(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện(Luận văn thạc sĩ) Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điện
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - LÊ THỊ THANH TÂM TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHƠNG CHỈNH PHI TUYẾN VỚI TỐN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - LÊ THỊ THANH TÂM TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO BÀI TỐN ĐẶT KHƠNG CHỈNH PHI TUYẾN VỚI TỐN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành :Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu Chương Phương trình tốn tử đặt không chỉnh 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Định nghĩa tính chất 3 1.1.2 Toán tử đơn điệu không gian Hilbert Phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh 11 16 1.2.1 1.2.2 Khái niệm ví dụ tốn đặt khơng chỉnh Toán tử hiệu chỉnh 16 18 Chương Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov tốc độ hội tụ 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho tốn đặt khơng chỉnh 22 phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điệu 2.1.1 Mô tả phương pháp hội tụ 22 23 2.1.2 Tốc độ hội tụ phương pháp Xấp xỉ hữu hạn chiều 27 29 2.2.1 Bài toán xấp xỉ hữu hạn chiều 29 2.2.2 Tốc độ hội tụ 32 1.2 2.2 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 ii Bảng ký hiệu R tập số thực H X không gian Hilbert thực không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu X C A tập đóng lồi H tốn tử đơn điệu không gian Hilbert dom(A) x, y miền hữu hiệu tốn tử A tích vơ hướng hai vectơ x y xn → x chuẩn vectơ x xn hội tụ mạnh đến x xn I xn hội tụ yếu đến x ánh xạ đơn vị x x Mở đầu Đề tài luận văn nghiên cứu phương trình tốn tử dạng: A(x) = f , (1) đây, A toán tử đơn điệu từ không gian Hilbert thực X vào không gian Hilbert thực X, f phần tử X Nếu khơng có điều kiện đặc biệt đặt lên tốn tử A, chẳng hạn tính đơn điệu đơn điệu mạnh, tốn (1) nói chung tốn đặt khơng chỉnh Trong tốn này, thay cho kiện xác {A, f } ta biết xấp xỉ {Ah , fδ } chúng Giả sử xδ nghiệm (1) với f thay fδ (giả thiết nghiệm tồn tại) Khi δ → fδ → f với tốn đặt khơng chỉnh xδ nói chung khơng hội tụ đến x0 -nghiệm xác tốn Có nhiều phương pháp khác để tìm lời giải cho toán này, phương pháp sử dụng rộng rãi hiệu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Mục đích đề tài luận văn nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh tốn đặt khơng chỉnh (1) trường hợp tốn tử nhiễu đơn điệu khơng gian Hilbert: trình bày hội tụ phương pháp, nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh trình bày ví dụ minh họa Nội dung đề tài viết hai chương Chương có tiêu đề "Phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh" trình