Đạo hàm và vi phân

§6.1 Đ ẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Trong toàn bộ chương này, ta ký hiệu I là một khoảng không rỗng củaRvà không thu về một điểm.

Định nghĩa 6.1. Chof :I íẹRvàaPI. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

xlimẹa

fpxqfpaq

xa (6.1)

thì ta nói hàmfpxq có đạo hàm tạia; giới hạn (6.1)là đạo hàm củaf tạiavà ký hiệu làf1paq. Cho ∆x là một đại lượng có trị tuyệt đối khá bé sao cho a ∆xPI và gọi là số gia của đối sốx. Đại lượng

∆yfpa ∆xqfpaq

được gọi là số gia của hàm số tương ứng tại a. Khi đó công thức (6.1) có thể viết lại dưới dạng khác như sau:

f1paq lim

∆xẹ0

∆y

∆x lim

∆xẹ0

fpa ∆xqfpaq

∆x (6.2)

Trong cụng thức (6.2) ta nhận thấy nếu hàm cú đạo hàm tại điểmatrong quỏ trỡnh∆xẹ0 thì số gia của hàm số∆y tạiacũng là vô cùng bé cùng cấp với ∆x. Do đó ta có:

∆yfpa ∆xqfpaqf1paq∆x op∆xq (6.3) và như vậy hàm liên tục tạia.

6.1 Đạo hàm và vi phân 67 Về mặt hình học, đạo hàm của hàm số tại một điểm (nếu tồn tại) là hệ số góc của tiếp tuyến với đường congyfpxqtại điểmpa, fpaqq. Chú ý rằng khi đó nếu đạo hàm bằng0thì tiếp tuyến nằm ngang, song song với trục hoành; còn nếu đạo hàm bằng8 thì tiếp tuyến song song với trục tung.

Về mặt vật lý, đạo hàm theo biến thời gian được hiểu như là tốc độ thay đổi của một đại lượng vật lý theo thời gian. Như đạo hàm của quảng đường đi là vận tốc; đạo hàm của vận tốc là gia tốc; v.v...

Định nghĩa 6.2. Chof :I íẹRvàaPI.

(a) Ta nói hàmfpxqcó đạo hàm bên phải tạixanếu tồn tại giới hạn hữu hạn:

lim

xẹa

fpxqfpaq xa và được ký hiệu làf1 paqhoặcf1pa q.

(b) Ta nói hàmfpxqcó đạo hàm bên trái tạixanếu tồn tại giới hạn hữu hạn:

lim

xẹa

fpxqfpaq xa và được ký hiệu làf1

paqhoặcf1paq.

Ví dụ 6.1. Hàmfpxq|x|có các đạo hàm trái và phải tại điểmx0vàf1

p0q 1,f1 p0q1. Về mặt hình học, đạo hàm bên phải tạialà hệ số góc của tiếp tuyến bên phải, còn đạo hàm bên trái tạialà hệ số góc của tiếp tuyến bên trái. Nếu hai đạo hàm này tồn tại và khác nhau thì tiếp tuyến bên phải khác với tiếp tuyến bên trái. Đường cong bị gãy tạixa. Như vậy sự tồn tại của đạo hàm tại một điểm đặc trưng cho tính trơn của đồ thị đường cong tại điểm đó.

Định lý 6.1. Chof :I íẹ RvàaPI. Điều kiện cần và đủ để hàm f cú đạo hàm tạixalà nó có các đạo hàm trái và phải tạiavà chúng bằng nhau.

Định nghĩa 6.3. Cho hàmf :pa, bq íẹ R. Ta núi hàm f cú đạo hàm trong khoảngpa, bq nếu nó có đạo hàm tại mọixPpa, bq.

Định nghĩa 6.4. Cho hàmf :ra, bsíẹ R. Ta núi hàmf cú đạo hàm trong đoạnra, bsnếu nú có đạo hàm tại mọixPpa, bq, có đạo hàm phải tại avà đạo hàm trái tạib.

Như vậy, nếu hàm f :I íẹ Rcú đạo hàm tại mọi điểm củaI thỡ bản thõn f1pxqcũng là một hàm số từI vàoRvà được gọi là ánh xạ đạo hàm.

Định lý 6.2. Chof, g:I íẹRlà hai hàm cú đạo hàm tại mọixPI. Khi đú:

6.1 Đạo hàm và vi phân 68 (a) @xPI, pfpxqgpxqq1 f1pxqg1pxq

(b) @xPI, C - hằng số, pCfpxqq1 Cf1pxq (c) @xPI, pfpxqgpxqq1 f1pxqgpxq fpxqg1pxq (d) @xPI,

fpxq gpxq

f1pxqgpxqfpxqg1pxq g2pxq

Định lý 6.3(Đạo hàm hàm hợp). ChoI, J là hai khoảng củaR,xPI, f :I íẹR, g :J íẹR, sao chofpIq J. Nếu f có đạo hàm tạix vàgcó đạo hàm tại fpxq thìgf cũng có đạo hàm tạixvàpgfq1pxqg1pfpxqqf1pxq.

Chứng minh.Choxmột số gia∆x; giả sử∆f là số gia tương ứng của hàmf tạixvà cuối cùng∆glà số gia của hàmgtạifpxq. Sử dụng công thức(6.3), ta có thể viết:

∆gg1pfpxqq.∆f op∆fq Chia hai vế cho∆xvà cho∆xẹ0ta được:

∆limxẹ0

∆g

∆x g1pfpxqq. lim

∆xẹ0

∆f

∆x lim

∆xẹ0

op∆fq

∆x

Và ta có điều phải chứng minh.

Định lý 6.4(Đạo hàm hàm ngược). ChoxPI vàf :I íẹfpIqRlà hàm liờn tục, đơn điệu nghiờm ngặt trờnI, cú đạo hàm tạixvàf1pxq0. Khi đú hàm ngược củaf làf1 :fpIqíẹI cũng có đạo hàm tạifpxqvàpf1q1pfpxqq 1

f1pxq.

Chứng minh. Ta cóf1 cũng là hàm liên tục, đơn điệu nghiêm ngặt trên fpIq. Chọn x P I cố định và

@yPfpIqta có:

f1pyqf1pfpxqq yfpxq

f1pyqx fpf1pyqqfpxq Vỡf cú đạo hàm tạix,f1pxq0vàf1pyqíííííẹ

yẹfpxq x, nờn bằng cỏc phộp hợp cỏc giới hạn ta được:

f1pyqx

fpf1pyqqfpxq íyíẹíífpíxẹq

1 f1pxq Điều này chứng tỏf1có đạo hàm tạifpxqvàpf1q1pfpxqq 1

f1pxq.

Công thức tính đạo hàm hàm ngược có thể được viết như sau: giả sử hàm y ypxq có hàm ngược làxxpyq và cả hai cùng có đạo hàm. Khi đó:yx1 1

x1y. Ta có bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản sau:

(a) Đối với hàm hằngyC, ta thấy rằng số gia ∆y 0với bất kỳ∆xnào. Do đóy1 0.

6.1 Đạo hàm và vi phân 69 (b) Hàm lũy thừayxα. Ta có:

∆y

∆x

px ∆xqαxα

∆x xα1

1 ∆x x

∆x x Chuyển qua giới hạn, ta thu được:y1 αxα1.

∆y

∆x

ax ∆xax

∆x axa∆x1

∆x

Chuyển qua giới hạn ta đượcy1 axlna. Đặc biệt nếu yex thì y1 ex. (d) Hàm logarithmylogax, pa¡0, a1q. Ta có:

∆y

∆x

logapx ∆xqlogax

∆x

1 x

loga

1 ∆x x

∆x x Ta được:y1 logae

x . Trường hợp ylnxthì y1 1 x. (e) Hàm lượng giác: psinxq1cosx, pcosxq1 sinx

ptanxq1 1

cos2x và pcotxq1 1 sin2x

(f) Hàm lượng giác ngược. Sử dụng công thức đạo hàm của hàm ngược dạng:y1x 1 x1y ta được:

parcsinxq1 1

1x2, parccosxq1

1x2, parctanxq1 1 1 x2 (g) Hàm hyperbolic. psinhxq1 coshx, pcoshxq1 sinhx, ptanhxq1 1

cosh2x

Cho hàmf :I íẹ R và aPI. Tại ata lấy một số gia ∆x và lập số gia tương ứng của hàm:

∆yfpa ∆xqfpaq. Xột quỏ trỡnh∆xẹ0.

Định nghĩa 6.5. Nếu tồn tại một hằng sốAsao cho

∆yA.∆x op∆xq, p∆xẹ0q (6.4)

thì ta nói hàmfpxqkhả vi tại điểmxavà biểu thức A.∆x được gọi là vi phân của hàmfpxq tạiavà viết:dy dfpaqA.∆x.

Định lý 6.5. Hàmfpxq khả vi tạiakhi và chỉ khifpxqcó đạo hàm tạiavà

dfpaqf1paq.∆x (6.5)

6.1 Đạo hàm và vi phân 70 Chứng minh.Giả sử hàmfpxqkhả vi tạia. Từ cụng thức (6.4), chia hai vế cho∆xvà cho∆xẹ 0, ta thu đượcf1paqAvà ta có công thức (6.5). Điều ngược lại suy ra từ công thức (6.3).

