , d   hàm Mobius định nghĩa sau 𝜇(𝑑 ) = {(−1)𝑟 𝑑=1 𝑑 có 𝑟 nhân tử nguyên tố 𝑑 có ước phương Sử dụng khái niệm này, kết hợp với định lí 2.1.1 ta có Định lí 2.3.1 Cho p số nguyên tố, t i)  i1 p phủ t  p t ii) Lấy q  p n  Khi n  i1 q phủ t | Irr ( p, n) | 1 Chứng minh t i) Vành R phủ phần tử a  (a1 ,, at )   i 1 p với  ln có hai thành phần Do t  p ii) Ta có    q khác không nghiệm đa thức đơn khởi bất khả qui bậc n p [ x] Tương tự trên, t phải đủ lớn cho có hai thành phần có đa thức tối tiểu Từ định lí đến định nghĩa sau Định nghĩa 2.3.2 Với q lũy thừa số nguyên tố, ta kí hiệu  ( q ) giá trị nhỏ t t cho  i1 q phủ Nếu q  pn ta có p n   | Irr( p, n) | 1 n   (q)   24  ti Định lí 2.3.3 Cho R     i 1  j 1    qi , q1 , q2 , , qt lũy thừa số nguyên tố   t ti đơi phân biệt Khi R phủ có  j 1 qi phủ Chứng minh Từ hệ 2.2.6, ta cần chứng minh trường hợp qi có đặc số p Vì giả sử qi  p n với p số nguyên tố n1 , n2 ,, nt i số nguyên dương phân biệt ( ) hiển nhiên ti ( ) Giả sử  j 1 phủ Theo định lí 2.1.1, với i tồn qi ti  (ai1 ,, ait )   i j 1 qi cho phần tử aij sinh qi có đa thức tối tiểu mij mi1 , mi ,, miti đôi phân biệt Bậc mij ni ni phân biệt, tất mij cặp phân biệt Vì a  (a1 ,, at ) sinh R R phủ Lớp vành định lí tổng qt lên cho vành nửa đơn hữu hạn Vành R gọi vành đơn khác khơng có iđêan (0) R Theo định lí Wedderburn vành đơn hữu hạn đẳng cấu với vành ma trận vuông M n ( F ) với F trường hữu hạn Một vành nửa đơn (có giao iđêan tối đại (0) ) hữu hạn đẳng cấu với tích trực tiếp vành đơn hay nói cách khác đẳng t cấu với M i 1 ni ( Fi ) với Fi trường hữu hạn Ở phần cuối này, có hệ t điều kiện phủ vành R   M n ( Fi ) i 1 t Hệ 2.3.4 Cho R   M N i 1 i i   , qi Ni  qi lũy thừa số nguyên tố Khi R phủ điều kiện sau thỏa mãn (i) tồn Ni  (ii) tất Ni  tồn qi xuất tích tối thiểu  (qi ) lần 25 Chứng minh Chiều thuận: trường hợp ii) suy từ định nghĩa 2.3.2 định lí 2.3.3 Chiều ngược lại: tồn Ni  M N ( i hốn, theo ý bổ đề 2.2.2 M N ( i qi qi ) vành không giao ) phủ Theo ý bổ đề 2.2.2, R phủ t Cuối Ni  với i R   i 1 qi Sử dụng định nghĩa  (qi ) ta có điều phải chứng minh 2.4 Số phủ tích trực tiếp trường hữu hạn Nếu mục trước, xét điều kiện phủ vành hữu hạn R mục tìm hiểu cách xác định số phủ  ( R )  ti Định lí 2.4.1 Cho R     i 1  j 1 t qi   q1 ,, qt lũy thừa số nguyên tố    ti đôi phân biệt Khi  ( R)     1 i  t   j 1 qi      Chứng minh Theo hệ 2.2.6, ta cần chứng tỏ trường hợp qi có đặc số p Vì giả sử qi  p n với i n1 ,, nt số nguyên dương phân i biệt ti Với i , đặt Ri   j 1 qi Do qi có đặc số p nên vành tối đại R kiểu I kiểu II Do vành tối đại M R có dạng M  R1  Ri 1  M i  Ri 1  Rt với M i vành tối đại Ri Sử dụng định lí 2.2.5,  ( R)  min{ ( Ri )} 1i t Tiếp theo bàn đến việc đếm số vành tối đại R Với q  pn , đặt  ( q ) số vành tối đại nguyên tố n n  q Khi  (q)  n  số ước 26 t Định lí 2.4.2 Cho q  pn R   i 1 q Số vành tối đại kiểu I R t ( q ) Số t  vành tối đại kiểu II R n     Chứng minh