bày khái niệm khơng gian Hilbert thực số tính chất; giới thiệu tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert khái niệm phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh khơng gian Hilbert số ví dụ Chương có tiêu đề "Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov tốc độ hội tụ" trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho tốn đặt khơng chỉnh phi tuyến trường hợp toán tử nhiễu đơn điệu; trình bày tốc độ hội tụ phương pháp hiệu chỉnh ví dụ số minh họa Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, Cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K8B (khóa 2014–2016); Nhà trường phịng chức Trường; Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K8B (khóa 2014–2016) động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập, nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị cơng tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả học tập nghiên cứu Tác giả Lê Thị Thanh Tâm Chương Phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh Chương giới thiệu khái niệm ví dụ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh Cụ thể: Mục 1.1 giới thiệu khơng gian Hilbert thực số tính chất khơng gian Hilbert; trình bày định nghĩa tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert Mục 1.2 trình bày khái niệm ví dụ tốn đặt khơng chỉnh; nêu khái niệm tốn tử hiệu chỉnh ví dụ Các kiến thức chương viết sở tổng hợp tài liệu [1], [3] [4] 1.1 1.1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa tính chất Định nghĩa 1.1.1 Một tập X gọi khơng gian tuyến tính R với cặp (x, y) ∈ X × X, phần tử X, ta gọi tổng x y, ký hiệu x + y; với α ∈ R x ∈ X, phần tử X, gọi tích α x, ký hiệu αx thỏa mãn điều kiện sau: (1) x + y = y + x với x, y ∈ X (tính chất giao hốn); (2) (x + y) + z = x + (y + z) với x, y, z ∈ X (tính chất kết hợp); (3) tồn phần tử không X, ký hiệu 0, cho: x + = + x với x ∈ X; (4) với x ∈ X, tồn phần tử đối x, ký hiệu −x, cho x+(−x) = với x ∈ X; (5) · x = x · = x, với x ∈ X (1 phần tử đơn vị); (6) α(β x) = (αβ )x, với α, β ∈ R, với x ∈ X; (7) (α + β )x = αx + β x), với α, β ∈ R, với x ∈ X; (8) α(x + y) = αx + αy), với α ∈ R, với x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2 Cho H không gian tuyến tính trường số thực R Tích vơ hướng khơng gian H ánh xạ từ tích Descartes H × H vào R, ký hiệu , , thỏa mãn điều kiện sau: (1) x, y = y, x với x, y ∈ H; (2) x + y, z = x, z + y, z với x, y, z ∈ H; (3) αx, y = α x, y với x, y ∈ H α ∈ R; (4) x, x > x = x, x = x = Nhận xét 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2 ta suy (1) x, αy = α y, x với x, y ∈ H α ∈ R; (2) x, y + z = x, y + x, z với x, y, z ∈ H Định nghĩa 