Phủ của vành hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH —————————————– DƯƠNG THÁI BẢO PHỦ CỦA VÀNH HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TP HỒ CHÍ MINH - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH —————————————– DƯƠNG THÁI BẢO PHỦ CỦA VÀNH HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG TP HỒ CHÍ MINH – 2019 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn PGS.TS Mỵ Vinh Quang Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số kết quả, nội dung từ báo, sách liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm luận văn Tác giả luận văn Dương Thái Bảo Lời cám ơn Trong trình học tập, nghiên cứu đề tài ``Phủ vành hữu hạn'' nhận giúp đỡ, bảo nhiệt tình thầy, cô giáo trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh để hồn thành luận văn Với tình cảm chân thành, tơi bày tỏ lịng biết ơn Ban giám hiệu, phịng Sau Đại học, Khoa Tốn Tin– Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, thầy giáo, cô giáo tham gia quản lý, giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu Tôi xin bày tỏ biết ơn đặc biệt đến PGS TS Mỵ Vinh Quang – người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ kiến thức, tài liệu phương pháp để tơi hồn thành đề tài nghiên cứu khoa học Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, cổ vũ, khích lệ giúp đỡ tơi suốt thời gian qua Mặc dù có nhiều cố gắng suốt trình thực đề tài, song cịn có mặt hạn chế, thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp dẫn thầy cô giáo bạn đồng nghiệp Dương Thái Bảo Mục lục Lời cam đoan Lời cám ơn Mục lục Mở đầu …………………………………………………………… Chương Vành hữu hạn trường hữu hạn …………………… 1.1 Trường hữu hạn ……………………………………………… 1.2 Vành sinh phần tử ……………………………… Chương Phủ vành hữu hạn ……………………………… 2.1 Vành tối đại tích trực tiếp trường hữu hạn ……… 2.2 Phủ tích vành hữu hạn ……………………………… 2.3 Phủ tích trực tiếp trường hữu hạn …………………… 2.4 Số phủ tích trực tiếp trường hữu hạn ………………… 2.5 Ví dụ phủ vành giao hoán địa phương ………………… Kết luận …………………………………………………………… Tài liệu tham khảo ………………………………………………… Mở đầu Phủ nhóm G họ nhóm thực G mà hợp chúng G Dễ thấy, G khơng có phủ gồm nhóm thực Tuy nhiên, nhóm hữu hạn khơng xyclic có phủ hữu hạn Vấn đề đặt tương tự vành Phủ vành A họ vành thực A mà hợp chúng A Tất nhiên, vành A khơng có phủ gồm vành thực Bởi vậy, câu hỏi vành hữu hạn A có phủ gồm hữu hạn vành thực câu hỏi thú vị, thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học đến cịn nhiều vấn đề mở cần tiếp tục tìm tịi, nghiên cứu Chính vậy, tơi định chọn đề tài “phủ vành hữu hạn” làm đề tài cho luận văn thạc sĩ tốn với mong muốn tìm hiểu vấn đề thú vị tốn học Mục tiêu đề tài là: nghiên cứu vành con, vành tối đại vành hữu hạn, nghiên cứu tích trực tiếp vành hữu hạn ứng dụng kết phần để tìm điều kiện cần đủ để vành hữu hạn có phủ hữu hạn Trong trường hợp có phủ hữu hạn, tìm số bé phần tử phủ Số gọi số phủ vành Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Vành hữu hạn, vành con, vành tối đại vành hữu hạn - Tích trực tiếp hữu hạn vành hữu hạn trường hữu hạn - Các phủ vành hữu hạn điều kiện cần đủ để có phủ - Số phủ vành hữu hạn Chương Vành hữu hạn trường hữu hạn Trong luận văn này, khái niệm vành hiểu vành có đơn vị Tập S khác rỗng vành R gọi vành R S với phép toán cộng R lập thành nhóm Abel đóng với phép tốn nhân R (vành khơng hẳn chứa phần tử đơn vị) Bên cạnh đó, kí hiệu R , nhóm nhân phần tử khả nghịch R (phần tử đơn vị kí hiệu e 1) 1.1 Trường hữu hạn Trong mục nhắc lại số kết mở rộng trường trường hữu hạn Đầu tiên khái niệm đặc số vành: số nguyên dương p gọi đặc số vành R p số bé thỏa px  với x  R Nếu không tồn số nguyên dương p ta nói vành R có đặc số khơng Định lí 1.1.1 Cho F trường bất kì, đặc số F là số nguyên tố Chứng minh Gọ p , p nên ( p e )( p e)  Do F trường nên p e  đặc số F Phần tử đơn vị e với đặc số p trường F tạo nên trường p Định lí 1.1.2 Cho F trường có phần tử đơn vị e , đặc số F p  đặt p  {0, e, 2e,3e,,( p 1)e}, F có đặc số đặt  {( me )( ne ) p Khi trường bé p F F gọi trường nguyên tố Chứng minh Nếu nên trường F F Xét le  ( p  l )e  p ( p, l) 1, (lv )e  e , ( ke )(le ) p  1 p Xét F có đặc số 0, dễ dàng nhận thấy: với m, n  ( me)( ne) 1   m e n e  1  mn  nm (*) ,n0 (me )(ne ) 1   m  e n  e  1   mn   nm  e    nn  e1 (me )(ne ) 1 m e n  e  1   mm  e    nn  e1 Vậy 1 đóng với hai phép tốn F Mặt khác ( me )( ne)  p (  me )( ne)  Ngoài ( me)( ne) p p p (me )(ne ) Vậy p 1 xạ ( me)( ne) trường F Bên cạnh (*) nên p  m thông qua ánh n Hệ 1.1.3 Nếu F trường hữu hạn đặc số F số ngun tố Chứng minh Theo định lí 1.1.1 đặc số p F có đặc số 0, theo định lí trường ngun tố vơ hạn phần tử (mâu thuẫn với tính hữu hạn Kế đến nói đến đặc điểm số phần tử trường hữu trường Định lí 1.1.4 Cho F F có q m phần tử Chứng minh Lúc ta xem F không gian vectơ trường hữu hạn nên khơng gian vectơ hữu hạn chiều K Nếu m [ F : K] có sở K gồm m phần tử, kí hiệu biểu diễn qua dạng a b  a b Tuy nhiên có q lựa chọn nên F có q Định lí 1.1.5 Cho F trường hữu hạn Khi nguyên tố p đặc số F n [ F : p ] F c p ó phần tử, số số nguyên dương, gọi Irr( q , n) tập hợp đa thức đơn khởi bất khả qui bậc n thuộc q [ x] Một công thức tính cho | Irr( q , n) | trình bày định lí 3.25 chương [3] 23 n/d | Irr( q , n ) |  hàm Mobius định nghĩa sau ( ) = {(−1) =1 có nhân tử ngun tố có ước phương Sử dụng khái niệm này, kết hợp với định lí 2.1.1 ta có Định lí 2.3.1 Cho p số nguyên tố, t i)  i 1 phủ t p  t  ii) Lấy q  pn n  Khi t | Irr( p , n) | 1 phủ i 1 Chứng minh t i) Vành R phủ phần tử  a  ( a1 ,  , at )  p với i 1 ln có hai thành phần Do t  p ii) Ta có   q khác không nghiệm đa thức đơn khởi bất khả qui bậc n p [ x] Tương tự trên, t phải đủ lớn cho có hai thành phần có đa thức tối tiểu Từ định lí đến định nghĩa sau Định nghĩa 2.3.2 Với q lũy thừa số nguyên tố, ta kí hiệu  ( q) giá trị nhỏ  | Irr( p, n) | t t cho  q phủ Nếu q i1  p ( q )    pn ta có n 1 1 n 1 24 t Định lí 2.3.3 Cho R   i 1 đôi phân biệt Khi R phủ Chứng minh Từ hệ 2.2.6, ta cần chứng minh trường hợp đặc số p Vì giả sử số nguyên dương phân biệt ( ) hiển nhiên ti ( ) Giả sử  j 1  ( ai1 , , a qi khơng thể phủ Theo định lí 2.1.1, với i tồn q i cho phần tử aij sinh qi mij mi1 , mi , , mit đôi phân biệt Bậc mij ni tất m cặp phân biệt Vì a  ( a , , a ) sinh có đa thức tối tiểu ij Lớp vành định lí tổng