Vành kiểu I đếm cách chọn số i từ đến t vành tối đại q Do có t ( q ) vành kiểu I Với vành kiểu kiểu t II có   tương ứng cách chọn số i  j n cách chọn tự đẳng cấu 2 Galois q p  (q) Định lí 2.4.3 Cho q  pn R   i 1 q  (q)     Khi  ( R)   (q) (q)  n  Chứng minh Để chứng minh định lí ta cần chứng tỏ vành tối đại R sinh phần tử Thật vậy, R phủ theo định lí 2.3.1  (q)     họ vành tối đại R tạo thành phủ Lúc  ( R)   (q) (q)  n  Theo hướng khác, vành tối đại R sinh phần tử vành tối đại phần phủ R (ý bổ đề 2.2.2), kéo  (q)     theo  ( R)   (q) (q)  n  Lấy P  Irr ( p, n) (nếu n 1 lấy P  Irr( p, n) \{x} ) P  { f1 ,, f ( q )1} Với fl , ta chọn nghiệm al  q Chú ý giả sử q   al  với l Với  j   (q) , ta chọn b j  q q cho b j sinh vành tối đại Với  i   (q)  j   (q) ta định nghĩa  ij  (a1 ,, 1 , b j , ,, a ( q )1 ) Khi đó, mệnh đề 2.1.1 chứng tỏ ij  vành tối đại kiểu I R Hơn nữa, vành tối đại kiểu I R sinh  ij 27 Xét đến vành tối đại kiểu II, chọn số k  l tự đẳng cấu Galois  q p Lấy a  q khác không cho q  p [a ] f  P đa thức tối tiểu a Chọn   (c1 ,, ck 1 , a, ck ,, cl 2 ,  (a), cl 1 , , c ( q )2 ) cm nghiệm đa thức P \{ f } Khi đó,    vành tối đại kiểu II R vành tối đại kiểu II sinh  Cuối ta xét trường hợp t   (q) Để chứng minh kết này, qui nạp theo t sử dụng bổ đề 2.2.4 t Định lí 2.4.4 Cho q  p R   n i 1  (q) Chứng minh Đặt R   i 1 q q   (q)  ( R )   t   ( q ) Khi   i 1 q    Khi R nhận R ' vành thặng dư,  ( R )   ( R) Để chứng tỏ  ( R )   ( R) qui nạp theo t Trường hợp t   (q ) chứng minh định lí Vì giả sử t   (q ) kết với t  Do t   (q ) , R chứa nhiều vành tối đại R ' Vì phủ nhỏ R chứa vành tối đại M Giả sử M kiểu I, t 1 khơng tính tổng qt, giả sử M   i 1 q q  M t , M t vành tối đại Lúc  ( R)   ( M ) theo bổ đề 2.2.4 Kế đến, M t   t 1 lí 2.4.1 suy  ( M )      i 1 q  (M t )   , từ định  t 1   Theo giả thiết qui nạp q   i 1  q     ( R) Vì   ( R )   ( R) Bây giả sử M kiểu II Một lần theo bổ đề 2.2.4 ta có  ( R)   ( M ) Như đề cập phần nhận xét sau định nghĩa 2.1.7, M đẳng cấu với t 1  i 1 sử dụng giả thiết qui nạp trực tiếp cho M dẫn đến  ( R)   ( R) q Do 28 2.5 Ví dụ phủ vành giao hoán địa phương Chúng ta mong muốn tìm số phủ cho vành giao hốn hữu hạn cách thức tiếp cận vấn đề sử dụng kết quả: ``Mỗi vành giao hốn hữu hạn đẳng cấu với tích trực tiếp vành giao hốn địa phương'' (vành địa phương vành có iđêan tối đại) Do để xác định  ( R) cho R vành giao hốn hữu hạn tổng qt chúng cần xem xét số phủ cho vành giao hoán địa phương trước tiên Tiếp sau ví dụ vành giao hóa địa phương phủ Ví dụ 2.5.1 Cho q lũy thừa số nguyên tố Gọi R vành M ( q ) sau  a b c    R   a  | a, b, c   0 a      q   Khi R vành giao hốn địa phương bậc q Chúng ta  ( R)  q  Thật vậy, để tiện cho việc kí hiệu kí hiệu lại a b c   [ a , b, c ]   a   R 0 a   1R  [1, 0, 0] Lúc iđêan tối đại R {[0, b, c] | b, c  q } nhóm nhân R  {[a, b, c] | a  0} Dễ dàng nhận thấy với a, b, c  q [a, b, c]n  [a n , na n1b, na n1c] Điều có