Hàm tử tor và hàm tử exit trên miền dedekind

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Cao Văn Hồng HÀM TỬ TOR VÀ HÀM TỬ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành Phố HỒ CHÍ MINH - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Cao Văn Hồng HÀM TỬ TOR VÀ HÀM TỬ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành Phố Hồ Chí Minh - Năm 2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn PGS.TS Mỵ Vinh Quang Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số kết quả, nội dung từ sách liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm luận văn LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình học tập hồn thành luận văn, tơi nhận giúp đỡ hướng dẫn nhiệt tình thầy bạn cao học tốn K28 Đầu tiên, xin gửi lời biết ơn sâu sắc, chân thành đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người thầy tâm huyết giảng dạy người tận tình, giúp đỡ, hướng dẫn tơi q trình hồn thành luận văn, nói luận văn khơng hồn thành khơng có bảo thầy Ngồi ra, với lịng kính trọng biết ơn, xin gởi lời cảm ơn chân thành đến: Các thầy khoa Tốn trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh GS.TSKH Nguyễn Tự Cường trực tiếp trang bị cho kiến thức làm tảng cho trình nghiên cứu hồn thành luận văn Ban giám hiệu, phịng Đào tạo sau đại học, khoa Toán trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, hồn thành bảo vệ luận văn Các thầy Hội đồng Bảo vệ luận văn thạc sĩ đọc, đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá luận văn Cuối xin dành lời cảm ơn đến gia đình ln động viên, giúp đỡ tơi q trình hồn thành luận văn Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2019 Cao Văn Hồng MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục kí hiệu Mở đầu Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Hàm tử Hom 1.2 Hàm tử Tenxơ 1.3 Môđun tự 1.4 Môđun xạ ảnh 1.5 Môđun nội xạ 1.6 Hàm tử đồng điều 10 1.7 Đồng luân 12 Chương HÀM TỬ TOR VÀ EXT TRÊN VÀNH GIAO HỐN CĨ ĐƠN VỊ 14 2.1 Phép giải xạ ảnh 14 2.2 Xây dựng hàm tử Tor 20 2.3 Hai dãy khớp hàm tử Tor 22 2.4 Ứng dụng dãy khớp Tor 24 2.5 Xây dựng hàm tử Ext 28 2.6 Hai dãy khớp dài Ext 30 2.7 Ứng dụng dãy khớp hàm tử Ext 32 Chương HÀM TỬ TOR VÀ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND 38 3.1 Môđun miền Dedekind 38 3.2 Hàm tử Tor miền Dedekind 43 3.3 Hàm tử Ext miền Dedekind 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Hom(X, Y ) M od f ⊗g X ⊗Y Hom(f, g) X ⊕Y L K f g Hn (K) H n (L) T orn (X, Y ) T orn (h, g) Extn (X, Y ) Extn (h, g) X = x1 , x2 , , xn : Tập tất đồng cấu từ X tới Y : Tập môđun vành : Tích tenxơ hai đồng cấu f g : Tích tenxơ hai mơđun X Y : Hom hai đồng cấu : Tổng trực tiếp hai môđun X Y : L môđun K : Hai ánh xạ dây chuyền f g đồng luân : môđun đồng điều chiều n phức K : môđun đối đồng điều chiều n phức L : Tích xoắn n- chiều mơđun X Y : Tích xoắn n- chiều đồng cấu h g : Tích mở rộng n- chiều mơđun X Y : Tích mở rộng n- chiều đồng cấu h g : X môđun hữu hạn sinh sinh phần tử x1 , x2 , , xn MỞ ĐẦU Hàm tử T or hàm tử Ext với hàm tử Tenxơ hàm tử Hom xem bốn cột trụ Đại số đồng điều, hàm tử T or Ext đóng vai trị quan trọng nhiều chuyên ngành khác Toán học Đại số đồng điều, Đại số giao hốn, Hình học đại số, tơ pơ hình học Chính vậy, tơi chọn đề tài : "Hàm tử T or hàm tử Ext miền Dedekind" làm đề tài cho luận văn Thạc sĩ Tốn với mong muốn tìm hiểu sâu hơn, tiếp cận nhiều với hướng nghiên cứu phát triển có nhiều ứng dụng Toán học đại Với đối tượng, phạm vi nghiên cứu miền Dedekind, hàm tử T or hàm tử Ext vành giao hốn có đơn vị miền Dedekind, mục đích luận văn tìm hiểu sâu hơn, tồn diện hệ thống hàm tử T or Ext miền nguyên Sau dựa số tính chất miền Dedekind mơđun miền Dedekind để chứng minh số tính chất sâu sắc thú vị hàm tử T or hàm tử Ext miền Dedekind Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn trình bày thành ba chương Chương 1: Các kiến thức Nội dung chương trình bày định nghĩa, tính chất hàm tử Hom, hàm tử Tenxơ, môđun tự do, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, hàm tử đồng điều, đồng luân Chương Hàm tử T or Ext vành giao hốn có đơn vị Chương trình bày cách xây dựng hàm tử T or Ext dẫn xuất hàm tử Tenxơ hàm tử Hom Chương trình bày chứng minh số kết tính chất T or Ext Chương Hàm tử T or Ext miền Dedekind Chương trình bày số tính chất miền Dedekind, mơđun miền Dedekind ứng dụng chúng để nghiên cứu hàm tử T or Ext miền Dedekind Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong suốt luận văn này, môđun xét vành sở vành R giao hốn có đơn vị 1.1 Hàm tử Hom Định nghĩa 1.1.1 Cho X, Y R- môđun Tập tất đồng cấu từ X tới Y , ký hiệu Hom(X, Y ) Trên Hom(X, Y ) ta định nghĩa: ∀f, g ∈ Hom(X, Y ) : f + g :X −→Y −→(f + g)(x) = f (x) + g(x) x ∀r ∈ R, ∀f ∈ Hom(X, Y ) : rf :X −→Y x −→(rf )(x) = r · f (x) Khi Hom(X, Y ) môđun R Định nghĩa 1.1.2 Cho đồng cấu α : A −→ B X môđun cố định Xét ánh xạ cảm sinh: α∗ : Hom(X, A) −→Hom(X, B) f −→α∗ (f ) = αf α∗ : Hom(B, X) −→Hom(A, X) g −→α∗ (g) = gα α∗ , α∗ đồng cấu môđun Định nghĩa 1.1.3 Xét môđun X thuộc phạm trù R- môđun (ký hiệu M od) 36 Theo định lí 2.6.2, ta có dãy khớp: −→ Hom(X, A)−→Hom(X, B)−→Hom(X, C) −→ Ext(X, A) −→ Theo giả thiết Ext(X, A) = nên ta có dãy khớp ngắn: −→ Hom(X, A)−→Hom(X, B)−→Hom(X, C) −→ Theo định lí 1.4.5, ta có X xạ ảnh Mệnh đề 2.7.6 Với môđun Y R, phát biểu sau tương đương: a) Y nội xạ b) Ext(X, Y ) = 0, với môđun X R c) Extn (X, Y ) = 0, ∀n > 0, với môđun X R Chứng minh a)⇒ b) Áp dụng mệnh đề 2.5.5 với n = b)⇒ c) Ta chứng minh quy nạp theo n Với n = 1, ta có Ext(X, Y ) = 0, ∀X (theo giả thiết b) Giả sử với n − Khi với mơđun X bất kỳ, nhúng X vào dãy khớp: −→ A−→P −→X −→ với P xạ ảnh Theo mệnh đề 2.7.2, ta có: Extn (X, Y ) ∼ = Extn−1 (A, Y ) = (theo giả thiết quy nạp) Vậy Extn (X, Y ) = 0, ∀n > 0, ∀X c)⇒ a) Xét dãy khớp ngắn −→ A−→B−→C −→ Theo định lí 2.6.3, ta có dãy khớp: −→ Hom(C, Y )−→Hom(B, Y )−→Hom(A, Y ) −→ Ext(C, Y ) −→ 37 Theo giả thiết, ta có Ext(C, Y ) = Do ta có dãy khớp ngắn: −→ Hom(C, Y )−→Hom(B, Y )−→Hom(A, Y ) −→ Theo định lí 1.5.7, ta có Y nội xạ 38 Chương HÀM TỬ TOR VÀ EXT TRÊN MIỀN DEDEKIND 3.1 Môđun miền Dedekind Mục chứng minh số kết thú vị môđun miền Dedekind, kết xem mở rộng kết biết môđun miền iđêan chính, nhiên chứng minh hồn tồn khác Đầu tiên ta có định nghĩa miền Dedekind sau: Định nghĩa 3.1.1 Miền Dedekind miền nguyên mà iđêan mơđun xạ ảnh Ta biết miền iđêan iđêan mơđun tự Do miền Dedekind xem mở rộng miền iđêan Ta biết, môđun môđun tự miền iđêan mơđun tự Vậy mơđun mơđun tự miền Dedekind có mơđun tự hay không? Câu trả lời không, sau ví dụ: √ Ví dụ 3.1.2 Xét D = {a + b −5|a, b ∈ Z} Khi D vành số nguyên đại số √ √ trường Q( −5) = {a + b −5|a, b ∈ Q} theo [6, Theorem 8.1.1] D miền √ Dedekind Xét iđêan I = 3, + −5 ta có I mơđun D xem môđun tự D Ta chứng minh I không môđun tự D Giả sử I mơđun tự 39 Vì D vành giao hoán hai phần tử D phụ thuộc tuyến tính D √ sở I gồm phần tử α, nghĩa là: I = 3, + −5 = α với α ∈ I √ Khi α|3 α|1 + −5 D nên |α|2 |9 |α|2 |26 vành Z Do |α|2 = hay α · α = suy α khả nghịch D Vậy I = D √ √ √ Khi ∈ I nên = 3(a + b −5) + (1 + −5)(c + d −5) √ = (3a + c − 5d) + (3b + c + d) −5 Do 3a + c − 5d = 1, 3b + c + d = 3(a − b) − 6d = (mâu thuẫn) Mâu thuẫn chứng tỏ I không môđun tự Tuy nhiên ta có kết sau xem mở rộng kết miền iđêan Định lí 3.1.3 Mơđun mơđun xạ ảnh miền Dedekind môđun xạ ảnh Chứng minh Để chứng minh định lý ta cần bổ đề quan trọng sau: Bổ đề 3.1.4 Nếu R miền Dedekind mơđun R- mơđun tự tổng trực tiếp môđun mà môđun tổng trực tiếp đẳng cấu với iđêan R Chứng minh Lấy F môđun tự với sở {xi }i∈I I tập số thứ tự tốt Ta ký hiệu: ci xi |ci ∈ R, xi ∈ F Fα = i