6.5 Khảo sát và vẽ đồ thị đường cong
6.5.3 Đường cong trong toạ độ cực
Trong mặt phẳngxOy, xét điểm Mpx, yq với x là hoành độ và y là tung độ. Đặt r |OM| và ϕlà góc tạo bởi tia Ox và tia cực OM (Xem hình 3.1 trong chương 3). Cặp pr, ϕq cũng đặc trưng cho điểm M trong mặt phẳng và được gọi là toạ độ cực của điểm M. Ta có mối liên hệ giữa hai hệ toạ độ:
#
xrcosϕ yrsinϕ
#
r
a
x2 y2 tanϕ y
x
Bài tập chương 6 82 Đường cong trong toạ độ cực được cho bởi mối quan hệ giữa hai đại lượngr vàϕvà thông thường dưới dạng r rpϕq. Khi đó nếu xem ϕ là tham số thì ta có đường cong tham số
#
xrpϕqcosϕ
y rpϕqsinϕ . Để khảo sát trực tiếp, ta cần chú ý đến việc vẽ độ dài r theo góc ϕ. Một đại lượng cần quan tâm khi khảo sát đường cong là góc giữa tiếp tuyến của đồ thị tạiM và tia cựcOM. Gọi góc đó làV, ta dễ dàng đi đến công thức:
tanV rpϕq r1pϕq
NếutanV 0thì tiếp tuyến song song với tia cực, còn nếutanV 8thì tiếp tuyến vuông góc với tia cực.
Ví dụ 6.10. Khảo sát và vẽ đồ thị đường congr sin 3ϕ. Hàm xác định với mọiϕvà tuần hoàn với chu kỳ 2π
3 nên ta chỉ cần xét trong khoảngr0,2π
3 svà toàn bộ đồ thị của hàm số thu được bằng cách quay quanh gốcO với goác quay 2π
3 . Dor ¥0nên hàm chỉ xác định trongr0,π
3s;r1pϕq0tạiϕ π
6. Ta có bảng biến thiên và đồ thị thu được như trong hình 6.6.
ϕ 0 π
6
π 3
r1 3 0 3
r 0 Õ 1 × 0
tanV 0 8 0
Hình 6.6: Hình lá ba cánh.
B ÀI TẬP CHƯƠNG 6
Câu 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
Bài tập chương 6 83 (a) y 1 xx2
1x x2 (b) y x
?
a2x2 (c) yx
?
1 x2
(d) ysinpcos2xq cospsin2xq (e) y sinxxcosx
cosx xsinx
(f) ytan x
2 cotx 2 (g) y 1
4lnx21 x2 1 (h) yarctan 1 x
1x (i) ylnpex
?
1 e2xq (j) yarctanptan2xq Câu 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
(a) y
$
&
%
1x khi 8 x 1
p1xqp2xq khi 1¤x¤2
x2 khi 2¤x¤ 8
(b) y
"
pxaq2pxbq2 khi a¤x¤b 0 khi xRra, bs Câu 3. Với những điều kiện nào củanthì hàm
fpxq
$
&
%
xnsin1
x, nếu x0 0, nếu x0 (a) liên tục tạix0.
(b) khả vi tạix0.
(c) có đạo hàm liên tục tạix0.
Câu 4. Tìm các đạo hàm trái và phải của hàmfpxqtại điểmx0: (a) fpxq
?
x2 x3
x vớix0 0.
(b) fpxqarctan1 x
1x vớix01.
(c) fpxq 1 1 e
1 x
với x0 0.
Câu 5. Tìm các giá trị củaavàbđể cho hàm số fpxq
#
x2, nếux¤x0
ax b, nếu x¡x0
liên tục và khả vi tạixx0.
Câu 6. Tìm góc tạo bởi tiếp tuyến trái và tiếp tuyến phải của đồ thị hàmfpxqtạix0. (a) fpxq
a
1ea2x2 với x0 0.
Bài tập chương 6 84 (b) fpxqarcsin 2x
1 x2 với x0 1.
Câu 7. Chứng minh công thức gần đúng:
n
?
an xa x
nan1, pa¡0q với|x|!a. Sử dụng công thức trên hãy xấp xỉ ?39, 4
?
80, 7
?
100, 10
?1000.
Câu 8. Tìmyx2 nếu:
(a) yxrsinplnxq cosplnxqs. (b) y arcsinx
?
1x2.
(c) xptq2tt2, yptq3tt3 (d) xptqetcost, yptqetsint Câu 9. Tìmypnq nếu
(a) y 1 x23x 2. (b) y x
3
?
1 x. (c) ysin4x cos4x
(d) yx2sinax (e) yexcosx (f) yexsinx Câu 10. Sử dụng đẳng thức 1
1 x2 1 2i
1 xi
1 x i
, chứng minh rằng:
1 1 x2
pnq
p1qnn!
p1 x2q n 1
2 sin
pn 1q
π
2 arctanx Câu 11. Tìm fpnqp0q nếu fpxqarcsinx.
Câu 12. Chứng minh rằng các đa thức Legendre:
Pnpxq 1 2nn!
dn
dxnrpx21qns, pn0,1,2, . . .q thoả mãn phương trình:
p1x2qPn2pxq2xPn1pxq npn 1qPnpxq0
Câu 13. Tìm hàm θθpx, hq sao cho fpx hqfpxqhf1px θhq, p0 θ 1q nếu:
(a) fpxqax2 bx c, pa0q (b) fpxqx3
(c) fpxq 1 x (d) fpxqex Câu 14. Chứng minh rằng , nếux¥0, thì?x 1
?
x 1
2
a
x θpxq, trong đó 1
4 ¤θpxq 1 2, đồng thời lim
xẹ0 θpxq 1 4, lim
xẹ 8θpxq 1 2.