nghĩa [a, b, c]q  [a,0,0] [a, b, c] chứa  a,0,0 0, b, c  Suy với a  [a, b, c]  {[v, wb, wc] | v, w  p [a]} có bậc q Vì [a, b, c] vành thực R , nên theo bổ đề 2.2.2 R phủ 29 Bây cố định phần tử sinh  a, b, c  q q p Từ lập luận trên, với [a, b, c]  [ , b, c] Vì vành [ , b, c] tạo thành phủ R Từ ta xác định số vành tối đại R dạng [ , b, c] Giả sử hai phần tử b, c khác không S  [ , b, c] Thành phần thứ hai thứ ba [ , b, c] có dạng vectơ (b, c ) q q Ở  d , e, f  thuộc S , vectơ (e, f ) thuộc khơng gian tuyến tính q sinh (b, c ) Từ điều cho thấy S vành tối đại R Thật vậy, (d , e, f )  R \ S vectơ (e, f ) khơng thuộc vào khơng gian tuyến tính sinh (b, c ) Do vành R sinh S  d , e, f  chứa [ , 0, 0],[0,  , 0] [0, 0,  ] , kéo theo phải chứa tất phần tử R Các lập luận cho thấy rõ [ , b, c] tối đại hai phần tử b c khác không số vành tối đại với số không gian tuyến tính q Vì có q  vành tối đại chúng [ , 0,1] [ ,1, u ], u  q Do vành tối đại phủ R nên  ( R)  q  Tuy nhiên vành tối đại sinh phần tử đơn R nên vành tối đại phải nằm phủ R Vậy  ( R)  q  30 Kết luận Từ khái niệm phủ vành hữu hạn R họ vành chuyển thành phủ vành tối đại R , kết vành tối đại: bổ đề 2.1.3, 2.1.5 định lí 2.1.9 Trong luận văn này, tơi cố gắng trình bày điều kiện vành hữu hạn phủ (Bổ đề 2.2.2, định lí 2.2.5, hệ 2.2.6, định lí 2.3.1, 2.3.3), việc tìm số phủ vành hữu hạn thỏa mãn điều kiện (Định lí 2.4.3, 2.4.4) Đặc biệt, hệ 2.3.4 cho điều kiện để vành nửa đơn hữu hạn phủ Ở phần cuối luận văn, tơi có nêu ví dụ phủ vành giao hốn địa phương (ví dụ 2.5.1) Tôi hi vọng tiếp tục nghiên cứu phủ loại vành 31 Tài liệu tham khảo [1] A Azarang, O A S Karamzadeh, On maximal subrings of commutative rings, Algebra Collq 19 special issue no (2012) 1125-1138 [2] J Lewin, Subrings of finite index in finitely generated rings, J Algebra (1967) 84-88 [3] R Lild, H Niederreiter, Finite fields, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, 2008 [4] B R McDonald, Finite Rings with Identity, Pure and Applied Mathematics, Vol 28, Marcel Dekker, New York, 1974 [5] B H Neumann, Groups covered by permutable subsets, J Lond Math Soc 29 (1954) 236-248 [6] M J Tomkinson, Groups as the union of proper subgroups, Math Scand 81 (1997) 191-198 [7] N J Werner, Covering Numbers of Finite Rings, The American Mathematical Monthly, 122:6, 552-566, 2015 ... Vành hữu hạn, vành con, vành tối đại vành hữu hạn - Tích trực tiếp hữu hạn vành hữu hạn trường hữu hạn - Các phủ vành hữu hạn điều kiện cần đủ để có phủ - Số phủ vành hữu hạn 2 Chương Vành hữu. .. cứu tích trực tiếp vành hữu hạn ứng dụng kết phần để tìm điều kiện cần đủ để vành hữu hạn có phủ hữu hạn Trong trường hợp có phủ hữu hạn, tìm số bé phần tử phủ Số gọi số phủ vành Đối tượng phạm... trường hữu hạn …………………… 1.1 Trường hữu hạn ……………………………………………… 1.2 Vành sinh phần tử ……………………………… Chương Phủ vành hữu hạn ……………………………… 10 2.1 Vành tối đại tích trực tiếp trường hữu hạn ……… 10 2.2 Phủ