GIAO TRINH TOAN i chng trinh cht ln

LÊ THÁI THANH GIÁO TRÌNH TỐN I (Chương Trình Chất Lượng Cao Việt-Pháp) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM 51 89/176-05 GD-05 Mã số: 8I092M5 Lời nói đầu Tập giảng Toán I biên soạn dành cho sinh viên chương trình Chất lượng cao Việt-Pháp Tổng số lí thuyết tập môn học khoảng 180 tiết kéo dài 15 tuần Nội dung môn học bao gồm vấn đề Đại số đại cương, Đại số tuyến tính Giải tích hàm biến Nội dung giáo trình dựa theo tài liệu [1], [2], [3] toàn bảy tập tác giả Jean-Marie Monier Đây tài liệu dành cho sinh viên chương trình Việt-Pháp Chúng tơi cố gắng biên soạn lại cho dễ hiểu sinh viên Việt Nam tham khảo thêm số sách khác [6], [7] Các tập tuyển chọn sách kể sách [4], [5], [8] Chúng mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc Thư từ góp ý xin gửi về: Bộ mơn Tốn ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa TP HCM, 104 Nhà B4, 268 Lý Thường Kiệt, P.14, Q.10, TP HCM Điện thoại: 08-8647256 (ext 5305) E-mail: tlethai@hcmut.edu.vn TP HCM, ngày 22 tháng năm 2010 Tác giả Mục lục Lời nói đầu Mục lục TẬP HỢP-ÁNH XẠ-QUAN HỆ 1.1 Mệnh đề 1.2 Tập hợp 10 1.3 Ánh xạ 11 1.4 Quan hệ hai 13 Bài tập chương 15 CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 17 2.1 Phép tốn hai ngơi 17 2.2 Nhóm 20 2.3 Vành 22 2.4 Thể 24 Bài tập chương 24 CÁC TẬP HỢP SỐ 28 3.1 Số tự nhiên 28 3.2 Số nguyên 29 3.3 Số hữu tỉ 29 3.4 Số thực 29 3.5 Số phức 32 Bài tập chương 35 DÃY SỐ 4.1 Các định nghĩa 38 38 MỤC LỤC 4.2 Dãy 44 4.3 Một số loại dãy thông thường 45 4.3.1 Dãy truy hồi tuyến tính cấp 45 4.3.2 Dãy truy hồi tuyến tính cấp hai 45 4.3.3 Dãy trung bình Césaro 47 Bài tập chương HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 48 50 5.1 Khái niệm hàm số 50 5.2 Giới hạn hàm số 53 5.3 Vô bé vô lớn 57 5.4 Tính liên tục 58 Bài tập chương 62 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 66 6.1 Đạo hàm vi phân 66 6.2 Các định lý hàm khả vi 72 6.3 Công thức Taylor 74 6.4 Sự biến thiên hàm 77 6.5 Khảo sát vẽ đồ thị đường cong 79 f ÔxÕ 79 6.5.2 Đường cong cho phương trình tham số 80 6.5.3 Đường cong toạ độ cực 81 6.5.1 Đường cong cho phương trình y Bài tập chương TÍCH PHÂN 7.1 Tích phân bất định 82 88 88 7.1.1 Định nghĩa cách tính 88 7.1.2 Tích phân hàm hữu tỉ 91 7.1.3 Tích phân số hàm vô tỉ 92 7.1.4 Tích phân hàm lượng giác 94 7.2 Tích phân xác định 95 7.2.1 Định nghĩa tính chất 95 MỤC LỤC 7.2.2 Các phương pháp tính tích phân xác định 97 7.3 Tích phân suy rộng 100 7.3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn 100 7.3.2 Tích phân suy rộng hàm không bị chặn 102 7.4 Ứng dụng tích phân 104 Bài tập chương 106 ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN 111 8.1 Ma trận 111 8.1.1 Các định nghĩa 111 8.1.2 Các phép toán ma trận 112 8.2 Định thức 114 8.2.1 Định nghĩa tính chất 114 8.2.2 Các ví dụ tính định thức 116 8.3 Ma trận nghịch đảo 118 8.4 Hạng ma trận 120 Bài tập chương 121 KHÔNG GIAN VECTƠ 126 9.1 Khái niệm không gian vectơ 126 9.2 Không gian vectơ 134 9.3 Không gian Euclide thực 137 Bài tập chương 141 10 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 144 10.1 Các khái niệm 144 10.2 Hệ 147 Bài tập chương 10 149 CHỈ DẪN VÀ TRẢ LỜI 151 Chỉ dẫn trả lời tập chương 151 Chỉ dẫn trả lời tập chương 152 Chỉ dẫn trả lời tập chương 155 MỤC LỤC Chỉ dẫn trả lời tập chương 157 Chỉ dẫn trả lời tập chương 159 Chỉ dẫn trả lời tập chương 161 Chỉ dẫn trả lời tập chương 165 Chỉ dẫn trả lời tập chương 168 Chỉ dẫn trả lời tập chương 170 Chỉ dẫn trả lời tập chương 10 172 Tài liệu tham khảo 173 CHƯƠNG MỘT TẬP HỢP-ÁNH XẠ-QUAN HỆ Mục lục 1.1 1.2 1.3 1.4 Bài Mệnh đề Tập hợp Ánh xạ Quan hệ hai tập chương 10 11 13 15 §1.1 MỆNH ĐỀ Mệnh đề hay mệnh đề toán học khẳng định có giá trị xác định (đúng sai vừa vừa sai) Các giá trị sai gọi chân trị mệnh đề Ví dụ 1.1 "1  1 2" mệnh đề có giá trị chân trị "4 số nguyên tố" mệnh đề có giá trị chân trị sai Khẳng định "n số nguyên tố" mệnh đề toán học Tuy nhiên, thay n số tự nhiên trở thành mệnh đề tùy theo n, giá trị chân trị mệnh đề sai Ta thường ký hiệu mệnh đề chữ in hoa: P, Q, R, ; chân trị (hoặc T ), chân trị sai (hoặc F ) Để kiểm tra mệnh đề hay sai ta thường lập bảng chân trị cho mệnh đề Cho P Q hai mệnh đề Xét phép toán sau: phép phủ định ( P ), phép tuyển (P (P Q), phép hợp (P Q), phép kéo theo (P Q), phép tương đương Q) Giá trị phép toán cho bảng chân trị sau: P 1 0 Q 1 P 0 1 P Q 0 P Q 1 P Q 1 P Q 0 1.1 Mệnh đề Chú ý: Mệnh đề P Q đọc theo nhiều cách sau: P điều kiện đủ Q Q đọc sau: P điều kiện cần Q điều kiện cần P Còn mệnh đề P đủ để có Q P Q P Q Các tính chất sau phép tốn mệnh đề dễ dàng chứng minh lập bảng chân trị xem tập Ô P Õ P ÔP ÔP ÔP ÔP QÕ ÔP Ô QÕÕ QÕÕ Q QÕ Ô P QÕ Ô Q QÕ ÔQ ÔP ÔÔP QÕ PÕ RÕÕ ÔP RÕ Vị từ khẳng định P Ôx, y, Õ có chứa số biến x, y, lấy giá trị tập hợp cho trước X, Y, cho thân P Ôx, y, Õ mệnh đề thay x, y, phần tử cố định x P Ôa, b, Õ a È X, y b È Y, ta mơt mệnh đề P ƠnÕ = "n số nguyên tố" vị từ theo biến n È N Ví dụ 1.2 QƠx, y Õ = "y   2, x ¡ y, x   2y số chẵn" vị từ với hai biến tự x, y QÔ4, 2Õ mệnh đề Trong QÔ5, 2Õ, QÔ4, 7Õ mệnh đề sai È Z Chẳng hạn, Cho hai vị từ P ÔxÕ, QÔxÕ theo biến x È X Khi đó: Phủ định P ƠxÕ, ký hiệu X ta mệnh đề Các phép tốn ( , , , P ÔxÕ, vị từ mà thay x phần tử a cố định P ÔaÕ ) vị từ P ÔxÕ, QÔxÕ vị từ theo biến x mà thay x phần tử cố định a È X ta mệnh đề tương ứng Giả sử