Chuyên ngành toán tổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của Toán học nói chung và toán rời rạc nói riêng. Nội dung của toán tổ hợp phong phú và được ứng dụng nhiều trong thực tế đời sống. Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng xuất hiện trong rất nhiều bài toán với độ khó rất cao. Tổ hợp có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như một công cụ đắc lực của các mô hình rời rạc của giải tích, đại số, hình học...Với vai trò quan trong toán học như vậy nên trong hầu hết các kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olimpic toán quốc tế, thi Olimpic sinh sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan đến tổ hợp thường là các bài toán rất khó, là những bài tập phân loại học sinh rất tốt.Phương pháp giải các bài toán tổ hợp thường rất phong phú và đa dạng. Nhìn chung để giải một bài toán tổ hợp thông thường học sinh phải sáng tạo ra phương pháp và cách thức tiếp cận bài toán. Do đó khi giảng dạy phần tổ hợp thì điều quan trọng là với mỗi bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một cách cụ thể để học sinh hiểu được ý tưởng cũng như mục đích của bài toán. Để cho việc giảng dạy toán phần tổ hợp đạt được kết quả tốt, chúng tôi mạnh dạn viết chuyên đề sử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp để trao đổi với các thầy, cô giáo về phương pháp giảng dạy các bài toán tổ hợp.Trong chuyên đề này, một số dạng bài tập được chọn lọc là các đề ra của các kì thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế, Olimpic sinh viên giữa các trường đại học trên thế giới những năm gần đây.
CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO BỒI DƯỠNG HSG LỚP MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP GV THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC, TỈNH VĨNH PHÚC Chuyên ngành toán tổ hợp phận quan trọng, hấp d ẫn lí thú c Tốn học nói chung tốn rời rạc nói riêng Nội dung tốn tổ h ợp phong phú ứng dụng nhiều thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ h ợp xuất nhiều toán với độ khó cao T ổ h ợp có v ị trí đ ặc bi ệt tốn học khơng đối tượng để nghiên c ứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực mơ hình rời rạc c gi ải tích, đ ại số, hình học Với vai trị quan tốn học nên hầu hết kì thi h ọc sinh giỏi quốc gia, thi Olimpic toán quốc tế, thi Olimpic sinh sinh viên gi ữa tr ường đại học cao đẳng, toán liên quan đến tổ h ợp th ường tốn r ất khó, tập phân loại học sinh tốt Phương pháp giải toán tổ hợp thường phong phú đa dạng Nhìn chung để giải tốn tổ hợp thông thường học sinh ph ải sáng t ạo phương pháp cách thức tiếp cận tốn Do gi ảng d ạy ph ần t ổ h ợp điều quan trọng với tốn giáo viên nên phân tích, đ ịnh h ướng l ời gi ải cách cụ thể để học sinh hiểu ý tưởng nh m ục đích c tốn Để cho việc giảng dạy toán phần tổ hợp đạt kết tốt, m ạnh dạn viết chuyên đề "sử dụng số phức để giải số dạng toán tổ h ợp" đ ể trao đổi với thầy, cô giáo phương pháp giảng dạy toán tổ h ợp Trong chuyên đề này, số dạng tập chọn lọc đề c kì thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế, Olimpic sinh viên gi ữa tr ường đ ại h ọc giới năm gần