hữu hạn Vành (0) vng Theo định lí Wedderburn n ( F) với F M (0) ) hữu hạn đẳng cấu với tích trực tiếp vành đơn h R cấu với M ni ( Fi ) với Fi trường hữu hạn Ở phần cuối này, có hệ điều kiện phủ vành Hệ 2.3.4 Cho R  M N i số nguyên tố Khi R phủ điều kiện sau thỏa mãn (i) tồn Ni 1 (ii) tất Ni 1 tồn qi xuất tích tối thiểu  ( qi ) lần 25 Chứng minh Chiều thuận: trường hợp ii) suy từ định nghĩa 2.3.2 định lí 2.3.3 Chiều ngược lại: tồn Ni 1 M N ( hốn, theo ý bổ đề 2.2.2 MN ( i q i q i ) vành khơng giao i ) phủ Theo ý bổ đề t Cuối Ni i R   i 1 q Sử dụng định nghĩa i  ( qi ) ta có điều phải chứng minh 2.4 Số phủ tích trực tiếp trường hữu hạn Nếu mục trước, xét điều hạn R mục tìm hiểu cách xá Định lí 2.4.1 Cho R     q đơi phân biệt Khi Chứng minh Theo hệ 2.2.6, ta cần chứng tỏ trường hợp đặc số p Vì giả sử qi biệt Với i , đặt R  R kiểu I kiểu II Do vành tối đại M với M vành tối đại i Tiếp theo bàn đến việc đếm số vành co , đặt  ( q) số vành tối đại nguyên tố n n 1 Định lí 2.4.2 Cho q  p i 1 vành tối đại kiểu II Chứng minh Vành kiểu I đếm cách chọn số i vành tối đại q Do có t ( q) vành kiểu I Với vành kiểu kiểu II có  t  tương ứng cách chọn số i  j n cách chọn tự đẳng cấu   Galois q p  ( q) Định lí 2.4.3 Cho q  pn v R   i1 q Khi  (R)  (q) (q)   n  ( q)  Chứng minh Để chứng minh định lí ta cần chứng tỏ vành tối đại R sinh phần tử Thật vậy, R phủ theo định lí 2.3.1 ( q họ vành tối đại R tạo thành phủ Lúc  ( R )   ( q ) ( q )  n   )   Theo hướng khác, vành tối đại R sinh phần tử vành tối đại phần phủ R (ý bổ đề 2.2.2), kéo theo  ( R )  ( q ) ( q )  n  P  { f1, , l nghiệm Với  j  ( q) , ta chọn b j  q q q al  giả Khi đó, mệnh đề 2.1.1 chứng tỏ  sử với Chú ý q cho b j sinh vành tối đại Với  i   ( q)  j  ( q) ta định nghĩa  ij  ( a1 , , ij P Irr( p , n ) \ { x} )  lấy Lấy 1 , b j , , , a ( q ) 1 nữa, vành tối đại kiểu I R  vành tối đại kiểu I R Hơn sinh ij 27 Xét đến vành tối đại kiểu II, chọn số k  l tự đẳng cấu Galois cho q p [ a] f  P đa thức tối  q p Lấy a  q khác không tiểu a Chọn   ( c1 , , ck 1 , a , ck , , cl  ,  ( a ), cl 1 , , c ( q) 2 ) cm nghiệm đa thức P \ { f } Khi đó,    vành tối đại kiểu II R vành tối đại kiểu II sinh  Cuối ta xét trường hợp t  ( q) Để chứng minh kết này, qui nạp theo t sử dụng bổ đề 2.2.4 t Định lí 2.4.4 Cho q  pn v R   i 1 t q  ( q) Chứng minh Đặt R  q R nhận Khi i1 (q)  Khi  ( R)     q   ( q)  i 1 R vành thặng dư, '  ( R ) Để chứng tỏ  ( R )  t Trường hợp chứng minh định lí Vì kết giả sử q) t   ( 1 với t Do t   ( q) , R R chứa nhiều vành tối đại R' Vì phủ nhỏ nhất vành tối đại M Giả sử M kiểu I, chứa t 1 khơng tính tổng quát, giả sử M   i 1 q M , M vành tối đại t  (R) theo bổ đề 2.2.4 Kế đến, M t (M)  (M)   lí 2.4.1 suy  q  Theo giả thiết qui nạp   q Lúc  (R)   (R)  i 1t1  ( Mt )  , từ định  t 1    q  i 1   Vì  (R)  Bây giả sử M kiểu II Một lần theo bổ đề 2.2.4 ta có Như đề cập phần nhận xét sau định nghĩa 2.1.7, M đẳng cấu với  (R) t 1  q i  (M) sử dụng giả thiết qui nạp trực tiếp cho M dẫn đến  ( R )   ( R) Do 28 2.5 Ví dụ phủ vành giao hoán địa phương Chúng ta mong muốn tìm số phủ cho vành giao hốn hữu hạn cách thức tiếp cận vấn đề sử dụng kết quả: ``Mỗi vành giao hốn hữu hạn đẳng cấu với tích trực tiếp vành giao hốn địa phương'' (vành địa phương vành có iđêan tối đại) Do để xác định  ( R) cho R vành giao hoán hữu hạn tổng quát chúng cần xem xét số phủ cho vành giao hoán địa phương trước tiên Tiếp sau ví dụ vành giao hóa địa phương phủ Ví dụ 2.5.1 q lũy thừa số nguyên tố Gọi R vành Cho sau Khi R vành giao hoán địa phương bậc  ( R) q Chúng ta  q 1 Thật vậy, để tiện cho việc kí hiệu kí hiệu lại [a,b,c]  [1, 0, 0] Lúc iđêan tối đại R R  {[ a, b, c ] | a  0} Dễ dàng nhận thấy với a , b, c  q Điều có nghĩa [ a, b, c ]q  [ a, 0, 0] [ a , b , c] với a  [ a , b, c ] {[ v , wb, wc ] | v, w  vành thực R , nên theo bổ đề 2.2.2 R phủ 29 Bây cố định phần tử sinh  a , b, c  q phủ R Từ ta xác định số vành tối đại R Giả sử hai phần tử b, c khác không S [, b , c] Thành phần thứ hai thứ ba [, b , c] có dạng vectơ d , e, f đều thuộc S , vectơ ( e, f ) tuyến tính Từ điều cho thấy ( d , e, f )  R \ S vectơ ( e, f ) ( b , c) Do vành R sinh S d , e, f  , kéo theo phải chứa tất phần tử R Các lập luận cho thấy rõ [, b, c] tối đại hai phần tử b gian tuyến tính khác khơng số vành tối đại với số khơng c Vì có q [, 0,1] Do vành tối đại phủ R nên vành tối đại sinh phần tử đơn R phải nằm phủ R Vậy  ( R )  q 1  ( 1 R)q vành tối đại nên 30 Kết luận Từ khái niệm phủ vành hữu hạn R họ vành chuyển thành phủ vành tối đại R , kết vành tối đại: bổ đề 2.1.3, 2.1.5 định lí 2.1.9 Trong luận văn này, tơi cố gắng trình bày điều kiện vành hữu hạn phủ (Bổ đề 2.2.2, định lí 2.2.5, hệ 2.2.6, định lí 2.3.1, 2.3.3), việc tìm số phủ vành hữu hạn thỏa mãn điều kiện (Định lí 2.4.3, 2.4.4) Đặc biệt, hệ 2.3.4 cho điều kiện để vành nửa đơn hữu hạn phủ Ở phần cuối luận văn, có nêu ví dụ phủ vành giao hốn địa phương (ví dụ 2.5.1) Tơi hi vọng tiếp tục nghiên cứu phủ loại vành 31 Tài liệu tham khảo [1] A Azarang, O A S Karamzadeh, On maximal subrings of commutative rings, Algebra Collq 19 special issue no (2012) 1125-1138 [2] J Lewin, Subrings of finite index in finitely generated rings, J Algebra (1967) 84-88 [3] R Lild, H Niederreiter, Finite fields, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, 2008 [4] B R McDonald, Finite Rings with Identity, Pure and Applied Mathematics, Vol 28, Marcel Dekker, New York, 1974 [5] B H Neumann, Groups covered by permutable subsets, J Lond Math Soc 29 (1954) 236-248 [6] M J Tomkinson, Groups as the union of proper subgroups, Math Scand 81 (1997) 191-198 [7] N J Werner, Covering Numbers of Finite Rings, The American Mathematical Monthly, 122:6, 552-566, 2015 ... Vành hữu hạn, vành con, vành tối đại vành hữu hạn - Tích trực tiếp hữu hạn vành hữu hạn trường hữu hạn - Các phủ vành hữu hạn điều kiện cần đủ để có phủ - Số phủ vành hữu hạn 2 Chương Vành hữu. .. cứu tích trực tiếp vành hữu hạn ứng dụng kết phần để tìm điều kiện cần đủ để vành hữu hạn có phủ hữu hạn Trong trường hợp có phủ hữu hạn, tìm số bé phần tử phủ Số gọi số phủ vành Đối tượng phạm... trường hữu hạn …………………… 1.1 Trường hữu hạn ……………………………………………… 1.2 Vành sinh phần tử ……………………………… Chương Phủ vành hữu hạn ……………………………… 2.1 Vành tối đại tích trực tiếp trường hữu hạn ……… 2.2 Phủ tích