1.1.4 Khơng gian tuyến tính H với tích vơ hướng gọi không gian tiền Hilbert Định lý 1.1.5 (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau: | x, y |2 ≤ x, x y, y (1.1) Chứng minh Với số thực α với x, y ∈ H ta có ≤ x − αy, x − αy = x, x − 2α x, y + α y, y Từ suy ∆ = | x, y |2 − x, x y, y ≤ với x, y ∈ H Hay | x, y |2 ≤ x, x y, y x, y ∈ H với Dấu đẳng thức bất đẳng thức (1.1) xảy x y phụ thuộc tuyến tính Định lý 1.1.6 Không gian tiền Hilbert H khơng gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn xác định x = x, x với x ∈ H (1.2) Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng Chứng minh Thật vậy, từ điều kiện (4) Định nghĩa 1.1.2 ta có x > x = x = x = với x ∈ H Từ điều kiện (1) (3) Định nghĩa 1.1.2, ta suy αx = |α| x với α ∈ R x ∈ H Từ bất đẳng thức Schwarz cách định nghĩa chuẩn, ta có | x, y | ≤ x y với x, y ∈ H (1.3) Từ với x, y ∈ H ta có x + y, x + y = x, x + x, y + y, y ≤ x +2 x y + y = x + y Suy x + y ≤ x + y với x, y ∈ H Định nghĩa 1.1.7 Nếu H không gian tiền Hilbert thực đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định (1.2) H gọi khơng gian Hilbert thực Ví dụ 1.1.8 Khơng gian l = x = {xn }n ∈ R : ∞ ∑ |xn|2 < +∞ n=1 không gian Hilbert với tích vơ hướng ∞ x, y = ∑ xnyn, x = {xn }n∈N , y = {yn }n∈N ∈ l n=1 chuẩn ∞ ∞ x = x, x = ∑ |xn |2 2 ∑ |xn| = n=1 n=1 Ví dụ 1.1.9 Khơng gian L2 [a, b] khơng gian Hilbert với tích vơ hướng b (x, y) = x(t)y(t)dt, ∀x, y ∈ L2 [a, b] a chuẩn b |x(t)|2 dt x = a Ví dụ 1.1.10 Gọi C[a, b] tập tất hàm giá trị thực liên tục khoảng đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R Trong C[a, b], xét tích vơ hướng b x(t)y(t)dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b] x, y = a Không gian C[a, b] với chuẩn b |x(t)| dt x = a không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert Định lý 1.1.11 Giả sử {xn }n∈N , {yn }n∈N hai dãy hội tụ mạnh đến x0 , y0 không gian tiền Hilbert thực H Khi đó, lim xn , yn = x0 , y0 n→∞ Chứng minh Giả sử lim xn = x0 , lim yn = y0 không gian Hilbert H n→∞ n→∞ 25 Suy lim x →+∞ (Ah + αI)(x), x = +∞ x Bây giờ, ta Ah + αI toán tử đơn điệu mạnh Thật vậy, từ tính chất đơn điệu tốn tử Ah I ta có (Ah + αI)(x) − (Ah + αI)(y), x − y = Ah (x) − Ah (y), x − y + α I(x) − I(y), x − y ≥ α x − y Vậy phương trình (2.2), với α > 0, có nghiệm xατ ta có Ah (xατ ) + α(xατ − x∗ ) = fδ (2.7) (2) Bây giờ, ta chứng minh dãy nghiệm {xατ } hội tụ đến nghiệm x0 ∈ S0 thỏa mãn (2.6) Thật vậy, từ (2.1) (2.7) ta có Ah (xατ ) − A(x) + f − fδ , xατ − x + α I(xατ − x∗ ) − I(x − x∗ ), xατ − x = α I(x − x∗ ), x − xατ , (2.8) ∀x ∈ S0 Do A toán tử đơn điệu nên từ (2.8) suy α xατ − x ≤ α I(x − x∗ ), x − xατ + Ah (xατ ) − Ah (x) + Ah (x) (2.9) − A(x) + f0 − fδ , x − xατ Do A Ah toán tử đơn điệu nên từ bất đẳng thức (2.9) ta nhận α xατ − x ≤ α I(x − x∗ ), x − xατ + ch + δ x − xατ (2.10) 26 Chia hai vế bất đẳng thức (2.10) cho α ta xατ − x ≤ I(x − x0 ), x − xατ + ch + δ x − xατ α (2.11) Từ (2.5) (2.11) suy dãy {xατ } bị chặn không gian Hilbert H Do đó, tồn dãy dãy {xατ } hội tụ yếu đến phần tử x1 H h+δ → Khơng giảm tổng quát, ta coi xατ x1 , α Mặt khác từ (2.7) ta có Ah (xατ ) + αI(xατ − x∗ ) − fδ , x − xατ = ∀x ∈ H Do tính đơn điệu toán tử Ah + αI nên đẳng thức viết thành Ah (x) + αI(x − x∗ ) − fδ , x − xατ ≥ ∀x ∈ H Trong bất đẳng thức (2.12) cho α, h+δ → 0, với xαδ α A(x) − f0 , x − x1 ≥ 0, (2.12) x1 ta ∀x ∈ H Theo Bổ đề Milty ta suy x1 ∈ S0 , tức x1 nghiệm phương trình (2.1) h+δ Bây ta chứng minh x1 thỏa mãn (2.6) Thật từ (2.10) cho ,α→ α ta ≤ x − x1 ≤ I(x − x∗ ), x − x1 ∀x ∈ S0 Vì S0 tập lồi, nên tx1 + (1 − t)x ∈ S0 với < t < Do đó, I[(tx1 + (1 − t)x) − x∗ ],tx1 + (1 − t)x − x1 = I(tx1 + (1 − t)x − x∗ ), (1 − t)(x − x1 ) ≥ ∀x ∈ S0 hay (1 − t) I(tx1 + (1 − t)x − x∗ ), x − x1 ≥ ∀x ∈ S0 27 Chia hai vế cho (1 − t), cho t → ta nhận I(x1 − x∗ ), x − x1 ≥ Bất đẳng thức tương đương với x1 − x∗ ≤ x − x∗ ∀x ∈ S0 Do phần tử x1 ∈ S0 thỏa mãn (2.6) nhất, nên dãy {xατ } hội tụ mạnh đến x1 = x0 2.1.2 Tốc độ hội tụ phương pháp Quy ước viết vô bé: Giả sử đại lượng ρ(h) vô bé h → Nếu tồn số α > số M > cho |ρ(h)| ≤ Mhα ta viết ρ(h) = O(hα ) Viết có nghĩa h nhỏ ρ(h) đại lượng nhỏ h → ρ(h) tiến đến số khơng chậm Mhα Hệ thức sau sử dụng đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh: cho a, b, c số không âm đủ bé, p > q > Nếu a p ≤ baq + c ta có a p = O b p/(p−q) + c Định lý 2.1.2 Giả sử điều kiện (2.3) (2.4) thỏa mãn x0 nghiệm thỏa mãn (2.6) Ngoài ra, giả thiết thêm (i) Ah khả vi Fréchet lân cận điểm x0 ; (ii) Tồn số L > thỏa mãn Ah (x0 ) − Ah (z) ≤ L x0 − z , với z ∈ S(x0 , τ) 28 S(x0 , τ) hình cầu tâm x0 , bán kính τ; (iii) Tồn phần tử zh ∈ H thỏa mãn x0 − x∗ = Ah∗ (x0 )zh ; (iv) L||zh || < Khi với tham số hiệu chỉnh α = O((h + δ ) p ), < p < 1, ta thu xατ − x0 = O((h + δ )η ), η = − p, p Chứng minh Từ phương trình (2.1) (2.7) suy A(xατ ) − A(x0 ) + α(xατ − x0 ) = fδ − f0 + A(xατ ) − Ah (xατ ) + α(x∗ − x0 ) Vì A tốn tử đơn điệu nên α xατ − x0 ≤ (c1 h + δ ) xατ − x0 + α x∗ − x0 , xατ − x0 , c1 > Vì Ah khả vi lân cận x0 nên Ah (x0 )(x0 − xατ ) = Ah (x0 ) − Ah (xατ ) + τατ với τατ ≤ L xατ − x0 |2 /2 Từ hai bất đẳng thức suy α xατ − x0 ≤ (c1 h + δ ) xατ − x0 + α zh , Ah (x0 )(x0 − xατ ) ≤ (c1 h + δ )||xατ − x0 || + α zh (ch x0 + δ + α xατ − x∗ + L xατ − x0 /2) 29 Hay α(1 − L zh /2) xατ − x0 ≤ (c1 h + δ + α zh ) xατ − x0 + α zh (ch x0 + α x∗ − x0 ) Từ suy xατ − x0 = O((h + δ )η ), 2.2 η = − p, p Xấp xỉ hữu hạn chiều Giả sử Hn dãy không gian hữu hạn chiều H thỏa mãn H1 ⊂ H2 ⊂ · · · ⊂ Hn ⊂ · · · ⊂ H, ∞ H =H Ui=1 i Pn phép chiếu từ H lên Hn 2.2.1 Bài toán xấp xỉ hữu hạn chiều Ta xét toán xấp xỉ hữu hạn chiều: n n Ahn (xατ ) + α(xατ − xn ∗ ) = fδn (2.13) với Ahn = Pn∗ Ah Pn , x∗n = Pn x∗ fδ n = Pn fδ Ta thấy Ahn toán tử đơn điệu n với α > liên tục, đồng thời phương trình (2.13) có nghiệm xατ n hội tụ tới xτ -nghiệm (2.2) τ = (h, δ ) > Đồng thời dãy nghiệm xατ α n → ∞ n } hội tụ đến xτ -nghiệm Định lý 2.2.1 Với α > tùy ý fδ ∈ H, dãy {xατ α toán (2.1) n → ∞ Pn x → x với x ∈ H 30 Chứng minh Thật vậy, cho x ∈ H phần tử tùy ý; f = Ah (x) Ah (xα ) + α (xα − x∗ ) = f Từ dãy {xαn }, xαn nghiệm (2.13) với f n = Pα f thay fδn , hội tụ đến xα thì: ∀ε > ∃n0 : n > n0 xαn − x < ε Mặt khác, Ah đơn điệu, nên Ah (x) = f có nghiệm x Thêm nữa, {xα } hội tụ tới x α → 0, nên ∃α1 > 0, ∀α : < α < α1 , ε xα − x < Cuối ta có: Pn x − x ≤ xαn − x ≤ xαn − x + xα − x < ε Định lý 2.2.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) Ah khả vi Fréchet lân cận điểm x0 ; (ii) Tồn số L > thỏa mãn Ah (x0 ) − Ah (z) ≤ L| x0 − z , z ∈ S(x0 , τ); (iii) Tham số hiệu chỉnh chọn α = α(n, δ , h) cho α → 0, (γhn (I − Pn )x0 + L (I − Pn )x0 )/2)/α → với h → 0, δ → n → ∞, γhn xác định γhn = (I − Pn )Ah∗ (x0 ) I toán tử đơn vị H 31 n hội tụ tới x Khi đó, dãy xατ Chứng minh Từ (2.13) ta có n n Ahn (xατ ) − Ahn (x0n ) + α(xατ − x0n ) = fδn − Ahn (x0n ) + α(xn ∗ − x0 ), (2.14) x0n = Pn x0 n − xn , ta thu Tác động vế đẳng thức với xατ n α xατ − x0n n ≤ (c2 h + δ + Pn Ah (x0 ) − Pn Ahn (x0n ) ) xατ − x0n n + α x0n − x∗n , x0n − xατ , c2 > Vì Ah (Pn x0 ) = Ah (x0 ) + Ah (x0 )(Pn x0 − x0 ) + τhn với τhn ≤ (L (I − Pn )x0 )/2 ta suy n α xατ − x0n ≤ (c2 h + δ + γhn (I − Pn )(x0 ) + L (I − Pn )x0 n /2) + xατ − x0n (2.15) n + α x0n − x∗n , x0n − xατ n Không làm tính tổng quát, giả sử Từ suy tính bị chặn dãy xατ n xατ x1 τ, α → n → ∞ Từ (2.13), n Ahn (xατ ) → f0 32 Bởi n n n n An (xατ ) − f0n ≤ An (xατ ) − Ahn (xατ ) + Ahn (xατ ) − f0n n n ≤ ch xατ + Ahn (xατ ) − f0n nên n An (xατ ) → f0 Bây từ tính đơn điệu An kéo theo n n An (xn ) − An (xατ ), xn − xατ ≥ 0, ∀x ∈ H, xn = Pn x Từ tính chất Pn ta nhận n n A(xn ) − An (xατ ), xn − xατ ≥ Vì A liên tục nên A(x) − f0 , x − x1 ≥ 0, ∀x ∈ H n hội tụ tới Do đó, x1 ∈ S0 Ta suy với α > τ ≥ 0, dãy xατ xατ n → ∞ dãy xατ hội tụ tới x0 τ/α α → Do đó, x1 = x0 Sự hội n tới x suy từ (2.15), tính chất lồi đóng tập tụ mạnh dãy xατ S0 2.2.2 Tốc độ hội tụ Đặt γh1 n = sup γhn , ≤ h ≤ h1 n Bây giờ, ta nghiên cứu tốc độ hội tụ xατ Định lý 2.2.3 Giả sử Ah khả vi Fréchet lân cận điểm x0 