Chuyên đề chia làm hai phần chính: I Phần tập minh họa II Phần tập tương tự Những toán tổ hợp xuất đề thi chọn học sinh giỏi nh ững năm gần thường tập hay khó, có đ ộ phân hóa cao gi ữa đ ối tượng học sinh Với thời gian ngắn học sinh th ường khó đ ể gi ải quy ết toán dạng vấn đề nan gi ải công tác ôn luyện học sinh giỏi đa số giáo viên Số l ượng nh s ố d ạng toán t ổ hợp nhiều (có thể nói vơ hạn) nên giáo viên không th ể d ạy h ết t ất c ả được, mà cần phải có phương pháp hiệu để trang bị cho h ọc sinh cách tiếp cận kiến thức sở việc giải toán t ổ h ợp Chuyên đề hoàn thành với giúp đỡ nhiệt tình nội dụng hình th ức thầy, giáo tổ tốn - tin, BGH trường THPT chuyên Vĩnh Phúc Do thời gian trình độ có hạn nên viết ch ỉ đề c ập đến m ột khía c ạnh r ất nhỏ dạng toán tổ hợp, mong nhận góp ý ph ương pháp hi ệu để việc giảng dạy phân môn có hiệu h ơn I MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA Bài Cho tập hợp M tập hợp tập X có tính chất T nếu: tích phần tử phân biệt M khơng số phương Tìm số phần tử lớn M Lời giải Xét tập hợp rời có phần tử tích phần t s ố phương: 1, 4,9 , 2, 7,14 , 5,12,15 , 3, 6,8 Nếu tập hợp M có tính chất T có phần tử tập không thuộc M suy M �11 Giả sử M 11 : Do M có tính chất T nên tập tập hợp 1, 4,9 , 2, 7,14 , 5,12,15 , 3, 6,8 phải có hai phần tử thuộc M phần tử 10,11,13 �M Khi với tập hợp 5,12,15 ta xét trường hợp sau: +) 5,12 �M � �M � 7,14 �M � �M � 3, �M Do 3.12 nên M không chứa phần tử 1, 4,9 vô lí +) 5,15 �M � �M � 6,8 �M � �M � 7,14 �M Do 7.14.8 28 vơ lí 2 +) 12,15 �M � �M � 3,8 �M Do 3.12 nên M không chứa phần tử 1, 4,9 vơ lí Vậy M �10 Mặt khác ta lấy M 1, 4,5, 6, 7,10,11,12,13,14 Vậy số phần tử lớn tập hợp M 10 Bài Cho tập hợp X 1, 2,3, ,16 M tập hợp tập X có tính chất T nếu: M khơng chứa ba phần tử đôi nguyên tố Tìm s ố phần tử lớn M Lời giải Xét tập hợp số A 1, 2,3,5, 7,11,13 , ta thấy tập hợp M thỏa mãn tính chất T M chứa nhiều phần tử A M 11 Mặt khác tập 2,3, 4, 6,8,9,10,12,14,15,16 hợp gồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất T : Vậy số phần tử lớn M 11 Bài (VMO 2004) Cho tập hợp A 1, 2,3, ,16 Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ cho tập gồm k phần tử A tồn hai số 2 phân biệt a, b thỏa mãn a b số nguyên tố Lời giải Xét tập hợp B 2, 4,6,8,10,12,14,16 2 , ta thấy a, b �B � a b số chẵn lớn nên k thỏa mãn yêu cầu toán k �9 Ta chứng minh k số nhỏ thỏa mãn yêu cầu toán Thật vậy, ta chia t ập h ợp A 2 a, b thành cặp hai phần tử cho a b số nguyên tố: 1, , 2,3 , 5,8 , 6,11 , 7,10 , 9,16 , 12,13 , 14,15 Do theo ngun tắc Dirichlet phần t phân biệt t ập h ợp A phải tồn hai số thuộc cặp Vậy k nhỏ Bài Cho tập hợp M 1, 2, , n , n �2 Hãy tìm số m nhỏ cho tập chứa m phần tử M tồn hai số a, b mà số bội số �� n �� n 1� � n 1� � M �� �� , 1, , n � � � n � �� �� � Lời giải Xét tập M Do � � nên M1 n 1� � m �� � � � , ta chứng khơng có hai số mà số chia hết cho số Do n 1� � m � � � � số nhỏ thỏa mãn yêu cầu toán Thật vậy, xét tập minh � � � � �a1 , a2 , , a�n 1�1 � � �2 � � � � M Ta xét hai trường hợp n chẵn n lẻ b TH1 Nếu n 2k , ta viết ci , ci số lẻ, i 1, 2, , k Do có i c c � a ,a k số lẻ nên tồn i �j cho i j hai số i j có số chia hết cho số b TH2 Nếu n 2k , ta viết ci , ci số lẻ, i 1, 2, , k Do có i c c � a ,a nhiều k+1 số lẻ nên tồn i �j cho i j hai số i j có số chia hết cho số n 1� � m � � �2 � Vậy số nhỏ thỏa mãn yêu cầu Sau ta đưa số ứng dụng toán Bài 4.1 Cho tập hợp M 1, 2, , 2n , n �1 Khi tập hợp gồm n phần tử M chứa hai phần tử bội Kết hay có nhiều ứng dụng việc giải tốn liên quan Sau tơi xin đưa số tập vận dụng hệ nêu Bài 4.2 (Brasil 2015) Cho tập S 1, 2, , 6n , n �2 Tìm số nguyên dương k lớn A 4n cho khẳng định sau đúng: tập A S , , có k a, b , a b a b c ặp Lời giải A 2n 1, 2n 2, , 6n Lấy x, y �A, x y Nếu x, y �A, x y y 6n � � y 2x , ta có x 2n Do x, y 2n t , 4n 2t , t 1, 2, , n cặp phải có dạng Từ ta k �n x , y , x , y , , x , y Nếu k n , ta giả sử có k cặp 1 2 k k tập S Xét tập B A \ x1 , x2 , , xn B A k x, y , x �B, y �B Vì cặp x, y khơng bội Ta có 4n n 3n B 3n Từ đây, kết hợp với 4.1 ta suy tập B có hai phần tử bội nhau, vơ lí Vậy số ngun d ương l ớn nh ất th ỏa mãn yệu cầu toán k n � a , a � 2n, i �j Bài 4.3 Cho n, n số nguyên dương a1 a2 an �2n cho �i j � 2n � � a1 � � �3 � Chứng minh Lời giải 2n � � a1 � � � a1 �3 � Giả sử 2n 3a1 2n Xét tập hợp 2a1 ,3a1 , a2 , , an gồm n phần tử tập 1, 2, , 2n nên theo 4.1 ta có tồn hai số bội c Gi ả s a j , �i j � � , a j � � � �2n vơ lí Nếu 2a1 , �i � 2a1 , �2n vơ lí Nếu 2n � � a1 � � 3a1 , �i � 3a1, �2n �3 � vơ lí Vậy giả sử ban đầu sai suy Bài 4.4 Cho số nguyên dương n Trên trục số lấy khoảng có độ dài n n 1 Chứng minh khoảng không chứa nhiều phân số tối giản p �,1 q dạng q , p, q Σ� Lời giải n 1 n 1 Giả sử khoảng có độ dài n có nhiều phân số tối giản p �,1 q dạng q , p, q Σ� cho qi q j Đ ặt q j kqi � Ta nhận thấy Từ (1) ta n Theo 4.1 tồn hai phân số kpi p j pi p j p pj i qi q j qi kqi kqi kpi p j � k p j � p j , q j kpi p j pi p j p p i j � qi q j qi kqi kqi n pi p j , qi q j (1) vơ lí suy vơ lí kpi p j �0 � kpi p j �1 pi p j qi q j n Do tốn chứng minh Bài Cho X tập tập 1, 2,3, ,10000 , cho a, b nằm X ab khơng nằm X Tìm số phần tử lớn tập X Lời giải Xét tập hợp M 101,102, ,10000 1, 2,3, ,10000 , 101 10000 nên tập hợp M thỏa mãn yêu cầu toán, tập hợp M có 9900 ph ần t Ta chứng minh 9900 số lớn thỏa mãn yêu cầu toán Th ật vậy, xét t ập A gồm có 9901 phần tử, ta chứng minh tập A khơng th ỏa mãn u c ầu tốn Xét 100 số sau : 100 i,100 i, 100 i 100 i , �i �99 Dễ thấy số thuộc A vơ lý suy phải có nh ất số m ỗi b ộ khơng thuộc A A 10000 100 9900 , vơ lí Vậy số phần tử lớn X 9900 1; 2;3; ;100 A Bài Cho A tập tập hợp , có phần tử nhỏ phần tử lớn 100 Giả sử A có tính chất: Với phần tử x A , x �1 x tổng hai phần tử thuộc A hai lần phần tử thuộc A Tìm số phần tử nhỏ tập hợp A Lời giải Giả sử tập hợp A gồm n phần tử x1 x2 xn 1 xn 100 Với số �i �n ta có: xi x j xs �2 xi 1 Do x2 �2 x1 2, x3 �2 x2 4, x4 �2 x3 x5 �2 x4 16, x6 �2 x5 32, x7 �2 x6 64 , Vì n �8 Nếu n � x8 100 , kết hợp với x6 x7 �64 32 96 � x8 x7 � x7 50 Do x5 x6 �48 � x7 x6 � x6 25 Mặt khác x4 x5 �24 � x6 x5 � x5 25 vô lý A 1, 2,3,5,10, 20, 25,50,100 Do n �9 , với n ta lấy tập hợp thỏa mãn yêu cầu toán Vậy số phần tử nhỏ tập hơp A