P ÔxÕ vị từ theo biến x È X Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: Khi thay x phần tử tùy ý a P ÔaÕ Như mệnh đề "với x hiệu " x È X, P ƠxÕ" È X, ta ln mệnh đề È X, P ÔxÕ" mệnh đề luôn ký Trường hợp 2: Với số giá trị a È X P Ơ mệnh đề đúng, với số giá trị b È X P ƠbÕ mệnh đề sai Như vậy, mệnh đề "tồn x È X, P ÔxÕ" mệnh đề ký hiệu " x È X, P ÔxÕ" Các ký hiệu gọi lượng từ với lượng từ tồn Ngồi ta cịn dùng ký hiệu ! với ý nghĩa tồn Chú ý ký tự tác động lượng từ câm (nghĩa thay ký tự khác) Ví dụ: Ơ x È X, pƠxÕÕ Ơ y È X, pÔyÕÕ Ô x È X, pÔxÕÕ Ô y È X, pÔyÕÕ 10 1.2 Tập hợp Ta dùng phép tốn phủ định câu lượng hóa Ơ x È X, pƠxÕÕ Ơ x È X, pÔxÕÕ Ô x È X, pÔxÕÕ Ô x È X, pƠxÕÕ Chú ý nói chung ta thay đổi thứ tự lượng từ câu lượng hóa Ví dụ, x È N, y È N, x y mệnh đề đúng, y È N, x È N, x y mệnh đề sai §1.2 TẬP HỢP Tập hợp khái niệm tốn học khơng định nghĩa Nó hiểu tụ tập đối tượng tính chất chung hợp thành Ta ký hiệu tập hợp chữ in hoa A, B, C, X, Y, Nếu x thành phần tạo nên tập hợp X ta nói x phần tử X viết x È X Nếu y khơng phải phần tử X ta viết y Ta nói tập hợp A tập tập hợp B, ký hiệu A định A A B viết A B B B, x ÈA Ê X x È B Phủ B Hai tập hợp A B gọi nhau, A B, A Để xác định tập hợp, ta liệt kê phần tử tập hợp X Øx, y, z, Ù Øx pƠxÕÙ Tập hợp khơng chứa phần tử gọi tập rỗng ký hiệu À Ta có với tập X: À X tính chất mà phần tử có X Một tập hợp có hữu hạn phần tử gọi tập hợp hữu hạn Ngược lại gọi tập hợp vô hạn Số lượng phần tử tập hợp A ký hiệu CardƠÃ hay #A Tập tất tập tập X cho trước ký hiệu BƠX Õ Nếu X tập hữu hạn có n phần tử tập BƠX Õ có 2n phần tử Giả sử X tập hợp, A, B È BƠX Õ Ta định nghĩa phép tốn tập hợp X sau: Phần bù tập A X: CX ƠÃ Øx È X x Ê AÙ Hợp hai tập hợp A B: A B Øx È X xÈA x È BÙ Giao hai tập hợp A B: A B Øx È X xÈA x È BÙ Hiệu hai tập hợp A B: AÞB A¡B Øx È X Hai tập hợp A B gọi rời A khơng có nhầm lẫn ta ký hiệu CX ƠÃ C ƠÃ B xÈA x Ê BÙ À Đối với phép toán phần bù, A Các phép tốn tập hợp có tính chất sau (xem tập, sinh viên tự chứng minh) CX ƠÀÕ X, CX ƠX Õ À, CX ƠCX ƠÃÕ A ... Đ? ?i số đ? ?i cương, Đ? ?i số tuyến tính Gi? ?i tích hàm biến N? ?i dung giáo trình dựa theo t? ?i liệu [1], [2], [3] toàn bảy tập tác giả Jean-Marie Monier Đây t? ?i liệu dành cho sinh viên chương trình Việt-Pháp... v? ?i phần tử x È X, ký hiệu f ƠαÕ g ¥ IdY Chứng minh Ta có g Khi ta n? ?i tập hợp X đánh số tập hợp I tập I g? ?i tập số Ta viết X tập hợp Ôxα Õα? ?I Nếu phần tử X tập hợp ta n? ?i X họ ƠXα Õα? ?I Khi... X giao họ tập hợp sau: Phép hợp: ä È Xα Øx α È I, x È Xα Ù È Xα Øx α È I, x È Xα Ù α I Phép giao: ã α I §1.4 Q UAN HỆ HAI NG? ?I Cho X Y hai tập hợp Ta g? ?i quan hệ hai R X Y ba ÔX, Γ, Y Õ v? ?i Γ