thỏa mãn điều kiện sau: (1) Điều kiện (ii) Định lý (2.2.2) 33 (2) x0 − x∗ = A∗h (x0 )ωh , ωh ∈ H, L ωh < (I − Pn )x∗ = (I − Pn ) fδ = O(γh1 n ) Nếu α = max(h2 , µ , ηnδ ) 1/2 n xατ − x0 = O((h + δ )1/4 + γh1 n ) Chứng minh Ta có Ah (Pn x0 ) − fδ ≤ Ah (Pn x0 ) − Ah (x0 ) + Ah (x0 ) − fδ ≤ δ + ch x0 + γhn (I − Pn )x0 + L (I − Pn )x0 /2 Vì (I − Pn )x0 ≤ (I − Pn )(x0 − x∗ ) + (I − Pn )x∗ = (I − Pn )A∗h (x0 ) ωh + (I − Pn )x∗ , nên Ah (Pn x0 ) − fδ = O(h + δ + γh1 n ) Từ (2.14) tính đơn điệu Ahn suy n α xατ − x0n n ≤ α x∗n − x0n , xατ − x0n + fδ − Ahn (x0n ) n xατ − x0n n n ≤ O(h + δ + γh1 n ) xατ − x0n + α ωh , Ah x0 (x0n − xατ ) n n ≤ O(h + δ + γh1 n ) xατ − x0n + α ωh , Ah x0 (x0 − xατ ) + α ωh , Ah x0 (x0n − x0 ) Bởi n ωh , Ah (x0 )(xατ − x0 ) ≤ ωh n n τατ + ωh , Ah (xατ ) − Ah (x0 ) 34 với n n τατ ≤ L xατ − x0 n /2 ≤ L xατ − x0n 2 /2 + 0(γhn ), n n n τατ = Ah (xατ ) − Ah (x0 )(x0 − xατ ) ta có n n α ωh , Ah (xατ ) − Ah (x0 ) = α ωh , α(x∗n − xατ ) + fδ n − fδ + fδ − Ah (x0 ) + A(x0 ) − f0 ≤ α ωh O(h + α + δ + γhn ) Vì ta nhận n α(1 − L ωh /2) xατ − x0n n ≤ O(h + δ + γh21 n ) xατ − x0n + α ωh O(h + δ + γh1 n ) Từ kéo theo 1/4 n xατ − x0n = O((h + δ )1/4 + γh1 n ) Vì 1/2 n xατ − x0 = O((h + δ )1/4 + γh1 n ) Ví dụ 2.2.4 Ta xét phương trình tích phân phi tuyến Hammerstein loại I sau k(t, s)F(x(s))ds = f (t) với s(1 − t), k(t, s) = t(1 − s), s − t ≤ 0, s − t > 0, (2.16) 35 f (t) ∈ L2 [0, 1] F(t) hàm không giảm liên tục thỏa mãn kiện sau |F(t)| ≤ a2 + b2 |t|, ∀t ∈ R, a2 + b2 > Khi đó, tốn tử F : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] toán tử đơn điệu liên tục từ L2 [0, 1] vào L2 [0, 1] Toán tử K cho Kx = k(t, s)x(s)ds có tập giá trị {y ∈ H [0, 1], y(0) = y(1) = 0} K ∗ = K Khi đó, tốn (2.16) tốn đặt khơng chỉnh Chúng ta giả sử nghiệm x(t) (2.16) biểu thị x = Kz Do đó, để tìm x ta phải giải phương trình sau: A(z) = f , với A = KFK toán tử đơn điệu liên tục Nếu F trơn A trơn Ở ta xét trường hợp F khơng trơn Do ta tìm xấp xỉ F(t) dãy hàm trơn, đơn điệu Fh (t) Giả sử F(t) có xấp xỉ Fh (t) thỏa mãn điều kiện kiểu (2.3) Đặt z∗ = Giả sử z ∈ R(K) Khi điều kiện (iii) Định lý 2.2.3 mô tả công thức z0 = KFh∗ (Kz0 )Kzh Nếu z0 = Ky0 với y0 ∈ R(K) điều kiện thỏa mãn tồn uh ∈ R(K) cho y0 = Fh∗ (x0 )uh Bất đẳng thức cuối thỏa mãn Fh∗ (x0 ) toán tử L2 [0, 1] với h > Ta ví dụ sau • Cho 0, t − t ≤ 0, F(t) = c(t − t ), t − t > 0, c > 0 36 Hiển nhiên, F liên tục đơn điệu Nhưng khơng khả vi t = t0 Ta xấp xỉ F(t) bới dãy hàm khả vi, đơn điệu: 0, t − t ≤ 0, Fh (t) = c(t − t )1+h /(1 + h), t − t0 > Ta có |Fh (t) − F(t)| ≤ c|t − t0 | Xét với x0 (t) = (t/5 − t /3 + t /5 − t /15)/24, f (t) = k(t, s)F(x0 (s))ds Suy x0 (t) = (t − 2t + t )/12 y0 (t) = t(1 − t) Nếu t0 < t0 > 1, với > x0 (t) ≥ ta có uh (t) = x0 (t)/(c((x0 )(t) − t0 ) (2.17) Nếu t ∈ (0, 1) biểu thức (2.17) xác định t với x0 (t) = t0 Phương trình x0 (t) = t0 có nghiệm thực hữu hạn Trong trường hợp t0 = t0 = phương trình x0 (t) = t0 có nghiệm đơn h < uh xác định (2.17) • Xét trường hợp c (t − t ) + d, F(t) = c (t − t ) + d, t − t0 ≤ 0, t − t0 > 0, c2 > c1 > 0, d ∈ R 37 Ta xấp xỉ F(t) Fh (t) theo công thức sau Fh (t) = F(t), t∈ / (t0 − h,t0 + h), d + c1 (t − t0 ) + p(t − t0 + h)2 + q(t − t0 + h)3 , t ∈ (t − h,t + h) 0 Số p q tính tốn điều kiện Fh (t0 + h) = c2 h + d Fh (t0 + h) = c2 Với h > hàm Fh (t) khả vi đơn điệu Hơn |Fh (t) − F(t)| ≤ ch Mặt khác, c c , t ∈ / (t0 − h,t0 + h), Fh (t) = c + (c − c )(t − t + h)/4h, t ∈ [t − h,t + h], 0 điều kiện (2.17) thỏa mãn 38 Kết luận Đề tài luận văn trình bày số vấn đề sau: (1) Trình bày số khái niệm tính chất khơng gian Hilbert; giới thiệu tốn đặt khơng chỉnh đưa ví dụ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh; (2) Trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh với tốn tử nhiễu có tính chất đơn điệu; trình bày hội tụ đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp; (3) Trình bày tốn xấp xỉ hữu hạn chiều, nghiệm hiệu chỉnh tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh xấp xỉ hữu hạn chiều ví dụ minh họa Việc phát triển phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình tốn tử đơn điệu, J-đơn điệu khơng gian Banach hướng phát triển đề tài 39 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài tốn đặt khơng chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Bường (2001), Hiệu chỉnh toán phi tuyến phương pháp toán tử đơn điệu, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Hồng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [4] Y Alber and I Ryazantseva (2006), Nonlinear ill-posed problems of monotone type, Springer [5] Ng Buong (1995), "Linear and strongly monotone operators in regularization for ill-posed problem", Proc of NCST Viet Nam, 7, 9–18 ... Tikhonov tốc độ hội tụ Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh trường hợp tốn tử nhiễu đơn điệu Sự hội tụ phương pháp hiệu chỉnh, tốc độ hội tụ. .. HỌC - LÊ THỊ THANH TÂM TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA HIỆU CHỈNH TIKHONOV CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHƠNG CHỈNH PHI TUYẾN VỚI TỐN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành :Tốn ứng dụng... 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho tốn đặt khơng chỉnh 22 phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điệu 2.1.1 Mô tả phương pháp hội tụ 22 23 2.1.2 Tốc độ hội tụ phương pháp