Bài Cho tập hợp X có n �2 phần tử Xét k �2 tập X thỏa mãn X i �X j , i �j , X i I X j ��, i, j 1, 2, , k Tìm giá trị lớn có k Lời giải Xét k tập Y1 X \ X , Y2 X \ X , , Yk X \ X k Do X i �X j , i �j , X i I X j ��, i, j 1, 2, , k nên Yi �Y j , i �j, Yi I X j , i, j 1, 2, , k Do ta có 2k tập đơi phân biệt tập X Mặt khác số tập tập hợp X n n Do 2k �2 k 2n 1 n 1 n1 X \ a Với k , ta xét phần tử a �X gọi tập A1 , A2 , , A2 Khi n 1 X A1 U a , X A2 U a , , X 2n1 A2n1 U a n1 tập X thỏa mãn yêu n 1 cầu toán Vậy giá trị lớn k Bài Cho n, k số nguyên dương, n �2 Tìm số nguyên dương nhỏ k 1, 2, , n cho họ gồm k tập hợp tập tìm ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà chúng hợp hai tập h ợp l ại Lời giải Trước hết ta chứng minh hai bổ đề sau đây: n1 Bổ đề Cho n số nguyên n �2 Khi ln tồn họ tập 1, 2, , n tập hợp cho ba tập hợp phân biệt khác rỗng họ khơng thỏa mãn tính chất chúng hợp hai tập hợp l ại Chứng minh Ta chứng minh bổ đề quy nạp sau: +) Khi n đễ thấy thỏa mãn 1, 2, , n +) Ta giả sử bổ đề đến n �2 , tức từ tập hợp tồn 2n1 tập hợp A1 , A2 , , A2n1 cho khơng có tập hợp h ợp c hai t ập h ợp n phân biệt khác Ta xét tập hợp 1, 2, , n, n 1 Khi tập sau: A1 , A2 , , A2n1 , A1 U n 1 , , A2n1 U n 1 Thỏa mãn khơng có tập hợp hợp hai tập hợp phân bi ệt khác Vậy bổ đề chứng minh Bổ đề Cho n số nguyên n �2 Chứng minh họ gồm 2n1 tập hợp tập hợp 1, 2, , n tìm ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà chúng hợp hai tập h ợp l ại Chứng minh Ta chứng minh quy nạp toán học +) Khi n đễ thấy bổ đề n1 +) Giả sử bổ đề đến n �2 , tức họ tập tập hợp 1, 2, , n tồn ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà chúng hợp hai tập hợp lại n 1, 2, , n, n 1 Ta chứng minh tập tập hợp tồn ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà chúng h ợp hai t ập h ợp lại n n Thật vậy, số tập chứa n Gọi k số tập tập tập hợp 1, 2, , n, n 1 xét Khi ta xét trường hơp: n 1 TH1 Nếu k �2 theo giả thiết quy nạp ta có đpcm n 1 n n 1 n 1 n TH2 Nếu k �2 có tập chứa n n1 tập xét Giả sử ta xét tập dạng A1 , A2 , , A2 Đặt Bi Ai \ n 1 n 1 1 i) Nếu Bi ��, i theo giả thiết quy nạp ta có đpcm n ii) Nếu tồn i cho Bi � Ai n 1 Trong tập chọn 1, 2, , n phải có tập khác rỗng giả sử C Nếu C �B j , j �i theo giả thiết quy nạp ta có đpcm Nếu j �i, C B j ba tập Aj , C , n 1 thỏa mãn yêu cầu toán Vậy bổ đề chứng minh n1 Trở lại Bài dễ thấy k nhỏ * Bài (Bài toán khoảng cách Hamming) Cho n, d �� Gọi C tập hợp chứa xâu nhị phân có độ dài khoảng cách Hamming có đ ộ dài khơng M n, d M nhỏ d Kí hiệu số phần tử lớn tập hợp C Khi 1) Nếu 2d n � d � M n, d �2 � 2d n � � � 2) Nếu d lẻ 2d n � d 1 � M n, d �2 � 2d n � � � 3) Nếu d chẵn M 2d , d �4d 4) Nếu d lẻ M 2d 1, d �4d Chứng minh 1) Ta đánh giá � d x, y x , y C , x y theo cách khác nhau, kí hiệu d x, y khoảng cách Hamming hai xâu x, y x, y M M 1 +) Số cách chọn có thứ tự suy ra: � d x, y �M M 1 d x , y C , x y +) Xét ma trận M �n , dịng phần tử C Gọi mi số số cột thứ tương ứng cột thứ có M mi số Do xét quan hệ hai xâu , có tính đối xứng nên suy n � x , y C , x y d x, y �2mi M mi i 1 Do từ hai cách đánh giá ta được: n 2M � 2mi M mi �M M 