Trong công thức (6.5), ta hiểu ∆x là một giá trị đủ nhỏ nhưng cố định. Tuy nhiên nếu cho∆x càng nhỏ thìdydfpaqcũng phải nhỏ theo vàdy là một vô cùng bé cùng cấp với∆x khi∆xẹ0. Điều này gợi ý cho ta cú thể xấp xỉdy ∆x. Bõy giờ xột cụ thể hàmyfpxqx.

Tại bất kỳ một điểm nào ta đều códy dx1.∆x∆x. Cho nên ở đây ta hoàn toàn có thể đồng nhất (về mặt ký hiệu) hai đại lượngdx và∆x. Khi đó công thức (6.5) được viết lại tại xbất kỳ

dy dfpxqf1pxqdx Do đó ta được

f1pxq dy dx

df dx

Từ định lý vừa nêu ở trên ta có thể đồng nhất hai khái niệm đạo hàm và vi phân theo nghĩa hàm có đạo hàm thì khả vi và ngược lại. Do đó từ các công thức tính đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản, ta cũng có vi phân của các hàm sơ cấp cơ bản. Còn các qui tắc tính đạo hàm cũng cho ta qui tắc lấy vi phân như sau:

dpf gqdf dg dpf.gqg.df f.dg d

f g

g.dff.dg g2

Chof :I íẹ R. Giả sử hàm fpxq cú đạo hàm tại mọix PI. Khi ấy ỏnh xạ đạo hàm f1pxq là một hàm theox trong I. Nếu bản thân hàmf1pxq cũng có đạo hàm thì ta nói hàmfpxq có đạo hàm cấp hai trênI, ký hiệu là f2pxq. Lập luận theo qui nạp, ta có thể định nghĩa đạo hàm cấpncủa hàmfpxqnhư sau:

fpnqpxq

fpn1qpxq

, n1,2,3, . . . Chú ý cách ký hiệu của đạo hàm: đạo hàm cấp một: df

dx f1pxq, đạo hàm cấp hai: d2f dx2 f2pxq, đạo hàm cấp ba: d3f

dx3 f3pxq, đạo hàm cấp bốn: d4f

dx4 fp4qpxq, v.v... Để thuận tiện trong cách viết ta cũng ký hiệu:fp0qpxqfpxq.

Tương tự, ta cũng có các khái niệm vi phân cấp cao:

d2f f2pxqdx2, d3f f3pxqdx3, . . . , dnf fpnqpxqdxn Sau đây là công thức tính đạo hàm cấpnPNcủa một số hàm thông dụng.

6.1 Đạo hàm và vi phân 71 (a) rp1 xqαspnqαpα1q. . .pαn 1qp1 xqαn

Trường hợp riêng khiα1ta được:

1 1 x

pnq

p1qnn!

p1 xqn 1. (b) paxqpnq axplnaqn. Đặc biệtpexqpnqex.

p1 xqn , nPN (d) psinxqpnqsin

x nπ 2 (e) pcosxqpnqcos

x nπ 2

(f) parctanxqpnq pn1q! cosnparctanxq.sin

arctanx π 2

Định lý 6.6. ChoC PR, nPN, f, g :I íẹ Rlà cỏc hàm cú đạo hàm đến cấpntrongI. Khi đó:

(a) pfgqpnqfpnqgpnq (b) pCfqpnqC.fpnq (c) Công thức Leibnitz:

pf.gqpnq

Cnkfpkqgpnkq (6.6) Chứng minh.Các qui tắc đầu tiên là đơn giản. Ta chứng minh công thức Leibnitz bằng qui nạp. Trường hợp

n1là hiển nhiên. Giả sử công thức đúng đếnnvà các hàmf, gcó đạo hàm cấpn 1.

pf gqpnq

Cnkfpkqgpnkq

Cnkfpk 1qgpnkq

Cnkfpkqgpnk 1q

n 1

Cnk1fpkqgpnk 1q

Cnkfpkqgpnk 1q

Cnnfpn 1qgp0q

pCnk1 Cnkqfpkqgpnk 1q Cn0fp0qgpn 1q

Cn0 1fp0qgpn 1q

Cnk 1fpkqgpnk 1q Cnn 11fpn 1qgp0q

n 1

Cnk 1fpkqgpn 1kq

Như vậy công thức (6.6) chứng minh xong.

Công thức Leibnitz (6.6) thường được dùng để tính đạo hàm cấpnmột số hàm đơn giản ở dạng tích.

Sự biến thiên của hàm

Đường cong trong toạ độ cực