Câu 15. Cho fpxq P Cp2qpRq và với x, h bất kỳ ta có đồng nhất thức fpx hq fpxq hf1
x h
2
(*). Chứng minh rằngfpxqax2 bx cvớia, b, c là các hằng số.
Bài tập chương 6 85
Câu 16. Giả sử fpxq
$
'
&
'
%
3x2
2 , nếu0¤x¤1 1
x, nếu 1 x 8
. Xác định giá trị trung gian c trong công thức số gia hữu hạn của hàmfpxqtrên đoạnr0,2s.
Câu 17. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
(a) @nPN, @xPR , xn 1pn 1qx n¥0.
(b) @xPp1, 8q, x
1 x ¤lnp1 xq¤x.
(c) @xPp0, 8q, 1 2
x 8
1 x
1 ex1
1 2. (d) @xP
0,π 2
, xcosx π2 16. (e) @xPr0,1q, tanx¤ x
?
1x2. (f) @xP
0,π
2 , xcotx
2 xtan3 x 2 2.
Câu 18. Tínhsup
"
x3 75
4 x, xPRvà x4 36¤13x2
*
.
Câu 19. Chứng minh rằng nếu hàmfpxq có đạo hàm cấp hai trênra, bs vàf1paqf1pbq 0 thì trongpa, bq tồn tại ít nhất một điểmcsao cho |f2pcq|¥ 4
pbaq2|fpbqfpaq|. Câu 20. Khảo sát khoảng tăng giảm của các hàm số sau:
(a) yx |sin 2x|. (b) yx22x.
Câu 21. Giả sử hàm liên tục trong ra, 8q và f1pxq ¡ k ¡ 0 khi x ¡ a với k là hằng số.
Chứng minh rằng nếufpaq 0thì phương trình fpxq0có duy nhất nghiệm trong khoảng
a, afpaq k
.
Câu 22. Tính các giới hạn sau:
(a) lim
xẹ0
tanxx xsinx (b) lim
xẹ0
xcotx1 x2 (c) lim
xẹπ4
3
?
tanx1 2 sin2x1 (d) lim
xẹ0
xpex 1q2pex1q x3
(e) lim
xẹ0
cospsinxqcosx x4
(f) lim
xẹ0 xx
(g) lim
xẹ1
p2xqtanπx2 (h) lim
xẹ0
1 x
1 ex1
(i) lim
xẹ0
1 lnpx
?
1 x2q
1 lnp1 xq
(j) lim
xẹ0
cosxex
2 2
x4 (k) lim
xẹ0
exsinxxp1 xq x3
(l) lim
xẹ0
sinpsinqx3
?
1x2 x5
Bài tập chương 6 86 Câu 23. Tìm khai triển MacLaurin của các hàm:
(a) fpxq 1 x x2
1x x2 đến số hạngx4. (b) fpxq
?
12x x3 3
?
13x x2 đến số hạngx3. (c) fpxqe2xx2 đến số hạngx5.
(d) fpxq 3
a
sinpx3q đến số hạngx13. Câu 24. Khai triển hàm fpxq
?
1 x2x px¡0q theo luỹ thừa nguyên dương của phân số 1
x trong lân cận 8đến số hạng 1 x3.
Câu 25. Giả sử fpxq P Cp2qr0,1s và fp0q fp1q 0, đồng thời |f2pxq| ¤ A, x Pp0,1q. Chứng minh rằng|f1pxq|¤ A
2 khi 0¤x¤1.
Cõu 26. Chọn cỏc hệ sốA, B, C vàDthớch hợp sao cho khixẹ0 ta cú cỏc đẳng thức tiệm cận
(a) cotx 1 Ax2
x Bx3 opx5q (b) ex 1 Ax Bx2
1 Cx Dx2 opx5q Câu 27. Tìm cực trị của các hàm số sau:
(a) yxpx1q2px2q3 (b) y x23x 2
x2 2x 1 (c) yx3
?
x1 (d) y?xlnx
(e) ycosx 1 2cos 2x (f) yarctanx1
2lnp1 x2q (g) yexsinx
(h) y|x|eabsx1 Câu 28. Cho hàmfpyq 1 y
3 y2. Hãy tìmMpxq sup
x y 8
fpyqvà mpxq inf
x y 8fpyq. Câu 29. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
(a) y 2x2 1 x4 (b) y x4 8 x3 1 (c) y 3
?
x3x2x 1 (d) y
c
x4 3 x2 1
(e) ysinx cos2x (f) y2xtanx
(g) ylnpx
?
1 x2q (h) y arcsinx
?
1x2
Câu 30. Khảo sát và vẽ đồ thị các đường cong cho dưới dạng tham số:
(a) xptq2tt2, yptq3tt3 (b) xptq t2
t1, yptq t t21
Bài tập chương 6 87 (c) xptqt et, yptq2t e2t
(d) xptqcos4t, yptqsin4t
Câu 31. Khảo sát và vẽ đồ thị các đường cong cho trong toạ độ cực:
(a) ra bcosϕ, p0 a¤bq (b) r a
?
cos 3ϕ, pa¡0q (c) ratanhϕ
ϕ1 , pa¡0q với ϕ¡1. (d) ϕarccosr1
r2
CHƯƠNG BẢY
TÍCH PHÂN
Mục lục