1 d � � i 1 i 1 n Hay MM � 1 d nM 2 M 2d 2d n (1) Sau xét trường hợp chẵn, lẻ M +) Nếu M chẵn từ (1) ta có M d � 2d n M� � � �2 � � � d � M � 2d n � � � � d � M � 2d n � � � � d � 2� 2d n � � � M �1 mi m M m i hay ta có : +) Nếu M số lẻ i đạt giá trị lớn 1 d x, y � n M 1 � M M 1 d � n M 1 � 2 x , y C , x y , sử dụng 2d n ta : 2d M � 2d n M 1 d 2d n M 1 � d � M � 2d n � � � � d � 2� 2d n � � � Kết hợp hai trường hợp ta � d � M �2 � 2d n � � � 2) Xét tập hợp X a1 , a2 , , an ta cho tương ứng xâu nhị phân t1t2 tn C với tập A X theo nguyên tắc : Nếu ti tập A chứa phần tử ti tập A khơng chứa phần tử Giả sử tập A A1 , A2 , , Am Khi ta có Ai Aj �d ,1 �i j �m , M giá trị lớn m cho tập Ai thỏa mãn tính chất Ai Aj �d ,1 �i j �m A A �d Hai tập Ai , Aj thỏa mãn tính chất i j gọi hai tập không giống Xét tập Ai' Ai' theo nguyên tắc sau : Nếu X ' X U an 1 Ta thiết lập tập ' A A' A U a chẵn Ai Ai , i lẻ i i n 1 Khi Ai chẵn với i Do ta có Ai' A'j Ai' A'j Ai' I A'j nên A A ' i ' j , số chẵn với �i j �m Ta có Ai I Aj �� Ai' I A'j Ai' I A'j Ai I Aj d (2) 1) Nếu d chẵn ta chứng minh giống phần 2) Nếu d lẻ theo (2) ta Ta đánh giá Ai' I A'j �d � d x, y x , y C , x y d x, y theo cách khác nhau, kí hiệu x, y khoảng cách Hamming hai xâu x, y M M 1 +) Số cách chọn có thứ tự suy ra: � d x, y �M M 1 d x , y C , x y +) Xét ma trận M �n , dịng phần tử C Gọi mi số số cột thứ tương ứng cột thứ có M mi số Do xét quan hệ hai xâu , có tính đối xứng nên suy n � d x, y �2m M m x , y C , x y i 1 i i Do từ hai cách đánh giá ta được: n 2M � 2mi M mi �M M 1 d 1 � � i 1 i 1 n Hay MM � 1 d 1 nM 2 M d 1 2d n (3) Sau xét trường hợp chẵn, lẻ M +) Nếu M chẵn từ (3) ta có M d 1 � 2d n +) Nếu M số lẻ M � � d 1 � M � � 2d n � �2 � � � � � mi M mi đạt giá trị lớn � d x, y �2 n M x , y C , x y � d 1 � M � 2d n � � � mi � d 1 � 2� 2d n � � � M �1 hay ta có : 1 � M M 1 d 1 � n M 1 , sử dụng 2d n ta : 2d M � 2d n M 1 d 1 2d n M 1 � d 1 � M � 2d n � � � � d 1 � 2� 2d n � � � Kết hợp hai trường hợp ta � d 1 � � d 1 � M �2 � �2 2d n � 2d n � � � � � � Bài tập áp dụng khoảng cách Hamming Bài 9.1 (Vĩnh Phúc 2012, vòng 2) Có em học sinh lập thành m nhóm hoạt động ngoại khóa, học sinh tham gia nhiều nhóm hoạt đ ộng Bi ết r ằng với hai nhóm tùy ý có h ọc sinh ch ỉ tham gia vào m ột hai nhóm Tìm giá trị lớn m Lời giải Cách (Đáp án thức) Ta lập “bộ ba”, ba gồm hai nhóm v ới m ột h ọc sinh không tham gia vào hai nhóm Giả sử có k ba Theo ta có bất đẳng thức sau: k �Cm2 2m m 1 Nếu học sinh a tham gia ma nhóm, khơng tham gia m ma nhóm Như m m ma vậy, học sinh a tham gia vào a ba Từ ta có: k �ma m ma �2m m 1 a Mặt khác m2 ma m ma � Suy 7m �2m m 1 Tức m �8 Ví dụ sau cho cách phân nhóm với m , học sinh a, b, c, d , e, f , g : A1 a, b, c , A2 a, d , e , A3 a, f , g , A4 b, d , f , A5 b, e, f A6 c, d , g , A7 c, e, f , A8 a, b, c, d , e, f , g Cách (Sử dụng kết liên quan đến khoảng cách Hamming) X a1 , a2 , , a7 Giả sử học sinh a1 , a2 , , a7 đặt Ta coi nhóm xâu dạng t1t2 t7 , ti nhóm chứa , ti nhóm khơng chứa Khi theo giả thiết khoảng cách Hamming không nh ỏ h ơn Áp d ụng kết phần 2.i với d 4, n ta m �8 Với m ta xây dựng xâu nhị phân độ dài kho ảng cách Hamming hai xâu sau: a1 1 0 0 a2 0 1 0 a3 0 0 1 a4 1 a5 0 1 a6 0 1 0 a7 0 1 a8 1 1 1 Bài 9.2 Cho A1 , A2 , , Ak tập tập S 1, 2,3, ,10 thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: Ai 5, i 1, 2, , k a) Ai I Aj �2,1 �i j �k b) Xác định giá trị lớn có k Lời giải Ta coi tập Ai xâu nhị phân có dạng t1t2 t10 ti tập Ai chứa phần tử i ti tập hợp Ai không chứa phần tử i Do Ai I A j �2,1 �i j �k , nên khoảng cách Hamming hai tập h ợp Ai , Aj ,1 �i j �k � � k �2 � 6 2.6 10 � � � ta không nhỏ Do theo kết định lí Với k ta xây dựng xâu nhị phân thỏa mãn khoảng cách Hamming không nhỏ sau : A1 A2 A3 A4 A5 A6 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 Bài 9.3 Cho tập hợp X 1, 2,3, , 4n Hai tập A B X gọi không giống AB �2n , AB A \ B U B \ A Cho tập hợp A1 , A2 , , Am mà phần tử tập X gồm m phần tử đôi không giống a) Chứng minh m �2n n 1 m� b) Chứng minh Lời giải Ta chứng minh phần b phần a hệ Ta coi tập Ai xâu dạng t1t2 t4 n , trong ti Ai chứa i , ti Ai khơng chứa i Khi theo giả thiết khoảng cách Hamming không m M 2n 1, 4n nhỏ 2n Áp dụng kết phần 2.ii với ta � 2n � � 2n � n 1 m �2 � � � �� �2 2n 1 4n � � � đánh giá dễ dàng dấu Bài 9.4 Trong thi có n thí sinh p giám khảo, n, p số nguyên dương, p Mỗi giám khảo đánh giá thí sinh cho kết luận thí sinh đ ỗ hay trượt Giả sử k số thỏa mãn điều kiện: Với hai giám khảo bất kì, số thí sinh mà họ cho kết giống nhiều k Chứng minh Lời giải k p2 � n p 1 Giả sử n thí sinh s1 , s2 , , sn Mỗi giám khảo cho tương ứng với xâu t1t2 tn , ti thí sinh đỗ, ti thí sinh trượt Theo giả thiết khoảng cách Hamming hai giám khảo khơng nh ỏ h ơn n k Ta xét hai trường hợp sau : TH Nếu n �۳ k n k n p2 p 1 TH Nếu ta xét hai khả sau: +) Nếu n k chẵn theo kết định lí ta được: nk n � nk � nk p ��� � �۳ � 2 n k n � 2 n k n � p n 2k 2n 2k k n p2 p 1 +) Nếu n k lẻ theo kết định lí ta được: � n k 1 � n k 1 p �2 � � p n 2k 1 �2n 2k ��2 2 n k 1 n � n k 1 n � k p n 1 p2 ۳ n p 1 n p 1 Vậy ta ln có đánh giá k p2 � n p 1 S 1, 2, , 2013 Bài 9.5 Cho A1 , A2 , , Am tập hợp tập hợp , Ai 505, i 1, 2, , m Si I S j 1,1 �i j �m Chứng minh m �672 Lời giải Ta coi tập Ai xâu nhị phân dạng t1t2 t2013 , ti tập Ai chứa phần tử i ti tập hợp Ai không chứa phần tử i Do Si I S j 1,1 �i j �m nên hai tập có khoảng cách Hamming không nhỏ h ơn 2.504 1008 Theo kết định lí ta � 1008 � m �2 � 672 2.1008 2013 � � � Như với cách tạo khoảng cách Hamming hai đ ối tương ta dạng tập tương đối khó Trong tất dạng tập liên quan đến khoảng cách Hamming thật tinh tế sâu sắc Nhận xét Như với cách tạo khoảng cách Hamming hai đối t ương ta dạng tập tương đối khó Trong tất c ả d ạng t ập liên quan đến khoảng cách Hamming 9.3 thật tinh tế sâu sắc Bài 10 (THPT chuyên VP 2015) Điểm M x; y mặt phẳng tọa độ gọi điểm nguyên, x y số nguyên Tìm số nguyên dương n bé cho từ n điểm nguyên, tìm ba điểm nguyên đỉnh tam giác có diện tích ngun (trong trường h ợp ba ểm th ẳng hàng coi diện tích tam giác 0) Lời giải + n khơng thỏa mãn, ta chọn bốn điểm ngun đ ỉnh c m ột hình vng đơn vị, đó, tam giác có đỉnh ba b ốn ểm nguyên xét có diện tích khơng phải số ngun + Ta chứng minh n số nguyên bé thỏa mãn Ta chia điểm nguyên M ( x; y ) mặt phẳng thành loại: Loại 1: x chẵn, y chẵn; Loại 2: x chẵn, y lẻ; Loại 3: x lẻ, y lẻ; Loại 4: x lẻ, y chẵn Khi đó, điểm nguyên xét, ln có hai ểm lo ại, ta g ọi hai điểm A, B Ta chứng minh, với điểm nguyên C, diện tích tam giác ABC số nguyên Thật vậy: + Nếu A B có hồnh độ a, A, B loại, nên độ dài AB số chẵn S ABC AB � h C ( c ; c ), 2 Gọi h khoảng cách d (C; AB), với số nguyên Tương tự với A, B tung độ, ta có diện tích tam giác ABC số nguyên + Xét trường hợp A(a1 ; a2 ), B(b1 ; b2 ) thuộc loại, a1 �b1 , a2 �b2 Chọn điểm thứ tư D, chẳng hạn D(b1; a2 ) Khi đó, theo lập luận trên, tam giác ABD, CAD, CBD có diện tích số nguyên, suy S ACBD số nguyên Nhưng S ACBD S ABC S ABD , nên S ABC số nguyên Điều phải chứng minh Bài 11 (THPT chuyên VP 2013) Xét 20 số nguyên dương 1, 2,3,�, 20 Hãy tìm số ngun dương k nhỏ có tính chất: Với cách lấy k số phân biệt từ 20 số trên, lấy hai số phân biệt a b cho a b số nguyên tố Lời giải , ta thấy tổng hai phần tử Xét tập hợp tập hợp số nguyên tố 2, 4,6,8,10,12,14,16,18, 20 Do k �11 , ta chứng minh k 11 số nhỏ thỏa mãn yêu cầu toán Thật vậy, ta chia tập hợp A 1, 2,3, , 20 thành 10 cặp số sau: 1, , 3,16 , 4,19 , 5, , 7,10 , 8,9 , 11, 20 , 12,17 , 13,18 , 14,15 Tổng hai số cặp số số nguyên tố Khi tập A có 11 phần tử tồn hai phần tử thuộc vào 10 cặp số Suy A ln có hai phần tử phân biệt có tổng số nguyên tố II BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 12 Cho A1 , A2 , , An tập hợp có hữu hạn phần tử cho A1 A2 An n UA S i i 1 Giả sử có số nguyên dương �k �n thỏa mãn hợp k tập hợp họ S, hợp nhiều k tập họ cho tập thực S Tìm số phần tử nhỏ S X ik Bài 13 Cho i 1�� họ tập có h phần tử tập h ợp X Ch ứng minh k Bài U X i h số nguyên dương m nhỏ cho k �Cm i 1 14 Cho n A Ai 1�� , B Bi 1�� , C Ci 1�� i 3n i 3n i 3n sử ta có bấ t đẳng Ai I B j Ai I Ck B j I Ck �3n số nguyên dương cho trước ba phân hoạch tập hợp hữu hạn X Giả thức sau với i, j, k 1, 2, ,3n : Tìm số phần tử nhỏ có tập hợp X Bài 15(Định lí Sperner) Cho X tập hợp có n phần tử, G A1 , A2 , , Ap họ tập X thỏa mãn tính chất Ai �Aj , i, j 1, 2, , p, i �j Chứng minh n �� �� max p Cn�� Bài 16(Định lí Erdos – Ko - Rado) Cho X tập hợp có n phần tử, G A1 , A2 , , Ap họ tập X thỏa mãn điều kiện sau: n Ai r � , i 1, 2, , p a) b) Ai I Aj ��, i, j 1, 2, , p r 1 Chứng minh max p Cn 1 Bài 17 Cho X tập hợp có n phần tử, Y tập có k ph ần t c X Chứng minh số lớn tập đôi khác c tập X, m ỗi t ập có r k r phần tử Y hai tập khơng ch ứa b ằng C C nk � � � �2 � � n k Bài 18(Balkan MO 2005) Cho n �2 số nguyên S tập tập 1, 2, , n hợp cho S chứa hai phần tử mà phần tử bội phần t kia, chứa hai phần tử nguyên tố Tìm số phần t lớn t ập hợp S Bài 19(Balkan MO 1997) Cho tập hợp A có n phần tử S A1 , A2 , , Ak họ tập hợp tập hợp A Nếu với hai ph ần tử x, y �A có tập k Ai �S chứa phần tử hai phần tử x, y Chứng minh n �2 Bài 20(Balkan MO 1996) Cho tập X 1, 2, , 21996 1 , chứng minh tồn tập A X thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: 1996 a) 1�A, 1�A; b) Với phần tử khác A viết thành tổng hai (có th ể