Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu về toán cao cấp Nội dungI,Khái niệmII,Phương trình vi phân cấp 1 1.Giới thiệu về phương trình vi phân cấp 1 2.Phương trình biến số phân ly3.Phương trình dẳng cấp cấp 1 4.Phương trình tuyến tính cấp 1 5.Phương trình vi phân cấp 1 Bernoulli III.Phương trình vi phân cấp 21.Giới thiệu về phương trình vi phân cấp 22.Một số phương trình giảm cấp được3.Phương trình tuyến tính cấp 2 4.Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
Chương Phương trình vi phân Nội dung I Khái niệm II Phương trình vi phân cấp 1 Giới thiệu phương trình vi phân cấp Phương trình biến số phân ly Phương trình dẳng cấp cấp Phương trình tuyến tính cấp Phương trình vi phân cấp Bernoulli III.Phương trình vi phân cấp Giới thiệu phương trình vi phân cấp 2 Một số phương trình giảm cấp Phương trình tuyến tính cấp Phương trình tuyến tính cấp hệ số I Khái niệm - Định nghĩa: PTVP đẳng thức liên hệ biến độc lập, hàm chưa biết biến độc lập đạo hàm ( vi phân) hàm số - Cấp PTVP cấp cao đạo hàm vi phân hàm số có mặt phương trình - Dạng tổng qt: F( x;y;y’;y’’,…; ) = - Nghiệm PTVP ( cấp n) hàm số khả vi đến cấp n mà thay vào phương trình ta đồng nhận thức II Phương trình vi phân cấp I Giới thiệu PTVP cấp - Các dạng biểu diễn + Dạng tổng quát: F(x;y;y’) = + Dạng giải theo đạo hàm: y’ = = f(x,y) + Dạng đối xứng: M(x,y)dx + N(x,y)dy = - Các dạng nghiệm PTVP cấp + Tổng quát: y = (x,C) + Nghiệm riêng: y = (x,) + Tích phân tổng quát: (x,y, C) = + Tích phân riêng: (x,y,) = 2.Phương trình biến số phân li a)Dạng phương trình: f(x) dx = g(y) dy Các phương trình sau đưa phương trình có biến phân li: y’=f(x).g(y) M(x).P(y)dx + N(x).Q(y)dy = b)Phương pháp giải Lấy tích phân vế: ∫ f(x) dx = ∫ g(y) dy F(x) = G(y) + C F(x) – G(y) + C = Phương trình đẳng cấp cấp Dạng phương trình: Cách giải: ) Xét phương trình ) Đặt y = u.x, ta có thay vào phương trình, ta được: u + x hay x Nếu (u) – u ≠ ta có ln x=C Nếu (u) – u (u) = u ( Khi phương trình có dạng Nghiệm y = Cx Nếu tồn cho cách thử trực tiếp ta thấy hàm y = nghiệm phương trình cho *) Trường hợp đưa phương trình đẳng cấp: - Hàm f(x,y) gọi đẳng cấp bậc m với số t ta có: f(tx,ty) = f(x,y) - Dạng phương trình: M(x,y) dx + N(x,y) dy = Phương pháp giải: Đặt: y = ux ( với x≠0 ) Ta có: dy = udx + xdu hay Dạng phương trình: Phương pháp giải: TH1: Nếu đặt PT đẳng cấp TH2: Nếu PT cho có dạng đặt z = ax + by Đưa phương trình có vế phải khơng chứa biến x Phương trình tuyến tính cấp - Dạng phương trình: y’ + p(x).y = q(x) (1) (P(x), q(x): hàm liên tục) Nếu q(x) = phương trình gọi - Phương pháp giải: biến thiên số PTTN: y’ + p(x).y = (1’) + Bước 1: giải PTTN có nghiệm tổng quát: C (C (*) + Bước 2: biến thiên số: (*) coi C hàm x: C = C(x) Khi đó: y = C(x) y’ = C(x)’ -C + Thay vào phương trình (1) ta được: C(x)’ - C + p(x) = q(x) C(x)’ = q(x) C(x) = dx + D + Thay C(x) vào nghiệm tổng quát PTTN Suy NTQ PT (1) là: y = dx + D) (D số) 5) Phương trình vi phân cấp Bernoulli - Dạng phương trình: y’ + p(x).y = q(x) (1) - Phương pháp giải: +Nếu = (1) PT tuyến tính cấp +Nếu = (1) PTPL +Nếu < chia vế PT(1) cho (với y ≠ 0) Ta có: � ′ + �(�) = q(x) (2) Đặ�: z= z’= (1- ) .y’ thay vào (2) ta có: + p(x).z = q(x) z’ + (1-)p(x)z = (1-).q(x) (3) +Nếu < ≠ ngồi nghiệm (3) thêm nghiệm y = III Phương trình vi phân cấp - Các khái niệm Phương trình vi phân cấp hai dạng tổng quát: F(x,y,y',y'') = Dạng giải đạo hàm bậc hai (dạng tắc): y'' = ƒ(x,y,y') - Định lý tồn nghiệm: Xét phương trình: y'' = ƒ(x,y,y') Nếu hàm ƒ(x,y,y') liên tục miền mở D chứa điểm x0, y0, y'0 tồn nghiệm y = y(x) phương trình cho y(x0) = y'0 Nếu ƒ' y(x,y), ƒ' y'(x,y) liên tục D nghiệm nói Phương pháp giải: - Nếu đưa PTVP cấp hai đẳng thức tương đương dạng y = φ(x,,) , số tự đẳng thức gọi NTQ PTVP - Từ NTQ, thay giá trị cụ thể =, = ta hàm số xác định y = φ(x,,) , Hàm gọi nghiệm riêng - Nếu đưa PTVP cấp hai đẳng thức tương đương dạng hàm ẩn φ(x, y, ) = đẳng thức gọi tích phân tổng quát - Nếu thay , giá trị cụ thể vào tích phân tổng quát đẳng thức φ(x, y, , ) = gọi tích phân riêng •Một số trường hợp giảm cấp được: Xét phương trình vi phân cấp dạng tắc: y'' = ƒ(x,y,y') Trong trường hợp khuyết y,y', khuyết y hay khuyết x ta đưa phương trình cấp phương trình cấp ( thường cách đổi biến) Ta xét trường hợp một: •Trường hợp vế phải khơng phụ thuộc y,y' Phương trình có dạng: y" = ƒ(x) Cách giải: lấy tích phân lần liên tiếp y" = ʃƒ(x)dx + C1 f ( x)dx C dx + C • Trường hợp vế phải khơng phụ thuộc y Phương trình có dạng: y" = ƒ(x,y’) Cách giải: Đặt y' = p(x), ta có y" = p' Khi phương trình dạng p' = ƒ(x,p) Giả sử NTQ phương trình p= φ (x,C1 ) Khi ta có y' = φ(x,C1) Giải tiếp ta nghiệm: y = ʃφ(x, C1)dx + C2 •Trường hợp vế phải khơng chứa x Phương trình có dạng: y" = ƒ(y,y') Cách giải:- Đầu tiên ta kiểm tra trường hợp y = 0, trường hợp lại đặt y' = p(y), dp ( y ) dp dy dp y" = dx dy dx p dy dp Thay vào phương trình ta có: p = ƒ(y,p) Đây phương trình vi phân cấp với biến dy y, hàm p Giả sử ph5ương trình có nghiệm p = φ(y,C1) giải tiếp phương trình dy dy dx = φ(y,C1)Ta được: dx ( y, C1 ) Từ ta có: dy ( y, C ) x C2 •Phương trình tuyến tính cấp Phương trình có dạng: y p(x)y q(x)y ƒ(x) •Nếu ƒ(x) ≠ phương trình gọi khơng •Nếu ƒ(x)0 phương trình gọi •Nếu p,q khơng phụ thuộc vào x nói phương trình có hệ số Ngược lại, nói phương trình có hệ số biến thiên Tính chất: •Nghiệm tổng qt phương trình khơng nhất: y p(x)y q(x)y ƒ(x) Bằng tổng nghiệm tổng quát phương trình y p(x)y q(x)y Với nghiệm riêng phương trình khơng • (Nguyên lý chồng chất nghiệm) Nếu y1 nghiệm riêng PT ƒ1(x) y p(x)y q(x)y Vậy y2 nghiệm riêng ƒ2(x) y q(x)y PT Thì yy=yp(x) + y nghiệm riêng phương trình y p(x)y q(x)y ƒ1(x)+ ƒ2(x) • Nếu y1(x) y2(x) nghiệm PTTN với k, h ℝ, y( x ) hy1 ( x ) ky2 ( x ) nghiệm PTTN • Nếu y1(x) y2(x) nghiệm ĐLTT (khơng tỷ lệ) phương trình thần NTQ PTTN là: y( x ) C1 y1 ( x ) C y ( x ) IV) Phương trình tuyến tính cấp hệ số a) PTVP tuyến tính cấp hệ số phương trình có dạng: Xét phương trình: y py qy ƒ(x) (1) Phương trình liên kết với (1): y py qy 0 (2) PTĐT k pk q 0 (3) b) ĐL nghiệm ĐL 1: Nếu y1(x), y2(x) nghiệm riêng độc lập tuyến tính phương trình (2) nghiệm tổng quát (2) là: y(x) C1 y1 (x) C y (x) ĐL 2: NTQ phương trình (1) tổng NTQ PT (2) nghiệm riêng PT (1) y( x ) y( x ) yˆ ( x ) ĐL 3: Nếu yˆ ( x ), yˆ ( x ) nghiệm riêng phương trình: y py qy f1 (x) y py qy f (x) Thì yˆ1 (x) yˆ (x) ghiệm riêng phương trình y py qy f1 (x) f (x) c) Nghiệm PTTN y py qy 0 (2) Xét PTĐT k pk q 0 (3) - Nếu PT (3) có nghiệm thực phân biệt k1, k2 nghiệm tổng quát PTTN (2) là: y(x) C1e k1x C 2e k 2x - Nếu PT (3) có nghiệm kép k1 = k2 = k NTQ PTTN (2) y(x) C1e kx C xe kx - Nếu PT (3) có nghiệm phức liên hợp k1,2 = i NTQ (2) y( x ) e x (C1 cosx C sin x ) d) Nghiệm riêng PTVP tuyến tính không Trường hợp 1: x P ( x ) e ƒ(x) = n Trong đó: Pn (x ) đa thức bậc n x α số thực,n ta dùng ˆ để nghiệm riêng ký hiệu y x Xét phương trình Q: y py qy e Pn (x ) Có thể tìm nghiệm riêng phương trình dạng: + yˆ Q ( x ) α nghiệm PTĐT + yˆ xQ n ( x ) α nghiệm đơn PTĐT ˆ y x Q n ( x ) α nghiệm kép PTĐT + Trong Q n (x ) đa thức với hệ số chưa biết xác định chúng phương pháp hệ số bất định n Trườn g hợp 2: ƒ(x) = e x Pn ( x ) cos x Pm ( x ) sin x ( sin 0) + Nếu α ± i khơng phải nghiệm PTĐT nghiệm riêng tìm dạng: yˆ e Q1 ( x ) cosx R ( x ) sin x x + Nếu i ( l = max nghiệm PTĐT nghiệm riêng tìm m, n dạng: ˆy xe x Q1 ( x ) cos x R ( x ) sin x l = max ( m, n T H E · E N D Cả m ơn cô lắn gn gh e! cá cb ạn ... II Phương trình vi phân cấp 1 Giới thiệu phương trình vi phân cấp Phương trình biến số phân ly Phương trình dẳng cấp cấp Phương trình tuyến tính cấp Phương trình vi phân cấp Bernoulli III .Phương. .. trình vi phân cấp Bernoulli III .Phương trình vi phân cấp Giới thiệu phương trình vi phân cấp 2 Một số phương trình giảm cấp Phương trình tuyến tính cấp Phương trình tuyến tính cấp hệ số I Khái niệm... (x,) + Tích phân tổng quát: (x,y, C) = + Tích phân riêng: (x,y,) = 2 .Phương trình biến số phân li a)Dạng phương trình: f(x) dx = g(y) dy Các phương trình sau đưa phương trình có biến phân li: