Do đó áp dụng liên tiếp định lý Cauchyn lần, ta được điểmcnằm giữa xvàx0 sao cho rnpxq
gpxq
rnpxqrnpx0q
gpxqgpx0q
rnpn 1qpxq gpn 1qpxq
fpn 1qpcq
pn 1q! và do đó
rnpxq fpn 1qpcq
pn 1q! pxx0qn 1
Công thức này được gọi là phần dư dạng Lagrange. Đôi khi chúng ta còn viết rnpxqoppxx0qn
q
và gọi là phần dư dạng Peano. Trường hợpx0 0ta có công thức MacLaurin:
fpxqfp0q f1p0q
1! x f2p0q
2! x2 fpnqp0q
n! xn rnpxq (6.12) với rnpxq fpn 1qpcq
pn 1q! xn 1 hoặc rnpxq opxnq. Sau đây là khai triển MacLaurin của một số hàm sơ cấp thường dùng.
1. ex1 x x2 2!
xn
n! opxnq 2. sinxxx3
3!
p1qmx2m 1
p2m 1q! opx2m 2q 3. cosx1x2
2!
p1qmx2m
p2mq! opx2m 1q 4. p1 xqα1 αx αpα1q
2! x2 αpα1q. . .pαn 1q
n! xn opxnq Các trường hợp đặt biệt
(a) 1
1 x 1x x2x3 p1qnxn opxnq (b) lnp1 xqxx2
2
p1qn1xn
n opxnq 5. arctanxxx3
3
p1qmx2m 1
2m 1 opx2m 2q 6. tanxx x3
3 opx4q
6.4 Sự biến thiên của hàm 77
§6.4 S Ự BIẾN THIÊN CỦA HÀM
Khi nghiên cứu dáng điệu biến thiên của hàm thì vấn đề đầu tiên là tìm điệu kiện để hàm trên khoảng đã cho là hằng số hay biến thiên đơn điệu.
Định lý 6.11. Giả sử hàmfpxq xác định và có đạo hàm hữu hạn trongpa, bq, pa bq. Để cho hàmfpxqlà hằng số trênpa, bq thì điều kiện cần và đủ làf1pxq0trongpa, bq.
Việc chứng minh là đơn giản bằng cách áp dụng định lý số gia hữu hạn Lagrange.
Chúng ta cũng có thể mở rộng định lý trên cho các trường hợpa, bvô hạn hoặc cho khoảng đóngra, bs.
Hệ quả 6.1. Giả sử hai hàm fpxq, gpxq xác định và có đạo hàm hữu hạn trongpa, bq. Khi đó nếuf1pxqg1pxqtrongpa, bq thìfpxqvàgpxqchỉ khác nhau một hằng số:
fpxqgpxq C Ví dụ 6.4. Xét hai hàmarctanxvà 1
2arctan 2x
1x2. Dễ kiểm chứng rằng đạo hàm của các hàm số đó trùng nhau tại mọi điểmx ngoại trừx 1(tại đó hàm thứ hai không xác định). Vì vậy đồng nhất thức
1
2arctan 2x
1x2 arctanx C
là đúng trong các khoảngp8,1q,p1,1qvàp1, 8q. Chú ý rằng hằng sốCđối với các khoảng đó là khác nhau. Cụ thểCnhận các giá trị π
2, 0, π
2 tương ứng (thu được bằng cách choxtiến về các giá trị8, 0, 8).
Định lý 6.12. Giả sử hàm fpxq xác định và có đạo hàm hữu hạn trong khoảng pa, bq. Điều kiện cần và đủ để hàmfpxqtăng (giảm) trongpa, bqlàf1pxq¥0, pf1pxq¤0q trongpa, bq.
Chứng minh.Giả sửfpxqđơn điệu tăng trongpa, bqvàx0 P pa, bq. Khi đó tỉ số fpxqfpx0q
xx0
¥ 0, @x P Upx0q. Nênf1pxq ¥ 0. Ngược lại, giả sửf1pxq ¥ 0. Lấyx1, x2 PUpx0qsao chox1 x2. Theo định lý số gia hữu hạn Lagrange, áp dụng cho đoạnrx1, x2s, thì tồn tại sốcPrx1, x2ssao chofpx2qfpx1q
f1pcqpx2x1q¥0. Do đó hàm đơn điệu tăng. Trường hợp đơn điệu giảm, chứng minh tương tự.
Ví dụ 6.5. Hàmfpxqxsinxlà hàm đơn điệu tăng trongR, vì@xPR, f1pxq1cosx¥0. Định nghĩa 6.6. Xét hàmfpxq xác định trong lân cậnUpx0q của điểm x0. Hàmf cócực đại (cực tiểu) tại x0 nếu với mọix P Up0q, fpxq ¤ fpx0q pfpxq ¥ fpx0qq. Nếu hàm có cực đại hoặc cực tiểu tạix0 thì ta nói hàm có cực trị tại x0.
Định lý 6.13(Fermat). Giả sử hàm fpxqxác định trong lân cậnUpx0qcủa điểm x0 và có cực trị tại điểm đó. Nếu tạix0 hàm có đạo hàm hữu hạn thìf1px0q0.
6.4 Sự biến thiên của hàm 78 Chứng minh.Giả sửfpxqđạt cực đại tạix0, nghĩa là@xPUpx0q, fpxq¥fpx0q. Theo định nghĩa của đạo
hàm,f1px0q lim
xẹx0
fpxqfpx0q
xx0
và giới hạn không phụ thuộc vào việcxdần đếnx0từ bên phải hoặc bờn trỏi. Nếuxẹx0 màxĂx0thỡf1px0qÔ0. Cũn nếuxẹx0màx x0thỡf1px0qƠ0. Do sự tồn tại đạo hàm tạix0 nên ta phải cóf1px0q0. Trường hợp cực tiểu chứng minh tương tự.
Định lý Fermat chỉ là điều kiện cần để có cực trị chứ chưa phải là điều kiện đủ. Nghĩa là nếu hàm đạt cực trị và có đạo hàm hữu hạn tạix0 thìf1px0q0; tuy nhiên nếuf1px0q0 thì chưa chắcx0 là điểm cực trị của hàm số. Nhưng chú ý rằng hàm chỉ có cực trị tại những điểm mà đạo hàm bằng không hoặc đạo hàm không xác định. Những điểm như vậy được gọi là điểm dừng của hàm số. Muốn biết tại các điểm dừng hàm có cực trị hay không, ta phải xét thêm các điều kiện khác và thường được gọi là các điều kiện đủ để có cực trị.
Định lý 6.14(Điều kiện đủ thứ nhất). Giả sửfpxqxác định trong Upx0q vàx0 là điểm dừng.
(a) Nếu@x PUpx0q, x x0 hàmfpxqtăng và@xPUpx0q, x¡x0 hàmfpxqgiảm thì hàm fpxq đạt cực đại tạix0.
(b) Nếu@x PUpx0q, x x0 hàmfpxqgiảm và@xPUpx0q, x¡x0 hàmfpxq tăng thì hàmfpxq đạt cực tiểu tạix0.
Định lý 6.15 (Điều kiện đủ thứ hai). Giả sử fpxq xác định và có đạo hàm hữu hạn trong Upx0q vàx0 là điểm dừng.
(a) Nếu@x PUpx0q, x x0, f1pxq ¥ 0 và@x PUpx0q, x ¡ x0, f1pxq ¤0 thì hàm fpxq đạt cực đại tạix0.
(b) Nếu@x PUpx0q, x x0, f1pxq ¤ 0 và@x PUpx0q, x ¡ x0, f1pxq ¥0 thì hàm fpxq đạt cực tiểu tạix0.
Định lý 6.16(Điều kiện đủ thứ ba). Giả sử fpxq xác định và có đạo hàm hữu hạn đến cấp hai trongUpx0qvàx0 là điểm dừng.
(a) Nếuf2px0q 0thì hàmfpxqđạt cực đại tạix0. (b) Nếuf2px0q¡0thì hàmfpxqđạt cực tiểu tạix0. Ví dụ 6.6. Tìm cực trị của hàm:yfpxqsin3x cos3x.
Vì hàm có chu kỳ2π nên ta chỉ xétxbiến thiên trongr0,2πs. Đạo hàmf1pxq 3 sinxcosxpsinx cosxqxác định trongr0,2πsvà bằng không tại các điểm dừng0, π
4, π
2, π, 5π 4 , 3π
2 , 2π. Ta có bảng biến thiên:
x 0 π
4
π
2 π 5π
4
3π
2 2π
y1 0 0 0 0 0 0 0
y CĐ ×
CT Õ CĐ
× CT Õ CĐ
× CT Õ CĐ