nhau) phần tử thuộc A; c) Số phần tử lớn tập A 2012 1, 2, , n Bài 21(Balkan MO 1989) Cho F họ tập tập hợp thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: a) Nếu A thuộc F, A có phần tử; b) Nếu A B hai phần tử khác S, A B có nhi ều nh ất m ột phần tử chung Kí hiệu f n số phần tử lớn có F Chứng minh r ằng n 4n n2 n �f n � 6 1, 2, ,1989 Bài 22 Cho S tập tập hợp S thỏa mãn tính chất S khơng có hai phần tử mà hiệu chúng Tìm s ố ph ần t lớn S? Bài 23 (Iran TST 2013) Cho F A1 , A2 , , Ap 1, 2,3, , n thỏa mãn tính chất: p Ai �Aj họ tập tập Ai A j �3 Tìm số lớn có Bài 24 (Moldova TST 2013) Tìm số lớn cặp phân biệt xi , yi cho xi , yi � 1, 2, , 2013 , xi yi �2013, i �j, xi yi �x j y j Bài 25 (China 1996) Cho 11 tập hợp M , M , , M 11 , tập có phần tử thỏa mãn M i I M j ��, i �j; i, j 1, 2, ,11 Gọi m số lớn cho tồn tập M i1 , M i2 , , M im Trong số tập cho cho m I k 1 M ik �� Hỏi giá trị lớn m bao nhiêu? Bài 26 (AIME 1989) Cho tập hợp X 1, 2,3, ,1989 Xét tập S X thỏa mãn tính chất: khơng có hai phần tử S đơn vị Hỏi số phần tử lớn S bao nhiêu? X 1, 2, , n Bài 27 Cho số nguyên dương n �5 tập hợp Tìm số nguyên dương n nhỏ cho với cách chia tập h ợp X thành hai tập rời A, B ln tồn tập chứa ba số lập thành cấp số cộng Bài 28 (IMO 1991) Cho tập hợp S 1, 2, , 280 Tìm số nguyên dương nhỏ n cho tập n phần tử S chứa số đôi nguyên tố Bài 29 Cho m, n số tự nhiên cho m n 2m Tìm số nguyên dương k 1, 2, , n lớn cho tồn k tập rời A1 , A2 , , Ak tập thỏa mãn Ai � m, m 1 với i 1, 2, , k TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Chuyên đề chọn lọc Tổ hợp Toán rời rạc, NXB Giáo dục, 2008 [2] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Toán Rời rạc số vấn đề liên quan , Tài liệu bồi dưỡng giáo viên hè 2007, Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội [3] Trần Nam Dũng (chủ biên), Chuyên đề toán học số 8, 9, Trường PTNK - ĐHQG TP Hồ Chí Minh [4] Le Hai Chau - Le Hai Khoi, Selected Problems of the Vietnamese Maththematical Olympiad (1962 - 2009), World Scientific [5] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, Crux - Canada, AMM - USA [6] Titu Andresscu - Zuming Feng, A path to combinatorics for underfrduates, Birkhauser [7] Arthur Engel, Problem - Solving Strategies, Springer [8] Titu Andreescu and Zuming Feng 102 combinatorial problems from the training of the USA IMO team [9] Phạm Minh Phương Một số chuyên đề toán học tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông NXB Giáo dục Việt Nam [10] Các nguồn tài liệu từ internet www.mathscope.org; www.mathlinks.org; www.imo.org.yu ... : A1 A2 A3 A4 A5 A6 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 Bài 9. 3 Cho tập hợp X 1, 2,3, , 4n Hai tập A B X gọi không giống AB �2n , AB A B U B A Cho tập hợp A1 ,... 20 thành 10 cặp số sau: 1, , 3 ,16 , 4 , 19 , 5, , 7 ,10 , 8 ,9 , 11 , 20 , 12 ,17 , 13 ,18 , 14 ,15 Tổng hai số cặp số số nguyên tố Khi tập A có 11 phần tử tồn... sau: a1 1 0 0 a2 0 1 0 a3 0 0 1 a4 1 a5 0 1 a6 0 1 0 a7 0 1 a8 1 1 1 Bài 9. 2 Cho A1 , A2 , , Ak tập tập S 1, 2,3, ,10 thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: Ai 5, i 1, 2, , k a) Ai I Aj �2,1